செயல்பாடு அவ்வப்போது இருக்குமா? ஒரு செயல்பாட்டின் கால அளவை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது

இணைப்பு எண் 7

நகராட்சி கல்வி நிறுவனம்

மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 3

ஆசிரியர்

கொரோட்கோவா

அஸ்யா எடிகோவ்னா

குர்கானின்ஸ்க்

2008

உள்ளடக்கம்

அறிமுகம்……………………………………………………………… 2-3

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்……………… 4-6

சிக்கல்கள் ……………………………………………………………… 7-14

அறிமுகம்

கல்வி மற்றும் வழிமுறை இலக்கியங்களில் கால இடைவெளி சிக்கல்கள் கடினமான விதியைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம். காலச் செயல்பாடுகளைத் தீர்மானிப்பதில் சில அலட்சியங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு விசித்திரமான பாரம்பரியத்தால் இது விளக்கப்படுகிறது, இது சர்ச்சைக்குரிய முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும் மற்றும் தேர்வுகளில் சம்பவங்களைத் தூண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, "கணித விதிமுறைகளின் விளக்க அகராதி" - எம், 1965 என்ற புத்தகத்தில், பின்வரும் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: "ஒரு கால செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு

y = f(x), இதற்கு t > 0 என்ற எண் உள்ளது, இது எல்லா x மற்றும் x+t டொமைனில் இருந்து f(x + t) = f(x) ஆகும்.

இந்த வரையறையின் தவறான தன்மையைக் காட்டும் ஒரு எதிர் உதாரணம் தருவோம். இந்த வரையறையின்படி, செயல்பாடு t = 2π காலத்துடன் கால இடைவெளியில் இருக்கும்

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 வரையறுக்கப்பட்ட வரையறையுடன், இது குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளைப் பற்றிய பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பார்வைக்கு முரணானது.

புதிய மாற்றுப் பள்ளி பாடப்புத்தகங்கள் பலவும் இதே போன்ற பிரச்சனைகளை எதிர்கொள்கின்றன.

கொல்மோகோரோவின் பாடப்புத்தகத்தில் பின்வரும் வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: “எஃப் செயல்பாட்டின் கால இடைவெளியைப் பற்றி பேசுகையில், டி ≠ 0 என்ற ஒரு எண் உள்ளது என்று நம்பப்படுகிறது, டி (எஃப்), ஒவ்வொரு புள்ளியும் சேர்ந்து, T தொலைவில் ஆக்ஸ் (வலது மற்றும் இடதுபுறம்) அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பின் மூலம் x இலிருந்து பெறப்பட்ட புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது. செயல்பாடு f அழைக்கப்படுகிறதுஅவ்வப்போது T ≠ 0 காலத்துடன், வரையறையின் ஏதேனும் ஒரு டொமைனுக்கு x, x – T, x + T புள்ளிகளில் இந்தச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் சமமாக இருந்தால், அதாவது. f (x + T) = f (x) = f (x - T).” மேலும் பாடப்புத்தகத்தில் இது எழுதப்பட்டுள்ளது: “சைனும் கொசைனும் முழு எண் கோட்டிலும் சின் (x + 2π) = சின் x என வரையறுக்கப்பட்டதால்,

Cos (x + 2π) = எந்த x க்கும் Cos x, sine மற்றும் cosine ஆகியவை 2π காலத்தைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் காலம்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், சில காரணங்களால், வரையறையில் தேவையான நிபந்தனை சரிபார்க்கப்படவில்லை:

பாவம் (x – 2π) = பாவம் x. என்ன விஷயம்? உண்மை என்னவென்றால், வரையறையில் இந்த நிலை மிதமிஞ்சியது. உண்மையில், T > 0 என்பது f(x) செயல்பாட்டின் காலம் எனில், T ஆனது இந்தச் செயல்பாட்டின் காலகட்டமாக இருக்கும்.

பாஷ்மகோவின் பாடப்புத்தகமான "இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் 10-11" என்பதிலிருந்து இன்னும் ஒரு வரையறையை கொடுக்க விரும்புகிறேன். y = f(x) சார்பு T ≠ 0 என்ற எண் இருந்தால், அது சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

f (x + T) = f (x) x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது.

மேலே உள்ள வரையறையானது செயல்பாட்டின் டொமைனைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை, இருப்பினும் இது வரையறையின் களத்தில் x ஐக் குறிக்கிறது, உண்மையான x அல்ல. இந்த வரையறையின்படி, y = Sin (√x) சார்பு காலநிலையாக இருக்கலாம் 2 , x ≥ 0 க்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது தவறானது.

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் கால இடைவெளிக்கான பணிகள் உள்ளன. ஒரு அறிவியல் கால இதழில், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பிரிவு Cக்கான பயிற்சியாக, சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வு வழங்கப்பட்டது: “y (x) = பாவம் 2 (2+x) – 2 சின் 2 சின் x காஸ் (2+x) பீரியடிக்?”

விடையில் y (x – π) = y (x) கூடுதல் உள்ளீடு இருப்பதை தீர்வு காட்டுகிறது

"T = π" (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, மிகச் சிறிய நேர்மறை காலத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான கேள்வி எழுப்பப்படவில்லை). இந்த சிக்கலை தீர்க்க சிக்கலான முக்கோணவியல் கல்வியை மேற்கொள்வது உண்மையில் அவசியமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இங்கே நீங்கள் சிக்கலின் நிலையில் முக்கியமாக, கால இடைவெளியின் கருத்தில் கவனம் செலுத்தலாம்.

தீர்வு.

f 1 (x) = சின் x – காலச் செயல்பாடு Т = 2π

f 2 (x) = Cos x என்பது T = 2π காலத்துடன் கூடிய காலச் சார்பு, பின்னர் 2π என்பது f செயல்பாடுகளுக்கான காலம் 3 (x) = பாவம் (2 + x) மற்றும் f 4 (x) = Cos (2 + x), (இது கால இடைவெளியின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு)

f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, அதன் காலம் 2π உட்பட எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

ஏனெனில் T ஒரு பொதுவான காலகட்டத்துடன் கூடிய காலச் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் விளைபொருளும் T-காலச் செயல்பாடு ஆகும், பின்னர் இந்தச் சார்பு காலநிலை ஆகும்.

இந்த வேலையில் வழங்கப்பட்ட பொருள், கால இடைவெளியில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராவதற்கு உதவும் என்று நம்புகிறேன்.

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

வரையறை: இந்த சார்பு D இன் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து ஏதேனும் t க்கு ஒரு செயல்பாடு f(t) காலமுறை எனப்படும். f ω ≠ 0 என்ற எண் உள்ளது:

1) எண்கள் (t ± ω) є D f ;

2) f (t + ω) = f(t).

1. f (t) செயல்பாட்டின் ω = காலம் எனில், kω எண், இதில் k = ±1, ±2, ±3, ... ஆகியவையும் f(t) செயல்பாட்டின் காலங்களாகும்.

உதாரணமாக f (t) = Sin t. T = 2π எண் இந்தச் செயல்பாட்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம். டி 1 = 4π. டி என்று காட்டுவோம் 1 இந்தச் செயல்பாட்டின் காலமும் ஆகும்.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = சின் (t + 2π) = சின் டி.

எனவே டி 1 – செயல்பாட்டின் காலம் f (t) = Sin t.

2. f(t) – ω சார்பு ஒரு காலச் சார்பு என்றால், f (аt), அங்கு а є R, மற்றும் f (t + с), இதில் с ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி ஆகும், அவையும் அவ்வப்போது இருக்கும்.

f (аt) செயல்பாட்டின் காலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), அதாவது. f (аt) = f (а(t + ω/а).

எனவே, செயல்பாட்டின் காலம் f(аt) – ω 1 = ω/a.

எடுத்துக்காட்டு 1. y = Sin t/2 செயல்பாட்டின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. y = Sin (t + π/3) செயல்பாட்டின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

நாம் f(t) = Sin t; y 0 = பாவம் (t 0 + π/3).

பிறகு f(t) = Sin t என்ற செயல்பாடும் அதே மதிப்பை எடுக்கும் 0 இல் t = t 0 + π/3.

அந்த. y சார்பு எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளும் f(t) செயல்பாட்டால் எடுக்கப்படுகின்றன. t என்பது நேரம் என விளக்கப்பட்டால், y இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் 0 செயல்பாடு y = Sin (t + π/3) என்பது π/3 ஆல் இடது பக்கம் f(t) “ஷிஃப்ட்” செயல்பாட்டை விட π/3 நேர அலகுகள் முன்னதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. வெளிப்படையாக, செயல்பாட்டின் காலம் இதன் காரணமாக மாறாது, அதாவது. டி y = T 1.

3. F(x) என்பது சில செயல்பாடாகவும், f(t) என்பது ஒரு காலச் சார்பாகவும் இருந்தால், F(t) என்பது F(x) – D செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது.எஃப் , பின்னர் F(f (t)) சார்பு ஒரு கால சார்பு ஆகும்.

F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) எந்த t є D f.

உதாரணமாக கால இடைவெளிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயவும்: F(x) = ℓ sinx

இந்த செயல்பாட்டின் டொமைன் டி f உண்மையான எண்கள் R. f (x) = Sin x தொகுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

இந்த செயல்பாட்டிற்கான மதிப்புகளின் தொகுப்பு [-1; 1]. ஏனெனில் பிரிவு [-1; 1] டிக்கு சொந்தமானது f , பிறகு F(x) சார்பு காலநிலை ஆகும்.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π - இந்த செயல்பாட்டின் காலம்.

4. f 1 (t) மற்றும் f 2 செயல்பாடுகள் என்றால் (t) முறையே, காலங்கள் ω உடன் 1 மற்றும் ω 2 மற்றும் ω 1 /ω 2 = r, இதில் r என்பது ஒரு விகிதமுறு எண், பின்னர் செயல்பாடுகள்

C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) மற்றும் f 1 (t) f 2 (டி) குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் (சி 1 மற்றும் C 2 ஆகியவை மாறிலிகள்).

குறிப்பு: 1) r = ω என்றால் 1/ω 2 = p/q, ஏனெனில் r என்பது பகுத்தறிவு எண்

ω 1 q = ω 2 p = ω, இதில் ω என்பது ω இன் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் ஆகும் 1 மற்றும் ω 2 (NOC).

C செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

உண்மையில், ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - இந்த செயல்பாட்டின் காலம்

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (டி)

2) ω – செயல்பாட்டின் காலம் f 1 (t) f 2 (t), ஏனெனில்

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω = f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).

வரையறை: எஃப் 1 (t) மற்றும் f (t) ஆகியவை முறையே ω காலங்களைக் கொண்ட காலச் செயல்பாடுகள் 1 மற்றும் ω 2 , பின்னர் இரண்டு காலகட்டங்கள் என்றால் அதற்கு இணையானதாக கூறப்படுகிறதுω 1 /ω 2 = r என்பது பகுத்தறிவு எண்.

3) காலங்கள் ω 1 மற்றும் ω 2 என்றால் பொருந்தக்கூடியவை அல்ல, பின்னர் செயல்பாடுகள் f 1 (t) + f 2 (t) மற்றும்

f 1 (t) f 2 (t) குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லை. அதாவது, f என்றால் 1 (டி) மற்றும் எஃப் 2 (t) ஒரு நிலையான, கால இடைவெளியில் இருந்து வேறுபட்டது, தொடர்ச்சியானது, அவற்றின் காலங்கள் பொருந்தாது, பின்னர் f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லை.

4) f(t) = C எனலாம், இதில் C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி. இந்தச் செயல்பாடு அவ்வப்போது உள்ளது. அதன் காலம் எந்த பகுத்தறிவு எண்ணாகும், அதாவது இது சிறிய நேர்மறை காலத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

5) இந்த அறிக்கை அதிக எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. செயல்பாட்டின் கால இடைவெளியை ஆராயுங்கள்

F(x) = Sin x + Cos x.

தீர்வு. f 1 (x) = Sin x, பின்னர் ω 1 = 2πk, இங்கு k є Z.

டி 1 = 2π - மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம்.

f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.

விகிதம் T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 - பகுத்தறிவு எண், அதாவது. செயல்பாடுகளின் காலங்கள் f 1 (x) மற்றும் f 2 (x) பொருந்துகிறது. இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளது. அதன் காலத்தை கண்டுபிடிப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது

சின் (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

பாவம் (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),

2 காஸ் 2х+ π/2 · சின் டி/2 = 2 சின் 2x+டி/2 · சின் டி/2,

சின் T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,

√2 சின் டி/2 சின் (π/4 – Т+2х/2) = 0, எனவே,

பாவம் Т/2 = 0, பின்னர் Т = 2πk.

ஏனெனில் (х ± 2πk) є D f , f(x) = Sin x + Cos x,

f(x + t) = f(x), பின்னர் f(x) சார்பு சிறிய நேர்மறை காலமான 2π உடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. செயல்பாடு f(x) = Cos 2x · Sin x காலமுறை, அதன் காலம் என்ன?

தீர்வு. f 1 (x) = Cos 2x, பிறகு T 1 = 2π: 2 = π (பார்க்க 2)

f 2 (x) = Sin x, பிறகு T 2 எனலாம் = 2π. ஏனெனில் π/2π = ½ என்பது ஒரு பகுத்தறிவு எண், பின்னர் இந்தச் சார்பு காலநிலை ஆகும். அதன் காலம் T = NOC

(π, 2π) = 2π.

எனவே, இந்த செயல்பாடு 2π காலத்துடன் கால இடைவெளியில் உள்ளது.

5. ஒரு மாறிலிக்கு சமமாக இல்லாத f(t) சார்பு, தொடர்ச்சியாகவும், கால இடைவெளியாகவும் இருக்கட்டும், பின்னர் அது மிகச்சிறிய நேர்மறை காலமான ω ஐக் கொண்டுள்ளது. 0 , அதன் ω இன் வேறு எந்த காலகட்டமும் வடிவம் கொண்டது: ω= kω 0 , இங்கு k є Z.

குறிப்பு: 1) இந்த சொத்தில் இரண்டு நிபந்தனைகள் மிக முக்கியமானவை:

f(t) என்பது தொடர்ச்சியானது, f(t) ≠ C, இங்கு C என்பது மாறிலி.

2) எதிர் அறிக்கை உண்மையல்ல. அதாவது, எல்லா காலங்களும் ஒத்துப்போகும் என்றால், அது ஒரு சிறிய நேர்மறை காலம் இருப்பதைப் பின்பற்றுவதில்லை. அந்த. ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு சிறிய நேர்மறை காலம் இல்லாமல் இருக்கலாம்.

உதாரணம் 1. f(t) = C, periodic. அதன் காலம் எந்த ஒரு உண்மையான எண்;

எடுத்துக்காட்டு 2. டிரிச்லெட் செயல்பாடு:

D(x) =

எந்த பகுத்தறிவு எண்ணும் அதன் காலம் ஆகும்.

6. f(t) ஒரு தொடர்ச்சியான காலச் செயல்பாடு மற்றும் ω 0 அதன் மிகச்சிறிய நேர்மறை காலம், பின்னர் செயல்பாடு f(αt + β) மிகச்சிறிய நேர்மறை காலம் ω 0 //α/. இந்த அறிக்கை பத்தி 2 இலிருந்து பின்வருமாறு.

எடுத்துக்காட்டு 1. y = பாவம் (2x – 5) செயல்பாட்டின் காலத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. y = பாவம் (2x – 5) = பாவம் (2(x – 5/2)).

y செயல்பாட்டின் வரைபடம் Sin x செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது, முதலில் இரண்டு முறை "அமுக்கி", பின்னர் "மாற்றம்" மூலம் 2.5 மூலம் வலதுபுறம். "மாற்றமானது கால இடைவெளியை பாதிக்காது, T = π என்பது இந்த செயல்பாட்டின் காலம்.

படி 6 இன் சொத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த செயல்பாட்டின் காலத்தைப் பெறுவது எளிது:

டி = 2π/2 = π.

7. f(t) – ω என்பது ஒரு காலச் சார்பு, அது ஒரு தொடர்ச்சியான derivative f"(t) இருந்தால், f"(t) என்பதும் ஒரு காலச் சார்பு, Т = ω

எடுத்துக்காட்டு 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. அதன் வழித்தோன்றல் f"(t) = Cos t

F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.

எடுத்துக்காட்டு 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. அதன் வழித்தோன்றல்

F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.

எடுத்துக்காட்டு 3. f(t) =tg t, அதன் காலம் T = πk.

F"(t) = 1/ காஸ் 2 t என்பது படி 7 இன் பண்புகளின்படியும் குறிப்பிட்ட கால அளவாகும் மற்றும் T = πk காலத்தைக் கொண்டுள்ளது. அதன் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் T = π ஆகும்.

பணிகள்.

№ 1

செயல்பாடு f(t) = Sin t + Sin πt காலமுறையா?

தீர்வு. ஒப்பிடுகையில், இந்த சிக்கலை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கிறோம்.

முதலாவதாக, ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி. f(t) என்பது காலமுறை என்று வைத்துக்கொள்வோம், பிறகு எந்த t є Dக்கும் f எங்களிடம் உள்ளது:

பாவம் (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

பாவம் (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),

2 காஸ் 2டி + டி/2 சின் டி/2 = -2 காஸ் 2 πt + πt/2 சின் πt/2.

ஏனெனில் இது எந்த t є D க்கும் உண்மை f , பின்னர் குறிப்பாக டி 0 , இதில் கடைசி சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் பூஜ்ஜியமாகிறது.

பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது: 1) Cos 2t 0 +T/2 சின் T/2 = 0. T உடன் தொடர்புடையதைத் தீர்ப்போம்.

சின் Т/2 = 0 இல் Т = 2 πk, இங்கு k є Z.

2) காஸ் 2πt 0 + πt 0 /2 பாவம் πT/2 = 0. T உடன் ஒப்பிடுவோம்.

சின் πТ/2 = 0, பின்னர் Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, இங்கு n є Z.

ஏனெனில் எங்களிடம் ஒரு அடையாளம் உள்ளது, பின்னர் 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, இது இருக்க முடியாது, ஏனெனில் π என்பது ஒரு விகிதாச்சார எண், மற்றும் n/k என்பது ஒரு விகிதமுறு எண். அதாவது, f(t) சார்பு காலநிலையானது என்ற நமது அனுமானம் தவறானது.

இரண்டாவதாக, குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளின் மேற்கண்ட பண்புகளை நீங்கள் பயன்படுத்தினால் தீர்வு மிகவும் எளிமையானது:

f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. பிறகு, T 1 / T 2 = 2π/2 = π என்பது ஒரு விகிதாசார எண், அதாவது. காலங்கள் டி 1, டி 2 பொருந்தாதவை, அதாவது f(t) கால இடைவெளியில் இல்லை.

பதில்: இல்லை.

№ 2

α ஒரு விகிதாசார எண்ணாக இருந்தால், செயல்பாடு என்பதைக் காட்டு

F(t) = Cos t + Cos αt

காலமுறை அல்ல.

தீர்வு. f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

பின்னர் அவர்களின் காலங்கள் முறையே டி 1 = 2π, டி 2 = 2π//α/ - மிகச் சிறிய நேர்மறை காலங்கள். கண்டுபிடிப்போம், டி 1/டி 2 = 2π/α//2π = /α/ என்பது ஒரு விகிதாசார எண். எனவே டி 1 மற்றும் டி 2 ஒப்பிடமுடியாது, மற்றும் செயல்பாடு

f(t) காலமுறை அல்ல.

№ 3

f(t) = Sin 5t செயல்பாட்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சொத்து உருப்படி 2 மூலம் எங்களிடம் உள்ளது:

f(t) - கால இடைவெளியில்; T = 2π/5.

பதில்: 2π/5.

№ 4

செயல்பாடு F(x) = arccos x + arcsin x காலமுறையா?

தீர்வு. இந்த செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்

F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,

அந்த. F(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கால சார்பு (பத்தி 5 இன் பண்புகளைப் பார்க்கவும், எடுத்துக்காட்டு 1.).

பதில்: ஆம்.

№ 5

செயல்பாடு கால இடைவெளியில் உள்ளதா?

F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?

தீர்வு. f 1 (x) = Sin 2x, பிறகு T 1 = π;

F 2 (x) = Cos 4x, பின்னர் T 2 = 2π/4 = π/2;

F 3 (x) = 5, T 3 - எந்த உண்மையான எண், குறிப்பாக டி 3 T க்கு சமமாக இருக்கலாம் 1 அல்லது டி 2 . பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் காலம் T = LCM (π, π/2) = π. அதாவது, f(x) என்பது T = π காலத்துடன் கூடிய காலநிலை ஆகும்.

பதில்: ஆம்.

№ 6

f(x) = x – E(x) காலமுறை சார்பு, இதில் E(x) என்பது கொடுக்கப்பட்டதை விட மிகச்சிறிய முழு எண்ணுக்கு x ஐ ஒதுக்கும் ஒரு சார்பு ஆகும்.

தீர்வு. பெரும்பாலும் f(x) செயல்பாடு (x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது - x எண்ணின் பகுதியளவு பகுதி, அதாவது.

F(x) = (x) = x – E(x).

f(x) ஒரு காலச் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது. x – E(x) = x + T – E(x + T) என்ற எண் T > 0 உள்ளது. இந்த சமத்துவத்தை எழுதுவோம்

(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),

(x) + (x + T) – D டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் உண்மை f, T ≠ 0 மற்றும் T є Z. அவற்றில் மிகச் சிறிய நேர்மறை T = 1 ஆகும், அதாவது. டி =1 அப்படி

X + T – E(x + T) = x – E(x),

மேலும், (x ± Tk) є D f, எங்கே k є Z.

பதில்: இந்த செயல்பாடு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளது.

№ 7

செயல்பாடு f(x) = Sin x காலமுறையா? 2 .

தீர்வு. f(x) = Sin x என்று வைத்துக் கொள்வோம் 2 கால செயல்பாடு. பின்னர், ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி, T ≠ 0 என்ற எண் உள்ளது: சின் x 2 = சின் (x + T) 2 எந்த x є D f.

பாவம் x 2 = பாவம் (x + T) 2 = 0,

2 Cos x 2 + (x+T) 2/2 Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0, பின்னர்

Cos x 2 + (x+T) 2/2 = 0 அல்லது Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0.

முதல் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

Cos x 2 + (x+T) 2/2 = 0,

X 2 + (x+T) 2/2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),

Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

சின் x 2 -(x+T) 2/2 = 0,

X + T = √- 2πk + x 2,

Т = √х 2 - 2πk – x. (2)

வெளிப்பாடுகளிலிருந்து (1) மற்றும் (2) T இன் காணப்படும் மதிப்புகள் x ஐ சார்ந்துள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது. அத்தகைய T>0 இல்லை

பாவம் x 2 = பாவம் (x+T) 2

இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும். f(x) என்பது காலமுறை அல்ல.

பதில்: இல்லை

№ 8

F(x) = Cos சார்பு கால இடைவெளியை ஆராயவும் 2 x

தீர்வு. இரட்டை கோண கோசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி f(x) ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

f 1 (x) = ½, பின்னர் T 1 என்று விடுங்கள் - அது எந்த உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கலாம்; f 2 (x) = ½ Cos 2x என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு, ஏனெனில் பொதுவான காலம் T கொண்ட இரண்டு கால செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு 2 = π. பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய நேர்மறை காலம்

T = LOC (T 1, T 2) =π.

எனவே, செயல்பாடு f(x) = Cos 2 x – π – காலமுறை.

பதில்: π என்பது காலமுறை.

№ 9

காலச் செயல்பாட்டின் டொமைன் இருக்க முடியுமா:

A) அரை வரி [a, ∞),

பி) பிரிவு?

தீர்வு. இல்லை, ஏனெனில்

A) ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி, x є D எனில் f, பிறகு x ± ω கூட

செயல்பாட்டின் களத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும். x = a என்று விடுங்கள்

X 1 = (a – ω) є [a, ∞);

B) x = 1, பின்னர் x 1 = (1 + T) є .

№ 10

ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு இருக்க முடியுமா:

A) கண்டிப்பாக சலிப்பான;

B) கூட;

சி) கூட இல்லையா?

தீர்வு. a) f(x) ஒரு காலச் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது. டி செயல்பாடுகளின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் Т≠0 உள்ளது f ஏன்

(x ±T) є D f மற்றும் f (x±T) = f(x).

எந்த xஐயும் சரி செய்வோம் 0 є டி எஃப் , ஏனெனில் f(x) என்பது குறிப்பிட்ட கால அளவாகும், பின்னர் (x 0 +T) є D f மற்றும் f(x 0) = f(x 0 +T).

எஃப்(x) என்பது கண்டிப்பாக மோனோடோன் மற்றும் டி வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் f , எடுத்துக்காட்டாக, அதிகரிக்கிறது. எந்த x க்கும் அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி 1 மற்றும் x 2 வரையறையின் டொமைனில் இருந்து டி f சமத்துவமின்மையிலிருந்து x 1 2 எஃப்(x 1) 2 ) குறிப்பாக, x நிபந்தனையிலிருந்து 0 0 + டி, அது பின்வருமாறு

F(x 0) 0 +T), இது நிபந்தனைக்கு முரணானது.

இதன் பொருள் ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் இருக்க முடியாது.

b) ஆம், ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு சமமாக இருக்கலாம். சில உதாரணங்களைத் தருவோம்.

F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) என்பது சீரான காலச் செயல்பாடு ஆகும்.

x ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாக இருந்தால் 0;

D(x) =

x ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் 1.

D(x) = D(-x), D(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் சமச்சீர்.

டைரெச்லெட் சார்பு D(x) என்பது ஒரு சீரான காலச் செயல்பாடு ஆகும்.

f(x) = (x),

f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).

இந்த செயல்பாடு கூட இல்லை.

c) ஒரு கால செயல்பாடு ஒற்றைப்படையாக இருக்கலாம்.

f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)

f(x) என்பது ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாடு.

f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,

f(x) - ஒற்றைப்படை மற்றும் கால.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) ஒற்றைப்படை அல்ல.

f(x) = tan x – ஒற்றைப்படை கால செயல்பாடு.

பதில்: இல்லை; ஆம்; ஆம்.

№ 11

ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு எத்தனை பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்:

1) ; 2) முழு எண் அச்சில், செயல்பாட்டின் காலம் T க்கு சமமாக இருந்தால்?

தீர்வு: 1. a) [a, b] பிரிவில், ஒரு கால சார்பு பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டிருக்காமல் இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.

b) இடைவெளியில் [a, b], ஒரு குறிப்பிட்ட கால சார்பு எண்ணற்ற பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, டைரெக்லெட் செயல்பாடு

x ஒரு விகிதமான எண்ணாக இருந்தால் 0,

D(x) =

x ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் 1.

c) இடைவெளியில் [a, b], ஒரு காலச் சார்பு வரையறுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம்.

T செயல்பாட்டின் காலகட்டமாக இருக்கட்டும். குறிப்போம்

X 0 = (min x є(a,b), f(x) = 0).

பின்னர் [a, b] பிரிவில் உள்ள பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை: N = 1 + E (c-x 0 /T).

எடுத்துக்காட்டு 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – காலமுறைச் செயல்பாடு T = π; எக்ஸ் 0 = -π/2; கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை

N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.

எடுத்துக்காட்டு 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – காலச் செயல்பாடு, T + 1,

x 0 = -2. கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை

N = 1 + E (8.5 – (-2)/1) = 1 + E (10.5/1) = 1 + 10 = 11.

எடுத்துக்காட்டு 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], டி 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இந்தச் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை

N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.

2. அ) எண்ணற்ற பூஜ்ஜியங்கள், ஏனெனில் எக்ஸ் 0 є D f மற்றும் f(x 0 ) = 0, பின்னர் அனைத்து எண்களுக்கும்

Х 0 +Тk, இங்கு k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, மற்றும் x படிவத்தின் புள்ளிகள் 0 ± Tk என்பது எல்லையற்ற தொகுப்பு;

b) பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை; f(x) என்பது அவ்வப்போது மற்றும் ஏதேனும் இருந்தால்

x є D f செயல்பாடு f(x) >0 அல்லது f(x)

F(x) = Sin x +3.6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) = Sin x – 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5.

№ 12

காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை காலமுறையாக இருக்க முடியுமா?

தீர்வு. ஆம் இருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:

1. f 1 (x) = x – காலமுறை அல்லாத, f 2 (x) = E(x) – காலமுறை அல்லாதது

F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – காலமுறை.

1. f 1 (x) = x – காலமுறை அல்லாதது, f(x) = பாவம் x + x – காலமுறை அல்லாதது

F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = பாவம் x – காலமுறை.

பதில்: ஆம்.

№ 13

F(x) மற்றும் φ(x) சார்புகள் T உடன் கால இடைவெளியில் இருக்கும் 1 மற்றும் டி 2 முறையே. அவர்களின் தயாரிப்பு எப்பொழுதும் ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு உள்ளதா?

தீர்வு. இல்லை, டி 1 மற்றும் டி 2 - ஒப்பிடத்தக்கவை. உதாரணத்திற்கு,

F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; பின்னர் டி 1 / டி 2 = 2π/2 = π என்பது ஒரு விகிதமுறா எண், அதாவது f(x) என்பது காலமுறை அல்ல.

f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. எஃப் 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;

f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. டி 2 / டி 1 = 2π/1 = 2π, அதாவது f(x) என்பது கால இடைவெளி அல்ல.

பதில்: இல்லை.

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

எந்த செயல்பாடுகள் கால இடைவெளியில் உள்ளன, காலத்தைக் கண்டறியவும்?

1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,

2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,

3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,

4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),

7. f(x) = பாவம் (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,

8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),

9. f(x) = பாவம் 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, என்றால் n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

f(x) – T ஒரு காலச் சார்பாக இருக்கட்டும். எந்த செயல்பாடுகள் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளன (கண்டுபிடி T)?

1. φ(x) = f(x + λ) - கால இடைவெளி, ஏனெனில் ஆக்ஸ் அச்சில் உள்ள "ஷிப்ட்" ω ஐ பாதிக்காது; அதன் காலம் ω = டி.
2. φ(x) = a f(x + λ) + в – காலச் செயல்பாடு ω = T.
3. φ(х) = f(kh) – காலச் செயல்பாடு ω = Т/k.
4. φ(x) = f(ax + b) என்பது ω = T/a காலத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாடு ஆகும்.
5. φ(x) = f(√x) என்பது காலமுறை அல்ல, ஏனெனில் அதன் வரையறையின் டொமைன் டிφ = (x/x ≥ 0), மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு அரை-அச்சு மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட டொமைனைக் கொண்டிருக்க முடியாது.
6. φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு, ஏனெனில்

φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.

1. φ(x) = a f 2 (x) + in f(x) + c.

φ 1 (x) = a f 2 எனலாம் (x) – காலமுறை, ω 1 = t/2;

φ 2 (x) = f(x) இல் – காலமுறை, ω 2 = T/T = T;

φ 3 (x) = с – காலமுறை, ω 3 - எந்த எண்;

பின்னர் ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) என்பது காலநிலை ஆகும்.

இல்லையெனில், ஏனெனில் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு எண் கோடு, பின்னர் செயல்பாடு f - E இன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு f є D φ , அதாவது செயல்பாடு

φ(x) என்பது காலநிலை மற்றும் ω = T.

1. φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.

φ(x) – காலம் ω = T, ஏனெனில் எந்த x க்கும், f(x) செயல்பாடு f(x) ≥ 0 மதிப்புகளை எடுக்கும், அதாவது. அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு E f є D φ , எங்கே

Dφ – செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் φ(z) = √z.

№ 15

செயல்பாடு f(x) = x 2 அவ்வப்போது?

தீர்வு. x ≥ 0 ஐக் கவனியுங்கள், பின்னர் f(x) க்கு ஒரு தலைகீழ் சார்பு √x உள்ளது, அதாவது இந்த இடைவெளியில் f(x) ஒரு மோனோடோன் சார்பு ஆகும், பின்னர் அது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்க முடியாது (எண். 10 ஐப் பார்க்கவும்).

№ 16

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை கொடுக்கப்பட்ட P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.

P(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடா?

தீர்வு. 1. அடையாளம் ஒரு மாறிலிக்கு சமமாக இருந்தால், P(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு, அதாவது. ஒரு என்றால் i = 0, இங்கு i ≥ 1.

2. P(x) ≠ с ஐ விடுங்கள், இதில் с சில மாறிலி. P(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் P(x) உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கட்டும் P(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கால சார்பு, பின்னர் அவை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் இருக்க வேண்டும். மேலும் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின்படி, அவற்றின் எண் k என்பது k ≤ n ஆகும். இதன் பொருள் P(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு அல்ல.

3. P(x) ஆனது ஒரே மாதிரியான பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும், அதற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. P(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம். q(x) = a என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை அறிமுகப்படுத்துவோம் 0 , q(x) என்பது ஒரு காலச் செயல்பாடு. P(x) - q(x) = a வேறுபாட்டைக் கவனியுங்கள் 1 x 2 + … +a n x n.

ஏனெனில் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் ஒரு காலச் செயல்பாடு உள்ளது, பின்னர் வலது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாடும் காலநிலை ஆகும், மேலும் இது குறைந்தபட்சம் ஒரு உண்மையான ரூட்டைக் கொண்டுள்ளது, x = 0. ஏனெனில் செயல்பாடு அவ்வப்போது இருந்தால், முடிவில்லாத பூஜ்ஜியங்கள் இருக்க வேண்டும். எங்களுக்கு ஒரு முரண்பாடு கிடைத்தது.

P(x) என்பது காலச் செயல்பாடு அல்ல.

№ 17

f(t) – T – காலமுறை சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. செயல்பாடு f(t), எங்கே

k є Z, ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு, அவற்றின் காலங்கள் எவ்வாறு தொடர்புடையவை?

தீர்வு. கணிதச் சார்பு முறையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிப்போம். விடுங்கள்

f 1 = f(t), பிறகு f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 படி 4 இன் சொத்தின்படி ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு ஆகும்.

………………………………………………………………………….

f k-1 = f k-1 எனலாம் (t) - காலச் செயல்பாடு மற்றும் அதன் காலம் Tகே-1 காலத்துடன் ஒப்பிடலாம் T k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F k = f k (t) என்பது படி 4 இன் சொத்தின்படி ஒரு காலச் செயல்பாடு ஆகும். ω ≤ டி.

№ 18

f(x) என்பது தன்னிச்சையான செயல்பாடாக இருக்கட்டும்.

பதில்: ஆம், ஏனெனில் செயல்பாட்டின் (x) மதிப்புகளின் தொகுப்பு f(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனுக்கு சொந்தமானது, பின்னர் உருப்படி 3 f((x)) ஒரு குறிப்பிட்ட கால சார்பு ஆகும், அதன் காலம் ω = T = 1 .

№ 19

F(x) என்பது [-1 இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாடு; 1], f(sinx) சார்பு காலநிலையா?

பதில்: ஆம், அதன் காலம் ω = Т = 2π (எண். 18 க்கு ஒத்த ஆதாரம்).

இயற்கை நிகழ்வுகளைப் படிப்பது மற்றும் தொழில்நுட்ப சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, ஒரு சிறப்பு வகையின் செயல்பாடுகளால் விவரிக்கக்கூடிய குறிப்பிட்ட கால செயல்முறைகளை நாங்கள் சந்திக்கிறோம்.

டொமைன் D உடன் y = f(x) ஒரு சார்பு, பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தியாகும் வகையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு எண் T > 0 இருந்தால், அது காலநிலை எனப்படும்:

1) புள்ளிகள் x + T, x - T எந்த x ∈ D க்கும் D வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது;

2) D இலிருந்து ஒவ்வொரு x க்கும் பின்வரும் தொடர்பு உள்ளது:

f(x) = f(x + T) = f(x - T).

எண் T ஆனது f(x) செயல்பாட்டின் காலம் என அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளிக்குப் பிறகு மதிப்புகள் மீண்டும் நிகழும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, y = sin x செயல்பாடு 2π காலத்துடன் கூடிய காலநிலை (படம் 1) ஆகும்.

T எண் என்பது f(x) செயல்பாட்டின் காலகட்டமாக இருந்தால், 2T என்ற எண்ணும் அதன் காலகட்டமாகவும், 3T, மற்றும் 4T போன்றவையாகவும் இருக்கும், அதாவது, ஒரு காலச் சார்பு எண்ணற்ற பல்வேறு காலங்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றில் மிகச்சிறியது (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை) இருந்தால், செயல்பாட்டின் மற்ற எல்லா காலங்களும் இந்த எண்ணின் மடங்குகளாகும். ஒவ்வொரு காலச் செயல்பாடும் மிகச்சிறிய நேர்மறை காலத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க; எடுத்துக்காட்டாக, f(x)=1 சார்புக்கு அத்தகைய காலம் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே மிகச் சிறிய நேர்மறை காலமான T 0 ஐக் கொண்ட இரண்டு காலச் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையானது ஒரே நேர்மறை காலத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதையும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, f(x) = sin x மற்றும் g(x) = −sin x சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது மிகச் சிறிய நேர்மறை காலத்தை கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் f(x) = sin x + sin 2x மற்றும் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை g(x) = −sin x, அதன் மிகச்சிறிய காலங்கள் 2πக்கு சமமாக இருக்கும், π க்கு சமமான மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் உள்ளது.

f(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரண்டு சார்புகளின் காலங்களின் விகிதம் ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாக இருந்தால், இந்தச் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கமும் காலச் சார்புகளாக இருக்கும். எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் f மற்றும் g ஆகியவற்றின் காலங்களின் விகிதம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண்ணாக இருந்தால், f + g மற்றும் fg சார்புகள் ஏற்கனவே காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளாக இருக்கும். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, cos x sin √2 x மற்றும் cosj √2 x + sin x சார்புகள் கால இடைவெளியில் இல்லாதவை, இருப்பினும் sin x மற்றும் cos x செயல்பாடுகள் 2π காலத்துடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளன, செயல்பாடுகள் sin √2 x மற்றும் cos √2 x என்பது √2 π காலத்துடன் கூடிய காலநிலை ஆகும்.

F(x) என்பது காலம் T உடன் ஒரு காலச் சார்பு என்றால், சிக்கலான செயல்பாடு (நிச்சயமாக, அது அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால்) F(f(x)) என்பதும் ஒரு காலச் சார்பாகும், மேலும் T எண் அதனுடையதாக இருக்கும். காலம். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடுகள் y = sin 2 x, y = √(cos x) (படம். 2.3) கால சார்புகள் (இங்கே: F 1 (z) = z 2 மற்றும் F 2 (z) = √z). இருப்பினும், f(x) சார்பு மிகச்சிறிய நேர்மறை காலம் T 0 ஐக் கொண்டிருந்தால், F(f(x)) சார்பும் அதே சிறிய நேர்மறை காலத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்று நினைக்கக்கூடாது; எடுத்துக்காட்டாக, y = sin 2 x சார்பு மிகச்சிறிய நேர்மறை காலத்தைக் கொண்டுள்ளது, f(x) = sin x (படம் 2) செயல்பாட்டை விட 2 மடங்கு குறைவு.

F ஒரு சார்பு காலம் T உடன் காலநிலையாக இருந்தால், உண்மையான வரியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வரையறுக்கப்பட்டு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், f"(x) (வழித்தோன்றல்) சார்பு T காலத்துடன் கூடிய காலச் சார்பாகும், ஆனால் எதிர்வழிச் செயல்பாடாகும். F(x) செயல்பாடு F(x) க்கான (Integral calculus ஐப் பார்க்கவும்) F(x) ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் சார்பாக இருந்தால் மட்டுமே

F(T) - F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

சில வழக்கமான வாத இடைவெளியில் அதன் மதிப்புகளை மீண்டும் செய்வது, அதாவது, சில நிலையான பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணை வாதத்தில் சேர்க்கும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாது ( காலம்செயல்பாடுகள்) வரையறையின் முழு களத்திலும்.

இன்னும் முறையாகச் சொன்னால், செயல்பாடு காலத்துடன் கூடிய காலமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது T ≠ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​T\neq 0), ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் என்றால் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x)புள்ளியின் வரையறையின் அதன் களத்திலிருந்து x + T (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x+T)மற்றும் x - T (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x-T)அதன் வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது, மேலும் அவர்களுக்கு சமத்துவம் f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

வரையறையின் அடிப்படையில், சமத்துவம் என்பது ஒரு காலச் செயல்பாட்டிற்கும் உண்மை f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), எங்கே n (\displaystyle n)- எந்த முழு எண்.

இருப்பினும், காலங்களின் தொகுப்பு என்றால் ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))ஒரு சிறிய மதிப்பு உள்ளது, பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது முக்கிய (அல்லது முக்கிய) காலம்செயல்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பாவம் ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• டிரிச்லெட் சார்பு என்பது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும். அதற்கும் முக்கிய காலம் கிடையாது.

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளின் சில அம்சங்கள்

மற்றும் T 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​T_(2))(இருப்பினும், இந்த எண் வெறுமனே ஒரு காலகட்டமாக இருக்கும்). உதாரணமாக, செயல்பாடு f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))முக்கிய காலம் ஆகும் 2 π (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2\பை ), விழாவில் g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))காலம் சமம் 2 π / 3 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2\பை /3), மற்றும் அவற்றின் தொகை f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))முக்கிய காலம் வெளிப்படையாக சமம் π (\ காட்சி பாணி \ pi ).

• ஒப்பிடமுடியாத காலங்களைக் கொண்ட இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் காலமுறையற்ற செயல்பாடு அல்ல.

சாதாரண பள்ளி பணிகளில் கால இடைவெளியை நிரூபிக்கவும்ஒன்று அல்லது மற்றொரு செயல்பாடு பொதுவாக கடினமாக இல்லை: எனவே, செயல்பாடு $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ என்பதை உறுதி செய்ய, தயாரிப்பு $T=4\times7\ என்பதைக் கவனத்தில் கொண்டால் போதும். முறை 2\pi$ என்பது அதன் காலகட்டம்: T என்ற எண்ணை x உடன் சேர்த்தால், இந்த தயாரிப்பு இரண்டு பிரிவுகளையும் "சாப்பிடும்" மற்றும் சைன் குறியின் கீழ் $2\pi$ இன் முழு எண் மடங்குகள் மட்டுமே மிதமிஞ்சியதாக இருக்கும், அது " சாப்பிட்டது” என்று சைன் மூலம்.

ஆனாலும் கால அவகாசம் இல்லாததற்கான சான்றுநேரடியாக வரையறையின்படி ஒன்று அல்லது மற்றொரு செயல்பாடு எளிமையானதாக இருக்காது. எனவே, மேலே கருதப்படும் $y=\sin x^2$ செயல்பாட்டின் கால இடைவெளியை நிரூபிக்க, நீங்கள் $sin(x+T)^2=\sin x^2$ என்ற சமத்துவத்தை எழுதலாம், ஆனால் தீர்க்க வேண்டாம் இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடு வழக்கத்திற்கு மாறானது, ஆனால் அதை யூகித்து அதில் x=0 ஐ மாற்றவும், அதன் பிறகு பின்வருபவை கிட்டத்தட்ட தானாகவே நடக்கும்: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, k எங்கே சில முழு எண் 0 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, அதாவது. $T=\sqrt (k\pi)$, மற்றும் $x=\sqrt (\pi)$ ஐ மாற்றலாம் என்று இப்போது யூகித்தால், $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, எங்கிருந்து $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, எனவே p என்ற எண் $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, அதாவது சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும். இயற்கணிதம், இது உண்மையல்ல: $\pi$ என்பது நமக்குத் தெரிந்தபடி, ஆழ்நிலை, அதாவது. முழு எண் குணகங்களுடன் கூடிய எந்த இயற்கணித சமன்பாட்டின் மூலமும் அல்ல. இருப்பினும், எதிர்காலத்தில் இந்த அறிக்கையின் மிகவும் எளிமையான ஆதாரத்தைப் பெறுவோம் - ஆனால் கணித பகுப்பாய்வு உதவியுடன்.

செயல்பாடுகளின் கால இடைவெளியை நிரூபிக்கும் போது, ​​ஒரு அடிப்படை தருக்க தந்திரம் பெரும்பாலும் உதவுகிறது: அனைத்து கால செயல்பாடுகளும் சில பண்புகளைக் கொண்டிருந்தால், ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அதைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், அது இயற்கையாகவே காலமுறை அல்ல. இவ்வாறு, ஒரு காலச் சார்பு எந்த மதிப்பையும் எண்ணற்ற பல முறை எடுக்கும், எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ சார்பு காலமுறை அல்ல, ஏனெனில் மதிப்பு 7 அது இரண்டு புள்ளிகளில் மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்கிறது. பெரும்பாலும், அல்லாத கால இடைவெளியை நிரூபிக்க, அதன் அம்சங்களைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது வரையறையின் களம், மற்றும் குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளின் விரும்பிய சொத்து கண்டுபிடிக்க சில நேரங்களில் நீங்கள் சில கற்பனை காட்ட வேண்டும்.

காலமுறை இல்லாத செயல்பாடு என்றால் என்ன என்று அடிக்கடி கேட்கும்போது, ​​​​நாம் தொடர்பாகப் பேசிய பாணியில் ஒரு பதிலைக் கேட்பதையும் நினைவில் கொள்வோம். சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள், என்பது $f(x+T)\neq f(x)$ ஆகும், இது நிச்சயமாக ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது.

மேலும் சரியான பதில் ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாட்டின் குறிப்பிட்ட வரையறையைப் பொறுத்தது, மேலும் மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறையின் அடிப்படையில், நிச்சயமாக, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு காலகட்டம் இல்லை என்றால் அது காலமுறை அல்ல என்று நாம் கூறலாம், ஆனால் இது திசையை வழங்காத "மோசமான" வரையறை கால இடைவெளி இல்லாததற்கான சான்று. நாம் அதை மேலும் புரிந்து கொண்டால், "f செயல்பாட்டிற்கு ஒரு காலகட்டம் இல்லை" என்ற வாக்கியத்தின் அர்த்தம் என்ன, அல்லது, "$T இல்லை \neq 0$ என்பது செயல்பாட்டின் காலம்", ஒவ்வொரு $T \neq 0$ க்கும் $x\in D(f)$ என்ற எண் இருந்தால் மட்டுமே f சார்பு கால இடைவெளியில் இருக்காது, அதாவது $x+T$ மற்றும் $ எண்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று x-T$ என்பது D(f), அல்லது $f(x+T)\neq f(x)$க்கு சொந்தமானது அல்ல.

இதை வேறு விதமாகவும் கூறலாம்: “$f(x+T) = f(x)$ சமத்துவம் இல்லாத வகையில் D(f)$ இல் $x\\இன் எண் உள்ளது” - இந்த சமத்துவம் இரண்டுக்கு இருக்காது காரணங்கள்: அல்லது அது அர்த்தம் இல்லை, அதாவது அதன் ஒரு பகுதி வரையறுக்கப்படவில்லை, அல்லது - இல்லையெனில், தவறாக இருக்கும். ஆர்வத்திற்காக, நாம் மேலே பேசிய மொழி விளைவும் இங்கே வெளிப்படுகிறது என்று சேர்க்கிறோம்: சமத்துவம் "உண்மையாக இருக்கக்கூடாது" மற்றும் "பொய்யாக இருப்பது" ஒன்றல்ல - சமத்துவத்திற்கு இன்னும் அர்த்தம் இல்லை.

இந்த மொழியியல் விளைவின் காரணங்கள் மற்றும் விளைவுகளின் விரிவான தெளிவுபடுத்தல் உண்மையில் கணிதம் அல்ல, ஆனால் மொழியின் கோட்பாடு, மொழியியல் அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, அதன் சிறப்புப் பிரிவு: சொற்பொருள் - அர்த்தத்தின் அறிவியல், எங்கே, இருப்பினும், இவை கேள்விகள் மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் தெளிவான தீர்வு இல்லை. பள்ளிக் கணிதம் உட்பட கணிதம், இந்த சிரமங்களைச் சமாளிக்கவும், மொழியியல் "சிக்கல்களை" சமாளிக்கவும் கட்டாயப்படுத்தப்படுகிறது - அதே நேரத்தில் மற்றும் அது குறியீட்டு, இயல்பான மொழியைப் பயன்படுத்துவதால்.

விளக்கக்காட்சி மாதிரிக்காட்சிகளைப் பயன்படுத்த, Google கணக்கை உருவாக்கி அதில் உள்நுழையவும்: https://accounts.google.com

ஸ்லைடு தலைப்புகள்:

இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 10 (சுயவிவர நிலை) ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச், பி.இ. செமனோவ் ஆசிரியர் வோல்கோவா எஸ்.இ.

வரையறை 1 A சார்பு y = f (x), x ∈ X எந்த x ∈ X க்கும் சமத்துவம் f (x – T) = f (x) = f (x + T) வைத்திருந்தால், T எனப்படும். T கொண்ட ஒரு செயல்பாடு புள்ளி x இல் வரையறுக்கப்பட்டால், அது x + T, x - T புள்ளிகளிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் T = 0 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான கால அளவு உள்ளது, நமக்கு f(x – 0) = f கிடைக்கும் (x) = f (x + 0) .

வரையறை 2 பூஜ்ஜியம் அல்லாத காலம் T ஐக் கொண்டிருக்கும் ஒரு சார்பு காலநிலை எனப்படும். ஒரு சார்பு y = f (x), x ∈ X க்கு T ஒரு காலப்பகுதி இருந்தால், T இன் பெருக்கமாக இருக்கும் எந்த எண்ணும் (அதாவது, kT, k ∈ Z வடிவத்தின் ஒரு எண்) அதன் காலம் ஆகும்.

ஆதாரம் 2T என்பது செயல்பாட்டின் காலகட்டமாக இருக்கட்டும். பின்னர் f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). இதேபோல், f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) போன்றவை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாட்டின் நேர்மறை காலகட்டங்களில் மிகச்சிறிய காலம் இந்தச் செயல்பாட்டின் முக்கிய காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காலச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அம்சங்கள் y = f(x) செயல்பாட்டின் முக்கிய காலம் T எனில், அது போதுமானது: நீளம் T இன் இடைவெளிகளில் ஒன்றில் வரைபடத்தின் ஒரு கிளையை உருவாக்கவும், இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்யவும் இந்த கிளையின் x அச்சில் ±T, ±2T, ±3T, முதலியன. பொதுவாக ஒரு இடைவெளி புள்ளிகளில் முனைகளுடன் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது

காலச் சார்புகளின் பண்புகள் 1. f(x) என்பது T காலத்துடன் கூடிய ஒரு காலச் சார்பு என்றால், g(x) = A f(kx + b), இங்கு k > 0, T 1 = T/ காலத்துடன் கூடிய காலநிலை கே. 2. f 1 (x) மற்றும் f 2 (x) செயல்பாடு முழு எண் அச்சில் வரையறுக்கப்பட்டு, T 1 > 0 மற்றும் T 2 >0 காலங்களுடன் கால இடைவெளியில் இருக்கட்டும். பின்னர், T 1 /T 2 ∈ Q க்கு, f(x) = f(x) + f 2 (x) சார்பு என்பது T 1 மற்றும் T 2 எண்களின் பொதுவான பெருக்கத்திற்கு சமமான T காலத்தைக் கொண்ட ஒரு காலச் சார்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள் 1. காலச் சார்பு y = f(x) அனைத்து உண்மையான எண்களுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் காலம் 3 மற்றும் f(0) =4. 2f(3) – f(-3) என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். தீர்வு. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. பெறப்பட்ட மதிப்புகளை 2f வெளிப்பாட்டில் மாற்றுதல் (3) - f(-3) , நமக்கு 8 - 4 =4 கிடைக்கும். பதில்: 4.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2. காலச் சார்பு y = f(x) அனைத்து உண்மையான எண்களுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் காலம் 5, மற்றும் f(-1) = 1. f(-12) என்றால் 2f(3) – 5f(9) = 9. தீர்வு T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 பதில்:7.

பயன்படுத்திய இலக்கியம் ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச், பி.வி. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் (சுயவிவர நிலை), தரம் 10 ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச், பி.வி. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் (சுயவிவர நிலை), 10 ஆம் வகுப்பு. ஆசிரியர்களுக்கான வழிமுறை கையேடு

தலைப்பில்: முறையான முன்னேற்றங்கள், விளக்கக்காட்சிகள் மற்றும் குறிப்புகள்

காலச் சட்டம் மற்றும் காலமுறை அமைப்பு D.I. மெண்டலீவ்.

இந்த தலைப்பில் ஒரு விரிவான பாடம் ஒரு விளையாட்டின் வடிவத்தில் நடத்தப்படுகிறது, கற்பித்தல் பட்டறைகளிலிருந்து தொழில்நுட்பத்தின் கூறுகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

பாடநெறிக்கு புறம்பான நிகழ்வு "டி.ஐ. மெண்டலீவின் வேதியியல் கூறுகளின் காலச் சட்டம் மற்றும் கால அமைப்பு"

ஒரு பாடநெறிக்கு அப்பாற்பட்ட செயல்பாடு காலச் சட்டத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் D.I இன் கால முறையின் வரலாற்றை வெளிப்படுத்துகிறது. மெண்டலீவ். தகவல் கவிதை வடிவில் வழங்கப்படுகிறது, இது விரைவாக மனப்பாடம் செய்ய உதவுகிறது...

சாராத செயல்பாட்டிற்கான பின்னிணைப்பு "காலச் சட்டம் மற்றும் டி.ஐ. மெண்டலீவின் வேதியியல் கூறுகளின் கால அமைப்பு"

சட்டத்தின் கண்டுபிடிப்பு D.I ஆல் நீண்ட மற்றும் தீவிரமான அறிவியல் வேலைகளுக்கு முன்னதாக இருந்தது. மெண்டலீவ் 15 ஆண்டுகளாக இருந்தார், மேலும் அதன் ஆழத்தை மேலும் 25 ஆண்டுகள் வழங்கினர்.