Տրված է x պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը։ Շարունակական պատահական փոփոխականի ակնկալիք

………………………………………………………

Аn - պատահական X փոփոխականը վերցրել է An արժեքը:

Ակնհայտ է, որ իրադարձությունների գումարը A1 A2, . An-ը հուսալի իրադարձություն է, քանի որ պատահական փոփոխականը պետք է վերցնի x1, x2, xn արժեքներից առնվազն մեկը։

Հետեւաբար P (A1 È A2 È . È An) = 1:

Բացի այդ, A1, A2, ., An իրադարձությունները անհամապատասխան են, քանի որ մեկ փորձի ընթացքում պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել միայն x1, x2, ., xn արժեքներից մեկը: Օգտագործելով գումարման թեորեմը անհամատեղելի իրադարձությունների համար՝ մենք ստանում ենք

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

այսինքն p1+p2+. +pn = 1, կամ, կարճ ասած,

Հետևաբար, 1-ին աղյուսակի երկրորդ շարքում գտնվող բոլոր թվերի գումարը, որը տալիս է X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, պետք է հավասար լինի մեկի:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Թող պատահական X փոփոխականը լինի զառ նետելիս ստացված միավորների թիվը: Գտեք բաշխման օրենքը (աղյուսակի տեսքով):

X պատահական փոփոխականը արժեքներ է ընդունում

x1=1, x2=2, …, x6=6

հավանականությունների հետ

р1= р2 = … = р6 =

Բաշխման օրենքը տրված է աղյուսակով.

աղյուսակ 2

ՕՐԻՆԱԿ 2.Երկանդամ բաշխում. Դիտարկենք X պատահական փոփոխականը՝ A-ի դեպքերի քանակը անկախ փորձերի շարքում, որոնցից յուրաքանչյուրում A-ն տեղի է ունենում p հավանականությամբ։

Պատահական X փոփոխականն ակնհայտորեն կարող է վերցնել հետևյալ արժեքներից մեկը.

0, 1, 2, ., k, ., n.

Իրադարձության հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը կընդունի k-ին հավասար արժեք, որոշվում է Բեռնուլիի բանաձևով.

Рn(k)= որտեղ q=1- р.

Պատահական փոփոխականի այս բաշխումը կոչվում է երկանդամ բաշխում կամ Բեռնուլիի բաշխում։ Բեռնուլիի բաշխումն ամբողջությամբ որոշվում է երկու պարամետրով՝ բոլոր փորձերի n թիվը և p հավանականությունը, որով իրադարձություն է տեղի ունենում յուրաքանչյուր առանձին փորձի ժամանակ:

Երկանդամ բաշխման պայմանն ունի հետևյալ ձևը.

Այս հավասարության վավերականությունն ապացուցելու համար բավական է ինքնության մեջ

(q+px)n=

դնել x=1.

ՕՐԻՆԱԿ 3.Պուասոնի բաշխում. Սա ձևի հավանականության բաշխման անվանումն է.

Р(k)= .

Այն որոշվում է մեկ (դրական) պարամետրով ա. Եթե ​​ξ-ը Պուասոնի բաշխմամբ պատահական փոփոխական է, ապա համապատասխան a պարամետրը այս պատահական փոփոխականի միջին արժեքն է.

a=Mξ=, որտեղ M-ը մաթեմատիկական ակնկալիքն է:

Պատահական փոփոխականը հետևյալն է.

ՕՐԻՆԱԿ 4.Էքսպոնենցիալ բաշխում.

Եթե ​​ժամանակը պատահական փոփոխական է, եկեք այն նշանակենք τ-ով այնպես, որ

որտեղ 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

t պատահական փոփոխականի միջին արժեքը հետևյալն է.

Բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

4) նորմալ բաշխում

Թող լինեն անկախ, նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականներ և թող Եթե ​​անդամները բավականաչափ փոքր են, և n թիվը բավականաչափ մեծ է, եթե n à ∞-ի համար Mξ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և Dξ շեղումը հավասար է Dξ=M(ξ–Mξ)2-ին, այնպիսին են, որ Mξ~a, Dξ. ~ σ2, ապա

- նորմալ կամ գաուսյան բաշխում

.

5) երկրաչափական բաշխում. Եկեք ξ-ով նշենք առաջին «հաջողության» սկզբին նախորդող փորձությունների թիվը։ Եթե ​​ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր թեստ տևում է ժամանակի միավոր, ապա ξ կարող ենք համարել սպասման ժամանակը մինչև առաջին «հաջողությունը»: Բաշխումը նման է.

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Հիպերերկրաչափական բաշխում.

Կան N օբյեկտ, որոնցից n-ն «հատուկ օբյեկտներ» են։ Բոլոր օբյեկտներից պատահականորեն ընտրվում են k-օբյեկտները: Գտեք հավանականությունը, որ ընտրված օբյեկտների մեջ կան r-ին հավասար՝ «հատուկ օբյեկտներ»: Բաշխումը նման է.

7) Պասկալի բաշխում.

Թող x լինի r-րդ «հաջողության» ժամանումին նախորդող «ձախողումների» ընդհանուր թիվը: Բաշխումը նման է.

Բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը.

Հավասար հավանականության բաշխումը ենթադրում է, որ պատահական x փոփոխականը կարող է ընդունել ցանկացած արժեք հավասար հավանականությամբ: Բաշխման խտությունը հաշվարկվում է որպես

Բաշխման խտության գրաֆիկները և բաշխման ֆունկցիան ներկայացված են ստորև:

Նախքան «սպիտակ աղմուկ» հասկացությունը բացատրելը, անհրաժեշտ է տալ մի շարք սահմանումներ.

Պատահական ֆունկցիան t ոչ պատահական արգումենտի ֆունկցիա է, որը փաստարկի յուրաքանչյուր ֆիքսված արժեքի համար պատահական փոփոխական է։ Օրինակ, եթե U-ը պատահական փոփոխական է, ապա X(t)=t2U ֆունկցիան պատահական է։

Պատահական ֆունկցիայի խաչմերուկը պատահական փոփոխական է, որը համապատասխանում է պատահական ֆունկցիայի փաստարկի ֆիքսված արժեքին։ Այսպիսով, պատահական ֆունկցիան կարող է դիտվել որպես պատահական փոփոխականների բազմություն (X(t))՝ կախված t պարամետրից։

Պատահական փոփոխական փոփոխական է, որը կարող է որոշակի արժեքներ ընդունել՝ կախված տարբեր հանգամանքներից, և պատահական փոփոխականը կոչվում է շարունակական , եթե այն կարող է վերցնել ցանկացած արժեք ցանկացած սահմանափակ կամ անսահմանափակ միջակայքից: Շարունակական պատահական փոփոխականի համար անհնար է նշել բոլոր հնարավոր արժեքները, ուստի մենք նշում ենք այդ արժեքների միջակայքերը, որոնք կապված են որոշակի հավանականությունների հետ:

Շարունակական պատահական փոփոխականների օրինակները ներառում են. տրված չափի տրամագիծը, մարդու բարձրությունը, արկի թռիչքի տիրույթը և այլն:

Քանի որ շարունակական պատահական փոփոխականների համար ֆունկցիան Ֆ(x), ի տարբերություն դիսկրետ պատահական փոփոխականներ, ոչ մի տեղ թռիչքներ չունի, ապա շարունակական պատահական փոփոխականի ցանկացած անհատական ​​արժեքի հավանականությունը զրո է։

Սա նշանակում է, որ շարունակական պատահական փոփոխականի համար անիմաստ է խոսել դրա արժեքների միջև հավանականության բաշխման մասին. դրանցից յուրաքանչյուրն ունի զրոյական հավանականություն։ Այնուամենայնիվ, ինչ-որ իմաստով, շարունակական պատահական փոփոխականի արժեքների թվում կան «ավելի ու քիչ հավանական»: Օրինակ, դժվար թե որևէ մեկը կասկածի, որ պատահական փոփոխականի արժեքը՝ պատահական հանդիպած մարդու հասակը, 170 սմ, ավելի հավանական է, քան 220 սմ, չնայած երկու արժեքներն էլ կարող են լինել գործնականում:

Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա և հավանականության խտություն

Որպես բաշխման օրենք, որն իմաստ ունի միայն շարունակական պատահական փոփոխականների համար, ներկայացվում է բաշխման խտության կամ հավանականության խտության հասկացությունը։ Եկեք մոտենանք դրան՝ համեմատելով բաշխման ֆունկցիայի նշանակությունը շարունակական պատահական փոփոխականի և դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար։

Այսպիսով, պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան (ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական) կամ ինտեգրալ ֆունկցիակոչվում է ֆունկցիա, որը որոշում է պատահական փոփոխականի արժեքի հավանականությունը Xսահմանային արժեքից փոքր կամ հավասար X.

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար իր արժեքների կետերում x1 , x 2 , ..., xես,...հավանականությունների զանգվածները կենտրոնացած են էջ1 , էջ 2 , ..., էջես,..., և բոլոր զանգվածների գումարը հավասար է 1-ի։ Եկեք այս մեկնաբանությունը տեղափոխենք շարունակական պատահական փոփոխականի դեպք։ Պատկերացնենք, որ 1-ին հավասար զանգվածը կենտրոնացած չէ առանձին կետերում, այլ շարունակաբար «քսվում» է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով. Օ՜որոշ անհավասար խտությամբ: Պատահական փոփոխականի ցանկացած տարածքի մեջ ընկնելու հավանականությունը xկմեկնաբանվի որպես զանգված մեկ հատվածում, իսկ միջին խտությունը այդ հատվածում որպես զանգվածի և երկարության հարաբերակցություն: Մենք հենց նոր ներմուծեցինք հավանականության տեսության մի կարևոր հայեցակարգ՝ բաշխման խտությունը։

Հավանականության խտությունը զ(x) շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալն է.

.

Իմանալով խտության ֆունկցիան՝ կարող եք գտնել այն հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականի արժեքը պատկանում է փակ միջակայքին [ ա; բ]:

շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականությունը Xցանկացած արժեք կվերցնի միջակայքից [ ա; բ], հավասար է նրա հավանականության խտության որոշակի ինտեգրալին՝ սկսած անախքան բ:

.

Այս դեպքում ֆունկցիայի ընդհանուր բանաձեւը Ֆ(x) շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխում, որը կարող է օգտագործվել, եթե հայտնի է խտության ֆունկցիան զ(x) :

.

Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության գրաֆիկը կոչվում է դրա բաշխման կոր (ստորև նկարը):

Ֆիգուրի տարածքը (նկարում ստվերված) սահմանափակված կորով, կետերից գծված ուղիղ գծերով աԵվ բ x-առանցքին ուղղահայաց, իսկ առանցքը Օ՜, գրաֆիկորեն ցուցադրում է շարունակական պատահական փոփոխականի արժեքը X-ի սահմաններում է անախքան բ.

Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության ֆունկցիայի հատկությունները

1. Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը ցանկացած արժեք կվերցնի միջակայքից (և այն գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով. զ(x) և առանցք Օ՜) հավասար է մեկի.

2. Հավանականության խտության ֆունկցիան չի կարող բացասական արժեքներ ընդունել.

իսկ բաշխման գոյությունից դուրս դրա արժեքը զրո է

Բաշխման խտությունը զ(x), ինչպես նաև բաշխման ֆունկցիան Ֆ(x), բաշխման օրենքի ձևերից մեկն է, բայց ի տարբերություն բաշխման ֆունկցիայի, այն ունիվերսալ չէ. բաշխման խտությունը գոյություն ունի միայն շարունակական պատահական փոփոխականների համար։

Եկեք նշենք գործնականում շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման երկու կարևորագույն տեսակները։

Եթե ​​բաշխման խտության ֆունկցիան զ(x) շարունակական պատահական փոփոխական որոշ վերջավոր միջակայքում [ ա; բ] ընդունում է հաստատուն արժեք Գ, իսկ միջակայքից դուրս վերցնում է զրոյի հավասար արժեք, ապա սա բաշխումը կոչվում է միատեսակ .

Եթե ​​բաշխման խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը կենտրոնի նկատմամբ սիմետրիկ է, միջին արժեքները կենտրոնանում են կենտրոնի մոտ, իսկ կենտրոնից հեռանալիս հավաքվում են միջինից ավելի տարբերները (ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է մի հատվածի. զանգ), ապա սա բաշխումը կոչվում է նորմալ .

Օրինակ 1.Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման ֆունկցիան հայտնի է.

Գտեք գործառույթը զ(x) շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը. Կառուցեք երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները: Գտեք հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը ցանկացած արժեք կընդունի 4-ից 8-ի միջակայքում:

Լուծում. Մենք ստանում ենք հավանականության խտության ֆունկցիան՝ գտնելով հավանականության բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալը.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ Ֆ(x) - պարաբոլա.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ զ(x) - ուղիղ:

Եկեք գտնենք հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը ցանկացած արժեք կընդունի 4-ից 8-ի միջակայքում:

Օրինակ 2.Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության ֆունկցիան տրված է հետևյալ կերպ.

Հաշվել գործակիցը Գ. Գտեք գործառույթը Ֆ(x) շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխում. Կառուցեք երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները: Գտեք հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը ցանկացած արժեք կընդունի 0-ից 5 միջակայքում:

Լուծում. Գործակից ԳՄենք գտնում ենք, օգտագործելով հավանականության խտության ֆունկցիայի հատկությունը 1.

Այսպիսով, շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության ֆունկցիան հետևյալն է.

Ինտեգրվելով՝ մենք գտնում ենք ֆունկցիան Ֆ(x) հավանականությունների բաշխումներ. Եթե x < 0 , то Ֆ(x) = 0. Եթե ​​0< x < 10 , то

.

x> 10, ապա Ֆ(x) = 1 .

Այսպիսով, հավանականության բաշխման ֆունկցիայի ամբողջական գրառումը հետևյալն է.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ զ(x) :

Ֆունկցիայի գրաֆիկ Ֆ(x) :

Եկեք գտնենք հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը ցանկացած արժեք կընդունի 0-ից 5-ի միջակայքում.

Օրինակ 3.Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը Xտրված է հավասարությամբ և . Գտեք գործակիցը Ա, հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխական է Xցանկացած արժեք կվերցնի ]0, 5[ միջակայքից՝ շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան X.

Լուծում. Պայմանով մենք հասնում ենք հավասարության

Հետևաբար, որտեղից. Այսպիսով,

.

Այժմ մենք գտնում ենք շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականությունը Xցանկացած արժեք կվերցնի ]0, 5[:

Այժմ մենք ստանում ենք այս պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան.

Օրինակ 4.Գտե՛ք շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը X, որն ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, և դրա բաշխման ֆունկցիան .

Վարժություն 1. Շարունակական պատահական X փոփոխականի բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.
Գտնել.
ա) պարամետր A;
բ) բաշխման ֆունկցիա F(x) ;
գ) պատահական X փոփոխականի՝ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը.
դ) մաթեմատիկական ակնկալիք MX և շեղում DX:
Գծե՛ք f(x) և F(x) ֆունկցիաների գրաֆիկը:

Առաջադրանք 2. Գտե՛ք ինտեգրալ ֆունկցիայի կողմից տրված պատահական X փոփոխականի շեղումը:

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ հաշվի առնելով բաշխման ֆունկցիան:

Առաջադրանք 4. Որոշ պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը տրված է հետևյալ կերպ. f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Գտեք A գործակիցը, բաշխման ֆունկցիան F(x), մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, ինչպես նաև հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում: Գծե՛ք f(x) և F(x) գրաֆիկները:

Առաջադրանք. Որոշ շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան տրված է հետևյալ կերպ.

Որոշեք a և b պարամետրերը, գտեք f(x) հավանականության խտության արտահայտությունը, մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, ինչպես նաև այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում: Գծե՛ք f(x) և F(x) գրաֆիկները:

Գտնենք բաշխման խտության ֆունկցիան որպես բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալ։
F′=f(x)=a
Իմանալով, որ մենք կգտնենք a պարամետրը.

կամ 3a=1, որտեղից a = 1/3
Մենք գտնում ենք b պարամետրը հետևյալ հատկություններից.
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 որտեղից b = -1/3
Հետևաբար բաշխման ֆունկցիան ունի ձև՝ F(x) = (x-1)/3

Ակնկալվող արժեքը.


Ցրվածություն.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Գտնենք հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Օրինակ թիվ 1. Տրված է անընդհատ պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունը f(x): Պահանջվում է:

1. Որոշել գործակից Ա.
2. գտնել բաշխման ֆունկցիան F(x) .
3. Սխեմատիկորեն կառուցեք F(x) և f(x) գրաֆիկները:
4. գտե՛ք X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
5. գտե՛ք հավանականությունը, որ X-ը արժեք կվերցնի (2;3) միջակայքից:

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4:
Լուծում:

Պատահական X փոփոխականը նշվում է f(x) բաշխման խտությամբ.

Գտնենք Ա պարամետրը պայմանից.



կամ
14/3*A-1 = 0
Որտեղ,
A = 3/14

Բաշխման գործառույթը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատահական ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐ

Օրինակ 2.1.Պատահական արժեք Xտրված է բաշխման ֆունկցիայով

Գտեք հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում Xկվերցնի արժեքներ, որոնք պարունակվում են միջակայքում (2.5; 3.6):

Լուծում: Xմիջակայքում (2.5; 3.6) կարելի է որոշել երկու եղանակով.

Օրինակ 2.2.Պարամետրերի ինչ արժեքներով ԱԵվ INֆունկցիան Ֆ(x) = A + Be - xկարող է լինել բաշխման ֆունկցիա պատահական փոփոխականի ոչ բացասական արժեքների համար X.

Լուծում:Քանի որ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները Xպատկանում են միջակայքին, ապա որպեսզի ֆունկցիան լինի բաշխման ֆունկցիա X, գույքը պետք է բավարարվի.

.

Պատասխան. .

Օրինակ 2.3. X պատահական փոփոխականը նշվում է բաշխման ֆունկցիայի միջոցով

Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ չորս անկախ թեստերի արդյունքում արժեքը Xուղիղ 3 անգամ կվերցնի միջակայքին պատկանող արժեք (0,25;0,75):

Լուծում:Արժեքին հարվածելու հավանականությունը Xմիջակայքում (0.25;0.75) մենք գտնում ենք՝ օգտագործելով բանաձևը.

Օրինակ 2.4.Մեկ հարվածով գնդակի զամբյուղին դիպչելու հավանականությունը 0,3 է։ Կազմեք բաշխման օրենք երեք նետումներով հարվածների քանակի համար:

Լուծում:Պատահական արժեք X– զամբյուղում երեք հարվածներով հարվածների քանակը – կարող է ընդունել հետևյալ արժեքները՝ 0, 1, 2, 3: Հավանականություններ, որոնք X

X:

Օրինակ 2.5.Երկու հրաձիգներից յուրաքանչյուրը կրակում է թիրախի վրա: Առաջին կրակողի կողմից դրան խոցելու հավանականությունը 0,5 է, երկրորդինը՝ 0,4։ Կազմեք բաշխման օրենք թիրախին հարվածների քանակի համար:

Լուծում:Գտնենք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը X- թիրախին հարվածների քանակը: Թող իրադարձությունը լինի թիրախին դիպչող առաջին կրակողը, և լինի թիրախը խոցող երկրորդը և համապատասխանաբար լինի նրանց բաց թողածը:

Կազմենք SV-ի հավանականության բաշխման օրենքը X:

Օրինակ 2.6.Փորձարկվում են երեք տարրեր, որոնք գործում են միմյանցից անկախ: Տարրերի առանց խափանումների շահագործման ժամանակի (ժամերով) տևողությունը ունի բաշխման խտության ֆունկցիա՝ առաջինի համար. Ֆ 1 (տ) =1-էլ. 0,1 տ, երկրորդի համար. Ֆ 2 (տ) = 1-էլ. 0,2 տ, երրորդի համար. Ֆ 3 (տ) =1-էլ. 0,3 տ. Գտեք հավանականությունը, որ 0-ից 5 ժամ ժամանակային միջակայքում միայն մեկ տարր կխափանվի. միայն երկու տարր չի հաջողվի. բոլոր երեք տարրերը ձախողվելու են:

Լուծում:Եկեք օգտագործենք հավանականության գեներացնող ֆունկցիայի սահմանումը.

Հավանականությունը, որ անկախ փորձարկումներում, որոնցից առաջինում՝ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Ահավասար է , երկրորդում և այլն, իրադարձությանը Ահայտնվում է ուղիղ մեկ անգամ, հավասար է գեներացնող ֆունկցիայի ընդլայնման գործակցին . Եկեք գտնենք առաջին, երկրորդ և երրորդ տարրի, համապատասխանաբար, ձախողման և չխափանման հավանականությունը 0-ից 5 ժամ ժամանակային միջակայքում.

Եկեք ստեղծենք գեներացնող ֆունկցիա.

at գործակիցը հավասար է իրադարձության հավանականությանը Ակհայտնվի ուղիղ երեք անգամ, այսինքն, բոլոր երեք տարրերի ձախողման հավանականությունը. at գործակիցը հավասար է այն հավանականությանը, որ ճիշտ երկու տարր կխափանվեն. at գործակիցը հավասար է միայն մեկ տարրի ձախողման հավանականությանը:

Օրինակ 2.7.Հաշվի առնելով հավանականության խտությունը զ(x) պատահական փոփոխական X:

Գտեք բաշխման ֆունկցիան F(x):

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

.

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը.

Օրինակ 2.8.Սարքը բաղկացած է երեք անկախ գործող տարրերից. Մեկ փորձի ժամանակ յուրաքանչյուր տարրի ձախողման հավանականությունը 0,1 է: Կազմեք բաշխման օրենք մեկ փորձի ընթացքում ձախողված տարրերի քանակի համար:

Լուծում:Պատահական արժեք X- մեկ փորձի ընթացքում ձախողված տարրերի թիվը կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները՝ 0, 1, 2, 3: Հավանականություններ, որոնք Xհաշվի առնելով այս արժեքները, մենք գտնում ենք, օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման հետևյալ օրենքը X:

Օրինակ 2.9. 6 մասից բաղկացած խմբաքանակում կա 4 ստանդարտ: Պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 3 մաս։ Կազմեք բաշխման օրենք ընտրվածների մեջ ստանդարտ մասերի քանակի համար:

Լուծում:Պատահական արժեք X– ընտրվածների մեջ ստանդարտ մասերի քանակը – կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները՝ 1, 2, 3 և ունի հիպերերկրաչափական բաշխում: Հավանականություններ, որ X

Որտեղ -- խմբաքանակի մասերի քանակը;

-- ստանդարտ մասերի քանակը խմբաքանակում;

– ընտրված մասերի քանակը;

-- ընտրվածների մեջ ստանդարտ մասերի քանակը:

.

.

.

Օրինակ 2.10.Պատահական փոփոխականն ունի բաշխման խտություն

և հայտնի չեն, բայց, ա և. Գտեք և.

Լուծում:Այս դեպքում պատահական փոփոխականը Xունի եռանկյուն բաշխում (Սիմփսոնի բաշխում) միջակայքում [ ա, բ]. Թվային բնութագրեր X:

Հետևաբար, . Այս համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք երկու զույգ արժեք՝ . Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանների, վերջապես ունենք. .

Պատասխան. .

Օրինակ 2.11.Միջին հաշվով, պայմանագրերի 10%-ից ցածր, ապահովագրական ընկերությունը վճարում է ապահովագրական գումարներ՝ կապված ապահովագրական դեպքի առաջացման հետ: Հաշվարկեք նման պայմանագրերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը և ցրվածությունը պատահականորեն ընտրված չորս պայմանագրերի միջև:

Լուծում:Մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

.

SV-ի հնարավոր արժեքները (պայմանագրերի քանակը (չորսից) ապահովագրական դեպքի առաջացման դեպքում՝ 0, 1, 2, 3, 4:

Մենք օգտագործում ենք Բեռնուլիի բանաձևը տարբեր թվով պայմանագրերի (չորսից) հավանականությունները հաշվարկելու համար, որոնց համար վճարվել են ապահովագրական գումարները.

.

IC բաշխման շարքը (ապահովագրված իրադարձության առաջացման պայմանագրերի քանակը) ունի ձև.

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 2.12.Հինգ վարդերից երկուսը սպիտակ են։ Կազմե՛ք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, որն արտահայտում է սպիտակ վարդերի քանակը միաժամանակ երկուսի միջև:

Լուծում:Երկու վարդերի ընտրության մեջ կարող է լինել կամ սպիտակ վարդ, կամ կարող է լինել մեկ կամ երկու սպիտակ վարդ: Հետևաբար, պատահական փոփոխականը Xկարող է արժեքներ վերցնել՝ 0, 1, 2. Հավանականություններ, որ Xվերցնելով այս արժեքները, մենք գտնում ենք այն բանաձևով.

Որտեղ -- վարդերի քանակը;

-- սպիտակ վարդերի քանակը;

– միաժամանակ վերցված վարդերի քանակը;

-- վերցվածների մեջ սպիտակ վարդերի թիվը.

.

.

.

Այնուհետև պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կլինի հետևյալը.

Օրինակ 2.13.Հավաքված 15 միավորներից 6-ը պահանջում են լրացուցիչ քսում: Կազմեք բաշխման օրենք ընդհանուր թվից պատահականորեն ընտրված հինգ միավորների համար, որոնք լրացուցիչ քսելու կարիք ունեն:

Լուծում:Պատահական արժեք X– ընտրված հինգի մեջ լրացուցիչ քսում պահանջող միավորների թիվը – կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5 և ունի հիպերերկրաչափական բաշխում: Հավանականություններ, որ Xվերցնելով այս արժեքները, մենք գտնում ենք այն բանաձևով.

Որտեղ -- հավաքված միավորների քանակը;

-- միավորների քանակը, որոնք պահանջում են լրացուցիչ քսում.

– ընտրված միավորների քանակը;

-- ընտրվածների մեջ լրացուցիչ քսում պահանջող միավորների քանակը:

.

.

.

.

.

.

Այնուհետև պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կլինի հետևյալը.

Օրինակ 2.14.Վերանորոգման համար ստացված 10 ժամացույցներից 7-ը պահանջում են մեխանիզմի ընդհանուր մաքրում։ Ժամացույցները դասավորված չեն ըստ վերանորոգման։ Վարպետը, ցանկանալով գտնել մաքրման կարիք ունեցող ժամացույցներ, հերթով զննում է դրանք և, գտնելով այդպիսի ժամացույցներ, դադարեցնում է հետագա դիտումը։ Գտեք դիտված ժամերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Լուծում:Պատահական արժեք X– ընտրված հինգի մեջ լրացուցիչ քսելու կարիք ունեցող միավորների թիվը կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները՝ 1, 2, 3, 4: Հավանականություններ, որոնք Xվերցնելով այս արժեքները, մենք գտնում ենք այն բանաձևով.

.

.

.

.

Այնուհետև պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կլինի հետևյալը.

Հիմա եկեք հաշվարկենք քանակի թվային բնութագրերը.

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 2.15.Բաժանորդը մոռացել է իրեն անհրաժեշտ հեռախոսահամարի վերջին թվանշանը, բայց հիշում է, որ այն կենտ է։ Գտեք այն թվի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը, թե քանի անգամ նա հավաքում է հեռախոսահամարը մինչև ցանկալի համարին հասնելը, եթե նա պատահականորեն հավաքում է վերջին թվանշանը և այնուհետև չի հավաքում հավաքած թվանշանը:

Լուծում:Պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները. Քանի որ բաժանորդը ապագայում չի հավաքում հավաքած թվանշանը, այդ արժեքների հավանականությունը հավասար է:

Եկեք կազմենք պատահական փոփոխականի բաշխման շարք.

	0,2

Եկեք հաշվարկենք հավաքման փորձերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը.

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 2.16.Սերիայի յուրաքանչյուր սարքի հուսալիության փորձարկման ժամանակ ձախողման հավանականությունը հավասար է էջ. Որոշեք սարքերի քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որոնք ձախողվել են, եթե դրանք փորձարկվեն Նսարքեր.

Լուծում:Դիսկրետ պատահական X փոփոխականը ձախողված սարքերի թիվն է Նանկախ թեստեր, որոնցից յուրաքանչյուրում ձախողման հավանականությունը հավասար է p,բաշխված ըստ երկանդամ օրենքի. Երկանդամ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փորձությունների թվին, որը բազմապատկվում է մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությամբ.

Օրինակ 2.17.Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xվերցնում է 3 հնարավոր արժեք՝ հավանականությամբ ; հավանականությամբ և հավանականությամբ։ Գտեք և, իմանալով, որ M( X) = 8.

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումները և դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

Մենք գտնում ենք.

Օրինակ 2.18.Տեխնիկական հսկողության բաժինը ստուգում է արտադրանքի ստանդարտությունը: Արտադրանքի ստանդարտ լինելու հավանականությունը 0,9 է։ Յուրաքանչյուր խմբաքանակ պարունակում է 5 ապրանք: Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը X– խմբաքանակների քանակը, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է ուղիղ 4 ստանդարտ արտադրանք, եթե 50 խմբաքանակը ենթակա է ստուգման:

Լուծում:Այս դեպքում անցկացված բոլոր փորձերը անկախ են, և հավանականությունը, որ յուրաքանչյուր խմբաքանակ պարունակում է ճշգրիտ 4 ստանդարտ արտադրանք, նույնն են, հետևաբար, մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է որոշվել բանաձևով.

,

որտեղ է կուսակցությունների թիվը;

Հավանականությունը, որ խմբաքանակը պարունակում է ուղիղ 4 ստանդարտ արտադրանք:

Մենք գտնում ենք հավանականությունը՝ օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը.

Պատասխան. .

Օրինակ 2.19.Գտեք պատահական փոփոխականի շեղումը X- իրադարձության դեպքերի քանակը Աերկու անկախ փորձարկումներում, եթե այս փորձարկումներում տեղի ունեցող իրադարձության հավանականությունը նույնն է, և հայտնի է, որ Մ(X) = 0,9.

Լուծում:Խնդիրը կարող է լուծվել երկու ճանապարհով.

1) SV-ի հնարավոր արժեքները X 0, 1, 2: Օգտագործելով Բերնուլիի բանաձևը, մենք որոշում ենք այս իրադարձությունների հավանականությունը.

, , .

Հետո բաշխման օրենքը Xունի ձև.

Մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումից մենք որոշում ենք հավանականությունը.

Գտնենք ՍՎ-ի ցրվածությունը X:

.

2) Դուք կարող եք օգտագործել բանաձևը.

.

Պատասխան. .

Օրինակ 2.20.Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը Xհամապատասխանաբար հավասար է 20-ի և 5-ի.Գտե՛ք հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում Xկվերցնի (15; 25) միջակայքում պարունակվող արժեքը:

Լուծում:Նորմալ պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը X-ից մինչև հատվածի վրա արտահայտվում է Լապլասի ֆունկցիայի միջոցով.

Օրինակ 2.21.Տրված գործառույթ.

Պարամետրի ինչ արժեքով Գայս ֆունկցիան որոշ շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունն է X? Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը X.

Լուծում:Որպեսզի ֆունկցիան լինի որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը, այն պետք է լինի ոչ բացասական և պետք է բավարարի հատկությունը.

.

Հետևաբար.

Հաշվարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ օգտագործելով բանաձևը.

.

Եկեք հաշվարկենք շեղումը բանաձևով.

T-ն հավասար է էջ. Անհրաժեշտ է գտնել այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը։

Լուծում:Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենքը - անկախ փորձարկումներում իրադարձության դեպքերի թիվը, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է, կոչվում է երկանդամ: Երկանդամ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փորձությունների քանակի և մեկ փորձության ընթացքում Ա իրադարձության առաջացման հավանականության արտադրյալին.

.

Օրինակ 2.25.Երեք անկախ կրակոց է արձակվում թիրախի ուղղությամբ։ Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը 0,25 է։ Որոշեք հարվածների քանակի ստանդարտ շեղումը երեք կրակոցով:

Լուծում:Քանի որ կատարվում են երեք անկախ փորձարկումներ, և յուրաքանչյուր փորձարկումում A իրադարձության (հարված) առաջանալու հավանականությունը նույնն է, մենք կենթադրենք, որ դիսկրետ պատահական X փոփոխականը՝ թիրախին հարվածների քանակը, բաշխվում է ըստ երկանդամ օրենք.

Երկանդամ բաշխման շեղումը հավասար է փորձարկումների քանակի և մեկ փորձության մեջ իրադարձության առաջանալու և չպատահելու հավանականության արտադրյալին.

Օրինակ 2.26. 10 րոպեում ապահովագրական ընկերություն այցելող հաճախորդների միջին թիվը երեքն է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ հաճախորդ կգա առաջիկա 5 րոպեների ընթացքում:

5 րոպեում ժամանող հաճախորդների միջին թիվը. . .

Օրինակ 2.29.Ծրագրի սպասման ժամանակը պրոցեսորի հերթում ենթարկվում է էքսպոնենցիալ բաշխման օրենքին, որի միջին արժեքը 20 վայրկյան է: Գտեք հավանականությունը, որ հաջորդ (պատահական) հարցումը կսպասի պրոցեսորին ավելի քան 35 վայրկյան:

Լուծում:Այս օրինակում մաթեմատիկական ակնկալիքը , և ձախողման մակարդակը հավասար է.

Այնուհետև ցանկալի հավանականությունը.

Օրինակ 2.30. 15 ուսանողներից բաղկացած խումբը հանդիպում է անցկացնում 20 շարքով 10-ական տեղանոց դահլիճում: Յուրաքանչյուր ուսանող պատահականորեն տեղ է գրավում դահլիճում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ շարքի յոթերորդ տեղում կլինի ոչ ավելի, քան երեք հոգի։

Լուծում:

Օրինակ 2.31.

Այնուհետև, ըստ հավանականության դասական սահմանման.

Որտեղ -- խմբաքանակի մասերի քանակը;

-- խմբաքանակում ոչ ստանդարտ մասերի քանակը.

– ընտրված մասերի քանակը;

-- ընտրվածների մեջ ոչ ստանդարտ մասերի քանակը:

Այնուհետև պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կլինի հետևյալը.

Մաթեմատիկական ակնկալիքԴիսկրետ պատահական փոփոխականը կոչվում է.

Արժեքների անսահման բազմության դեպքում կա մի շարք (4.4-ի աջ կողմում), և մենք կդիտարկենք միայն X-ի այն արժեքները, որոնց համար այս շարքը բացարձակապես կոնվերգենտ է:

M(X)ներկայացնում է պատահական փոփոխականի միջին ակնկալվող արժեքը: Այն ունի հետևյալ հատկությունները.

1) M(C)=C, որտեղ C=կոնստ

2) M (CX)=CM (X) (4.5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), ցանկացած X-ի և Y-ի համար:

4) M (XY)=M (X)M(Y), եթե X-ը և Y-ն անկախ են:

Պատահական փոփոխականի արժեքների ցրման աստիճանը գնահատել իր միջին արժեքի շուրջ M(X)= Ա ներկայացվում են հասկացություններ շեղումներD(X)և միջին քառակուսի (ստանդարտ) շեղում: Տարբերությունկոչվում է քառակուսի տարբերության մաթեմատիկական ակնկալիք (X-),դրանք. :

D(X)=M(X-) 2 = p i,

Որտեղ =M (X);սահմանվում է որպես շեղման քառակուսի արմատ, այսինքն. .

Տարբերությունը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

(4.6)

Դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հատկությունները.

1) D(C)=0, որտեղ C=կոնստ

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

եթե X-ը և Y-ն անկախ են.

Մեծությունների չափը և համընկնում է պատահական X փոփոխականի չափի հետ, իսկ D(X)-ի չափը հավասար է X պատահական փոփոխականի չափման քառակուսուն։

4.3. Մաթեմատիկական գործողություններ պատահական փոփոխականների վրա:

Թող պատահական X փոփոխականը վերցնի արժեքներ հավանականություններով, իսկ պատահական Y փոփոխականը՝ X պատահական փոփոխականի արտադրյալը և K հաստատունը նոր պատահական փոփոխական է, որը նույն հավանականություններով է, ինչ պատահականը: X փոփոխականը, ընդունում է X պատահական փոփոխականի K արժեքներով արտադրյալներին հավասար արժեքներ: Հետևաբար, դրա բաշխման օրենքը ունի Աղյուսակ 4.2 ձևը.

Աղյուսակ 4.2

			...
			...

Քառակուսիպատահական X փոփոխական, այսինքն. , նոր պատահական փոփոխական է, որը նույն հավանականությամբ, ինչ X պատահական փոփոխականը, վերցնում է արժեքներ, որոնք հավասար են իր արժեքների քառակուսիներին:

Գումարպատահական X և Y փոփոխականները նոր պատահական փոփոխական է, որը վերցնում է ձևի բոլոր արժեքները հավանականություններով, որոնք արտահայտում են հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը կվերցնի արժեքը, իսկ Y-ն արժեք է, այսինքն.

(4.8)

Եթե ​​X և Y պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա.

X և Y պատահական փոփոխականների տարբերությունը և արտադրյալը որոշվում են նույն կերպ:

Տարբերությունպատահական փոփոխականներ X և Y - սա նոր պատահական փոփոխական է, որը վերցնում է ձևի բոլոր արժեքները, և աշխատանքը- ձևի բոլոր արժեքները հավանականություններով որոշված ​​բանաձևով (4.8), և եթե X և Y պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա (4.9) բանաձևով:

4.4. Բեռնուլիի և Պուասոնի բաշխումները.

Դիտարկենք n նույնական կրկնվող փորձարկումների հաջորդականությունը, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները.

1. Յուրաքանչյուր թեստ ունի երկու արդյունք, որոնք կոչվում են հաջողություն և ձախողում:

Այս երկու արդյունքները փոխադարձաբար անհամատեղելի և հակադիր իրադարձություններ են:

2. Հաջողության հավանականությունը, որը նշվում է p, մնում է հաստատուն փորձարկումից փորձություն: Անհաջողության հավանականությունը նշվում է q-ով:

3. Բոլոր n թեստերն անկախ են: Սա նշանակում է, որ n կրկնվող փորձարկումներից որևէ մեկում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը կախված չէ այլ փորձարկումների արդյունքներից:

Հավանականությունը, որ n անկախ կրկնվող փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է , դեպքը տեղի կունենա ճշգրիտ m անգամ (ցանկացած հաջորդականությամբ), հավասար է.

(4.10)

Արտահայտությունը (4.10) կոչվում է Բեռնուլիի բանաձև։

Իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը.

ա) m-ից պակաս անգամ,

բ) ավելի քան m անգամ,

գ) առնվազն մ անգամ,

դ) ոչ ավելի, քան m անգամ - հայտնաբերվում են համապատասխանաբար ըստ բանաձևերի.

Binomial-ը դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենքն է. իրադարձության դեպքերի թիվը n անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է p-ի; X = 0,1,2,..., m,...,n հնարավոր արժեքների հավանականությունները հաշվարկվում են Բեռնուլիի բանաձևով (Աղյուսակ 4.3):

Աղյուսակ 4.3

Հաջողությունների թիվը X=m				...	մ	...	n
Հավանականություն Պ				...		...

Քանի որ (4.10) բանաձևի աջ կողմը ներկայացնում է երկանդամների ընդլայնման ընդհանուր տերմինը, բաշխման այս օրենքը կոչվում է. երկանդամ. Երկանդամ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական X փոփոխականի համար մենք ունենք.