Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Dzieci w wieku szkolnym otrzymują wiele zadań z matematyki. Wśród nich bardzo często pojawiają się problemy z następującym sformułowaniem: istnieją dwa znaczenia. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb? Umiejętność wykonywania takich zadań jest konieczna, ponieważ nabyte umiejętności służą do pracy z ułamkami o różnych mianownikach. W tym artykule przyjrzymy się, jak znaleźć LOC i podstawowe pojęcia.

Zanim znajdziesz odpowiedź na pytanie, jak znaleźć LCM, musisz zdefiniować pojęcie wielokrotności. Najczęściej sformułowanie tego pojęcia brzmi tak: wielokrotność pewnej wartości A jest liczbą naturalną, która będzie podzielna przez A bez reszty. Zatem dla 4 wielokrotnościami będą odpowiednio 8, 12, 16, 20, i tak dalej, aż do wymaganego limitu.

W takim przypadku liczba dzielników dla określonej wartości może być ograniczona, ale wielokrotności są nieskończenie wiele. Tę samą wartość mają także walory przyrodnicze. Jest to wskaźnik, który dzieli się na nie bez reszty. Po zrozumieniu koncepcji najmniejszej wartości dla niektórych wskaźników przejdźmy do tego, jak ją znaleźć.

Znalezienie NOC

Najmniejsza wielokrotność dwóch lub więcej wykładników to najmniejsza liczba naturalna, która jest całkowicie podzielna przez wszystkie określone liczby.

Istnieje kilka sposobów znalezienia takiej wartości rozważ następujące metody:

1. Jeśli liczby są małe, zapisz w wierszu wszystkie, które są przez nią podzielne. Powtarzaj tę czynność, aż znajdziesz między nimi coś wspólnego. Na piśmie są one oznaczone literą K. Na przykład dla 4 i 3 najmniejsza wielokrotność to 12.
2. Jeśli są one duże lub trzeba znaleźć wielokrotność 3 lub więcej wartości, należy zastosować inną technikę polegającą na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze. Najpierw ułóż największy z wymienionych, a następnie wszystkie pozostałe. Każdy z nich ma swoją własną liczbę mnożników. Jako przykład rozłóżmy 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). W przypadku mniejszego podkreśl czynniki i dodaj je do największego. Wynikiem będzie liczba 100, która będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością powyższych liczb.
3. Przy znajdowaniu 3 liczb (16, 24 i 36) zasady są takie same jak w przypadku pozostałych dwóch. Rozwińmy każdy z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Tylko dwie dwójki z rozwinięcia liczby 16 nie zostały uwzględnione w rozwinięciu największej liczby.Dodajemy je i otrzymujemy 144, co jest najmniejszym wynikiem dla wcześniej wskazanych wartości liczbowych.

Teraz wiemy, jaka jest ogólna technika znajdowania najmniejszej wartości dla dwóch, trzech lub więcej wartości. Istnieją jednak również metody prywatne, pomagając w poszukiwaniu NOC, jeśli poprzednie nie pomogły.

Jak znaleźć GCD i NOC.

Prywatne metody poszukiwania

Jak w przypadku każdej sekcji matematycznej, istnieją szczególne przypadki znalezienia LCM, które są pomocne w określonych sytuacjach:

• jeśli jedna z liczb jest podzielna przez pozostałe bez reszty, wówczas równa jest jej najniższa wielokrotność (LCM 60 i 15 wynosi 15);
• Liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych. Ich najmniejsza wartość jest równa iloczynowi tych liczb. Zatem dla liczb 7 i 8 będzie to 56;
• ta sama zasada obowiązuje w innych przypadkach, także specjalnych, o których można przeczytać w literaturze specjalistycznej. Powinno to obejmować także przypadki rozkładu liczb złożonych, które są tematem poszczególnych artykułów, a nawet prac dyplomowych.

Przypadki specjalne są mniej powszechne niż przykłady standardowe. Ale dzięki nim możesz nauczyć się pracować z ułamkami o różnym stopniu złożoności. Dotyczy to szczególnie ułamków, gdzie występują nierówne mianowniki.

Kilka przykładów

Spójrzmy na kilka przykładów, które pomogą Ci zrozumieć zasadę znajdowania najmniejszej wielokrotności:

1. Znajdź LOC (35; 40). Najpierw rozkładamy 35 = 5*7, a następnie 40 = 5*8. Dodaj 8 do najmniejszej liczby i uzyskaj LOC 280.
2. NOC (45; 54). Rozkładamy każdy z nich: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodajemy liczbę 6 do 45. Otrzymujemy LCM równy 270.
3. No i ostatni przykład. Jest ich 5 i 4. Nie ma ich wielokrotności pierwszych, więc najmniejszą wspólną wielokrotnością w tym przypadku będzie ich iloczyn, który wynosi 20.

Dzięki przykładom możesz zrozumieć, jak zlokalizowany jest NOC, jakie są niuanse i jakie jest znaczenie takich manipulacji.

Znalezienie NOC jest znacznie łatwiejsze, niż mogłoby się początkowo wydawać. Aby to zrobić, stosuje się zarówno proste rozszerzanie, jak i mnożenie prostych wartości przez siebie. Umiejętność pracy z tą sekcją matematyki pomaga w dalszym studiowaniu zagadnień matematycznych, zwłaszcza ułamków o różnym stopniu złożoności.

Nie zapomnij o okresowym rozwiązywaniu przykładów różnymi metodami – rozwija to Twój aparat logiczny i pozwala zapamiętać wiele terminów. Dowiedz się, jak znaleźć taki wykładnik, a poradzisz sobie dobrze w pozostałych sekcjach matematycznych. Miłej nauki matematyki!

Wideo

Ten film pomoże Ci zrozumieć i zapamiętać, jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność.

Definicja. Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty największy wspólny dzielnik (NWD) te liczby.

Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 są liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 są liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwsze.

Definicja. Nazywa się liczby naturalne wzajemnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.

Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników danych liczb.

Rozkładając liczby 48 i 36, otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb skreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostałe czynniki to 2 * 2 * 3. Ich iloczyn jest równy 12. Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.

Znaleźć Największy wspólny dzielnik

2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znajdź iloczyn pozostałych czynników.

Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem liczb 15, 45, 75 i 180 jest liczba 15, ponieważ wszystkie inne liczby są przez nią podzielne: 45, 75 i 180.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na czynniki pierwsze: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapiszmy czynniki wchodzące w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Znajdują także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.

Do znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.

Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12, 15, 20 i 60 wynosi 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie te liczby.

Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby) nazywali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. N. mi. Piąty – 33 550 336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste, czy też istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych, tj. liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuniemy się w szeregu liczbowym, tym mniej popularne są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce „Elementy”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, czyli za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza numer.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego okresu, Eratostenes, wymyślił tę metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, po czym skreślił jedynkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, następnie przekreślił przez jedynkę wszystkie liczby występujące po 2 (liczby będące wielokrotnością 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po 3 (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały przekreślone. w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskrzyżowane.

Zaprezentowany poniżej materiał stanowi logiczną kontynuację teorii z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), a szczególną uwagę poświęcimy rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja strony.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126, b=70. Skorzystajmy z związku pomiędzy LCM i NWD wyrażonego wzorem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.

Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(126, 70)=126·70:NWD(126, 70)= 126·70:14=630.

Odpowiedź:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Ile wynosi LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, wówczas NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(68, 34)=68·34:NWD(68, 34)= 68.34:34=68.

Odpowiedź:

LCM(68, 34)=68.

Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli liczba a jest podzielna przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozkładach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .

Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).

Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210, czyli NOC(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.

Przykład.

Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Odpowiedź:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k, najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Najpierw znajdujemy m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dlatego NWD(140, 9)=1, skąd NWD(140, 9)=140 9:NWD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.

Teraz znajdujemy m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.

Pozostaje tylko znaleźć m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem GCM(3780, 250)=10, skąd GCM(3780, 250)= 3 780 250: NWD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.

Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.

Odpowiedź:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następującego wzoru: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych czynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.

Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.

Temat „Liczby wielokrotne” jest realizowany w piątej klasie szkoły średniej. Jego celem jest doskonalenie umiejętności wykonywania obliczeń matematycznych w formie pisemnej i ustnej. Na tej lekcji wprowadzane są nowe pojęcia - ćwiczone są „liczby wielokrotne” i „dzielniki”, technika znajdowania dzielników i wielokrotności liczby naturalnej oraz umiejętność znajdowania LCM na różne sposoby.

Ten temat jest bardzo ważny. Znajomość tego można wykorzystać przy rozwiązywaniu przykładów z ułamkami zwykłymi. Aby to zrobić, musisz znaleźć wspólny mianownik, obliczając najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).

Wielokrotność A to liczba całkowita, która dzieli się przez A bez reszty.

Każda liczba naturalna ma nieskończoną liczbę jej wielokrotności. Sam jest uważany za najmniejszy. Wielokrotność nie może być mniejsza niż sama liczba.

Musisz udowodnić, że liczba 125 jest wielokrotnością 5. Aby to zrobić, musisz podzielić pierwszą liczbę przez drugą. Jeśli 125 dzieli się przez 5 bez reszty, to odpowiedź brzmi „tak”.

Ta metoda ma zastosowanie w przypadku małych liczb.

Istnieją szczególne przypadki przy obliczaniu LOC.

1. Jeśli chcesz znaleźć wspólną wielokrotność 2 liczb (na przykład 80 i 20), gdzie jedna z nich (80) jest podzielna przez drugą (20), to ta liczba (80) jest najmniejszą wielokrotnością tych dwie liczby.

LCM(80, 20) = 80.

2. Jeśli dwie nie mają wspólnego dzielnika, to możemy powiedzieć, że ich LCM jest iloczynem tych dwóch liczb.

LCM(6, 7) = 42.

Spójrzmy na ostatni przykład. 6 i 7 w stosunku do 42 są dzielnikami. Dzielą wielokrotność liczby bez reszty.

W tym przykładzie 6 i 7 to sparowane czynniki. Ich iloczyn jest równy największej liczbie wielokrotnej (42).

Liczbę pierwszą nazywamy liczbą pierwszą, jeśli dzieli się tylko przez samą siebie lub przez 1 (3:1=3; 3:3=1). Pozostałe nazywane są kompozytami.

Inny przykład polega na ustaleniu, czy 9 ​​jest dzielnikiem 42.

42:9=4 (pozostała 6)

Odpowiedź: 9 nie jest dzielnikiem 42, ponieważ odpowiedź ma resztę.

Dzielnik różni się od wielokrotności tym, że dzielnik jest liczbą, przez którą dzielone są liczby naturalne, a sama wielokrotność jest podzielna przez tę liczbę.

Największy wspólny dzielnik liczb A I B, pomnożone przez ich najmniejszą wielokrotność, da iloczyn samych liczb A I B.

Mianowicie: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Wspólne wielokrotności dla bardziej zespolonych liczb można znaleźć w następujący sposób.

Na przykład znajdź LCM dla 168, 180, 3024.

Rozkładamy te liczby na proste czynniki i zapisujemy je jako iloczyn potęg:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dla dwóch lub dowolnej innej liczby liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i LCM

Znajdź GCD i LOC

Znaleziono GCD i LOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wejściowym
• Jeżeli wpiszesz nieprawidłowe znaki, pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
• kliknij przycisk „Znajdź GCD i LOC”.

Jak wprowadzać liczby

• Liczby wprowadza się oddzielając spacją, kropką lub przecinkiem
• Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie GCD i LCM długich liczb nie jest trudne

Co to są GCD i NOC?

Największy wspólny dzielnik kilka liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest skracany jako GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdą z liczb pierwotnych bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skracana jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz skorzystać z niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je, można sprawdzić podzielność niektórych z nich i ich kombinacji.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Test podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 - oznacza to, że liczba jest podzielna przez dwa.

2. Test podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Zatem, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr jest bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces jeszcze raz.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez trzy.

3. Test podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Test podzielności liczby przez 9
Znak ten jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb

Jak znaleźć gcd dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największego.

Rozważmy tę metodę na przykładzie znalezienia NWD(28, 36):

1. Rozkładamy na czynniki obie liczby: 28 = 1,2,2,7, 36 = 1,2,2,3,3
2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 = 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwsza metoda polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie gcd tych liczb. Rozważmy tylko to.

Aby obliczyć LCM, należy obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28,36 = 1008
2. NWD(28, 36), jak już wiadomo, jest równe 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Znajdowanie GCD i LCM dla kilku liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Możesz także użyć poniższej relacji, aby znaleźć gcd kilku liczb: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla liczb 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1,2,2,3, 32 = 1,2,2,2,2,2, 36 = 1,2,2,3,3.
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2.
3. Ich produkt da NWD: 1,2,2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdźmy LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1,2 · 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.