Xətti müstəqil vektor nə deməkdir? Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi

Beləliklə, xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin tədqiqi problemi bu sistemin vektorlarından ibarət matrisin rütbəsinin tapılması məsələsinə endirilir.

Qeyd etmək lazımdır ki, p>n üçün vektorlar sistemi xətti asılı olacaqdır.

Şərh: A matrisini tərtib edərkən sistemin vektorlarını sətir kimi deyil, sütun kimi qəbul etmək olar.

Xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin öyrənilməsi alqoritmi.

Nümunələrdən istifadə edərək alqoritmə baxaq.

Xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin öyrənilməsi nümunələri.

Misal.

Vektorlar sistemi verilmişdir. Onu xətti asılılıq üçün yoxlayın.

Həll.

c vektoru sıfır olduğundan, vektorların ilkin sistemi üçüncü xassə görə xətti asılıdır.

Cavab:

Vektor sistemi xətti asılıdır.

Misal.

Xətti asılılıq üçün vektorlar sistemini nəzərdən keçirin.

Həll.

Qeyd etmək çətin deyil ki, c vektorunun koordinatları vektorun müvafiq koordinatlarının 3-ə vurulmasına bərabərdir, yəni . Beləliklə, vektorların orijinal sistemi xətti asılıdır.

Tərif 1. Vektorların xətti birləşməsi bu vektorların və skalyarların məhsullarının cəmidir:

Tərif 2. Vektorlar sistemi xətti asılı sistem adlanır, əgər onların xətti kombinasiyası (2.8) yox olarsa:

Üstəlik, nömrələr arasında sıfırdan fərqli ən azı biri var.

Tərif 3. Vektorların xətti müstəqil olduğu deyilir, əgər onların xətti birləşməsi (2.8) yalnız bütün ədədlər olduqda yox olur.

Bu təriflərdən aşağıdakı nəticələr əldə etmək olar.

Nəticə 1. Xətti asılı vektor sistemində ən azı bir vektor digərlərinin xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər.

Sübut. (2.9) təmin edilsin və müəyyənlik üçün əmsal olsun. Sonra bizdə: Qeyd edək ki, bunun əksi də doğrudur.

Nəticə 2.Əgər vektorlar sistemində sıfır vektor varsa, bu sistem (mütləq) xətti asılıdır - sübut göz qabağındadır.

Nəticə 3. Əgər arasında n istənilən növ vektorlar k() vektorları xətti asılıdır, onda hamısı budur n vektorlar xətti asılıdır (biz sübutu buraxacağıq).

2 0 . İki, üç və dörd vektorun xətti birləşmələri. Düz xəttdə, müstəvidə və fəzada vektorların xətti asılılıq və müstəqillik məsələlərini nəzərdən keçirək. Müvafiq teoremləri təqdim edək.

Teorem 1. İki vektorun xətti asılı olması üçün onların kollinear olması zəruri və kifayətdir.

Zərurət. Vektorlar xətti asılı olsun. Bu o deməkdir ki, onların xətti kombinasiyası = 0 və (müəyyənlik naminə). Bu bərabərliyi nəzərdə tutur və (vektoru ədədə vurmağın tərifinə görə) vektorlar kollineardır.

Adekvatlıq. Vektorlar kollinear (║) olsun (biz onların sıfır vektorundan fərqli olduğunu güman edirik; əks halda onların xətti asılılığı göz qabağındadır).

(2.7) teoreminə görə (bax §2.1, paraqraf 2 0) onda odur ki, və ya – xətti birləşmə sıfra bərabərdir, əmsal isə 1-ə bərabərdir – vektorlar və ya xətti asılıdır.

Bu teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə. Vektorlar kollinear deyilsə, onlar xətti müstəqildirlər.

Teorem 2. Üç vektorun xətti asılı olması üçün onların müştərək olması zəruri və kifayətdir.

Zərurət. Vektorlar və ya xətti asılı olsunlar. Onların koplanar olduğunu göstərək.

Vektorların xətti asılılığının tərifindən rəqəmlərin mövcudluğu və xətti birləşmə və eyni zamanda (xüsusi olmaq üçün) izlənir. Onda bu bərabərlikdən vektoru ifadə edə bilərik: =, yəni vektor bu bərabərliyin sağ tərəfindəki vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalına bərabərdir (şək. 2.6). Bu, vektorların eyni müstəvidə olması deməkdir.

Adekvatlıq. Vektorlar koplanar olsun. Onların xətti asılı olduğunu göstərək.

İstənilən vektor cütünün kollinearlığı halını istisna edək (çünki onda bu cüt xətti asılıdır və Nəticə 3-ə (bax. 1-ci bənd 0) hər üç vektor xətti asılıdır). Qeyd edək ki, bu fərziyyə bu üçü arasında sıfır vektorunun mövcudluğunu da istisna edir.

Üç koplanar vektoru bir müstəviyə köçürək və onları ümumi mənşəyə gətirək. Vektorun ucu ilə vektorlara paralel xətlər çəkirik; bu halda vektorları alırıq (şək. 2.7) - onların mövcudluğu vektorların fərziyyə ilə kollinear vektor olmaması ilə təmin edilir. Buradan =+ vektoru gəlir. Bu bərabərliyi (–1)++=0 şəklində yenidən yazaraq, vektorların və ya xətti asılı olduqları qənaətinə gəlirik.

Sübut edilmiş teoremdən iki nəticə çıxır.

Nəticə 1. Vektorlar qeyri-kollinear olsun, vektor vektorların təyin etdiyi müstəvidə yerləşən ixtiyari vektordur. Sonra belə rəqəmlər var

Nəticə 2. Vektorlar koplanar deyilsə, onlar xətti müstəqildirlər.

Teorem 3. İstənilən dörd vektor xətti asılıdır.

Biz sübutu buraxacağıq; bəzi dəyişikliklərlə Teorem 2-nin sübutunu köçürür. Gəlin bu teoremdən nəticə çıxaraq.

Nəticə. Hər hansı qeyri-komplanar vektorlar və hər hansı bir vektor üçün

Şərh. (Üç ölçülü) fəzada vektorlar üçün xətti asılılıq və müstəqillik anlayışları yuxarıda 1-3-cü teoremlərdən aşağıdakı kimi sadə həndəsi məna daşıyır.

İki xətti asılı vektor olsun və. Bu vəziyyətdə onlardan biri ikincinin xətti birləşməsidir, yəni ondan sadəcə ədədi amil ilə fərqlənir (məsələn,). Həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, hər iki vektor ümumi xətt üzərindədir; eyni və ya əks istiqamətə malik ola bilərlər (şək. 2.8 xx).

Əgər iki vektor bir-birinə bucaq altında yerləşirsə (şəkil 2.9 xx), onda bu halda onlardan birini digərini ədədə vurmaqla əldə etmək olmaz - belə vektorlar xətti müstəqildir. Nəticə etibarilə, iki vektorun xətti müstəqilliyi o deməkdir ki, bu vektorlar bir düz xətt üzərində qoyula bilməz.

Üç vektorun xətti asılılığının və müstəqilliyinin həndəsi mənasını öyrənək.

Vektorlar xətti asılı olsun və vektor vektorların xətti kombinasiyası olsun, yəni və vektorları olan müstəvidə yerləşsin. Bu, vektorların eyni müstəvidə olması deməkdir. Əks ifadə də doğrudur: vektorlar və vektorlar eyni müstəvidə yerləşirlərsə, deməli, onlar xətti asılıdırlar.

Beləliklə, vektorlar yalnız və yalnız eyni müstəvidə yer almadıqda xətti müstəqildirlər.

3 0 . Əsas anlayışı. Xətti və vektor cəbrində ən mühüm anlayışlardan biri əsas anlayışıdır. Bəzi tərifləri təqdim edək.

Tərif 1. Bu cütün hansı vektorunun birinci, hansının ikincisi olduğu müəyyən edilərsə, bir cüt vektor sıralı adlanır.

Tərif 2. Qeyri-kollinear vektorların sıralı cütü verilmiş vektorlarla müəyyən edilmiş müstəvidə bazis adlanır.

Teorem 1. Təyyarədəki hər hansı bir vektor əsas vektorlar sisteminin xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər:

və bu təmsil yeganədir.

Sübut. Vektorlar əsas təşkil etsin. Onda istənilən vektor formada təmsil oluna bilər.

Unikallığı sübut etmək üçün fərz edək ki, daha bir parçalanma var. Sonra = 0-a sahibik və fərqlərdən ən azı biri sıfırdan fərqlidir. Sonuncu vektorların xətti asılı, yəni kollinear olması deməkdir; bu, onların əsas təşkil etdiyi ifadəsinə ziddir.

Ancaq sonra yalnız parçalanma var.

Tərif 3. Hansı vektorun birinci, hansının ikinci, hansının üçüncü olduğu göstərilibsə, vektorların üçlüyü sıralı adlanır.

Tərif 4. Koplanar olmayan vektorların sifarişli üçlüyü fəzada bazis adlanır.

Parçalanma və unikallıq teoremi burada da qüvvədədir.

Teorem 2. İstənilən vektor vektorların əsas sisteminin xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər:

və bu təmsil unikaldır (teoremin sübutunu buraxacağıq).

Genişlənmələrdə (2.12) və (2.13) kəmiyyətlər verilmiş əsasda vektor koordinatları adlanır (daha dəqiq desək, afin koordinatlar).

Sabit əsasla yazıla bilər.

Məsələn, əsas verilirsə və o verilirsə, bu, təmsilin (parçalanmanın) baş verməsi deməkdir.

4 0 . Koordinat şəklində vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar. Bazanın tətbiqi vektorlar üzərində xətti əməliyyatları ədədlər üzərində adi xətti əməliyyatlarla - bu vektorların koordinatları ilə əvəz etməyə imkan verir.

Bir qədər əsas verilsin. Aydındır ki, bu əsasda vektor koordinatlarının dəqiqləşdirilməsi vektorun özünü tamamilə müəyyən edir. Aşağıdakı təkliflər tətbiq olunur:

a) iki vektor bərabərdir o halda və yalnız onların müvafiq koordinatları bərabərdir:

b) vektoru ədədə vurarkən onun koordinatları bu ədədə vurulur:

c) vektorlar əlavə edilərkən onların müvafiq koordinatları əlavə edilir:

Bu xüsusiyyətlərin dəlillərini buraxacağıq; Yalnız misal olaraq b) xassəsini sübut edək. bizdə var

Şərh. Kosmosda (təyyarədə) sonsuz sayda baza seçə bilərsiniz.

Bir bazisdən digərinə keçidə misal verək və müxtəlif əsaslarda vektor koordinatları arasında əlaqələr quraq.

Misal 1. Əsas sistemdə üç vektor müəyyən edilir:, və. Əsasda vektorun parçalanması var. Bazada vektorun koordinatlarını tapın.

Həll. Genişləndirmələrimiz var:,,; buna görə də =+2+= =, yəni əsasda.

Misal 2. Hər hansı bir əsasda dörd vektor koordinatları ilə müəyyən edilsin:,, və.

Vektorların əsas təşkil edib-etmədiyini öyrənin; cavab müsbət olarsa, bu əsasda vektorun parçalanmasını tapın.

Həll. 1) vektorlar xətti müstəqil olduqda əsas təşkil edir. vektorların() xətti kombinasiyasını yaradaq və onun hansı nöqtədə sıfıra çevrildiyini öyrənək: = 0. Bizdə:

Koordinat şəklində vektorların bərabərliyini təyin etməklə aşağıdakı (xətti bircins cəbr) tənliklər sistemini əldə edirik: ;;, determinantı = 1, yəni sistemin (yalnız) mənasız həlli var. Bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir, buna görə də onlar əsas təşkil edirlər.

2) bu əsasda vektoru genişləndirin. Bizdə: = və ya koordinat şəklində.

Koordinat şəklində vektorların bərabərliyinə keçərək xətti qeyri-bərabər cəbri tənliklər sistemini əldə edirik: ;;. Onu həll etməklə (məsələn, Kramer qaydasından istifadə etməklə) əldə edirik:,, və (). Bazada vektor genişlənməsi var: =.

5 0 . Vektorun oxa proyeksiyası. Proyeksiyaların xassələri. Bir az ox olsun l, yəni üzərində seçilmiş istiqaməti olan düz xətt və hansı vektor verilsin.Vektorun ox üzərində proyeksiyası anlayışını müəyyən edək. l.

Tərif. Proyeksiya vektor oxu l bu vektorun modulu ilə ox arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə deyilir l və vektor (Şəkil 2.10):

Bu tərifin nəticəsi bərabər vektorların bərabər proyeksiyalarına (eyni oxda) malik olması ifadəsidir.

Proyeksiyaların xüsusiyyətlərini qeyd edək.

1) vektorların cəminin hansısa oxa proyeksiyası l vektorların şərtlərinin eyni oxa proyeksiyalarının cəminə bərabərdir:

2) skalyarın hasilinin vektorla proyeksiyası bu skalyarın vektorun eyni oxa proyeksiyası ilə hasilinə bərabərdir:

Nəticə. Vektorların xətti birləşməsinin oxa proyeksiyası onların proyeksiyalarının xətti birləşməsinə bərabərdir:

Biz xassələrin sübutlarını buraxacağıq.

6 0 . Kosmosda düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi.Oxların vahid vektorlarında vektorun parçalanması.Əsas kimi üç qarşılıqlı perpendikulyar vahid vektor seçilsin; Onlar üçün xüsusi qeydlər təqdim edirik. Başlanğıclarını bir nöqtəyə yerləşdirməklə O, koordinat oxlarını onlar boyunca istiqamətləndirək (vahid vektorlarına uyğun olaraq) öküz,ay və O z(müsbət istiqaməti, mənşəyi və üzərində seçilmiş uzunluq vahidi olan ox koordinat oxu adlanır).

Tərif. Ümumi mənşəli və ümumi uzunluq vahidi olan üç qarşılıqlı perpendikulyar koordinat oxundan ibarət nizamlı sistem fəzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi adlanır.

ox öküz absis oxu adlanır, ay– ordinat oxu uO z – ox aplikatoru.

Baza görə ixtiyari vektorun genişlənməsi ilə məşğul olaq. Teoremdən (bax §2.2, paraqraf 3 0, (2.13)) belə çıxır ki, o, əsas üzərində unikal şəkildə genişləndirilə bilər (burada qeyd koordinatı əvəzinə istifadə edirik):

(2.21)-də mahiyyət vektorun (kartezian düzbucaqlı) koordinatlarıdır. Dekart koordinatlarının mənası aşağıdakı teoremlə müəyyən edilir.

Teorem. Vektorun kartezian düzbucaqlı koordinatları bu vektorun müvafiq olaraq oxlar üzrə proyeksiyalarıdır. öküz,ay və O z.

Sübut. Vektoru koordinat sisteminin başlanğıcına - nöqtəyə yerləşdirək O. Sonra onun sonu müəyyən bir nöqtə ilə üst-üstə düşəcək.

Koordinat müstəvilərinə paralel nöqtədən üç müstəvi çəkək Oyz,Oxz Və Oksi(Şəkil 2.11 xx). Sonra alırıq:

(2.22)-də vektorlar oxlar boyu vektorun komponentləri adlanır öküz,ay və O z.

Vahid vektorlu vektorun yaratdığı bucaqları müvafiq olaraq u işarə edək. Sonra komponentlər üçün aşağıdakı düsturları alırıq:

= =, = =, = =(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) bəndlərindən tapırıq:

– vektor koordinatları bu vektorun koordinat oxlarına proyeksiyasıdır öküz,ay və O z müvafiq olaraq.

Şərh. Rəqəmlərə vektorun istiqamət kosinusları deyilir.

Vektor modulu (düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı) düsturla hesablanır:

(2.23) və (2.24) düsturlarından belə çıxır ki, istiqamət kosinusları düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər:

(2.25)-dəki bərabərliklərin hər iki tərəfini yuxarı qaldıraraq və nəticədə yaranan bərabərliklərin sol və sağ tərəflərini müddətə əlavə edərək düstura gəlirik:

– fəzada hər hansı üç bucaq deyil, yalnız kosinusları əlaqə ilə əlaqəli olanlar (2.26) müəyyən bir istiqamət təşkil edir.

7 0 . Radius vektoru və nöqtə koordinatları.Bir vektorun başlanğıcına və sonuna görə təyin edilməsi. Bir tərif təqdim edək.

Tərif. Radius vektoru (işarə edilmiş) koordinatların başlanğıcını birləşdirən vektordur O bu nöqtə ilə (Şəkil 2.12 xx):

Kosmosdakı istənilən nöqtə müəyyən bir radius vektoruna uyğun gəlir (və əksinə). Beləliklə, fəzadakı nöqtələr vektor cəbrində radius vektorları ilə təmsil olunur.

Aydındır ki, nöqtənin koordinatları M onun radius vektor koordinat oxlarının proyeksiyalarıdır:

və beləliklə,

– nöqtənin radius vektoru koordinat oxları üzrə proyeksiyaları bu nöqtənin koordinatlarına bərabər olan vektordur. Bu, iki girişə səbəb olur: və.

Vektorun başlanğıcının - nöqtəsinin və son nöqtəsinin koordinatlarından onun proyeksiyalarını hesablamaq üçün düsturları alaq.

Radius vektorlarını və vektorunu çəkək (şək. 2.13). Bunu anlayırıq

– vektorun koordinat vahidi vektorlarına proyeksiyaları vektorun sonu və başlanğıcının müvafiq koordinatları arasındakı fərqə bərabərdir.

8 0 . Dekart koordinatları ilə bağlı bəzi məsələlər.

1) vektorların kollinearlığı üçün şərtlər . Teoremdən (bax §2.1, paraqraf 2 0, düstur (2.7)) belə çıxır ki, vektorların kollinearlığı üçün aşağıdakı əlaqənin olması zəruri və kifayətdir: = təmin olunsun. Bu vektor bərabərliyindən koordinat şəklində üç bərabərlik əldə edirik: koordinat şəklində vektorların kollinearlığı şərtini nəzərdə tutur:

– vektorların kollinearlığı üçün onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdir.

2) nöqtələr arasındakı məsafə . Təqdimatdan (2.29) belə çıxır ki, nöqtələr arasındakı məsafə düsturla müəyyən edilir

3) seqmentin verilmiş nisbətdə bölünməsi . Xallar və əlaqələr verilsin. Biz nöqtənin koordinatlarını tapmalıyıq M (Şəkil 2.14).

Vektorların kollinearlıq şərtindən əldə edirik: , haradan

(2.32)-dən koordinat şəklində alırıq:

(2.32') düsturlarından seqmentin orta nöqtəsinin koordinatlarını hesablamaq üçün düsturlar əldə edə bilərik, fərz edirik:

Şərh. İstiqamətinin seqmentin əvvəlindən sonuna qədər olan istiqamətlə üst-üstə düşməsindən asılı olaraq seqmentləri müsbət və ya mənfi hesab edəcəyik, ya da uyğun gəlmir. Sonra (2.32) – (2.32”) düsturlarından istifadə edərək seqmenti xaricə bölən nöqtənin koordinatlarını tapa bilərsiniz, yəni bölmə nöqtəsi M seqmentin daxilində deyil, davamında yerləşir. Eyni zamanda, əlbəttə.

4) sferik səth tənliyi . Sferik səth - hansısa sabit mərkəzdən bərabər məsafədə olan nöqtələrin həndəsi yeri - nöqtə üçün tənlik yaradaq. Aydındır ki, bu halda (2.31) düsturu nəzərə alınmaqla

Tənlik (2.33) istənilən sferik səthin tənliyidir.

Gəlin xətti fəzaların xassələrinin təsvirinə keçək. Bunlara ilk növbədə onun elementləri arasındakı əlaqələr daxildir.

Xətti birləşmə həqiqi ədədlər sahəsi üzərində elementlər R element adlanır

Tərif. Elementlər toplusu bərabərlikdən asılı olmayaraq xətti müstəqil adlanır

bundan mütləq nəticə çıxır ki, . Aydındır ki, elementlərin hər hansı bir hissəsi də xətti müstəqildir. Əgər, ən azı biri, onda çoxluğun xətti asılı olduğu deyilir.

MisalIII.6. vektor çoxluğu verilsin. Vektorlardan biri, məsələn, belə bir vektor sistemi xətti asılıdır. Əslində,,, ...,,, ..., çoxluğu xətti müstəqil olsun, onda bərabərlikdən belə çıxır ki.

Bu çoxluğa vurulan vektoru əlavə etsək, yenə də bərabərliyi əldə edirik

Nəticə etibarı ilə vektorlar çoxluğu, eləcə də sıfır elementi olan hər hansı digər elementlər həmişə ▼ xətti asılıdır.

Şərh. Vektorlar çoxluğu boşdursa, o, xətti müstəqildir. Əslində, indekslər yoxdursa, onda sıfıra bərabər olmayan onlara uyğun ədədləri seçmək mümkün deyil ki, formanın cəmi (III.2) 0-a bərabər olsun. Xətti müstəqilliyin bu şərhi ola bilər. sübut kimi qəbul edilir, xüsusən belə nəticə 11 nəzəriyyəsi ilə yaxşı uyğunluq təşkil edir.

Yuxarıda göstərilənlərlə əlaqədar olaraq, xətti müstəqilliyin tərifini aşağıdakı kimi tərtib etmək olar: elementlər toplusu, hansının indeksi yoxdursa, xətti müstəqildir. Xüsusilə, bu dəst boş ola bilər.

MisalIII.7. İstənilən iki hərəkət edən vektor xətti asılıdır. Xatırladaq ki, sürüşən vektorlar eyni xətt üzərində yerləşən vektorlardır. Vahid vektor götürərək, müvafiq real ədədə, yəni və ya vurmaqla istənilən başqa vektoru əldə edə bilərsiniz. Nəticə etibarilə, birölçülü fəzada istənilən iki vektor xətti asılıdır.

MisalIII.8. Çoxhədlilərin fəzasını nəzərdən keçirək, burada ,,,. Gəlin onu yazaq

Fərz edək ki, ,,, ilə eyni şəkildə əldə edirik t

yəni çoxluq xətti asılıdır. Qeyd edək ki, formanın istənilən sonlu çoxluğu xətti müstəqildir. Bunu sübut etmək üçün işi nəzərdən keçirin, sonra bərabərlikdən

onun xətti asılılığının fərziyyəsi halında, bütün ədədlərin sıfıra bərabər olmadığı nəticə çıxaracaq.  1 ,  2 ,  3, hər hansı (III.3) üçün eynidir, lakin bu, cəbrin əsas teoreminə ziddir: istənilən çoxhədli n-ci dərəcədən çox deyil nəsl köklər. Bizim vəziyyətimizdə bu tənliyin sonsuz sayda deyil, yalnız iki kökü var. Bir ziddiyyətimiz var.

§ 2. Xətti birləşmələr. Əsaslar

Qoy . Nə olduğunu deyək xətti birləşmə elementləri.

TeoremIII.1 (əsas). Sıfırdan fərqli elementlər dəsti o halda xətti asılıdır və yalnız bəzi element əvvəlki elementlərin xətti birləşməsidir.

Sübut. Zərurət. Fərz edək ki, ,, ..., elementləri xətti asılıdır və ,, ..., elementlərinin xətti asılı olduğu birinci natural ədəd olsun, onda

hamısı sıfıra bərabər deyil və mütləq (əks halda bu əmsal olacaq, bu deyilənlərə zidd olacaq). Buradan xətti birləşmə əldə edirik

Adekvatlıq aydındır, çünki xətti asılı çoxluğu ehtiva edən hər bir çoxluq özü xətti asılıdır ▼.

Tərif. Xətti fəzanın əsası (koordinat sistemi). L dəst adlanır A xətti müstəqil elementlər, belə ki, hər bir element L-dən olan elementlərin xətti birləşməsidir A, 11.

Sonlu ölçülü xətti fəzaları nəzərdən keçirəcəyik.

MisalIII.9. Üçölçülü vektor fəzasını nəzərdən keçirək. Vahid vektorları götürək,,. Onlar əsas təşkil edir.

Vektorların xətti müstəqil olduğunu göstərək. Əslində bizdə var

və ya . Buradan vektoru ədədə vurmaq və vektorları toplamaq qaydalarına əsasən (misal III.2) alırıq.

Buna görə də, ,,▼.

Kosmosun ixtiyari vektoru olsun, onda xətti fəzanın aksiomlarına əsaslanaraq əldə edirik

Oxşar mülahizə əsası olan boşluq üçün etibarlıdır, . Əsas teoremdən belə çıxır ki, ixtiyari sonlu ölçülü xətti fəzada L istənilən element onun əsas elementlərinin xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər,, ...,, yəni

Üstəlik, belə bir parçalanma unikaldır. Əslində bizdə olsun

sonra çıxdıqdan sonra alırıq

Beləliklə, elementlərin müstəqilliyinə görə,

Yəni ▼.

TeoremIII.2 (əsas əlavə haqqında). Sonlu ölçülü xətti fəza olsun və xətti müstəqil elementlərin müəyyən dəsti olsun. Əgər onlar əsas təşkil etmirsə, onda elə elementlər tapmaq olar ki,,...,, elementlər çoxluğu əsas təşkil edir. Yəni xətti fəzanın hər bir xətti müstəqil elementlər toplusu baza ilə tamamlana bilər.

Sübut. Kosmos sonlu ölçülü olduğundan, məsələn, -dən ibarət əsası var n elementlər, elementlər olsun. Bir çox elementi nəzərdən keçirək.

Əsas teoremi tətbiq edək. Elementlərin sırasına görə dəsti nəzərdən keçirin A. Elementlərdən hər hansı biri xətti birləşmə olduğu üçün açıq şəkildə xətti asılıdır. ,, ..., elementləri xətti müstəqil olduğundan, birinci element görünənə qədər ardıcıl olaraq ona elementlər əlavə edin, məsələn, bu çoxluğun əvvəlki vektorlarının xətti birləşməsi olacaq, yəni. Bu elementin dəstdən çıxarılması A, alacağıq. Bu dəstdə daha çox olmayana qədər bu proseduru davam etdiririk n xətti müstəqil elementlər, bunların arasında bütün elementlər ,, ..., və n-m elementlərdən. Nəticə dəsti əsas olacaq ▼.

MisalIII.10. , və vektorlarının xətti asılı çoxluq təşkil etdiyini və onlardan hər üçünün xətti müstəqil olduğunu sübut edin.

Göstərək ki, sıfıra bərabər olan bütün ədədlər yoxdur

Əslində, bizdə var

Xətti əlaqə sübut edilmişdir. Göstərək ki, vektorların üçlüyü, məsələn, ,,, əsas təşkil edir. Gəlin bərabərlik yaradaq

Vektorlarla əməliyyatlar apararaq, alırıq

Son bərabərliyin sağ və sol tərəflərində müvafiq koordinatları bərabərləşdirərək, tənliklər sistemini əldə edirik , onu həll edərək əldə edirik.

Oxşar mülahizə ,,ya,,, vektorlarının qalan üçlükləri üçün etibarlıdır.

TeoremIII.3 (fəzanın ölçüsü haqqında). Sonlu ölçülü xətti fəzanın bütün əsasları L eyni sayda əsas elementlərdən ibarətdir.

Sübut. İki dəst verilsin, burada;,. Onların hər birinə əsası müəyyən edən iki xassədən birini təyin edirik: 1) çoxluğun elementləri vasitəsilə A hər hansı elementlər L, 2) çoxluğun elementləri B xətti müstəqil çoxluğu təmsil edir, lakin mütləq hamısını deyil L. Elementlərin olduğunu fərz edəcəyik A Və Bəmr etdi.

Seti nəzərdən keçirin A və onun elementlərinə tətbiq edilir m bir dəfə əsas teoremdən metod. Elementlərdən bəri B xətti müstəqildirlər, onda biz yenə də xətti asılı çoxluq əldə edirik

Əslində, əgər , onda nəticə xətti müstəqil çoxluq olacaq və qalan n dəstin elementləri B onlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunacaq, bu qeyri-mümkündür, yəni . Lakin bu da ola bilməz, çünki konstruksiyaya görə çoxluq (III.4) çoxluğun bazisi xüsusiyyətinə malikdir A. Çünki boşluq L sonlu ölçülüdür, onda yalnız , yəni fəzanın iki fərqli əsası qalır L eyni sayda elementdən ibarətdir ▼.

Nəticə.İstəniləndə n-ölçülü xətti fəza () sonsuz sayda əsas tapmaq olar.

Sübut xətti (vektor) fəzanın elementlərinin ədədə vurulması qaydasından irəli gəlir.

Tərif. Xətti fəzanın ölçüsü L onun əsasını təşkil edən elementlərin sayıdır.

Tərifdən belə çıxır ki, boş elementlər çoxluğu - mənasız xətti fəza - 0 ölçüsünə malikdir, qeyd olunduğu kimi, xətti asılılıq terminologiyasını əsaslandırır və bildirməyə imkan verir: n-ölçülü fəzanın ölçüsü var n, .

Beləliklə, deyilənləri yekunlaşdıraraq, hər bir dəsti əldə edirik n+1 element n-ölçülü xətti fəza xətti asılı; çoxlu n xətti fəzanın elementləri yalnız və xətti müstəqil olduqda (və ya fəzanın hər bir elementi onun əsasının elementlərinin xətti birləşməsidir) əsasdır; istənilən xətti fəzada əsasların sayı sonsuzdur.

MisalIII.11 (Kroneker-Kapelli teoremi).

Xətti cəbri tənliklər sistemimiz olsun

Harada A – sistem əmsallarının matrisi,  sistem əmsallarının genişləndirilmiş matrisi

Harada, (III.6)

bu qeyd tənliklər sisteminə (III.5) ekvivalentdir.

TeoremIII.4 (Kronecker – Capelli). Xətti cəbri tənliklər sistemi (III.5) o zaman uyğundur ki, A matrisinin dərəcəsi matrisin dərəcəsinə bərabər olsun, yəni.

Sübut.Zərurət. (III.5) sistemi ardıcıl olsun, onda onun həlli var: ,,. (III.6) nəzərə alınmaqla, lakin bu halda vektorların xətti kombinasiyası var,,...,. Buna görə, vektorlar çoxluğu vasitəsilə,,, ..., hər hansı vektordan. Bu o deməkdir ki.

Adekvatlıq. Qoy . Gəlin,,,...,-dan hər hansı əsası seçək, onda o, bazis vasitəsilə xətti olaraq (bu, ya bütün vektorlar, ya da onların bir hissəsi ola bilər) və beləliklə, bütün vektorlar vasitəsilə ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, tənliklər sistemi ardıcıldır ▼.

Gəlin nəzərdən keçirək n-ölçülü xətti fəza L. Hər bir vektor xətti kombinasiya ilə təmsil oluna bilər, burada dəst əsas vektorlardan ibarətdir. Xətti birləşməni formada yenidən yazaq və elementlər və onların koordinatları arasında bir-bir yazışma quraq.

Bu o deməkdir ki, arasında n-üst vektorların ölçülü xətti vektor fəzası n Həqiqi ədədlərin -ölçülü sahəsi birə bir uyğunluq yaradır.

Tərif. Eyni skalyar sahə üzərində iki xətti boşluq izomorf , əgər onların elementləri arasında təkbətək yazışma qurmaq olarsa f, belə ki

yəni izomorfizm bütün xətti əlaqələri saxlayan tək-tək uyğunluq kimi başa düşülür. Aydındır ki, izomorf boşluqlar eyni ölçüyə malikdir.

İzomorfizm nümunəsindən və tərifindən belə çıxır ki, xətti problemlərin öyrənilməsi baxımından izomorf fəzalar eynidir, buna görə də formal olaraq əvəzinən-ölçülü xətti fəzaLsahənin üstündə, yalnız sahə öyrənilə bilər.

Skayarların sahəsi, F isə onun əsas çoxluğu olsun. - -ölçülü arifmetik fəza üzərində - fəzanın vektorlarının ixtiyari sistemi olsun

TƏrif. Vektorlar sisteminin xətti kombinasiyası formanın cəmidir, burada . Skalara xətti birləşmə əmsalları deyilir. Xətti birləşmə, əmsallarından ən azı biri sıfırdan fərqli olduqda qeyri-trivial adlanır. Xətti birləşmə, bütün əmsalları sıfırdırsa, trivial adlanır.

TƏrif. Sistemin vektorlarının bütün xətti kombinasiyalarının çoxluğu bu sistemin xətti diapazonu adlanır və ilə işarələnir. Boş sistemin xətti diapazonu sıfır vektorundan ibarət çoxluq hesab olunur.

Beləliklə, tərifə görə,

Bu vektorlar sisteminin xətti gövdəsinin vektorların əlavə edilməsi, vektorların çıxılması və vektorların skalyarlara vurulması əməliyyatları ilə bağlı qapalı olduğunu görmək asandır.

TƏrif. Əgər hər hansı skalyar üçün bərabərliklər əmələ gəlirsə, vektorlar sistemi xətti müstəqil adlanır. Boş vektor sistemi

xətti müstəqil hesab olunur.

Başqa sözlə desək, sonlu vektor sistemi o halda xətti müstəqildir ki, sistemin vektorlarının hər bir qeyri-trivial xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabər olmasın.

TƏrif. Hamısı sıfıra bərabər olmayan skalerlər varsa, vektorlar sistemi xətti asılı adlanır.

Başqa sözlə, sistemin vektorlarının sıfır vektoruna bərabər olan qeyri-trivial xətti kombinasiyası varsa, sonlu vektorlar sistemi xətti asılı deyilir.

Vektor sistemi

vektor fəzasında vahid vektorlar sistemi adlanır.Bu vektorlar sistemi xətti müstəqildir. Həqiqətən, hər hansı bir skalyar üçün bərabərlik bərabərlik və deməli, bərabərlikdən sonra gəlir

Vektorlar sisteminin xətti asılılıq və müstəqillik xassələrini nəzərdən keçirək.

XÜSUSİYYƏTLƏRİ 1.1. Sıfır vektoru olan vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Sübut. Vektorlar sistemində vektorlardan biri, məsələn, sıfır vektordursa, at əmsalı istisna olmaqla, bütün əmsalları sıfır olan sistemin vektorlarının xətti birləşməsi sıfıra bərabərdir. vektor. Nəticə etibarı ilə belə vektorlar sistemi xətti asılıdır.

ƏMLAK 1.2. Vektorlar sistemi, onun alt sistemlərindən hər hansı biri xətti asılı olarsa, xətti asılıdır.

Sübut. Sistemin xətti asılı alt sistemi olsun və əmsallardan ən azı biri sıfırdan fərqli olsun. Deməli, vektorlar sistemi xətti asılıdır.

ARAŞDIRMA. Xətti müstəqil sistemin istənilən alt sistemi xətti müstəqildir.

ƏMLAK 1.3. Vektor sistemi

vektorlardan ən azı biri əvvəlki vektorların xətti kombinasiyası olduqda xətti asılı olur.

Sübut. Qoy sistem (1) xətti asılı olsun və onda hamısı sıfıra bərabər olmayan skalerlər var ki,

Şərti ödəyən ən böyük ədədi k ilə işarə edək.Onda bərabərlik (2) şəklində yazıla bilər.

Nəzərə alın ki, əks halda, çünki . (3) dən bərabərlik gəlir

İndi fərz edək ki, vektor özündən əvvəlki vektorların xətti kombinasiyasıdır, yəni sonra , yəni (1) sisteminin alt sistemi xətti asılıdır. Buna görə də, 1.2 xüsusiyyətinə görə, ilkin sistem (1) də xətti asılıdır.

ƏMLAK 1.4. Əgər vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə və vektorlar sistemi

xətti asılıdır, onda v vektoru vektorlar vasitəsilə xətti olaraq ifadə edilir

və yeganə şəkildə.

Sübut. Şərtə görə, sistem (2) xətti asılıdır, yəni hamısı sıfıra bərabər olmayan skalerlər var ki,

Üstəlik, bunun üçün sistemin xətti müstəqilliyinə ziddir (1). (3) dən bərabərlik gəlir

(1) sisteminin xətti müstəqilliyinə görə bundan belə çıxır

ƏMLAK 1.5. Əgər

Sübut. Şərt o deməkdir ki, belə skalyarlar var

Şərt o deməkdir ki, belə skalyarlar mövcuddur

(1) və (2) əsasında biz əldə edirik

TEOREM 1.2. Əgər

onda vektorlar sistemi xətti asılı olur. Sübut (induksiya ilə həyata keçirilir).

Vektorlar sisteminin xətti asılı olub olmadığını yoxlamaq üçün bu vektorların xətti kombinasiyasını tərtib etmək və ən azı bir əmsal sıfıra bərabər olduqda onun sıfır ola biləcəyini yoxlamaq lazımdır.

Hal 1. Vektorlar sistemi vektorlarla verilir

Xətti birləşmənin yaradılması

Homojen tənliklər sistemi əldə etdik. Əgər onun sıfırdan fərqli həlli varsa, onda determinant sıfıra bərabər olmalıdır. Determinant tərtib edək və onun qiymətini tapaq.

Determinant sıfırdır, buna görə vektorlar xətti asılıdır.

Hal 2. Vektorlar sistemi analitik funksiyalarla müəyyən edilir:

a) eynilik doğrudursa, sistem xətti asılıdır.

Xətti birləşmə yaradaq.

Bu ifadənin sıfıra bərabər olduğu a, b, c (ən azı biri sıfıra bərabər olmayan) var olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Hiperbolik funksiyaları yazaq

onda vektorların xətti birləşməsi formanı alacaq:

Harada, götürək, məsələn, onda xətti birləşmə sıfırdır, buna görə də sistem xətti asılıdır.

Cavab: sistem xətti asılıdır.

b) , xətti kombinasiya edək

X-in istənilən dəyəri üçün vektorların xətti birləşməsi sıfıra bərabər olmalıdır.

Xüsusi halları yoxlayaq.

Vektorların xətti birləşməsi yalnız bütün əmsallar sıfıra bərabər olduqda sıfıra bərabərdir.

Buna görə də sistem xətti müstəqildir.

Cavab: sistem xətti müstəqildir.

5.3. Bəzi əsas tapın və xətti həll fəzasının ölçüsünü təyin edin.

Genişlənmiş matrisi yaradaq və onu Qauss metodundan istifadə edərək trapesiya formasına gətirək.

Bəzi əsas əldə etmək üçün ixtiyari dəyərləri əvəz edək:

Qalan koordinatları əldə edək

5.4. X vektoru bazisdə verilmişdirsə, onun koordinatlarını tapın.

Yeni əsasda vektor koordinatlarının tapılması tənliklər sisteminin həllinə gəlir

Metod 1. Keçid matrisindən istifadə edərək tapmaq

Keçid matrisini yaradaq

Düsturdan istifadə edərək yeni əsasda vektoru tapaq

Gəlin tərs matrisi tapıb vurmanı yerinə yetirək

Metod 2. Tənliklər sistemi quraraq tapmaq.

Bazis əmsallarından bazis vektorlarını tərtib edək

Yeni əsasda vektorun tapılması formaya malikdir

Harada d bu verilmiş vektordur x.

Alınan tənlik istənilən şəkildə həll edilə bilər, cavab oxşar olacaq.

Cavab: vektor yeni əsasda.

5.5. Qoy x = olsun (x 1 , x 2 , x 3 ) . Aşağıdakı çevrilmələr xəttidir?

Verilmiş vektorların əmsallarından xətti operatorların matrislərini tərtib edək.

Hər bir xətti operator matrisi üçün xətti əməliyyatların xassəsini yoxlayaq.

Matrisi vuraraq sol tərəfi tapırıq A vektor etmək

Verilmiş vektoru skalara vuraraq sağ tərəfi tapırıq.

Görürük ki, bu çevrilmənin xətti olmadığı anlamına gəlir.

Digər vektorları yoxlayaq.

Transformasiya xətti deyil.

Transformasiya xəttidir.

Cavab: Oh- xətti çevrilmə deyil, In- xətti deyil, Cx- xətti.

Qeyd. Verilmiş vektorlara diqqətlə baxaraq bu tapşırığı daha asan yerinə yetirə bilərsiniz. IN Oh elementləri olmayan terminlərin olduğunu görürük X, xətti əməliyyat nəticəsində əldə edilə bilməyən. IN In element var Xüçüncü həddə, onu da vektora vurmaqla əldə etmək mümkün deyildi X.

5.6. verilmiş x = { x 1 , x 2 , x 3 } , balta = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Göstərilən əməliyyatı yerinə yetirin: ( A ( B – A )) x .

Xətti operatorların matrislərini yazaq.

Matrislər üzərində əməliyyat aparaq

Yaranan matrisi X-ə vurduqda alırıq