Ən sadə irrasional tənliklər nümunədir. İrrasional tənliklərin həlli üsulları

İrrasional tənliklərin həlli üsulları.

Dərs üçün ilkin hazırlıq: Şagirdlər irrasional tənlikləri müxtəlif üsullarla həll etməyi bacarmalıdırlar.

Bu dərsdən üç həftə əvvəl tələbələr 1 nömrəli ev tapşırığını alırlar: müxtəlif irrasional tənlikləri həll edirlər. (Şagirdlər müstəqil olaraq 6 müxtəlif irrasional tənliyi tapır və onları cüt-cüt həll edirlər.)

Bu dərsdən bir həftə əvvəl tələbələr fərdi şəkildə yerinə yetirdikləri 2 nömrəli ev tapşırığını alırlar.

1. Tənliyi həll edinfərqli yollar.

2. Hər bir metodun üstünlüklərini və mənfi cəhətlərini qiymətləndirin.

3. Nəticələri cədvəl şəklində qeyd edin.

№ p/p	yol	Üstünlüklər	Qüsurlar

Dərsin məqsədləri:

Təhsil:bu mövzuda tələbələrin biliklərinin ümumiləşdirilməsi, irrasional tənliklərin həlli üçün müxtəlif üsulların nümayişi, tələbələrin tənliklərin həllinə tədqiqat nöqteyi-nəzərindən yanaşma bacarığı.

Təhsil:müstəqilliyi, başqalarını dinləmək və qruplarda ünsiyyət qurmaq bacarığını inkişaf etdirmək, mövzuya marağı artırmaq.

İnkişaf:məntiqi təfəkkürün, alqoritmik mədəniyyətin, özünütəhsil bacarıqlarının inkişafı, özünütəşkil etmək, ev tapşırığını yerinə yetirərkən cütlərlə işləmək, təhlil etmək, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək və nəticə çıxarmaq bacarıqları.

Avadanlıq: kompüter, proyektor, ekran, cədvəl “İrrasional tənliklərin həlli qaydaları”, M.V.-dən sitat olan plakat. Lomonosov "Riyaziyyatı yalnız bundan sonra öyrətmək lazımdır, çünki o, zehni nizama salır", kartlar.

İrrasional tənliklərin həlli qaydaları.

Dərsin növü: dərs-seminar (5-6 nəfərlik qruplarda işləmək, hər qrupda güclü tələbələr olmalıdır).

Dərslər zamanı

I . Təşkilat vaxtı

(Dərsin mövzusu və məqsədləri haqqında məlumat)

II . “İrrasional tənliklərin həlli üsulları” elmi işinin təqdimatı

(Əsəri bunu edən tələbə təqdim edir.)

III . Ev tapşırıqlarının həlli üsullarının təhlili

(Hər qrupdan bir şagird təklif etdiyi həll üsullarını lövhəyə yazır. Hər qrup həll üsullarından birini təhlil edir, üstünlüklərini və çatışmazlıqlarını qiymətləndirir və nəticə çıxarır. Qruplardakı tələbələr lazım gəldikdə əlavə edirlər. Qrupun təhlili və nəticələri qiymətləndirilir.Cavablar aydın və dolğun olmalıdır.)

Birinci üsul: tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq və sonra yoxlamaq.

Həll.

Tənliyin hər iki tərəfini yenidən kvadratlaşdıraq:

Buradan

İmtahan:

1. Əgərx=onda 42, bu rəqəm deməkdir42 tənliyin kökü deyil.

2. Əgərx=2, onda, bu rəqəm deməkdir2 tənliyin köküdür.

Cavab:2.

№ p/p	yol	Üstünlüklər	Qüsurlar
	Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq	1. Mən görürəm. 2. Mövcuddur.	1. Şifahi qeyd. 2. Çətin yoxlama.

Nəticə. Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaqla irrasional tənlikləri həll edərkən şifahi qeyd aparmaq lazımdır ki, bu da həlli başa düşülən və əlçatan edir. Bununla belə, məcburi yoxlama bəzən mürəkkəb və vaxt aparan olur. Bu üsul 1-2 radikaldan ibarət sadə irrasional tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

İkinci üsul: ekvivalent çevrilmələr.

Həll:Tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıraq:

Cavab:2.

№ p/p	yol	Üstünlüklər	Qüsurlar
	Ekvivalent çevrilmələr	1. Şifahi təsvirin olmaması. 2. Yoxlama yoxdur. 3. Məntiqi qeydi aydınlaşdırın. 4. Ekvivalent keçidlərin ardıcıllığı.	1. Çətin qeyd. 2. Sistem və çoxluğun əlamətlərini birləşdirərkən səhv edə bilərsiniz.

Nəticə. Ekvivalent keçidlər metodundan istifadə edərək irrasional tənlikləri həll edərkən, sistemin işarəsinin nə vaxt və aqreqatın işarəsinin nə vaxt qoyulacağını dəqiq bilmək lazımdır. Qeydiyyatın çətinliyi və sistem və kombinasiya simvollarının müxtəlif kombinasiyaları çox vaxt səhvlərə səbəb olur. Bununla belə, ekvivalent keçidlərin ardıcıllığı, şifahi təsviri olmayan, yoxlama tələb etməyən aydın məntiqi qeyd bu metodun mübahisəsiz üstünlükləridir.

Üçüncü üsul: funksional-qrafik.

Həll.

Gəlin funksiyalara baxaqVə.

1. Funksiyasakitləşdirici; artır, çünki eksponent müsbət (tam deyil) ədəddir.

D(f).

Gəlin dəyərlər cədvəli yaradaqxVəf( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funksiyasakitləşdirici; azalır.

Funksiyanın təyini oblastını tapaqD( g).

Gəlin dəyərlər cədvəli yaradaqxVəg( x).

g(x)

Bu funksiya qrafiklərini bir koordinat sistemində quraq.

Funksiyaların qrafikləri absis nöqtəsində kəsişirÇünki funksiyasıf( x) artır və funksiyası artırg( x) azalır, onda tənliyin yalnız bir həlli olacaq.

Cavab: 2.

№p/p	yol	Üstünlüklər	Qüsurlar
	Funksional-qrafik	1. Görmə qabiliyyəti. 2. Mürəkkəb cəbri çevrilmələr aparmağa və ODZ-yə nəzarət etməyə ehtiyac yoxdur. 3. Həlllərin sayını tapmağa imkan verir.	1. şifahi qeyd. 2. Dəqiq cavab tapmaq heç də həmişə mümkün olmur və əgər cavab dəqiqdirsə, onda yoxlama lazımdır.

Nəticə. Funksional-qrafik metod vizual xarakter daşıyır və həllərin sayını tapmağa imkan verir, lakin nəzərdən keçirilən funksiyaların qrafiklərini asanlıqla qura və dəqiq cavab ala bildikdə ondan istifadə etmək daha yaxşıdır. Cavab təxminidirsə, başqa üsuldan istifadə etmək daha yaxşıdır.

Dördüncü üsul: yeni dəyişənin təqdim edilməsi.

Həll.ifadə edən yeni dəyişənləri təqdim edəkSistemin birinci tənliyini alırıq

Sistemin ikinci tənliyini yaradaq.

Dəyişən üçün:

Dəyişən üçün

Buna görə də

ilə bağlı iki rasional tənlik sistemi əldə edirikVə

Dəyişənlərə qayıdırıq, alırıq

Yeni dəyişənin təqdim edilməsi

Sadələşdirmə - tərkibində radikal olmayan tənliklər sisteminin əldə edilməsi

1. Yeni dəyişənlərin DID-ni izləmək ehtiyacı

2. Orijinal dəyişənə qayıtmaq ehtiyacı

Nəticə. Bu üsuldan ən yaxşı şəkildə tərkibində müxtəlif dərəcəli radikallar və ya kök işarəsi altında və kök işarəsinin arxasında eyni polinomlar və ya kök işarəsi altında qarşılıqlı ifadələr olan irrasional tənliklər üçün istifadə olunur.

- Beləliklə, uşaqlar, hər bir irrasional tənlik üçün onu həll etməyin ən əlverişli yolunu seçməlisiniz: başa düşülən. Əlçatan, məntiqi və bacarıqlı şəkildə tərtib edilmişdir. Əlinizi qaldırın, hansınıza üstünlük verirsiniz:

1) yoxlama ilə bərabərliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq üsulu;

2) ekvivalent çevrilmələr üsulu;

3) funksional-qrafik metod;

4) yeni dəyişənin tətbiqi üsulu.

IV . Praktik hissə

(Qruplarda işləmək. Hər qrup şagird tənlik olan bir kart alır və onu dəftərlərində həll edir. Bu zaman qrupdan bir nümayəndə lövhədə bir nümunə həll edir. Hər qrupun şagirdləri eyni nümunəni bir üzvü kimi həll edirlər. öz qruplarını qurur və lövhədə tapşırıqların düzgün yerinə yetirilməsinə nəzarət edirlər.Əgər lövhədə cavab verən şəxs səhv edirsə, onları görən əlini qaldıraraq onları düzəltməyə kömək edir.Dərs zamanı hər bir şagird nümunə ilə yanaşı həll öz qrupu tərəfindən qruplara təklif olunan digərlərini dəftərə qeyd etməli və evdə həll etməlidir.)

Qrup 1.

Qrup 2.

Qrup 3.

V . Müstəqil iş

(Qruplarda əvvəlcə müzakirə aparılır, sonra şagirdlər tapşırığı yerinə yetirməyə başlayırlar. Müəllimin hazırladığı düzgün həll ekranda göstərilir.)

VI . Dərsi yekunlaşdırmaq

İndi bilirsiniz ki, irrasional tənliklərin həlli yaxşı nəzəri biliklərə, onları praktikada tətbiq etmək bacarığına, diqqətə, zəhmətə və zəkaya sahib olmaq tələb edir.

Ev tapşırığı

Dərs zamanı qruplara verilən tənlikləri həll edin.

Kök işarəsi altında naməlum kəmiyyəti olan tənliklərə irrasional deyilir. Bunlar, məsələn, tənliklərdir

Bir çox hallarda tənliyin hər iki tərəfinin eksponentasiyasını bir dəfə və ya dəfələrlə tətbiq etməklə irrasional tənliyi bu və ya digər dərəcədə cəbri tənliyə endirmək olar (bu, ilkin tənliyin nəticəsidir). Tənliyi gücə qaldırarkən kənar həllər yarana biləcəyi üçün bu irrasional tənliyi endirdiyimiz cəbri tənliyi həll etdikdən sonra tapılan kökləri ilkin tənliyə əvəz etməklə yoxlamaq və yalnız onu təmin edənləri saxlamaq lazımdır. , və qalanları - kənarları atın.

İrrasional tənlikləri həll edərkən biz özümüzü yalnız onların həqiqi kökləri ilə məhdudlaşdırırıq; tənliklərin yazılmasında bütün cüt dərəcəli köklər arifmetik mənada başa düşülür.

İrrasional tənliklərin bəzi tipik nümunələrinə baxaq.

A. Kvadrat kök işarəsi altında naməlum olan tənliklər. Əgər verilmiş tənlikdə işarəsi altında naməlum olan yalnız bir kvadrat kök varsa, bu kök təcrid edilməli, yəni tənliyin bir hissəsinə yerləşdirilməli və bütün digər şərtlər başqa bir hissəyə köçürülməlidir. Tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırdıqdan sonra biz irrasionallıqdan azad olacağıq və bunun üçün cəbri tənlik alacağıq.

Misal 1. Tənliyi həll edin.

Həll. Tənliyin sol tərəfində kökü təcrid edirik;

Nəticə bərabərliyi kvadratına gətiririk:

Bu tənliyin köklərini tapırıq:

Yoxlama göstərir ki, o, yalnız orijinal tənliyi təmin edir.

Tənlikdə x olan iki və ya daha çox kök varsa, kvadratlaşdırma bir neçə dəfə təkrarlanmalıdır.

Misal 2. Aşağıdakı tənlikləri həll edin:

Həlli, a) Tənliyin hər iki tərəfinin kvadratını alırıq:

Kökü təcrid edirik:

Yaranan tənliyi yenidən kvadratlaşdırırıq:

Çevrilmələrdən sonra aşağıdakı kvadrat tənliyi əldə edirik:

həll edək:

Orijinal tənliyi əvəz etməklə biz əmin oluruq ki, onun kökü var, lakin onun üçün kənar kökdür.

b) Nümunə a) nümunəsi ilə eyni üsulla həll edilə bilər. Ancaq bu tənliyin sağ tərəfində naməlum kəmiyyətin olmamasından istifadə edərək, fərqli hərəkət edəcəyik. Tənliyi sol tərəfinə qoşan ifadəyə vuraq; alırıq

Sağda cəmi və fərqin hasili, yəni kvadratların fərqi var. Buradan

Bu tənliyin sol tərəfində kvadrat köklərin cəmi idi; indi alınan tənliyin sol tərəfində eyni köklərin fərqi var. Bunu və yaranan tənlikləri yazaq:

Bu tənliklərin cəmini götürərək alırıq

Son tənliyi kvadratlaşdıraq və sadələşdirmələrdən sonra əldə edək

Buradan tapırıq. Yoxlamaqla biz əmin oluruq ki, bu tənliyin kökü yalnız ədəddir. Misal 3: Tənliyi həll edin

Burada, artıq radikal işarə altında, kvadrat trinomiallarımız var.

Həll. Tənliyi sol tərəfindəki birləşmə ifadəsi ilə vururuq:

Bundan son tənliyi çıxarın:

Bu tənliyi kvadratlaşdıraq:

Son tənlikdən tapırıq. Yoxlamaqla biz əmin oluruq ki, bu tənliyin kökü yalnız x = 1 ədədidir.

B. Üçüncü dərəcəli kökləri olan tənliklər. İrrasional tənliklər sistemləri. Bu cür tənlik və sistemlərin ayrı-ayrı nümunələri ilə məhdudlaşaq.

Nümunə 4: Tənliyi həll edin

Həll. (70.1) tənliyini həll etməyin iki yolunu göstərəcəyik. Birinci yol. Gəlin bu tənliyin hər iki tərəfini kub edək (bax düstur (20.8)):

(burada tənlikdən istifadə edərək kub köklərinin cəmini 4 rəqəmi ilə əvəz etdik).

Beləliklə, bizdə var

yəni sadələşdirmələrdən sonra

buradan hər iki kök ilkin tənliyi ödəyir.

İkinci yol. qoyaq

(70.1) tənliyi şəklində yazılacaq. Bundan əlavə, aydındır ki, . (70.1) tənliyindən sistemə keçdik

Sistem termininin birinci tənliyini ikinciyə bölərək tapırıq

Bu məqalədəki materialın birinci hissəsi irrasional tənliklər ideyasını təşkil edir. Onu öyrəndikdən sonra irrasional tənlikləri digər növ tənliklərdən asanlıqla ayırd edə biləcəksiniz. İkinci hissədə irrasional tənliklərin həlli üçün əsas üsullar ətraflı araşdırılır və çoxlu sayda tipik nümunələrə ətraflı həllər verilir. Bu məlumatı mənimsəsəniz, demək olar ki, məktəb riyaziyyat kursundan demək olar ki, hər hansı bir irrasional tənliyin öhdəsindən gələcəksiniz. Bilik əldə etməkdə uğurlar!

İrrasional tənliklər hansılardır?

Əvvəlcə irrasional tənliklərin nə olduğunu aydınlaşdıraq. Bunun üçün Təhsil və Elm Nazirliyinin tövsiyə etdiyi dərsliklərdə müvafiq tərifləri tapacağıq Rusiya Federasiyası.

İrrasional tənliklər və onların həlli haqqında ətraflı söhbət cəbr dərslərində aparılır və orta məktəbdə təhlilə başlanır. Bununla belə, bəzi müəlliflər bu tip tənlikləri daha əvvəl təqdim edirlər. Məsələn, Mordkoviç A.G.-nin dərsliklərindən istifadə edərək oxuyanlar irrasional tənlikləri artıq 8-ci sinifdə öyrənirlər: dərslikdə deyilir ki,

İrrasional tənliklərin nümunələri də var, , , və s. Aydındır ki, yuxarıdakı tənliklərin hər birində kvadrat kök işarəsi altında x dəyişəni var, yəni yuxarıdakı tərifə görə bu tənliklər irrasionaldır. Burada dərhal onların həlli üçün əsas üsullardan birini müzakirə edirik -. Amma həll üsullarından bir az aşağı danışacağıq, amma hələlik digər dərsliklərdən irrasional tənliklərin təriflərini verəcəyik.

A. N. Kolmoqorov və Yu. M. Kolyaginin dərsliklərində.

Tərif

irrasional kök işarəsi altında dəyişənin olduğu tənliklərdir.

Bu təriflə əvvəlki anlayış arasındakı əsas fərqə diqqət yetirək: o, sadəcə olaraq kök deyir, kvadrat kök deyil, yəni dəyişənin altında yerləşdiyi kökün dərəcəsi göstərilmir. Bu o deməkdir ki, kök təkcə kvadrat deyil, həm də üçüncü, dördüncü və s. dərəcə. Beləliklə, sonuncu tərif daha geniş tənliklər toplusunu təyin edir.

Təbii sual yaranır: niyə biz orta məktəbdə irrasional tənliklərin bu daha geniş tərifindən istifadə etməyə başlayırıq? Hər şey başa düşüləndir və sadədir: 8-ci sinifdə irrasional tənliklərlə tanış olanda biz yalnız kvadrat kökdən yaxşı xəbərdar oluruq, hələ heç bir kub kökləri, dördüncü və yuxarı güclərin kökləri haqqında bilmirik. Orta məktəbdə isə kök anlayışı ümumiləşdirilir, haqqında öyrənirik və irrasional tənliklərdən danışarkən artıq kvadrat köklə məhdudlaşmırıq, ixtiyari dərəcənin kökünü nəzərdə tuturuq.

Aydınlıq üçün biz irrasional tənliklərin bir neçə nümunəsini nümayiş etdirəcəyik. - burada x dəyişəni kub kök işarəsi altında yerləşir, ona görə də bu tənlik irrasionaldır. Başqa bir misal: - burada x dəyişəni həm kvadrat kökün, həm də dördüncü kökün işarəsi altındadır, yəni bu da irrasional tənlikdir. Daha mürəkkəb formalı irrasional tənliklərə daha bir neçə nümunə: və .

Yuxarıdakı təriflər qeyd etməyə imkan verir ki, hər hansı bir irrasional tənliyin qeydində köklərin əlamətləri var. O da aydındır ki, əgər köklərin əlamətləri yoxdursa, onda tənlik irrasional deyil. Bununla belə, kök işarələri olan bütün tənliklər irrasional deyil. Həqiqətən də irrasional tənlikdə kök işarəsinin altında dəyişən olmalıdır, əgər kök işarəsinin altında dəyişən yoxdursa, tənlik irrasional deyildir. Nümunə olaraq, kökləri olan, lakin irrasional olmayan tənliklərə nümunələr veririk. Tənliklər Və irrasional deyillər, çünki kök işarəsi altında dəyişənlər yoxdur - köklərin altında ədədlər var, lakin kök işarələri altında dəyişənlər yoxdur, buna görə də bu tənliklər irrasional deyil.

İrrasional tənliklərin yazılmasında iştirak edə biləcək dəyişənlərin sayını qeyd etmək lazımdır. Yuxarıdakı bütün irrasional tənliklər tək dəyişən x ehtiva edir, yəni bir dəyişənli tənliklərdir. Bununla belə, iki, üç və s. olan irrasional tənlikləri nəzərdən keçirməyə heç nə mane olmur. dəyişənlər. İki dəyişənli irrasional tənliyə misal verək və üç dəyişən ilə.

Qeyd edək ki, məktəbdə əsasən bir dəyişənli irrasional tənliklərlə işləməlisən. Bir neçə dəyişəni olan irrasional tənliklər daha az yayılmışdır. Onları tərkibdə tapmaq olar, məsələn, “tənliklər sistemini həll edin” tapşırığında "yaxud, deyək ki, həndəsi cisimlərin cəbri təsvirində, yəni başlanğıcda mərkəzi olan yarımdairə, yuxarı yarımmüstəvidə yerləşən 3 vahid radiusu tənliyə uyğun gəlir.

"İrrasional tənliklər" bölməsində Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün bəzi problemlər toplularında dəyişənin yalnız kök işarəsi altında deyil, həm də başqa bir funksiyanın işarəsi altında olduğu tapşırıqlar var, məsələn, modul, loqarifm və s. . Budur bir nümunə , kitabdan götürülmüşdür, amma burada - kolleksiyadan. Birinci misalda x dəyişəni loqarifmik işarənin altında, loqarifm də kök işarəsi altındadır, yəni bizdə belə desək, irrasional loqarifmik (yaxud loqarifmik irrasional) tənlik var. İkinci misalda dəyişən modul işarəsi altında, modul da kök işarəsi altındadır; icazənizlə biz onu modullu irrasional tənlik adlandıracağıq.

Bu tip tənlikləri irrasional hesab etmək lazımdırmı? Yaxşı sual. Görünür, kök işarəsinin altında dəyişən var, lakin onun “saf formada” deyil, bir və ya bir neçə funksiya işarəsi altında olması çaşqınlıq yaradır. Başqa sözlə, yuxarıda irrasional tənlikləri necə təyin etdiyimizə görə heç bir ziddiyyət yoxdur, lakin digər funksiyaların olması səbəbindən müəyyən dərəcədə qeyri-müəyyənlik var. Bizim nöqteyi-nəzərimizə görə, “kürək kürəyi deməyə” fanatik yanaşmaq olmaz. Praktikada onun hansı növ olduğunu göstərmədən sadəcə “tənlik” demək kifayətdir. Və bütün bu əlavələr "irrasional", "loqarifmik" və s. əsasən təqdimatın rahatlığına və materialın qruplaşdırılmasına xidmət edir.

Sonuncu abzasdakı məlumatları nəzərə alaraq, A. G. Mordkoviçin müəllifi olduğu 11-ci sinif üçün dərslikdə verilmiş irrasional tənliklərin tərifi maraq doğurur.

Tərif

Məntiqsiz dəyişənin radikal işarə altında və ya kəsr gücünə yüksəlmə işarəsi altında yerləşdiyi tənliklərdir.

Burada kök işarəsi altında dəyişəni olan tənliklərlə yanaşı, kəsr gücünə yüksəlmə işarəsi altında dəyişənli tənliklər də irrasional hesab olunur. Məsələn, bu tərifə görə tənlik irrasional hesab olunur. Niyə birdən? Biz artıq irrasional tənliklərdə köklərə öyrəşmişik, amma burada o, kök deyil, dərəcədir və siz bu tənliyi irrasional deyil, məsələn, güc tənliyi adlandırmağa üstünlük verərdiniz? Hər şey sadədir: o, köklər vasitəsilə müəyyən edilir və verilmiş tənlik üçün x dəyişəni üzrə (x 2 +2·x≥0 şərti ilə) onu kökdən istifadə edərək yenidən yazmaq olar. , və sonuncu bərabərlik kök işarəsi altında dəyişəni olan tanış irrasional tənlikdir. Və kəsr səlahiyyətləri əsasında dəyişənləri olan tənliklərin həlli üsulları irrasional tənliklərin həlli üsulları ilə tamamilə eynidır (bunlar növbəti paraqrafda müzakirə olunacaq). Buna görə də onları irrasional adlandırmaq və bu baxımdan nəzərdən keçirmək rahatdır. Ancaq gəlin özümüzə qarşı dürüst olaq: ​​əvvəlcə tənliyimiz var , amma yox , və dil qeyddə kök olmadığına görə orijinal tənliyi irrasional adlandırmağa o qədər də həvəsli deyil. Eyni texnika bizə terminologiya ilə bağlı belə mübahisəli məsələlərdən qaçmağa imkan verir: tənliyi heç bir xüsusi dəqiqləşdirmə olmadan sadəcə tənlik adlandırın.

Ən sadə irrasional tənliklər

Sözdə olanları qeyd etməyə dəyər ən sadə irrasional tənliklər. Dərhal deyək ki, bu termin cəbr və elementar analizin əsas dərsliklərində yoxdur, lakin bəzən problem kitablarında və təlim kitablarında, məsələn, Ümumi qəbul edilmiş hesab edilməməlidir, lakin ən sadə irrasional tənliklərin adətən nə başa düşüldüyünü bilmək zərər vermir. Bu adətən formanın irrasional tənliklərinə verilən addır , burada f(x) və g(x) bəzidir. Bu baxımdan, ən sadə irrasional tənliyi, məsələn, tənlik və ya adlandırmaq olar .

Belə bir adın “ən sadə irrasional tənliklər” kimi görünməsini necə izah etmək olar? Məsələn, çünki irrasional tənliklərin həlli çox vaxt onların ilkin formaya salınmasını tələb edir və istənilən standart həll üsullarının sonrakı tətbiqi. Bu formada olan irrasional tənliklər ən sadə adlanır.

İrrasional tənliklərin həllinin əsas üsulları

Kök tərifinə görə

İrrasional tənliklərin həlli üsullarından biri əsaslanır. Onun köməyi ilə adətən ən sadə formalı irrasional tənliklər həll olunur , burada f(x) və g(x) bəzi rasional ifadələrdir (ən sadə irrasional tənliklərin tərifini burada vermişik). Formanın irrasional tənlikləri oxşar şəkildə həll edilir , lakin burada f(x) və/və ya g(x) rasionaldan fərqli ifadələrdir. Bununla belə, bir çox hallarda bu cür tənlikləri digər üsullarla həll etmək daha rahatdır, bundan sonrakı paraqraflarda müzakirə ediləcəkdir.

Materialın təqdim edilməsinin rahatlığı üçün irrasional tənlikləri cüt kök göstəriciləri olan, yəni tənlikləri ayırırıq. , 2·k=2, 4, 6, … , tək kök göstəriciləri olan tənliklərdən , 2·k+1=3, 5, 7, … Onların həlli üçün dərhal yanaşmaları qeyd edək:

Yuxarıdakı yanaşmalar birbaşa ondan irəli gəlir Və .

Belə ki, irrasional tənliklərin həlli üsulu kökün tərifinə görə aşağıdakı kimidir:

Kökün tərifinə əsasən, sağ tərəflərdəki nömrələri olan ən sadə irrasional tənlikləri, yəni C müəyyən bir ədəd olan forma tənliklərini həll etmək ən əlverişlidir. Tənliyin sağ tərəfində ədəd olduqda, kök göstərici cüt olsa belə, sistemə keçməyə ehtiyac yoxdur: əgər C qeyri-mənfi ədəddirsə, onda tərifinə görə, cüt ədədin köküdür. dərəcə, və əgər C mənfi ədəddirsə, onda dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, tənliyin kökləri yoxdur, Axı tərifə görə, cüt dərəcənin kökü mənfi olmayan bir ədəddir, yəni tənliyin x dəyişəninin istənilən real dəyərləri üçün həqiqi ədədi bərabərliyə çevrilir.

Tipik nümunələrin həllinə keçək.

Sadədən mürəkkəbə keçəcəyik. Sol tərəfində cüt dərəcənin kökü, sağ tərəfində isə müsbət ədəd olan ən sadə irrasional tənliyi həll etməklə başlayaq, yəni C müsbətdir. nömrə. Kökün müəyyən edilməsi verilmiş irrasional tənliyin həllindən kökləri olmayan daha sadə tənliyin həllinə keçməyə imkan verir С 2·k =f(x) .

Sağ tərəfində sıfır olan ən sadə irrasional tənliklər kök təyin edilməklə oxşar şəkildə həll edilir.

Sol tərəfində işarəsi altında dəyişəni olan cüt dərəcənin kökü, sağ tərəfində isə mənfi ədəd olan irrasional tənliklər üzərində ayrıca dayanaq. Bu cür tənliklərin həqiqi ədədlər çoxluğunda həlli yoxdur (biz mürəkkəb köklər haqqında onunla tanış olduqdan sonra danışacağıq. mürəkkəb ədədlər). Bu olduqca aydındır: cüt kök tərifinə görə qeyri-mənfi ədəddir, yəni mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

Əvvəlki nümunələrdəki irrasional tənliklərin sol tərəfləri cüt güclərin kökləri, sağ tərəfləri isə ədədlər idi. İndi sağ tərəflərdə dəyişənləri olan nümunələri nəzərdən keçirək, yəni formanın irrasional tənliklərini həll edəcəyik. . Onları həll etmək üçün kök müəyyən edilərək sistemə keçid edilir , orijinal tənliklə eyni həllər toplusuna malikdir.

Nəzərə almaq lazımdır ki, sistem , həllinə orijinal irrasional tənliyin həlli azaldılır , mexaniki deyil, mümkünsə, rasional həll etmək məsləhətdir. Aydındır ki, bu, daha çox mövzudan gələn bir sualdır” sistem həlli“, lakin biz yenə də tez-tez rast gəlinən üç vəziyyəti onları təsvir edən nümunələrlə sadalayırıq:

1. Məsələn, əgər onun birinci tənliyinin g 2·k (x)=f(x) həlli yoxdursa, onda g(x)≥0 bərabərsizliyini həll etməyin mənası yoxdur, çünki tənliyin həlli olmadığından sistemin heç bir həlli olmadığı qənaətinə gəlin.

1. Eynilə, g(x)≥0 bərabərsizliyinin həlli yoxdursa, onda g 2·k (x)=f(x) tənliyini həll etmək lazım deyil, çünki onsuz da aydındır ki, bu halda sistem həlləri yoxdur.

1. Çox vaxt g(x)≥0 bərabərsizliyi heç həll edilmir, ancaq g 2·k (x)=f(x) tənliyinin köklərindən hansının onu təmin etməsi yoxlanılır. Bərabərsizliyi təmin edənlərin çoxluğu sistemin həllidir, yəni o, eyni zamanda ona ekvivalent olan ilkin irrasional tənliyin də həllidir.

Köklərin cüt göstəriciləri olan tənliklər haqqında kifayətdir. Formanın tək güclərinin kökləri olan irrasional tənliklərə diqqət yetirməyin vaxtı gəldi . Artıq dediyimiz kimi, onları həll etmək üçün ekvivalent tənliyə keçirik , hansı mövcud üsullarla həll edilə bilər.

Bu fikri yekunlaşdırmaq üçün qeyd edək həllərin yoxlanılması. Kökü təyin etməklə irrasional tənliklərin həlli üsulu keçidlərin ekvivalentliyinə təminat verir. Bu o deməkdir ki, tapılan həlləri yoxlamaq lazım deyil. Bu nöqtəni irrasional tənliklərin həlli üçün bu metodun üstünlüklərinə aid etmək olar, çünki əksər digər üsullarda yoxlama kənar kökləri kəsməyə imkan verən həllin məcburi mərhələsidir. Ancaq yadda saxlamaq lazımdır ki, tapılan həlləri orijinal tənliyə əvəz etməklə yoxlamaq heç vaxt artıq olmaz: birdən hesablama xətası meydana çıxdı.

Onu da qeyd edirik ki, kənar köklərin yoxlanılması və süzülməsi məsələsi irrasional tənliklərin həlli zamanı çox vacibdir, ona görə də bu məqalənin növbəti bəndlərindən birində ona qayıdacağıq.

Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq üsulu

Əlavə təqdimat oxucunun ekvivalent tənliklər və nəticə tənlikləri haqqında təsəvvürə malik olduğunu güman edir.

Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq üsulu aşağıdakı ifadəyə əsaslanır:

Bəyanat

Tənliyin hər iki tərəfini eyni cüt gücə qaldırmaq nəticə tənliyini, tənliyin hər iki tərəfini eyni tək gücə qaldırmaq isə ekvivalent tənliyi verir.

Sübut

Bunu bir dəyişənli tənliklər üçün sübut edək. Bir neçə dəyişəni olan tənliklər üçün sübutun prinsipləri eynidir.

A(x)=B(x) ilkin tənlik və x 0 onun kökü olsun. x 0 bu tənliyin kökü olduğundan, A(x 0)=B(x 0) – həqiqi ədədi bərabərlik. Biz ədədi bərabərliklərin bu xassəsini bilirik: həqiqi ədədi bərabərliklərin müddət üzrə çoxaldılması həqiqi ədədi bərabərlik verir. A(x 0)=B(x 0) düzgün ədədi bərabərliklərin 2·k termininə çarpaq, burada k natural ədəddir, bu bizə A 2·k (x 0)= düzgün ədədi bərabərliyini verəcəkdir. B 2·k (x 0) . Və yaranan bərabərlik o deməkdir ki, x 0 hər iki tərəfi eyni hətta təbii gücə 2·k qaldırmaqla ilkin tənlikdən alınan A 2·k (x)=B 2·k (x) tənliyinin köküdür. .

İlkin A(x)=B(x) tənliyinin kökü olmayan A 2·k (x)=B 2·k (x) tənliyinin kökünün mövcud olma ehtimalını əsaslandırmaq üçün o, misal çəkmək kifayətdir. İrrasional tənliyi nəzərdən keçirək , və tənlik , hər iki hissəni kvadratlaşdırmaqla orijinaldan əldə edilir. Sıfırın tənliyin kökü olduğunu yoxlamaq asandır , həqiqətən, , eyni şey 4=4 həqiqi bərabərlikdir. Lakin eyni zamanda, sıfır tənlik üçün kənar kökdür , çünki sıfırı əvəz etdikdən sonra bərabərliyi əldə edirik , bu 2=−2 ilə eynidir, bu yanlışdır. Bu sübut edir ki, hər iki tərəfi eyni bərabər gücə qaldıraraq orijinaldan alınan tənliyin kökləri orijinal tənliyə yad ola bilər.

Sübut edilmişdir ki, tənliyin hər iki tərəfini eyni hətta təbii gücə qaldırmaq nəticə tənliyinə gətirib çıxarır.

Tənliyin hər iki tərəfinin eyni tək təbii gücə yüksəldilməsinin ekvivalent tənlik verdiyini sübut etmək qalır.

Göstərək ki, tənliyin hər bir kökü orijinaldan onun hər iki hissəsini tək qüvvəyə qaldırmaqla alınan tənliyin köküdür və əksinə, tənliyin hər bir kökünün hər iki hissəsini təkə qaldıraraq orijinaldan əldə edilən tənliyin köküdür. güc orijinal tənliyin köküdür.

A(x)=B(x) tənliyini əldə edək. Onun kökü x 0 olsun. Onda A(x 0)=B(x 0) ədədi bərabərliyi doğrudur. Həqiqi ədədi bərabərliklərin xassələrini öyrənərkən öyrəndik ki, həqiqi ədədi bərabərliklər həd-həd vurula bilər. Müddəti 2·k+1 termininə vurmaqla, burada k natural ədəddir, düzgün ədədi bərabərliklər A(x 0)=B(x 0) düzgün ədədi bərabərliyi əldə edirik A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , bu o deməkdir ki, x 0 A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) tənliyinin köküdür. İndi geri. A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) tənliyinin kökü x 0 olsun. Bu o deməkdir ki, A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) ədədi bərabərliyi düzgündür. İstənilən həqiqi ədədin tək kökünün mövcudluğuna və onun unikallığına görə bərabərlik də doğru olacaqdır. Bu da öz növbəsində şəxsiyyətdən qaynaqlanır , burada a köklərin və dərəcələrin xassələrindən irəli gələn istənilən həqiqi ədəddir, A(x 0)=B(x 0) kimi yenidən yazmaq olar. Bu o deməkdir ki, x 0 A(x)=B(x) tənliyinin köküdür.

Sübut edilmişdir ki, irrasional tənliyin hər iki tərəfini tək gücə qaldırmaq ekvivalent tənlik verir.

Təsdiqlənmiş ifadə bizə məlum olan, tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilən arsenalı tənliklərin başqa bir çevrilməsi ilə - tənliyin hər iki tərəfini eyni təbii gücə qaldırmaqla doldurur. Tənliyin hər iki tərəfini eyni tək gücə yüksəltmək nəticə tənliyinə aparan çevrilmədir və onu bərabər gücə yüksəltmək isə ekvivalent çevrilmədir. Tənliyin hər iki tərəfinin eyni gücə yüksəldilməsi üsulu bu çevrilməyə əsaslanır.

Tənliyin hər iki tərəfini eyni təbii gücə qaldırmaq əsasən irrasional tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunur, çünki müəyyən hallarda bu çevrilmə köklərin əlamətlərindən xilas olmağa imkan verir. Məsələn, tənliyin hər iki tərəfini qaldırmaq n-nin gücünə tənliyi verir , sonradan f(x)=g n (x) tənliyinə çevrilə bilən, artıq sol tərəfində kök yoxdur. Yuxarıdakı misal göstərir tənliyin hər iki tərəfinin eyni gücə yüksəldilməsi metodunun mahiyyəti: uyğun çevrilmədən istifadə edərək qeydində radikal olmayan daha sadə tənliyi əldə edin və onun həlli ilə ilkin irrasional tənliyin həllini əldə edin.

İndi biz birbaşa tənliyin hər iki tərəfini eyni təbii gücə qaldırmaq üsulunun təsvirinə keçə bilərik. Bu üsuldan istifadə edərək, hətta kök göstəriciləri olan ən sadə irrasional tənlikləri, yəni formanın tənliklərini həll etmək üçün alqoritmlə başlayaq. , burada k natural ədəddir, f(x) və g(x) rasional ifadələrdir. Tək kök göstəriciləri olan ən sadə irrasional tənliklərin, yəni formanın tənliklərinin həlli üçün alqoritm , bir az sonra verəcəyik. O zaman gəlin daha da irəli gedək: tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltmə üsulunu köklərin işarələri, köklərin bir neçə işarəsi və s. altında kökləri olan daha mürəkkəb irrasional tənliklərə genişləndirək.

tənliyin hər iki tərəfini eyni cüt gücə qaldırmaq üsulu:

Yuxarıdakı məlumatlardan aydın olur ki, alqoritmin birinci addımından sonra kökləri ilkin tənliyin bütün köklərini ehtiva edən, lakin ilkin tənliyə yad köklərə də malik ola bilən tənliyə çatacağıq. Buna görə də, alqoritmdə kənar köklərin süzülməsi haqqında bənd var.

Nümunələrdən istifadə edərək irrasional tənliklərin həlli üçün verilmiş alqoritmin tətbiqinə baxaq.

Hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla kökləri olmayan kvadrat tənliyə aparan sadə və kifayət qədər tipik irrasional tənliyi həll etməklə başlayaq.

Hər iki tərəfi kvadratlaşdırmaqla ilkin irrasional tənlikdən alınan tənliyin bütün köklərinin ilkin tənliyə kənar çıxdığı bir nümunə. Nəticə: bunun heç bir kökü yoxdur.

Növbəti nümunə bir az daha mürəkkəbdir. Onun həlli, əvvəlki ikisindən fərqli olaraq, hər iki hissənin kvadrata deyil, altıncı dərəcəyə qaldırılmasını tələb edir və bu, artıq xətti və ya kvadrat tənliyə deyil, kub tənliyinə gətirib çıxaracaqdır. Burada yoxlama bizə onun hər üç kökünün başlanğıcda verilmiş irrasional tənliyin kökləri olacağını göstərəcək.

Və burada daha da irəli gedəcəyik. Kökdən qurtulmaq üçün irrasional tənliyin hər iki tərəfini dördüncü dərəcəyə yüksəltməli olacaqsınız ki, bu da öz növbəsində dördüncü dərəcənin tənliyinə gətirib çıxaracaq. Yoxlama göstərəcək ki, dörd potensial kökdən yalnız biri irrasional tənliyin istənilən kökü olacaq, qalanları isə kənar olacaq.

Son üç nümunə aşağıdakı ifadəni göstərir: əgər irrasional tənliyin hər iki tərəfini eyni bərabər gücə qaldırmaq kökləri olan bir tənlik yaradırsa, onda onların sonrakı yoxlanılması göstərə bilər ki,

• ya da hamısı orijinal tənlik üçün kənar köklərdir və onun heç bir kökü yoxdur,
• ya da onların arasında heç bir kənar kök yoxdur və hamısı ilkin tənliyin kökləridir,
• ya da onlardan yalnız bəziləri autsayderdir.

Tək kök göstəricisi olan ən sadə irrasional tənliklərin, yəni formanın tənliklərinin həllinə keçməyin vaxtı gəldi. . Müvafiq alqoritmi yazaq.

İrrasional tənliklərin həlli alqoritmi tənliyin hər iki tərəfini eyni tək gücə qaldırmaq üsulu:

• İrrasional tənliyin hər iki tərəfi eyni tək gücə qaldırılır 2·k+1.
• Nəticədə tənlik həll edilir. Onun həlli orijinal tənliyin həllidir.

Diqqət yetirin: yuxarıdakı alqoritm, bərabər kök göstəricisi olan ən sadə irrasional tənliklərin həlli alqoritmindən fərqli olaraq, kənar köklərin aradan qaldırılması ilə bağlı bənd yoxdur. Yuxarıda göstərdik ki, tənliyin hər iki tərəfini tək gücə qaldırmaq tənliyin ekvivalent çevrilməsidir, yəni belə bir çevrilmə kənar köklərin yaranmasına səbəb olmur, ona görə də onları süzgəcdən keçirməyə ehtiyac yoxdur.

Beləliklə, hər iki tərəfi eyni tək gücə qaldırmaqla irrasional tənliklərin həlli kənarları aradan qaldırmadan həyata keçirilə bilər. Eyni zamanda, bərabər gücə qaldırarkən yoxlama tələb olunduğunu unutmayın.

Bu faktı bilmək bizə irrasional tənliyi həll edərkən kənar kökləri süzməkdən qanuni olaraq qaçmağa imkan verir. . Üstəlik, bu vəziyyətdə çek "xoşagəlməz" hesablamalarla əlaqələndirilir. Onsuz da kənar köklər olmayacaq, çünki o, tək gücə, yəni ekvivalent çevrilmə olan kuba qaldırılır. Aydındır ki, tapılan həllin düzgünlüyünü daha da yoxlamaq üçün yoxlama aparıla bilər, lakin daha çox özünü idarə etmək üçün.

Aralıq nəticələri ümumiləşdirək. Bu nöqtədə, ilk növbədə, tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaqdan ibarət olan başqa bir çevrilmə ilə müxtəlif tənliklərin həllinin artıq məlum olan arsenalını genişləndirdik. Düz bir gücə qaldırıldıqda, bu çevrilmə qeyri-bərabər ola bilər və onu istifadə edərkən kənar kökləri süzmək üçün yoxlamaq lazımdır. Tək bir gücə qaldırıldıqda, göstərilən çevrilmə ekvivalentdir və kənar kökləri süzmək lazım deyil. İkincisi, formanın ən sadə irrasional tənliklərini həll etmək üçün bu transformasiyadan istifadə etməyi öyrəndik , burada n kök göstəricisidir, f(x) və g(x) rasional ifadələrdir.

İndi tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltməyə ümumi perspektivdən baxmaq vaxtıdır. Bu, bizə ona əsaslanan irrasional tənliklərin həlli üsulunu ən sadə irrasional tənliklərdən daha mürəkkəb tipli irrasional tənliklərə qədər genişləndirməyə imkan verəcəkdir. Gəlin, bunu edək.

Əslində, tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldıraraq tənlikləri həll edərkən artıq bizə məlum olan ümumi yanaşmadan istifadə olunur: ilkin tənlik bəzi çevrilmələr vasitəsilə daha sadə tənliyə çevrilir, daha da sadə tənliyə çevrilir. bir və s., həll edə biləcəyimiz tənliklərə qədər. Aydındır ki, bu cür çevrilmələr zəncirində tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltməyə müraciət etsək, onda deyə bilərik ki, tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq üçün eyni üsula əməl edirik. Qalan tək şey, tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltməklə irrasional tənlikləri həll etmək üçün hansı çevrilmələrin və hansı ardıcıllıqla aparılması lazım olduğunu anlamaqdır.

Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltməklə irrasional tənliklərin həllinə ümumi yanaşma budur:

• Birincisi, ilkin irrasional tənlikdən daha sadə tənliyə keçmək lazımdır, buna adətən aşağıdakı üç hərəkəti dövri olaraq yerinə yetirməklə nail olmaq olar:
  • Radikalın təcrid edilməsi (və ya oxşar üsullar, məsələn, radikalların məhsulunun təcrid edilməsi, payı və/və ya məxrəci kök olan kəsrin təcrid edilməsi, sonradan tənliyin hər iki tərəfini bir gücə yüksəltməyə imkan verir. kökdən xilas olmaq).
  • Tənliyin formasının sadələşdirilməsi.
• İkincisi, yaranan tənliyi həll etməlisiniz.
• Nəhayət, əgər həll zamanı nəticə tənliklərinə keçidlər olubsa (xüsusən də tənliyin hər iki tərəfi bərabər gücə qaldırılıbsa), onda kənar kökləri aradan qaldırmaq lazımdır.

Gəlin əldə edilmiş bilikləri praktikada tətbiq edək.

Radikalın təkliyinin irrasional tənliyi ən sadə formasına gətirdiyi bir nümunəni həll edək, bundan sonra hər iki tərəfi kvadratlaşdırmaq, əldə edilən tənliyi həll etmək və çekdən istifadə edərək kənar kökləri çıxarmaq qalır.

Aşağıdakı irrasional tənliyi məxrəcdə radikal olan kəsri ayırmaqla həll etmək olar ki, bu da tənliyin hər iki tərəfinin sonradan kvadratlaşdırılması ilə aradan qaldırıla bilər. Və sonra hər şey sadədir: nəticədə kəsr-rasional tənlik həll edilir və kənar köklərin cavaba daxil olmasını istisna etmək üçün yoxlama aparılır.

İki kök ehtiva edən irrasional tənliklər olduqca tipikdir. Onlar adətən tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaqla uğurla həll edilir. Əgər köklər eyni dərəcəyə malikdirsə və onlardan başqa terminlər yoxdursa, radikallardan xilas olmaq üçün aşağıdakı nümunədə olduğu kimi radikalı təcrid etmək və bir dəfə eksponentasiya etmək kifayətdir.

Və burada iki kökün olduğu bir nümunə var, onlardan başqa heç bir termin yoxdur, lakin köklərin dərəcələri fərqlidir. Bu halda, radikalı təcrid etdikdən sonra, tənliyin hər iki tərəfini bir anda hər iki radikalı aradan qaldıran gücə qaldırmaq məsləhətdir. Belə bir dərəcə, məsələn, köklərin göstəriciləri kimi xidmət edir. Bizim vəziyyətimizdə köklərin dərəcələri 2 və 3-dür, LCM(2, 3) = 6, buna görə də hər iki tərəfi altıncı dərəcəyə qaldıracağıq. Qeyd edək ki, biz də standart yolda hərəkət edə bilərik, lakin bu halda hər iki hissəni iki dəfə gücə qaldırmağa müraciət etməli olacağıq: əvvəlcə ikinciyə, sonra üçüncüyə. Hər iki həlli göstərəcəyik.

Daha mürəkkəb hallarda, tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaqla irrasional tənlikləri həll edərkən, gücü iki dəfə, daha az - üç dəfə və hətta daha az - daha çox artırmağa müraciət etmək lazımdır. Deyilənləri təsvir edən birinci irrasional tənlikdə iki radikal və daha bir termin var.

Aşağıdakı irrasional tənliyin həlli də iki ardıcıl eksponentasiya tələb edir. Radikalları təcrid etməyi unutmasanız, onun qeydində mövcud olan üç radikaldan xilas olmaq üçün iki eksponentasiya kifayətdir.

İrrasional tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq üsulu, kökün altında başqa bir kök olan irrasional tənliklərin öhdəsindən gəlməyə imkan verir. Tipik bir nümunənin həlli budur.

Nəhayət, irrasional tənliklərin həlli üçün aşağıdakı üsulların təhlilinə keçməzdən əvvəl qeyd etmək lazımdır ki, irrasional tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq, sonrakı çevrilmələr nəticəsində aşağıdakı tənlik verə bilər. sonsuz sayda həllər. Sonsuz çoxlu köklərə malik tənlik, məsələn, irrasional tənliyin hər iki tərəfinin kvadratı ilə əldə edilir. və nəticədə yaranan tənliyin formasının sonrakı sadələşdirilməsi. Lakin məlum səbəblərdən əvəzetmə yoxlamasını həyata keçirə bilmirik. Belə hallarda ya danışacağımız digər yoxlama metodlarına müraciət etməli, ya da tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltmək metodundan imtina edərək başqa bir həll metodunun xeyrinə, məsələn, metodun xeyrinə güman edir.

Ən tipik irrasional tənliklərin həll yollarını tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldıraraq araşdırdıq. Tədqiq olunan ümumi yanaşma, əgər bu həll üsulu onlara ümumiyyətlə uyğundursa, digər irrasional tənliklərin öhdəsindən gəlməyə imkan verir.

Yeni dəyişən tətbiq etməklə irrasional tənliklərin həlli

Mövcüd olmaq tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar. Onlar müxtəlif növ tənlikləri həll etməyə imkan verir. Xüsusilə, irrasional tənliklərin həlli üçün ümumi üsullardan istifadə olunur. Bu paraqrafda ümumi üsullardan birinə baxacağıq - yeni dəyişən təqdim etmək üsulu, daha doğrusu, irrasional tənliklərin həllində istifadəsi. Metodun özünün mahiyyəti və təfərrüatları məqalədə təqdim olunur, keçid əvvəlki cümlədə verilmişdir. Burada biz praktiki hissəyə diqqət yetirəcəyik, yəni yeni dəyişən təqdim etməklə standart irrasional tənliklərin həllərini təhlil edəcəyik.

Bu məqalənin aşağıdakı bəndləri digər ümumi üsullardan istifadə edərək irrasional tənliklərin həllinə həsr edilmişdir.

Əvvəlcə veririk yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərin həlli alqoritmi. Dərhal sonra lazımi izahatları verəcəyik. Beləliklə, alqoritm:

İndi söz verilən dəqiqləşdirmələrə.

Alqoritmin ikinci, üçüncü və dördüncü addımları sırf texniki xarakter daşıyır və çox vaxt çətin deyil. Və əsas maraq ilk addımdır - yeni dəyişənin tətbiqi. Burada məsələ ondadır ki, yeni dəyişənin necə təqdim ediləcəyi çox vaxt aydın deyil və bir çox hallarda g(x) ifadəsini t ilə əvəz etmək üçün əlverişli olması üçün tənliyin bəzi transformasiyalarını həyata keçirmək lazımdır. görünür. Başqa sözlə desək, yeni dəyişənin təqdim edilməsi çox vaxt yaradıcı bir prosesdir və buna görə də mürəkkəbdir. Sonra irrasional tənlikləri həll edərkən yeni dəyişənin necə təqdim olunacağını izah edən ən əsas və tipik nümunələrə toxunmağa çalışacağıq.

Aşağıdakı təqdimat ardıcıllığına əməl edəcəyik:

Beləliklə, irrasional tənlikləri həll edərkən yeni dəyişənin təqdim edilməsinin ən sadə hallarından başlayaq.

İrrasional tənliyi həll edək , biz artıq yuxarıda nümunə kimi qeyd etdik. Aydındır ki, bu vəziyyətdə dəyişdirmə mümkündür. Bu, bizi rasional tənliyə aparacaq, göründüyü kimi, iki kökü var, tərs əvəz edildikdə, həlli çətin olmayan iki sadə irrasional tənlik toplusunu verəcəkdir. Müqayisə üçün ən sadə irrasional tənliyə gətirib çıxaracaq çevrilmələr apararaq alternativ həll yolu göstərəcəyik.

Aşağıdakı irrasional tənlikdə yeni dəyişən təqdim etmək imkanı da açıqdır. Ancaq diqqətəlayiqdir ki, onu həll edərkən orijinal dəyişənə qayıtmaq lazım deyil. Fakt budur ki, dəyişən daxil edildikdən sonra alınan tənliyin həlli yoxdur, yəni ilkin tənliyin həlli yoxdur.

İrrasional tənlik , əvvəlki kimi, yeni bir dəyişən təqdim etməklə rahatlıqla həll edilə bilər. Üstəlik, əvvəlki kimi, heç bir həll yolu yoxdur. Amma köklərin olmaması başqa üsullarla müəyyən edilir: burada dəyişən daxil edildikdən sonra alınan tənliyin həlli var, lakin əks əvəzetmə zamanı yazılan tənliklər çoxluğunun həlli yoxdur, ona görə də ilkin tənliyin də həlli yoxdur. Bu tənliyin həllini təhlil edək.

Əvəzinin aydın olduğu misallar seriyasını qeyddə kökün altında kök olan zahirən mürəkkəb irrasional tənliklə tamamlayaq. Yeni dəyişənin təqdim edilməsi çox vaxt tənliyin strukturunu daha aydın edir, bu xüsusilə bu nümunə üçün doğrudur. Doğrudan da qəbul etsək , onda ilkin irrasional tənlik daha sadə irrasional tənliyə çevrilir , məsələn, tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla həll edilə bilər. Biz həlli yeni dəyişən təqdim etməklə təqdim edirik və müqayisə üçün tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla da həlli göstərəcəyik.

Bütün əvvəlki nümunələrin qeydlərində yeni dəyişən kimi qəbul etdiyimiz bir neçə eyni ifadə var idi. Hər şey sadə və aydın idi: biz uyğun eyni ifadələri görürük və əvəzində yeni dəyişənlə daha sadə tənlik verən yeni dəyişən təqdim edirik. İndi bir az irəli gedəcəyik - əvəz etmək üçün uyğun ifadənin o qədər də açıq olmadığı, lakin sadə çevrilmələrdən istifadə edərək olduqca asanlıqla görünən və aydın şəkildə vurğulanan irrasional tənlikləri necə həll edəcəyimizi anlayacağıq.

Yeni dəyişən təqdim etmək üçün əlverişli ifadəni açıq şəkildə seçməyə imkan verən əsas texnikaları nəzərdən keçirək. Birincisi budur. Gəlin deyilənləri misal göstərək.

Aydındır ki, irrasional tənlikdə yeni dəyişən təqdim etmək üçün x 2 +x=t götürmək kifayətdir. Tənliyə yeni dəyişən də daxil etmək mümkündürmü? ? Bu ehtimal göz qabağındadır, çünki göz qabağındadır . Son bərabərlik bizə tənliyin ekvivalent çevrilməsini həyata keçirməyə imkan verir, bu ifadəni ODZ-ni dəyişdirməyən eyni bərabər ifadə ilə əvəz etməkdən ibarətdir, bu da orijinal tənlikdən ekvivalent tənliyə keçməyə imkan verir. və artıq qərar verin. İrrasional tənliyin tam həllini göstərək yeni dəyişən təqdim etməklə.

Mötərizədə ümumi amili çıxarmaqdan başqa, yeni dəyişən daxil etmək üçün əlverişli ifadəni irrasional tənlikdə aydın şəkildə müəyyən etməyə imkan verən başqa nə var? Müəyyən hallarda bu, və . Tipik nümunələrə baxaq.

İrrasional tənliyi həll edərkən yeni dəyişəni necə təqdim edə bilərik? ? Təbii ki, qəbul edərdik. Vəzifə irrasional tənliyi həll etmək olsaydı nə olardı? kimi yeni dəyişən təqdim etmək mümkündürmü? Açıqca - görünmür, lakin belə bir ehtimal görünür, çünki bu tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-də kökün tərifi və köklərin xüsusiyyətlərinə görə bərabərlik etibarlıdır, bu da bizə getməyə imkan verir. ekvivalent tənlik .

Əvvəlki nümunə əsasında özümüzə kiçik bir ümumiləşdirməyə icazə verək. Bir kökün göstəricisi digərinin (k·n və k) göstəricisinin qatı olduğu hallarda onlar adətən bərabərliyə müraciət edirlər. kimi yeni dəyişən təqdim edin. Tənliyi həll edərək belə davam etdik . Bir az sonra qeyri-bərabər və çox olmayan kök göstəriciləri olan irrasional tənlikləri necə həll etmək barədə danışacağıq.

Kök, eləcə də radikal ifadə və/və ya onun müəyyən dərəcəsi olan irrasional tənliklərdə yeni dəyişənin tətbiqi üzərində qısaca dayanmağa dəyər. Bu hallarda kökün yeni dəyişən kimi götürülməsi aydındır. Məsələn, tənliyi həll edərkən qəbul edərdik , kökün tərifi ilə orijinal tənliyi formaya çevirər , və yeni dəyişən daxil etdikdən sonra biz 2·t 2 +3·t−2=0 kvadrat tənliyinə çatacağıq.

Bir az daha mürəkkəb hallarda, radikalla üst-üstə düşən ifadəni təcrid etmək üçün tənliyin daha bir əlavə çevrilməsi tələb oluna bilər. Bunu izah edək. Tənliyə yeni dəyişəni necə təqdim edəcəyik? ? Aydındır ki, x 2 +5 ifadəsi radikal ifadə ilə üst-üstə düşür, buna görə də əvvəlki bənddəki məlumatlara əsasən, kökün tərifinə əsaslanaraq, ekvivalent tənliyə keçərdik. kimi yeni bir dəyişən təqdim edərdi. Tənliklə məşğul olmasaydıq, yeni dəyişəni necə təqdim edərdik , və tənliyi ilə ? Bəli də. Sadəcə olaraq, x 2 +5 radikal ifadəsini açıq şəkildə vurğulamaq üçün əvvəlcə x 2 +1-i x 2 +5−4 kimi göstərməliyik. Yəni, irrasional tənlikdən olardıq ekvivalent tənliyə keçdi , sonra tənliyə , bundan sonra biz asanlıqla yeni dəyişən təqdim edə bildik.

Belə hallarda yeni dəyişənin tətbiqinə daha universal yanaşma var: kökü yeni dəyişən kimi götürün və bu bərabərlik əsasında qalan köhnə dəyişənləri yenisi vasitəsilə ifadə edin. Tənlik üçün qəbul edərdik, bu bərabərlikdən x 2-dən t-ni t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), buradan x 2 +1=t 2 −4 . Bu, bizə yeni dəyişən t 2 −4+3·t=0 olan tənliyə keçməyə imkan verir. Bacarıqlarımızı tətbiq etmək üçün tipik bir irrasional tənliyi həll edəcəyik.

Belə misallarda yeni dəyişənin daxil edilməsi tam kvadrat olan köklərin işarələri altında ifadələrin görünməsinə səbəb ola bilər. Məsələn, irrasional tənliyi götürsək, bu, birinci radikal ifadənin xətti binomial t−2-nin kvadratı, ikinci radikal ifadənin isə t−3 xətti binomunun kvadratı olduğu tənliyə gətirib çıxaracaq. Və belə tənliklərdən modulları olan tənliklərə keçmək yaxşıdır: , , . Bu onunla bağlıdır ki, belə tənliklərin sonsuz sayda kökləri ola bilər, eyni zamanda tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla həll etmək əvəzetmə yolu ilə sınaqdan keçirməyə imkan verməyəcək və kökü təyin etməklə həll etmək irrasional bərabərsizliyi həll etmək zərurətinə səbəb olacaqdır. . Belə bir nümunənin həllini aşağıda irrasional tənlikdən modullu tənliyə keçid bölməsində göstərəcəyik.

Yeni dəyişən təqdim etmək imkanını nə vaxt görmək hələ də asandır? Tənlik “ters çevrilmiş” kəsrləri ehtiva etdikdə və (sizin icazənizlə, analoqu ilə onları qarşılıqlı tərs adlandıracağıq). Bu kimi kəsrlərlə rasional tənliyi necə həll edə bilərik? Biz bu kəsrlərdən birini yeni dəyişən t kimi götürərdik, digər kəsr isə yeni dəyişən vasitəsilə 1/t kimi ifadə edilirdi. İrrasional tənliklərdə bu şəkildə yeni bir dəyişən təqdim etmək tamamilə praktik deyil, çünki köklərdən daha da xilas olmaq üçün çox güman ki, başqa bir dəyişən təqdim etməli olacaqsınız. Kəsrin kökünü dərhal yeni dəyişən kimi qəbul etmək daha yaxşıdır. Yaxşı, onda bərabərliklərdən birini istifadə edərək orijinal tənliyi çevirin Və , bu sizə yeni dəyişənli tənliyə keçməyə imkan verəcək. Bir nümunəyə baxaq.

Artıq məlum olan dəyişdirmə variantlarını unutma. Məsələn, x+1/x və x 2 +1/x 2 ifadəsi irrasional tənliyin qeydində görünə bilər ki, bu da insanı yeni x+1/x=t dəyişəninin daxil edilməsinin mümkünlüyü barədə düşünməyə vadar edir. Bu fikir təsadüfən yaranmır, çünki biz qərar verəndə artıq bunu etmişik qarşılıqlı tənliklər. Yeni dəyişənin təqdim edilməsinin bu üsulu, artıq bizə məlum olan digər üsullar kimi, irrasional tənlikləri, eləcə də digər növ tənlikləri həll edərkən yadda saxlamaq lazımdır.

Biz daha mürəkkəb irrasional tənliklərə keçirik ki, burada yeni dəyişən təqdim etmək üçün uyğun ifadəni ayırd etmək daha çətindir. Radikal ifadələrin eyni olduğu tənliklərdən başlayaq, lakin yuxarıda müzakirə edilən vəziyyətdən fərqli olaraq, bir kökün böyük göstəricisi digər kökün kiçik göstəricisinə tam bölünmür. Belə hallarda yeni dəyişən təqdim etmək üçün düzgün ifadənin necə seçiləcəyini anlayaq.

Radikal ifadələr eyni olduqda və bir kökün böyük göstəricisi k 1 digər kökün kiçik göstəricisi k 2 ilə tam bölünmədikdə, LCM dərəcəsinin kökü (k 1, k 2) kimi qəbul edilə bilər. yeni dəyişən, burada LCM . Məsələn, irrasional tənlikdə köklər 2 və 3-ə bərabərdir, üç ikiyə qat deyil, LCM(3, 2)=6, ona görə də yeni dəyişən aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər. . Bundan əlavə, kökün tərifi, eləcə də köklərin xüsusiyyətləri ifadəni açıq şəkildə seçmək və sonra onu yeni dəyişən ilə əvəz etmək üçün orijinal tənliyi çevirməyə imkan verir. Bu tənliyin tam və ətraflı həllini təqdim edirik.

Oxşar prinsiplərdən istifadə edərək, kök altındakı ifadələrin dərəcələri ilə fərqləndiyi hallarda yeni dəyişən təqdim edilir. Məsələn, irrasional tənlikdə dəyişən yalnız köklərin altındadırsa və köklərin özləri və formasına malikdirsə, onda siz LCM(3, 4) = 12 köklərinin ən kiçik ortaq qatını hesablamalı və götürməlisiniz. Üstəlik, köklərin və güclərin xüsusiyyətlərinə görə, köklər kimi çevrilməlidir Və müvafiq olaraq yeni dəyişən təqdim etməyə imkan verəcək.

Siz müxtəlif eksponentləri olan köklərin altında qarşılıqlı tərs kəsrlərin olduğu irrasional tənliklərdə oxşar şəkildə hərəkət edə bilərsiniz. Yəni yeni dəyişən kimi kök göstəricilərinin LCM-ə bərabər göstərici ilə kök götürmək məqsədəuyğundur. Yaxşı, onda bərabərliklər yaratmağa imkan verən yeni dəyişən ilə tənliyə keçin Və , kökün tərifi, həmçinin köklərin və səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri. Bir nümunəyə baxaq.

İndi yeni dəyişən təqdim etmək imkanından yalnız şübhələnilə bilən və uğurlu olarsa, yalnız kifayət qədər ciddi çevrilmələrdən sonra açılan tənliklərdən danışaq. Məsələn, yalnız bir sıra o qədər də aydın olmayan çevrilmələrdən sonra formaya gətirilən irrasional tənlik əvəzlənməyə yol açır. . Bu misalın həllini verək.

Nəhayət, bir az ekzotizm əlavə edək. Bəzən irrasional tənliyi birdən çox dəyişən daxil etməklə həll etmək olar. Tənliklərin həllinə bu cür yanaşma dərslikdə təklif olunur. Orada irrasional tənliyi həll etmək lazımdır iki dəyişənin daxil edilməsi təklif olunur . Dərslikdə qısa bir həll var, detalları bərpa edək.

Faktorlara ayırma üsulu ilə irrasional tənliklərin həlli

İrrasional tənlikləri həll etmək üçün yeni dəyişənin tətbiqi metodundan əlavə, digər ümumi üsullardan da istifadə olunur, xüsusən, faktorizasiya üsulu. Əvvəlki cümlədə göstərilən keçiddəki məqalədə faktorizasiya metodunun nə vaxt istifadə edildiyi, mahiyyətinin nədən ibarət olduğu və nəyə əsaslandığı ətraflı müzakirə olunur. Burada bizi daha çox metodun özü deyil, irrasional tənliklərin həllində istifadə etməsi maraqlandırır. Buna görə də materialı aşağıdakı kimi təqdim edəcəyik: metodun əsas müddəalarını qısaca xatırladacağıq, bundan sonra faktorlaşdırma metodundan istifadə edərək xarakterik irrasional tənliklərin həllərini ətraflı təhlil edəcəyik.

Faktorizasiya üsulu sol tərəfdə məhsulun və sağ tərəfdə sıfırların olduğu tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunur, yəni formanın tənliklərini həll etmək üçün f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0, burada f 1, f 2, …, f n bəzi funksiyalardır. Metodun mahiyyəti tənliyi əvəz etməkdir f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 orijinal tənlik üçün x dəyişəni üzərində.

Çoxluğa keçidlə bağlı sonuncu cümlənin birinci hissəsi ibtidai məktəbdən məlum olan bir faktdan irəli gəlir: bir neçə ədədin hasili sıfıra bərabərdir, o halda ki, rəqəmlərdən ən azı biri sıfıra bərabər olsun. ODZ haqqında ikinci hissənin olması tənlikdən keçidlə izah olunur f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 tənliklər toplusuna f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 qeyri-bərabər ola bilər və kənar köklərin görünüşünə səbəb ola bilər, bu halda ODZ nəzərə alınmaqla aradan qaldırıla bilər. Qeyd etmək lazımdır ki, kənar köklərin yoxlanılması, əgər əlverişlidirsə, yalnız ODZ vasitəsilə deyil, həm də başqa yollarla, məsələn, tapılmış kökləri orijinal tənliyə əvəz etməklə yoxlamaqla həyata keçirilə bilər.

Beləliklə, tənliyi həll etmək üçün f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 irrasional daxil olmaqla faktorlara ayırma üsulundan istifadə etmək lazımdır

• Tənliklər dəstinə keçin f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Bəstələnmiş çoxluğu həll edin,
• Həlllər çoxluğunda yoxdursa, ilkin tənliyin kökləri olmadığı qənaətinə gəlin. Köklər varsa, kənar kökləri çıxarın.

Gəlin praktik hissəyə keçək.

Faktorinq üsulu ilə həll edilən tipik irrasional tənliklərin sol tərəfləri bir neçə cəbri ifadənin, adətən xətti binomların və kvadratik üçhəminlərin və onların altında cəbri ifadələr olan bir neçə kökün məhsuludur. Sağ tərəflərdə sıfırlar var. Belə tənliklər onların həllində ilkin bacarıqların əldə edilməsi üçün idealdır. Bənzər bir tənliyi həll etməklə başlayacağıq. Bununla biz iki məqsədə nail olmağa çalışacağıq:

• irrasional tənliyi həll edərkən faktorlaşdırma metodu alqoritminin bütün addımlarını nəzərə almaq,
• kənar kökləri süzməyin üç əsas yolunu xatırlayın (ODZ ilə, ODZ şərtləri ilə və həllərin orijinal tənliyə birbaşa əvəz edilməsi ilə).

Aşağıdakı irrasional tənlik o mənada xarakterikdir ki, onu faktorlaşdırma metodundan istifadə edərək həll edərkən kənar kökləri ədədi çoxluq şəklində ODZ-yə görə deyil, ODZ şərtlərinə görə süzmək rahatdır, çünki o ODZ-ni ədədi amil şəklində əldə etmək çətindir. Çətinlik ondadır ki, DL-ni təyin edən şərtlərdən biri də budur irrasional bərabərsizlik . Kənar kökləri süzmək üçün bu yanaşma onu həll etmədən etməyə imkan verir, üstəlik bəzən məktəb kursunda riyaziyyatçılara irrasional bərabərsizliklərin həlli haqqında ümumiyyətlə öyrədilmir.

Tənliyin sol tərəfində məhsul və sağda sıfır olduqda yaxşıdır. Bu halda, siz dərhal tənliklər dəstinə keçə, onu həll edə, orijinal tənliyə kənar kökləri tapıb silə bilərsiniz ki, bu da istədiyiniz həlli verəcəkdir. Ancaq daha tez-tez tənliklər fərqli bir forma malikdir. Əgər eyni zamanda onları faktorizasiya metodunun tətbiqi üçün uyğun formaya çevirmək imkanı varsa, niyə də uyğun çevrilmələri həyata keçirməyə çalışmayaq. Məsələn, aşağıdakı irrasional tənliyin sol tərəfindəki hasili əldə etmək üçün kvadratlar fərqinə müraciət etmək kifayətdir.

Adətən faktorlara ayırma yolu ilə həll olunan başqa bir tənlik sinfi var. Buraya hər iki tərəfi dəyişənli ifadə şəklində eyni amili olan məhsullar olan tənliklər daxildir. Bu, məsələn, irrasional tənlikdir . Tənliyin hər iki tərəfini eyni amillə bölmək yolu ilə gedə bilərsiniz, lakin bu ifadələri yox edən dəyərləri ayrıca yoxlamağı unutmamalısınız, əks halda həll yollarını itirə bilərsiniz, çünki tənliyin hər iki tərəfini eyni ifadəyə bölmək qeyri-bərabər çevrilmə ola bilər. Faktorizasiya metodundan istifadə etmək daha etibarlıdır, bu, sonrakı düzgün həll zamanı köklərin itirilməyəcəyinə zəmanət verməyə imkan verir. Aydındır ki, bunu etmək üçün əvvəlcə tənliyin sol tərəfində məhsulu, sağ tərəfində isə sıfırı almaq lazımdır. Bu asandır: sadəcə işarəsini dəyişdirərək ifadəni sağ tərəfdən sola köçürün və mötərizədə ümumi faktoru çıxarın. Bənzər, lakin bir qədər mürəkkəb irrasional tənliyin tam həllini göstərək.

Hər hansı bir tənliyin həllinə (həqiqətən, bir çox başqa problemlərin həlli kimi) ODZ-ni tapmaqla başlamaq faydalıdır, xüsusən də ODZ tapmaq asan olarsa. Bunun lehinə ən bariz arqumentlərdən bəzilərini verək.

Beləliklə, bir tənliyi həll etmək tapşırığını aldıqdan sonra arxaya baxmadan çevrilmələrə və hesablamalara tələsməməlisiniz, bəlkə sadəcə ODZ-yə baxın? Bunu aşağıdakı irrasional tənlik aydın şəkildə nümayiş etdirir.

Funksional qrafik metodu

Funksional qrafik metodu tənliklərin həlli üçün başqa bir ümumi üsuldur. Hər hansı bir ümumi üsul kimi, müxtəlif növ tənlikləri həll etməyə imkan verir, xüsusən də irrasional tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Cari məqalə çərçivəsində bizi ən çox maraqlandıran funksional-qrafik metodun bu tətbiqidir.

Funksional-qrafik metod tənliklərin həlli prosesində funksiyaları, onların xassələrini və qrafiklərini əhatə edir. Bu, çox güclü bir vasitədir. Və hər hansı bir güclü alət kimi, adətən daha sadə alətlər gücsüz olduqda müraciət edilir.

Tənliklərin həlli üçün funksional-qrafik metodun üç əsas istiqaməti var:

• Birincisi, funksiya qrafiklərinin istifadəsidir. Bu istiqamət qrafik metod adlanır.
• İkincisi, artan və azalan funksiyaların xassələrinin istifadəsidir.
• Üçüncüsü, məhdud funksiyaların xassələrinin istifadəsidir. Yəqin ki, son zamanlar geniş yayılmış qiymətləndirmə metodu ilə funksional-qrafik metodun bu istiqaməti başa düşülür.

Bu üç istiqamət ümumiyyətlə funksional-qrafik metodun uyğun olduğu irrasional tənliklərin böyük əksəriyyətinin öhdəsindən gəlməyə imkan verir. Göstərilən ardıcıllıqla - qrafiklərin istifadəsi, artan-azalmanın istifadəsi, məhdud funksiyaların xüsusiyyətlərindən istifadə - ən tipik nümunələrin həllərini təhlil edəcəyik.

Qrafik üsul

Beləliklə, irrasional tənliklərin həlli üçün qrafik metoddan başlayaq.

Qrafik metoda görə sizə lazımdır:

• əvvəlcə bir koordinat sistemində həll olunan tənliyin sol və sağ tərəflərinə uyğun f və g funksiyalarının qrafiklərini qurun,
• ikincisi, onların nisbi mövqeyinə əsaslanaraq, tənliyin kökləri haqqında nəticə çıxarın:
  • funksiyaların qrafikləri kəsişmirsə, onda tənliyin həlli yoxdur,
  • Əgər funksiyaların qrafiklərinin kəsişmə nöqtələri varsa, onda tənliyin kökləri bu nöqtələrin absisləridir.

ODZ vasitəsilə irrasional tənliklərin həlli

Çox vaxt tənliklərin həlli prosesinin bir hissəsidir. Sizi DL-ni axtarmağa məcbur edən səbəblər fərqli ola bilər: tənliyin çevrilməsini həyata keçirmək lazımdır və onlar, məlum olduğu kimi, DL-də aparılır, seçilmiş həll üsulu DL-nin tapılmasını, DL-dən istifadə edərək yoxlanılmasını nəzərdə tutur. və s. Və müəyyən hallarda, ODZ yalnız köməkçi və ya nəzarət vasitəsi kimi çıxış etmir, həm də tənliyin həllini əldə etməyə imkan verir. Burada iki vəziyyəti nəzərdə tuturuq: ODZ boş çoxluq olduqda və ODZ sonlu ədədlər çoxluğu olduqda.

Aydındır ki, tənliyin, xüsusən də irrasionalın ODZ-si boş çoxluqdursa, onda tənliyin həlli yoxdur. Deməli, aşağıdakı irrasional tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-si boş çoxluqdur, yəni tənliyin həlli yoxdur.

Tənlik üçün dəyişənin ODZ-i sonlu ədədlər çoxluğu olduqda, bu ədədləri əvəz etməklə ardıcıl yoxlamaqla tənliyin həllini əldə etmək olar. Məsələn, ODZ-nin iki ədəddən ibarət olduğu irrasional tənliyi nəzərdən keçirək və əvəzetmə göstərir ki, onlardan yalnız biri tənliyin köküdür və buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, bu kök tənliyin yeganə həllidir.

“Kəsr sıfıra bərabərdir” formalı irrasional tənliklərin həlli

Hər hansı “kəsr sıfıra bərabərdir” formasının tənliyi, xüsusən də irrasional, bu tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-də f(x)=0 tənliyinə ekvivalentdir. Bu ifadədən bu tip tənliklərin həllinə iki yanaşma ortaya çıxır:

Aydındır ki, f(x)=0 tənliyini həll etməkdənsə, ODZ-ni tapmaq daha asan olduqda, tənliyin həlli üçün birinci yanaşmaya müraciət etmək daha yaxşıdır. Bu halda, ODZ boş dəst ola bilər və ya bir neçə ədəddən ibarət ola bilər, bu hallarda f(x) = 0 tənliyini həll etmədən etmək mümkün olacaq (bax). Tipik bir irrasional tənliyi həll edək.

f(x) = 0 tənliyinin həlli olduqca asan olarkən tənliyin həllinə ikinci yanaşmaya üstünlük verilir. f(x)=0 tənliyini həll etdikdən sonra tapılan kökləri yoxlamaq qalır ki, bu da adətən aşağıdakı üsullardan biri ilə aparılır:

• ilkin tənliyin məxrəcinə əvəz etməklə məxrəci sıfıra və ya mənasız ifadəyə çevirən tapılmış köklərin kökləri kök deyil, məxrəci sıfırdan fərqli ədədə çevirən tapılmış köklər isə ilkin tənliyin kökləridir. .
• birbaşa ODZ-dən (ODZ olduqca asanlıqla tapıldıqda, "kəsr sıfıra bərabərdir" formasının irrasional tənliklərinin həllinə birinci və ikinci yanaşmalar praktiki olaraq ekvivalent olduqda), ODZ-yə aid tapılan köklər orijinal tənliyin kökləridir, aid olmayanlar isə deyil.
• və ya ODZ-nin şərtləri vasitəsilə (çox vaxt ODZ-ni müəyyən edən şərtləri yazmaq asandır, lakin onlardan istifadə edərək ODZ-ni ədədi çoxluq şəklində tapmaq çətindir), aşkar edilmiş köklərin bütün şərtləri təmin edən şərtləri. ODZ-nin kökləri orijinal tənliyin kökləridir, qalanları deyil.

Ədədi bərabərliyə endirilən irrasional tənliklər

Modullara keçin

Əgər irrasional tənliyin qeydində cüt dərəcəli kök işarəsi altında eksponenti kökün göstəricisinə bərabər olan hansısa ifadənin dərəcəsi varsa, onda modula keçə bilərsiniz. Bu çevrilmə düsturlardan birinə görə baş verir, burada 2·m cüt ədəd, a istənilən real ədəddir. Qeyd etmək lazımdır ki, bu çevrilmə tənliyin ekvivalent çevrilməsidir. Həqiqətən, belə bir transformasiya ilə kök eyni bərabər modulla əvəz olunur, ODZ isə dəyişmir.

Modula keçməklə həll oluna bilən xarakterik irrasional tənliyi nəzərdən keçirək.

Mümkün olduqda həmişə modullara keçməyə dəyərmi? Əksər hallarda belə bir keçid haqlıdır. İstisna, irrasional tənliyin həlli üçün alternativ üsulların nisbətən az əmək tələb etdiyi aşkar olduğu hallardır. Modullara keçid və bəzi digər üsullarla, məsələn, tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla və ya kökünü təyin etməklə həll edilə bilən irrasional tənliyi götürək və görək hansı həll ən sadə və ən yığcam olacaq.

Həll edilmiş misalda kökün müəyyən edilməsi üçün həll daha məqsədəuyğun görünür: həm modula keçid yolu ilə həlldən, həm də tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla həll ediləndən daha qısa və sadədir. Hər üç üsuldan istifadə edərək tənliyi həll etməzdən əvvəl bunu bilə bilərdikmi? Etiraf edək ki, bu, aydın deyildi. Beləliklə, bir neçə həll metoduna baxdığınız zaman hansına üstünlük verəcəyiniz dərhal aydın deyilsə, onlardan hər hansı biri ilə həll yolu tapmağa çalışmalısınız. Bu işə yarayarsa, yaxşı. Seçilmiş üsul nəticə vermirsə və ya həll yolu çox çətin olarsa, başqa bir üsul sınamalısınız.

Bu nöqtənin sonunda irrasional tənliyə qayıdaq. Əvvəlki abzasda biz bunu artıq həll etdik və radikalı təcrid etməklə və tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla həll etmək cəhdinin 0=0 ədədi bərabərliyinə və köklər haqqında nəticə çıxarmağın mümkünsüzlüyünə səbəb olduğunu gördük. Və kökün müəyyənləşdirilməsinin həlli özlüyündə olduqca çətin olan irrasional bərabərsizliyin həllindən ibarət idi. Bu irrasional tənliyi həll etmək üçün yaxşı bir üsul modullara getməkdir. Ətraflı bir həll verək.

İrrasional tənliklərin çevrilməsi

İrrasional tənliklərin həlli onları çevirmədən demək olar ki, heç vaxt tamamlanmır. Biz irrasional tənlikləri öyrəndiyimiz zaman artıq tənliklərin ekvivalent çevrilmələri ilə tanış oluruq. İrrasional tənlikləri həll edərkən onlardan əvvəllər öyrənilmiş tənlik növlərini həll edərkən istifadə olunur. Əvvəlki abzaslarda irrasional tənliklərin belə çevrilməsi nümunələrini gördünüz və görürsünüz ki, onlar bizə tanış olduqları üçün tamamilə təbii qəbul ediliblər. Yuxarıda, bizim üçün yeni bir transformasiya haqqında da öyrəndik - tənliyin hər iki tərəfini irrasional tənliklər üçün xarakterik olan eyni gücə yüksəltmək; ümumi halda, ekvivalent deyil. Onların həyata keçirilməsi zamanı ortaya çıxan bütün incə məqamları bilmək və səhvlərə yol verməmək üçün bütün bu çevrilmələr haqqında ətraflı danışmağa dəyər.

İrrasional tənliklərin çevrilmələrini aşağıdakı ardıcıllıqla təhlil edəcəyik:

1. İfadələrin ODZ-ni dəyişməyən eyni bərabər ifadələrlə əvəz edilməsi.
2. Tənliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etmək və ya tənliyin hər iki tərəfindən eyni ədədi çıxmaq.
3. Xassə dəyərini dəyişməyən eyni ifadənin tənliyin hər iki tərəfinə əlavə edilməsi və ya xassə dəyərini dəyişməyən eyni ifadənin tənliyin hər iki tərəfindən çıxarılması.
4. Şərtlərin tənliyin bir tərəfindən digər tərəfinə əks işarə ilə köçürülməsi.
5. Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vurmaq və bölmək.
6. Tənliyin hər iki tərəfini dəyişənin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu dəyişdirməyən və sıfıra çevirməyən eyni ifadə ilə vurmaq və bölmək.
7. Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaq.

Beləliklə, sualların dairəsi açıqlanır. Onları nümunələrlə başa düşməyə başlayaq.

Bizi maraqlandıran ilk çevrilmə tənlikdəki ifadələrin eyni bərabər ifadələrlə əvəz edilməsidir. Biz bilirik ki, çevrilmə nəticəsində alınan tənlik üçün VA orijinal tənlik üçün VA ilə eyni olarsa, ekvivalentdir. Buradan aydın olur ki, bu transformasiyanı həyata keçirərkən xətaların baş verməsinin iki əsas səbəbi var: birincisi, transformasiya nəticəsində baş verən OD dəyişməsi, ikincisi, ifadənin ifadə ilə əvəzlənməsidir. bu ona eyni dərəcədə bərabər deyil. Bu tip tipik çevrilmələrin nümunələrini nəzərdən keçirərək, bu aspektləri ətraflı və ardıcıllıqla araşdıraq.

Birincisi, ifadəni həmişə ekvivalent olan eyni bərabər ifadə ilə əvəz etməkdən ibarət olan tənliklərin tipik çevrilmələrinə keçək. Budur müvafiq siyahı.

• Şərtlərin və amillərin yenidən təşkili. Bu çevrilmə irrasional tənliyin həm sol, həm də sağ tərəfində həyata keçirilə bilər. O, məsələn, tənliyin formasını sadələşdirmək üçün oxşar terminləri qruplaşdırmaq və sonra azaltmaq üçün istifadə edilə bilər. Şərtlərin və ya amillərin yenidən təşkili tənliyin ekvivalent çevrilməsidir. Bu başa düşüləndir: orijinal ifadə və terminləri və ya amilləri yenidən təşkil edən ifadə eyni şəkildə bərabərdir (əlbəttə ki, yenidən qurulma düzgün aparılırsa) və belə bir çevrilmənin ODZ-ni dəyişməyəcəyi açıqdır. Bir misal verək. x·3·x məhsulundakı irrasional tənliyin sol tərəfində siz birinci və ikinci amilləri x və 3-ü əvəz edə bilərsiniz ki, bu da sonradan kök işarəsi altında polinomu standart formada təmsil etməyə imkan verəcəkdir. Və 4+x+5 cəmində tənliyin sağ tərəfində siz 4 və x şərtlərini dəyişdirə bilərsiniz ki, bu da gələcəkdə 4 və 5 rəqəmlərini əlavə etməyə imkan verəcək. Bu yenidən tənzimləmələrdən sonra irrasional tənlik formasını alacaq, nəticədə yaranan tənlik ilkin tənliyə bərabərdir.
• Mötərizələrin genişləndirilməsi. Tənliklərin bu çevrilməsinin ekvivalentliyi göz qabağındadır: mötərizənin açılmasından əvvəl və sonra ifadələr eyni dərəcədə bərabərdir və eyni icazə verilən dəyərlər diapazonuna malikdir. Məsələn, irrasional tənliyi götürək . Onun həlli mötərizələrin açılmasını tələb edir. Tənliyin sol tərəfindəki, eləcə də tənliyin sağ tərəfindəki mötərizələri açaraq ekvivalent tənliyə gəlirik.
• Terminlərin və/və ya amillərin qruplaşdırılması. Tənliyin bu çevrilməsi mahiyyətcə tənliyin bir hissəsi olan hər hansı ifadənin qruplaşdırılmış şərtlər və ya faktorlarla eyni bərabər ifadə ilə əvəzlənməsini əks etdirir. Aydındır ki, bu, ODZ-ni dəyişmir. Bu o deməkdir ki, tənliyin göstərilən çevrilməsi ekvivalentdir. Nümunə üçün irrasional tənliyi götürək. Şərtləri yenidən təşkil etmək (bu barədə yuxarıda iki bənddə danışdıq) və şərtləri qruplaşdırmaq bizə ekvivalent tənliyə keçməyə imkan verir. Terminlərin belə qruplaşdırılmasının məqsədi aydın görünür - yeni dəyişənin tətbiqinə imkan verəcək aşağıdakı ekvivalent transformasiyanı həyata keçirmək.
• Ümumi faktoru mötərizədən çıxarmaq. Aydındır ki, ümumi amili mötərizənin içindən çıxarmazdan əvvəl və mötərizənin içindən ümumi amili qoyduqdan sonra ifadələr eyni dərəcədə bərabərdir. O da aydındır ki, ümumi faktoru mötərizədə çıxarmaq VA-nı dəyişmir. Buna görə də, tənliyin tərkib hissəsi olan ifadədə ümumi amili mötərizədən çıxarmaq tənliyin ekvivalent çevrilməsidir. Bu çevrilmə, məsələn, tənliyin sol tərəfini faktorlara ayırma yolu ilə həll etmək üçün məhsul kimi təqdim etmək üçün istifadə olunur. Konkret misal. İrrasional tənliyi nəzərdən keçirək. Bu tənliyin sol tərəfi məhsul kimi göstərilə bilər, bunun üçün mötərizədə ümumi faktoru çıxarmaq lazımdır. Bu çevrilmə nəticəsində irrasional tənlik alınacaq , faktorlara ayırmaqla həll edilə bilən orijinala bərabərdir.
• Rəqəmli ifadələrin qiymətləri ilə əvəz edilməsi. Aydındır ki, tənlik müəyyən ədədi ifadəni ehtiva edirsə və biz bu ədədi ifadəni onun qiyməti ilə əvəz etsək (düzgün hesablanmışdır), onda belə əvəzləmə ekvivalent olacaqdır. Həqiqətən də, mahiyyət etibarilə, ifadə eyni dərəcədə bərabər ifadə ilə əvəz olunur və eyni zamanda tənliyin ODZ-si dəyişmir. Beləliklə, irrasional tənlikdə əvəz iki −3 və 1 ədədinin cəmi və bu cəmin −2-yə bərabər olan qiyməti ilə ekvivalent irrasional tənlik alırıq. Eynilə, irrasional tənliyin ekvivalent çevrilməsini həyata keçirmək olar , kök işarəsi altında olan ədədlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi (1+2=3 və ), bu çevrilmə bizi ekvivalent tənliyə aparacaq .
• İrrasional tənliyin qeydində tapılan monohədlər və çoxhədlilərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi. Aydındır ki, bu hərəkətlərin düzgün həyata keçirilməsi ekvivalent bərabərliyə gətirib çıxaracaq. Həqiqətən də, bu halda ifadə eyni dərəcədə bərabər ifadə ilə əvəz olunacaq və OD dəyişməyəcək. Məsələn, irrasional tənlikdə x 2 və 3 x 2 monomiallarını əlavə edib ekvivalent tənliyə keçə bilərsiniz . Başqa bir misal: irrasional tənliyin sol tərəfində çoxhədlilərin çıxarılması ekvivalent tənliyə gətirib çıxaran ekvivalent çevrilmədir. .

İfadələri eyni bərabər ifadələrlə əvəz etməkdən ibarət olan tənliklərin çevrilmələrini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Belə çevrilmələr də qeyri-bərabər ola bilər, çünki onlar ODZ-ni dəyişə bilər. Xüsusilə, ODZ-nin genişlənməsi ola bilər. Bu, oxşar şərtləri azaldarkən, fraksiyaları azaldarkən, bir məhsulu bir neçə sıfır faktorla və ya bir kəsi sıfıra bərabər bir payla əvəz edərkən və çox vaxt köklərin xüsusiyyətlərinə uyğun düsturlardan istifadə edərkən baş verə bilər. Yeri gəlmişkən, köklərin xüsusiyyətlərindən ehtiyatsız istifadə də ODZ-nin daralmasına səbəb ola bilər. Tənlikləri həll edərkən ODZ-ni genişləndirən çevrilmələr məqbuldursa (onlar müəyyən bir şəkildə aradan qaldırılan kənar köklərin görünüşünə səbəb ola bilər), onda ODZ-ni daraldan çevrilmələrdən imtina edilməlidir, çünki onlar köklərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Gəlin bu məqamlar üzərində dayanaq.

Birinci irrasional tənlikdir . Onun həlli tənliyi formaya çevirməklə başlayır dərəcələrin xassələrindən birinə əsaslanır. Bu çevrilmə ekvivalentdir, çünki ifadə eyni şəkildə bərabər ifadə ilə əvəz olunur və ODZ dəyişmir. Ancaq kökün tərifi əsasında həyata keçirilən tənliyə növbəti keçid artıq tənliyin qeyri-bərabər çevrilməsi ola bilər, çünki belə bir çevrilmə ilə ODZ genişlənir. Bu tənliyin tam həllini göstərək.

Köklərin xassələrindən istifadə edərək irrasional tənliklərin çevrilməsinin və kökün tərifinin qeyri-bərabər ola biləcəyini göstərmək üçün yaxşı uyğun gələn ikinci irrasional tənlik belədir. . Özünüzə həlli belə başlamağa icazə verməsəniz yaxşıdır

Ya da belə

Birinci halda başlayaq. Birinci çevrilmə ilkin irrasional tənlikdən keçiddir tənliyə x+3 ifadəsini ifadəsi ilə əvəz etməkdən ibarətdir. Bu ifadələr eyni dərəcədə bərabərdir. Lakin belə bir dəyişdirmə ilə ODZ çoxluqdan (−∞, −3)∪[−1, +∞) çoxluğa daralır [−1, +∞) . Və biz DLZ-ni daraldan islahatlardan imtina etməyə razılaşdıq, çünki onlar köklərin itirilməsinə səbəb ola bilər.

İkinci vəziyyətdə nə səhvdir? Son keçid zamanı ODZ-nin genişləndirilməsi -3 rəqəminə? Təkcə bu yox. İlkin irrasional tənlikdən ilk keçid böyük narahatlıq doğurur tənliyə . Bu keçidin mahiyyəti x+3 ifadəsinin ifadəsi ilə əvəz edilməsindən ibarətdir. Lakin bu ifadələr eyni dərəcədə bərabər deyil: x+3 üçün<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , bundan belə çıxır .

Beləliklə, bu irrasional tənliyi necə həll etmək olar ? Burada dərhal yeni bir dəyişən təqdim etmək yaxşıdır , bu halda (x+3)·(x+1)=t 2. Ətraflı bir həll verək.

Gəlin təhlil olunan tənliklərin çevrilmələrindən birincisini ümumiləşdirək - tənliyin bir hissəsi olan ifadəni ona eyni olan ifadə ilə əvəz edək. Hər dəfə həyata keçirilərkən iki şərt yerinə yetirilməlidir: birincisi, ifadənin eyni şəkildə bərabər ifadə ilə əvəz edilməsi, ikincisi, ODZ-nin daralmasının baş verməməsi. Əgər belə bir əvəzetmə ODZ-ni dəyişməzsə, onda çevrilmənin nəticəsi ekvivalent tənlik olacaqdır. Belə bir dəyişdirmə zamanı ODZ genişlənirsə, kənar köklər görünə bilər və onları süzmək üçün diqqətli olmaq lazımdır.

Siyahının ikinci çevrilməsinə keçək - tənliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etmək və tənliyin hər iki tərəfindən eyni ədədi çıxmaq. Bu tənliyin ekvivalent çevrilməsidir. Biz adətən tənliyin sol və sağ tərəflərində eyni ədədlər olduqda müraciət edirik; bu ədədləri tənliyin hər iki tərəfindən çıxmaq gələcəkdə onlardan qurtulmağa imkan verir. Məsələn, irrasional tənliyin həm sol, həm də sağ tərəfində 3 termini var. Tənliyin hər iki tərəfindən üçlü çıxdıqda, rəqəmlərlə manipulyasiya etdikdən sonra formanı alan bir tənlik əldə edilir. və daha da sadələşdirilmişdir. Nəticəyə görə, sözügedən çevrilmənin terminin tənliyin bir hissəsindən digərinə əks işarəli köçürülməsi ilə ortaq bir cəhəti var, lakin bu çevrilmə haqqında bir az sonra. Bu çevrilmənin istifadə olunduğu başqa nümunələr də var. Məsələn, irrasional tənlikdə hər iki tərəfə 3 rəqəminin əlavə edilməsi tənliyin sol tərəfində mükəmməl kvadrat təşkil etmək və yeni dəyişən təqdim etmək üçün tənliyi daha da çevirmək lazımdır.

İndicə müzakirə edilən çevrilmənin ümumiləşdirilməsi tənliyin hər iki tərəfinə əlavə etmək və ya tənliyin hər iki tərəfindən eyni ifadəni çıxarmaqdır. Tənliklərin bu çevrilməsi ODZ dəyişmədikdə ekvivalentdir. Bu çevrilmə əsasən tənliyin həm sol, həm də sağ tərəfində eyni vaxtda olan eyni terminlərdən xilas olmaq üçün həyata keçirilir. Bir misal verək. Tutaq ki, irrasional tənliyimiz var. Aydındır ki, tənliyin həm sol, həm də sağ tərəfində termin var. Bu ifadəni tənliyin hər iki tərəfindən çıxmaq məqsədəuyğundur: . Bizim vəziyyətimizdə belə bir keçid ODZ-ni dəyişmir, buna görə də həyata keçirilən transformasiya ekvivalentdir. Və bu, daha sadə irrasional tənliyə keçmək üçün edilir.

Bu paraqrafda toxunacağımız tənliklərin növbəti çevrilməsi, tənliyin bir hissəsindən digərinə əks işarəli şərtlərin köçürülməsidir. Tənliyin bu çevrilməsi həmişə ekvivalentdir. Onun tətbiq dairəsi kifayət qədər genişdir. Onun köməyi ilə, məsələn, radikalı təcrid edə və ya oxşar şərtləri tənliyin bir hissəsində toplaya bilərsiniz ki, sonra onları azalda və bununla da tənliyin formasını sadələşdirə bilərsiniz. Bir misal verək. İrrasional tənliyi həll etmək −1 şərtlərini işarəsini dəyişdirərək sağ tərəfə köçürə bilərsiniz, bu, ekvivalent tənlik verəcəkdir. , məsələn, tənliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırmaqla həll edilə bilər.

Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vurmaq və ya bölmək üçün tənliklərin çevrilmələrini nəzərdən keçirmə yolu ilə daha da irəliləyirik. Bu çevrilmə tənliyin ekvivalent çevrilməsidir. Tənliyin hər iki tərəfinin eyni ədədə vurulması ilk növbədə kəsrlərdən tam ədədlərə keçmək üçün istifadə olunur. Məsələn, belə ki, irrasional tənlikdə fraksiyalardan xilas olmaq üçün hər iki hissəni 8-ə vurmalısınız ki, bu da ekvivalent tənlik verir. , formasına daha da kiçildilir . Tənliyin hər iki tərəfinin bölünməsi əsasən ədədi əmsalları azaltmaq məqsədi ilə aparılır. Məsələn, irrasional tənliyin hər iki tərəfi 18 və 12 ədədi əmsallara, yəni 6-ya bölmək məsləhətdir, belə bölmə ekvivalent tənlik verir. , bundan sonra biz tənliyə keçə bilərik , daha kiçik, həm də tam əmsallara malikdir.

Tənliyin növbəti çevrilməsi tənliyin hər iki tərəfini eyni ifadə ilə vurub bölməkdir. Bu çevrilmə, vurma və ya bölmənin aparıldığı ifadə dəyişənin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu dəyişdirmədikdə və sıfıra çevrilmədikdə ekvivalentdir. Tipik olaraq, hər iki tərəfi eyni ifadə ilə vurmaq, tənliyin hər iki tərəfini eyni ədədə vurmağa bənzəyir. Çox vaxt bu çevrilmə sonrakı çevrilmələrlə fraksiyalardan xilas olmaq üçün istifadə olunur. Bunu bir nümunə ilə göstərək.

Biz irrasional tənliklərə məhəl qoymayacağıq, onları həll etmək üçün tənliyin hər iki tərəfini eyni ifadə ilə bölməyə müraciət etməliyik. Bir az yuxarıda qeyd etdik ki, belə bölgü ODZ-yə təsir etmirsə və ODZ-də bu ifadə itmirsə, ekvivalent çevrilmədir. Ancaq bəzən bölmə ODZ-də yoxa çıxan bir ifadə ilə həyata keçirilməlidir. Əgər eyni zamanda bu ifadənin sıfırlarını ayrıca yoxlasanız, onların arasında həll olunan tənliyin köklərinin olub-olmadığını yoxlasanız, bunu etmək olduqca mümkündür, əks halda belə bölgü zamanı bu köklər itirilə bilər.

Bu paraqrafda toxunacağımız irrasional tənliklərin son çevrilməsi tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırmaqdır. Bu çevrilməni irrasional tənliklər üçün tipik adlandırmaq olar, çünki digər növ tənlikləri həll edərkən praktiki olaraq istifadə edilmir. Bu çevrilməni indiki məqalədə araşdırdığımız zaman artıq qeyd etdik. Bu çevrilmənin bir çox nümunəsi də var. Burada özümüzü təkrar etməyəcəyik, ancaq xatırladaq ki, ümumi vəziyyətdə bu çevrilmə ekvivalent deyil. Bu, kənar köklərin görünüşünə səbəb ola bilər. Buna görə də, əgər həll prosesi zamanı bu transformasiyaya müraciət etdiksə, aşkar edilmiş köklər onların arasında kənar köklərin olub-olmaması üçün yoxlanılmalıdır.

Kökləri itirmək haqqında

Tənliyi həll edərkən köklərin itirilməsinə nə səbəb ola bilər? Köklərin itirilməsinin əsas səbəbi OD-ni daraldan tənliyin çevrilməsidir. Bu məqamı başa düşmək üçün bir misala baxaq.

Gəlin irrasional tənliyi götürək , biz artıq cari məqalə çərçivəsində həll etdik. Biz bunu tənliyin aşağıdakı çevrilmələrini yerinə yetirməmək barədə xəbərdarlıqla həll etməyə başladıq

İlk çevrilmə tənlikdən keçiddir tənliyə – ODZ-ni daraldır. Həqiqətən, orijinal tənlik üçün ODZ (−∞, −3)∪[−1, +∞) , nəticədə yaranan tənlik üçün isə [−1, +∞) dir. Bu, (−∞, −3) intervalının nəzərdən keçirilməməsinə və nəticədə bu intervaldan tənliyin bütün köklərinin itirilməsinə səbəb olur. Bizim vəziyyətimizdə bu çevrilməni həyata keçirərkən tənliyin bütün kökləri itiriləcək, bunlardan ikisi və .

Beləliklə, tənliyin çevrilməsi OD-nin daralmasına səbəb olarsa, daralmanın baş verdiyi hissədə yerləşən tənliyin bütün kökləri itiriləcəkdir. Ona görə də biz DZ-ni daraldan islahatlara əl atmamağa çağırırıq. Bununla belə, bir xəbərdarlıq var.

Bu bənd ODZ-nin bir və ya bir neçə rəqəmlə daraldığı çevrilmələrə aiddir. Bir neçə fərdi nömrənin ODZ-dən çıxdığı ən tipik çevrilmə, tənliyin hər iki tərəfinin eyni ifadə ilə bölünməsidir. Aydındır ki, belə bir çevrilmə həyata keçirərkən, yalnız ODZ-ni daraldarkən çıxan bu sonlu ədədlər toplusuna daxil olan köklər itirilə bilər. Buna görə də, bu çoxluqdakı bütün nömrələri ayrıca yoxlasanız, onların arasında, məsələn, əvəzetmə yolu ilə həll olunan tənliyin köklərinin olub olmadığını yoxlasanız və tapılan kökləri cavaba daxil etsəniz, o zaman nəzərdə tutulan çevrilməni həyata keçirə bilərsiniz. köklərini itirmək qorxusu olmadan. Bunu bir misalla izah edək.

Əvvəlki paraqrafda artıq həll edilmiş irrasional tənliyi nəzərdən keçirək. Bu tənliyi yeni dəyişən daxil etməklə həll etmək üçün əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini 1+x-ə bölmək faydalıdır. Bu bölgü ilə −1 rəqəmi ODZ-dən düşür. Bu dəyəri ilkin tənliyə əvəz etmək səhv ədədi bərabərliyi () verir, bu o deməkdir ki, −1 tənliyin kökü deyil. Belə bir yoxlamadan sonra, kökünü itirməkdən qorxmadan nəzərdə tutulan bölməni etibarlı şəkildə həyata keçirə bilərsiniz.

Bu bəndin yekununda qeyd edirik ki, əksər hallarda irrasional tənliklərin həlli zamanı tənliyin hər iki tərəfinin eyni ifadə ilə bölünməsi, həmçinin köklərin xassələrinə əsaslanan çevrilmələr OD-nin daralmasına səbəb olur. Beləliklə, bu cür çevrilmələri həyata keçirərkən çox diqqətli olmalı və köklərin itirilməsinə icazə verməməlisiniz.

Kənar köklər və onların yoxlanılması üsulları haqqında

Çox sayda tənliklərin həlli tənliklərin çevrilməsi yolu ilə həyata keçirilir. Müəyyən çevrilmələr nəticə tənliklərinə gətirib çıxara bilər və nəticə tənliyinin həlləri arasında ilkin tənliyə yad köklər ola bilər. Kənar köklər orijinal tənliyin kökləri deyil, buna görə də cavabda görünməməlidir. Başqa sözlə, onlar alaq otlarından təmizlənməlidirlər.

Beləliklə, həll olunan tənliyin çevrilmə zəncirində ən azı bir nəticə tənliyi varsa, o zaman kənar kökləri aşkar etmək və süzmək üçün qayğı göstərməlisiniz.

Xarici kökləri aşkar etmək və yoxlamaq üsulları onların potensial görünüşünə səbəb olan səbəblərdən asılıdır. İrrasional tənlikləri həll edərkən kənar köklərin mümkün görünməsinin iki səbəbi var: birincisi, tənliyin çevrilməsi nəticəsində ODZ-nin genişlənməsi, ikincisi, tənliyin hər iki tərəfinin bərabər gücə qaldırılmasıdır. Müvafiq üsullara baxaq.

Onların mümkün görünüşünün səbəbi yalnız ODZ-nin genişlənməsi olduqda, kənar kökləri süzmək üsullarından başlayaq. Bu halda, kənar köklərin süzülməsi aşağıdakı üç yoldan biri ilə həyata keçirilir:

• ODZ-nin məlumatına görə. Bunun üçün orijinal tənlik üçün dəyişənin ODZ-si tapılır və tapılan köklərin mənsubiyyəti yoxlanılır. ODZ-yə aid olan köklər ilkin tənliyin kökləri, ODZ-yə aid olmayanlar isə orijinal tənlik üçün kənar köklərdir.
• ODZ şərtləri ilə. Orijinal tənlik üçün dəyişənin ODZ-ni təyin edən şərtlər yazılır və tapılan köklər bir-bir onlara əvəz edilir. Bütün şərtləri ödəyən köklər köklər, ən azı bir şərti təmin etməyənlər isə ilkin tənlik üçün kənar köklərdir.
• Orijinal tənliyə (və ya hər hansı ekvivalent tənliyə) əvəz etməklə. Tapılan köklər öz növbəsində ilkin tənliyə əvəz edilir, onların əvəzində tənlik düzgün ədədi bərabərliyə çevrilən köklər köklərdir, əvəzində mənası olmayan ifadə alınan köklərdir. , orijinal tənlik üçün kənar köklərdir.

Aşağıdakı irrasional tənliyi həll edərkən, hər biri haqqında ümumi bir fikir əldə etmək üçün göstərilən üsulların hər birini istifadə edərək kənar kökləri süzgəcdən keçirək.

Aydındır ki, bütün məlum üsullardan istifadə edərək hər dəfə kənar kökləri müəyyən edib alaq otlarından çıxarmayacağıq. Kənar kökləri çıxarmaq üçün hər bir konkret vəziyyətdə ən uyğun üsulu seçəcəyik. Məsələn, aşağıdakı nümunədə ODZ şərtləri ilə kənar kökləri süzmək ən əlverişlidir, çünki bu şərtlərdə ODZ-ni ədədi dəst şəklində tapmaq çətindir.

İndi kənar kökləri süzmək haqqında danışaq, irrasional tənliyin həlli tənliyin hər iki tərəfini bərabər gücə qaldırmaqla həyata keçirilir. Burada ODZ və ya ODZ şərtlərindən keçmək artıq kömək etməyəcək, çünki bu, başqa bir səbəbdən - tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltdiyimiz üçün yaranan kənar kökləri çıxarmağa imkan verməyəcəkdir. Niyə tənliyin hər iki tərəfi eyni bərabər gücə qaldırıldıqda kənar köklər yaranır? Bu vəziyyətdə kənar köklərin görünüşü ondan irəli gəlir ki, səhv ədədi bərabərliyin hər iki hissəsini eyni bərabər gücə qaldırmaq düzgün ədədi bərabərlik verə bilər. Məsələn, hər iki tərəfi kvadratlaşdırdıqdan sonra səhv ədədi 3=−3 bərabərliyi 9=9 ilə eyni olan düzgün ədədi bərabərlik 3 2 =(−3) 2 olur.

Tənliyin hər iki tərəfini eyni gücə qaldırarkən kənar köklərin görünməsinin səbəblərini anladıq. Bu vəziyyətdə kənar köklərin necə aradan qaldırıldığını göstərmək qalır. Skrininq əsasən tapılmış potensial kökləri orijinal tənliyə və ya ona ekvivalent olan hər hansı tənliyə əvəz etməklə həyata keçirilir. Bunu bir nümunə ilə nümayiş etdirək.

Ancaq tək bir radikal ilə irrasional tənliyin hər iki tərəfi eyni gücə qaldırıldığı hallarda kənar kökləri çıxarmağa imkan verən daha bir üsulu yadda saxlamağa dəyər. İrrasional tənlikləri həll edərkən , burada 2·k cüt ədəddir, tənliklərin hər iki tərəfini eyni gücə yüksəltməklə, kənar kökləri g(x)≥0 şərti ilə ayırmaq olar (yəni əslində irrasional tənliyi müəyyən etməklə həll etmək) kök). Bu üsul tez-tez əvəzetmə yolu ilə kənar kökləri süzgəcdən keçirərkən, mürəkkəb hesablamaları ehtiva etdiyi ortaya çıxdıqda köməyə gəlir. Aşağıdakı nümunə bunun yaxşı nümunəsidir.

Ədəbiyyat

1. Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumtəhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkoviç A.G. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 11-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumtəhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (profil səviyyəsi) / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 2-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorov.- 14-cü nəşr - M.: Təhsil, 2004. - 384 s.: xəstə. - ISBN 5-09-013651-3.
4. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; tərəfindən redaktə edilmiş A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 2010.- 368 s.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Riyaziyyat. Vahid Dövlət İmtahanı-2012 (C1, C3) səviyyəsinin artırılması. Tematik testlər. Tənliklər, bərabərsizliklər, sistemlər / red. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 s. - (Vahid Dövlət İmtahanına Hazırlıq) ISBN 978-5-91724-094-7
6. 2004-cü il məzunu. Riyaziyyat. Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün problemlər toplusu. Hissə 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

İrrasional tənlik kök işarəsi altında funksiyası olan hər hansı tənlikdir. Misal üçün:

Belə tənliklər həmişə 3 addımda həll olunur:

1. Kökü ayırın. Başqa sözlə, bərabər işarənin solunda, kökdən başqa, başqa rəqəmlər və ya funksiyalar varsa, bütün bunlar işarəni dəyişdirərək sağa köçürülməlidir. Bu vəziyyətdə, yalnız radikal solda qalmalıdır - heç bir əmsal olmadan.
2. 2. Tənliyin hər iki tərəfinin kvadratını çəkin. Eyni zamanda, kökün dəyərlərinin diapazonunun bütün mənfi olmayan ədədlər olduğunu xatırlayırıq. Buna görə də funksiya sağda irrasional tənlik həm də qeyri-mənfi olmalıdır: g(x) ≥ 0.
3. Üçüncü addım məntiqi olaraq ikincidən irəli gəlir: yoxlama aparmaq lazımdır. Fakt budur ki, ikinci addımda əlavə köklərə sahib ola bilərik. Və onları kəsmək üçün nəticədə çıxan namizəd nömrələrini orijinal tənliyə əvəz etməli və yoxlamaq lazımdır: düzgün ədədi bərabərlik həqiqətən əldə edilibmi?

İrrasional tənliyin həlli

Dərsin lap əvvəlində verilmiş irrasional tənliyimizə baxaq. Burada kök artıq təcrid olunub: bərabər işarənin solunda kökdən başqa heç nə yoxdur. Hər iki tərəfə kvadrat:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Yaranan kvadrat tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Yalnız bu nömrələri orijinal tənliyə əvəz etmək qalır, yəni. yoxlamanı həyata keçirin. Ancaq hətta burada da son qərarı sadələşdirmək üçün doğru şeyi edə bilərsiniz.

Həllini necə sadələşdirmək olar

Fikirləşək: niyə irrasional tənliyin həllinin sonunda yoxlama aparırıq? Biz əmin olmaq istəyirik ki, köklərimizi əvəz etdikdə bərabərlik işarəsinin sağında mənfi olmayan bir ədəd olacaq. Axı biz artıq dəqiq bilirik ki, solda qeyri-mənfi ədəd var, çünki arifmetik kvadrat kök (buna görə də tənliyimiz irrasional adlanır) tərifinə görə sıfırdan az ola bilməz.

Ona görə də yoxlamalı olduğumuz tək şey bərabər işarənin sağında olan g (x) = 5 − x funksiyasının mənfi olmadığıdır:

g(x) ≥ 0

Köklərimizi bu funksiyaya əvəz edirik və alırıq:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Əldə edilən dəyərlərdən belə çıxır ki, x 1 = 6 kökü bizə uyğun gəlmir, çünki orijinal tənliyin sağ tərəfini əvəz edərkən mənfi bir ədəd alırıq. Ancaq x 2 = −2 kökü bizim üçün olduqca uyğundur, çünki:

1. Bu kök hər iki tərəfi qaldırmaqla alınan kvadrat tənliyin həllidir irrasional tənlik kvadrata çevrilir.
2. Kök x 2 = −2 əvəz edildikdə, ilkin irrasional tənliyin sağ tərəfi müsbət ədədə çevrilir, yəni. arifmetik kökün dəyər diapazonu pozulmur.

Bütün alqoritm budur! Gördüyünüz kimi, radikallarla tənliklərin həlli o qədər də çətin deyil. Əsas odur ki, alınan kökləri yoxlamağı unutma, əks halda lazımsız cavabların alınması ehtimalı çox yüksəkdir.