Czy funkcja będzie okresowa? Jak wyznaczyć okresowość funkcji
Załącznik nr 7
Miejska placówka oświatowa
Gimnazjum nr 3
Nauczyciel
Korotkowa
Asia Edikovna
Kurganinsk
2008
TREŚĆ
Wprowadzenie…………………………………………………………… 2-3
Funkcje okresowe i ich właściwości............................ 4-6
Problemy………………………………………………………………… 7-14
Wstęp
Zauważmy, że problemy periodyczności w literaturze pedagogicznej i metodologicznej nie mają łatwego losu. Tłumaczy się to dziwną tradycją dopuszczania pewnych zaniedbań w określaniu funkcji okresowych, które prowadzą do kontrowersyjnych decyzji i prowokują incydenty na egzaminach.
Na przykład w książce „Explanatory Dictionary of Mathematical Termins” - M, 1965 podano następującą definicję: „funkcja okresowa jest funkcją
y = f(x), dla którego istnieje liczba t > 0, która dla wszystkich x i x+t z dziedziny f(x + t) = f(x).
Podajmy kontrprzykład pokazujący błędność tej definicji. Zgodnie z tą definicją funkcja będzie okresowa o okresie t = 2π
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 o ograniczonej dziedzinie definicji, co jest sprzeczne z ogólnie przyjętym punktem widzenia na temat funkcji okresowych.
Wiele nowszych podręczników do szkół alternatywnych boryka się z podobnymi problemami.
W podręczniku A.N. Kołmogorowa podana jest następująca definicja: „Mówiąc o okresowości funkcji f, uważa się, że istnieje taka liczba T ≠ 0, że dziedzina definicji D (f) wraz z każdym punktem x, zawiera także punkty uzyskane z x poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Ox (w prawo i w lewo) w odległości T. Funkcja f nazywa się okresowy z okresem T ≠ 0, jeśli dla którejkolwiek dziedziny definicji wartości tej funkcji w punktach x, x – T, x + T są równe, tj. fa (x + T) = fa (x) = f (x – T).” W dalszej części podręcznika napisano: „Ponieważ sinus i cosinus są zdefiniowane na całej osi liczbowej, a Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x dla dowolnego x, sinus i cosinus to okres funkcji o okresie 2π.”
W tym przykładzie z jakiegoś powodu wymagany warunek w definicji nie jest sprawdzany:
Grzech (x – 2π) = Grzech x. O co chodzi? Faktem jest, że ten warunek w definicji jest zbędny. Rzeczywiście, jeśli T > 0 jest okresem funkcji f(x), to T będzie również okresem tej funkcji.
Chciałbym podać jeszcze jedną definicję z podręcznika M.I. Bashmakowa „Algebra i początki analizy klas 10-11”. „Funkcję y = f(x) nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba T ≠ 0 taka, że równość
f (x + T) = f (x) zachodzi identycznie dla wszystkich wartości x.”
Powyższa definicja nie mówi nic o dziedzinie funkcji, chociaż w dziedzinie definicji oznacza x, a nie jakieś rzeczywiste x. Zgodnie z tą definicją funkcja y = Sin (√x) może być okresowa 2 , zdefiniowany tylko dla x ≥ 0, co jest błędne.
W egzaminie Unified State Exam znajdują się zadania okresowe. W jednym z periodyków naukowych w ramach szkolenia dla sekcji C Unified State Examination podano rozwiązanie problemu: „czy funkcja y(x) = Sin 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) okresowe?”
Rozwiązanie pokazuje, że y (x – π) = y (x) w odpowiedzi jest dodatkowy wpis
„T = π” (wszak nie pojawia się kwestia znalezienia najmniejszego okresu dodatniego). Czy naprawdę konieczne jest przeprowadzenie złożonej edukacji trygonometrycznej, aby rozwiązać ten problem? Przecież tutaj można skupić się na pojęciu okresowości, jako kluczowej w stanie problemu.
Rozwiązanie.
f 1 (x) = Sin x – funkcja okresowa o okresie Т = 2π
f 2 (x) = Cos x jest funkcją okresową o okresie T = 2π, wówczas 2π jest okresem funkcji f 3 (x) = grzech (2 + x) i f 4 (x) = Cos (2 + x), (wynika to z definicji okresowości)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, jego okresem jest dowolna liczba, łącznie z 2π.
Ponieważ suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnym okresie T jest również T-okresowa, wówczas funkcja ta jest okresowa.
Mam nadzieję, że materiał przedstawiony w tej pracy pomoże w przygotowaniu do jednolitego egzaminu państwowego w rozwiązywaniu problemów dotyczących okresowości.
Funkcje okresowe i ich własności
Definicja: Funkcję f(t) nazywamy okresową, jeśli dla dowolnego t z dziedziny definicji tej funkcji D F istnieje liczba ω ≠ 0 taka, że:
1) liczby (t ± ω) є re f ;
2) fa (t + ω) = f(t).
1. Jeżeli liczba ω = okres funkcji f (t), to liczba kω, gdzie k = ±1, ±2, ±3, ... są jednocześnie okresami funkcji f(t).
PRZYKŁAD fa (t) = grzech t. Liczba T = 2π jest najmniejszym dodatnim okresem tej funkcji. Niech T 1 = 4π. Pokażmy, że T 1 jest jednocześnie okresem tej funkcji.
F (t + 4π) = fa (t + 2π + 2π) = Grzech (t + 2π) = Grzech t.
Zatem T1 – okres funkcji f (t) = Sin t.
2. Jeżeli funkcja f(t) – ω jest funkcją okresową, to funkcje f (аt), gdzie а є R i f (t + с), gdzie с jest dowolną stałą, również są okresowe.
Znajdźmy okres funkcji f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), tj. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Zatem okres funkcji f(аt) – ω 1 = ω/a.
Przykład 1. Znajdź okres funkcji y = Sin t/2.
Przykład 2. Znajdź okres funkcji y = Sin (t + π/3).
Niech f(t) = Sin t; y 0 = grzech (t 0 + π/3).
Wtedy funkcja f(t) = Sin t przyjmie tę samą wartość 0 w t = t 0 + π/3.
Te. wszystkie wartości, jakie przyjmuje funkcja y, są również przyjmowane przez funkcję f(t). Jeśli t jest interpretowane jako czas, to każda wartość y 0 funkcja y = Sin (t + π/3) jest akceptowana o π/3 jednostki czasu wcześniej niż funkcja f(t) „przesunięta” w lewo o π/3. Oczywiście okres funkcji nie ulegnie z tego powodu zmianie, tj. T y = T 1.
3. Jeżeli F(x) jest jakąś funkcją, a f(t) jest funkcją okresową i taką, że f(t) należy do dziedziny definicji funkcji F(x) – D F , to funkcja F(f (t)) jest funkcją okresową.
Niech F(f(t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) dla dowolnego t є D F.
PRZYKŁAD Zbadaj funkcję pod kątem okresowości: F(x) = ℓ grzech.
Dziedzina tej funkcji D F pokrywa się ze zbiorem liczb rzeczywistych R. f (x) = Sin x.
Zbiór wartości tej funkcji to [-1; 1]. Ponieważ segment [-1; 1] należy do D F , to funkcja F(x) jest okresowa.
F(x+2π) = ℓ grzech (x + 2π) = ℓ grzech x = F(x).
2 π – okres tej funkcji.
4. Jeśli funkcje f 1 (t) i f 2 (t) odpowiednio okresowe o okresach ω 1 i ω 2 i ω 1 /ω 2 = r, gdzie r jest liczbą wymierną, to funkcje
do 1 fa 1 (t) + do 2 fa 2 (t) i f 1 (t) fa 2 (t) są okresowe (C 1 i C2 są stałymi).
Uwaga: 1) Jeśli r = ω 1 /ω 2 = p/q, ponieważ r jest zatem liczbą wymierną
ω 1 q = ω 2 p = ω, gdzie ω jest najmniejszą wspólną wielokrotnością ω 1 i ω 2 (NOC).
Rozważmy funkcję C 1 fa 1 (t) + C 2 fa 2 (t).
Rzeczywiście, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - okres tej funkcji
С 1 fa 1 (t) + С 2 fa 2 (t) = С 1 fa 1 (t+ ω 1 q) + С 2 fa 2 (t+ ω 2 p) + С 1 fa 1 (t) + С 2 fa 2 (T) .
2) ω – okres funkcji f 1 (t) f 2 (t), ponieważ
fa 1 (t + ω) fa 2 (t + ω = f 1 (t + ω 1 q) fa 2 (t = ω 2 p) = fa 1 (t) fa 2 (t).
Definicja: Niech f 1 (t) i f (t) są odpowiednio funkcjami okresowymi o okresach ω 1 i ω 2 , to mówimy, że dwa okresy są współmierne, jeśliω 1 /ω 2 = r jest liczbą wymierną.
3) Jeżeli okresy ω 1 i ω 2 nie są współmierne, to funkcje f 1 (t) + f 2 (t) i
f 1 (t) f 2 (t) nie są okresowe. To znaczy, jeśli f 1 (t) i f 2 (t) różnią się od stałych, okresowych, ciągłych, ich okresy nie są współmierne, wówczas f 1 (t) + fa 2 (t), fa 1 (t) fa 2 (t) nie są okresowe.
4) Niech f(t) = C, gdzie C jest dowolną stałą. Ta funkcja jest okresowa. Jego okresem jest dowolna liczba wymierna, co oznacza, że nie ma najmniejszego okresu dodatniego.
5) Stwierdzenie jest prawdziwe również dla większej liczby funkcji.
Przykład 1. Zbadaj okresowość funkcji
F(x) = Grzech x + Cos x.
Rozwiązanie. Niech f 1 (x) = Sin x, wtedy ω 1 = 2πk, gdzie k є Z.
T 1 = 2π – najmniejszy okres dodatni.
fa 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Stosunek T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – liczba wymierna, tj. okresy funkcji f 1 (x) i f 2 (x) są proporcjonalne. Oznacza to, że funkcja ta jest okresowa. Znajdźmy jego okres. Z definicji funkcji okresowej mamy
Grzech (x + T) + Cos (x + T) = Grzech x + Cos x,
Grzech (x + T) - Grzech x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0 zatem,
Sin Т/2 = 0, wówczas Т = 2πk.
Ponieważ (х ± 2πk) є re f , gdzie f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), to funkcja f(x) jest okresowa o najmniejszym okresie dodatnim 2π.
Przykład 2. Czy funkcja f(x) = Cos 2x · Sin x jest okresowa, jaki jest jej okres?
Rozwiązanie. Niech f 1 (x) = Cos 2x, następnie T 1 = 2π: 2 = π (patrz 2)
Niech f 2 (x) = Sin x, następnie T 2 = 2π. Ponieważ π/2π = ½ jest liczbą wymierną, wówczas ta funkcja jest okresowa. Jego okres T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Zatem funkcja ta jest okresowa z okresem 2π.
5. Niech funkcja f(t), która nie jest identycznie równa stałej, będzie ciągła i okresowa, wtedy będzie miała najmniejszy okres dodatni ω 0 , każdy inny okres jego ω ma postać: ω= kω 0, gdzie k є Z.
Uwaga: 1) W tej właściwości bardzo ważne są dwa warunki:
f(t) jest ciągłe, f(t) ≠ C, gdzie C jest stałą.
2) Stwierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe. Oznacza to, że jeśli wszystkie okresy są współmierne, to nie wynika z tego, że istnieje najmniejszy okres dodatni. Te. funkcja okresowa może nie mieć najmniejszego okresu dodatniego.
Przykład 1. f(t) = C, okresowe. Jego okresem jest dowolna liczba rzeczywista; nie ma najmniejszego okresu.
Przykład 2. Funkcja Dirichleta:
D(x) =
Każda liczba wymierna jest jej okresem; nie ma najmniejszego okresu dodatniego.
6. Jeśli f(t) jest ciągłą funkcją okresową oraz ω 0 jest jej najmniejszym okresem dodatnim, to funkcja f(αt + β) ma najmniejszy okres dodatni ω 0 //α/. To stwierdzenie wynika z ust. 2.
Przykład 1. Znajdź okres funkcji y = Sin (2x – 5).
Rozwiązanie. y = Grzech (2x – 5) = Grzech (2(x – 5/2)).
Wykres funkcji y otrzymujemy z wykresu funkcji Sin x, najpierw „ściskając” dwukrotnie, a następnie „przesuwając” w prawo o 2,5. „Przesunięcie nie wpływa na okresowość, T = π jest okresem tej funkcji.
Okres tej funkcji można łatwo obliczyć, korzystając z własności kroku 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Jeżeli f(t) – ω jest funkcją okresową i ma pochodną ciągłą f"(t), to f"(t) także jest funkcją okresową, Т = ω
Przykład 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Jej pochodna f”(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Przykład 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Jego pochodna
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.
Przykład 3. f(t) =tg t, jego okres T = πk.
F”(t) = 1/Cos 2 t jest również okresowe zgodnie z właściwością kroku 7 i ma okres T = πk. Jego najmniejszy okres dodatni to T = π.
ZADANIA.
№ 1
Czy funkcja f(t) = Sin t + Sin πt jest okresowa?
Rozwiązanie. Dla porównania rozwiązujemy ten problem na dwa sposoby.
Po pierwsze, z definicji funkcji okresowej. Załóżmy, że f(t) jest okresowe, to dla dowolnego t є D f mamy:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Ponieważ jest to prawdą dla dowolnego t є D F , to w szczególności dla t 0 , w którym lewa strona ostatniej równości staje się zerem.
Wtedy mamy: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Rozwiążmy sprawę względem T.
Sin Т/2 = 0 przy Т = 2 πk, gdzie k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Rozwiążmy sprawę względem T.
Sin πТ/2 = 0, wówczas Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, gdzie n є Z.
Ponieważ mamy tożsamość, to 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, co nie może być, bo π jest liczbą niewymierną, a n/k jest liczbą wymierną. Oznacza to, że nasze założenie, że funkcja f(t) jest okresowa, było błędne.
Po drugie, rozwiązanie jest znacznie prostsze, jeśli zastosujemy powyższe właściwości funkcji okresowych:
Niech f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Wtedy T 1 / T 2 = 2π/2 = π jest liczbą niewymierną, tj. okresy T 1, T 2 nie są współmierne, co oznacza, że f(t) nie jest okresowe.
Odpowiedź: nie.
№ 2
Pokaż, że jeśli α jest liczbą niewymierną, to funkcja
F(t) = koszt t + cos αt
nie jest okresowy.
Rozwiązanie. Niech f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Wtedy ich okresy wynoszą odpowiednio T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ – najmniejsze okresy dodatnie. Znajdźmy, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ jest liczbą niewymierną. Więc T 1 i T2 są niewspółmierne oraz funkcja
f(t) nie jest okresowe.
№ 3
Znajdź najmniejszy dodatni okres funkcji f(t) = Sin 5t.
Rozwiązanie. Według właściwości poz. 2 mamy:
f(t) – okresowe; T = 2π/5.
Odpowiedź: 2π/5.
№ 4
Czy funkcja F(x) = arccos x + arcsin x jest okresowa?
Rozwiązanie. Rozważmy tę funkcję
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
te. F(x) jest funkcją okresową (patrz właściwość akapitu 5, przykład 1.).
Odpowiedź: tak.
№ 5
Czy funkcja jest okresowa?
F(x) = Grzech 2x + Cos 4x + 5?
rozwiązanie. Niech f 1 (x) = Sin 2x, wtedy T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, wówczas T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 – dowolna liczba rzeczywista, w szczególności T 3 możemy założyć, że jest równy T 1 lub T2 . Wtedy okres tej funkcji T = LCM (π, π/2) = π. Oznacza to, że f(x) jest okresowe z okresem T = π.
Odpowiedź: tak.
№ 6
Czy funkcja f(x) = x – E(x) jest okresowa, gdzie E(x) jest funkcją przypisując argument x najmniejszej liczbie całkowitej nie większej niż podana.
Rozwiązanie. Często funkcję f(x) oznaczamy przez (x) – część ułamkową liczby x, tj.
F(x) = (x) = x – E(x).
Niech f(x) będzie funkcją okresową, tj. istnieje liczba T > 0 taka, że x – E(x) = x + T – E(x + T). Zapiszmy tę równość
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – prawdziwe dla dowolnego x z dziedziny D F, pod warunkiem, że T ≠ 0 i T є Z. Najmniejszym dodatnim z nich jest T = 1, tj. T =1 taki, że
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Ponadto (x ± Tk) є D f, gdzie k є Z.
Odpowiedź: ta funkcja jest okresowa.
№ 7
Czy funkcja f(x) = Sin x jest okresowa? 2 .
Rozwiązanie. Załóżmy, że f(x) = Sin x 2 funkcja okresowa. Wtedy z definicji funkcji okresowej istnieje liczba T ≠ 0 taka, że: Sin x 2 = grzech (x + T) 2 dla dowolnego x є re fa.
Grzech x 2 = Grzech (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, wtedy
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 lub Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0.
Rozważmy pierwsze równanie:
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Rozważmy drugie równanie:
Grzech x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
T = √x 2 - 2πk – x. (2)
Z wyrażeń (1) i (2) jasno wynika, że znalezione wartości T zależą od x, tj. nie ma takiego T>0, że
Grzech x 2 = Grzech (x+T) 2
Dla dowolnego x z dziedziny definicji tej funkcji. f(x) nie jest okresowe.
Odpowiedź: nie
№ 8
Zbadaj funkcję f(x) = Cos pod kątem okresowości 2x.
Rozwiązanie. Przedstawmy f(x) za pomocą wzoru na cosinus podwójnego kąta
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Niech f 1 (x) = ½, następnie T 1 – może to być dowolna liczba rzeczywista; F 2 (x) = ½ Cos 2x jest funkcją okresową, ponieważ iloczyn dwóch funkcji okresowych mających wspólny okres T 2 = π. Następnie najmniejszy dodatni okres tej funkcji
T = LOC (T 1, T 2) = π.
Zatem funkcja f(x) = Cos 2 x – π – okresowe.
Odpowiedź: π jest okresowe.
№ 9
Czy dziedziną funkcji okresowej może być:
A) półprosta [a, ∞),
B) segment?
Rozwiązanie. Nie poniewaź
A) z definicji funkcji okresowej, jeśli x є D f, to także x ± ω
Musi należeć do dziedziny funkcji. Niech więc x = a
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) niech x = 1, wtedy x 1 = (1 + T) є .
№ 10
Czy funkcja okresowa może być:
A) ściśle monotonne;
B) nawet;
C) nawet nie?
Rozwiązanie. a) Niech f(x) będzie funkcją okresową, tj. istnieje Т≠0 takie, że dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji D dlaczego
(x ±T) є re f i f (x±T) = f(x).
Naprawmy dowolny x 0 є D fa , ponieważ f(x) jest okresowe, wówczas (x 0 +T) є re f i f(x 0) = f(x 0 +T).
Załóżmy, że f(x) jest ściśle monotoniczna i obejmuje cały obszar definicji D F na przykład wzrasta. Następnie z definicji funkcji rosnącej dla dowolnego x 1 i x 2 z dziedziny definicji D F z nierówności x 1 2 wynika, że f(x 1) 2 ). W szczególności z warunku x 0 0 + T, wynika z tego
F(x 0) 0 +T), co jest sprzeczne z warunkiem.
Oznacza to, że funkcja okresowa nie może być ściśle monotoniczna.
b) Tak, funkcja okresowa może być parzysta. Podajmy kilka przykładów.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) jest parzystą funkcją okresową.
0 jeśli x jest liczbą wymierną;
D(x) =
1, jeśli x jest liczbą niewymierną.
D(x) = D(-x), dziedzina definicji funkcji D(x) jest symetryczna.
Funkcja Direchleta D(x) jest parzystą funkcją okresową.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Ta funkcja nie jest parzysta.
c) Funkcja okresowa może być nieparzysta.
f(x) = Grzech x, f(-x) = Grzech (-x) = - Grzech = - f(x)
f(x) jest nieparzystą funkcją okresową.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – nieparzyste i okresowe.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) nie jest dziwne.
f(x) = tan x – nieparzysta funkcja okresowa.
Odpowiedź: nie; Tak; Tak.
№ 11
Ile zer może mieć funkcja okresowa na:
1) ; 2) na całej osi liczbowej, jeżeli okres funkcji jest równy T?
Rozwiązanie: 1. a) Na odcinku [a, b] funkcja okresowa nie może mieć zer, np. f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.
b) W przedziale [a, b] funkcja okresowa może mieć nieskończoną liczbę zer, na przykład funkcja Direchleta
0 jeśli x jest liczbą wymierną,
D(x) =
1, jeśli x jest liczbą niewymierną.
c) W przedziale [a, b] funkcja okresowa może mieć skończoną liczbę zer. Znajdźmy tę liczbę.
Niech T będzie okresem funkcji. Oznaczmy
X 0 = (min x є(a,b), tak że f(x) = 0).
Wtedy ilość zer na odcinku [a, b]: N = 1 + E (c-x 0/T).
Przykład 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – funkcja okresowa o okresie T = π; X 0 = -π/2; wówczas liczba zer funkcji f(x) w danym przedziale
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Przykład 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8,5]. f(x) – funkcja okresowa, T + 1,
x 0 = -2. Następnie liczba zer funkcji f(x) w danym przedziale
N = 1 + mi (8,5 – (-2)/1) = 1 + mi (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Przykład 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Następnie liczba zer tej funkcji w danym przedziale
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Nieskończona liczba zer, ponieważ X 0 є re f i f(x 0 ) = 0, to dla wszystkich liczb
Х 0 +Тk, gdzie k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0 i punkty postaci x 0 ± Tk jest zbiorem nieskończonym;
b) nie mają zer; jeśli f(x) jest okresowe i dla dowolnego
x є re fa funkcja f(x) >0 lub f(x)
F(x) = grzech x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = grzech x – 8 + Cos x;
F(x) = grzech x cos x + 5.
№ 12
Czy suma funkcji nieokresowych może być okresowa?
Rozwiązanie. Tak, może. Na przykład:
- f 1 (x) = x – nieokresowe, f 2 (x) = E(x) – nieokresowe
F(x) = fa 1 (x) – fa 2 (x) = x – E(x) – okresowe.
- f 1 (x) = x – nieokresowe, f(x) = Sin x + x – nieokresowe
F(x) = fa 2 (x) – fa 1 (x) = Sin x – okresowe.
Odpowiedź: tak.
№ 13
Funkcje f(x) i φ(x) są okresowe o okresach T 1 i T2 odpowiednio. Czy ich iloczyn jest zawsze funkcją okresową?
Rozwiązanie. Nie, tylko wtedy, gdy T 1 i T2 – są proporcjonalne. Na przykład,
F(x) = grzech x grzech πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; następnie T 1 / T 2 = 2π/2 = π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że f(x) nie jest okresowe.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Niech f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
fa 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T2 / T1 = 2π/1 = 2π, co oznacza, że f(x) nie jest okresowe.
Odpowiedź: Nie.
Problemy do samodzielnego rozwiązania
Które z funkcji są okresowe, znajdź okres?
1. f(x) = grzech 2x, 10. f(x) = grzech x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = grzech 2x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = grzech x Cos x, 14. f(x) = grzech πx + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = grzech (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = grzech 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, jeśli n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Niech f(x) – T będzie funkcją okresową. Które z funkcji są okresowe (znajdź T)?
- φ(x) = f(x + λ) – okresowe, ponieważ „przesunięcie” wzdłuż osi Ox nie wpływa na ω; jego okres ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – funkcja okresowa o okresie ω = T.
- φ(х) = f(kh) – funkcja okresowa o okresie ω = Т/k.
- φ(x) = f(ax + b) jest funkcją okresową o okresie ω = T/a.
- φ(x) = f(√x) nie jest okresowe, ponieważ jego dziedzina definicji Dφ = (x/x ≥ 0), a funkcja okresowa nie może mieć dziedziny określonej półosią.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) jest funkcją okresową, ponieważ
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = za fa 2 (x) + w f(x) + do.
Niech φ 1 (x) = a f 2 (x) – okresowe, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = w f(x) – okresowe, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – okresowy, ω 3 – dowolna liczba;
wówczas ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) jest okresowe.
Inaczej, ponieważ dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa, następnie zbiór wartości funkcji f – E fa є re φ , co oznacza funkcję
φ(x) jest okresowe i ω = Т.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – okresowy o okresie ω = T, ponieważ dla dowolnego x funkcja f(x) przyjmuje wartości f(x) ≥ 0, tj. jego zbiór wartości E fa є re φ , gdzie
Dφ – dziedzina definicji funkcji φ(z) = √z.
№ 15
Czy funkcja f(x) = x 2 okresowe?
Rozwiązanie. Rozważmy x ≥ 0, to dla f(x) istnieje funkcja odwrotna √x, co oznacza, że na tym przedziale f(x) jest funkcją monotoniczną, to nie może być okresowa (patrz nr 10).
№ 16
Biorąc pod uwagę wielomian P(x) = a 0 + za 1 x + za 2 x + ... za n x.
Czy P(x) jest funkcją okresową?
Rozwiązanie. 1. Jeżeli tożsamość jest stała, to P(x) jest funkcją okresową, tj. Jeśli i = 0, gdzie i ≥ 1.
2. Niech P(x) ≠ с, gdzie с jest pewną stałą. Powiedzmy, że P(x) jest funkcją okresową i niech P(x) ma pierwiastki rzeczywiste, a zatem P(x) jest funkcją okresową, to musi być ich nieskończona liczba. I zgodnie z podstawowym twierdzeniem algebry ich liczba k jest taka, że k ≤ n. Oznacza to, że P(x) nie jest funkcją okresową.
3. Niech P(x) będzie identycznie niezerowym wielomianem i nie ma pierwiastków rzeczywistych. Powiedzmy, że P(x) jest funkcją okresową. Wprowadźmy wielomian q(x) = a 0 , q(x) jest funkcją okresową. Rozważ różnicę P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +a n x n.
Ponieważ Po lewej stronie równości znajduje się funkcja okresowa, to funkcja po prawej stronie również jest okresowa i ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, x = 0. Ponieważ Jeśli funkcja jest okresowa, to musi istnieć nieskończona liczba zer. Mamy sprzeczność.
P(x) nie jest funkcją okresową.
№ 17
Dana funkcja f(t) – T – okresowa. Czy funkcja f do (t), gdzie
k є Z, funkcja okresowa, jak powiązane są ich okresy?
Rozwiązanie. Dowód przeprowadzimy metodą funkcji matematycznych. Pozwalać
fa 1 = f(t), wówczas fa 2 = fa 2 (t) = f(t) f(t),
fa 3 = fa 3 (t) = fa (t) fa 2 jest funkcją okresową zgodnie z właściwością kroku 4.
………………………………………………………………………….
Niech f k-1 = f k-1 (t) – funkcja okresowa i jej okres T k-1 porównywalny z okresem T. Mnożąc obie strony ostatniej równości przez f(t), otrzymujemy f k-1 f(t) = f(t) fa k-1 (t),
fa k = fa k (t) jest funkcją okresową zgodnie z właściwością kroku 4. ω ≤ T.
№ 18
Niech f(x) będzie dowolną funkcją zdefiniowaną na .. Czy funkcja f((x)) jest okresowa?
Odpowiedź: tak, ponieważ zbiór wartości funkcji (x) należy do dziedziny definicji funkcji f(x), wówczas zgodnie z właściwością pozycji 3 f((x)) jest funkcją okresową, jej okres ω = Т = 1 .
№ 19
F(x) jest dowolną funkcją zdefiniowaną na [-1; 1], czy funkcja f(sinx) jest okresowa?
Odpowiedź: tak, jego okres wynosi ω = Т = 2π (dowód analogiczny do nr 18).
Badając zjawiska naturalne i rozwiązując problemy techniczne, spotykamy procesy okresowe, które można opisać funkcjami specjalnego typu.
Funkcję y = f(x) w dziedzinie D nazywamy okresową, jeżeli istnieje co najmniej jedna liczba T > 0 taka, że spełnione są dwa warunki:
1) punkty x + T, x − T należą do dziedziny definicji D dla dowolnego x ∈ D;
2) dla każdego x z D zachodzi zależność:
f(x) = f(x + T) = f(x - T).
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f(x). Innymi słowy, funkcja okresowa to funkcja, której wartości powtarzają się po pewnym przedziale czasu. Na przykład funkcja y = sin x jest okresowa (ryc. 1) z okresem 2π.
Zauważmy, że jeśli liczba T jest okresem funkcji f(x), to liczba 2T będzie także jej okresem, a także 3T, 4T itd., czyli funkcja okresowa ma nieskończenie wiele różnych okresów. Jeśli wśród nich jest najmniejszy (nierówny zero), to wszystkie pozostałe okresy funkcji są wielokrotnościami tej liczby. Należy zauważyć, że nie każda funkcja okresowa ma tak najmniejszy okres dodatni; na przykład funkcja f(x)=1 nie ma takiego okresu. Należy również pamiętać, że na przykład suma dwóch funkcji okresowych, które mają ten sam najmniejszy okres dodatni T 0, niekoniecznie ma ten sam okres dodatni. Zatem suma funkcji f(x) = sin x i g(x) = −sin x wcale nie ma najmniejszego okresu dodatniego, a suma funkcji f(x) = sin x + sin 2x i g(x) = −sin x, którego najmniejsze okresy są równe 2π, ma najmniejszy dodatni okres równy π.
Jeżeli stosunek okresów dwóch funkcji f(x) i g(x) jest liczbą wymierną, to suma i iloczyn tych funkcji również będzie funkcjami okresowymi. Jeśli stosunek okresów wszędzie zdefiniowanych i ciągłych funkcji f i g jest liczbą niewymierną, to funkcje f + g i fg będą już funkcjami nieokresowymi. Na przykład funkcje cos x sin √2 x i cosj √2 x + sin x są nieokresowe, chociaż funkcje sin x i cos x są okresowe z okresem 2π, funkcje sin √2 x i cos √2 x są okresowe z okresem √2 π.
Zauważmy, że jeśli f(x) jest funkcją okresową z okresem T, to funkcja zespolona (o ile ma to oczywiście sens) F(f(x)) również jest funkcją okresową, a liczba T będzie jej funkcją okres. Przykładowo funkcje y = sin 2 x, y = √(cos x) (rys. 2.3) są funkcjami okresowymi (tutaj: F 1 (z) = z 2 i F 2 (z) = √ z). Nie należy jednak sądzić, że jeśli funkcja f(x) ma najmniejszy dodatni okres T 0, to funkcja F(f(x)) również będzie miała ten sam najmniejszy okres dodatni; na przykład funkcja y = sin 2 x ma najmniejszy dodatni okres, 2 razy mniejszy niż funkcja f(x) = sin x (ryc. 2).
Łatwo pokazać, że jeśli funkcja f jest okresowa z okresem T, określona i różniczkowalna w każdym punkcie prostej rzeczywistej, to funkcja f”(x) (pochodna) jest także funkcją okresową z okresem T, ale funkcja pierwotna funkcja F(x) (patrz Rachunek całkowy) dla f(x) będzie funkcją okresową tylko wtedy, gdy
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Powtarzanie jego wartości w pewnym regularnym odstępie czasu, czyli niezmienianie jego wartości podczas dodawania do argumentu jakiejś ustalonej, niezerowej liczby ( okres funkcje) w całej dziedzinie definicji.
Mówiąc bardziej formalnie, funkcja nazywa się okresową z kropką T ≠ 0 (\ displaystyle T \ neq 0), jeśli dla każdego punktu x (\ displaystyle x) z dziedziny definicji punktu x + T (\ displaystyle x + T) I x - T (\ displaystyle xT) również należą do jego dziedziny definicji i dla nich obowiązuje równość fa (x) = fa (x + T) = fa (x - T) (\ Displaystyle f (x) = f (x + T) = f (x-T)).
Z definicji wynika, że równość dotyczy także funkcji okresowej fa (x) = fa (x + n T) (\ displaystyle f (x) = f (x + nT)), Gdzie n (\ displaystyle n)- dowolna liczba całkowita.
Jeśli jednak zestaw okresów ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\ Displaystyle \ (T, T> 0, T \ in \ mathbb (R) \)} jest najmniejsza wartość, to się ją nazywa okres główny (lub główny). Funkcje.
Przykłady
Sin (x + 2 π) = grzech x, sałata (x + 2 π) = sałata x, ∀ x ∈ R. (\ Displaystyle \ sin (x + 2 \ pi) = \ sin x, \; \ cos (x + 2 \ pi) = \ cos x, \ quad \ forall x \ in \ mathbb (R).)
- Funkcja Dirichleta jest okresowa, jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna. Nie ma też okresu głównego.
Niektóre cechy funkcji okresowych
I T 2 (\ displaystyle T_ (2))(jednak liczba ta będzie po prostu kropką). Na przykład funkcja fa (x) = grzech (2 x) - grzech (3 x) (\ Displaystyle f (x) = \ grzech (2x) - \ grzech (3x)) głównym okresem jest 2 π (\ Displaystyle 2 \ pi), w funkcji sol (x) = grzech (3 x) (\ Displaystyle g (x) = \ grzech (3x)) okres jest równy 2 π / 3 (\ Displaystyle 2 \ pi / 3) i ich suma fa (x) + sol (x) = grzech (2 x) (\ Displaystyle f (x) + g (x) = \ grzech (2x)) główny okres jest oczywiście równy π (\ displaystyle \ pi).- Suma dwóch funkcji o niewspółmiernych okresach nie zawsze jest funkcją nieokresową.
W normalnych zadaniach szkolnych udowodnić okresowość tej czy innej funkcji zwykle nie jest trudne: aby więc upewnić się, że funkcja $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ jest okresowa, wystarczy po prostu zauważyć, że iloczyn $T=4\times7\ razy 2\pi$ to jego okres: jeśli dodamy liczbę T do x, to iloczyn ten „pochłonie” oba mianowniki i pod znakiem sinusa będą zbędne jedynie całkowite wielokrotności $2\pi$, czyli „ zjedzony” przez sam sinus.
Ale dowód na nieokresowość tej czy innej funkcji bezpośrednio z definicji może wcale nie być proste. Zatem, aby udowodnić nieokresowość rozważanej powyżej funkcji $y=\sin x^2$, możesz wypisać równość $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ale nie rozwiązuj to równanie trygonometryczne z przyzwyczajenia, ale zgadnij i podstaw w nim x=0, po czym niemal automatycznie stanie się: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, gdzie k wynosi pewna liczba całkowita większa od 0, tj. $T=\sqrt (k\pi)$ i jeśli teraz odgadniemy, czy podstawić do niego $x=\sqrt (\pi)$, okaże się, że $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, skąd $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, a zatem liczba p jest pierwiastkiem równania $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, czyli jest algebraiczne, co nie jest prawdą: $\pi$ jest, jak wiemy, przestępne, tj. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Jednak w przyszłości otrzymamy znacznie prostszy dowód tego twierdzenia - ale za pomocą analizy matematycznej.
Przy dowodzie nieokresowości funkcji często pomaga elementarny chwyt logiczny: jeśli wszystkie funkcje okresowe mają jakąś własność, a dana funkcja jej nie ma, to w sposób naturalny nie jest okresowy. Zatem funkcja okresowa przyjmuje dowolną wartość nieskończenie wiele razy i dlatego np. funkcja $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nie jest okresowa, gdyż wartość wynosi 7, akceptuje tylko w dwóch punktach. Często, aby udowodnić nieokresowość, wygodnie jest skorzystać z jego funkcji dziedzina definicji, a aby znaleźć pożądaną właściwość funkcji okresowych, czasami trzeba wykazać się wyobraźnią.
Zauważmy też, że bardzo często na pytanie, czym jest funkcja nieokresowa, można usłyszeć odpowiedź w stylu, o którym mówiliśmy w związku z funkcje parzyste i nieparzyste, ma miejsce wtedy, gdy $f(x+T)\neq f(x)$, co oczywiście jest niedopuszczalne.
A prawidłowa odpowiedź zależy od konkretnej definicji funkcji okresowej i na podstawie definicji podanej powyżej możemy oczywiście powiedzieć, że funkcja jest nieokresowa, jeśli nie ma ani jednego okresu, ale to będzie „złą” definicję, która nie wyznacza kierunku dowód na nieokresowość. A jeśli rozszyfrujemy to dalej, opisując, co oznacza zdanie „funkcja f nie ma ani jednej kropki”, czyli co oznacza, że „żadna liczba $T \neq 0$ nie jest okresem funkcji f”, to otrzymujemy, że funkcja f nie jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $T \neq 0$ istnieje liczba $x\in D(f)$ taka, że co najmniej jedna z liczb $x+T$ i $ x-T$ nie należy do D(f) lub $f(x+T)\neq f(x)$.
Można to powiedzieć inaczej: „Istnieje liczba $x\in D(f)$ taka, że równość $f(x+T) = f(x)$ nie jest spełniona” – ta równość może nie zachodzić dla dwóch powody: albo to nie ma sensu, tj. jedna z jego części jest niezdefiniowana lub – w przeciwnym razie – będzie niepoprawna. Dla ciekawości dodajemy, że efekt językowy, o którym mówiliśmy powyżej, objawia się także tutaj: bo równość „nie być prawdą” i „być fałszywym” to nie to samo - równość może jeszcze nie mieć znaczenia.
Szczegółowe wyjaśnienie przyczyn i konsekwencji tego skutku językowego jest bowiem przedmiotem nie matematyki, lecz teorii języka, językoznawstwa, a dokładniej jej szczególnego działu: semantyki – nauki o znaczeniu, gdzie jednak te pytania są bardzo złożone i nie mają jednoznacznego rozwiązania. A matematyka, w tym także szkolna, zmuszona jest stawić czoła tym trudnościom i przezwyciężyć „kłopoty” językowe – jednocześnie i dlatego, że posługuje się, obok symbolicznego, językiem naturalnym.
Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Algebra i początki analizy, klasa 10 (poziom profilu) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Nauczyciel Volkova S.E.
Definicja 1 Mówi się, że funkcja y = f (x), x ∈ X ma okres T, jeśli dla dowolnego x ∈ X zachodzi równość f (x – T) = f (x) = f (x + T). Jeżeli funkcja z okresem T jest zdefiniowana w punkcie x, to jest zdefiniowana także w punktach x + T, x – T. Dowolna funkcja ma okres równy zero w T = 0, otrzymujemy f(x – 0) = f (x) = fa( x + 0) .
Definicja 2 Funkcję, która ma niezerowy okres T, nazywa się okresową. Jeśli funkcja y = f (x), x ∈ X ma okres T, to każda liczba będąca wielokrotnością T (czyli liczba w postaci kT, k ∈ Z) jest także jej okresem.
Dowód Niech 2T będzie okresem funkcji. Wtedy f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Podobnie udowadnia się, że f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) itd. Zatem f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Najmniejszy okres spośród dodatnich okresów funkcji okresowej nazywany jest głównym okresem tej funkcji.
Cechy wykresu funkcji okresowej Jeżeli T jest głównym okresem funkcji y = f(x), to wystarczy: skonstruować gałąź wykresu na jednym z przedziałów o długości T, przeprowadzić przesunięcie równoległe tej gałęzi wzdłuż osi x o ±T, ±2T, ±3T, itd. Zwykle wybiera się szczelinę z końcami w punktach
Własności funkcji okresowych 1. Jeżeli f(x) jest funkcją okresową o okresie T, to funkcja g(x) = A f(kx + b), gdzie k > 0, jest również okresowa o okresie T 1 = T/ k. 2. Niech funkcja f 1 (x) i f 2 (x) będzie określona na całej osi liczbowej i będzie okresowa z okresami T 1 > 0 i T 2 > 0. Wtedy dla T 1 /T 2 ∈ Q funkcja f(x) = f(x) + f 2 (x) jest funkcją okresową o okresie T równym najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb T 1 i T 2.
Przykłady 1. Funkcja okresowa y = f(x) jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jego okres wynosi 3, a f(0) =4. Znajdź wartość wyrażenia 2f(3) – f(-3). Rozwiązanie. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Podstawiając otrzymane wartości do wyrażenia 2f (3) - f(-3) , otrzymujemy 8 - 4 =4 . Odpowiedź: 4.
Przykłady 2. Funkcja okresowa y = f(x) jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jego okres wynosi 5, a f(-1) = 1. Znajdź f(-12) jeśli 2f(3) – 5f(9) = 9. Rozwiązanie T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odpowiedź:7.
Używana literatura A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algebra i początki analizy (poziom profilu), klasa 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algebra i początek analizy (poziom profilu), klasa 10. Podręcznik metodyczny dla nauczycieli
Na temat: rozwój metodologiczny, prezentacje i notatki
Prawo okresowe i układ okresowy D.I. Mendelejew.
Kompleksowa lekcja na ten temat prowadzona jest w formie gry, wykorzystując elementy technologii z warsztatów pedagogicznych....
Wydarzenie pozalekcyjne „Prawo okresowe i układ okresowy pierwiastków chemicznych D.I. Mendelejewa”
Zajęcia pozalekcyjne przybliżają historię powstania prawa okresowego i układu okresowego przez D.I. Mendelejew. Informacje podane są w poetyckiej formie, co ułatwia szybkie zapamiętanie...
Dodatek do zajęć pozalekcyjnych „Prawo okresowe i układ okresowy pierwiastków chemicznych D.I. Mendelejewa”
Odkrycie prawa poprzedziła długa i intensywna praca naukowa D.I. Mendelejewa na 15 lat, a na jego dalsze pogłębianie dano kolejne 25 lat....