Արդյո՞ք գործառույթը կլինի պարբերական: Ինչպես որոշել ֆունկցիայի պարբերականությունը

Հավելված թիվ 7

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն

Թիվ 3 միջնակարգ դպրոց

Ուսուցիչ

Կորոտկովա

Ասյա Էդիկովնա

Կուրգանինսկ

2008 թ

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Ներածություն………………………………………………………………… 2-3

Պարբերական ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները……………… 4-6

Խնդիրներ…………………………………………………………………… 7-14

Ներածություն

Նկատենք, որ ուսումնամեթոդական գրականության պարբերականության խնդիրները հեշտ ճակատագիր չունեն։ Դա բացատրվում է պարբերական գործառույթների որոշման ժամանակ որոշակի անփութություն թույլ տալու տարօրինակ ավանդույթով, ինչը հանգեցնում է վիճելի որոշումների և քննությունների ժամանակ միջադեպեր հրահրելու։

Օրինակ, «Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան» գրքում - M, 1965, տրված է հետևյալ սահմանումը. «Պարբերական ֆունկցիան ֆունկցիա է.

y = f(x), որի համար կա t > 0 թիվ, որը բոլոր x-ի և x+t-ի համար f(x + t) = f(x) տիրույթից:

Բերենք այս սահմանման սխալ օրինակը: Ըստ այս սահմանման, ֆունկցիան կլինի պարբերական t = 2π պարբերությամբ

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 սահմանման սահմանափակ տիրույթով, որը հակասում է պարբերական ֆունկցիաների մասին ընդհանուր ընդունված տեսակետին։

Նոր այլընտրանքային դպրոցական դասագրքերից շատերը բախվում են նմանատիպ խնդիրների:

Ա.Ն. Կոլմոգորովի դասագրքում տրված է հետևյալ սահմանումը. պարունակում է նաև կետեր, որոնք ստացվում են x-ից զուգահեռ փոխադրմամբ Ox առանցքի երկայնքով (դեպի աջ և ձախ) T հեռավորության վրա: f ֆունկցիան կոչվում է.պարբերական T ≠ 0 պարբերությամբ, եթե սահմանման տիրույթներից որևէ մեկի համար x, x – T, x + T կետերում այս ֆունկցիայի արժեքները հավասար են, այսինքն. f (x + T) = f (x) = f (x – T)»: Այնուհետև դասագրքում գրված է.

Cos (x + 2π) = Cos x ցանկացած x-ի համար, սինուսը և կոսինուսը 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիայի պարբերությունն են»:

Այս օրինակում, ինչ-ինչ պատճառներով, սահմանման մեջ պահանջվող պայմանը ստուգված չէ.

Sin (x – 2π) = Sin x. Ինչ է պատահել? Փաստն այն է, որ սահմանման մեջ այս պայմանն ավելորդ է։ Իսկապես, եթե T > 0 f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, ապա T-ն նույնպես կլինի այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը։

Ես կցանկանայի ևս մեկ սահմանում տալ Մ.Ի. Բաշմակովի «Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ 10-11» դասագրքից: «y = f(x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա T ≠ 0 այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը.

f (x + T) = f (x)-ը նույնական է x-ի բոլոր արժեքների համար»:

Վերոնշյալ սահմանումը ոչինչ չի ասում ֆունկցիայի տիրույթի մասին, թեև սահմանման տիրույթում նշանակում է x, ոչ թե իրական x: Այս սահմանմամբ y = Sin (√x) ֆունկցիան կարող է պարբերական լինել 2 , սահմանվում է միայն x ≥ 0-ի համար, ինչը սխալ է:

Միասնական պետական ​​քննությունում առաջադրանքներ կան պարբերականության համար։ Գիտական ​​պարբերականներից մեկում, որպես միասնական պետական ​​քննության C բաժնի վերապատրաստման դասընթաց, տրվել է խնդրի լուծում. «y ֆունկցիան է (x) = Sin. 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) պարբերական»։

Լուծումը ցույց է տալիս, որ y (x – π) = y (x) պատասխանում կա լրացուցիչ մուտք

«T = π» (ի վերջո, ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը գտնելու հարցը չի բարձրացվում): Իսկապե՞ս անհրաժեշտ է համալիր եռանկյունաչափական կրթություն իրականացնել այս խնդիրը լուծելու համար։ Ի վերջո, այստեղ դուք կարող եք կենտրոնանալ պարբերականության հայեցակարգի վրա, որպես խնդրի պայմանի առանցքայինի:

Լուծում.

զ 1 (x) = Sin x – պարբերական ֆունկցիա Т = 2π պարբերությամբ

զ 2 (x) = Cos x-ը T = 2π ժամանակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա 2π-ը f ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է: 3 (x) = Sin (2 + x) և f 4 (x) = Cos (2 + x), (սա բխում է պարբերականության սահմանումից)

զ 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած թիվ է, ներառյալ 2π:

Որովհետեւ T ընդհանուր պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաների գումարն ու արտադրյալը նույնպես T-պարբերական է, ապա այս ֆունկցիան պարբերական է։

Հուսով եմ, որ այս աշխատության մեջ ներկայացված նյութը կօգնի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվել պարբերականության վերաբերյալ խնդիրների լուծման հարցում:

Պարբերական ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները

Սահմանում. f(t) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից որևէ t-ի համար:զ կա ω ≠ 0 այնպիսի թիվ, որ.

1) թվեր (t ± ω) є D f ;

2) f (t + ω) = f (t).

1. Եթե ω թիվը = f (t) ֆունկցիայի պարբերություն, ապա kω թիվը, որտեղ k = ±1, ±2, ±3, ... նույնպես f(t) ֆունկցիայի պարբերակներ են։

ՕՐԻՆԱԿ f (t) = Sin t. T = 2π թիվը այս ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանն է։ Թող Տ 1 = 4պ. Ցույց տանք, որ Տ 1 նույնպես այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Այսպիսով, T 1 – f (t) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան = Sin t.

2. Եթե f(t) – ω ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է, ապա պարբերական են նաև f (аt) ֆունկցիաները, որտեղ а є R և f (t + с), որտեղ с-ն կամայական հաստատուն է։

Գտնենք f ֆունկցիայի պարբերությունը (аt).

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), այսինքն. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Հետևաբար f(аt) ֆունկցիայի պարբերությունը՝ ω 1 = ω/ա.

Օրինակ 1. Գտե՛ք y = Sin t/2 ֆունկցիայի պարբերությունը:

Օրինակ 2. Գտե՛ք y = Sin ֆունկցիայի պարբերությունը (t + π/3):

Թող f(t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + π/3):

Այնուհետև f(t) = Sin t ֆունկցիան կունենա նույն արժեքը 0 ժամը t = t 0 + π/3:

Նրանք. Բոլոր այն արժեքները, որոնք ընդունում է y ֆունկցիան, նույնպես վերցված են f(t) ֆունկցիայով: Եթե ​​t-ը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա y-ի յուրաքանչյուր արժեք 0 y ֆունկցիան = Sin (t + π/3) ընդունված է π/3 ժամանակային միավորով ավելի շուտ, քան f(t) ֆունկցիան «տեղափոխված» ձախ π/3-ով: Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի ժամկետը դրա պատճառով չի փոխվի, այսինքն. Տ y = T 1.

3. Եթե F(x)-ը ինչ-որ ֆունկցիա է, իսկ f(t)-ը պարբերական ֆունկցիա է, և այնպիսին, որ f(t)-ը պատկանում է F(x) – D ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին:Ֆ , ապա F(f (t)) ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է։

Թող F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) ցանկացած t є D-ի համարզ.

ՕՐԻՆԱԿ Ուսումնասիրեք ֆունկցիան պարբերականության համար՝ F(x) = ℓ sinx.

Այս ֆունկցիայի տիրույթը Dզ համընկնում է իրական թվերի բազմության հետ R. f (x) = Sin x.

Այս ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն [-1; 1]. Որովհետեւ հատված [-1; 1] պատկանում է Դզ , ապա F(x) ֆունկցիան պարբերական է։

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x):

2 π – այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջան:

4. Եթե f 1 (t) եւ f 2 ֆունկցիաները (t) պարբերական, համապատասխանաբար, ω պարբերություններով 1 և ω 2 և ω 1 /ω 2 = r, որտեղ r-ը ռացիոնալ թիվ է, ապա ֆունկցիաները

C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) և f 1 (t) f 2 (t) պարբերական են (C 1 և C 2-ը հաստատուններ են):

Նշում. 1) Եթե r = ω 1 /ω 2 = p/q, քանի որ r-ը ռացիոնալ թիվ է, ուրեմն

ω 1 q = ω 2 p = ω, որտեղ ω-ն ω-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է 1 և ω 2 (NOC):

Դիտարկենք C ֆունկցիան 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Իրոք, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - այս գործառույթի ժամանակահատվածը

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .

2) ω – f ֆունկցիայի ժամանակաշրջան 1 (t) f 2 (t), քանի որ

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).

Սահմանում. Թող զ 1 (t) և f (t) պարբերական ֆունկցիաներ են՝ համապատասխանաբար ω կետով 1 և ω 2 , ապա ասում են, որ երկու ժամանակաշրջան համաչափ են, եթեω 1 / ω 2 = r-ը ռացիոնալ թիվ է:

3) Եթե ω 1 և ω 2 պարբերությունները համադրելի չեն, ապա ֆունկցիաները զ 1 (t) + f 2 (t) և

f 1 (t) f 2 (t) պարբերական չեն: Այսինքն, եթե զ 1 (t) և f 2 (t) տարբերվում են հաստատունից, պարբերականից, շարունակականից, դրանց ժամանակաշրջանները համաչափ չեն, ապա զ 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) պարբերական չեն:

4) Թող f(t) = C, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է: Այս ֆունկցիան պարբերական է։ Դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած ռացիոնալ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ այն չունի ամենափոքր դրական շրջանը:

5) Հայտարարությունը ճիշտ է նաև ավելի մեծ թվով գործառույթների համար:

Օրինակ 1. Հետազոտել ֆունկցիայի պարբերականությունը

F(x) = Sin x + Cos x:

Լուծում. Թող f 1 (x) = Sin x, ապա ω 1 = 2πk, որտեղ k є Z.

Տ 1 = 2π - ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը:

f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.

Հարաբերակցությունը T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – ռացիոնալ թիվ, այսինքն. ֆունկցիաների ժամանակաշրջանները զ 1 (x) և f 2 (x) համարժեք են: Սա նշանակում է, որ այս ֆունկցիան պարբերական է։ Գտնենք դրա ժամանակաշրջանը։ Պարբերական ֆունկցիայի սահմանմամբ ունենք

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,

Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,

√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, հետևաբար,

Sin Т/2 = 0, ապա Т = 2πk:

Որովհետեւ (х ± 2πk) є D f , որտեղ f(x) = Sin x + Cos x,

f(x + t) = f(x), ապա f(x) ֆունկցիան պարբերական է ամենափոքր դրական պարբերությամբ 2π:

Օրինակ 2. f(x) = Cos 2x · Sin x ֆունկցիան պարբերակա՞ն է, որքա՞ն է դրա պարբերությունը:

Լուծում. Թող f 1 (x) = Cos 2x, ապա T 1 = 2π: 2 = π (տես 2)

Թող f 2 (x) = Sin x, ապա T 2 = 2պ. Որովհետեւ π/2π = ½-ը ռացիոնալ թիվ է, ապա այս ֆունկցիան պարբերական է: Դրա ժամանակաշրջանը T = NOC

(π, 2π) = 2π.

Այսպիսով, այս ֆունկցիան պարբերական է 2π պարբերությամբ:

5. F(t) ֆունկցիան, որը նույնականորեն հավասար չէ հաստատունի, թող լինի շարունակական և պարբերական, ապա այն ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը ω. 0 , նրա ω-ի ցանկացած այլ ժամանակաշրջան ունի ձևը՝ ω= kω 0, որտեղ k є Z.

Նշում. 1) Այս գույքում շատ կարևոր է երկու պայման.

f(t) շարունակական է, f(t) ≠ C, որտեղ C-ն հաստատուն է:

2) Հակառակ պնդումը ճիշտ չէ: Այսինքն, եթե բոլոր ժամանակաշրջանները համադրելի են, ապա դրանից չի բխում, որ կա ամենափոքր դրական շրջան։ Նրանք. պարբերական ֆունկցիան չի կարող ունենալ ամենափոքր դրական շրջանը:

Օրինակ 1. f(t) = C, պարբերական: Դրա ժամանակաշրջանը ցանկացած իրական թիվ է.

Օրինակ 2. Դիրիխլե ֆունկցիա.

D (x) =

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ նրա ժամանակաշրջանն է.

6. Եթե f(t)-ը շարունակական պարբերական ֆունկցիա է և ω 0 նրա ամենափոքր դրական շրջանն է, ապա f(αt + β) ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերաշրջանը ω 0 /‌/α/. Այս հայտարարությունը բխում է 2-րդ կետից:

Օրինակ 1. Գտե՛ք y = Sin ֆունկցիայի պարբերությունը (2x – 5):

Լուծում. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)):

y ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է Sin x ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ սկզբում երկու անգամ «սեղմելով», ապա 2,5-ով «շեղվելով» աջ։ «Տեղաշարժը չի ազդում պարբերականության վրա, T = π այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է:

Այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը հեշտ է ստանալ՝ օգտագործելով քայլ 6-ի հատկությունը.

T = 2π/2 = π.

7. Եթե f(t) – ω պարբերական ֆունկցիա է, և այն ունի f"(t) շարունակական ածանցյալ, ապա f"(t)-ն նույնպես պարբերական ֆունկցիա է, Т = ω.

Օրինակ 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk: Դրա ածանցյալը f"(t) = Cos t

F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.

Օրինակ 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Դրա ածանցյալը

F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.

Օրինակ 3. f(t) =tg t, դրա ժամանակաշրջանը T = πk:

F"(t) = 1/ Cos 2 t-ը նաև պարբերական է քայլ 7-ի հատկությամբ և ունի T = πk պարբերություն: Դրա ամենափոքր դրական շրջանը T = π է:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ.

№ 1

Արդյո՞ք f(t) = Sin t + Sin πt ֆունկցիան պարբերական է:

Լուծում. Համեմատության համար այս խնդիրը լուծում ենք երկու ճանապարհով.

Նախ՝ պարբերական ֆունկցիայի սահմանմամբ։ Ենթադրենք, որ f(t) պարբերական է, ապա ցանկացած t є D-ի համարզ ունենք՝

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),

2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2։

Որովհետեւ սա ճիշտ է ցանկացած t є D-ի համարզ , ապա մասնավորապես տ 0 , որում վերջին հավասարության ձախ կողմը դառնում է զրո։

Այնուհետև մենք ունենք՝ 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Եկեք լուծենք T-ի համեմատ:

Sin Т/2 = 0 at Т = 2 πk, որտեղ k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Եկեք լուծենք T-ի համեմատ:

Sin πТ/2 = 0, ապա Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, որտեղ n є Z.

Որովհետեւ մենք ունենք ինքնություն, ապա 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, որը չի կարող լինել, քանի որ π իռացիոնալ թիվ է, իսկ n/k-ը ռացիոնալ թիվ է: Այսինքն՝ մեր ենթադրությունը, որ f(t) ֆունկցիան պարբերական է, սխալ էր։

Երկրորդ, լուծումը շատ ավելի պարզ է, եթե օգտագործեք պարբերական ֆունկցիաների վերը նշված հատկությունները.

Թող f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π / π = 2. Այնուհետեւ, T 1 / T 2 = 2π/2 = π իռացիոնալ թիվ է, այսինքն. ժամանակաշրջաններ Թ 1, T 2 համաչափ չեն, ինչը նշանակում է, որ f(t) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ։

№ 2

Ցույց տվեք, որ եթե α-ն իռացիոնալ թիվ է, ապա ֆունկցիան

F(t) = Cos t + Cos αt

պարբերական չէ։

Լուծում. Թող f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt:

Այնուհետեւ նրանց շրջանները համապատասխանաբար Տ 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - ամենափոքր դրական ժամանակաշրջանները: Գտնենք, Տ 1 /Տ 2 = 2π/α//2π = /α/ իռացիոնալ թիվ է։ Այսպիսով, Տ 1 և T 2 անհամեմատելի են, իսկ ֆունկցիան

f(t) պարբերական չէ:

№ 3

Գտե՛ք f(t) = Sin 5t ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը:

Լուծում. Գույքի 2-րդ կետով մենք ունենք.

f(t) – պարբերական; T = 2π/5:

Պատասխան՝ 2π/5:

№ 4

Արդյո՞ք F(x) = arccos x + arcsin x ֆունկցիան պարբերական է:

Լուծում. Դիտարկենք այս գործառույթը

F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,

դրանք. F(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է (տես պարագրաֆ 5-ի հատկությունը, օրինակ 1):

Պատասխան՝ այո։

№ 5

Արդյո՞ք գործառույթը պարբերական է:

F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?

լուծում. Թող f 1 (x) = Sin 2x, ապա T 1 = π;

F 2 (x) = Cos 4x, ապա T 2 = 2π/4 = π/2;

F 3 (x) = 5, T 3 – ցանկացած իրական թիվ, մասնավորապես՝ Տ 3 կարող ենք ենթադրել հավասար Թ 1 կամ T 2 . Այնուհետև այս ֆունկցիայի ժամկետը T = LCM (π, π/2) = π. Այսինքն, f(x) պարբերական է T = π պարբերությամբ:

Պատասխան՝ այո։

№ 6

Արդյո՞ք f(x) = x – E(x) ֆունկցիան պարբերական է, որտեղ E(x) ֆունկցիան է, որը x արգումենտը վերագրում է տրվածը չգերազանցող ամենափոքր ամբողջ թվին:

Լուծում. Հաճախ f(x) ֆունկցիան նշանակում են (x) – x թվի կոտորակային մասը, այսինքն.

F(x) = (x) = x – E(x):

Թող f(x) պարբերական ֆունկցիան լինի, այսինքն. կա T > 0 այնպիսի թիվ, որ x – E(x) = x + T – E(x + T): Եկեք գրենք այս հավասարությունը

(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),

(x) + (x + T) – ճիշտ է D տիրույթից ցանկացած x-ի համարզ, պայմանով, որ T ≠ 0 և T є Z. Դրանցից ամենափոքր դրականը T = 1 է, այսինքն. T =1 այնպիսին, որ

X + T - E (x + T) = x - E (x),

Ավելին, (x ± Tk) є Դ f, որտեղ k є Z.

Պատասխան՝ այս ֆունկցիան պարբերական է։

№ 7

Արդյո՞ք f(x) = Sin x ֆունկցիան պարբերական է: 2 .

Լուծում. Ենթադրենք, որ f(x) = Sin x 2 պարբերական ֆունկցիա։ Այնուհետև, ըստ պարբերական ֆունկցիայի սահմանման, կա T ≠ 0 այնպիսի թիվ, որ՝ Sin x 2 = Sin (x + T) 2 ցանկացած x є D f.

Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,

2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, ապա

Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 կամ Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0:

Դիտարկենք առաջին հավասարումը.

Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,

X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),

Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը.

Sin x 2 - (x+T) 2 /2 = 0,

X + T = √- 2πk + x 2,

Т = √х 2 - 2πk – x. (2)

(1) և (2) արտահայտություններից պարզ է դառնում, որ T-ի հայտնաբերված արժեքները կախված են x-ից, այսինքն. չկա T>0 այնպիսին, որ

Sin x 2 = Sin (x+T) 2

Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից ցանկացած x-ի համար: f(x) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ

№ 8

Պարբերականության համար ուսումնասիրեք f(x) = Cos ֆունկցիան 2 x.

Լուծում. Ներկայացնենք f(x)՝ օգտագործելով կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x:

Թող f 1 (x) = ½, ապա T 1 - դա կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ; զ 2 (x) = ½ Cos 2x-ը պարբերական ֆունկցիա է, քանի որ երկու պարբերական ֆունկցիաների արտադրյալ, որոնք ունեն ընդհանուր T ժամանակաշրջան 2 = պ. Այնուհետեւ այս ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը

T = LOC (T 1, T 2) =π.

Այսպիսով, ֆունկցիան f(x) = Cos 2 x – π – պարբերական:

Պատասխան՝ π պարբերական է:

№ 9

Պարբերական ֆունկցիայի տիրույթը կարո՞ղ է լինել.

Ա) կես տող [a, ∞),

Բ) հատված.

Լուծում. Ոչ, քանի որ

Ա) ըստ պարբերական ֆունկցիայի, եթե x є D f, ապա x ± ω նույնպես

Պետք է պատկանի ֆունկցիայի տիրույթին: Թող x = a, ապա

X 1 = (a – ω) є [a, ∞);

Բ) թող x = 1, ապա x 1 = (1 + T) є .

№ 10

Պարբերական ֆունկցիան կարո՞ղ է լինել.

Ա) խիստ միապաղաղ;

Բ) նույնիսկ;

Գ) նույնիսկ ոչ:

Լուծում. ա) Թող f(x) պարբերական ֆունկցիան լինի, այսինքն. գոյություն ունի Т≠0 այնպիսին, որ D ֆունկցիաների սահմանման տիրույթից ցանկացած x-ի համարզ ինչու

(x ±T) є D f և f (x±T) = f(x):

Եկեք ուղղենք ցանկացած x 0 є D f , որովհետեւ f(x) պարբերական է, ապա (x 0 +T) є D f և f(x 0) = f(x 0 +T):

Ենթադրենք, որ f(x)-ը խիստ միատոն է և D սահմանման ողջ տիրույթումզ , օրինակ, ավելանում է։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար աճող ֆունկցիայի սահմանմամբ 1 և x 2 սահմանման տիրույթից Դզ x անհավասարությունից 1 2 հետևում է, որ f(x 1) 2 ) Մասնավորապես, x պայմանից 0 0 + T, հետևում է, որ

F(x 0) 0 +T), որը հակասում է պայմանին.

Սա նշանակում է, որ պարբերական ֆունկցիան չի կարող խիստ միապաղաղ լինել։

բ) Այո, պարբերական ֆունկցիան կարող է լինել զույգ: Բերենք մի քանի օրինակ։

F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) զույգ պարբերական ֆունկցիա է:

0, եթե x-ը ռացիոնալ թիվ է;

D (x) =

1, եթե x-ը իռացիոնալ թիվ է:

D(x) = D(-x), D(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է։

Direchlet D(x) ֆունկցիան հավասարաչափ պարբերական ֆունկցիա է։

f(x) = (x),

f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x):

Այս գործառույթը նույնիսկ չէ:

գ) Պարբերական ֆունկցիան կարող է կենտ լինել:

f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)

f(x)-ը կենտ պարբերական ֆունկցիա է:

f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,

f(x) – կենտ և պարբերական:

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x)-ը տարօրինակ չէ:

f(x) = tan x – կենտ պարբերական ֆունկցիա:

Պատասխան՝ ոչ; Այո; Այո՛։

№ 11

Քանի՞ զրո կարող է ունենալ պարբերական ֆունկցիան.

1) ; 2) ամբողջ թվային առանցքի վրա, եթե ֆունկցիայի պարբերությունը հավասար է T.

Լուծում. 1. ա) [a, b] հատվածում պարբերական ֆունկցիան կարող է զրո չունենալ, օրինակ՝ f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2:

բ) [a, b] միջակայքում պարբերական ֆունկցիան կարող է ունենալ անսահման թվով զրոներ, օրինակ՝ Դիրեխլե ֆունկցիան։

0, եթե x-ը ռացիոնալ թիվ է,

D (x) =

1, եթե x-ը իռացիոնալ թիվ է:

գ) [a, b] միջակայքում պարբերական ֆունկցիան կարող է ունենալ վերջավոր թվով զրոներ: Գտնենք այս թիվը։

Թող T լինի ֆունկցիայի պարբերությունը։ Նշենք

X 0 = (min x є(a,b), այնպիսին, որ f(x) = 0):

Այնուհետև [a, b] հատվածի զրոների թիվը՝ N = 1 + E (c-x 0 / T):

Օրինակ 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – պարբերական ֆունկցիա T = π ժամանակով; X 0 = -π/2; ապա f(x) ֆունկցիայի զրոների թիվը տրված միջակայքում

N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5:

Օրինակ 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]: f(x) – պարբերական ֆունկցիա, T + 1,

x 0 = -2. Այնուհետեւ f(x) ֆունկցիայի զրոների թիվը տրված միջակայքում

N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11:

Օրինակ 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], Տ 0 = 2π, x 0 = - 5π/2:

Այնուհետեւ այս ֆունկցիայի զրոների թիվը տվյալ ինտերվալի վրա

N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4:

2. ա) Անսահման թվով զրոներ, քանի որ X 0 є D f և f (x 0 ) = 0, ապա բոլոր թվերի համար

Х 0 +Тk, որտեղ k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, և x ձևի կետերը 0 ± Tk-ն անսահման բազմություն է;

բ) չունեն զրոներ. եթե f(x)-ը պարբերական է և ցանկացածի համար

x є D f ֆունկցիա f(x) >0 կամ f(x)

F(x) = Sin x +3.6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) = Sin x – 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5:

№ 12

Կարո՞ղ է ոչ պարբերական ֆունկցիաների գումարը պարբերական լինել:

Լուծում. Այո գուցե։ Օրինակ:

1. զ 1 (x) = x – ոչ պարբերական, զ 2 (x) = E(x) – ոչ պարբերական

F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – պարբերական:

1. զ 1 (x) = x – ոչ պարբերական, f(x) = Sin x + x – ոչ պարբերական

F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – պարբերական:

Պատասխան՝ այո։

№ 13

F(x) և φ(x) ֆունկցիաները T պարբերակներով պարբերական են 1 և T 2 համապատասխանաբար. Արդյո՞ք նրանց արտադրանքը միշտ պարբերական ֆունկցիա է:

Լուծում. Ոչ, միայն այն ժամանակ, երբ Տ 1 և T 2 - համեմատելի. Օրինակ,

F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; ապա T 1 / T 2 = 2π/2 = π իռացիոնալ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ f(x) պարբերական չէ:

f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Թող զ 1 (x) = x – E (x), T 1 = 1;

f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, ինչը նշանակում է, որ f(x) պարբերական չէ:

Պատասխան՝ ոչ։

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

Գործառույթներից որո՞նք են պարբերական, գտե՛ք կետը:

1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,

2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,

3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x + 1,

4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E (x 2),

7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,

8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, եթե n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Թող f(x) – T լինի պարբերական ֆունկցիա: Գործառույթներից որո՞նք են պարբերական (գտե՛ք T):

1. φ(x) = f(x + λ) – պարբերական, քանի որ Ox առանցքի երկայնքով «տեղաշարժը» չի ազդում ω-ի վրա. դրա ժամանակաշրջանը ω = T.
2. φ(x) = a f(x + λ) + в – պարբերական ֆունկցիա ω = T պարբերությամբ:
3. φ(х) = f(kh) – պարբերական ֆունկցիա ω = Т/k ժամանակաշրջանով:
4. φ(x) = f(ax + b) պարբերական ֆունկցիա է ω = T/a պարբերությամբ:
5. φ(x) = f(√x) պարբերական չէ, քանի որ դրա սահմանման տիրույթը Դφ = (x/x ≥ 0), իսկ պարբերական ֆունկցիան չի կարող ունենալ կիսաառանցքով սահմանված տիրույթ։
6. φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) պարբերական ֆունկցիա է, քանի որ

φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.

1. φ(x) = a f 2 (x) + f(x) + c-ում:

Թող φ 1 (x) = a f 2 (x) – պարբերական, ω 1 = t/2;

φ 2 (x) = f(x)-ում – պարբերական, ω 2 = T / T = T;

φ 3 (x) = с – պարբերական, ω 3 - ցանկացած թիվ;

ապա ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) պարբերական է:

Հակառակ դեպքում, քանի որ Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային տողն է, այնուհետև f–E ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը f є D φ , որը նշանակում է ֆունկցիա

φ(x) պարբերական է, իսկ ω = T:

1. φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0:

φ(x) – պարբերական ω = T պարբերությամբ, քանի որ ցանկացած x-ի համար f(x) ֆունկցիան ընդունում է f(x) ≥ 0 արժեքները, այսինքն. դրա արժեքների հավաքածուն E f є D φ , որտեղ

Dφ – φ(z) = √z ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ:

№ 15

Արդյո՞ք f(x) = x ֆունկցիան 2 պարբերական?

Լուծում. Դիտարկենք x ≥ 0, ապա f(x)-ի համար կա √x հակադարձ ֆունկցիա, ինչը նշանակում է, որ այս միջակայքում f(x)-ը միատոն ֆունկցիա է, ապա այն չի կարող պարբերական լինել (տե՛ս թիվ 10):

№ 16

Տրվում է P(x) = a բազմանդամը 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.

Արդյո՞ք P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է:

Լուծում. 1. Եթե նույնականությունը հավասար է հաստատունի, ապա P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, այսինքն. Եթե i = 0, որտեղ i ≥ 1:

2. Թող P(x) ≠ с, որտեղ с-ն ինչ-որ հաստատուն է: Ենթադրենք P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, և թող P(x)-ն ունենա իրական արմատներ, ապա քանի որ P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, ապա դրանք պետք է լինեն անսահման թվով։ Իսկ հանրահաշվի հիմնարար թեորեմի համաձայն՝ նրանց k թիվն այնպիսին է, որ k ≤ n. Սա նշանակում է, որ P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա չէ։

3. Թող P(x)-ը լինի նույնականորեն ոչ զրոյական բազմանդամ, և այն չունի իրական արմատներ: Ենթադրենք, P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է: Ներկայացնենք q(x) = a բազմանդամը 0 , q(x)-ը պարբերական ֆունկցիա է։ Դիտարկենք տարբերությունը P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +a n x n.

Որովհետեւ Հավասարության ձախ կողմում կա պարբերական ֆունկցիա, ապա աջ կողմի ֆունկցիան նույնպես պարբերական է, և այն ունի առնվազն մեկ իրական արմատ՝ x = 0։ Որովհետև Եթե ​​ֆունկցիան պարբերական է, ապա պետք է լինի անսահման թվով զրո։ Մենք հակասություն ստացանք.

P(x)-ը պարբերական ֆունկցիա չէ։

№ 17

Տրվում է f(t) – T – պարբերական ֆունկցիա: Արդյո՞ք f ֆունկցիանդեպի (t), որտեղ

k є Z, պարբերական ֆունկցիա, ինչպե՞ս են դրանց ժամանակաշրջանները կապված:

Լուծում. Մենք կիրականացնենք ապացուցումը մաթեմատիկական ֆունկցիայի մեթոդով։ Թող

f 1 = f (t), ապա f 2 = f 2 (t) = f (t) f (t),

F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 4-րդ քայլի հատկության համաձայն պարբերական ֆունկցիա է:

………………………………………………………………………….

Թող f k-1 = f k-1 (t) – պարբերական ֆունկցիա և դրա ժամանակաշրջան T k-1 համեմատելի է T ժամանակաշրջանի հետ: Վերջին հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով f(t-ով), մենք ստանում ենք f. k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F k = f k (t) պարբերական ֆունկցիա է ըստ 4-րդ քայլի հատկության: ω ≤ Տ.

№ 18

Թող f(x)-ը լինի կամայական ֆունկցիա, որը սահմանված է .

Պատասխան՝ այո, որովհետև (x) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը պատկանում է f(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին, այնուհետև 3-րդ կետի հատկությամբ f((x)) պարբերական ֆունկցիա է, որի ժամանակաշրջանը ω = T = 1: .

№ 19

F(x)-ը կամայական ֆունկցիա է, որը սահմանված է [-1; 1], f(sinx) ֆունկցիան պարբերակա՞ն է:

Պատասխան՝ այո, դրա ժամկետը ω = Т = 2π է (ապացույցը նման է թիվ 18-ին):

Ուսումնասիրելով բնական երևույթները և լուծելով տեխնիկական խնդիրներ՝ մենք հանդիպում ենք պարբերական գործընթացների, որոնք կարելի է բնութագրել հատուկ տեսակի ֆունկցիաներով։

D տիրույթով y = f(x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա առնվազն մեկ թիվ T > 0 այնպես, որ բավարարվեն հետևյալ երկու պայմանները.

1) x + T, x − T կետերը պատկանում են D սահմանման տիրույթին ցանկացած x ∈ D-ի համար;

2) D-ից յուրաքանչյուր x-ի համար գործում է հետևյալ կապը.

f(x) = f(x + T) = f(x - T):

T թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Այլ կերպ ասած, պարբերական ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արժեքները կրկնվում են որոշակի ընդմիջումից հետո: Օրինակ, y = sin x ֆունկցիան պարբերական է (նկ. 1)՝ 2π պարբերությամբ։

Նկատի ունեցեք, որ եթե T թիվը f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, ապա 2T թիվը նույնպես կլինի նրա ժամանակաշրջանը, ինչպես նաև 3T, և 4T և այլն, այսինքն՝ պարբերական ֆունկցիան ունի անսահման շատ տարբեր պարբերություններ։ Եթե ​​դրանց մեջ կա ամենափոքրը (հավասար չէ զրոյի), ապա ֆունկցիայի մյուս բոլոր ժամանակաշրջանները այս թվի բազմապատիկն են։ Նկատի ունեցեք, որ ոչ ամեն պարբերական ֆունկցիա ունի այդքան ամենափոքր դրական շրջանը. օրինակ f(x)=1 ֆունկցիան նման կետ չունի։ Կարևոր է նաև հաշվի առնել, որ, օրինակ, երկու պարբերական ֆունկցիաների գումարը, որոնք ունեն նույն ամենափոքր դրական պարբերաշրջանը T 0, պարտադիր չէ, որ ունենա նույն դրական պարբերությունը: Այսպիսով, f(x) = sin x և g(x) = −sin x ֆունկցիաների գումարն ընդհանրապես չունի ամենափոքր դրական շրջանը, իսկ f(x) = sin x + sin 2x և ֆունկցիաների գումարը. g(x) = −sin x, որի ամենափոքր պարբերությունները հավասար են 2π, ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, որը հավասար է π-ին:

Եթե ​​f(x) և g(x) երկու ֆունկցիաների պարբերությունների հարաբերությունը ռացիոնալ թիվ է, ապա այդ ֆունկցիաների գումարն ու արտադրյալը նույնպես պարբերական ֆունկցիաներ կլինեն։ Եթե ​​ամենուր սահմանված և շարունակական f և g ֆունկցիաների պարբերությունների հարաբերությունը իռացիոնալ թիվ է, ապա f + g և fg ֆունկցիաները արդեն կլինեն ոչ պարբերական ֆունկցիաներ։ Այսպիսով, օրինակ, cos x sin √2 x և cosj √2 x + sin x ֆունկցիաները ոչ պարբերական են, չնայած sin x և cos x ֆունկցիաները պարբերական են 2π պարբերությամբ, sin √2 x և cos ֆունկցիաները։ √2 x-ը պարբերական են √2 π կետով:

Նկատի ունեցեք, որ եթե f(x)-ը T պարբերակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա բարդ ֆունկցիան (եթե, իհարկե, իմաստ ունի) F(f(x)) նույնպես պարբերական ֆունկցիա է, և T թիվը կծառայի որպես դրա։ ժամանակաշրջան. Օրինակ՝ y = sin 2 x, y = √(cos x) (նկ. 2.3) ֆունկցիաները պարբերական ֆունկցիաներ են (այստեղ՝ F 1 (z) = z 2 և F 2 (z) = √z): Այնուամենայնիվ, չպետք է կարծել, որ եթե f(x) ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական շրջանը T 0, ապա F(f(x)) ֆունկցիան նույնպես կունենա նույն ամենափոքր դրական պարբերությունը. օրինակ, y = sin 2 x ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը՝ 2 անգամ պակաս, քան f(x) = sin x ֆունկցիան (նկ. 2):

Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե f ֆունկցիան պարբերական է T պարբերությամբ, սահմանված և տարբերվող իրական ուղիղի յուրաքանչյուր կետում, ապա f"(x) ֆունկցիան (ածանցյալ) նույնպես պարբերական ֆունկցիա է T պարբերությամբ, բայց հակաածանցյալ. F(x) ֆունկցիան (տես Ինտեգրալ հաշվարկ) f(x)-ի համար պարբերական ֆունկցիա կլինի միայն այն դեպքում, եթե

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0:

Կրկնելով դրա արժեքները որոշ կանոնավոր արգումենտի ընդմիջումով, այսինքն՝ չփոխելով դրա արժեքը արգումենտին ֆիքսված ոչ զրոյական թիվ ավելացնելիս ( ժամանակաշրջանգործառույթներ) սահմանման ողջ տիրույթում:

Ավելի պաշտոնական ասած՝ ֆունկցիան կոչվում է պարբերական՝ կետով T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), եթե յուրաքանչյուր կետի համար x (\displaystyle x)կետի սահմանման իր տիրույթից x + T (\ցուցադրման ոճ x+T)Եվ x − T (\ցուցադրման ոճ x-T)նույնպես պատկանում են դրա սահմանման տիրույթին, իսկ նրանց համար հավասարությունը f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\ցուցադրման ոճ f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Սահմանման հիման վրա հավասարությունը ճիշտ է նաև պարբերական ֆունկցիայի համար f (x) = f (x + n T) (\ցուցադրման ոճ f(x)=f(x+nT)), Որտեղ n (\displaystyle n)- ցանկացած ամբողջ թիվ:

Այնուամենայնիվ, եթե մի շարք ժամանակահատվածներ ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))կա ամենափոքր արժեք, ապա այն կոչվում է հիմնական (կամ հիմնական) ժամանակաշրջանգործառույթները։

Օրինակներ

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \բոլոր x\in \mathbb (R) .)

• Դիրիխլեի ֆունկցիան պարբերական է. Այն նաև չունի հիմնական շրջան։

Պարբերական ֆունկցիաների որոշ առանձնահատկություններ

Եվ T 2 (\displaystyle T_(2))(սակայն, այս թիվը պարզապես ժամանակաշրջան է լինելու): Օրինակ՝ ֆունկցիան f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))հիմնական ժամանակաշրջանն է 2 π (\displaystyle 2\pi), ֆունկցիայի ժամանակ g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))ժամանակահատվածը հավասար է 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), և դրանց գումարը f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))հիմնական ժամանակաշրջանն ակնհայտորեն հավասար է π (\displaystyle \pi).

• Անհամեմատելի պարբերություններով երկու ֆունկցիաների գումարը միշտ չէ, որ ոչ պարբերական ֆունկցիա է։

Սովորական դպրոցական առաջադրանքներում ապացուցել պարբերականությունըԱյս կամ այն ​​ֆունկցիայի սովորաբար դժվար չէ. հետևաբար, համոզվելու համար, որ $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ ֆունկցիան պարբերական է, բավական է պարզապես նշել, որ $T=4\times7\ 2\pi$ անգամ նրա ժամանակաշրջանն է. եթե T թիվը գումարենք x-ին, ապա այս արտադրյալը «կխլի» երկու հայտարարները և սինուսի նշանի տակ ավելորդ կլինեն միայն $2\pi$-ի ամբողջ բազմապատիկները, ինչը կլինի « կերել է» հենց սինուսով:

Բայց ոչ պարբերականության ապացույցայս կամ այն ​​ֆունկցիան ուղղակիորեն ըստ սահմանման կարող է ընդհանրապես պարզ չլինել: Այսպիսով, վերը թվարկված $y=\sin x^2$ ֆունկցիայի ոչ պարբերականությունն ապացուցելու համար կարող եք դուրս գրել $sin(x+T)^2=\sin x^2$ հավասարությունը, բայց չլուծել. այս եռանկյունաչափական հավասարումը սովորությունից դուրս, բայց գուշակեք և փոխարինեք դրանում x=0, որից հետո գրեթե ինքնաբերաբար տեղի կունենա հետևյալը՝ $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, որտեղ k-ն է. 0-ից մեծ մի ամբողջ թիվ, այսինքն. $T=\sqrt (k\pi)$, և եթե հիմա գուշակենք, որ դրանում փոխարինենք $x=\sqrt (\pi)$, ապա կստացվի, որ $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, որտեղից $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, և այսպիսով p թիվը $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$ հավասարման արմատն է, այսինքն. հանրահաշվական է, որը չի համապատասխանում իրականությանը. $\pi$-ը, ինչպես գիտենք, տրանսցենդենտալ է, այսինքն. ամբողջ թվային գործակիցներով ոչ մի հանրահաշվական հավասարման արմատը չէ: Այնուամենայնիվ, ապագայում մենք կստանանք այս պնդման շատ ավելի պարզ ապացույց, բայց մաթեմատիկական վերլուծության օգնությամբ:

Ֆունկցիաների ոչ պարբերականությունն ապացուցելիս հաճախ օգնում է տարրական տրամաբանական հնարք՝ եթե բոլոր պարբերական ֆունկցիաներն ունեն որոշակի հատկություն, բայց տվյալ ֆունկցիան չունի, ապա դա բնականաբար. պարբերական չէ. Այսպիսով, պարբերական ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած արժեք անսահման շատ անգամ, և հետևաբար, օրինակ, $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ. արժեքը 7 է, այն ընդունում է միայն երկու կետում: Հաճախ ոչ պարբերականությունն ապացուցելու համար հարմար է օգտագործել դրա առանձնահատկությունները սահմանման տիրույթ, իսկ պարբերական ֆունկցիաների ցանկալի հատկությունը գտնելու համար երբեմն պետք է որոշակի երևակայություն ցուցաբերել։

Նկատենք նաև, որ շատ հաճախ, երբ հարցնում են, թե ինչ է ոչ պարբերական ֆունկցիան, պատասխան է լսվում այն ​​ոճով, որի մասին խոսեցինք՝ կապված. զույգ և կենտ ֆունկցիաներ, այն է, երբ $f(x+T)\neq f(x)$, ինչը, իհարկե, անընդունելի է։

Իսկ ճիշտ պատասխանը կախված է պարբերական ֆունկցիայի կոնկրետ սահմանումից, և, ելնելով վերը տրված սահմանումից, մենք, իհարկե, կարող ենք ասել, որ ֆունկցիան ոչ պարբերական է, եթե չունի մեկ պարբերություն, բայց դա կլինի. «վատ» սահմանում, որը ուղղություն չի տալիս ոչ պարբերականության վկայություն. Եվ եթե այն ավելի գաղտնազերծենք՝ նկարագրելով, թե ինչ է նշանակում «f ֆունկցիան չունի մեկ կետ» նախադասությունը, կամ, նույնն է՝ «$T \neq 0$ ոչ մի թիվ f ֆունկցիայի կետ չէ», ապա. մենք ստանում ենք, որ f ֆունկցիան պարբերական չէ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր $T \neq 0$-ի համար կա $x\ D(f)$-ում այնպիսի թիվ, որ $x+T$ և $ թվերից գոնե մեկը լինի։ x-T$-ը չի պատկանում D(f), կամ $f(x+T)\neq f(x)$-ին:

Դուք կարող եք դա այլ կերպ ասել. «Կա $x\in D(f)$-ում այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը $f(x+T) = f(x)$ չի պահպանվում» - այս հավասարությունը կարող է չպահպանվել երկուսի համար: պատճառները. կամ դա իմաստ չունի, այսինքն. դրա մասերից մեկը անորոշ է, կամ, հակառակ դեպքում, սխալ է: Հետաքրքրության համար ավելացնում ենք, որ լեզվական էֆեկտը, որի մասին խոսեցինք վերևում, նույնպես դրսևորվում է այստեղ. քանի որ «ճշմարիտ չլինել» և «կեղծ» հավասարությունը նույնը չէ, հավասարությունը կարող է դեռևս իմաստ չունենալ:

Լեզվական այս ազդեցության պատճառների և հետևանքների մանրամասն պարզաբանումը իրականում ոչ թե մաթեմատիկայի, այլ լեզվի տեսության, լեզվաբանության, կամ ավելի ճիշտ՝ դրա հատուկ բաժնի թեման է՝ իմաստաբանություն՝ իմաստի գիտություն, որտեղ, սակայն, սրանք. հարցերը շատ բարդ են և չունեն միանշանակ լուծում: Եվ մաթեմատիկան, ներառյալ դպրոցականը, ստիպված է համակերպվել այս դժվարությունների հետ և հաղթահարել լեզվական «խնդիրները», մինչդեռ և քանի որ այն օգտագործում է խորհրդանշական բնական լեզվի հետ մեկտեղ:

Ներկայացման նախադիտումներից օգտվելու համար ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com

Սլայդի ենթագրեր.

Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, 10-րդ դասարան (պրոֆիլի մակարդակ) Ա.Գ.Մորդկովիչ, Պ.Ե.Ուսուցիչ Վոլկովա Ս.Է.

Սահմանում 1 y = f (x), x ∈ X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, եթե ցանկացած x ∈ X-ի համար գործում է f (x – T) = f (x) = f (x + T): Եթե ​​x կետում սահմանված է T ժամկետով ֆունկցիա, ապա այն սահմանվում է նաև x + T, x – T կետերում: Ցանկացած ֆունկցիա T = 0-ում ունի զրոյի պարբերություն, մենք ստանում ենք f(x – 0) = f: (x) = f( x + 0) .

Սահմանում 2 Այն ֆունկցիան, որն ունի ոչ զրոյական T պարբերություն, կոչվում է պարբերական։ Եթե ​​y = f (x), x ∈ X ֆունկցիան ունի T կետ, ապա ցանկացած թիվ, որը T-ի բազմապատիկն է (այսինքն kT, k ∈ Z ձևի թիվը) նույնպես նրա պարբերությունն է։

Ապացույց Թող 2T լինի ֆունկցիայի պարբերությունը: Այնուհետև f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f (x - 2T): Նմանապես, ապացուցված է, որ f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) և այլն: Այսպիսով, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Պարբերական ֆունկցիայի դրական ժամանակաշրջանների մեջ ամենափոքր ժամանակաշրջանը կոչվում է այս ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջան։

Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկի առանձնահատկությունները Եթե T-ն y = f(x ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է), ապա բավական է. այս ճյուղը x առանցքի երկայնքով ±T, ±2T, ±3T և այլն: Սովորաբար բացը ընտրվում է կետերում ծայրերով

Պարբերական ֆունկցիաների հատկությունները 1. Եթե f(x)-ը T պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է, ապա g(x) = A f(kx + b) ֆունկցիան, որտեղ k > 0, նույնպես պարբերական է T 1 = T/ պարբերաշրջանով։ կ. 2. Թող f 1 (x) և f 2 (x) ֆունկցիան սահմանված լինի ամբողջ թվային առանցքի վրա և լինի պարբերական՝ T 1 > 0 և T 2 >0 պարբերություններով: Այնուհետև, T 1 /T 2 ∈ Q-ի համար f(x) = f(x) + f 2 (x) ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է, որի ժամանակաշրջանը հավասար է T 1 և T 2 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին:

Օրինակներ 1. Բոլոր իրական թվերի համար սահմանված է y = f(x) պարբերական ֆունկցիան։ Նրա պարբերությունը 3 է, իսկ f(0) =4: Գտե՛ք 2f(3) – f(-3) արտահայտության արժեքը: Լուծում. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4: Ստացված արժեքները փոխարինելով 2f արտահայտությամբ (3) - f(-3) , ստանում ենք 8 - 4 =4: Պատասխան՝ 4.

Օրինակներ 2. Բոլոր իրական թվերի համար սահմանված է y = f(x) պարբերական ֆունկցիան։ Դրա ժամանակաշրջանը 5 է, իսկ f(-1) = 1: Գտե՛ք f(-12), եթե 2f(3) – 5f(9) = 9. Լուծում T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Պատասխան:7.

Օգտագործված գրականություն A.G. Mordkovich, P.V. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (պրոֆիլի մակարդակ), դասարան 10 A.G. Mordkovich, P.V. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (պրոֆիլի մակարդակ), 10-րդ դաս. Մեթոդական ձեռնարկ ուսուցիչների համար

Թեմայի վերաբերյալ՝ մեթոդական մշակումներ, ներկայացումներ և նշումներ

Պարբերական օրենքը և պարբերական համակարգը Դ.Ի. Մենդելեևը.

Այս թեմայով համապարփակ դասն անցկացվում է խաղի տեսքով՝ օգտագործելով մանկավարժական սեմինարների տեխնոլոգիայի տարրերը։...

Արտադասարանական միջոցառում «Դ.Ի. Մենդելեևի պարբերական օրենքը և քիմիական տարրերի պարբերական համակարգը»

Արտադասարանական գործունեությունը բացահայտում է պարբերական օրենքի և պարբերական համակարգի ստեղծման պատմությունը Դ.Ի. Մենդելեևը. Տեղեկատվությունը ներկայացված է բանաստեղծական տեսքով, ինչը հեշտացնում է արագ մտապահումը...

«Պարբերական օրենքը և Դ.Ի. Մենդելեևի քիմիական տարրերի պարբերական համակարգը» արտադասարանական գործունեության հավելված.

Օրենքի բացահայտմանը նախորդել է երկար ու լարված գիտական ​​աշխատանքը Դ.Ի. Մենդելեևը 15 տարի, իսկ դրա հետագա խորացումը տրվեց ևս 25 տարի....