Liczba stopni swobody cząsteczki. Izoprocesy

Równanie stanu układu termodynamicznego. Równanie Clapeyrona-Mendelejewa. Idealny termometr gazowy. Podstawowe równanie teorii kinetyki molekularnej. Równomierny rozkład energii w zależności od stopni swobody cząsteczek. Energia wewnętrzna gazu doskonałego. Efektywna średnica i średnia droga swobodna cząsteczek gazu. Eksperymentalne potwierdzenie teorii kinetyki molekularnej.

Równanie stanu układu termodynamicznego opisuje zależność pomiędzy parametrami układu . Parametry stanu to ciśnienie, objętość, temperatura, ilość substancji. Ogólnie równaniem stanu jest zależność funkcjonalna F(p,V,T) = 0.

W przypadku większości gazów, jak pokazuje doświadczenie, w temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem około 10,5 Pa, Równanie Mendelejewa-Clapeyrona :

P– ciśnienie (Pa), V– zajmowana objętość (m 3), R=8,31 ​​J/molK – uniwersalna stała gazowa, T – temperatura (K).

Mol substancji – ilość substancji zawierająca liczbę atomów lub cząsteczek równą liczbie Avogadro
(ile atomów znajduje się w 12 g izotopu węgla 12 C). Pozwalać M 0 – masa jednej cząsteczki (atomu), N jest zatem liczbą cząsteczek
- masa gazowa,
- masa molowa substancji. Dlatego liczba moli substancji jest równa:

.

Gaz doskonały, którego parametry spełniają równanie Clapeyrona-Mendelejewa. Właściwości najbliższe ideału to wodór i hel.

Idealny termometr gazowy.

Termometr gazowy o stałej objętości składa się z korpusu termometrycznego – części gazu doskonałego zamkniętej w naczyniu, która jest połączona rurką z manometrem.

Za pomocą termometru gazowego można eksperymentalnie ustalić zależność między temperaturą gazu a ciśnieniem gazu dla określonej stałej objętości. Stałość objętości osiąga się poprzez pionowy ruch lewej rurki manometru, doprowadzenie poziomu w prawej rurce do znaku odniesienia i pomiar różnicy wysokości poziomów cieczy w manometrze. Uwzględnienie różnych poprawek (na przykład rozszerzalności cieplnej szklanych części termometru, adsorpcji gazu itp.) umożliwia osiągnięcie dokładności pomiaru temperatury za pomocą termometru gazowego o stałej objętości równej 0,001 K.

Termometry gazowe mają tę zaletę, że wyznaczana za ich pomocą temperatura wynosi ok niskie gęstości gaz nie zależy od jego natury, a skala takiego termometru dobrze pokrywa się ze skalą temperatury bezwzględnej wyznaczonej za pomocą termometru gazu doskonałego.

W ten sposób pewna temperatura jest powiązana z temperaturą w stopniach Celsjusza zależnością:
DO.

Normalne warunki gazowe – stan, w którym ciśnienie jest równe normalnemu ciśnieniu atmosferycznemu: R= 101325 Pa10 5 Pa i temperatura T = 273,15 K.

Z równania Mendelejewa-Clapeyrona wynika, że ​​objętość 1 mola gazu w warunkach normalnych jest równa:
m 3.

Podstawy MKT

Teoria kinetyki molekularnej (MKT) rozważa właściwości termodynamiczne gazów z punktu widzenia ich struktury molekularnej.

Cząsteczki znajdują się w ciągłym, losowym ruchu termicznym, nieustannie zderzając się ze sobą. Jednocześnie wymieniają pęd i energię.

Ciśnienie gazu.

Rozważmy mechaniczny model gazu znajdującego się w równowadze termodynamicznej ze ściankami naczynia. Cząsteczki elastycznie zderzają się nie tylko ze sobą, ale także ze ściankami naczynia zawierającego gaz.

W ramach idealizacji modelu atomy w cząsteczkach zastępujemy punktami materialnymi. Zakłada się, że prędkość wszystkich cząsteczek jest taka sama. Zakładamy również, że punkty materialne nie oddziałują ze sobą na odległość, dlatego przyjmujemy energię potencjalną takiego oddziaływania równą zeru.

P
Ust
– stężenie cząsteczek gazu, T– temperatura gazu, ty– średnia prędkość ruchu translacyjnego cząsteczek. Wybierzmy taki układ współrzędnych, aby ściana naczynia leżała w płaszczyźnie XY, a oś Z była skierowana prostopadle do ściany wewnątrz naczynia.

Rozważmy wpływ cząsteczek na ścianki naczynia. Ponieważ uderzenia są sprężyste, wówczas po uderzeniu w ścianę pęd cząsteczki zmienia kierunek, ale jej wielkość się nie zmienia.

Przez pewien okres czasu  T Tylko te cząsteczki, które znajdują się od ściany w odległości nie większej niż L= tyT. Całkowita liczba cząsteczek w cylindrze o powierzchni podstawy S i wysokość L, którego objętość jest równa V = L.S. = tyTS, równa się N = NV = NtyTS.

W danym punkcie przestrzeni możemy warunkowo wyróżnić trzy różne kierunki ruchu molekularnego, na przykład wzdłuż osi X, Y, Z. Cząsteczka może poruszać się w każdym z kierunków „do przodu” i „do tyłu”.

Dlatego nie wszystkie cząsteczki w przydzielonej objętości przesuną się w kierunku ściany, ale tylko jedna szósta ich całkowitej liczby. Dlatego liczba cząsteczek, które w czasie  T uderz w ścianę, będzie równa:

N 1 = N/6= NtyTS/6.

Zmiana pędu cząsteczek po uderzeniu jest równa impulsom siły działającej na cząsteczki od strony ściany - przy tej samej wielkości siły cząsteczki działają na ścianę:

P Z = P 2 Z – P 1 Z = FT, Lub

N 1  M 0 ty –( N 1  M 0 ty)= FT,

2N 1  M 0 ty = FT,

,

.

Gdzie znajdziemy ciśnienie gazu na ścianie:
,

Gdzie
- energia kinetyczna punktu materialnego (ruch translacyjny cząsteczki). W konsekwencji ciśnienie takiego (mechanicznego) gazu jest proporcjonalne do energii kinetycznej ruchu translacyjnego cząsteczek:

.

To równanie nazywa się podstawowe równanie MKT .

Prawo równomiernego rozkładu energii w stopniach swobody .

Podstawowe pojęcia termodynamiki.

W przeciwieństwie do MCT termodynamika bada makroskopowe właściwości ciał i zjawisk naturalnych, nie interesując się ich obrazem mikroskopowym. Bez wchodzenia w rozważania o atomach i cząsteczkach, bez wchodzenia w mikroskopowe badanie procesów, termodynamika pozwala na wyciągnięcie szeregu wniosków na temat ich występowania.

Termodynamika opiera się na kilku podstawowych prawach (zwanych zasadami termodynamiki), ustalonych na podstawie uogólnienia dużej liczby faktów eksperymentalnych.

Podchodząc do rozważań nad zmianami stanu materii z różnych punktów widzenia, termodynamika i MCT uzupełniają się, tworząc w zasadzie jedną całość.

Termodynamika- dział fizyki zajmujący się badaniem ogólnych właściwości układów makroskopowych znajdujących się w stanie równowagi termodynamicznej oraz procesów przejść pomiędzy tymi stanami.

Metoda termodynamiczna opiera się na wprowadzeniu pojęcia energii i rozważa procesy z energetycznego punktu widzenia, to znaczy w oparciu o prawo zachowania energii i jej przemiany z jednego rodzaju na drugi.

Układ termodynamiczny- zespół ciał mogących wymieniać energię między sobą oraz ze środowiskiem zewnętrznym.

Do opisu układu termodynamicznego wprowadza się wielkości fizyczne, które nazywane są parametrami termodynamicznymi lub parametrami stanu układu: p, V, T.

Nazywa się wielkości fizyczne charakteryzujące stan układu termodynamicznego parametry termodynamiczne.

Ciśnienie jest wielkością fizyczną liczbowo równą sile działającej na jednostkę powierzchni ciała w kierunku normalnej do tej powierzchni: , .

Normalne ciśnienie atmosferyczne wynosi 1 atm = 10 5 Pa.

Temperatura absolutna- miara średniej energii kinetycznej cząsteczek.

.

Stany, w których znajduje się układ termodynamiczny, mogą być różne.

Jeżeli jeden z parametrów w różnych punktach układu nie jest taki sam i zmienia się w czasie, wówczas taki stan układu nazywa się brak równowagi.

Jeżeli wszystkie parametry termodynamiczne pozostają stałe we wszystkich punktach układu przez dowolnie długi czas, wówczas taki stan nazywa się równowaga lub stan równowagi termodynamicznej.

Każdy układ zamknięty po pewnym czasie samoistnie przechodzi w stan równowagi.

Każdą zmianę stanu układu związaną ze zmianą przynajmniej jednego z jego parametrów nazywa się proces termodynamiczny. Proces, w którym każdy kolejny stan różni się nieskończenie nieznacznie od poprzedniego, tj. reprezentuje ciąg stanów równowagi, zwany równowagą.

Jest oczywiste, że wszystkie procesy równowagowe przebiegają nieskończenie wolno.

Proces równowagi można przeprowadzić w odwrotnym kierunku, a układ będzie przechodził przez te same stany, co podczas procesu naprzód, ale w odwrotnej kolejności. Dlatego nazywa się procesy równowagi odwracalny.

Nazywa się proces, w którym system po serii zmian powraca do stanu pierwotnego proces okrężny Lub cykl.

Wszystkie ilościowe wnioski z termodynamiki mają ścisłe zastosowanie tylko do stanów równowagi i procesów odwracalnych.

Liczba stopni swobody cząsteczki. Prawo równomiernego rozkładu energii w stopniach swobody.

Liczba stopni swobody– liczba niezależnych współrzędnych, które całkowicie określają położenie układu w przestrzeni. Monatomową cząsteczkę gazu można uznać za punkt materialny o trzech stopniach swobody ruchu translacyjnego.

Dwuatomowa cząsteczka gazu to zbiór dwóch punktów materialnych (atomów) sztywno połączonych nieodkształcalnym wiązaniem; oprócz trzech stopni swobody ruchu translacyjnego posiada jeszcze dwa stopnie swobody ruchu obrotowego (rys. 1).

Cząsteczki trój- i wieloatomowe mają 3+3=6 stopni swobody (ryc. 1).

Naturalnie nie ma sztywnego połączenia między atomami. Dlatego też w przypadku cząsteczek rzeczywistych należy uwzględnić także stopnie swobody ruchu wibracyjnego (z wyjątkiem jednoatomowych).

Jak wykazano, średnia energia kinetyczna ruchu translacyjnego cząsteczki jest równa

Liczba stopni swobody to najmniejsza liczba niezależnych współrzędnych, które należy wprowadzić, aby określić położenie ciała w przestrzeni. – liczba stopni swobody.

Rozważmy gaz jednoatomowy. Cząsteczkę takiego gazu można uznać za punkt materialny, położenie punktu materialnego
(ryc. 11.1) w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne.

Cząsteczka może poruszać się w trzech kierunkach (ryc. 11.2).

W związku z tym ma trzy translacyjne stopnie swobody.

Cząsteczka jest punktem materialnym.

Energia ruchu obrotowego
, ponieważ moment bezwładności punktu materialnego względem osi przechodzącej przez ten punkt wynosi zero

W przypadku jednoatomowej cząsteczki gazu liczba stopni swobody wynosi
.

Rozważmy gaz dwuatomowy. W cząsteczce dwuatomowej każdy atom jest traktowany jako punkt materialny i uważa się, że atomy są ze sobą sztywno połączone; jest to model dwuatomowej cząsteczki dwuatomowej z hantlami. Dwuatomowa ściśle związana cząsteczka(zbiór dwóch punktów materialnych połączonych nieodkształcalnym połączeniem), rys. 11.3.

Położenie środka masy cząsteczki określają trzy współrzędne (ryc. 11.4) są to trzy stopnie swobody, które określają ruch translacyjny cząsteczki. Ale cząsteczka może również wykonywać ruchy obrotowe wokół swoich osi
I
, determinują to jeszcze dwa stopnie swobody rotacja cząsteczek. Obrót cząsteczki wokół osi
niemożliwe, ponieważ punkty materialne nie mogą obracać się wokół osi przechodzącej przez te punkty.

W przypadku dwuatomowej cząsteczki gazu liczba stopni swobody wynosi
.

Rozważmy gaz trójatomowy. Model cząsteczki to trzy atomy (punkty materialne), sztywno ze sobą połączone (ryc. 11.5).

Cząsteczka trójatomowa jest cząsteczką ściśle związaną.

W przypadku trójatomowej cząsteczki gazu liczba stopni swobody wynosi
.

W przypadku cząsteczki wieloatomowej liczba stopni swobody
.

W przypadku rzeczywistych cząsteczek, które nie mają sztywnych wiązań między atomami, należy również wziąć pod uwagę stopnie swobody ruchu wibracyjnego, wówczas liczba stopni swobody prawdziwej cząsteczki jest równa

I= I zastosuje + I obracać się + I oscylacja (11.1)

Prawo równomiernego rozkładu energii na stopniach swobody (prawo Boltzmanna)

Prawo o równomiernym rozkładzie energii według stopni swobody stwierdza, że ​​jeśli układ cząstek znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, to średnia energia kinetyczna chaotycznego ruchu cząsteczek na 1 stopień swobody translacyjne i rotacyjne ruch jest równy

Dlatego cząsteczka posiadająca stopni swobody, ma energię

, (11.2)

Gdzie – stała Boltzmanna; – temperatura bezwzględna gazu.

Energia wewnętrzna gaz doskonały jest sumą energii kinetycznych wszystkich jego cząsteczek.

Znalezienie energii wewnętrznej
jeden mol gazu doskonałego.
, Gdzie
– średnia energia kinetyczna jednej cząsteczki gazu,
– liczba Avogadro (liczba cząsteczek w jednym molu). Stała Boltzmanna
. Następnie

Jeżeli gaz ma masę
, To – liczba moli, gdzie jest masą mola, a energię wewnętrzną gazu wyraża się wzorem

. (11.3)

Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury gazu. Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego jest zdeterminowana zmianą temperatury i nie zależy od procesu, w którym ta zmiana nastąpiła.

Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego

, (11.4)

Gdzie
– zmiana temperatury.

Prawo równomiernego rozkładu energii dotyczy ruchu wibracyjnego atomów w cząsteczce. Wibracyjny stopień swobody uwzględnia nie tylko energię kinetyczną, ale także energię potencjalną, a średnia wartość energii kinetycznej na jeden stopień jest równa średniej wartości energii potencjalnej na jeden stopień swobody i jest równa

Dlatego też, jeśli cząsteczka ma wiele stopni swobody I= I zastosuje + I obróć + I drgań, to średnia energia całkowita cząsteczki: i energię wewnętrzną masy gazu
:

. (11.5)

"

FIZYCZNE PODSTAWY TERMODYNAMIKI

1. Pierwsza zasada termodynamiki

§1. Energia wewnętrzna

Każdy układ termodynamiczny w dowolnym stanie ma energię, którą nazywamy energią całkowitą. Całkowita energia układu składa się z energii kinetycznej ruchu układu jako całości, energii potencjalnej układu jako całości oraz energii wewnętrznej.

Energia wewnętrzna układu reprezentuje sumę wszystkich rodzajów chaotycznego (termicznego) ruchu cząsteczek: energię potencjalną z ruchów wewnątrzatomowych i wewnątrzjądrowych. Energia wewnętrzna jest funkcją stanu gazu. Dla danego stanu gazu energia wewnętrzna jest określona jednoznacznie, czyli jest to specyficzna funkcja.

Podczas przejścia z jednego stanu do drugiego zmienia się energia wewnętrzna układu. Ale jednocześnie energia wewnętrzna w nowym stanie nie zależy od procesu, w wyniku którego układ przeszedł do tego stanu.

§2. Ogrzewaj i pracuj

Istnieją dwa różne sposoby zmiany energii wewnętrznej układu termodynamicznego. Energia wewnętrzna układu może się zmieniać w wyniku wykonanej pracy oraz w wyniku przekazania ciepła do układu. Praca jest miarą zmiany energii mechanicznej układu. Podczas wykonywania pracy układ lub poszczególne części makroskopowe poruszają się względem siebie. Przykładowo wpychając tłok do cylindra zawierającego gaz, sprężamy gaz, w wyniku czego wzrasta jego temperatura, czyli tzw. zmienia się energia wewnętrzna gazu.

Energia wewnętrzna może się także zmieniać w wyniku wymiany ciepła, tj. oddając trochę ciepła gazowiQ.

Różnica między ciepłem a pracą polega na tym, że ciepło przekazywane jest w wyniku szeregu mikroskopijnych procesów, podczas których energia kinetyczna cząsteczek ciała cieplejszego podczas zderzeń jest przekazywana cząsteczkom ciała mniej nagrzanego.

Cechą wspólną ciepła i pracy jest to, że są one funkcjami procesu, tzn. możemy mówić o ilości ciepła i pracy przy przejściu układu ze stanu pierwszego do stanu drugiego. Ciepło i ciepło nie są funkcją stanu, w przeciwieństwie do energii wewnętrznej. Nie można powiedzieć, ile wynosi praca i ciepło gazu w stanie 1, ale można mówić o energii wewnętrznej w stanie 1.

§3Ipoczątek termodynamiki

Załóżmy, że pewien układ (gaz zamknięty w cylindrze pod tłokiem), posiadający energię wewnętrzną, otrzymał pewną ilość ciepłaQ, przechodząc w nowy stan, charakteryzujący się energią wewnętrznąU 2 , wykonał pracę A ponad otoczeniem zewnętrznym, czyli przed siłami zewnętrznymi. Ilość ciepła uważa się za dodatnią, gdy jest ona dostarczana do układu, a ujemną, gdy jest pobierana z układu. Praca jest dodatnia, gdy jest wykonywana przez gaz wbrew siłom zewnętrznym, a ujemna, gdy jest wykonywana nad gazem.

Ipoczątek termodynamiki : Ilość ciepła (Δ Q ), przekazana układowi, służy do zwiększenia energii wewnętrznej układu i wykonania przez układ pracy (A) wbrew siłom zewnętrznym.

Nagrywać Ipoczątek termodynamiki w postaci różniczkowej

du- nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej układu

Praca podstawowa,- nieskończenie mała ilość ciepła.

Jeśli układ okresowo powraca do stanu pierwotnego, wówczas zmiana jego energii wewnętrznej wynosi zero. Następnie

czyli perpetuum mobileIrodzaju, okresowo pracującego silnika, który wykonałby więcej pracy, niż energia przekazana mu z zewnątrz, jest niemożliwe (jedno ze sformułowańIpoczątek termodynamiki).

§2 Liczba stopni swobody cząsteczki. Ustawa o mundurze

rozkład energii ze względu na stopnie swobody cząsteczki

Liczba stopni swobody: układ mechaniczny to liczba niezależnych wielkości, za pomocą których można określić położenie układu. Gaz jednoatomowy ma trzy translacyjne stopnie swobodyja = 3, gdyż do opisania położenia takiego gazu w przestrzeni potrzebne są trzy współrzędne (x, y, z).

Twardy krawatzwane wiązaniem, w którym odległość między atomami się nie zmienia. Cząsteczki dwuatomowe ze sztywnym wiązaniem (N 2 , O 2 , N 2) mają 3 translacyjne stopnie swobody i 2 obrotowe stopnie swobody:I= Iszybko + Iwr=3 + 2=5.

Translacyjne stopnie swobody są związane z ruchem cząsteczki jako całości w przestrzeni, obrotowe - z obrotem cząsteczki jako całości. Obrót względnych osi współrzędnychX I z pod kątem doprowadzi do zmiany położenia cząsteczek w przestrzeni podczas obrotu wokół osi Na cząsteczka nie zmienia swojej pozycji, a zatem współrzędnej φ yw tym przypadku nie jest potrzebne. Cząsteczka trójatomowa z wiązaniem sztywnym ma 6 stopni swobody

I= Iszybko + Iwr=3 + 3=6

Jeśli wiązanie między atomami nie jest sztywne, to wibracyjne Z stopnie swobody. Dla cząsteczki nielinioweji policz . = 3 N - 6 , Gdzie N- liczba atomów w cząsteczce.

Niezależnie od całkowitej liczby stopni swobody cząsteczek, 3 stopnie swobody są zawsze translacyjne. Żaden ze stopni translacji nie ma przewagi nad pozostałymi, zatem każdy z nich odpowiada średnio za tę samą energię, równą 1/3 wartości

Boltzmann ustalił prawo, zgodnie z którym dla układu statystycznego (czyli układu, w którym jest duża liczba cząsteczek), będącego w stanie równowagi termodynamicznej, dla każdego translacyjnego i rotacyjnego stopnia swobody przypada średnia kinematyka energia równa 1/2 kT , a dla każdego wibracyjnego stopnia swobody - średnio energia równa kT . Wibracyjny stopień swobody „ma” dwukrotnie większą energię, ponieważ uwzględnia nie tylko energię kinetyczną (jak w przypadku ruchu postępowego i obrotowego), ale także energię potencjalną, aa zatem średnia energia cząsteczki

Cząsteczki gazu doskonałego nie oddziałują ze sobą i dlatego nie mają energii potencjalnej. Dlatego cała energia cząsteczek gazu doskonałego składa się wyłącznie z energii kinetycznej ruchów translacyjnych i obrotowych. Średnią energię kinetyczną ruchu translacyjnego cząsteczki wyznaczyliśmy w poprzednim akapicie [wzór (17)]. Aby uwzględnić średnią energię kinetyczną ruchu obrotowego cząsteczki, należy wprowadzić pod uwagę pojęcie liczby stopni swobody ciała.

Liczba stopni swobody ciała to liczba niezależnych współrzędnych określających położenie ciał w przestrzeni.

Wyjaśnijmy tę definicję. Jeżeli ciało porusza się w przestrzeni całkowicie dowolnie, to ruch ten zawsze może składać się z sześciu jednoczesnych, niezależnych ruchów: trzech translacyjnych (wzdłuż trzech osi prostokątnego układu współrzędnych) i trzech obrotowych (wokół trzech wzajemnie prostopadłych osi przechodzących przez środek ciężkości układu współrzędnych). ciało) (ryc. 75 ). Innymi słowy, położenie ciała w przestrzeni wyznacza w tym przypadku sześć niezależnych współrzędnych: trzy liniowe i trzy kątowe, zatem zgodnie z definicją liczba stopni swobody ciała dowolnie poruszającego się w przestrzeni wynosi sześć ( trzy translacyjne i trzy obrotowe stopnie swobody). Jeżeli swoboda ruchu ciała jest ograniczona, to jego liczba stopni swobody jest mniejsza niż sześć. Przykładowo ciało porusza się tylko po płaszczyźnie, mając jednocześnie możliwość dowolnego obrotu (tocząca się kula). Wówczas liczba jego stopni swobody wynosi pięć (dwa translacyjne i trzy obrotowe). Wagon kolejowy ma jeden stopień swobody (translacyjny), gdyż porusza się wyłącznie po linii. Koło wózka posiada dwa stopnie swobody: translacyjny (wraz z wózkiem) i obrotowy (wokół osi poziomej).

Wróćmy teraz do zagadnienia energii kinetycznej cząsteczki gazu. Ze względu na całkowitą losowość ruchu cząsteczek, wszystkie rodzaje ich ruchów (zarówno translacyjne, jak i obrotowe) są równie możliwe (równie prawdopodobne). Zatem na każdy stopień swobody cząsteczki przypada średnio taka sama ilość energii (twierdzenie Boltzmanna o równomiernym rozkładzie energii na stopniach swobody).

Ponieważ cząsteczki poruszają się całkowicie losowo, musiałyby mieć sześć stopni swobody. Jednak tutaj musimy wziąć pod uwagę następującą okoliczność.

Cząsteczkę gazu jednoatomowego (na przykład He) można przedstawić jako punkt materialny, którego obrót wokół własnych osi nie zmienia jego położenia w przestrzeni. Oznacza to, że do określenia położenia cząsteczki jednoatomowej wystarczy podać jedynie jej współrzędne liniowe. Dlatego cząsteczce jednoatomowej należy przypisać liczbę stopni swobody równą trzy (translacyjną). Z fizycznego punktu widzenia okoliczność tę można wyjaśnić w następujący sposób. Energia kinetyczna ruchu obrotowego ciała (patrz § 23) jest równa

gdzie jest prędkością kątową obrotu, I jest momentem bezwładności ciała. Ze względów materialnych

gdzie jest masa punktu materialnego, jego odległość od osi obrotu. Jeśli punkt materialny obraca się wokół własnej osi, to jednak w przypadku cząsteczki jednoatomowej ruch obrotowy (obrotowe stopnie swobody) odpowiada za nieskończenie małą energię, którą można pominąć. Rygorystyczny dowód tego stanowiska jest możliwy jedynie na gruncie mechaniki kwantowej.

Dwuatomową cząsteczkę gazu (na przykład ) można przedstawić jako zbiór dwóch punktów materialnych - atomów, sztywno połączonych ze sobą wiązaniami chemicznymi (ryc. 76, a). Obrót takiej cząsteczki wokół osi przechodzącej przez oba atomy nie powoduje zmiany położenia cząsteczki w przestrzeni. Z fizycznego punktu widzenia energia związana z obrotem cząsteczki wokół osi przechodzącej przez atomy jest bliska zeru. Dlatego cząsteczce dwuatomowej należy przypisać pięć stopni swobody (trzy translacyjne i dwa rotacyjne).

Jeśli chodzi o cząsteczkę trójatomową (ryc. 76, b), ma ona oczywiście wszystkie sześć stopni swobody (trzy translacyjne i trzy rotacyjne). Inne cząsteczki wieloatomowe (tetraatomowe, pentaatomowe itp.) mają tę samą liczbę stopni swobody.

Aby obliczyć średnią energię kinetyczną na jeden stopień swobody cząsteczki, korzystamy ze wzoru (17):

Ponieważ energię tę otrzymano dla cząsteczki jednoatomowej (jako punktu materialnego) posiadającej trzy stopnie swobody, to na jeden stopień swobody cząsteczki przypada energia

Wtedy, zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem Boltzmanna, cząsteczka posiadająca stopnie swobody będzie miała całkowitą energię kinetyczną

W związku z tym całkowita energia kinetyczna cząsteczki gazu jest proporcjonalna do jej temperatury bezwzględnej i zależy tylko od niej.

Ze wzoru (19) wynika fizyczne znaczenie temperatury zera absolutnego: zgodnie z wolą, tj. w temperaturze zera absolutnego, ruch cząsteczek gazu zatrzymuje się.

Zgodnie ze wzorem (19) cząsteczka jednoatomowa ma energię całkowitą

cząsteczka dwuatomowa ma energię całkowitą

cząsteczki trójatomowe i wieloatomowe mają energię całkowitą

Wówczas energia wewnętrzna pewnej masy gazu jest równa iloczynowi liczby cząsteczek zawartych w tej masie i całkowitej energii kinetycznej jednej cząsteczki:

Ponieważ dla mola gazu otrzymujemy energię wewnętrzną mola (biorąc pod uwagę, że