Say sistemlərinin tarixi inkişafı. Qədim say sistemləri

Say sistemlərinin inkişaf tarixi . 2

İkili say sistemləri 6

İkili arifmetika 10

Sabit və üzən nöqtəli ədədlərin təsvir formaları. 13

Sabit nöqtə nömrələrinin əlavə edilməsi. 16

Üzən nöqtəli ədədlərin əlavə edilməsi. 16

Sabit nöqtəli ədədlərin vurulması. 17

Üzən nöqtəli ədədlərin vurulması. 18

9. Birbaşa, əks və əlavə kodlar. Dəyişdirilmiş kod. 20

Say sistemlərinin inkişaf tarixi.

Hesablama, nömrələmə, natural ədədləri təmsil etmək üçün texnikalar toplusudur. İstənilən say sistemində düyün nömrələri adlanan müəyyən ədədləri təyin etmək üçün bəzi simvollardan (sözlər və ya işarələrdən) istifadə olunur, qalan ədədlər (alqoritmik) düyün nömrələrindən bəzi əməliyyatlar nəticəsində alınır. Say sistemləri əsas ədədlərin seçilməsində və alqoritmik olanların yaradılması üsullarında fərqlənir və ədədi simvollar üçün yazılı qeydlərin meydana çıxması ilə say sistemləri ədədi işarələrin təbiətinə və onların qeyd edilməsi prinsiplərinə görə fərqlənməyə başladı.

Rəqəmlərin ifadəsi üçün ən mükəmməl prinsip mövqe prinsipidir ki, ona görə eyni ədədi işarə (rəqəm) yerləşdiyi yerdən asılı olaraq müxtəlif mənalara malikdir. Belə say sistemi ona əsaslanır ki, müəyyən sayda n vahid (say sisteminin əsası) ikinci rəqəmin bir vahidinə, ikinci rəqəmin n vahidi üçüncü rəqəmin bir vahidinə birləşdirilir və s. Say sisteminin əsası birdən böyük istənilən ədəd ola bilər. Belə sistemlərə müasir onluq say sistemi (əsas n=10 ilə) daxildir. Orada ilk on rəqəmi göstərmək üçün 0,1,...,9 rəqəmlərindən istifadə olunur.

Belə bir sistemin görünən təbiiliyinə baxmayaraq, bu, uzun tarixi inkişafın nəticəsi idi. Onluq say sisteminin yaranması barmaqlarla saymaqla bağlıdır. Başqa əsaslı say sistemləri də var idi: 5.12 (onlarla sayma), 20 (fransız dilində belə sistemin izləri qorunub saxlanılır, məsələn, quatre - vingts, yəni hərfi mənada dörd - iyirmi, 80 deməkdir), 40, 60 və s. Kompüterlər hesablayarkən tez-tez 2 əsaslı say sistemindən istifadə edirlər.

İbtidai xalqların inkişaf etmiş say sistemi yox idi. Hələ 19-cu əsrdə Avstraliya və Polineziyadakı bir çox qəbilə yalnız iki rəqəmə malik idi: bir və iki; onların birləşmələri rəqəmləri meydana gətirdi: 3 - iki - bir, 4 - iki - iki, 5 - iki - iki - bir və 6 - iki - iki - iki. 6-dan yuxarı olan bütün rəqəmlər fərdiləşdirilmədən "çox" haqqında danışıldı. Sosial və iqtisadi həyatın inkişafı ilə obyektlərin getdikcə daha böyük kolleksiyalarını təyin etməyə imkan verən say sistemlərinin yaradılması zərurəti yarandı. Ən qədim say sistemlərindən biri eramızdan əvvəl 2500-3000-ci illərdə yaranmış Misir heroqlif nömrələməsidir. e. Bu, nömrələri qeyd etmək üçün yalnız toplama prinsipindən istifadə edilən onluq qeyri-mövqeli say sistemi idi (bitişik rəqəmlərlə ifadə olunan rəqəmlər toplanır). Bölmə üçün xüsusi nişanlar var idi ▯ , on ⋓, yüz və digər onluq yerlərə qədər. 343 rəqəmi belə yazılmışdır:

Oxşar say sistemləri Yunan Herodian, Roma, Süryani və s.

Roma rəqəmləri, onluq yerlər üçün xüsusi simvolların istifadəsinə əsaslanan nömrələri təyin etmək üçün işarə sisteminin ənənəvi adıdır:

1 5 10 50 100 500 1000

Eramızdan əvvəl 500-cü illərdə yaranmışdır. e. etrusklar arasında və Qədim Romada istifadə edilmişdir; bəzən bu gün də istifadə olunur. Bu say sistemində natural ədədlər bu rəqəmlərin təkrarlanması ilə yazılır. Üstəlik, əgər daha böyük rəqəm daha kiçikin qarşısındadırsa, onda onlar əlavə olunur (toplama prinsipi), lakin daha kiçik bir böyük olanın qarşısındadırsa, daha kiçik olan böyükdən çıxarılır (əgər çıxma prinsipi). Son qayda yalnız eyni nömrəni dörd dəfə təkrarlamamaq üçün tətbiq olunur. Məsələn, 9, 90, 900-ü göstərmək üçün I, X, C müvafiq olaraq X, C, M-dən əvvəl və ya 4, 40, 400-ü göstərmək üçün V, L, D-dən əvvəl yerləşdirilir.

Məsələn, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (IIII yerinə), XIX=10+10-1=19 (XVIII əvəzinə), XL=50-10=40 (XXXX yerinə) ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 və s.. Bu sistemdə çoxrəqəmli ədədlər üzərində hesab əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi çox əlverişsizdir.

Daha təkmil say sistemləri əlifbalıdır: ion, slavyan, ivrit, ərəb, həmçinin gürcü və erməni. İlk əlifba say sistemi eramızdan əvvəl 5-ci əsrin ortalarında Kiçik Asiyada yunan koloniyalarında yaranan İon dili idi. e. Əlifba say sistemlərində 1-dən 9-a qədər olan rəqəmlər, eləcə də bütün onlarla və yüzlər adətən əlifbanın ardıcıl hərfləri ilə təyin olunur (rəqəmlərin yazılarını sözlərdən fərqləndirmək üçün üzərində tire qoyulur). İon sistemində 343 rəqəmi belə yazılmışdır:
(Burada - 300, - 40, - 3).

Slavyan əlifbasının rəqəmsal mənası. Beləliklə, kiril üçün:

Hərflərin üstündəki rəqəmləri göstərmək üçün xüsusi işarə başlıqdır (bəzən hər hərfin üstündə, bəzən yalnız birincinin üstündə və ya bütün rəqəmin üstündə). onluq yerlər (lakin bəzən 11-dən 19-a qədər olan ədədlər üçün ondan əvvəl yazılırdı). Minləri təyin etmək üçün onların sayının qarşısında xüsusi işarə qoyulmuşdu (aşağı solda). Misal üçün:

Daha yüksək onluq yerləri təyin etmək və adlandırmaq üçün (daha çox
) iki sistem var idi: “kiçik say” və “böyük say”; sonuncu sistemə qədər rəqəmlər daxil idi
və ya hətta
(“İnsan ağlı bundan artığını dərk edə bilməz”):

Slavyan nömrələri 18-ci əsrə qədər Rusiyada əsas rəqəmsal təyinat idi.

Əlifba sıralı say sistemlərində ədədlər əvvəlkilərdən xeyli qısa yazılır; bundan əlavə əlifba sırası ilə yazılan ədədlər üzərində hesab əməliyyatlarını yerinə yetirmək xeyli asandır. Bununla belə, əlifba say sistemlərində ixtiyari böyük rəqəmlər yaza bilməzsiniz. Yunanlar İon nömrələməsini genişləndirdilər: 1000, 2000,...,9000 rəqəmlərini 1,2,...,9 ilə eyni hərflərlə qeyd etdilər, lakin sol altda bir vuruş qoydular: belə ki,
1000 üçün dayandı, - 2000 və s. 10.000-ə yeni işarə təqdim edildi. Buna baxmayaraq, İon say sistemi Ellinizm dövrünün astronomik hesablamaları üçün yararsız olduğu ortaya çıxdı və o dövrün yunan astronomları əlifba sistemini mövqe prinsipi əsasında bizə məlum olan ilk say sistemi olan Babil sexagesimal ilə birləşdirməyə başladılar. Təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə yaranan qədim babillilərin say sistemində. e. bütün nömrələr iki işarədən istifadə etməklə yazılmışdır: (bir üçün) və (on üçün). 60-a qədər olan ədədlər toplama prinsipindən istifadə edərək bu iki işarənin birləşməsi kimi yazılırdı. 60 rəqəmi ən yüksək kateqoriyalı bir vahid olaraq yenidən işarə ilə təyin edildi. 60-dan 3600-ə qədər olan ədədləri qeyd etmək üçün yenidən toplama prinsipindən istifadə edilmiş və 36.000 rəqəmi bir işarəsi ilə eyni işarə ilə işarələnmiş və s. Bu sistemdə 343 = 5*60+4*10+3 rəqəmi belə yazılmışdır. belədir:

Ancaq çatışmayan rəqəmləri qeyd etmək üçün istifadə edilə bilən sıfır işarəsi olmadığı üçün bu say sistemində rəqəmlərin qeyd edilməsi birmənalı deyildi. Babil say sisteminin özəlliyi ondan ibarət idi ki, rəqəmlərin mütləq qiyməti qeyri-müəyyən olaraq qalırdı.

Mövqe prinsipinə əsaslanan başqa bir say sistemi eramızın 1-ci minilliyinin ortalarında Yukatan yarımadasının (Mərkəzi Amerika) sakinləri olan Mayya hinduları arasında yaranmışdır. e. Mayyalıların iki say sistemi var idi: biri Misiri xatırladan gündəlik həyatda istifadə olunurdu, digəri isə təqvim hesablamalarında əsası 20 və sıfır üçün xüsusi işarəsi olan mövqeli sistemdən istifadə olunurdu. Müasir sistemimizdə olduğu kimi, bu sistemdə də qeyd mütləq idi.

Müasir onluq mövqe say sistemi 5-ci əsrdən gec olmayaraq yaranan nömrələmə əsasında yaranmışdır. Hindistanda. Bundan əvvəl Hindistanda təkcə toplama prinsipindən deyil, həm də vurma prinsipindən istifadə edən say sistemləri var idi (bəzi rəqəmin vahidi soldakı rəqəmə vurulur). Qədim Çin say sistemi və bəzi başqaları oxşar şəkildə qurulmuşdur. Məsələn, şərti olaraq 3 rəqəmini III simvolu, 10 rəqəmini isə X simvolu kimi təyin etsək, onda 30 rəqəmi IIIX (üç onluq) kimi yazılacaqdır. Belə say sistemləri onluq mövqe nömrələməsinin yaradılmasına yanaşma kimi xidmət edə bilər.

Onluq mövqe sistemi prinsipcə ixtiyari böyük ədədləri yazmağa imkan verir. Orada rəqəmlərin yazılması yığcamdır və hesab əməliyyatlarını yerinə yetirmək üçün əlverişlidir. Buna görə də, yarandıqdan qısa müddət sonra onluq mövqeli say sistemi Hindistandan Qərbə və Şərqə yayılmağa başlayır. 9-cu əsrdə ərəb dilində bu say sistemini təyin edən əlyazmalar meydana çıxdı; 10-cu əsrdə onluq mövqe nömrələmə İspaniyaya çatdı, 12-ci əsrin əvvəllərində digər Avropa ölkələrində ortaya çıxdı. Yeni say sistemi ərəb adlandırıldı, çünki Avropada bu sistemə ilk dəfə ərəb dilindən latın tərcümələri vasitəsilə daxil edilmişdir. Yalnız 16-cı əsrdə yeni nömrələmə elmdə və gündəlik həyatda geniş yayıldı. Rusiyada 17-ci əsrdə və 18-ci əsrin əvvəllərində yayılmağa başlayır. əlifba sırasını əvəz edir. Onluq kəsrlərin tətbiqi ilə onluq mövqe say sistemi bütün həqiqi ədədlərin yazılması üçün universal vasitəyə çevrildi.

Mühazirə 1. Say sistemləri

1. Say sistemlərinin yaranma tarixi.

2. Mövqe və qeyri-mövqe say sistemləri.

3. Onluq say sistemi, onda ədədlərin yazılması.

4. Rütbə

İnsan daim rəqəmlərlə məşğul olmalıdır, ona görə də hər hansı rəqəmi düzgün adlandırıb yazmağı, rəqəmlər üzərində əməliyyatları yerinə yetirməyi bacarmalısan. Bir qayda olaraq, hər kəs bunun öhdəsindən uğurla gəlir. Hal-hazırda hər yerdə istifadə olunan və onluq say sistemi adlanan ədədlərin yazılması üsulu burada kömək edir.

Bu sistemin öyrənilməsi ibtidai siniflərdən başlayır və təbii ki, müəllimə bu sahədə müəyyən biliklər lazımdır. O, ədədlərin yazılmasının müxtəlif üsullarını, arifmetik əməliyyatların alqoritmlərini və onların əsaslandırılmasını bilməlidir. Bu mühazirə materialı minimumu təmin edir, onsuz ibtidai məktəb şagirdlərinə ədədlərin yazılmasını və onlar üzərində əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrətmək üçün müxtəlif metodik yanaşmaları başa düşmək mümkün deyil.

Say sistemlərinin yaranma tarixi.

Say anlayışı qədim zamanlarda yaranmışdır. Daha sonra nömrələrin adlandırılması və yazılması ehtiyacı yarandı. Rəqəmlərin adlandırılması, yazılması və onlar üzərində əməliyyatların yerinə yetirilməsi üçün dil deyilir say sistemi.

Natural ədədlərin yazılması üçün ən sadə sistem yalnız bir rəqəm tələb edir, məsələn, bir rəqəmi təmsil edən “çubuq” (yaxud ibtidai insan kimi ağacdakı çentik və ya Amerika hinduları kimi ipdəki düyün). Bu işarəni təkrarlamaqla istənilən rəqəmi yaza bilərsiniz: hər bir rəqəm n sadəcə yazılmışdır n"çubuqlar". Belə say sistemində hesab əməllərini yerinə yetirmək rahatdır. Ancaq bu qeyd üsulu çox qənaətsizdir və çoxlu sayda qaçılmaz olaraq hesablamada səhvlərə səbəb olur.

Buna görə də, zaman keçdikcə nömrələrin yazılmasının başqa, daha qənaətcil və rahat yolları yarandı. Gəlin onlardan bəzilərinə nəzər salaq.

Qədim Yunanıstanda sözdə çardaq nömrələnməsi. 1, 2, 3, 4 rəqəmləri tire ilə göstərildi:

5 rəqəmi G işarəsi ilə yazılmışdır (“pente” sözü ilə başlayan “pi” hərfinin qədim forması - beş). 6, 7, 8, 9 rəqəmləri aşağıdakı kimi təyin edildi:

10 rəqəmi Δ ilə işarələnmişdir (“deka” sözünün ilk hərfi ondur). 100, 1000 və 10.000 rəqəmləri H, X, M - müvafiq sözlərin başlanğıc hərfləri ilə təyin olundu.

Digər nömrələr bu işarələrin müxtəlif kombinasiyaları ilə yazılmışdır.

Eramızdan əvvəl III əsrdə çardaq nömrələməsi sözdə olanlarla əvəz olundu İon sistemi. Orada 1-dən 9-a qədər rəqəmlər əlifbanın ilk doqquz hərfi ilə göstərilir: α (alfa), β (beta), γ (qamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (Heyrət! Vay) ζ (zeta),
η (eta), (teta).

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 rəqəmləri - aşağıdakı doqquz hərfdə: i(incə),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (çılpaq), ξ (xi), ο (omikron), π (pi), ilə(polis).

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 rəqəmləri yunan əlifbasının son doqquz hərfidir.

Qədim dövrlərdə yəhudilər, ərəblər və Yaxın Şərqin bir çox başqa xalqlarının əlifba sırası qədim yunan əlifbasına bənzəyirdi. İlk dəfə hansı insanlar arasında göründüyü məlum deyil.

Qədim Romada“açar” rəqəmləri 1, 5, 10, 50, 100, 500 və 1000 idi. Onlar müvafiq olaraq I, V, X, L, C, D və M hərfləri ilə təyin olunurdu.

Bütün tam ədədlər (5000-ə qədər) yuxarıdakı rəqəmlərin təkrarlanması ilə yazılmışdır. Eyni zamanda, daha böyük bir ədəd daha kiçik olanın qarşısındadırsa, o zaman əlavə olunur, lakin kiçik olan daha böyük olanın qarşısındadırsa (bu halda təkrarlana bilməz), onda kiçik olanı çıxarılır. daha böyük olandan: VI = 6, yəni. 5 + 1; IV = 4, yəni. 5 – 1;
XL = 40, yəni. 50 – 10; LX = 60, yəni. 50 + 10. Eyni nömrə üç dəfədən çox olmayaraq yerləşdirilir: LXX = 70, LXXX = 80, 90 rəqəmi XC (LXXXX deyil) yazılır.

Məsələn: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Bu yazıda çoxrəqəmli ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatların yerinə yetirilməsi çox çətindir. Bununla belə, Roma nömrələməsi bu günə qədər salamat qalmışdır. Yubileyləri, konfransların adlarını, kitablarda fəsilləri və s. qeyd etmək üçün istifadə olunur.

Qədim dövrlərdə rus dilində rəqəmlər hərflərlə təyin olunurdu. İşarənin hərf deyil, rəqəm olduğunu göstərmək üçün onların üstündə “titlo” adlı xüsusi işarə qoyulmuşdur. İlk doqquz rəqəm belə yazılmışdır:

Onlar aşağıdakı kimi təyin olunur:

Yüzlər aşağıdakı kimi təyin olunur:

Minlərlə ilk doqquz rəqəm kimi “başlıqları” olan eyni hərflərlə təyin olundu, lakin onların solunda “≠” işarəsi var idi: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

On minlərləçağırırdılar" qaranlıq", onlar vahid işarələrini dövrə vuraraq təyin edildi:

10 000, = 20 000, = 80 000.

“İnsanlara zülmət” ifadəsi buradan gəlir, yəni. çox adam var.

Yüz minlərləçağırırdılar" legionlar", onlar nöqtələrin dairələri ilə vahid işarələrini dövrələməklə təyin edildi:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Milyonlarlaçağırırdılar" leodras" Onlar şüa dairələri və ya vergüllərlə vahid işarələrini dövrələməklə təyin edildi:

1 000 000, = 2 000 000.

On milyonlarlaçağırırdılar" qarğalar"və ya" korvidlər" və onlar xaç dairələri ilə vahid işarələrini dövrələmək və ya hər iki tərəfə K hərfini qoymaqla təyin edildi:

Yüz milyonlarlaçağırırdılar" göyərtələr" "Göyərtənin" xüsusi bir təyinatı var idi - kvadrat mötərizələr məktubun üstündə və altında yerləşdirildi:

Sakinlərin heroqlifləri Qədim Babil dar şaquli və üfüqi takozlardan ibarət idi; bu iki ikona da nömrələri qeyd etmək üçün istifadə olunurdu. Bir şaquli paz bir, üfüqi isə on demək idi. Qədim Babildə onlar 60 vahiddən ibarət qruplarda sayılırdılar. Məsələn, 185 rəqəmi 3 dəfə 60 və daha 5 kimi göstərilmişdir.Belə bir rəqəm yalnız iki işarədən istifadə etməklə yazılmışdır, bunlardan biri 60-ın neçə dəfə alındığını, digəri isə neçə vahidin alındığını göstərir.

Babillilər arasında cinsi kiçik sistemin nə vaxt və necə yarandığına dair bir çox fərziyyələr var, lakin heç biri hələ sübut olunmayıb. Fərziyyələrdən biri odur ki, iki qəbilə qarışığı olub, onlardan biri altılıq sistemindən, digəri isə onluq sistemdən istifadə edirdi. Seksagesimal sistem bu iki sistem arasında kompromis kimi yaranmışdır. Başqa bir fərziyyə odur ki, babillilər ilin uzunluğunu 360 gün hesab edirdilər ki, bu da təbii olaraq 60 rəqəmi ilə əlaqələndirilir.

Seksagesimal sistem, məsələn, saatın 60 dəqiqəyə, dəqiqənin 60 saniyəyə bölünməsində və bucaqların ölçülməsi üçün oxşar sistemdə müəyyən dərəcədə bu günə qədər sağ qalmışdır: 1 dərəcə 60 dəqiqəyə bərabərdir, 1. dəqiqə 60 saniyədir.

Binar sistem Bəzi ibtidai tayfalar sayarkən qeydlərdən istifadə edirdilər; bu, qədim Çin riyaziyyatçılarına məlum idi, lakin ikili sistemi həqiqətən inkişaf etdirən və quran, onda dərin metafizik həqiqətin təcəssümünü görən böyük alman riyaziyyatçısı Leybnits idi.

İkilik say sistemi Afrika, Avstraliya və Cənubi Amerikada bəzi (yerli) mədəniyyətlər tərəfindən istifadə olunur.

İkilik say sistemində ədədləri təmsil etmək üçün yalnız iki rəqəm tələb olunur: 0 və 1. Bu səbəbdən ədədin ikili yazısını iki müxtəlif sabit vəziyyətə malik fiziki elementlərdən istifadə etməklə göstərmək asandır. Müasir elektron kompüterlərdə binar sistemin geniş yayılmasının vacib səbəblərindən biri məhz bu idi.

Bütün say sistemləri arasında ən qənaətcil olanıdır üçlü. Səmərəlilik baxımından ona ekvivalent olan ikili sistem və dördüncü sistem bu baxımdan üçlü sistemdən bir qədər aşağıdır, lakin bütün əsas mümkün sistemlərdən üstündür. Əgər onluq sistemdə 1-dən 10-a qədər rəqəmlərin yazılması üçün 90, ikilik sistemdə isə 60 müxtəlif vəziyyət tələb olunursa, üçlü sistemdə 57 vəziyyət kifayətdir.

Üçlü təhlilə ehtiyacın özünü göstərdiyi ən ümumi vəziyyət, bəlkə də, bir fincan tərəzisində çəkindir. Burada üç fərqli hal yarana bilər: ya stəkanlardan biri digərindən üstün olacaq, ya da əksinə, ya da fincanlar bir-birini tarazlaşdıracaq.

Dördüncü say sistemiəsasən Cənubi Amerikanın hind tayfaları və barmaqları arasındakı boşluqları hesablayan Kaliforniyanın Yucca hinduları tərəfindən istifadə olunur.

Beşqat say sistemi digərlərindən daha geniş yayılmışdı. Cənubi Amerikanın Tamanakos hinduları 5 rəqəmi üçün “bütün əl” üçün eyni sözü istifadə edirlər. Tamanakdakı “altı” sözü “digər tərəfdən bir barmaq”, yeddi “digər tərəfdən iki barmaq” və s. səkkiz və doqquz üçün. On "iki əl" adlanır. 11-dən 14-ə qədər bir rəqəmi adlandırmaq istəyən Tamanakos hər iki əlini irəli uzatır və sayırlar: "bir ayağında, ikisi ayağında" və s. 15-ə çatana qədər - "bütün ayaq". Bunun ardınca “biri digər ayağında” (16 nömrə) və s. 19-a qədər. Tamanak dilində 20 rəqəmi “bir hindistanlı”, 21 rəqəmi “bir başqa hindinin əlində” deməkdir. “İki hindli” 40, “üç hindli” 60 deməkdir.

Qədim Yava və Azteklərin sakinləri 5 gündən ibarət bir həftəyə sahib idilər.

Bəzi tarixçilər hesab edirlər ki, X (on) rum rəqəmi iki Roma 5s V-dən (onlardan biri tərs) ibarət olub və V rəqəmi öz növbəsində insan əlinin stilizə edilmiş təsvirindən yaranıb.

Qədim dövrlərdə geniş yayılmışdı duodecimal say sistemi. Onun mənşəyi də barmaqlarla saymaqla bağlıdır. Məhz, əlin dörd barmağı (baş barmaqdan başqa) cəmi 12 falanqsa malik olduğundan, bu falanqslar boyunca onları növbə ilə baş barmaqla çevirərək 1-dən 12-yə qədər sayır. növbəti rəqəm.

Duodecimal sistemin əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onun əsası 2, 3 və 4-ə bölünür. Duodecimal sistemin tərəfdarları 16-cı əsrdə meydana çıxdı. Sonrakı dövrlərdə onların sırasına Herbert Spenser, Con Kvinsi Adams və Corc Bernard Şou kimi görkəmli insanlar daxil idi. Hətta iki dövri nəşri nəşr edən Amerika Duodecimal Cəmiyyəti var: Duodecimal Bulletin və Duodecimal System Manual. Cəmiyyət bütün "duodenumları" 12-nin əsas kimi istifadə etdiyi xüsusi bir sayma hökmdarı ilə təmin edir.

Şifahi nitqdə on ikilik sistemin qalıqları günümüzə qədər gəlib çatmışdır: bəziləri “on iki” demək əvəzinə “onluq” deyirlər. Bir çox əşyanın onlarla deyil, onlarla, məsələn, xidmətdəki bıçaq (12 nəfərlik dəst) və ya mebel dəstindəki stulların sayılması adəti qorunub saxlanılmışdır.

Duodecimal say sistemində üçüncü rəqəm vahidinin adıdır kobud- indi nadirdir, lakin ticarət praktikasında 20-ci əsrin əvvəllərində mövcud idi və hətta yüz il əvvəl də asanlıqla tapıla bilərdi. Məsələn, 1928-ci ildə V.V. Mayakovski, ehtiyac duyduqları və lazım olmayan hər şeyi satın alan şəhər əhalisini ələ salaraq yazırdı:

Ətrafa baxmaq

malların səpələnməsi,

Bilik bazasında yaxşı işinizi göndərin sadədir. Aşağıdakı formadan istifadə edin

Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.

haqqında yerləşdirilib http://www.allbest.ru/

RUSİYA FEDERASİYASI TƏHSİL VƏ ELM NAZİRLİYİ

FEDERAL DÖVLƏT BÜDCƏLİ ORTA İXTİSAR TƏHSİLİ

"TÜMEN DÖVLƏT UNİVERSİTETİ"

SURQUT İQTİSADİYYAT, İDARƏETMƏ VƏ HÜQUQ İNSTİTUTU (FILIALI) Tümen Dövlət Universiteti

Mövzu: “Say sistemlərinin tarixi”

İcra edilib:

1-ci kurs tələbəsi BD-154-O

Kutova A.A.

Yoxlandı:

Volkova T.G.

Surqut 2015

1. Say sistemlərinin tarixi

2. Onluq say sistemi

Ədəbiyyat

1. Say sistemlərinin tarixi

Qeydədədlərin təyin edilməsi və adlandırılması üçün texnika və qaydalar toplusudur.

Müasir insan gündəlik həyatda daim nömrələrlə qarşılaşır: avtobus və telefon nömrələrini xatırlayırıq, mağazada alış-verişin dəyərini hesablayırıq, ailə büdcəmizi rubl və qəpiklərlə (yüzdə bir rubl) idarə edirik və s. Rəqəmlər, rəqəmlər... onlar hər yerdə bizimlədir. İnsanlar bir neçə min il əvvəl rəqəmlər haqqında nə bilirdilər? Sual asan deyil, amma çox maraqlıdır. Tarixçilər sübut etdilər ki, hətta beş min il bundan əvvəl də insanlar rəqəmləri yazıb, onların üzərində hesab əməliyyatları apara bilirdilər. Təbii ki, səsyazma prinsipləri indikilərdən tamam fərqli idi. Ancaq hər halda, nömrə bir və ya bir neçə simvoldan istifadə edərək təsvir edilmişdir.

Rəqəmlərin yazılmasında iştirak edən bu simvollara riyaziyyatda və informatikada ədədlər deyilir.

Bəs o zaman insanlar “rəqəm” sözündən nə başa düşürlər?

Əvvəlcə mücərrəd nömrə anlayışı yox idi, nömrə hesablanan xüsusi obyektlərə "bağlanırdı". Yazının inkişafı ilə birlikdə natural ədədin mücərrəd anlayışı meydana çıxır. Fraksiyalı ədədlər ölçmə aparmaq ehtiyacı yarandıqda icad edilmişdir. Ölçmə, məlum olduğu kimi, standart olaraq seçilmiş eyni növdən başqa bir kəmiyyətlə müqayisədir.

Standarta ölçü vahidi də deyilir. Aydındır ki, ölçü vahidi həmişə ölçülmüş dəyərə tam sayda dəfə uyğun gəlmir. Beləliklə, təbii rəqəmlərdən daha "kiçik" rəqəmlərin tətbiqinə praktik ehtiyac yarandı. Ədəd anlayışının sonrakı inkişafı riyaziyyatın inkişafı ilə müəyyən edildi.

Rəqəm anlayışı həm riyaziyyatda, həm də kompüter elmində fundamental anlayışdır. Gələcəkdə materialı təqdim edərkən biz onun simvolik qeydini deyil, dəyərini anlayacağıq.

Bu gün, 20-ci əsrin sonlarında bəşəriyyət nömrələri qeyd etmək üçün əsasən onluq say sistemindən istifadə edir. Say sistemi nədir?

Qeyd ədədləri qeyd etmək (təmsil etmək) üsuludur.

Keçmişdə mövcud olan və hazırda istifadə olunan müxtəlif say sistemləri iki qrupa bölünür: mövqeli və qeyri-mövqe.

Ən qabaqcıl mövqe say sistemləridir, yəni. hər bir rəqəmin nömrənin dəyərinə töhfəsi onun nömrəni təmsil edən rəqəmlər ardıcıllığında mövqeyindən (mövqeyindən) asılı olan nömrələrin yazılması sistemləri. Məsələn, bizim adi onluq sistemimiz mövqelidir: 34 rəqəmində 3 rəqəmi onluq sayını bildirir və 30 rəqəminin dəyərinə “töhfə verir”, 304 rəqəmində isə eyni rəqəm 3 yüzlük və yüzlərin sayını bildirir. 300 rəqəminin dəyərinə “töhfə verir”.

Hər bir rəqəmin ədəddəki yerindən asılı olmayan qiymətə uyğun olduğu say sistemləri qeyri-mövqe adlanır.

Mövqe say sistemləri qeyri-mövqe say sistemlərinin uzun tarixi inkişafının nəticəsidir.

Vahid sistemi

Rəqəmlərin yazılması ehtiyacı çox qədim zamanlarda, insanlar saymağa başlayan kimi ortaya çıxdı. Obyektlərin, məsələn, qoyunların sayı hansısa sərt səthdə xətlər və ya seriflər çəkməklə təsvir edilmişdir: daş, gil, ağac (kağızın ixtirası hələ çox, çox uzaq idi). Belə bir qeyddə hər qoyun bir xəttə uyğun gəlirdi. Arxeoloqlar paleolit ​​dövrünə (e.ə. 10-11 min il) aid mədəni təbəqələrin qazıntıları zamanı belə “qeydlər” tapmışlar.

Alimlər ədədlərin yazılmasının bu üsulunu vahid (“çubuq”) say sistemi adlandırdılar. Orada nömrələri qeyd etmək üçün yalnız bir növ işarədən istifadə edilmişdir - "çubuq". Belə bir say sistemindəki hər bir nömrə, çubuqlardan ibarət bir xəttdən istifadə edərək təyin edildi, onların sayı təyin edilmiş nömrəyə bərabər idi.

Rəqəmlərin yazılması üçün belə bir sistemin əlverişsizliyi və onun tətbiqinin məhdudiyyətləri göz qabağındadır: yazılmalı olan nömrə nə qədər böyükdürsə, çubuqlar silsiləsi bir o qədər uzun olur. Çox sayda yazarkən, əlavə sayda çubuq əlavə etməklə və ya əksinə, onları yazmamaqla səhv etmək asandır.

Təklif oluna bilər ki, saymağı asanlaşdırmaq üçün insanlar obyektləri 3, 5, 10 hissəyə qruplaşdırmağa başladılar. Və qeyd edərkən bir neçə obyekt qrupuna uyğun işarələrdən istifadə etdilər. Təbii ki, sayarkən barmaqlardan istifadə olunurdu, buna görə də ilk növbədə 5 və 10 ədəd (vahid) obyektlər qrupunu təyin etmək üçün işarələr meydana çıxdı. Beləliklə, nömrələri qeyd etmək üçün daha rahat sistemlər yarandı.

Qədim Misir onluq qeyri-mövqe sistemi

Eramızdan əvvəl III minilliyin ikinci yarısında yaranmış Qədim Misir say sistemində 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 rəqəmlərini göstərmək üçün xüsusi rəqəmlərdən istifadə olunurdu. Misir say sistemindəki ədədlər bu rəqəmlərin hər biri doqquz dəfədən çox olmayan təkrarlanan birləşmələr kimi yazılmışdır.

Misal. Qədim misirlilər 345 rəqəmini belə yazırdılar:

Vahidlər On yüzlərlə

Həm çubuq, həm də qədim Misir say sistemləri sadə toplama prinsipinə əsaslanırdı, buna görə bir nömrənin dəyəri onun qeydində iştirak edən rəqəmlərin dəyərlərinin cəminə bərabərdir. Alimlər Qədim Misir say sistemini qeyri-mövqe onluq say sistemi kimi təsnif edirlər.

Babil cinsi kiçik sistemi

Həm də bizim günlərdən çox uzaqda, eramızdan əvvəl iki min il, başqa bir böyük sivilizasiyada - Babildə - insanlar rəqəmləri fərqli şəkildə yazdılar.

Bu say sistemindəki rəqəmlər iki növ işarədən ibarət idi: düz paz vahidləri təyin etmək üçün xidmət edirdi və uzanan paz - onlarla işarə etmək üçün.

Ədədin qiymətini təyin etmək üçün rəqəmin şəklini sağdan sola rəqəmlərə bölmək lazım idi. Yeni bir boşalma, sağdan sola rəqəmi nəzərə alsaq, yatandan sonra düz bir pazın görünüşü ilə başladı.

Məsələn: 32 rəqəmi belə yazılmışdır:

Düz paz və yalançı paz işarələri bu sistemdə rəqəmlər kimi xidmət edirdi. 60 rəqəmi yenə 1 ilə eyni düz pazla, eyni işarə 3600 = 60 2, 216000 = 60 3 rəqəmləri və 60-ın bütün digər gücləri ilə işarələnmişdir. Buna görə də Babil say sistemi adlanırdı. cinsi kiçik.

Nömrənin dəyəri onu təşkil edən rəqəmlərin qiymətləri ilə müəyyən edildi, lakin nəzərə alınmaqla, hər bir sonrakı rəqəmdəki rəqəmlər əvvəlki rəqəmdəki eyni rəqəmlərdən 60 dəfə çox idi.

Misal. 92=60+32 rəqəmi belə yazılmışdır:

və bu say yazı sistemində 444 rəqəmi formaya malik idi

çünki 444=7*60+24.

Sırf aydınlıq üçün, böyük rəqəm (solda) və kiçik rəqəm bir boşluqla ayrılır (babillilərdə belə deyildi).

Babillilər 1-dən 59-a qədər bütün rəqəmləri onluq qeyri-mövqe sistemində, bütövlükdə isə rəqəmi - 60 bazası olan mövqe sistemində yazdılar. say vahidi sexagesimal.

Babillilər arasında sayının qeydi birmənalı deyildi, çünki sıfırı təmsil edən rəqəm yox idi. Yuxarıda verilmiş 92 rəqəminin qeydi təkcə 92=60+32 deyil, həm də məsələn, 3632=3600+32 mənasını verə bilər. Ədədin mütləq qiymətini müəyyən etmək üçün əlavə məlumat tələb olunurdu. Sonradan babillilər əskik cinsi kiçik rəqəmi göstərmək üçün xüsusi bir simvol təqdim etdilər

bu, onluq ədəddə 0 rəqəminin görünüşünə uyğundur.

Misal. 3632 rəqəmi indi belə yazılmalı idi:

Ancaq bu simvol adətən nömrənin sonunda yerləşdirilmirdi, yəni. bu simvol bizim anlayışımızda hələ də “sıfır” rəqəmi deyildi və 1-i 60-dan, 3600-dən və s. ayırmaq üçün əlavə məlumat tələb olunurdu.

Babillilər vurma cədvəllərini heç vaxt əzbərləmirdilər, çünki... praktiki olaraq mümkün deyildi. Hesablamalarda hazır vurma cədvəllərindən istifadə edilmişdir.

Babil sexagesimal sistem qismən mövqe prinsipinə əsaslanan bizə məlum olan ilk say sistemidir.

Babil sistemi riyaziyyat və astronomiyanın inkişafında böyük rol oynamış və onun izləri günümüzə qədər gəlib çatmışdır. Beləliklə, biz hələ də bir saatı 60 dəqiqəyə, bir dəqiqəni isə 60 saniyəyə bölürük. Babillilərdən nümunə götürərək dairəni 360 hissəyə (dərəcə) bölürük.

Roma sistemi

Bizə tanış Roman sistem Misir sistemindən çox da əsaslı fərqlənmir. Nömrələri göstərmək üçün 1, 5, 10, 50, 100, Və 1000 böyük latın hərflərindən istifadə olunur I, V, X, C, D Və M müvafiq olaraq bu say sisteminin rəqəmləridir.

Roma rəqəmləri sistemində bir ədəd ardıcıl rəqəmlər dəsti ilə təyin olunur. Nömrənin dəyəri belədir:

1. sıradakı bir neçə eyni ədədin qiymətlərinin cəmi (onları birinci tip qrup adlandıraq);

2. böyük rəqəmin solunda daha kiçik rəqəm varsa, iki rəqəmin dəyərləri arasındakı fərq. Bu halda, kiçik rəqəmin dəyəri böyük rəqəmin dəyərindən çıxarılır. Birlikdə ikinci tip bir qrup təşkil edirlər. Nəzərə alın ki, sol rəqəm sağdan ən çox bir böyüklük sırası ilə kiçik ola bilər: beləliklə, “ən aşağı” olanlar arasında yalnız X(10) L(50) və C(100)-dən əvvəl və yalnız D-dən əvvəl görünə bilər. (500) və M(1000) C(100), V(5)-dən əvvəl - yalnız I(1);

3. birinci və ya ikinci növ qruplara daxil olmayan qrupların və nömrələrin qiymətlərinin cəmi.

Nümunə 1. Roma say sistemində 32 rəqəmi XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (birinci tipin iki qrupu) formasına malikdir.

Misal 2. Onluq sayında 3 eyni rəqəmi olan 444 ədədi Roma say sistemində CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (üç qrup ikinci növ).

Nümunə 3. Roma say sistemində 1974 rəqəmi MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (hər iki növün qrupları ilə birlikdə, fərdi "nömrələr").

2. Onluq say sistemi

Ondalıq bacınömrə mövzusu- bu, hamımıza tanış və yaxşı məlum olan mövqe say sistemidir, lakin biz tədqiqatımıza onunla başlayacağıq və onu bizim üçün qeyri-adi olan digər say sistemlərini başa düşməyə kömək edəcək mövqelərdən nəzərdən keçirəcəyik.

Beləliklə, sistemin əsasını on rəqəmi (10) təşkil edir, yəni rəqəmləri (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) təmsil etmək üçün on rəqəmdən istifadə olunur.

Gəlin sadəcə bu sistemdə sayaq, ixtiyarımızda olan rəqəmlərdən rəqəmləri sayaq və yazaq:

Sıfır - 0 ;

bir - 1 ;

Səkkiz - 8 ;

Doqquz - 9 ;

Bundan sonra nə etməli? Bütün nömrələr getdi. On rəqəmini necə təsvir etmək olar? Vəziyyətdən çıxmaq üçün yeni bir anlayış - "on" təqdim edək və on bir on və sıfır vahid olduğunu söyləyək. Bu artıq yazıla bilər - "10".

Belə ki, On - 10 (bir on, sıfır bir)

On bir - 11 (bir on, bir vahid)

iyirmi - 20 (iki on, sıfır bir)

Doxsan doqquz - 99 (doqquz on, doqquz bir)

Yüz - 100 (yüz, sıfır on, sıfır bir)

Və beləliklə, həmişə növbəti nömrəni göstərmək üçün kifayət qədər rəqəmimiz olmadıqda, sayma vahidlərini böyüdürük (yəni, onlarla, yüzlərlə və s. sayırıq) və bir rəqəmlə uzadılmış rəqəmi yazırıq.

Nömrəni nəzərə alın 4329 onluq say sistemində yazılmışdır. Onun haqqında deyə bilərik: dörd min, üç yüz, iki on və doqquz birdir. Onun dəyərini isə ona daxil olan rəqəmlər vasitəsilə aşağıdakı kimi əldə edə bilərsiniz.

4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, burada və aşağıda * (ulduz) işarəsi vurma deməkdir.

Lakin 1000, 100, 10, 1 ədədləri silsiləsi 10 ədədinin (say sisteminin əsası) tam dərəcələrindən başqa bir şey deyil və buna görə də belə yazıla bilər:

4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0

Eynilə kəsr ədədi (onluq) üçün, məsələn: 0.235 (sıfır nöqtə iki yüz otuz beş mində), bu barədə deyə bilərik: iki onda, üç yüzdə və beş mində. Və onun dəyəri aşağıdakı kimi hesablana bilər:

0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001

Və burada 0.1 0.01 0.001 1 sıraları 10 rəqəminin tam dərəcələrindən başqa bir şey deyil və biz də yaza bilərik:

0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3

752.159 qarışıq nömrəsi üçün eyni şəkildə yaza bilərik:

752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3

İndi hər hansı bir ədədin tam hissəsinin rəqəmlərini sağdan sola 0,1,2...n kimi nömrələsək (nömrələmə sıfırdan başlayır!). Və kəsr hissəsinin rəqəmləri, soldan sağa -1,-2,-3...-m kimi, onda istənilən ixtiyari onluq ədədin qiyməti düsturla hesablana bilər:

N= d n10 n +d n-110 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1)10 -(m-1) +d -m10 -m

Harada: n- minus bir ədədin tam hissəsindəki rəqəmlərin sayı;

m- ədədin kəsr hissəsindəki rəqəmlərin sayı

d i- rəqəm dayanır i-ci dərəcə

Bu düstura onluq ədədin bit istiqamətində genişlənməsi düsturu adlanır, yəni. onluq say sistemində yazılmış ədəd. Amma bu düsturda on rəqəmi hansısa natural ədədlə əvəz olunarsa q, onda bazası olan say sistemində ifadə olunan ədədin parçalanma düsturunu alırıq q:

N= d nqn +d n-1qn-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1)q-(m-1) +d -mq-m

Sonuncu düsturdan istifadə etməklə biz həmişə istənilən mövqe say sistemində yazılmış ədədin qiymətini ala bilərik.

Nəticə

Bu gün biz gündəlik həyatda onluq say sistemindən istifadə etməyə öyrəşmişik. Onluq rəqəmlər vaxtı, ev və telefon nömrələrini, qiymətləri, büdcələri ifadə edir, ölçülərin metrik sistemi onlara əsaslanır.

Onluq ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatlar hər bir məktəblinin bildiyi vurma və toplama cədvəllərinə əsaslanan kifayət qədər sadə əməliyyatlardan istifadə etməklə yerinə yetirilir. Çox erkən yaşda öyrənilən bu qaydalar gündəlik məşq nəticəsində o qədər möhkəm mənimsənilir ki, biz onlarla şüuraltı şəkildə fəaliyyət göstəririk. Bu səbəbdən bu gün bir çox insan başqa say sistemlərinin varlığından belə xəbərdar deyil.

Ədəbiyyat

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0 %D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0 %BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Bosova L.L. İnformatika və İKT: 6-cı sinif üçün dərslik. - M.: BINOM. Bilik Laboratoriyası, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php

Allbest.ru saytında yerləşdirilib

Oxşar sənədlər

Say sistemlərinin tarixinin öyrənilməsi. Vahid və ikilik say sistemlərinin təsviri, Qədim Yunan, Slavyan, Roma və Babil yer nömrələməsi. Kompüterdə ikili kodlaşdırmanın təhlili. Rəqəmlərin bir say sistemindən digərinə çevrilməsi.

test, 11/04/2013 əlavə edildi


Say sistemi anlayışı. Say sistemlərinin inkişaf tarixi. Natural ədəd anlayışı, sıra münasibətləri. Onluq say sisteminin xüsusiyyətləri. Riyaziyyatın ilkin kursunda qeyri-mənfi tam ədədlərin nömrələnməsinin öyrənilməsinin ümumi məsələləri.

kurs işi, 29/04/2017 əlavə edildi


Rəqəmlərin yazılması və oxunması üçün texnika və qaydalar toplusu. Anlayışların tərifi: say sistemi, rəqəm, rəqəm, rəqəm. Say sistemlərinin təsnifatı və əsasının təyini. Ədəd və rəqəm, mövqe və qeyri-mövqe say sistemləri arasındakı fərq.

təqdimat, 04/15/2015 əlavə edildi


Say sistemlərinin anlayışı və riyazi məzmunu, onların növləri və tətbiq dairəsi. Mövqe və qeyri-mövqe, ikilik və onluq say sistemlərinin fərqləndirici xüsusiyyətləri və xüsusiyyətləri. Ədədlərin bir sistemdən digərinə çevrilməsi proseduru.

təqdimat, 11/10/2010 əlavə edildi


Müasir riyaziyyatda istifadə olunan, kompüterlərdə istifadə olunan say sistemi. Roma rəqəmlərindən istifadə edərək rəqəmlərin yazılması. Onluq ədədlərin başqa say sistemlərinə çevrilməsi. Kəsr və qarışıq ikilik ədədlərin çevrilməsi. Mövqe say sistemlərində arifmetika.

mücərrəd, 07/09/2009 əlavə edildi


Onluq say sisteminin ixtirası insan təfəkkürünün əsas nailiyyətlərindən biridir. Onsuz müasir texnologiya və ümumiyyətlə elm çətin ki, mövcud ola bilər, daha az yaranır. Rəqəmlərin tarixi. Rəqəmlər və sayma. Rəqəmləri yadda saxlamağın yolları.

mücərrəd, 04/13/2008 əlavə edildi


Riyazi ədədlər nəzəriyyəsi. Say sistemləri anlayışı. İkilik say sisteminin tətbiqi. Kompüter texnologiyaları və informasiya texnologiyaları. Əlifba sırası ilə qeyri-vahid ikili kodlaşdırma. İkilik say sisteminin üstünlükləri və çatışmazlıqları.

mücərrəd, 25/12/2014 əlavə edildi


Say sisteminin tərifləri, ədədlər, ədədlər, əlifba. Say sistemlərinin növləri. İkili kodların müsbət və mənfi cəhətləri. Onaltılıq sistemin səkkizliyə çevrilməsi və tetrada və triadalara bölünməsi. Bachet məsələsinin üçlü balanslaşdırılmış sistem üsulu ilə həlli.

təqdimat, 20/06/2011 əlavə edildi


Say sistemlərinin inkişaf tarixi. Qeyri-mövqe, mövqe və onluq say sistemləri. Hesablama texnologiyası və informasiya texnologiyalarında say sistemlərinin istifadəsi. Kompüterdə məlumatların ikili kodlaşdırılması. Binar kodların qurulması.

kurs işi, 21/06/2010 əlavə edildi


İkilik, səkkizlik və onaltılıq say sistemlərinin mahiyyəti, onların fərqləndirici xüsusiyyətləri və əlaqələri. Ədədləri bir sistemdən digərinə çevirmək üçün alqoritmlərin nümunəsi. Verilmiş məntiqi funksiyalar üçün həqiqət cədvəlinin və məntiq diaqramının tərtib edilməsi.

Rəqəmləri təmsil etmək üçün ən mükəmməl prinsipdir mövqeli(yerli) prinsip, buna görə eyni ədədi işarə (rəqəm) yerləşdiyi yerdən asılı olaraq müxtəlif mənalara malikdir.

Bu say sistemi müəyyən sayda N vahidinin (əsas SS) ikinci rəqəmin bir vahidinə, ikinci rəqəmin N vahidinin üçüncü rəqəmin bir vahidinə birləşdirilməsinə və s.

Say sistemlərinin əsası birdən böyük istənilən ədəd ola bilər. Belə sistemlərə müasir onluq say sistemi (əsas N = 10 ilə) daxildir. Orada ilk on rəqəmi göstərmək üçün 0,...,9 rəqəmlərindən istifadə olunur.

Belə bir sistemin görünən təbiiliyinə baxmayaraq, bu, uzun tarixi inkişafın nəticəsi idi.

Ortaya çıxma onluq say sistemi barmaqlarla saymaqla bağlıdır. Digər əsasları olan say sistemləri də var idi: 5, 6, 12 (onlarla sayma), 20 (fransızca belə sistemin izləri qorunub saxlanılır, məsələn, quatre - vints, yəni hərfi mənada dörd - iyirmi, 80 deməkdir), 40, 60 və s.

PC-də hesablamalar apararkən 2 bazası olan say sistemindən istifadə olunur.İnformasiyanın binar sistemdə təmsil olunması qədim zamanlardan insanlar tərəfindən istifadə olunur. Beləliklə, Polineziya adalarının sakinləri nağaraların köməyi ilə lazımi məlumatları ötürdülər: alternativ zəng və küt döyüntülər. Suyun səthinin üstündəki səs kifayət qədər böyük bir məsafəyə yayıldı, Polineziya teleqrafı belə "işlədi". 19-20-ci əsrlərdə teleqrafda. istifadə edərək məlumat ötürülürdü Morze kodu- nöqtə və tire ardıcıllığı şəklində. Çox vaxt ön qapını yalnız "şərti siqnal" - qısa və uzun zənglərin birləşməsində açmağa razıyıq. İkili sistem bəzi oyunlarda bulmacaları həll etmək və qalibiyyət strategiyaları qurmaq üçün istifadə olunur.

Müasir onluq mövqe Say sistemi 5-ci əsrdən gec olmayaraq yaranan nömrələmə əsasında yaranmışdır. V Hindistan. Bundan əvvəl Hindistanda təkcə toplama prinsipindən deyil, həm də vurma prinsipindən istifadə edən say sistemləri var idi (bəzi rəqəmin vahidi soldakı rəqəmə vurulur).

O dövrdə Hindistanın müxtəlif ərazilərində çoxlu müxtəlif nömrələmə sistemləri mövcud idi ki, onlardan biri bütün dünyaya yayıldı və hazırda ümumi qəbul edilir. Orada rəqəmlər qədim hind dilində müvafiq rəqəmlərin başlanğıc hərflərinə bənzəyirdi - sanskrit(Dəvanqari əlifbası).

Əvvəlcə bu işarələr 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000 rəqəmlərini təmsil edirdi; onların köməyi ilə digər nömrələr təsvir edilmişdir. Sonradan boş rəqəmi göstərmək üçün xüsusi işarə (qalın nöqtə, dairə) təqdim edildi; 9-dan böyük ədədlər üçün işarələr istifadədən çıxdı və Devanqari saylama sistemi onluq sistemə çevrildi.Bu keçidin necə və nə vaxt baş verdiyi hələ də məlum deyil.8-ci əsrin ortalarında mövqeli say sistemindən geniş şəkildə istifadə edildi. Hindistan.

Təxminən eyni zamanda başqa ölkələrə də nüfuz etdi ( Hind-Çini, Çin, Tibet, ərazimizə Orta Asiya respublikaları, V İran və s.). Ərəb ölkələrində hind nömrələməsinin yayılmasında 9-cu əsrin əvvəllərində tərtib edilmiş dərslik həlledici rol oynamışdır. Xorazmlı Məhəmməd(indiki Özbəkistanın Xorəzm vilayəti). XII əsrdə Qərbi Avropada Latın dilinə tərcümə edilmişdir. 13-cü əsrdə Hindistan nömrələməsi üstünlük təşkil edir İtaliya. Başqa ölkələrdə Qərbi Avropa 16-cı əsrdə qurulmuşdur. Hind nömrələməsini ərəblərdən götürən avropalılar bunu adlandırdılar ərəb(tarixi cəhətdən səhv olan ad bu gün də istifadə olunur).

Ərəb dilindən və təbəqədən götürülmüşdür " nömrə" (ərəb dilində "syfr"), hərfi mənası "boş yer" deməkdir (eyni mənaya malik sanskritcə "sunya" sözündən). Bu söz əvvəlcə boş rəqəmin işarəsini adlandırmaq üçün istifadə edilmişdir və 15-ci əsrdə olsa da, bu mənasını hələ 18-ci əsrdə saxlamışdır. Latın termini " sıfır" Hind rəqəmlərinin forması müxtəlif dəyişikliklərə məruz qalmışdır. Onları yazdığımız forma 16-cı əsrdə qurulmuşdur.

9-cu əsrdə Bu say sistemini təyin edən ərəb dilində əlyazmalar 10-cu əsrdə ortaya çıxdı. onluq mövqe nömrələməsi qədər gedir İspaniya, 12-ci əsrin əvvəllərində. digər Avropa ölkələrində də görünür. Yeni say sistemi adlanır ərəb, çünki Avropada onunla ilk dəfə ərəb dilindən latın tərcümələri vasitəsilə tanış olmuşlar. Yalnız 16-cı əsrdə. yeni nömrələmə elmdə və gündəlik həyatda geniş yayıldı. Rusiyada 17-ci əsrdə yayılmağa başlayır. və 18-ci əsrin əvvəllərində. əlifba sıralamasını əvəz edir. Onluq kəsrlərin tətbiqi ilə onluq sistem bütün həqiqi ədədləri qeyd etmək üçün universal vasitəyə çevrildi. Prinsipcə, ixtiyari böyük rəqəmlər yazmağa imkan verir. Orada rəqəmlərin yazılması yığcamdır və hesab əməliyyatlarını yerinə yetirmək üçün əlverişlidir. Ona görə də bu sistem Hindistandan Qərbə və Şərqə sürətlə yayılmağa başlayır.

Rəqəmlərin dilinin öz əlifbası var. Həmin rəqəmlər dilində əlifba 0-dan 9-a qədər on rəqəmdir. Bu, onluq say sistemidir.

Say sistemiədədi rəqəmlər adlanan bəzi əlifbanın simvolları ilə ifadə etmək üsuludur. Onluq rəqəmlərin qədim təsviri təsadüfi deyil: hər bir rəqəm içindəki bucaqların sayına görə rəqəmi təmsil edir. Məsələn, 0 - künc yoxdur, 1 - bir künc, 2 - iki künc və s. Onluq ədədlərin yazısı əhəmiyyətli dəyişikliklərə məruz qalmışdır. İstifadə etdiyimiz forma 16-cı əsrdə qurulmuşdur.

Onlar oxşar şəkildə tikilmişdir köhnə çin say sistemi və bəzi başqaları.

Məşhur Afrika kəşfiyyatçısı Stenlinin sözlərinə görə, bir sıra Afrika qəbilələri var idi beşqat SS. Uzun müddət beşqat say sistemindən istifadə etdilər və Çin. Bu say sistemi ilə insan əlinin quruluşu arasında əlaqə göz qabağındadır. Beləliklə, bir insanın əlində beş barmaq var ki, bu da vizual sayma üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir.

Uzun əsrlər boyu Amerika qitəsinin geniş ərazilərində məskunlaşan və orada ən yüksək mədəniyyəti, o cümlədən riyaziyyatı yaradan xalqlar olan Azteklər və Mayyalar iyirminci SS. Bu say sistemi eramızdan əvvəl 2-ci minillikdən başlayaraq Qərbi Avropada məskunlaşmış Keltlər tərəfindən də qəbul edilmişdir. Saymaq üçün əsas barmaqlar və ayaq barmaqlarıdır. Fransa pul sistemində bu sistemin bəzi izləri: əsas pul vahidi frank 20-yə bölünür.

(1 frank = 20 sous).

Geniş yayılmışdı on ikilik qeyd. Onun mənşəyi də barmaqlarla saymaqla bağlıdır. Qalan dörd barmağın baş barmağını və falanqsını saydılar: cəmi 12 ədəddir.Onikilik say sisteminin elementləri ölçü sistemində (1 fut=12 düym) və pul sistemində qorunub saxlanılmışdır.

(1 şillinq = 12 pens). Gündəlik həyatda tez-tez duodecimal SS ilə qarşılaşırıq: 12 nəfərlik çay və masa dəstləri, dəsmal dəsti - 12 ədəd.

Cənub və şərq slavyan xalqları rəqəmləri qeyd etmək üçün əlifba sırasından istifadə edirdilər. Bəzi slavyan xalqları arasında hərflərin ədədi dəyərləri slavyan əlifbası qaydasında quruldu, digərləri üçün (ruslar da daxil olmaqla) bütün hərflər nömrə rolunu oynamadı, yalnız yunan əlifbasında olanlar rolunu oynadı. Eyni zamanda, hərflərin ədədi dəyərləri yunan əlifbasındakı hərflərlə eyni ardıcıllıqla artdı (slavyan əlifbasının hərflərinin sırası bir qədər fərqli idi)

Slavyan nömrələri 18-ci əsrə qədər Rusiyada əsas rəqəmsal təyinat idi. Slavyan nömrələmə Rusiyada 17-ci əsrin sonlarına qədər qorunub saxlanıldı. I Pyotrun dövründə ərəb nömrələməsi üstünlük təşkil edirdi. Slavyan nömrələmə yalnız liturgik kitablarda qorunub saxlanılmışdır. Ermənilər əlifba sırası ilə nömrələmə prinsipindən istifadə edirdilər. Ancaq qədim erməni və qədim gürcü əlifbalarında qədim yunan dilindən çox hərf var idi. Bu, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 rəqəmləri üçün xüsusi qeydlər tətbiq etməyə imkan verdi. Rəqəmsal dəyərlər erməni və gürcü əlifbalarında hərflərin sırasına uyğun gəlirdi.

Say sistemlərinin inkişaf tarixi.

Gündəlik həyatda müasir insanlar çox sayda müxtəlif məlumatlarla əhatə olunur, onların kiçik bir hissəsi rəqəmsal məlumatlardır. Həqiqətən də biz telefon nömrələrini xatırlayırıq, alış-verişin qiymətini hesablayırıq, məktəb dərsləri və onların müddətini hesablayırıq və s. Tarixçilər sübut ediblər ki, hətta qədim zamanlarda insanlar rəqəmləri yaza bilir, onların üzərində müxtəlif hesab əməliyyatları yerinə yetirə bilirdilər, lakin rəqəmlər yazılırdı. Bu gün etdiyimiz prinsiplərdən tamamilə fərqli yollarla.

Nömrə nədir? Başlanğıcda ədəd anlayışı hesablanmış obyektlərə “bağlanmışdır”. Yazının inkişafı ilə natural ədədin mücərrəd anlayışı meydana çıxır. Ölçmələrin aparılması ehtiyacı, yəni. standart olaraq seçilmiş eyni növdən başqa bir kəmiyyətlə müqayisə kəsr ədədlərin yaranmasına səbəb oldu. Ədəd anlayışının sonrakı inkişafı bilavasitə riyaziyyatın inkişafı ilə bağlı idi. Bu gün rəqəm riyaziyyat və informatika elminin əsas anlayışıdır və simvolik qeyd kimi deyil, onun dəyəri kimi başa düşülür. Rəqəmləri ifadə etmək üçün istifadə olunan şərti işarələrə ədədlər deyilir.

Rəqəmlərin adlandırılması və yazılması üçün texnikalar toplusuna notasiya deyilir.

Say sistemi nömrələrin yazılması üsulu və əməliyyat nömrələri üçün qaydalardır.

Say sistemləri haqqında ilk qeydləri eramızdan əvvəl 10-11-ci minilliklərə aid etmək olar.Bu dövrə aid mədəni təbəqələri qazarkən arxeoloqlar tire ardıcıllığı - çubuqlar şəklində qeydlər aşkar etmişlər. Alimlər hesab edirlər ki, rəqəmlər bu şəkildə yazılıb və sətirdə yazılan çubuqların sayı ədədin dəyərinə bərabərdir. Bu say sistemi adlanırdı tək (çubuq) . Hesablamanın sonrakı inkişafı say sistemlərinin təkmilləşməsinə və inkişafına səbəb oldu. Bəşəriyyət öz tarixi boyu müxtəlif say sistemlərindən istifadə etmişdir və bunun bir çox sübutları günümüzə qədər gəlib çatmışdır. Məsələn, bir saatda 60 dəqiqə, dəqiqədə 60 saniyə olması onu göstərir ki, bir zamanlar insanlar cinsi kiçik say sistemi. Həqiqətən, arxeoloqlar qədim Babil sivilizasiyasının yerində qazıntılar zamanı belə bir say sistemindən istifadənin izlərini aşkar etdilər. İlin on iki ayı və saat siferblatındakı on iki bölmə göstərir ki, çox güman ki, bir dəfə istifadə edilib. on ikilik say sistemi.

Qədim Rusiyada sözdə əlifba sırası ilə adlanan xüsusi işarəsi olan kiril hərfləri ilə nömrələrin təyin olunduğu say sistemi başlıq və rəqəmləri hərflərdən ayırmağa xidmət edirdi.

Müasir onluq say sistemi təxminən 5-ci əsrdə Hindistanda yaranmışdır. AD, bu sistemin ortaya çıxması itkin dəyəri göstərmək üçün “0” rəqəmindən istifadə olunmağa başladıqdan sonra mümkün oldu.

Mövqe və qeyri-mövqe say sistemləri.

Ədədlərin rəqəmlər ardıcıllığı kimi yazıldığı say sistemlərini iki sinfə bölmək olar: mövqeli və qeyri-mövqe. Qeyri-mövqe sistemlərində rəqəmlərin ardıcıllıqdakı mövqeyi dəyişdikdə mənaları dəyişmir. Qeyri-mövqeli sistemə misal olaraq məşhur Roma say sistemini verəcəyik. Roma say sistemində istənilən yerdə X simvolu 10-a bərabərdir, lakin əsasın solunda olan girişdə (məsələn, XC) x simvolu –10-a bərabərdir və kiçikdən əvvəl kombinasiyada bir (məsələn, XV) +10-a bərabərdir. Qeyri-mövqe say sistemlərində ədədlərlə əməliyyatlar çox çətindir və heç bir qaydası yoxdur. Mənfi və kəsr ədədləri bu sistemlərdə ifadə edilə bilməz, ona görə də qeyri-mövqe sistemlərinin istifadəsi məhduddur. Onlar əsasən tarixləri, cildləri, fəsilləri və s. ad vermək üçün istifadə olunur.

Əksinə, mövqe say sistemlərində ədəddəki rəqəmin kəmiyyət qiyməti onun mövqeyindən asılıdır.

Say sistemlərinin əsasını, əlifbasını və əsasını ehtiva edən mövqe say sistemlərinin əsas, ən vacib anlayışlarına təriflər verək.

Baza Say sistemi bitişik mövqeyə keçərkən rəqəmin kəmiyyət qiymətinin neçə dəfə dəyişdiyini və say sisteminin əlifba adlanan tərkibinə hansı sayda müxtəlif işarələrin (rəqəmlərin) daxil olduğunu göstərir.

Əlifba Say sistemi, nömrələri yazmaq üçün mövqe say sistemində istifadə olunan simvollar (rəqəmlər) toplusudur. Beləliklə, aşağıda nəzərdən keçirilən say sistemlərinin əlifbaları aşağıdakılardır:

İkili: 0.1.

Səkkizlik: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Onluq: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Onaltılıq: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Əsas Mövqe say sistemi hər biri mövqeyə görə rəqəmin qiymətini təyin edən ədədlər ardıcıllığıdır. Başqa sözlə deyə bilərik ki, say sisteminin əsasını say sisteminin əsasının ardıcıl dərəcələri olan ədədlər təşkil edir.

Say sisteminin əsasını istənilən natural ədəd ≥ 2 təşkil edə bilər. Mövqe say sisteminə misal olaraq həyatda geniş istifadə olunan onluq sistemi göstərmək olar. Ərəb rəqəmləri 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 onluq rəqəmlər kimi istifadə olunur - bunlar onluq say sisteminin əlifbasıdır. Say sisteminin əsası 10-dur, bu o deməkdir ki, bitişik mövqelərdəki rəqəmlərin mənaları on dəfə fərqlənir, həmçinin əlifbada 10 rəqəm var. Onluq say sisteminin əsasını aşağıdakı rəqəmlər təşkil edir: 1, 10, 100, 1000, 10000 ... 10 n, bu o deməkdir ki, sıfır mövqedəki rəqəm vahidlərə töhfə verir, birinci mövqedəki rəqəm onlarla, rəqəm ikinci mövqedə töhfə verir - yüzlərlə və s..

Nümunə olaraq, adi say sisteminizdə əsası 10 olan 5555 rəqəmini nəzərdən keçirək.

5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5

Nümunə 5-dən göründüyü kimi, 0-cı yerdə duran 5 vahidə, 1-ci yerdə duran 5 nəfər 5 onluğa, 2-ci yerdə duran 5 nəfər 5 yüzliyə, 5-ə bərabər töhfə verir. 3-cü sırada dayanan 5 minə bərabər qatqı daşıyır.

Əsası 1-dən çox olan hər hansı mövqe say sistemində nömrə vergüllə ayrılmış rəqəmlər ardıcıllığı kimi iki ardıcıllığa yazılır.

Vəzifələr , vergülün solunda olanlar sağdan sola 0, 1, 2, ... rəqəmləri ilə nömrələnir, vergülün sağında isə soldan sağa -1, -2, - 3 və s. Nömrələnmiş mövqelər çağırılır rəqəmlər .

Onluq nöqtənin solunda yerləşən rəqəmlərin ardıcıllığına ədədin tam hissəsi, ondalığın sağında isə kəsr hissəsi deyilir.

Müasir kompüterlər hazırda əsasən 2, 8, 16 və 10 bazaları olan mövqe say sistemlərindən istifadə edirlər, baxmayaraq ki, tam uğurlu olmasa da, başqa say sistemlərindən (məsələn, üçlü) istifadə etmək cəhdləri olub.

Say sisteminin əsasının mühüm xüsusiyyətini qeyd etmək yerinə düşər - istənilən mövqeli say sistemində baza 10 kimi yazılır, lakin o, fərqli kəmiyyət dəyərinə malikdir. Məsələn, ikilik say sistemində 10 iki, üçlük say sistemində 10 üç, onluq say sistemində 10 ondur.