Równanie płaszczyzny prostopadłej do zadanego wektora. Linia prosta

Artykuł ten daje wyobrażenie jak utworzyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej prostopadłej do danej prostej. Przeanalizujmy podany algorytm na przykładzie rozwiązywania typowych problemów.

Znalezienie równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni prostopadły do ​​danej prostej

Niech będzie w niej dana przestrzeń trójwymiarowa i prostokątny układ współrzędnych Oxyz. Podano także punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), prostą a i płaszczyznę α przechodzącą przez punkt M 1 prostopadłą do prostej a. Należy zapisać równanie płaszczyzny α.

Zanim zaczniemy rozwiązywać to zadanie, przypomnijmy sobie twierdzenie o geometrii z programu nauczania dla klas 10-11, które mówi:

Definicja 1

Przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej przechodzi pojedyncza płaszczyzna prostopadła do danej prostej.

Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć równanie tej pojedynczej płaszczyzny przechodzącej przez punkt początkowy i prostopadłej do danej prostej.

Ogólne równanie płaszczyzny można zapisać, jeśli znane są współrzędne punktu należącego do tej płaszczyzny oraz współrzędne wektora normalnego tej płaszczyzny.

Warunki zadania podają nam współrzędne x 1, y 1, z 1 punktu M 1, przez który przechodzi płaszczyzna α. Jeśli wyznaczymy współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α, będziemy mogli zapisać wymagane równanie.

Wektor normalny płaszczyzny α, ponieważ jest niezerowy i leży na prostej a, prostopadłej do płaszczyzny α, będzie dowolnym wektorem kierunkowym prostej a. Tym samym problem znalezienia współrzędnych wektora normalnego płaszczyzny α zostaje przekształcony w problem wyznaczenia współrzędnych wektora kierującego prostej a.

Wyznaczanie współrzędnych wektora kierunkowego prostej a można przeprowadzić różnymi metodami: zależy to od opcji podania prostej a w warunkach początkowych. Na przykład, jeśli linia prosta a w stwierdzeniu problemu jest dana równaniami kanonicznymi postaci

x - x 1 za x = y - y 1 za y = z - z 1 za z

lub równania parametryczne postaci:

x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ z = z 1 + za z · λ

wówczas wektor kierunkowy linii prostej będzie miał współrzędne a x, a y i a z. W przypadku, gdy prostą a reprezentują dwa punkty M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), wówczas współrzędne wektora kierunku zostaną określone jako ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicja 2

Algorytm znajdowania równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​danej prostej:

Wyznaczamy współrzędne wektora kierunku prostej a: a → = (a x, a y, a z) ;

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α definiujemy jako współrzędne wektora kierującego prostej a:

n → = (A , B , C) , gdzie A = za x , B = za y , C = za z;

Piszemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) i mającej wektor normalny n → = (A, B, C) w postaci A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Będzie to wymagane równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni i prostopadłej do danej prostej.

Otrzymane ogólne równanie płaszczyzny to: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 pozwala otrzymać równanie płaszczyzny w odcinkach lub równanie normalne płaszczyzny.

Rozwiążmy kilka przykładów, korzystając z algorytmu uzyskanego powyżej.

Przykład 1

Podano punkt M 1 (3, - 4, 5), przez który przechodzi płaszczyzna, a płaszczyzna ta jest prostopadła do linii współrzędnych O z.

Rozwiązanie

wektor kierunkowy linii współrzędnych O z będzie wektorem współrzędnych k ⇀ = (0, 0, 1). Dlatego wektor normalny płaszczyzny ma współrzędne (0, 0, 1). Zapiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt M 1 (3, - 4, 5), którego wektor normalny ma współrzędne (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odpowiedź: z – 5 = 0 .

Rozważmy inny sposób rozwiązania tego problemu:

Przykład 2

Płaszczyzna prostopadła do prostej O z będzie dana przez niepełne ogólne równanie płaszczyzny w postaci C z + D = 0, C ≠ 0. Wyznaczmy wartości C i D: takie, w których płaszczyzna przechodzi przez dany punkt. Podstawmy współrzędne tego punktu do równania C z + D = 0, otrzymamy: C · 5 + D = 0. Te. liczby, C i D powiązane są zależnością - D C = 5. Biorąc C = 1, otrzymujemy D = - 5.

Podstawiamy te wartości do równania C z + D = 0 i otrzymujemy wymagane równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej O z i przechodzącej przez punkt M 1 (3, - 4, 5).

Będzie to wyglądać następująco: z – 5 = 0.

Odpowiedź: z – 5 = 0 .

Przykład 3

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rozwiązanie

Na podstawie warunków zadania można argumentować, że wektor kierunkowy danej prostej można przyjąć jako wektor normalny n → danej płaszczyzny. Zatem: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Zapiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt O (0, 0, 0) i mającej wektor normalny n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Otrzymaliśmy wymagane równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek współrzędnych prostopadłych do danej prostej.

Odpowiedź:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Przykład 4

W przestrzeni trójwymiarowej dany jest prostokątny układ współrzędnych O x y z, w którym znajdują się dwa punkty A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Płaszczyzna α przechodzi przez punkt A prostopadły do ​​prostej A B. Należy utworzyć równanie płaszczyzny α w odcinkach.

Rozwiązanie

Płaszczyzna α jest prostopadła do prostej A B, wówczas wektor A B → będzie wektorem normalnym płaszczyzny α. Współrzędne tego wektora definiuje się jako różnicę pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

ZA B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ ZA B → = (1 , - 1 , 6)

Ogólne równanie płaszczyzny zostanie zapisane w następujący sposób:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz ułóżmy wymagane równanie płaszczyzny w odcinkach:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odpowiedź:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Należy również zauważyć, że istnieją zadania, których wymogiem jest napisanie równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do dwóch danych płaszczyzn. Generalnie rozwiązaniem tego problemu jest skonstruowanie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​danej prostej, gdyż dwie przecinające się płaszczyzny wyznaczają linię prostą.

Przykład 5

Dany jest prostokątny układ współrzędnych O x y z, w którym znajduje się punkt M 1 (2, 0, - 5). Podano także równania dwóch płaszczyzn 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0, które przecinają się na prostej a. Należy utworzyć równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 prostopadły do ​​prostej a.

Rozwiązanie

Wyznaczmy współrzędne wektora kierującego prostej a. Jest prostopadły zarówno do wektora normalnego n 1 → (3, 2, 0) płaszczyzny n → (1, 0, 2), jak i wektora normalnego 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 płaszczyzna.

Następnie jako wektor kierujący α → linia a bierzemy iloczyn wektorowy wektorów n 1 → i n 2 →:

za → = n 1 → × n 2 → = ja → jot → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ja → - 6 jot → - 2 k → ⇒ za → = (4 , - 6 , - 2 )

Zatem wektor n → = (4, - 6, - 2) będzie wektorem normalnym płaszczyzny prostopadłej do prostej a. Zapiszmy wymagane równanie płaszczyzny:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odpowiedź: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby można było poprowadzić pojedynczą płaszczyznę przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby punkty te nie leżały na tej samej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w ogólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M(x, y, z) leżał w tej samej płaszczyźnie z punktami M 1, M 2, M 3, konieczne jest, aby wektory były współpłaszczyznowe.

(
) = 0

Zatem,

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Równanie płaszczyzny, mając dane dwa punkty i wektor współliniowy z płaszczyzną.

Niech będą dane punkty M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) i wektor
.

Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez dane punkty M 1 i M 2 oraz dowolny punkt M (x, y, z) równoległy do ​​wektora .

Wektory
i wektor
muszą być współpłaszczyznowe, tj.

(
) = 0

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny za pomocą jednego punktu i dwóch wektorów,

współliniowy do płaszczyzny.

Niech zostaną dane dwa wektory
I
, płaszczyzny współliniowe. Następnie dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny wektory
muszą być współpłaszczyznowe.

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny przez punkt i wektor normalny .

Twierdzenie. Jeżeli punkt M jest dany w przestrzeni 0 (X 0 , j 0 , z 0 ), to równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 0 prostopadle do wektora normalnego (A, B, C) ma postać:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dowód. Dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny tworzymy wektor. Ponieważ wektor jest wektorem normalnym, to jest prostopadły do ​​płaszczyzny, a zatem prostopadły do ​​wektora
. Następnie iloczyn skalarny

= 0

W ten sposób otrzymujemy równanie płaszczyzny

Twierdzenie zostało udowodnione.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Jeżeli w równaniu ogólnym Ax + Bi + Cz + D = 0 dzielimy obie strony przez (-D)

,

wymiana
, otrzymujemy równanie płaszczyzny w odcinkach:

Liczby a, b, c to punkty przecięcia płaszczyzny odpowiednio z osiami x, y, z.

Równanie płaszczyzny w postaci wektorowej.

Gdzie

- wektor promienia aktualnego punktu M(x, y, z),

Wektor jednostkowy mający kierunek prostopadły upuszczony na płaszczyznę z początku układu współrzędnych.

,  i  to kąty utworzone przez ten wektor z osiami x, y, z.

p jest długością tej prostopadłej.

We współrzędnych równanie to wygląda następująco:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Odległość punktu od płaszczyzny.

Odległość dowolnego punktu M 0 (x 0, y 0, z 0) od płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wynosi:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4; -3; 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku układu współrzędnych na tę płaszczyznę.

Zatem A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, korzystamy ze wzoru:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) prostopadle do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0.

Wektor normalny do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0
równolegle do żądanej płaszczyzny.

Otrzymujemy:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) prostopadle do płaszczyzny X + Na + 2z – 3 = 0.

Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: A X+B y+C z+ D = 0, wektor normalny do tej płaszczyzny (A, B, C). Wektor
(1, 3, -5) należy do płaszczyzny. Podana nam płaszczyzna, prostopadła do pożądanej, ma wektor normalny (1, 1, 2). Ponieważ punkty A i B należą do obu płaszczyzn, a zatem płaszczyzny są do siebie prostopadłe

Zatem wektor normalny (11, -7, -2). Ponieważ punkt A należy do żądanej płaszczyzny, to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

W sumie otrzymujemy równanie płaszczyzny: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4, -3, 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku na tę płaszczyznę.

Znajdowanie współrzędnych wektora normalnego
= (4, -3, 12). Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Aby znaleźć współczynnik D, podstawiamy współrzędne punktu P do równania:

16 + 9 + 144 + D = 0

W sumie otrzymujemy wymagane równanie: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Przykład. Podane są współrzędne wierzchołków piramidy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Znajdź długość krawędzi A 1 A 2.

Znajdź kąt pomiędzy krawędziami A 1 A 2 i A 1 A 4.

Znajdź kąt pomiędzy krawędzią A 1 A 4 i ścianą A 1 A 2 A 3.

Najpierw znajdujemy wektor normalny do ściany A 1 A 2 A 3 jako iloczyn wektorów
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Znajdźmy kąt między wektorem normalnym a wektorem
.

-4 – 4 = -8.

Pożądany kąt  między wektorem a płaszczyzną będzie równy  = 90 0 - .

Znajdź obszar twarzy A 1 A 2 A 3.

Znajdź objętość piramidy.

Znajdź równanie płaszczyzny A 1 A 2 A 3.

Skorzystajmy ze wzoru na równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

W przypadku korzystania z wersji komputerowej „ Wyższy kurs matematyki” możesz uruchomić program, który rozwiąże powyższy przykład dla dowolnych współrzędnych wierzchołków piramidy.

Aby uruchomić program, kliknij dwukrotnie ikonę:

W otwartym oknie programu wprowadź współrzędne wierzchołków piramidy i naciśnij Enter. W ten sposób można po kolei zdobyć wszystkie punkty decyzyjne.

Uwaga: Aby uruchomić program, na komputerze musi być zainstalowany program Maple ( Waterloo Maple Inc.) w dowolnej wersji, począwszy od MapleV Release 4.

Aby otrzymać ogólne równanie płaszczyzny, przeanalizujmy płaszczyznę przechodzącą przez dany punkt.

Niech będą trzy osie współrzędnych znane nam już w przestrzeni - Wół, Oj I Oz. Przytrzymaj kartkę papieru tak, aby pozostała płaska. Płaszczyzną będzie sam arkusz i jego kontynuacja we wszystkich kierunkach.

Pozwalać P dowolną płaszczyznę w przestrzeni. Każdy wektor prostopadły do ​​niego nazywa się wektor normalny do tego samolotu. Oczywiście mówimy o wektorze niezerowym.

Jeśli znany jest jakikolwiek punkt na płaszczyźnie P i jakiś wektor normalny, to przez te dwa warunki płaszczyzna w przestrzeni jest całkowicie zdefiniowana(przez dany punkt można poprowadzić pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do zadanego wektora). Ogólne równanie płaszczyzny będzie wyglądało następująco:

Zatem warunki definiujące równanie płaszczyzny to: Aby zdobyć siebie równanie płaszczyzny, mając powyższą formę, wsiądź do samolotu P arbitralny punkt M ze zmiennymi współrzędnymi X, y, z. Punkt ten należy do płaszczyzny tylko wtedy, gdy wektor prostopadle do wektora(ryc. 1). W tym celu, zgodnie z warunkiem prostopadłości wektorów, konieczne i wystarczające jest, aby iloczyn skalarny tych wektorów był równy zeru, czyli

Wektor jest określony przez warunek. Współrzędne wektora znajdujemy za pomocą wzoru :

.

Teraz korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów , wyrażamy iloczyn skalarny w postaci współrzędnych:

Od tego momentu M(x; y; z) jest wybierany dowolnie na płaszczyźnie, to ostatnie równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie P. Za punkt N, a nie leżące na danej płaszczyźnie, tj. równość (1) zostaje naruszona.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (1) i spójrzmy na to jeszcze raz:

W tym wzorze liczby A , B I C współrzędne wektorów i liczby X0 , y0 I z0 - współrzędne punktu.

Obliczenia są bardzo proste: podstawiamy te liczby do wzoru i otrzymujemy

Mnożymy wszystko, co należy pomnożyć i dodajemy tylko liczby (które nie mają liter). Wynik:

.

Wymagane równanie płaszczyzny w tym przykładzie okazało się wyrażone ogólnym równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do zmiennych współrzędnych x, y, z dowolny punkt płaszczyzny.

Zatem równanie postaci

zwany ogólne równanie płaszczyzny .

Przykład 2. Skonstruuj w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych płaszczyznę określoną równaniem .

Rozwiązanie. Aby zbudować płaszczyznę, trzeba i wystarczy znać trzy dowolne jej punkty, które nie leżą na tej samej prostej, np. punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych.

Jak znaleźć te punkty? Aby znaleźć punkt przecięcia z osią Oz, musisz zastąpić zera X i Y w równaniu podanym w opisie problemu: X = y= 0 . Dlatego otrzymujemy z= 6. Zatem dana płaszczyzna przecina oś Oz w tym punkcie A(0; 0; 6) .

W ten sam sposób znajdujemy punkt przecięcia płaszczyzny z osią Oj. Na X = z= 0 otrzymujemy y= −3, czyli punkt B(0; −3; 0) .

I wreszcie znajdujemy punkt przecięcia naszej płaszczyzny z osią Wół. Na y = z= 0 otrzymujemy X= 2, czyli punkt C(2; 0; 0) . Na podstawie trzech punktów uzyskanych w naszym rozwiązaniu A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) i C(2; 0; 0) skonstruuj daną płaszczyznę.

Rozważmy teraz szczególne przypadki ogólnego równania płaszczyzny. Są to przypadki, gdy pewne współczynniki równania (2) stają się zerowe.

1. Kiedy D= 0 równanie definiuje płaszczyznę przechodzącą przez początek, ponieważ współrzędne punktu 0 (0; 0; 0) spełniają to równanie.

2. Kiedy A= 0 równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi Wół, ponieważ wektor normalny tej płaszczyzny jest prostopadły do ​​osi Wół(jego rzut na oś Wół równe zeru). Podobnie kiedy B= 0 samolot równolegle do osi Oj, i kiedy C= 0 samolot równolegle do osi Oz.

3. Kiedy A=D= Równanie 0 definiuje płaszczyznę przechodzącą przez oś Wół, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A=D= 0). Podobnie płaszczyzna przechodzi przez oś Oj i płaszczyzna przechodząca przez oś Oz.

4. Kiedy A=B= Równanie 0 definiuje płaszczyznę równoległą do płaszczyzny współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A= 0) i Oj (B= 0). Podobnie płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny yOz, a płaszczyzna jest płaszczyzną xOz.

5. Kiedy A=B=D= 0 równanie (lub z = 0) definiuje płaszczyznę współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​płaszczyzny xOj (A=B= 0) i przechodzi przez początek ( D= 0). Podobnie, Równ. y = 0 w przestrzeni definiuje płaszczyznę współrzędnych xOz i równanie x = 0 - płaszczyzna współrzędnych yOz.

Przykład 3. Utwórz równanie płaszczyzny P, przechodząc przez oś Oj i okres.

Rozwiązanie. Zatem samolot przechodzi przez oś Oj. Dlatego w jej równaniu y= 0 i to równanie ma postać . Aby wyznaczyć współczynniki A I C skorzystajmy z faktu, że punkt należy do płaszczyzny P .

Dlatego wśród jego współrzędnych znajdują się takie, które można podstawić do równania płaszczyzny, które już wyprowadziliśmy (). Spójrzmy jeszcze raz na współrzędne punktu:

M0 (2; −4; 3) .

Pomiędzy nimi X = 2 , z= 3 . Podstawiamy je do równania ogólnego i otrzymujemy równanie dla naszego konkretnego przypadku:

2A + 3C = 0 .

Zostaw 2 A po lewej stronie równania przesuń się o 3 C w prawą stronę i mamy

A = −1,5C .

Zastępowanie znalezionej wartości A do równania, otrzymujemy

Lub .

Jest to równanie wymagane w przykładowym warunku.

Rozwiąż samodzielnie zadanie równania płaszczyzny, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4. Zdefiniuj płaszczyznę (lub płaszczyzny, jeśli jest więcej niż jedna) w odniesieniu do osi współrzędnych lub płaszczyzn współrzędnych, jeśli płaszczyzna(y) jest dana równaniem.

Rozwiązania typowych problemów pojawiających się podczas testów znajdują się w podręczniku „Zagadnienia na płaszczyźnie: równoległość, prostopadłość, przecięcie trzech płaszczyzn w jednym punkcie”.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Jak już wspomniano, warunkiem koniecznym i wystarczającym zbudowania płaszczyzny, oprócz jednego punktu i wektora normalnego, są także trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej.

Niech zostaną dane trzy różne punkty , i , nie leżące na tej samej prostej. Ponieważ wskazane trzy punkty nie leżą na tej samej prostej, wektory nie są współliniowe, a zatem dowolny punkt na płaszczyźnie leży w tej samej płaszczyźnie z punktami, i wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , i współpłaszczyznowe, tj. wtedy i tylko kiedy mieszany produkt tych wektorów równa się zeru.

Używając wyrażenia na iloczyn mieszany we współrzędnych, otrzymujemy równanie płaszczyzny

(3)

Po ujawnieniu wyznacznika równanie to staje się równaniem postaci (2), tj. ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład 5. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej:

i określić szczególny przypadek ogólnego równania linii, jeśli taki występuje.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

Równanie płaszczyzny normalnej. Odległość punktu od płaszczyzny

Równanie normalne płaszczyzny to jej równanie zapisane w postaci