Ֆերմայի վերջին թեորեմի պատմությունը. Ֆելիքս Կիրսանով
Ֆերմայի վերջին թեորեմը Սինգհ Սայմոն
«Ապացուցվե՞լ է արդյոք Ֆերմայի վերջին թեորեմը»։
Դա միայն առաջին քայլն էր Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրությունն ապացուցելու ուղղությամբ, սակայն Ուայլսի ռազմավարությունը մաթեմատիկական փայլուն բեկում էր, արդյունք, որն արժանի էր հրապարակման: Բայց Ուայլսի՝ լռության ինքնահաստատ երդման պատճառով, նա չկարողացավ մնացած աշխարհին պատմել իր արդյունքի մասին և պատկերացում անգամ չուներ, թե ուրիշ ով կարող է նույնքան նշանակալի առաջընթաց կատարել:
Ուայլսը հիշում է իր փիլիսոփայական վերաբերմունքը ցանկացած պոտենցիալ մրցակցի նկատմամբ. «Ոչ ոք չի ցանկանում տարիներ ծախսել ինչ-որ բան ապացուցելու համար և բացահայտել, որ մեկ ուրիշին հաջողվել է գտնել ապացույցը մի քանի շաբաթ առաջ: Բայց, տարօրինակ կերպով, քանի որ ես փորձում էի լուծել մի խնդիր, որն ըստ էության համարվում էր անլուծելի, այնքան էլ չէի վախենում մրցակիցներից։ Ես պարզապես չէի սպասում, որ ես կամ մեկ ուրիշը կգա մի գաղափար, որը կբերի ապացույցների»:
1988 թվականի մարտի 8-ին Ուայլսը ցնցվեց՝ տեսնելով թերթերի առաջին էջերի մեծատառով վերնագրերը, որտեղ գրված էր. «Ֆերմատի վերջին թեորեմն ապացուցվեց»։ The Washington Post-ը և New York Times-ը հայտնել են, որ Տոկիոյի Մետրոպոլիտեն համալսարանի երեսունութամյա Յոիչի Միյաոկան լուծել է աշխարհի ամենադժվար մաթեմատիկական խնդիրը: Միյաոկան դեռ չի հրապարակել իր ապացույցը, բայց նկարագրել է դրա առաջընթացը Բոննի Մաքս Պլանկի մաթեմատիկայի ինստիտուտում անցկացված սեմինարի ժամանակ: Միյաոկայի ելույթին ներկա Դոն Ցագիրն արտահայտեց մաթեմատիկական հանրության լավատեսությունը հետևյալ խոսքերով. Մենք դեռ լիովին վստահ չենք, բայց մինչ այժմ ապացույցները շատ հուսադրող են թվում»:
Ելույթ ունենալով Բոննում կայացած սեմինարի ժամանակ՝ Միյաոկան խոսել է խնդրի լուծման իր մոտեցման մասին, որը նա դիտարկել է բոլորովին այլ՝ հանրահաշվաերկրաչափական տեսանկյունից։ Անցած տասնամյակների ընթացքում երկրաչափերը հասել են մաթեմատիկական առարկաների, մասնավորապես մակերեսների հատկությունների խորը և նուրբ ըմբռնմանը: 70-ականներին ռուս մաթեմատիկոս Ս.Առաքելովը փորձել է զուգահեռներ հաստատել հանրահաշվական երկրաչափության և թվերի տեսության խնդիրների միջև։ Սա Լանգլենդսի ծրագրի ուղղություններից մեկն էր, և մաթեմատիկոսները հույս ունեին, որ թվերի տեսության չլուծված խնդիրները կարող են լուծվել երկրաչափության համապատասխան խնդիրներն ուսումնասիրելով, որոնք նույնպես մնացել են չլուծված: Այս ծրագիրը հայտնի էր որպես զուգահեռության փիլիսոփայություն։ Այն հանրահաշվական երկրաչափերը, ովքեր փորձում էին խնդիրներ լուծել թվերի տեսության մեջ, կոչվում էին «թվաբանական հանրահաշվական երկրաչափեր»։ 1983 թվականին նրանք ազդարարեցին իրենց առաջին նշանակալից հաղթանակը, երբ Փրինսթոնի առաջադեմ հետազոտությունների ինստիտուտից Գերդ Ֆալթինգսը նշանակալի ներդրում ունեցավ Ֆերմատի թեորեմի ըմբռնման գործում: Հիշեցնենք, որ, ըստ Ֆերմայի, հավասարումը
ժամը n 2-ից մեծը չունի լուծումներ ամբողջ թվերով: Ֆալթինգսը որոշեց, որ առաջընթաց է գրանցել Ֆերմայի վերջին թեորեմն ապացուցելու հարցում՝ ուսումնասիրելով տարբեր արժեքների հետ կապված երկրաչափական մակերեսները։ n. Տարբեր արժեքների համար Ֆերմայի հավասարումների հետ կապված մակերեսներ n, տարբերվում են միմյանցից, բայց ունեն մեկ ընդհանուր հատկություն՝ բոլորն ունեն անցքեր, կամ, պարզ ասած, անցքեր։ Այս մակերեսները քառաչափ են, ինչպես մոդուլային ձևերի գրաֆիկները: Երկու մակերեսների երկչափ հատվածները ներկայացված են Նկ. 23. Ֆերմայի հավասարման հետ կապված մակերեսները նման են տեսքին: Որքան բարձր է արժեքը nհավասարման մեջ, այնքան ավելի շատ անցքեր կան համապատասխան մակերեսի վրա:
Բրինձ. 23. Այս երկու մակերեսները ստացվել են Mathematica համակարգչային ծրագրի միջոցով: Նրանցից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է հավասարումը բավարարող կետերի տեղը x n + y n = z n(ձախ կողմում գտնվող մակերեսի համար n=3, աջ կողմում գտնվող մակերեսի համար n= 5): Փոփոխականներ xԵվ yայստեղ համարվում են բարդ
Ֆալթինգսը կարողացավ ապացուցել, որ քանի որ նման մակերևույթները միշտ ունեն մի քանի անցք, Ֆերմատի հավասարումը կարող է ունենալ միայն ամբողջական լուծումների վերջավոր հավաքածու: Լուծումների թիվը կարող է լինել ամեն ինչ՝ զրոյից, ինչպես ենթադրում էր Ֆերմատը, մինչև միլիոն կամ միլիարդ: Այսպիսով, Ֆալթինգսը չապացուցեց Ֆերմայի վերջին թեորեմը, բայց գոնե կարողացավ մերժել Ֆերմատի հավասարման անսահման շատ լուծումներ ունենալու հնարավորությունը։
Հինգ տարի անց Միյաոկան զեկուցեց, որ մեկ քայլ առաջ է գնացել: Այդ ժամանակ նա արդեն քսան տարեկան էր: Միյաոկան որոշ անհավասարության վերաբերյալ վարկած է ձևակերպել։ Պարզ դարձավ, որ նրա երկրաչափական ենթադրությունն ապացուցելը կնշանակի ապացուցել, որ Ֆերմայի հավասարման լուծումների թիվը ոչ միայն վերջավոր է, այլ հավասար է զրոյի։ Միյաոկայի մոտեցումը նման էր Ուայլսի մոտեցումներին, քանի որ նրանք երկուսն էլ փորձեցին ապացուցել Ֆերմայի վերջին թեորեմը՝ այն կապելով մաթեմատիկայի մեկ այլ ճյուղի հիմնարար վարկածի հետ։ Միյաոկայի համար դա հանրահաշվական երկրաչափություն էր Ուայլսի համար, ապացուցման ուղին անցնում էր էլիպսային կորերի և մոդուլային ձևերի միջով: Ուայլսի մեծ դժգոհությունը նա դեռևս պայքարում էր ապացուցելու Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրությունը, երբ Միյաոկան պնդում էր, որ ունի իր ենթադրության և, հետևաբար, Ֆերմայի Վերջին թեորեմի ամբողջական ապացույցը:
Բոննում ունեցած ելույթից երկու շաբաթ անց Միյաոկան հրապարակեց հինգ էջ հաշվարկներ, որոնք կազմում էին նրա ապացույցի էությունը, և սկսվեց մանրակրկիտ քննությունը։ Թվերի տեսաբաններն ու հանրահաշվական երկրաչափության մասնագետներն ամբողջ աշխարհում տող առ տող ուսումնասիրել են, հրապարակել հաշվարկներ։ Մի քանի օր անց մաթեմատիկոսները ապացուցման մեջ հայտնաբերեցին մեկ հակասություն, որը չէր կարող անհանգստություն չառաջացնել։ Միյաոկայի աշխատանքի մի մասը հանգեցրեց թվերի տեսության մի հայտարարության, որը, երբ թարգմանվեց հանրահաշվական երկրաչափության լեզվով, ստացավ մի հայտարարություն, որը հակասում էր մի քանի տարի առաջ ստացված արդյունքին: Թեև դա պարտադիր չէ, որ անվավեր ճանաչի Միյաոկայի ամբողջ ապացույցը, սակայն հայտնաբերված հակասությունը չի տեղավորվում թվերի տեսության և երկրաչափության միջև զուգահեռության փիլիսոփայության մեջ:
Եվս երկու շաբաթ անց Գերդ Ֆալթինգսը, ով ճանապարհ էր հարթել Միյաոկեի համար, հայտարարեց, որ հայտնաբերել է ակնհայտ զուգահեռության խախտման ճշգրիտ պատճառը՝ բանականության բացը: Ճապոնացի մաթեմատիկոսը երկրաչափ էր և ամբողջովին խստապահանջ չէր, երբ իր գաղափարները թարգմանում էր թվերի տեսության ոչ այնքան ծանոթ տարածք: Թվերի տեսաբանների մի բանակ կատաղի ջանքեր գործադրեց՝ փակելու Միյաոկայի ապացույցի անցքը, բայց ապարդյուն: Երկու ամիս անց այն բանից հետո, երբ Միյաոկան պնդում էր, որ ունի Ֆերմայի վերջին թեորեմի ամբողջական ապացույցը, մաթեմատիկական հանրությունը հանգեց միաձայն եզրակացության. Միյաոկայի ապացույցը դատապարտված էր ձախողման:
Ինչպես նախորդ ձախողված ապացույցների դեպքում, Միյաոկան կարողացավ շատ հետաքրքիր արդյունքներ ստանալ: Նրա ապացույցների որոշ հատվածներ ուշագրավ էին որպես երկրաչափության շատ հնարամիտ կիրառումներ թվերի տեսության մեջ, իսկ հետագա տարիներին այլ մաթեմատիկոսներ դրանք օգտագործեցին որոշ թեորեմներ ապացուցելու համար, բայց ոչ ոքի չհաջողվեց այս կերպ ապացուցել Ֆերմայի վերջին թեորեմը:
Ֆերմայի վերջին թեորեմի շուրջ աղմուկը շուտով մարեց, և թերթերը կարճ հաղորդագրություններ տարածեցին, որտեղ ասվում էր, որ երեք հարյուր տարվա վաղեմության գլուխկոտրուկը դեռևս չլուծված է: Հետևյալ մակագրությունը հայտնվեց Նյու Յորքի մետրոյի Ութերորդ փողոցի պատին, անկասկած, ոգեշնչված Ֆերմայի վերջին թեորեմի մամուլի հրապարակումներից. xn + yn = znլուծումներ չունի. Ես գտա այս փաստի իսկապես զարմանալի ապացույցը, բայց ես չեմ կարող դա գրել այստեղ, քանի որ իմ գնացքը եկել է»:
Գլուխ տասներորդ ԿՈԿՈԴԻԼՈՍՆԵՐԻ ՖԵՐՄԱ Նրանք քշում էին գեղատեսիլ ճանապարհով հին Ջոնի մեքենայով՝ նստած հետևի նստատեղերին: Ղեկին մի սև վարորդ էր վառ վերնաշապիկով, տարօրինակ կտրված գլխով: Նրա սափրված գանգի վրա կանգնած էին մետաղալարից կարծր սև մազերի թփեր, տրամաբանություն
Պատրաստվելով մրցավազքին. Ալյասկա, Լինդա Պլեթների Iditarod Farm-ը սահնակներով շների ամենամյա մրցավազք է Ալյասկայում: Երթուղու երկարությունը 1150 մղոն է (1800 կմ): Սա սահնակներով շների աշխարհի ամենաերկար մրցավազքն է: Մեկնարկ (հանդիսավոր) - 2000 թվականի մարտի 4-ին Անքորիջից: Սկսել
Այծերի ֆերմա Գյուղում ամռանը շատ գործ կա. Երբ եղանք Խոմուտեց գյուղում, այնտեղ խոտ էր հավաքվում, և թարմ կտրատած խոտաբույսերի բուրավետ ալիքները կարծես թափանցում էին շուրջբոլորը: Խոտաբույսերը պետք է ժամանակին հնձել, որպեսզի չհասունանան, այնուհետև կպահպանվի ամեն ինչ արժեքավոր և սննդարար: նրանցում. Սա
Ամառային ֆերմա Մի ծղոտ, ինչպես ձեռքի կայծակ, ապակի խոտի մեջ; Մեկ ուրիշը, ցանկապատի վրա ստորագրելով, ձիու տաշտի մեջ կանաչ բաժակ Ջրի կրակ վառեց։ Կապույտ մթնշաղի մեջ Ինը բադեր թափառում են՝ ճոճվելով, գետնի երկայնքով զուգահեռ գծերի ոգով: Այստեղ հավը մենակ ոչնչի վրա է նայում
Ավերված ագարակ Հանգիստ արևը, ինչպես մուգ կարմիր ծաղիկը, Սուզվեց գետնին, աճեց մայրամուտի մեջ, Բայց գիշերվա վարագույրը պարապ ուժի մեջ գծեց աշխարհը, անհանգստացած հայացքից: Լռություն էր տիրում անտուն ֆերմայում, Կարծես մեկը մազերը պոկել էր, Կակտուսի համար կռիվ էին անում.
Ֆերմա, թե՞ ֆերմա: 1958 թվականի փետրվարի 13-ին Մոսկվայի կենտրոնական և այնուհետև մարզային բոլոր թերթերը հրապարակեցին Ուկրաինայի Կոմկուսի Կենտկոմի որոշումը «Զապորոժիեի շրջանի կոլեկտիվ ֆերմերներից կովերի գնման սխալի մասին» որոշումը։ Մենք նույնիսկ ամբողջ շրջանի մասին չէինք խոսում, այլ նրա երկու շրջանների՝ Պրիմորսկու մասին
Ֆերմատի խնդիրը 1963 թվականին, երբ նա ընդամենը տասը տարեկան էր, Էնդրյու Ուայլսն արդեն հիացած էր մաթեմատիկայով։ «Դպրոցում ես սիրում էի խնդիրներ լուծել, դրանք տանում էի տուն և յուրաքանչյուր խնդրից նորերը ստեղծում: Բայց ամենալավ խնդիրը, որ ես երբևէ հանդիպել եմ, տեղին էր
Պյութագորասի թեորեմից մինչև Ֆերմայի վերջին թեորեմ Պյութագորասի թեորեմը և Պյութագորասի եռյակների անվերջ թիվը գրքում քննարկվել են Է.Թ. Բելի «Մեծ խնդիրը» - նույն գրադարանային գիրքը, որը գրավեց Էնդրյու Ուայլսի ուշադրությունը: Եվ չնայած Պյութագորացիները հասել են գրեթե ամբողջական
Մաթեմատիկան Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացուցումից հետո Տարօրինակ է, բայց ինքը՝ Ուայլսը, հակասական զգացումներ ուներ իր զեկույցի վերաբերյալ. Աշխատում է ապացույցի վրա
Գլուխ 63 Հին ՄաքԼենոնի ագարակը Նյու Յորք վերադառնալուց մոտ մեկուկես ամիս անց, Լենոնի բնակարանում հեռախոսը զանգահարեց Յոկո Օնոյին արական ձայնով
Պոնտրյագինի թեորեմը Կոնսերվատորիայի հետ միաժամանակ հայրս սովորում էր Մոսկվայի պետական համալսարանում, սովորում էր մեխանիկա և մաթեմատիկա։ Հաջողությամբ ավարտել է դպրոցը և նույնիսկ որոշ ժամանակ վարանում է մասնագիտության ընտրության հարցում։ Երաժշտագիտությունը հաղթեց՝ օգուտ քաղելով հորս դասընկերներից մեկի մաթեմատիկական մտածելակերպից
Թեորեմ Կրոնական միավորման՝ քահանա ընտրելու իրավունքի թեորեմը ապացույցի կարիք ունի։ Դրանում ասվում է. «Ուղղափառ համայնքը ստեղծվում է... համայնքի կողմից ընտրված և թեմական եպիսկոպոսի կողմից օրհնված քահանայի հոգևոր առաջնորդությամբ»:
I. Ֆերմա («Ահա, հավի աղբից...») Ահա, հավի կղանքից Մեկ փրկությունը ավելն է։ Սեր - ո՞ր մեկը: - Նա ինձ տարավ հավի բուծարան: Հացահատիկը թմբկահարելով՝ հավերը քրքջում են, աքլորները կարևոր քայլում են։ Եվ առանց չափի ու գրաքննության Մտքում բանաստեղծություններ են հորինվում։ Պրովանսալ կեսօրի մասին
Պիեռ Ֆերմատը, կարդալով Դիոֆանտ Ալեքսանդրացու «Թվաբանությունը» և խորհելով դրա խնդիրների մասին, սովորություն ուներ գրքի լուսանցքում գրի առնել իր մտորումների արդյունքները հակիրճ մեկնաբանությունների տեսքով։ Գրքի լուսանցքներում Դիոֆանտոսի ութերորդ խնդրի դեմ Ֆերմատը գրել է. Ընդհակառակը, անհնար է ոչ մի խորանարդը բաժանել երկու խորանարդի, կա՛մ երկքառակուսիը՝ երկու երկկվադրատների, և, ընդհանրապես, քառակուսուց ավելի մեծ ուժ չի կարող բաժանել երկու հզորության՝ նույն ցուցիչով։ Ես դրա իսկապես հրաշալի ապացույց եմ հայտնաբերել, բայց այս դաշտերը չափազանց նեղ են դրա համար» / E.T. Bell «Մաթեմատիկա ստեղծողները». Մ., 1979, էջ 69/. Ձեր ուշադրությանն եմ ներկայացնում Ֆերմայի թեորեմի տարրական ապացույցը, որը կարող է հասկանալ մաթեմատիկայով հետաքրքրվող ցանկացած ավագ դպրոցի աշակերտ:
Եկեք համեմատենք Ֆերմայի մեկնաբանությունը Դիոֆանտոսի խնդրի վերաբերյալ Ֆերմայի վերջին թեորեմի ժամանակակից ձևակերպման հետ, որն ունի հավասարման ձև։
« Հավասարումը
x n + y n = z n(որտեղ n-ը երկուսից մեծ է)
չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով»
Մեկնաբանությունը առաջադրանքի հետ տրամաբանական կապի մեջ է, նման է պրեդիկատի տրամաբանական կապին սուբյեկտի հետ։ Այն, ինչ պնդում է Դիոֆանտոսի խնդիրը, հակառակը, պնդում է Ֆերմատի մեկնաբանությունը։
Ֆերմատի մեկնաբանությունը կարելի է մեկնաբանել հետևյալ կերպ. եթե երեք անհայտներով քառակուսի հավասարումն ունի անվերջ թվով լուծումներ Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա, ապա, ընդհակառակը, հավասարումը երեք անհայտներով քառակուսուց մեծ ուժի նկատմամբ։
Դիոֆանտոսի խնդրի հետ դրա կապի հավասարման մեջ ակնարկ անգամ չկա։ Նրա հայտարարությունը ապացույց է պահանջում, բայց չկա որևէ պայման, որից բխում է, որ այն չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։
Ինձ հայտնի հավասարումն ապացուցելու տարբերակները հանգում են հետևյալ ալգորիթմին.
- Որպես եզրակացություն ընդունվում է Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը, որի վավերականությունը ստուգվում է ապացուցման միջոցով։
- Այս նույն հավասարումը կոչվում է օրիգինալհավասարումը, որից պետք է բխի դրա ապացույցը:
Արդյունքում ձևավորվեց տավտոլոգիա. Եթե հավասարումը չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով, ապա այն չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով«Տավտոլոգիայի ապացույցն ակնհայտորեն սխալ է և զուրկ որևէ իմաստից։ Բայց դա ապացուցված է հակասությամբ։
- Ենթադրություն է արվում, որը հակառակն է այն բանին, ինչ ասվում է հավասարման մեջ, որը պետք է ապացուցվի: Այն չպետք է հակասի սկզբնական հավասարմանը, բայց հակասում է: Անիմաստ է ապացուցել այն, ինչ ընդունված է առանց ապացույցի, և ընդունել առանց ապացույցի այն, ինչ պետք է ապացուցել:
- Ընդունված ենթադրության հիման վրա կատարվում են բացարձակապես ճիշտ մաթեմատիկական գործողություններ և գործողություններ՝ ապացուցելու համար, որ այն հակասում է սկզբնական հավասարմանը և կեղծ է։
Հետևաբար, արդեն 370 տարի Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարման ապացուցումը մնում է անիրագործելի երազանք մասնագետների և մաթեմատիկայի սիրահարների համար։
Ես վերցրեցի հավասարումը որպես թեորեմի եզրակացություն, իսկ Դիոֆանտոսի ութերորդ խնդիրը և դրա հավասարումը որպես թեորեմի պայման։
«Եթե հավասարումը x 2 + y 2 = z 2
(1) ունի անսահման թվով լուծումներ Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա, ապա, ընդհակառակը, հավասարումը. x n + y n = z n
, Որտեղ n > 2
(2) չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերի բազմության վրա»։
Ապացույց.
Ա)Բոլորը գիտեն, որ (1) հավասարումը ունի անսահման թվով լուծումներ Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա։ Եկեք ապացուցենք, որ Պյութագորասյան թվերի ոչ մի եռապատիկ, որը լուծում է (1) հավասարումը, լուծում չէ (2):
Հավասարության հետադարձելիության օրենքի հիման վրա մենք փոխում ենք (1) հավասարման կողմերը։ Պյութագորասյան թվեր (z, x, y) կարելի է մեկնաբանել որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ և քառակուսիներ (x 2, y 2, z 2) կարելի է մեկնաբանել որպես նրա հիպոթենուսի և ոտքերի վրա կառուցված քառակուսիների տարածք:
Եկեք բազմապատկենք (1) հավասարման քառակուսիների մակերեսները կամայական բարձրությամբ հ :
z 2 h = x 2 h + y 2 ժ (3)
Հավասարումը (3) կարելի է մեկնաբանել որպես զուգահեռականի ծավալի հավասարություն երկու զուգահեռականի ծավալների գումարին։
Թող երեք զուգահեռականի բարձրությունը h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Խորանարդի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի երկու ծավալների։ Մենք անփոփոխ կթողնենք խորանարդի ծավալը և կնվազեցնենք առաջին զուգահեռականի բարձրությունը մինչև x և նվազեցնել երկրորդ զուգահեռականի բարձրությունը մինչև y . Խորանարդի ծավալը մեծ է երկու խորանարդի ծավալների գումարից.
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Պյութագորասյան թվերի եռապատիկների բազմության վրա ( x, y, z ) ժամը n=3 (2) հավասարման լուծում չի կարող լինել: Հետևաբար, Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա անհնար է խորանարդը տարրալուծել երկու խորանարդի։
(3) հավասարման մեջ թողնենք երեք զուգահեռականի բարձրությունը h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Զուգահեռականի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի ծավալների գումարի։
(6) հավասարման ձախ կողմը թողնում ենք անփոփոխ։ Նրա աջ կողմում բարձրությունը z 2
նվազեցնել մինչև X
առաջին կիսամյակում և դրանից առաջ ժամը 2-ին
երկրորդ ժամկետում։
Հավասարումը (6) վերածվեց անհավասարության.
Զուգահեռականի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի երկու ծավալների։
(8) հավասարման ձախ կողմը թողնում ենք անփոփոխ։
Աջ կողմում բարձրությունը zn-2
նվազեցնել մինչև xn-2
առաջին կիսամյակում և նվազեցնել մինչև y n-2
երկրորդ ժամկետում։ Հավասարումը (8) վերածվում է անհավասարության.
| z n > x n + y n | (9) |
Պյութագորասյան թվերի եռյակների բազմության վրա չի կարող լինել (2) հավասարման մեկ լուծում:
Հետևաբար, բոլորի համար Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա n > 2 (2) հավասարումը լուծումներ չունի:
«Իսկապես հրաշք ապացույց» է ձեռք բերվել, բայց միայն եռյակի համար Պյութագորասյան թվեր. Սա ապացույցների բացակայությունև P. Fermat-ի մերժման պատճառը նրանից:
Բ)Եկեք ապացուցենք, որ (2) հավասարումը լուծումներ չունի ոչ Պյութագորասյան թվերի եռյակների բազմության վրա, որը ներկայացնում է Պյութագորասյան թվերի կամայական եռակի ընտանիք։ z = 13, x = 12, y = 5 և դրական ամբողջ թվերի կամայական եռակի ընտանիք z = 21, x = 19, y = 16
Թվերի երկու եռյակներն էլ իրենց ընտանիքի անդամներն են.
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Ընտանիքի անդամների թիվը (10) և (11) հավասար է 13-ի արտադրյալի կեսին 12-ով և 21-ի 20-ով, այսինքն՝ 78 և 210:
Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ (10) պարունակում է z = 13 և փոփոխականներ X Եվ ժամը 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ (11) պարունակում է z = 21 և փոփոխականներ X Եվ ժամը , որոնք ընդունում են ամբողջ արժեքներ 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Փոփոխականները հաջորդաբար նվազում են 1 .
(10) և (11) հաջորդականության թվերի եռապատիկները կարող են ներկայացվել որպես երրորդ աստիճանի անհավասարությունների հաջորդականություն.
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
և չորրորդ աստիճանի անհավասարությունների տեսքով.
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Յուրաքանչյուր անհավասարության ճիշտությունը ստուգվում է թվերը բարձրացնելով երրորդ և չորրորդ աստիճանների:
Ավելի մեծ թվով խորանարդը չի կարող քայքայվել փոքր թվով երկու խորանարդի: Այն կա՛մ փոքր է, կա՛մ մեծ, քան երկու փոքր թվերի խորանարդների գումարը:
Ավելի մեծ թվի երկկվադրականը չի կարող տարրալուծվել ավելի փոքր թվերի երկու երկքառակուսիների: Այն կա՛մ փոքր է, կա՛մ մեծ, քան փոքր թվերի երկքառակուսիների գումարը:
Երբ ցուցիչը մեծանում է, բոլոր անհավասարությունները, բացառությամբ ձախ ծայրահեղ անհավասարության, ունեն նույն նշանակությունը.
Նրանք բոլորն ունեն նույն նշանակությունը. մեծ թվի հզորությունն ավելի մեծ է, քան նույն ցուցիչով փոքր երկու թվերի հզորությունների գումարը.
| 13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
(12) (13) հաջորդականությունների ձախ ծայրահեղ անդամը ներկայացնում է ամենաթույլ անհավասարությունը: Դրա ճշգրտությունը որոշում է (12) հաջորդականության բոլոր հետագա անհավասարությունների ճիշտությունը. n > 8 և հաջորդականությունը (13) ժամը n > 14 .
Նրանց մեջ հավասարություն չի կարող լինել։ Դրական ամբողջ թվերի կամայական եռապատիկը (21,19,16) Ֆերմայի վերջին թեորեմի (2) հավասարման լուծումը չէ։ Եթե դրական ամբողջ թվերի կամայական եռապատիկը հավասարման լուծում չէ, ապա հավասարումը չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերի բազմության վրա, ինչը պետք է ապացուցել:
ՀԵՏ)Դիոֆանտոսի խնդրի վերաբերյալ Ֆերմատի մեկնաբանությունը նշում է, որ անհնար է քայքայվել « Ընդհանրապես քառակուսուց մեծ հզորություն չկա, նույն ցուցիչով երկու հզորություն».
Համբույրքառակուսուց մեծ աստիճանը իրականում չի կարող բաժանվել երկու աստիճանի նույն ցուցիչով: Ոչ մի համբույրքառակուսուց մեծ աստիճանը կարելի է բաժանել երկու հզորության՝ նույն ցուցիչով։
Դրական ամբողջ թվերի ցանկացած կամայական եռապատիկ (z, x, y) կարող է պատկանել մի ընտանիքի, որի յուրաքանչյուր անդամ բաղկացած է հաստատուն թվից զ և երկու թվով ավելի փոքր զ . Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ կարող է ներկայացվել անհավասարության տեսքով, և արդյունքում ստացված բոլոր անհավասարությունները կարող են ներկայացված լինել անհավասարությունների հաջորդականության տեսքով.
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Անհավասարությունների հաջորդականությունը (14) սկսվում է անհավասարություններից, որոնց ձախ կողմը փոքր է աջից, և ավարտվում է անհավասարություններով, որոնց աջ կողմը փոքր է ձախից։ Աճող ցուցանիշով n > 2 (14) հաջորդականության աջ կողմում անհավասարությունների թիվը մեծանում է: Ցուցանիշի հետ n = k Հերթականության ձախ կողմի բոլոր անհավասարությունները փոխում են իրենց նշանակությունը և ընդունում (14) հաջորդականության անհավասարությունների աջ կողմի անհավասարությունների նշանակությունը: Բոլոր անհավասարությունների ցուցիչը մեծացնելու արդյունքում ձախ կողմը ավելի մեծ է ստացվում, քան աջ կողմը.
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Ցուցանիշի հետագա աճով n>k անհավասարություններից ոչ մեկը չի փոխում իր իմաստը և վերածվում հավասարության։ Այս հիման վրա կարելի է պնդել, որ դրական ամբողջ թվերի ցանկացած կամայականորեն ընտրված եռյակ (z, x, y) ժամը n > 2 , z > x , զ > յ
Դրական ամբողջ թվերի կամայականորեն ընտրված եռյակում զ կարող է լինել կամայականորեն մեծ բնական թիվ։ Բոլոր բնական թվերի համար, որոնք մեծ չեն զ , ապացուցված է Ֆերմայի վերջին թեորեմը։
Դ)Որքան էլ մեծ լինի թիվը զ , թվերի բնական շարքում նրանից առաջ կա ամբողջ թվերի մեծ, բայց վերջավոր բազմություն, իսկ դրանից հետո՝ ամբողջ թվերի անվերջ բազմություն։
Եկեք ապացուցենք, որ բնական թվերի ամբողջ անսահման բազմությունը մեծ է զ , ձևավորեք թվերի եռյակներ, որոնք լուծում չեն Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարմանը, օրինակ՝ դրական ամբողջ թվերի կամայական եռապատիկ։ (z + 1, x ,y) , որտեղ z + 1 > x Եվ z + 1 > y ցուցանիշի բոլոր արժեքների համար n > 2 Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարման լուծում չէ։
Պատահականորեն ընտրված դրական ամբողջ թվերի եռյակ (z + 1, x, y) կարող է պատկանել եռակի թվերի ընտանիքին, որի յուրաքանչյուր անդամ բաղկացած է հաստատուն թվից z+1 և երկու թիվ X Եվ ժամը , տարբեր արժեքներ վերցնելով, ավելի փոքր z+1 . Ընտանիքի անդամները կարող են ներկայացվել անհավասարությունների տեսքով, որոնցում հաստատուն ձախ կողմը փոքր է կամ մեծ է, քան աջ կողմը: Անհավասարությունները կարելի է դասակարգել անհավասարությունների հաջորդականության տեսքով.
Ցուցանիշի հետագա աճով n>k մինչև անսահմանություն, (17) հաջորդականության անհավասարություններից ոչ մեկը չի փոխում իր իմաստը և վերածվում հավասարության։ Հերթականությամբ (16) անհավասարությունը ձևավորվել է դրական ամբողջ թվերի կամայականորեն ընտրված եռյակից (z + 1, x, y) , կարող է տեղակայվել իր աջ կողմում՝ ձևով (z + 1) n > x n + y n կամ ձևով լինել նրա ձախ կողմում (z+1)n< x n + y n .
Ամեն դեպքում՝ դրական ամբողջ թվերի եռակի (z + 1, x, y) ժամը n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y հաջորդականությամբ (16) ներկայացնում է անհավասարություն և չի կարող ներկայացնել հավասարություն, այսինքն՝ այն չի կարող ներկայացնել Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարման լուծումը:
Հեշտ և պարզ է հասկանալ ուժային անհավասարությունների հաջորդականության ծագումը (16), որտեղ ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը և աջ կողմի առաջին անհավասարությունը հակադիր նշանակություն ունեցող անհավասարություններ են: Ընդհակառակը, դպրոցականների, ավագ դպրոցի աշակերտների և ավագ դպրոցի աշակերտների համար հեշտ և դժվար չէ հասկանալ, թե ինչպես է ձևավորվում անհավասարությունների հաջորդականությունը (16) անհավասարությունների հաջորդականությունից (17), որտեղ բոլոր անհավասարություններն ունեն նույն նշանակությունը: .
Հերթականությամբ (16) անհավասարությունների ամբողջ աստիճանը 1 միավորով ավելացնելը ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը վերածում է աջ կողմի հակառակ իմաստի առաջին անհավասարության։ Այսպիսով, հաջորդականության ձախ կողմում անհավասարությունների թիվը նվազում է, իսկ աջ կողմի անհավասարությունների թիվը մեծանում է։ Հակառակ նշանակություն ունեցող ուժերի վերջին և առաջին անհավասարությունների միջև անպայմանորեն առկա է ուժերի հավասարություն։ Նրա աստիճանը չի կարող ամբողջ թիվ լինել, քանի որ երկու հաջորդական բնական թվերի միջև ընկած են միայն ոչ ամբողջ թվեր։ Ոչ ամբողջ աստիճանի հզորության հավասարությունը, ըստ թեորեմի պայմանների, չի կարող համարվել (1) հավասարման լուծում։
Եթե (16) հաջորդականությամբ շարունակենք աստիճանը մեծացնել 1 միավորով, ապա նրա ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը կվերածվի աջ կողմի հակառակ իմաստի առաջին անհավասարության։ Արդյունքում ձախակողմյան անհավասարություններ չեն լինի, և կմնան միայն աջակողմյան անհավասարություններ, որոնք կլինեն ուժային անհավասարությունների աճի հաջորդականություն (17): Նրանց ամբողջ հզորության հետագա աճը 1 միավորով միայն ուժեղացնում է նրա հզորության անհավասարությունները և կտրականապես բացառում է ամբողջ թվի հավասարության հնարավորությունը։
Հետևաբար, ընդհանուր առմամբ, ուժային անհավասարությունների հաջորդականության (17) բնական թվի (z+1) ոչ մի ամբողջ թվային հզորություն չի կարող տարրալուծվել նույն ցուցիչով երկու ամբողջ հզորության։ Հետևաբար, (1) հավասարումը չունի լուծումներ բնական թվերի անվերջ բազմության վրա, ինչը պետք է ապացուցել:
Հետևաբար, Ֆերմայի վերջին թեորեմն ամբողջությամբ ապացուցված է.
- Ա բաժնում) բոլոր եռյակների համար (z, x, y) Պյութագորասյան թվեր (Ֆերմատի հայտնագործությունն իսկապես հրաշալի ապացույց է),
- Բ բաժնում) ցանկացած եռակի ընտանիքի բոլոր անդամների համար (z, x, y) Պյութագորասյան թվեր,
- Գ բաժնում) բոլոր եռապատիկ թվերի համար (z, x, y) , ոչ մեծ թվեր զ
- Դ բաժնում) բոլոր եռապատիկ թվերի համար (z, x, y) թվերի բնական շարք.
|
Փոփոխությունները կատարվել են 05.09.2010թ |
Ո՞ր թեորեմները կարող են և չեն կարող ապացուցվել հակասությամբ:
Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարանը սահմանում է ապացուցումը թեորեմի հակասությամբ, հակառակ թեորեմի հակառակը։
«Հակասությամբ ապացույցը թեորեմի (առաջարկի) ապացուցման մեթոդ է, որը բաղկացած է ոչ թե բուն թեորեմի, այլ դրա համարժեք (համարժեք) թեորեմի ապացուցումից։ Հակասության միջոցով ապացուցումն օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ ուղղակի թեորեմը դժվար է ապացուցել, իսկ հակառակ թեորեմն ավելի հեշտ է ապացուցել։ Հակասությամբ ապացուցման դեպքում թեորեմի եզրակացությունը փոխարինվում է նրա ժխտմամբ, և պատճառաբանության միջոցով հասնում է պայմանների ժխտմանը, այսինքն. դեպի հակասություն, դեպի հակառակը (տրվածի հակառակը. այս կրճատումը դեպի աբսուրդը ապացուցում է թեորեմը»։
Հակասության ապացույցը շատ հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկայի մեջ: Հակասության ապացույցը հիմնված է բացառված միջինի օրենքի վրա, որը բաղկացած է նրանից, որ երկու պնդումներից (Ա և Ա-ի ժխտում) մեկը ճիշտ է, իսկ մյուսը՝ սխալ»։/Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան. ձեռնարկ ուսուցիչների համար/Օ. Վ. Մանտուրով [եւ այլն]; խմբ. V. A. Ditkina.- M.: Կրթություն, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.
Ավելի լավ չի լինի բացահայտ հայտարարել, որ հակասությամբ ապացուցելու մեթոդը մաթեմատիկական մեթոդ չէ, թեև կիրառվում է մաթեմատիկայի մեջ, որ դա տրամաբանական մեթոդ է և պատկանում է տրամաբանությանը։ Ընդունելի՞ է ասել, որ հակասական ապացույցը «օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ ուղղակի թեորեմը դժվար է ապացուցել», իսկ իրականում այն օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ և միայն այն դեպքում, երբ փոխարինող չկա:
Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի նաև ուղիղ և հակադարձ թեորեմների փոխհարաբերությունների բնութագրումը։ «Տրված թեորեմի (կամ տրված թեորեմի) հակադարձ թեորեմն այն թեորեմն է, որում պայմանը եզրակացությունն է, իսկ եզրակացությունը՝ տվյալ թեորեմի պայմանը։ Այս թեորեմը հակադարձ թեորեմի նկատմամբ կոչվում է ուղիղ թեորեմ (բնօրինակ): Միևնույն ժամանակ, հակադարձ թեորեմին հակառակ թեորեմը կլինի տվյալ թեորեմը. ուստի ուղիղ և հակադարձ թեորեմները կոչվում են փոխադարձ հակադարձ։ Եթե ուղիղ (տրված) թեորեմը ճշմարիտ է, ապա հակառակ թեորեմը միշտ չէ, որ ճշմարիտ է։ Օրինակ, եթե քառանկյունը ռոմբ է, ապա նրա անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են (ուղղակի թեորեմ): Եթե քառանկյունում շեղանկյունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա քառանկյունը ռոմբ է, սա սխալ է, այսինքն՝ հակառակ թեորեմը կեղծ է»։/Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան. ձեռնարկ ուսուցիչների համար/Օ. Վ. Մանտուրով [եւ այլն]; խմբ. V. A. Ditkina.- M.: Կրթություն, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.
Ուղղակի և հակադարձ թեորեմների փոխհարաբերությունների այս հատկանիշը հաշվի չի առնում այն փաստը, որ ուղիղ թեորեմի պայմանն ընդունվում է որպես տրված, առանց ապացույցի, ուստի դրա ճիշտությունը երաշխավորված չէ։ Հակադարձ թեորեմի պայմանը տրված չէ, քանի որ այն ապացուցված ուղիղ թեորեմի եզրակացությունն է։ Դրա ճիշտությունը հաստատվում է ուղիղ թեորեմի ապացույցով։ Ուղղակի և հակադարձ թեորեմների պայմանների այս էական տրամաբանական տարբերությունը որոշիչ է դառնում այն հարցում, թե որ թեորեմները կարող են և չեն կարող ապացուցվել տրամաբանական մեթոդով հակասությամբ։
Ենթադրենք, որ մտքում կա ուղիղ թեորեմ, որը կարելի է ապացուցել սովորական մաթեմատիկական մեթոդով, բայց դժվար է։ Այն ընդհանուր և հակիրճ ձևակերպենք հետևյալ կերպ. -ից Ապետք է Ե . Խորհրդանիշ Ա ունի թեորեմի տվյալ պայմանի նշանակությունը՝ ընդունված առանց ապացույցի։ Խորհրդանիշ Ե կարևորը թեորեմի եզրակացությունն է, որը պետք է ապացուցվի:
Ուղղակի թեորեմը մենք կապացուցենք հակասությամբ, տրամաբանականմեթոդ. Տրամաբանական մեթոդն օգտագործվում է ապացուցելու այն թեորեմը, որն ունի ոչ մաթեմատիկականվիճակ, և տրամաբանականվիճակ. Այն կարելի է ստանալ, եթե թեորեմի մաթեմատիկական պայմանը -ից Ապետք է Ե , լրացնել ճիշտ հակառակ պայմանով -ից Ամի արա դա Ե .
Արդյունքը դարձավ նոր թեորեմի տրամաբանական հակասական պայմանը, որը պարունակում է երկու մաս. -ից Ապետք է Ե Եվ -ից Ամի արա դա Ե . Նոր թեորեմի ստացված պայմանը համապատասխանում է բացառված միջինի տրամաբանական օրենքին և համապատասխանում է թեորեմի հակասությամբ ապացուցմանը։
Ըստ օրենքի՝ հակասական պայմանի մի մասը կեղծ է, մյուս մասը՝ ճիշտ, երրորդը՝ բացառված։ Հակասությամբ ապացույցը խնդիր և նպատակ ունի պարզելու թեորեմի պայմանի երկու մասերից կոնկրետ որ մասն է կեղծ։ Երբ պայմանի կեղծ մասը որոշվում է, մյուս մասը ճշմարիտ է որոշվում, իսկ երրորդը բացառվում է։
Ըստ մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարանի. «Ապացույցը այն պատճառաբանությունն է, որի ընթացքում հաստատվում է որևէ հայտարարության (դատողություն, պնդում, թեորեմ) ճշմարտությունը կամ կեղծը»:. Ապացույց հակասությամբկա պատճառաբանություն, որի ընթացքում հաստատվում է կեղծիք(անհեթեթություն) եզրակացության բխող կեղծապացուցվելիք թեորեմի պայմանները.
Տրված է. -ից Ապետք է Եև սկսած Ամի արա դա Ե .
Ապացուցել. -ից Ապետք է Ե .
ԱպացույցԹեորեմի տրամաբանական պայմանը պարունակում է հակասություն, որը պահանջում է դրա լուծումը: Պայմանի հակասությունը պետք է իր լուծումը գտնի ապացույցի և դրա արդյունքի մեջ։ Արդյունքը կեղծ է ստացվում՝ անթերի և անսխալ պատճառաբանությամբ։ Սխալ եզրակացության պատճառը տրամաբանորեն ճիշտ պատճառաբանությամբ կարող է լինել միայն հակասական պայման. -ից Ապետք է Ե Եվ -ից Ամի արա դա Ե .
Կասկածի ստվեր չկա, որ պայմանի մի մասը կեղծ է, իսկ մյուսը՝ տվյալ դեպքում։ Պայմանի երկու մասերն էլ ունեն նույն ծագումը, ընդունվում են որպես տվյալ, ենթադրվում է, հավասարապես հնարավոր է, հավասարապես թույլատրելի և այլն: Տրամաբանական պատճառաբանության ընթացքում չի հայտնաբերվել որևէ տրամաբանական հատկանիշ, որը կտարբերեր պայմանի մի մասը մյուսից։ . Հետեւաբար, նույն չափով դա կարող է լինել -ից Ապետք է Ե և գուցե -ից Ամի արա դա Ե . Հայտարարություն -ից Ապետք է Ե Միգուցե կեղծ, ապա հայտարարությունը -ից Ամի արա դա Ե ճշմարիտ կլինի: Հայտարարություն -ից Ամի արա դա Ե կարող է կեղծ լինել, ապա հայտարարությունը -ից Ապետք է Ե ճշմարիտ կլինի:
Հետևաբար, ուղղակի թեորեմն անհնար է ապացուցել հակասությամբ։
Այժմ մենք կապացուցենք այս նույն ուղիղ թեորեմը՝ օգտագործելով սովորական մաթեմատիկական մեթոդը:
Տրված է. Ա .
Ապացուցել. -ից Ապետք է Ե .
Ապացույց.
1. Սկսած Ապետք է Բ
2. Սկսած Բպետք է IN (ըստ նախկինում ապացուցված թեորեմի)):
3. Սկսած INպետք է Գ (ըստ նախկինում ապացուցված թեորեմի):
4. Սկսած Գպետք է Դ (ըստ նախկինում ապացուցված թեորեմի):
5. Սկսած Դպետք է Ե (ըստ նախկինում ապացուցված թեորեմի):
Հիմնվելով անցումային օրենքի վրա՝ -ից Ապետք է Ե . Ուղղակի թեորեմն ապացուցվում է սովորական մեթոդով.
Թող ապացուցված ուղիղ թեորեմն ունենա ճիշտ հակադարձ թեորեմ. -ից Եպետք է Ա .
Եկեք դա ապացուցենք սովորականով մաթեմատիկականմեթոդ. Հակադարձ թեորեմի ապացույցը կարող է արտահայտվել խորհրդանշական տեսքով՝ որպես մաթեմատիկական գործողությունների ալգորիթմ։
Տրված է. Ե
Ապացուցել. -ից Եպետք է Ա .
Ապացույց.
1. Սկսած Եպետք է Դ
2. Սկսած Դպետք է Գ (ըստ նախկինում ապացուցված հակադարձ թեորեմի):
3. Սկսած Գպետք է IN (ըստ նախկինում ապացուցված հակադարձ թեորեմի):
4. Սկսած INմի արա դա Բ (հակադարձ թեորեմը ճիշտ չէ): Ահա թե ինչու -ից Բմի արա դա Ա .
Այս իրավիճակում անիմաստ է շարունակել հակառակ թեորեմի մաթեմատիկական ապացույցը։ Ստեղծված իրավիճակի պատճառը տրամաբանական է. Սխալ հակադարձ թեորեմը չի կարող փոխարինվել ոչնչով: Հետևաբար, անհնար է ապացուցել այս հակադարձ թեորեմը սովորական մաթեմատիկական մեթոդով: Ամբողջ հույսն այս հակադարձ թեորեմն ապացուցելն է հակասության միջոցով:
Հակասությամբ ապացուցելու համար անհրաժեշտ է դրա մաթեմատիկական պայմանը փոխարինել տրամաբանական հակասական պայմանով, որն իր իմաստով պարունակում է երկու մաս՝ կեղծ և ճշմարիտ։
Կոնվերս թեորեմնշում է. -ից Եմի արա դա Ա . Նրա վիճակը Ե , որից բխում է եզրակացությունը Ա , սովորական մաթեմատիկական մեթոդով ուղղակի թեորեմի ապացուցման արդյունք է։ Այս պայմանը պետք է պահպանվի և լրացվի հայտարարությամբ -ից Եպետք է Ա . Գումարի արդյունքում ստանում ենք նոր հակադարձ թեորեմի հակասական պայմանը. -ից Եպետք է Ա Եվ -ից Եմի արա դա Ա . Սրա հիման վրա տրամաբանորենհակասական պայման, հակառակ թեորեմը կարելի է ապացուցել ճիշտի միջոցով տրամաբանականմիայն պատճառաբանելով և միայն, տրամաբանականմեթոդը հակասության միջոցով. Հակասության միջոցով ապացուցման դեպքում ցանկացած մաթեմատիկական գործողություն և գործողություն ստորադասվում է տրամաբանական գործողություններին և, հետևաբար, չեն հաշվվում:
Հակասական հայտարարության առաջին մասում -ից Եպետք է Ա վիճակ Ե ապացուցվել է ուղիղ թեորեմի ապացույցով։ Երկրորդ մասում -ից Եմի արա դա Ա վիճակ Ե ենթադրվել և ընդունվել է առանց ապացույցների։ Դրանցից մեկը սուտ է, իսկ մյուսը՝ ճշմարիտ։ Դուք պետք է ապացուցեք, թե որն է կեղծ:
Մենք դա ապացուցում ենք ճիշտ միջոցով տրամաբանականպատճառաբանել և բացահայտել, որ դրա արդյունքը կեղծ, անհեթեթ եզրակացություն է: Կեղծ տրամաբանական եզրակացության պատճառը թեորեմի հակասական տրամաբանական պայմանն է, որը պարունակում է երկու մաս՝ կեղծ և ճշմարիտ։ Կեղծ մասը կարող է լինել միայն հայտարարություն -ից Եմի արա դա Ա , որի մեջ Ե ընդունվել է առանց ապացույցների։ Սա այն է, ինչից այն տարբերվում է Ե հայտարարություններ -ից Եպետք է Ա , որն ապացուցվում է ուղիղ թեորեմի ապացույցով։
Հետևաբար, հայտարարությունը ճշմարիտ է. -ից Եպետք է Ա , ինչն ապացուցման կարիք ուներ։
ԵզրակացությունՏրամաբանական մեթոդով հակասությամբ է ապացուցվում միայն հակադարձ թեորեմը, որն ունի մաթեմատիկական մեթոդով ապացուցված ուղիղ թեորեմ և որը չի կարող ապացուցվել մաթեմատիկական մեթոդով։
Ստացված եզրակացությունը բացառիկ նշանակություն է ձեռք բերում Ֆերմայի մեծ թեորեմի հակասությամբ ապացուցման մեթոդի առնչությամբ։ Դա ապացուցելու փորձերի ճնշող մեծամասնությունը հիմնված է ոչ թե սովորական մաթեմատիկական մեթոդի, այլ հակասության միջոցով ապացուցման տրամաբանական մեթոդի վրա։ Ֆերմայի վերջին թեորեմի Վայլսի ապացույցը բացառություն չէ:
Դմիտրի Աբրովը «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների երևույթը» հոդվածում հրապարակել է Ուայլսի՝ Ֆերմատի վերջին թեորեմի ապացույցի մեկնաբանություն։ Ըստ Աբրովի, Ուայլսն ապացուցում է Ֆերմայի վերջին թեորեմը գերմանացի մաթեմատիկոս Գերհարդ Ֆրեյի (ծն. 1944 թ.) ուշագրավ հայտնագործության օգնությամբ, որը պատմում է Ֆերմատի հավասարման հնարավոր լուծումը։ x n + y n = z n
, Որտեղ n > 2
, մեկ այլ, բոլորովին այլ հավասարմամբ։ Այս նոր հավասարումը տրվում է հատուկ կորով (կոչվում է Ֆրեյի էլիպսային կոր): Ֆրեյի կորը տրված է շատ պարզ հավասարմամբ.
.
«Ֆրեյն էր, ով համեմատում էր յուրաքանչյուր որոշման հետ (ա, բ, գ)Ֆերմատի հավասարումը, այսինքն՝ հարաբերությունը բավարարող թվեր a n + b n = c n, վերը նշված կորը. Այս դեպքում կհետևի Ֆերմայի վերջին թեորեմը»:(Մեջբերում՝ Աբրով Դ. «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների ֆենոմենը»)
Այլ կերպ ասած, Գերհարդ Ֆրեյն առաջարկել է Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարումը x n + y n = z n
, Որտեղ n > 2
, ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։ Այս նույն լուծումները, ըստ Ֆրեյի ենթադրության, նրա հավասարման լուծումներն են
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, որը տրվում է իր էլիպսային կորով։
Էնդրյու Ուայլսն ընդունեց Ֆրեյի այս ուշագրավ հայտնագործությունը և նրա օգնությամբ. մաթեմատիկականմեթոդը ապացուցեց, որ այս գտածոն, այսինքն՝ Ֆրեյի էլիպսային կորը, գոյություն չունի: Հետևաբար, չկա հավասարում և դրա լուծումները, որոնք տրված են գոյություն չունեցող էլիպսային կորով, հետևաբար, Ուայլսը պետք է ընդուներ այն եզրակացությունը, որ չկա Ֆերմայի վերջին թեորեմի և հենց Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը: Այնուամենայնիվ, նա ընդունում է ավելի համեստ եզրակացություն, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարումը դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։
Անհերքելի փաստ կարող է լինել այն, որ Ուայլսն ընդունել է մի ենթադրություն, որն իր իմաստով ճիշտ հակառակն է Ֆերմայի մեծ թեորեմում ասվածին: Այն պարտավորեցնում է Ուայլսին ապացուցել Ֆերմայի վերջին թեորեմը հակասությամբ։ Եկեք հետևենք նրա օրինակին և տեսնենք, թե ինչ է ստացվում այս օրինակից։
Ֆերմայի վերջին թեորեմը նշում է, որ հավասարումը x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։
Համաձայն հակասությամբ ապացուցելու տրամաբանական մեթոդի՝ այս պնդումը պահպանվում է, ընդունվում է որպես տրված առանց ապացույցի, այնուհետև լրացվում է հակառակ պնդումով՝ հավասարում։ x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։
Ենթադրյալը նույնպես ընդունվում է տրված՝ առանց ապացույցի։ Երկու պնդումներն էլ՝ դիտարկված տրամաբանության հիմնական օրենքների տեսանկյունից, հավասարապես վավերական են, հավասարապես վավերական և հավասարապես հնարավոր։ Ճիշտ պատճառաբանության միջոցով անհրաժեշտ է որոշել, թե որն է սխալ, որպեսզի այնուհետև որոշվի, որ մյուս պնդումը ճիշտ է:
Ճիշտ դատողությունն ավարտվում է կեղծ, անհեթեթ եզրակացությամբ, որի տրամաբանական պատճառ կարող է լինել միայն ապացուցվող թեորեմի հակասական պայմանը, որը պարունակում է ուղիղ հակառակ իմաստ ունեցող երկու մասեր։ Դրանք անհեթեթ եզրակացության տրամաբանական պատճառն էին, հակասությամբ ապացուցման արդյունքը։
Այնուամենայնիվ, տրամաբանորեն ճիշտ պատճառաբանության ընթացքում չհայտնաբերվեց ոչ մի նշան, որով հնարավոր լիներ պարզել, թե կոնկրետ որ պնդումն է կեղծ։ Դա կարող է լինել հայտարարություն՝ հավասարում x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։ Նույն հիմքի վրա դա կարող է լինել հետևյալ պնդումը՝ հավասարում x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։
Պատճառաբանության արդյունքում կարող է լինել միայն մեկ եզրակացություն. Ֆերմայի վերջին թեորեմը չի կարող ապացուցվել հակասությամբ.
Շատ այլ բան կլիներ, եթե Ֆերմայի վերջին թեորեմը հակադարձ թեորեմ լիներ, որն ունի սովորական մաթեմատիկական մեթոդով ապացուցված ուղղակի թեորեմ: Այս դեպքում դա կարող էր ապացուցվել հակասությամբ։ Եվ քանի որ դա ուղղակի թեորեմ է, դրա ապացույցը պետք է հիմնված լինի ոչ թե հակասության միջոցով ապացուցման տրամաբանական մեթոդի վրա, այլ սովորական մաթեմատիկական մեթոդի վրա։
Ըստ Դ. Աբրովի, ժամանակակից ռուս մաթեմատիկոսներից ամենահայտնի ակադեմիկոս Վ. Ի. Առնոլդը «ակտիվ թերահավատորեն» արձագանքեց Ուայլսի ապացույցին։ «Սա իրական մաթեմատիկա չէ. իրական մաթեմատիկան երկրաչափական է և ամուր կապ ունի ֆիզիկայի հետ (մեջբերում Աբրով Դ. «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների ֆենոմենը»: Ուայլսի՝ Ֆերմայի վերջին թեորեմի ոչ մաթեմատիկական ապացույցը։
Հակասությամբ անհնար է ապացուցել, որ Ֆերմատի վերջին թեորեմի հավասարումը լուծումներ չունի, կամ ունի լուծումներ։ Ուայլսի սխալը ոչ թե մաթեմատիկական է, այլ տրամաբանական՝ ապացույցի օգտագործումը հակասության միջոցով, որտեղ դրա օգտագործումը իմաստ չունի, իսկ Ֆերմայի մեծ թեորեմը չի ապացուցում:
Ֆերմայի վերջին թեորեմը չի կարող ապացուցվել նույնիսկ սովորական մաթեմատիկական մեթոդով, եթե այն տալիս է. x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի, և եթե ուզում եք դրանում ապացուցել՝ հավասարումը x n + y n = z n , Որտեղ n > 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։ Այս ձևում կա ոչ թե թեորեմ, այլ իմաստազուրկ տավտոլոգիա։
Նշում.Իմ BTF ապացույցը քննարկվել է ֆորումներից մեկում: Տրոտիլի մասնակիցներից մեկը՝ թվերի տեսության փորձագետը, արեց հետևյալ հեղինակավոր հայտարարությունը, որը վերնագրված էր. Բառացի մեջբերում եմ.
« Ա. Նա ապացուցեց, որ եթե z 2 = x 2 + y , Դա z n > x n + y n . Սա հայտնի և միանգամայն ակնհայտ փաստ է։
IN. Նա վերցրեց երկու եռյակ՝ պյութագորական և ոչ պյութագորասական և պարզ որոնմամբ ցույց տվեց, որ եռյակների կոնկրետ, հատուկ ընտանիքի համար (78 և 210 հատ) BTF-ն բավարարված է (և միայն դրա համար):
ՀԵՏ. Իսկ հետո հեղինակը բաց է թողել այն փաստը, որ ից < ավելի ուշ դա կարող է պարզվել = , ոչ միայն > . Պարզ հակաօրինակ՝ անցում n=1 Վ n=2 Պյութագորասյան եռյակում։
Դ. Այս կետը որևէ էական բան չի նպաստում BTF-ի ապացույցին: Եզրակացություն՝ BTF-ն ապացուցված չէ»։
Ես կետ առ կետ կքննարկեմ նրա եզրակացությունը։
Ա.Այն ապացուցում է BTF-ը Պյութագորասի թվերի եռապատիկների ամբողջ անսահման բազմության համար: Ապացուցված է երկրաչափական մեթոդով, որը, ինչպես կարծում եմ, ոչ թե ես եմ հայտնաբերել, այլ նորից եմ հայտնաբերել։ Եվ դա, ինչպես կարծում եմ, հայտնաբերել է ինքը՝ Պ.Ֆերմատը։ Ֆերմատը, հավանաբար, սա նկատի ուներ, երբ գրում էր.
«Ես դրա իսկապես հրաշալի ապացույց եմ հայտնաբերել, բայց այս դաշտերը չափազանց նեղ են դրա համար»: Իմ այս ենթադրությունը հիմնված է այն փաստի վրա, որ «Դիոֆանտին» խնդրի մեջ, որի դեմ Ֆերմատը գրել է գրքի լուսանցքներում, մենք խոսում ենք Դիոֆանտինյան հավասարման լուծումների մասին, որոնք պյութագորասյան թվերի եռյակներ են։
Պյութագորասի թվերի եռյակների անսահման բազմությունը Դիոֆատյան հավասարման լուծումներ են, իսկ Ֆերմատի թեորեմում, ընդհակառակը, լուծումներից ոչ մեկը չի կարող լինել Ֆերմայի թեորեմի հավասարման լուծում։ Եվ Ֆերմայի հիրավի հրաշալի ապացույցը ուղղակիորեն կապված է այս փաստի հետ։ Ֆերմատը հետագայում կարողացավ իր թեորեմը տարածել բոլոր բնական թվերի բազմության վրա։ Բոլոր բնական թվերի բազմության վրա BTF-ը չի պատկանում «բացառիկ գեղեցիկ թեորեմների բազմությանը»։ Սա իմ ենթադրությունն է, որը չի կարելի ոչ ապացուցել, ոչ հերքել։ Այն կարող է ընդունվել կամ մերժվել:
IN.Այս պահին ես ապացուցում եմ, որ և՛ կամայականորեն վերցված Պյութագորասյան եռյակի, և՛ BTF թվերի կամայականորեն վերցված ոչ Պյութագորասի եռյակի ընտանիքը բավարարված է: Սա անհրաժեշտ, բայց անբավարար և միջանկյալ հղում է BTF-ի իմ ապացույցում . Պյութագորասյան թվերի եռակի ընտանիքի և ոչ պյութագորասական թվերի եռակի ընտանիքի օրինակները ունեն կոնկրետ օրինակների նշանակություն, որոնք ենթադրում և չեն բացառում նմանատիպ այլ օրինակների առկայությունը։
Տրոտիլի այն հայտարարությունը, որ ես «պարզ որոնմամբ ցույց տվեցի, որ եռյակների կոնկրետ, կոնկրետ ընտանիքի համար (78 և 210 հատ) BTF-ն բավարարված է (և միայն դրա համար) անհիմն է: Նա չի կարող հերքել այն փաստը, որ ես կարող եմ նույնքան լավ վերցնել պյութագորասյան և ոչ պյութագորասյան եռյակների այլ օրինակներ՝ մեկից և մյուս եռյակից բաղկացած կոնկրետ որոշակի ընտանիք ստանալու համար:
Ինչ էլ որ եռյակ վերցնեմ, խնդիրը լուծելու համար դրանց համապատասխանությունը ստուգելը, իմ կարծիքով, կարող է իրականացվել միայն «պարզ թվարկում» մեթոդով։ Ես այլ մեթոդ չգիտեմ և դրա կարիքը չունեմ։ Եթե Տրոտիլին դա դուր չէր գալիս, ուրեմն պետք է այլ մեթոդ առաջարկեր, ինչը չի անում։ Առանց փոխարենը որևէ բան առաջարկելու, ճիշտ չէ դատապարտել «պարզ գերակատարումը», որն այս դեպքում անփոխարինելի է։
ՀԵՏ.Ես բաց եմ թողել = միջեւ< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), որում աստիճան n > 2 — ամբողջդրական թիվ. Անհավասարությունների միջև հավասարությունից հետևում է պարտադիրհաշվի առնելով հավասարումը (1) ոչ ամբողջ թվային աստիճանի արժեքի համար n > 2 . Trotil, հաշվում պարտադիրանհավասարությունների միջև հավասարության հաշվառումը իրականում հաշվի է առնում անհրաժեշտ BTF ապացույցում, հաշվի առնելով (1) հավասարումը ոչ ամբողջականաստիճանի արժեք n > 2 . Ես դա արեցի ինձ համար և գտա այդ հավասարումը (1): ոչ ամբողջականաստիճանի արժեք n > 2 ունի երեք թվի լուծում. z, (z-1), (z-1) ոչ ամբողջ թվային ցուցիչի համար:
2-ից մեծ n ամբողջ թվերի համար x n + y n = z n հավասարումը չունի ոչ զրոյական լուծումներ բնական թվերում։
Հավանաբար հիշում եք ձեր դպրոցական օրերից Պյութագորասի թեորեմՈւղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին: Դուք կարող եք նաև հիշել դասական ուղղանկյուն եռանկյունին, որի երկարությունները գտնվում են 3:4:5 հարաբերությամբ: Դրա համար Պյութագորասի թեորեմն ունի հետևյալ տեսքը.
Սա Պյութագորասի ընդհանրացված հավասարումը ոչ զրոյական ամբողջ թվերով լուծելու օրինակ է. n= 2. Ֆերմատի վերջին թեորեմը (նաև կոչվում է «Ֆերմատի վերջին թեորեմ» և «Ֆերմատի վերջին թեորեմ») այն հայտարարությունն է, որ արժեքների համար. n> Ձևի 2 հավասարումներ x n + y n = z nբնական թվերում չունեն ոչ զրոյական լուծումներ:
Ֆերմայի վերջին թեորեմի պատմությունը շատ հետաքրքիր և ուսանելի է և ոչ միայն մաթեմատիկոսների համար։ Պիեռ դե Ֆերմատը նպաստեց մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառների զարգացմանը, սակայն նրա գիտական ժառանգության հիմնական մասը հրապարակվեց միայն հետմահու։ Փաստն այն է, որ Ֆերմայի համար մաթեմատիկան հոբբի էր, այլ ոչ թե մասնագիտական զբաղմունք: Նա թղթակցում էր իր ժամանակի առաջատար մաթեմատիկոսների հետ, սակայն չէր ձգտում տպագրել իր աշխատանքը։ Ֆերմատի գիտական գրությունները հիմնականում հանդիպում են մասնավոր նամակագրության և հատվածային նշումների տեսքով, որոնք հաճախ գրված են տարբեր գրքերի լուսանցքներում։ Այն գտնվում է լուսանցքներում (Դիոֆանտոսի հին հունական «Թվաբանության» երկրորդ հատորի. Նշում թարգմանիչՄաթեմատիկոսի մահից անմիջապես հետո ժառանգները հայտնաբերեցին հայտնի թեորեմի ձևակերպումը և հետգրությունը.
« Ես գտա դրա իսկապես հրաշալի ապացույցը, բայց այս դաշտերը չափազանց նեղ են դրա համար».
Ավաղ, ըստ երևույթին, Ֆերմատը երբեք չի անհանգստացել գրի առնել իր գտած «հրաշալի ապացույցը», և ժառանգները անհաջող փնտրել են այն ավելի քան երեք դար: Ֆերմայի ողջ ցրված գիտական ժառանգությունից, որը պարունակում է բազմաթիվ զարմանալի հայտարարություններ, դա Մեծ թեորեմն էր, որը համառորեն հրաժարվեց լուծել:
Ով փորձել է ապացուցել Ֆերմայի վերջին թեորեմը, ապարդյուն է: Մեկ այլ մեծ ֆրանսիացի մաթեմատիկոս՝ Ռենե Դեկարտը (1596–1650), Ֆերմատին անվանեց «պարծենկոտ», իսկ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Ուոլիսը (1616–1703) նրան անվանեց «անիծյալ ֆրանսիացի»։ Ինքը՝ Ֆերմատը, այնուամենայնիվ, դեռևս թողել է գործի համար իր թեորեմի ապացույցը n= 4. Համար ապացույցով n= 3-ը լուծել է 18-րդ դարի շվեյցարացի-ռուս մեծ մաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլերը (1707–83), որից հետո չկարողանալով ապացույցներ գտնել n> 4-ը, կատակով առաջարկեց, որ Ֆերմատի տունը խուզարկեն կորցրած ապացույցների բանալին գտնելու համար: 19-րդ դարում թվերի տեսության նոր մեթոդները հնարավորություն տվեցին ապացուցել 200-ի սահմաններում շատ ամբողջ թվերի պնդումը, բայց կրկին ոչ բոլորի համար:
1908 թվականին այս խնդրի լուծման համար սահմանվեց 100 000 գերմանական մարկ մրցանակ։ Մրցանակային ֆոնդը կտակել է գերմանացի արդյունաբերող Փոլ Վոլֆսկեհը, ով, ըստ լեգենդի, պատրաստվում էր ինքնասպան լինել, բայց այնքան տարված էր Ֆերմատի Վերջին թեորեմով, որ մտափոխվեց մահանալու մասին։ Մեքենաների, այնուհետև համակարգիչների ավելացման հետ, արժեքի բարը nսկսեց բարձրանալ ավելի ու ավելի բարձր՝ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի սկզբին հասնելով 617-ի, 1954-ին՝ 4001-ի, 1976-ին՝ 125,000-ի: 20-րդ դարի վերջում Լոս Ալամոսի (Նյու Մեքսիկո, ԱՄՆ) ռազմական լաբորատորիաների ամենահզոր համակարգիչները ծրագրավորվեցին լուծելու Ֆերմայի խնդիրը հետին պլանում (նման է անհատական համակարգչի էկրանապահիչի ռեժիմին): Այսպիսով, հնարավոր եղավ ցույց տալ, որ թեորեմը ճիշտ է անհավանական մեծ արժեքների համար x, y, zԵվ n, բայց դա չէր կարող խիստ ապացույց ծառայել, քանի որ հետևյալ արժեքներից որևէ մեկը nկամ բնական թվերի եռյակները կարող են հերքել թեորեմն ամբողջությամբ։
Վերջապես, 1994 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ջոն Ուայլսը (ծն. 1953), աշխատելով Փրինսթոնում, հրապարակեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցը, որը որոշ փոփոխություններից հետո համարվեց համապարփակ։ Ապացույցը տևեց ավելի քան հարյուր ամսագրի էջ և հիմնված էր բարձրագույն մաթեմատիկայի ժամանակակից ապարատի օգտագործման վրա, որը մշակված չէր Ֆերմատի դարաշրջանում: Այսպիսով, ի՞նչ նկատի ուներ Ֆերմատը` գրքի լուսանցքում հաղորդագրություն թողնելով, որ գտել է ապացույցը: Մաթեմատիկոսներից շատերը, որոնց հետ ես զրուցել եմ այս թեմայի շուրջ, նշել են, որ դարերի ընթացքում եղել են Ֆերմատի Վերջին թեորեմի ավելի քան բավականաչափ սխալ ապացույցներ, և որ, ամենայն հավանականությամբ, ինքը Ֆերմատը գտել է նմանատիպ ապացույց, բայց չի կարողացել ճանաչել սխալը։ դրա մեջ։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր է, որ դեռևս կա Ֆերմայի վերջին թեորեմի կարճ և էլեգանտ ապացույց, որը դեռ ոչ ոք չի գտել: Միայն մի բան կարելի է վստահորեն ասել՝ այսօր մենք հաստատ գիտենք, որ թեորեմը ճիշտ է։ Կարծում եմ, մաթեմատիկոսներից շատերը անվերապահորեն կհամաձայնեն Էնդրյու Ուայլսի հետ, ով իր ապացույցի մասին ասաց. «Հիմա վերջապես իմ միտքը խաղաղվել է»։
Շատ տարիներ առաջ նամակ ստացա Տաշքենդից, դատելով ձեռագրից, մի դեռահասության տարիքի մի մարդ, որն այն ժամանակ ապրում էր Կոմունիստեսկայա փողոցում, 31-րդ համարով: Տղան վճռական էր տրամադրված Ֆերմայի թեորեմն ապացուցելու համար մի ուրիշ ժամանակ ես դա քեզ անվճար կապացուցեի, բայց հիմա ինձ փող է պետք...
Զարմանալի պարադոքս. քչերը գիտեն, թե ով է Ֆերմատը, երբ է ապրել և ինչ է արել: Նույնիսկ ավելի քիչ մարդիկ կարող են նկարագրել նրա մեծ թեորեմը նույնիսկ ամենաընդհանուր տերմիններով: Բայց բոլորը գիտեն, որ կա Ֆերմայի թեորեմի մի տեսակ, որի ապացույցն ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները պայքարում են ավելի քան 300 տարի, բայց չեն կարող ապացուցել:
Կան շատ հավակնոտ մարդիկ, և հենց այն գիտակցությունը, որ կա մի բան, որը ուրիշները չեն կարող անել, ավելի է խթանում նրանց փառասիրությունը: Հետևաբար, Մեծ թեորեմի հազարավոր (!) ապացույցներ են եկել և գալիս են ակադեմիաներ, գիտական ինստիտուտներ և նույնիսկ թերթերի խմբագրություններ ամբողջ աշխարհում՝ կեղծ գիտական սիրողական գործունեության աննախադեպ և երբեք չխախտված ռեկորդ: Նույնիսկ տերմին կա՝ «ֆերմատիստներ», այսինքն՝ Մեծ թեորեմն ապացուցելու մոլուցքով տառապող մարդիկ, ովքեր ամբողջովին տանջում էին պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսներին իրենց աշխատանքը գնահատելու պահանջներով։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Էդմունդ Լանդաուն նույնիսկ ստանդարտ է պատրաստել, ըստ որի՝ նա պատասխանել է. «Ֆերմատի թեորեմի ձեր ապացույցի էջում սխալ կա...», և նրա ասպիրանտները գրեցին էջի համարը։ Եվ հետո 1994-ի ամռանը ամբողջ աշխարհի թերթերը հայտնեցին մի բոլորովին սենսացիոն մի բան. Մեծ թեորեմն ապացուցված էր:
Այսպիսով, ո՞վ է Ֆերմատը, ո՞րն է խնդիրը, և արդյոք այն իսկապես լուծված է։ Պիեռ Ֆերմատը ծնվել է 1601 թվականին կաշեգործի, հարուստ և հարգված մարդու ընտանիքում. նա ծառայել է որպես երկրորդ հյուպատոս իր հայրենի Բոմոնտ քաղաքում, ինչ-որ բան քաղաքապետի օգնականի նման: Պիեռը սկզբում սովորել է ֆրանցիսկյան վանականների մոտ, այնուհետև Թուլուզի իրավագիտության ֆակուլտետում, որտեղից հետո զբաղվել է իրավաբանությամբ։ Այնուամենայնիվ, Ֆերմայի հետաքրքրությունների շրջանակը շատ ավելին էր, քան իրավագիտությունը: Նրան հատկապես հետաքրքրում էր դասական բանասիրությունը, հայտնի են նրա մեկնաբանությունները անտիկ հեղինակների տեքստերի վերաբերյալ։ Իսկ իմ երկրորդ կիրքը մաթեմատիկան է։
17-րդ դարում, ինչպես իսկապես շատ տարիներ անց, չկար այդպիսի մասնագիտություն՝ մաթեմատիկոս։ Հետևաբար, այն ժամանակվա բոլոր մեծ մաթեմատիկոսները մաթեմատիկոսներ էին «կես դրույքով». Ռենե Դեկարտը ծառայում էր բանակում, Ֆրանսուա Վիետը իրավաբան էր, Ֆրանչեսկո Կավալյերին՝ վանական։ Այն ժամանակ գիտական ամսագրեր չկային, իսկ դասական գիտնական Պիեռ Ֆերմատն իր կենդանության օրոք ոչ մի գիտական աշխատություն չհրապարակեց։ Կար «սիրողականների» բավականին նեղ շրջանակ, ովքեր լուծում էին իրենց համար հետաքրքիր տարբեր խնդիրներ և միմյանց նամակներ էին գրում այդ մասին, երբեմն վիճում էին (ինչպես Ֆերմատն ու Դեկարտը), բայց հիմնականում մնում էին համախոհներ: Նրանք դարձան նոր մաթեմատիկայի հիմնադիրները, փայլուն սերմեր ցանողները, որոնցից սկսեց աճել ժամանակակից մաթեմատիկական գիտելիքների հզոր ծառը՝ ուժ ստանալով և ճյուղավորվելով։
Այսպիսով, Ֆերմատը նույն «սիրողական» էր։ Թուլուզում, որտեղ նա ապրել է 34 տարի, բոլորը նրան ճանաչում էին, առաջին հերթին որպես քննչական պալատի խորհրդական և փորձառու փաստաբան։ 30 տարեկանում ամուսնացել է, ունեցել երեք որդի և երկու դուստր, երբեմն մեկնել է գործուղումների, որոնցից մեկի ժամանակ 63 տարեկանում հանկարծամահ է եղել։ Բոլորը! Երեք հրացանակիրների ժամանակակից այս մարդու կյանքը զարմանալիորեն զերծ է և զուրկ է արկածներից: Արկածները եկան նրա Մեծ թեորեմով: Եկեք չխոսենք Ֆերմայի ողջ մաթեմատիկական ժառանգության մասին, և դժվար է դրա մասին հանրաճանաչորեն խոսել: Ընդունեք իմ խոսքը. այս ժառանգությունը մեծ է և բազմազան: Այն պնդումը, որ Մեծ թեորեմը նրա աշխատանքի գագաթնակետն է, խիստ հակասական է: Պարզապես Մեծ թեորեմի ճակատագիրը զարմանալիորեն հետաքրքիր է, և մաթեմատիկայի առեղծվածների մեջ անտեղյակ մարդկանց հսկայական աշխարհը միշտ հետաքրքրվել է ոչ թե բուն թեորեմով, այլ նրան շրջապատող ամեն ինչով…
Այս ամբողջ պատմության արմատները պետք է փնտրել հին ժամանակներում, այնքան սիրելի Ֆերմատի կողմից։ Մոտ 3-րդ դարում Ալեքսանդրիայում ապրում էր հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտոսը, որը բնօրինակ գիտնական էր, ով մտածում էր արկղից դուրս և արտահայտում էր իր մտքերը տուփից դուրս: Նրա Թվաբանության 13 հատորներից միայն 6-ն է հասել մեզ հենց այն ժամանակ, երբ Ֆերմատը դարձավ 20 տարեկան, լույս տեսավ նրա ստեղծագործությունների նոր թարգմանությունը: Ֆերմատը շատ էր հետաքրքրված Դիոֆանտով, և այս գործերը նրա տեղեկատու գիրքն էին։ Իր լուսանցքներում Ֆերմատը գրեց իր Մեծ թեորեմը, որն իր ամենապարզ ժամանակակից ձևով ունի հետևյալ տեսքը. 32 + 42 = 52): Այնտեղ, Դիոֆանտին հատորի լուսանցքներում, Ֆերմատն ավելացնում է.
Առաջին հայացքից սա պարզ բան է, բայց երբ մյուս մաթեմատիկոսները սկսեցին ապացուցել այս «պարզ» թեորեմը, հարյուր տարի ոչ ոքի չհաջողվեց: Ի վերջո, մեծ Լեոնհարդ Էյլերը դա ապացուցեց n = 4-ի համար, այնուհետև 20 (!) տարի անց՝ n = 3-ի համար: Եվ նորից աշխատանքը երկար տարիներ կանգ առավ: Հաջորդ հաղթանակը պատկանում էր գերմանացի Պիտեր Դիրիխլեին (1805-1859) և ֆրանսիացի Անդրիեն Լեժանդրին (1752-1833), նրանք խոստովանեցին, որ Ֆերմատը ճիշտ էր n = 5-ի համար: Այնուհետև ֆրանսիացի Գաբրիել Լամեն (1795-1870) նույնն արեց: n = 7: Վերջապես, անցյալ դարի կեսերին գերմանացի Էռնստ Կումմերը (1810-1893) ապացուցեց Մեծ թեորեմը 100-ից փոքր կամ հավասար n-ի բոլոր արժեքների համար: Ավելին, նա դա ապացուցեց՝ օգտագործելով Ֆերմատի մեթոդները. չէր կարող իմանալ, ինչն էլ ավելի մեծացրեց առեղծվածի հոտը Մեծ թեորեմի շուրջ:
Այսպիսով, պարզվեց, որ նրանք ապացուցեցին Ֆերմայի թեորեմը «կտոր առ մաս», բայց ոչ ոք չհաջողվեց «ամբողջությամբ»: Ապացույցների նոր փորձերը հանգեցրին միայն n-ի արժեքների քանակական աճին Բոլորը հասկացան, որ մեծ աշխատանքով հնարավոր էր ապացուցել Մեծ թեորեմը կամայականորեն մեծ թվով n-ի համար, բայց Ֆերմատը խոսում էր ցանկացածի մասին: արժեքը մեծ է 2-ից! «Ինչքան ուզում ես» և «ցանկացած»-ի տարբերության մեջ էր, որ կենտրոնացավ խնդրի ողջ իմաստը։
Այնուամենայնիվ, հարկ է նշել, որ Ֆերմգի թեորեմն ապացուցելու փորձերը պարզապես ինչ-որ մաթեմատիկական խաղ չէին, որը լուծում էր բարդ ռեբուսը: Այս ապացուցումների ընթացքում մաթեմատիկական նոր հորիզոններ բացվեցին, խնդիրներ առաջացան ու լուծվեցին՝ դառնալով մաթեմատիկական ծառի նոր ճյուղեր։ Գերմանացի մեծ մաթեմատիկոս Դեյվիդ Հիլբերտը (1862-1943) բերեց Մեծ թեորեմը որպես «գիտության վրա խթանող ազդեցության, որը կարող է ունենալ հատուկ և աննշան թվացող խնդիրը»։ Նույն Կումմերը, աշխատելով Ֆերմատի թեորեմի վրա, ինքն ապացուցեց թեորեմներ, որոնք կազմեցին թվերի տեսության, հանրահաշվի և ֆունկցիաների տեսության հիմքը։ Այսպիսով, Մեծ թեորեմն ապացուցելը սպորտ չէ, այլ իրական գիտություն:
Ժամանակն անցավ, և էլեկտրոնիկան օգնության հասավ պրոֆեսիոնալ «ֆսրմատնցներին»։ Էլեկտրոնային ուղեղները չկարողացան նոր մեթոդներ ստեղծել, բայց նրանք դա արեցին արագ: Մոտավորապես 80-ականների սկզբին Ֆերմայի թեորեմն ապացուցվեց համակարգչի օգնությամբ n-ից պակաս կամ հավասար 5500-ի: Աստիճանաբար այս ցուցանիշը հասավ 100000-ի, բայց բոլորը հասկացան, որ նման «կուտակումը» մաքուր տեխնոլոգիայի խնդիր է, տալով. ոչինչ մտքին կամ սրտին: Նրանք չկարողացան առջև վերցնել Մեծ թեորեմի ամրոցը և սկսեցին մանևրներ փնտրել:
80-ականների կեսերին երիտասարդ ոչ մաթեմատիկոս Գ. Ֆիլիթինգսը ապացուցեց այսպես կոչված «Մորդելի ենթադրությունը», որը, ի դեպ, նույնպես 61 տարի շարունակ ոչ մի մաթեմատիկոսի «ձեռքը չէր ընկել»։ Հույս առաջացավ, որ այժմ, այսպես ասած, «թևից գրոհելով», Ֆերմայի թեորեմը կարող է լուծվել։ Սակայն այդ ժամանակ ոչինչ տեղի չունեցավ։ 1986 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Գերհարդ Ֆրեյը առաջարկեց ապացուցման նոր մեթոդ Essence-ում։ Ես չեմ պարտավորվում դա խստորեն բացատրել, բայց ոչ մաթեմատիկական, այլ համընդհանուր մարդկային լեզվով հնչում է այսպես. եթե համոզված լինենք, որ որևէ այլ թեորեմի ապացույցը անուղղակի, ինչ-որ կերպ փոխակերպված ապացույց է Ֆերմայի թեորեմը, ապա, հետևաբար, մենք կապացուցենք Մեծ թեորեմը։ Մեկ տարի անց Բերկլիից ամերիկացի Քենեթ Ռիբեթը ցույց տվեց, որ Ֆրեյը ճիշտ էր, և, իրոք, մի ապացույցը կարող է կրճատվել մյուսի վրա: Աշխարհի տարբեր երկրներում շատ մաթեմատիկոսներ գնացին այս ճանապարհով։ Վիկտոր Ալեքսանդրովիչ Կոլիվանովը շատ բան է արել Մեծ թեորեմն ապացուցելու համար։ Անառիկ բերդի երեքհարյուրամյա պարիսպները սկսեցին ցնցվել։ Մաթեմատիկոսները հասկացան, որ այն երկար չի դիմանա։
1993 թվականի ամռանը Հին Քեմբրիջում, Իսահակ Նյուտոնի մաթեմատիկական գիտությունների ինստիտուտում, աշխարհի ամենահայտնի մաթեմատիկոսներից 75-ը հավաքվեցին՝ քննարկելու իրենց խնդիրները: Նրանց թվում էր ամերիկացի պրոֆեսոր Էնդրյու Ուայլսը Փրինսթոնի համալսարանից՝ թվերի տեսության խոշոր մասնագետ։ Բոլորը գիտեին, որ նա երկար տարիներ ուսումնասիրում էր Մեծ թեորեմը։ Ուայլսը երեք զեկույց տվեց, իսկ վերջինը՝ 1993 թվականի հունիսի 23-ին, ամենավերջում, շրջվելով տախտակից, ժպտալով ասաց.
- Կարծում եմ, չեմ շարունակի…
Սկզբում մեռելային լռություն տիրեց, ապա ծափահարությունների հեղեղ։ Դահլիճում նստածները բավական որակավորված էին հասկանալու համար. Ֆերմատի վերջին թեորեմն ապացուցված էր: Ամեն դեպքում, ներկաներից ոչ մեկը ներկայացված ապացույցներում սխալներ չի հայտնաբերել։ Նյուտոնի ինստիտուտի փոխտնօրեն Փիթեր Գոդարդը լրագրողներին ասել է.
«Փորձագետների մեծ մասը չէր կարծում, որ պատասխանը կիմանա մինչև իրենց կյանքի վերջը»: Սա մեր դարի մաթեմատիկայի ամենամեծ նվաճումներից մեկն է...
Անցավ մի քանի ամիս, ոչ մի մեկնաբանություն կամ հերքում չեղավ։ Ճիշտ է, Ուայլսը չհրապարակեց իր ապացույցը, այլ միայն ուղարկեց իր աշխատության այսպես կոչված տպագրությունը իր գործընկերների շատ նեղ շրջանակին, ինչը, բնականաբար, խանգարում է մաթեմատիկոսներին մեկնաբանել այս գիտական սենսացիա, և ես հասկանում եմ ակադեմիկոս Լյուդվիգ Դմիտրիևիչ Ֆադդեևին. ով ասաց:
«Կարող եմ ասել, որ սենսացիա է առաջացել, երբ ես սեփական աչքերով եմ տեսնում ապացույցը»։
Ֆադդեևը կարծում է, որ Ուայլսի հաղթանակի հավանականությունը շատ մեծ է։
«Հայրս՝ թվերի տեսության հայտնի մասնագետը, օրինակ, վստահ էր, որ թեորեմը կապացուցվի, բայց ոչ տարրական միջոցներով»,- հավելեց նա։
Մեր մեկ այլ ակադեմիկոս Վիկտոր Պավլովիչ Մասլովը թերահավատորեն էր վերաբերվում այդ լուրերին և կարծում է, որ Մեծ թեորեմի ապացույցն ամենևին էլ հրատապ մաթեմատիկական խնդիր չէ։ Կիրառական մաթեմատիկայի խորհրդի նախագահ Մասլովն իր գիտական հետաքրքրությունների առումով հեռու է «ֆերմատիստներից», և երբ ասում է, որ Մեծ թեորեմի ամբողջական լուծումը միայն սպորտային հետաքրքրություն է ներկայացնում, կարելի է հասկանալ նրան։ Այնուամենայնիվ, ես համարձակվում եմ նշել, որ ցանկացած գիտության մեջ համապատասխանության հասկացությունը փոփոխական մեծություն է: 90 տարի առաջ Ռադերֆորդին նույնպես ասվել է.
Մեծ թեորեմի ապացուցման աշխատանքն արդեն շատ բան է տվել մաթեմատիկային, և կարելի է հուսալ, որ ավելին կտա։
«Այն, ինչ արեց Ուայլսը, մաթեմատիկոսներին առաջ կբերի այլ ոլորտներ», - ասաց Փիթեր Գոդարդը: — Ավելի շուտ, այն չի փակում մտքի ուղղություններից մեկը, այլ առաջ է քաշում նոր հարցեր, որոնք պատասխան կպահանջեն...
Մոսկվայի պետական համալսարանի պրոֆեսոր Միխայիլ Իլյիչ Զելիքինն ինձ այսպես բացատրեց այսօրվա իրավիճակը.
Ուայլսի աշխատանքում ոչ ոք սխալներ չի տեսնում։ Բայց որպեսզի այս աշխատանքը դառնա գիտական փաստ, անհրաժեշտ է, որ մի քանի հեղինակավոր մաթեմատիկոսներ ինքնուրույն կրկնեն այս ապացույցը և հաստատեն դրա ճիշտությունը։ Սա անփոխարինելի պայման է մաթեմատիկական հանրության համար՝ հասկանալու Ուայլսի աշխատանքը...
Որքան ժամանակ դա կպահանջի?
Ես այս հարցը տվեցի թվերի տեսության ոլորտում մեր առաջատար փորձագետներից մեկին՝ ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Ալեքսեյ Նիկոլաևիչ Պարշինին։
— Էնդրյու Ուայլսը դեռ շատ ժամանակ ունի առջևում...
Բանն այն է, որ 1907 թվականի սեպտեմբերի 13-ին գերմանացի մաթեմատիկոս Պ.Վոլֆսկելը, ով, ի տարբերություն մաթեմատիկոսների ճնշող մեծամասնության, հարուստ մարդ էր, 100 հազար մարկ կտակեց նրան, ով կապացուցի Մեծ թեորեմը առաջիկա 100 տարում։ Դարասկզբին կտակված գումարից տոկոսները գնացել են հայտնի Գյոթանգհենտ համալսարանի գանձարան։ Այս գումարով առաջատար մաթեմատիկոսներ հրավիրվեցին դասախոսություններ կարդալու և գիտական աշխատանք կատարելու։ Այն ժամանակ մրցանակաբաշխության հանձնաժողովի նախագահն էր արդեն հիշատակված Դեյվիդ Գիլբերտը։ Նա իսկապես չէր ցանկանում վճարել բոնուսը:
«Բարեբախտաբար,- ասաց մեծ մաթեմատիկոսը,- թվում է, թե մենք, բացի ինձնից, մաթեմատիկոս չունենք, ով կկարողանար կատարել այս խնդիրը, բայց ես երբեք չեմ համարձակվի սպանել մեզ համար ոսկե ձու ածող սագին»:
Վոլֆսկեհլի կողմից նշանակված 2007 թվականի վերջնաժամկետին մնացել են մի քանի տարի, և, ինձ թվում է, լուրջ վտանգ է սպառնում «Հիլբերտի հավի» վրա։ Բայց դա իրականում բոնուսի մասին չէ: Մտքի հետաքրքրասերության և մարդկային համառության խնդիր է։ Նրանք պայքարեցին ավելի քան երեք հարյուր տարի, բայց նրանք դեռ ապացուցեցին դա:
Եվ հետագա. Ինձ համար այս ամբողջ պատմության մեջ ամենահետաքրքիրն այն է, թե ինչպե՞ս է ինքը՝ Ֆերմատն ապացուցել իր Մեծ թեորեմը: Չէ՞ որ այսօրվա բոլոր մաթեմատիկական հնարքները նրան անհայտ էին։ Եվ նա ընդհանրապես ապացուցե՞լ է դա։ Ի վերջո, կա վարկած, որ նա, թվում էր, ապացուցել է դա, բայց ինքը սխալ է գտել, և, հետևաբար, ապացույցը չի ուղարկել այլ մաթեմատիկոսների և մոռացել է հատել Դիոֆանտոսի հատորի լուսանցքի մուտքը: Հետևաբար, ինձ թվում է, որ Մեծ թեորեմի ապացույցն ակնհայտորեն տեղի է ունեցել, բայց Ֆերմայի թեորեմի գաղտնիքը մնում է, և դժվար թե մենք երբևէ բացահայտենք այն…
Ֆերմատը կարող էր այն ժամանակ սխալվել, բայց նա չսխալվեց, երբ գրեց. «Հնարավոր է, որ հետնորդներն ինձ երախտապարտ կլինեն, որ ցույց տվեցի նրանց, որ հին մարդիկ ամեն ինչ չգիտեին, և դա կարող է թափանցել նրանց գիտակցությունը, ովքեր գալիս են ինձանից հետո անցնելու: ջահը իր որդիներին...»:
Աշխարհում շատ մարդիկ չկան, ովքեր երբեք չեն լսել Ֆերմատի վերջին թեորեմի մասին, թերևս սա միակ մաթեմատիկական խնդիրն է, որն այդքան լայնորեն հայտնի է դարձել և իրական լեգենդ է դարձել: Այն հիշատակվում է բազմաթիվ գրքերում և ֆիլմերում, և գրեթե բոլոր հիշատակումների հիմնական ենթատեքստը թեորեմի ապացուցման անհնարինությունն է։
Այո, այս թեորեմը շատ լավ հայտնի է և ինչ-որ իմաստով դարձել է սիրողական և պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների կողմից պաշտվող «կուռք», բայց քչերը գիտեն, որ դրա ապացույցը գտնվել է, և դա տեղի է ունեցել դեռևս 1995 թվականին։ Բայց առաջին հերթին առաջինը:
Այսպիսով, Ֆերմայի վերջին թեորեմը (հաճախ կոչվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմը), որը ձևակերպվել է 1637 թվականին ֆրանսիացի փայլուն մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերմայի կողմից, ըստ էության շատ պարզ է և հասկանալի յուրաքանչյուրի համար, ով ունի միջնակարգ կրթություն: Այն ասում է, որ a բանաձևը n + b n հզորությամբ n = c n հզորությամբ չունի բնական (այսինքն, ոչ կոտորակային) լուծումներ n > 2-ի համար: Ամեն ինչ պարզ և պարզ է թվում, բայց լավագույն մաթեմատիկոսները և սովորական սիրողականները ավելի քան երեքուկես դար պայքարում էին լուծում որոնելու համար:
Ինչու է նա այդքան հայտնի: Հիմա մենք կիմանանք...
Կա՞ն շա՞տ ապացուցված, չապացուցված և դեռևս չապացուցված թեորեմներ: Բանն այստեղ այն է, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ներկայացնում է ամենամեծ հակադրությունը ձևակերպման պարզության և ապացույցի բարդության միջև: Ֆերմայի վերջին թեորեմը աներևակայելի բարդ խնդիր է, և, այնուամենայնիվ, դրա ձևակերպումը կարող է հասկանալ ավագ դպրոցի 5-րդ դասարանցիները, բայց նույնիսկ ամեն պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոս չէ, որ կարող է հասկանալ ապացույցը: Ո՛չ ֆիզիկայում, ո՛չ քիմիայում, ո՛չ կենսաբանության, ո՛չ մաթեմատիկայի մեջ չկա մի խնդիր, որը կարելի էր այդքան պարզ ձևակերպել, բայց այսքան ժամանակ չլուծված մնար։ 2. Ինչից է այն բաղկացած:
Սկսենք Պյութագորասի շալվարից: Ձևակերպումը իսկապես պարզ է` առաջին հայացքից: Ինչպես գիտենք մանկությունից, «Պյութագորասյան շալվարները բոլոր կողմերից հավասար են»: Խնդիրն այնքան պարզ է թվում, քանի որ այն հիմնված էր մաթեմատիկական հայտարարության վրա, որը բոլորը գիտեն՝ Պյութագորասի թեորեմը. ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է ոտքերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին:
5-րդ դարում մ.թ.ա. Պյութագորասը հիմնեց Պյութագորաս եղբայրությունը։ Պյութագորացիները, ի թիվս այլ բաների, ուսումնասիրեցին x²+y²=z² հավասարությունը բավարարող ամբողջ թվով եռյակներ: Նրանք ապացուցեցին, որ կան անսահման շատ Պյութագորասի եռյակներ և ստացան դրանք գտնելու ընդհանուր բանաձևեր։ Հավանաբար փորձել են փնտրել C և ավելի բարձր աստիճաններ։ Համոզված լինելով, որ դա չի ստացվում, պյութագորացիները հրաժարվեցին իրենց անօգուտ փորձերից: Եղբայրության անդամներն ավելի շատ փիլիսոփաներ ու գեղագետներ էին, քան մաթեմատիկոսներ։
Այսինքն՝ հեշտ է ընտրել թվերի մի շարք, որոնք լիովին բավարարում են x²+y²=z² հավասարությունը:
Սկսած 3-ից, 4-ից, 5-ից, իսկապես, կրտսեր ուսանողը հասկանում է, որ 9 + 16 = 25:
Կամ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Հիանալի:
Այսպիսով, պարզվում է, որ նրանք ՉԵՆ։ Այստեղից է սկսվում հնարքը։ Պարզությունն ակնհայտ է, քանի որ դժվար է ապացուցել ոչ թե ինչ-որ բանի առկայությունը, այլ, ընդհակառակը, դրա բացակայությունը։ Երբ դուք պետք է ապացուցեք, որ լուծում կա, դուք կարող եք և պետք է պարզապես ներկայացնել այս լուծումը:
Բացակայությունն ապացուցելը ավելի դժվար է. օրինակ, մեկն ասում է՝ այսինչ հավասարումը լուծումներ չունի։ Դրեք նրան ջրափոսի մեջ: հեշտ: բամ - և ահա, լուծումը: (լուծում տալ): Եվ վերջ, հակառակորդը պարտված է: Ինչպե՞ս ապացուցել բացակայությունը:
Ասա. «Ես նման լուծումներ չե՞մ գտել»: Կամ գուցե լավ չէի՞ք նայվում։ Իսկ եթե դրանք գոյություն ունեն, միայն շատ մեծ, շատ մեծ, այնպիսին, որ նույնիսկ գերհզոր համակարգիչը դեռևս բավարար ուժ չունի: Սա այն է, ինչ դժվար է.
Սա տեսողականորեն կարելի է ցույց տալ այսպես. եթե վերցնում եք համապատասխան չափերի երկու քառակուսի և դրանք ապամոնտաժում եք միավորի քառակուսիների, ապա միավոր քառակուսիների այս փունջից դուք ստանում եք երրորդ քառակուսի (նկ. 2): 
Բայց եկեք նույնն անենք երրորդ հարթության հետ (նկ. 3) - այն չի աշխատում: Չկան բավարար խորանարդներ, կամ մնացել են լրացուցիչ.
Բայց 17-րդ դարի մաթեմատիկոս ֆրանսիացի Պիեռ դը Ֆերմատը խանդավառությամբ ուսումնասիրեց x n + y n = z n ընդհանուր հավասարումը: Եվ վերջապես ես եզրակացրի. n>2-ի համար չկան ամբողջ թվային լուծում: Ֆերմատի ապացույցն անդառնալիորեն կորել է։ Այրվում են ձեռագրեր։ Մնում է միայն Դիոֆանտոսի թվաբանության մեջ նրա դիտողությունը.
Փաստորեն, առանց ապացույցի թեորեմը կոչվում է հիպոթեզ: Բայց Ֆերմատը երբեք չի սխալվելու համբավ ունի: Նույնիսկ եթե նա չի թողել ցուցմունքի ապացույց, այն հետագայում հաստատվել է: Ավելին, Ֆերմատն ապացուցեց իր թեզը n=4-ի համար։ Այսպիսով, ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի վարկածը պատմության մեջ մտավ որպես Ֆերմայի վերջին թեորեմ:
Ֆերմատից հետո այնպիսի մեծ մտքեր, ինչպիսին Լեոնհարդ Էյլերն էր, աշխատեցին ապացույցի որոնման վրա (1770 թվականին նա առաջարկեց լուծում n=3-ի համար),
Ադրիեն Լեժանդրը և Յոհան Դիրիխլեն (այս գիտնականները համատեղ գտել են n=5-ի ապացույցը 1825 թվականին), Գաբրիել Լամեն (ով գտել է n=7-ի ապացույցը) և շատ ուրիշներ։ Անցյալ դարի 80-ականների կեսերին պարզ դարձավ, որ գիտական աշխարհը գտնվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմի վերջնական լուծման ճանապարհին, բայց միայն 1993 թվականին մաթեմատիկոսները տեսան և հավատացին, որ ապացույցը փնտրելու երեքդարյա էպոսը. Ֆերմայի վերջին թեորեմը գործնականում ավարտված էր։
Հեշտությամբ ցույց է տրվում, որ բավարար է Ֆերմայի թեորեմն ապացուցել միայն պարզ n-ի համար՝ 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Բաղադրյալ n-ի համար ապացույցը մնում է վավեր: Բայց պարզ թվեր կան անսահման շատ...
1825 թվականին Սոֆի Ժերմենի մեթոդով կին մաթեմատիկոսները Դիրիխլեն և Լեժանդրը ինքնուրույն ապացուցեցին n=5-ի թեորեմը։ 1839 թվականին նույն մեթոդով ֆրանսիացի Գաբրիել Լամը ցույց տվեց թեորեմի ճշմարտացիությունը n=7-ի համար։ Աստիճանաբար թեորեմն ապացուցվեց հարյուրից պակաս գրեթե բոլորի համար:
Ի վերջո, գերմանացի մաթեմատիկոս Էռնստ Կումմերը փայլուն ուսումնասիրությամբ ցույց տվեց, որ թեորեմն ընդհանրապես չի կարող ապացուցվել 19-րդ դարի մաթեմատիկայի մեթոդներով։ Ֆրանսիական գիտությունների ակադեմիայի մրցանակը, որը հաստատվել էր 1847 թվականին Ֆերմայի թեորեմի ապացուցման համար, մնաց չշնորհված։
1907 թվականին գերմանացի մեծահարուստ արդյունաբերող Փոլ Վոլֆսկեհլը որոշեց ինքնասպան լինել անպատասխան սիրո պատճառով։ Իսկական գերմանացու նման նա սահմանեց ինքնասպանության օրն ու ժամը՝ ուղիղ կեսգիշերին: Վերջին օրը նա կտակ է արել և նամակներ գրել ընկերներին ու հարազատներին։ Գործերն ավարտվեցին մինչև կեսգիշեր: Պետք է ասել, որ Պողոսը հետաքրքրված էր մաթեմատիկայով։ Ուրիշ անելիք չունենալով՝ նա գնաց գրադարան և սկսեց կարդալ Կումերի հայտնի հոդվածը։ Հանկարծ նրան թվաց, որ Կումմերը սխալվել է իր պատճառաբանության մեջ։ Վոլֆսկելը սկսեց վերլուծել հոդվածի այս հատվածը՝ մատիտը ձեռքին։ Կեսգիշերն անցավ, առավոտ եկավ։ Ապացույցի բացը լրացվել է. Եվ հենց ինքնասպանության պատճառն այժմ լրիվ ծիծաղելի էր թվում։ Պողոսը պատռեց իր հրաժեշտի նամակները և նորից գրեց իր կտակը։
Շուտով նա մահացավ բնական մահով։ Ժառանգները բավականին զարմացած էին. 100,000 մարկ (ավելի քան 1,000,000 ընթացիկ ֆունտ ստեռլինգ) փոխանցվեց Գյոթինգենի թագավորական գիտական ընկերության հաշվին, որը նույն թվականին հայտարարեց Վոլֆսկեհլի մրցանակի համար մրցույթ։ Ֆերմայի թեորեմն ապացուցողին շնորհվել է 100 000 միավոր։ Թեորեմը հերքելու համար ոչ մի պֆենինգ չի շնորհվել...
Պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների մեծամասնությունը Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցի որոնումը համարում էր անհույս աշխատանք և վճռականորեն հրաժարվում էր ժամանակ վատնել նման անօգուտ վարժության վրա։ Բայց սիրողականները պայթեցին: Հայտարարությունից մի քանի շաբաթ անց «ապացույցների» ձնահյուսը հարվածեց Գյոթինգենի համալսարանին: Պրոֆեսոր Է.Մ. Լանդաուն, ում պարտականությունն էր վերլուծել ուղարկված ապացույցները, բացիկներ բաժանեց իր ուսանողներին.
Սիրելի. . . . . . . .
Շնորհակալ եմ, որ ինձ ուղարկեցիք ձեռագիրը Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցով: Առաջին սխալը գտնվում է էջում ... տողում... . Դրա պատճառով ամբողջ ապացույցը կորցնում է իր վավերականությունը:
Պրոֆեսոր E. M. Landau
1963 թվականին Փոլ Քոհենը, հենվելով Գյոդելի բացահայտումների վրա, ապացուցեց Հիլբերտի քսաներեք խնդիրներից մեկի՝ շարունակականության վարկածի անլուծելիությունը։ Իսկ եթե Ֆերմայի վերջին թեորեմը նույնպես անորոշ է: Սակայն Մեծ թեորեմի իսկական ֆանատիկոսները բոլորովին հիասթափված չէին: Համակարգիչների հայտնվելը մաթեմատիկոսներին անսպասելիորեն ապացուցման նոր մեթոդ տվեց։ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո ծրագրավորողների և մաթեմատիկոսների թիմերը ապացուցեցին Ֆերմայի վերջին թեորեմը n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 500, այնուհետև մինչև 1000 և հետագայում մինչև 10000:
1980-ականներին Սամուել Վագստաֆը սահմանը բարձրացրեց մինչև 25000, իսկ 1990-ականներին մաթեմատիկոսները հայտարարեցին, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ճշմարիտ է n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 4 միլիոն: Բայց եթե անսահմանությունից հանես նույնիսկ մեկ տրիլիոն տրիլիոն, այն չի փոքրանա: Մաթեմատիկոսներին վիճակագրությունը չի համոզում. Ապացուցել Մեծ թեորեմը նշանակում էր ապացուցել այն ԲՈԼՈՐ n-ի համար, որ գնում է անսահմանություն:
1954 թվականին երկու երիտասարդ ճապոնացի մաթեմատիկոս ընկերներ սկսեցին ուսումնասիրել մոդուլային ձևերը: Այս ձևերը առաջացնում են թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր շարքը: Պատահականորեն Թանիյաման այս շարքերը համեմատեց էլիպսային հավասարումների արդյունքում առաջացած շարքերի հետ։ Համապատասխանեցան։ Բայց մոդուլային ձևերը երկրաչափական առարկաներ են, իսկ էլիպսային հավասարումները հանրահաշվական են: Նման տարբեր օբյեկտների միջև որևէ կապ երբևէ չի հայտնաբերվել։
Այնուամենայնիվ, ուշադիր փորձարկումներից հետո ընկերները առաջ քաշեցին մի վարկած՝ յուրաքանչյուր էլիպսային հավասարում ունի երկվորյակ՝ մոդուլային ձև և հակառակը։ Հենց այս վարկածը դարձավ մաթեմատիկայի մի ամբողջ ուղղության հիմքը, բայց քանի դեռ Թանիյամա-Շիմուրա վարկածն ապացուցված չէր, ամբողջ շենքը կարող էր փլվել ցանկացած պահի:
1984 թվականին Գերհարդ Ֆրեյը ցույց տվեց, որ Ֆերմատի հավասարման լուծումը, եթե այն գոյություն ունի, կարող է ներառվել որոշ էլիպսային հավասարման մեջ։ Երկու տարի անց պրոֆեսոր Քեն Ռիբեթն ապացուցեց, որ այս հիպոթետիկ հավասարումը մոդուլային աշխարհում նմանը չի կարող ունենալ։ Այսուհետ Ֆերմայի Վերջին թեորեմը անքակտելիորեն կապված էր Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրության հետ։ Ապացուցելով, որ ցանկացած էլիպսային կոր մոդուլային է, մենք եզրակացնում ենք, որ Ֆերմատի հավասարման լուծմամբ էլիպսային հավասարում չկա, և Ֆերմայի վերջին թեորեմը անմիջապես կհաստատվի: Բայց երեսուն տարի շարունակ հնարավոր չէր ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրայի վարկածը, և հաջողության հույսը գնալով ավելի քիչ էր։
1963 թվականին, երբ նա ընդամենը տասը տարեկան էր, Էնդրյու Ուայլսն արդեն հիացած էր մաթեմատիկայով։ Երբ նա իմացավ Մեծ թեորեմի մասին, նա հասկացավ, որ չի կարող հրաժարվել դրանից: Լինելով դպրոցական, ուսանող և ասպիրանտ, նա իրեն պատրաստեց այս գործին:
Իմանալով Քեն Ռիբեթի գտածոների մասին՝ Ուայլսը գլխապտույտ սկսեց ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրա վարկածը: Նա որոշել է աշխատել լիակատար մեկուսացման և գաղտնիության պայմաններում։ «Ես հասկացա, որ այն ամենը, ինչ կապ ունի Ֆերմայի վերջին թեորեմի հետ, չափազանց մեծ հետաքրքրություն է առաջացնում... Շատ հանդիսատեսներ ակնհայտորեն խանգարում են նպատակին հասնելուն»: Յոթ տարվա քրտնաջան աշխատանքը արդյունք տվեց, Ուայլսը վերջապես ավարտեց Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրության ապացույցը:
1993 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ուայլսն աշխարհին ներկայացրեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի իր ապացույցը (Ուայլսը կարդաց իր սենսացիոն աշխատությունը Քեմբրիջի Սըր Իսահակ Նյուտոնի ինստիտուտի կոնֆերանսում), որի վրա աշխատանքը տևեց ավելի քան յոթ տարի:
Մինչ մամուլում աժիոտաժը շարունակվում էր, լուրջ աշխատանք սկսվեց ապացույցների ստուգման ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր ապացույց պետք է մանրակրկիտ ուսումնասիրվի, նախքան ապացույցները կարող են համարվել խիստ և ճշգրիտ: Ուայլսն անհանգիստ ամառ անցկացրեց՝ սպասելով գրախոսողների արձագանքներին՝ հուսալով, որ նա կկարողանա շահել նրանց հավանությունը: Օգոստոսի վերջին փորձագետները դատավճիռը անբավարար են գտել։
Պարզվեց, որ այս որոշումը կոպիտ սխալ է պարունակում, թեև ընդհանուր առմամբ ճիշտ էր։ Ուայլսը չհուսահատվեց, օգնության կանչեց թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ռիչարդ Թեյլորին, և արդեն 1994 թվականին նրանք հրապարակեցին թեորեմի շտկված և ընդլայնված ապացույցը։ Ամենազարմանալին այն է, որ այս աշխատանքը զբաղեցրել է 130 (!) էջ «Annals of Mathematics» մաթեմատիկական ամսագրում: Բայց պատմությունն այսքանով էլ չավարտվեց. վերջնական կետին հասան միայն հաջորդ տարի՝ 1995 թվականին, երբ հրապարակվեց ապացույցի վերջնական և «իդեալական», մաթեմատիկական տեսանկյունից տարբերակը։
«...Ծննդյան օրվա առթիվ տոնական ընթրիքի մեկնարկից կես րոպե անց ես Նադյային նվիրեցի ամբողջական ապացույցի ձեռագիրը» (Էնդրյու Ուելս): Դեռ չեմ ասել, որ մաթեմատիկոսները տարօրինակ մարդիկ են։
Այս անգամ ապացույցների մեջ կասկած չկար։ Երկու հոդվածներ ենթարկվեցին առավել մանրակրկիտ վերլուծության և տպագրվեցին 1995 թվականի մայիսին Mathematics ամսագրում:
Այդ պահից շատ ժամանակ է անցել, բայց հասարակության մեջ դեռ կարծիք կա, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմն անլուծելի է։ Բայց նույնիսկ նրանք, ովքեր գիտեն հայտնաբերված ապացույցի մասին, շարունակում են աշխատել այս ուղղությամբ. քչերն են գոհ, որ Մեծ թեորեմը պահանջում է 130 էջանոց լուծում:
Ուստի հիմա շատ մաթեմատիկոսների (հիմնականում սիրողական, ոչ պրոֆեսիոնալ գիտնականների) ջանքերը նետվում են պարզ ու հակիրճ ապացույցի փնտրտուքների մեջ, բայց այս ճանապարհը, ամենայն հավանականությամբ, ոչ մի տեղ չի տանի...
աղբյուր