சீரற்ற மாறி x இன் பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு

………………………………………………………

Аn - சீரற்ற மாறி X ஆனது An மதிப்பை எடுத்துள்ளது.

நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை A1 A2, . , An என்பது நம்பகமான நிகழ்வாகும், ஏனெனில் சீரற்ற மாறி x1, x2, xn மதிப்புகளில் ஒன்றையாவது எடுக்க வேண்டும்.

எனவே P (A1 È A2 È . È An) = 1.

கூடுதலாக, A1, A2, ., An நிகழ்வுகள் சீரற்றவை, ஏனெனில் ஒரு சோதனையின் போது ஒரு சீரற்ற மாறி x1, x2, ., xn மதிப்புகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்க முடியும். பொருந்தாத நிகழ்வுகளுக்கு கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

அதாவது p1+p2+. +pn = 1, அல்லது, சுருக்கமாக,

எனவே, அட்டவணை 1 இன் இரண்டாவது வரிசையில் அமைந்துள்ள அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகை, X என்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வழங்குகிறது, இது ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ரேண்டம் மாறி X என்பது ஒரு பகடையை வீசும்போது கிடைக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறியவும் (அட்டவணை வடிவத்தில்).

சீரற்ற மாறி X மதிப்புகளை எடுக்கும்

x1=1, x2=2, …, x6=6

நிகழ்தகவுகளுடன்

р1= р2 = … = р6 =

விநியோக சட்டம் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

அட்டவணை 2

எடுத்துக்காட்டு 2.இருவகைப் பரவல். ஒரு சீரற்ற மாறி X ஐக் கருத்தில் கொள்வோம் - தொடர்ச்சியான சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றிலும் A நிகழ்தகவு p உடன் நிகழ்கிறது.

சீரற்ற மாறி X பின்வரும் மதிப்புகளில் ஒன்றை வெளிப்படையாக எடுக்கலாம்:

0, 1, 2, ., k, ., n.

சீரற்ற மாறி X ஆனது k க்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெர்னோல்லி சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

Рn(k)= எங்கே q=1- р.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் இந்தப் பரவலானது இருமப் பரவல் அல்லது பெர்னௌல்லி பரவல் எனப்படும். பெர்னௌல்லி பரவலானது இரண்டு அளவுருக்கள் மூலம் முழுமையாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: அனைத்து சோதனைகளின் எண் n மற்றும் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட பரிசோதனையிலும் ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு p.

இருவகைப் பரவலுக்கான நிபந்தனை வடிவம் பெறுகிறது:

இந்த சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க அது அடையாளத்தில் போதுமானது

(q+px)n=

x=1 ஐ வைக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.விஷம் விநியோகம். இது படிவத்தின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பெயர்:

Р(k)= .

இது ஒரு ஒற்றை (நேர்மறை) அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது a. ξ என்பது பாய்சன் பரவலுடன் கூடிய சீரற்ற மாறியாக இருந்தால், தொடர்புடைய அளவுரு a என்பது இந்த சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பாகும்:

a=Mξ=, M என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு.

சீரற்ற மாறி:

எடுத்துக்காட்டு 4.அதிவேக விநியோகம்.

நேரம் ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால், அதை τ ஆல் குறிப்போம்

எங்கே 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

சீரற்ற மாறி t இன் சராசரி மதிப்பு:

விநியோக அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

4) சாதாரண விநியோகம்

சுயாதீனமான, ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் விடுங்கள் சொற்கள் போதுமான அளவு சிறியதாகவும் n எண் போதுமானதாக இருந்தால், n à ∞க்கு Mξ சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பும் Dξ=M(ξ–Mξ)2க்கு சமமான Dξ மாறுபாடும் Mξ~a, Dξ ~σ2, பின்னர்

- சாதாரண அல்லது காஸியன் விநியோகம்

.

5) வடிவியல் விநியோகம். முதல் "வெற்றி" தொடங்குவதற்கு முந்தைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை ξ ஆல் குறிப்போம். ஒவ்வொரு சோதனையும் ஒரு யூனிட் நேரம் நீடிக்கும் என்று நாம் கருதினால், முதல் "வெற்றி" வரை காத்திருக்கும் நேரமாக ξ கருதலாம். விநியோகம் இதுபோல் தெரிகிறது:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்.

N பொருள்கள் உள்ளன, அவற்றில் n என்பது "சிறப்புப் பொருள்கள்". அனைத்து பொருட்களிலும், கே-பொருள்கள் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருட்களில் r - "சிறப்பு பொருள்கள்" க்கு சமமான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். விநியோகம் இதுபோல் தெரிகிறது:

7) பாஸ்கல் விநியோகம்.

rவது "வெற்றி" வருவதற்கு முந்தைய "தோல்விகளின்" மொத்த எண்ணிக்கை x ஆக இருக்கட்டும். விநியோகம் இதுபோல் தெரிகிறது:

விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

சீரற்ற மாறி x சமமான நிகழ்தகவுடன் இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியும் என்பதை சமநிலைப் பரவல் குறிக்கிறது. விநியோக அடர்த்தி என கணக்கிடப்படுகிறது

விநியோக அடர்த்தி வரைபடங்கள் மற்றும் விநியோக செயல்பாடு கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளன.

"வெள்ளை சத்தம்" என்ற கருத்தை விளக்குவதற்கு முன், பல வரையறைகளை கொடுக்க வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு சீரற்ற சார்பு என்பது ரேண்டம் அல்லாத வாதம் t இன் செயல்பாடாகும், இது வாதத்தின் ஒவ்வொரு நிலையான மதிப்புக்கும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, U ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால், X(t)=t2U சார்பு சீரற்றதாக இருக்கும்.

சீரற்ற செயல்பாட்டின் குறுக்குவெட்டு என்பது சீரற்ற செயல்பாட்டின் வாதத்தின் நிலையான மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். எனவே, ஒரு சீரற்ற செயல்பாடு, t அளவுருவைப் பொறுத்து, சீரற்ற மாறிகளின் (X(t)) தொகுப்பாகக் கருதப்படலாம்.

சீரற்ற மாறி பல்வேறு சூழ்நிலைகளைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய ஒரு மாறி, மற்றும் சீரற்ற மாறி தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது , அது எந்த வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது வரம்பற்ற இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியும் என்றால். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு, சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் குறிப்பிடுவது சாத்தியமில்லை, எனவே சில நிகழ்தகவுகளுடன் தொடர்புடைய இந்த மதிப்புகளின் இடைவெளிகளை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வருவன அடங்கும்: ஒரு பகுதியின் விட்டம் கொடுக்கப்பட்ட அளவு, ஒரு நபரின் உயரம், ஒரு எறிபொருளின் பறக்கும் வீச்சு போன்றவை.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் செயல்பாடு என்பதால் எஃப்(எக்ஸ்), போலல்லாமல் தனித்த சீரற்ற மாறிகள், எங்கும் தாவல்கள் இல்லை, பின்னர் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு அதன் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான நிகழ்தகவு விநியோகத்தைப் பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை: அவை ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், ஒரு வகையில், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளில் "அதிகமாகவும் குறைவாகவும்" உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு - தோராயமாக சந்திக்கும் நபரின் உயரம் - 170 செ.மீ - 220 செ.மீ க்கும் அதிகமாக இருக்கும் என்று யாரும் சந்தேகிக்க மாட்டார்கள், இருப்பினும் இரண்டு மதிப்புகளும் நடைமுறையில் ஏற்படலாம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் விநியோக செயல்பாடு

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ள ஒரு விநியோகச் சட்டமாக, விநியோக அடர்த்தி அல்லது நிகழ்தகவு அடர்த்தி என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. தொடர்ச்சியான ரேண்டம் மாறி மற்றும் தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான பரவல் செயல்பாட்டின் பொருளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் அதை அணுகலாம்.

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு (தனிப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியானது) அல்லது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்வரம்பு மதிப்பை விட குறைவாக அல்லது சமமாக எக்ஸ்.

அதன் மதிப்புகளின் புள்ளிகளில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறிக்கு எக்ஸ்1 , எக்ஸ் 2 , ..., எக்ஸ்நான்,...நிகழ்தகவுகளின் நிறை குவிந்துள்ளது ப1 , ப 2 , ..., பநான்,..., மற்றும் அனைத்து வெகுஜனங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம். இந்த விளக்கத்தை தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் வழக்குக்கு மாற்றுவோம். 1 க்கு சமமான நிறை தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிக்கப்படவில்லை, ஆனால் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் தொடர்ந்து "ஸ்மியர்" செய்யப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்யலாம். ஓசில சீரற்ற அடர்த்தியுடன். ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எந்தப் பகுதியிலும் விழும் Δ எக்ஸ்ஒரு பகுதிக்கான நிறை என்றும், அந்தப் பிரிவின் சராசரி அடர்த்தியானது நிறை மற்றும் நீளத்தின் விகிதமாக விளக்கப்படும். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கருத்தை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்: விநியோக அடர்த்தி.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்:

.

அடர்த்தி செயல்பாட்டை அறிந்தால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு மூடிய இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதற்கான நிகழ்தகவை நீங்கள் காணலாம். அ; பி]:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் [ அ; பி], அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் அமுன் பி:

.

இந்த வழக்கில், செயல்பாட்டின் பொதுவான சூத்திரம் எஃப்(எக்ஸ்) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோகம், இது அடர்த்தி செயல்பாடு தெரிந்தால் பயன்படுத்தப்படலாம் f(எக்ஸ்) :

.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வரைபடம் அதன் பரவல் வளைவு என அழைக்கப்படுகிறது (கீழே உள்ள படம்).

ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு (படத்தில் நிழலாடப்பட்டது) ஒரு வளைவால், புள்ளிகளிலிருந்து வரையப்பட்ட நேர்கோடுகள் அமற்றும் பி x-அச்சு மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஓ, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு நிகழ்தகவை வரைபடமாகக் காட்டுகிறது எக்ஸ்வரம்பிற்குள் உள்ளது அமுன் பி.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்புகள்

1. ஒரு சீரற்ற மாறியானது இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவு (மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு f(எக்ஸ்) மற்றும் அச்சு ஓ) ஒன்றுக்கு சமம்:

2. நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது:

மற்றும் விநியோகத்தின் இருப்புக்கு வெளியே அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்

விநியோக அடர்த்தி f(எக்ஸ்), அத்துடன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்), விநியோகச் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும், ஆனால் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் போலல்லாமல், இது உலகளாவியது அல்ல: தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே விநியோக அடர்த்தி உள்ளது.

நடைமுறையில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் இரண்டு முக்கிய வகைகளைக் குறிப்பிடுவோம்.

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) சில வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி [ அ; பி] ஒரு நிலையான மதிப்பை எடுக்கும் சி, மற்றும் இடைவெளிக்கு வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும், பின்னர் இது விநியோகம் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது .

விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் மையத்தைப் பற்றிய சமச்சீராக இருந்தால், சராசரி மதிப்புகள் மையத்திற்கு அருகில் குவிந்து, மையத்திலிருந்து விலகிச் செல்லும்போது சராசரியிலிருந்து வேறுபட்டவை சேகரிக்கப்படுகின்றன (செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பகுதியை ஒத்திருக்கிறது. மணி), பின்னர் இது விநியோகம் இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது .

எடுத்துக்காட்டு 1.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு அறியப்படுகிறது:

செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி. இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 4 முதல் 8 வரையிலான இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதன் மூலம் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) - பரவளையம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) - நேராக:

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 4 முதல் 8 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

குணகத்தை கணக்கிடுங்கள் சி. செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல். இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 0 முதல் 5 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. குணகம் சிநிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் பண்பு 1 ஐப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

எனவே, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு:

ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம் எஃப்(எக்ஸ்) நிகழ்தகவு விநியோகம். என்றால் எக்ஸ் < 0 , то எஃப்(எக்ஸ்) = 0 . 0 என்றால்< எக்ஸ் < 10 , то

.

எக்ஸ்> 10, பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்) = 1 .

எனவே, நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டின் முழுமையான பதிவு:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(எக்ஸ்) :

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) :

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியானது 0 முதல் 5 வரையிலான வரம்பில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி எக்ஸ்சமத்துவத்தால் வழங்கப்படுகிறது, மற்றும் . குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஏ, ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு எக்ஸ்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாட்டின் ]0, 5[ இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும் எக்ஸ்.

தீர்வு. நிபந்தனையின்படி நாம் சமத்துவத்தை அடைகிறோம்

எனவே, எங்கிருந்து . அதனால்,

.

இப்போது நாம் ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் எக்ஸ்]0, 5[:

இப்போது இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ், இது எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகள் மற்றும் அதன் விநியோக செயல்பாடுகளை மட்டுமே எடுக்கும் .

உடற்பயிற்சி 1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் பரவலான அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:
கண்டுபிடி:
a) அளவுரு A;
b) விநியோக செயல்பாடு F(x) ;
c) ஒரு சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு;
ஈ) கணித எதிர்பார்ப்பு MX மற்றும் மாறுபாடு DX.
f(x) மற்றும் F(x) செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை வரையவும்.

பணி 2. ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி X இன் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

பணி 3. விநியோகச் செயல்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.

பணி 4. சில சீரற்ற மாறிகளின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
குணகம் A, விநியோக செயல்பாடு F(x), கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு, அத்துடன் சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். f(x) மற்றும் F(x) வரைபடங்களை வரையவும்.

பணி. சில தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

அளவுருக்கள் a மற்றும் b ஐத் தீர்மானிக்கவும், நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(x), கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டிற்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியவும், அத்துடன் சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு. f(x) மற்றும் F(x) வரைபடங்களை வரையவும்.

விநியோகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.
F′=f(x)=a
ஒரு அளவுருவைக் கண்டுபிடிப்போம் என்பதை அறிவோம்:

அல்லது 3a=1, எங்கிருந்து a = 1/3
பின்வரும் பண்புகளிலிருந்து b அளவுருவைக் காண்கிறோம்:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 எங்கிருந்து b = -1/3
எனவே, விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது: F(x) = (x-1)/3

எதிர்பார்த்த மதிப்பு.


சிதறல்.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம்
பி(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தேவை:

1. குணகம் A ஐ தீர்மானிக்கவும்.
2. F(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.
3. F(x) மற்றும் f(x) வரைபடங்களை திட்டவட்டமாக உருவாக்கவும்.
4. X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.
5. X இடைவெளியிலிருந்து (2;3) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
தீர்வு:

சீரற்ற மாறி X பரவலான அடர்த்தி f(x) மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது:

நிபந்தனையிலிருந்து A அளவுருவைக் கண்டுபிடிப்போம்:



அல்லது
14/3*A-1 = 0
எங்கே,
A = 3/14

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியலாம்.

ரேண்டம் மாறிகள்

எடுத்துக்காட்டு 2.1.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்விநியோக செயல்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது

சோதனையின் விளைவாக நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்இடைவெளியில் (2.5; 3.6) உள்ள மதிப்புகளை எடுக்கும்.

தீர்வு: எக்ஸ்இடைவெளியில் (2.5; 3.6) இரண்டு வழிகளில் தீர்மானிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.2.என்ன அளவுரு மதிப்புகள் ஏமற்றும் INசெயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = A + Be - xஒரு சீரற்ற மாறியின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கான விநியோகச் செயல்பாடாக இருக்கலாம் எக்ஸ்.

தீர்வு:சீரற்ற மாறியின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகள் என்பதால் எக்ஸ்இடைவெளியைச் சேர்ந்தது, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு விநியோகச் செயல்பாடாக இருக்க வேண்டும் எக்ஸ், சொத்து திருப்தியாக இருக்க வேண்டும்:

.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.3.சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது

நான்கு சுயாதீன சோதனைகளின் விளைவாக, மதிப்பின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்சரியாக 3 முறை இடைவெளியைச் சேர்ந்த மதிப்பை (0.25;0.75) எடுக்கும்.

தீர்வு:மதிப்பைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் (0.25;0.75) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.4.ஒரு ஷாட் மூலம் பந்து கூடையைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும். மூன்று வீசுதல்களுடன் கூடிய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- மூன்று ஷாட்களுடன் கூடையில் உள்ள வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்

எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.5.இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் தலா ஒரு இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் அதைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.5, இரண்டாவது - 0.4. இலக்கின் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்- இலக்கில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை. நிகழ்வானது இலக்கைத் தாக்கும் முதல் துப்பாக்கிச் சுடும் வீரராக இருக்கட்டும், இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கட்டும், முறையே அவர்களின் தவறிழைக்கட்டும்.

SV இன் நிகழ்தகவு விநியோக விதியை உருவாக்குவோம் எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.6.மூன்று கூறுகள் சோதிக்கப்படுகின்றன, ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக செயல்படுகின்றன. உறுப்புகளின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டின் கால அளவு (மணிநேரங்களில்) ஒரு விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது: முதல்: எஃப் 1 (டி) =1-மின்- 0,1 டி, இரண்டாவது: எஃப் 2 (டி) = 1-மின்- 0,2 டி, மூன்றாவது: எஃப் 3 (டி) =1-மின்- 0,3 டி. 0 முதல் 5 மணிநேரம் வரையிலான நேர இடைவெளியில் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: ஒரே ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும்; இரண்டு கூறுகள் மட்டுமே தோல்வியடையும்; மூன்று கூறுகளும் தோல்வியடையும்.

தீர்வு:நிகழ்தகவு உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்தகவு, இதில் முதல் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏசமம், இரண்டாவது, முதலியன நிகழ்வு ஏசரியாக ஒரு முறை தோன்றும், சக்திகளில் உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தில் குணகத்திற்கு சமம். 0 முதல் 5 மணிநேரம் வரையிலான நேர இடைவெளியில் முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளின் தோல்வி மற்றும் தோல்வியின் சாத்தியக்கூறுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

உருவாக்கும் செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

இல் குணகம் நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் ஏசரியாக மூன்று முறை தோன்றும், அதாவது, மூன்று கூறுகளின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு; மணிக்கு குணகம் சரியாக இரண்டு கூறுகள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்; மணிக்கு குணகம் ஒரே ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.நிகழ்தகவு அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டது f(எக்ஸ்)சீரற்ற மாறி எக்ஸ்:

F(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

எனவே, விநியோக செயல்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 2.8.சாதனம் மூன்று சுயாதீனமாக செயல்படும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிசோதனையில் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியடைந்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம் எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.9. 6 பாகங்கள் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் 4 நிலையானவை உள்ளன. 3 பாகங்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 1, 2, 3 மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் உள்ளது. நிகழ்தகவுகள் என்று எக்ஸ்

எங்கே -- தொகுப்பில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- ஒரு தொகுப்பில் உள்ள நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

எடுத்துக்காட்டு 2.10.சீரற்ற மாறி ஒரு பரவல் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது

மற்றும் அறியப்படவில்லை, ஆனால் , a மற்றும் . கண்டுபிடி மற்றும்.

தீர்வு:இந்த வழக்கில், சீரற்ற மாறி எக்ஸ்இடைவெளியில் முக்கோணப் பரவல் (சிம்சன் விநியோகம்) உள்ளது [ a, b]. எண்ணியல் பண்புகள் எக்ஸ்:

எனவே, . இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், இரண்டு ஜோடி மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்: சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது: .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.11.சராசரியாக, 10% ஒப்பந்தங்களின் கீழ், காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வு தொடர்பாக காப்பீட்டு நிறுவனம் காப்பீட்டுத் தொகையை செலுத்துகிறது. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நான்கு ஒப்பந்தங்களில் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் அத்தகைய ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் காணலாம்:

.

SV இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் (காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுடன் ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை (நான்கில்)): 0, 1, 2, 3, 4.

காப்பீட்டுத் தொகைகள் செலுத்தப்பட்ட வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான ஒப்பந்தங்களின் (நான்கில்) நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

IC விநியோகத் தொடர் (காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வுடன் ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை) படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.12.ஐந்து ரோஜாக்களில் இரண்டு வெள்ளை. ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டில் வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கையை வெளிப்படுத்தும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும்.

தீர்வு:இரண்டு ரோஜாக்களின் தேர்வில், வெள்ளை ரோஜா இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது ஒன்று அல்லது இரண்டு வெள்ளை ரோஜாக்கள் இருக்கலாம். எனவே, சீரற்ற மாறி எக்ஸ்மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் காண்கிறோம்:

எங்கே -- ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

-- வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

– ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்ட ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

-- எடுக்கப்பட்டவற்றில் வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.13. 15 கூடியிருந்த அலகுகளில், 6 கூடுதல் உயவு தேவைப்படுகிறது. மொத்த எண்ணிக்கையில் இருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்து அலகுகளில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்தில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3, 4, 5 மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் உள்ளது. நிகழ்தகவுகள் என்று எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் காண்கிறோம்:

எங்கே -- கூடியிருந்த அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

-- கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.14.பழுதுபார்ப்பதற்காக பெறப்பட்ட 10 கடிகாரங்களில், 7 பொறிமுறையின் பொதுவான சுத்தம் தேவைப்படுகிறது. கடிகாரங்கள் பழுதுபார்க்கும் வகையால் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை. மாஸ்டர், சுத்தம் செய்ய வேண்டிய கடிகாரங்களைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறார், அவற்றை ஒவ்வொன்றாக ஆராய்ந்து, அத்தகைய கடிகாரங்களைக் கண்டுபிடித்து, மேலும் பார்ப்பதை நிறுத்துகிறார். பார்த்த மணிநேரங்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்து அலகுகளில் கூடுதல் லூப்ரிகேஷன் தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 1, 2, 3, 4. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் காண்கிறோம்:

.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

இப்போது அளவின் எண் பண்புகளை கணக்கிடுவோம்:

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.15.சந்தாதாரர் தனக்குத் தேவையான தொலைபேசி எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை மறந்துவிட்டார், ஆனால் அது ஒற்றைப்படை என்பதை நினைவில் கொள்கிறார். அவர் கடைசி இலக்கத்தை சீரற்ற முறையில் டயல் செய்து பின்னர் டயல் செய்யப்பட்ட இலக்கத்தை டயல் செய்யவில்லை என்றால், அவர் விரும்பிய எண்ணை அடைவதற்கு முன் ஒரு தொலைபேசி எண்ணை எத்தனை முறை டயல் செய்தார் என்ற கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மாறி பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: . சந்தாதாரர் எதிர்காலத்தில் டயல் செய்யப்பட்ட இலக்கத்தை டயல் செய்யாததால், இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் சமமாக இருக்கும்.

சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரைத் தொகுப்போம்:

	0,2

டயலிங் முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.16.தொடரின் ஒவ்வொரு சாதனத்திற்கும் நம்பகத்தன்மை சோதனைகளின் போது தோல்வியின் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும் ப. சோதனை செய்யப்பட்டால் தோல்வியடைந்த சாதனங்களின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும் என்சாதனங்கள்.

தீர்வு:டிஸ்க்ரீட் ரேண்டம் மாறி எக்ஸ் என்பது தோல்வியுற்ற சாதனங்களின் எண்ணிக்கை என்சுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் தோல்வியின் நிகழ்தகவு சமம் ப,பினாமி சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஒரு சோதனையில் நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருபக்க விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு:

எடுத்துக்காட்டு 2.17.தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ் 3 சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கும்: நிகழ்தகவுடன் ; நிகழ்தகவுடன் மற்றும் நிகழ்தகவுடன். கண்டுபிடித்து, M( எக்ஸ்) = 8.

தீர்வு:தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் விநியோக விதியின் வரையறைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.18.தொழில்நுட்பக் கட்டுப்பாட்டுத் துறையானது தயாரிப்புகளின் தரநிலையை சரிபார்க்கிறது. தயாரிப்பு தரமானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் 5 தயாரிப்புகள் உள்ளன. சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- 50 தொகுதிகள் ஆய்வுக்கு உட்பட்டிருந்தால், ஒவ்வொன்றும் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

தீர்வு:இந்த வழக்கில், நடத்தப்பட்ட அனைத்து சோதனைகளும் சுயாதீனமானவை, மேலும் ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே, கணித எதிர்பார்ப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படலாம்:

,

கட்சிகளின் எண்ணிக்கை எங்கே;

ஒரு தொகுப்பில் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு.

பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.19.சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஇரண்டு சுயாதீன சோதனைகளில், இந்த சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அது அறியப்படுகிறது எம்(எக்ஸ்) = 0,9.

தீர்வு:பிரச்சனை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படும்.

1) SV இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்: 0, 1, 2. பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

, , .

பின்னர் விநியோக சட்டம் எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:

கணித எதிர்பார்ப்பின் வரையறையிலிருந்து, நிகழ்தகவை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

எஸ்.வி.யின் சிதறலைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்:

.

2) நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.20.பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் எக்ஸ்முறையே 20 மற்றும் 5க்கு சமம். சோதனையின் விளைவாக நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்இடைவெளியில் (15; 25) உள்ள மதிப்பை எடுக்கும்.

தீர்வு:ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்முதல் பகுதிக்கு லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 2.21.கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு:

எந்த அளவுரு மதிப்பில் சிஇந்தச் சார்பு என்பது சில தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் அடர்த்தி ஆகும் எக்ஸ்? ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்.

தீர்வு:ஒரு சார்பு சில சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் அடர்த்தியாக இருக்க, அது எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அது சொத்தை திருப்திப்படுத்த வேண்டும்:

.

எனவே:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணித எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

டி சமம் ப. இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு:ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி - சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமமாக உள்ளது, இது பைனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பைனோமியல் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.25.இலக்கை நோக்கி மூன்று சுயாதீன துப்பாக்கிகள் சுடப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஷாட்டையும் அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.25 ஆகும். மூன்று ஷாட்களுடன் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையின் நிலையான விலகலைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு:மூன்று சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்படுவதால், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A (ஒரு வெற்றி) நிகழும் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், தனித்துவமான சீரற்ற மாறி X - இலக்கில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை - விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று நாங்கள் கருதுவோம். ஈருறுப்பு சட்டம்.

இருவகைப் பரவலின் மாறுபாடு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.26. 10 நிமிடங்களில் காப்பீட்டு நிறுவனத்தைப் பார்வையிடும் வாடிக்கையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை மூன்று. அடுத்த 5 நிமிடங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒரு கிளையன்ட் வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

5 நிமிடங்களில் வரும் வாடிக்கையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை: . .

எடுத்துக்காட்டு 2.29.செயலி வரிசையில் பயன்பாட்டிற்கான காத்திருக்கும் நேரம் சராசரியாக 20 வினாடிகள் கொண்ட அதிவேக விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. அடுத்த (சீரற்ற) கோரிக்கையானது செயலியில் 35 வினாடிகளுக்கு மேல் காத்திருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:இந்த எடுத்துக்காட்டில், கணித எதிர்பார்ப்பு , மற்றும் தோல்வி விகிதம் சமமாக உள்ளது.

பின்னர் விரும்பிய நிகழ்தகவு:

எடுத்துக்காட்டு 2.30. 15 மாணவர்கள் கொண்ட குழு, தலா 10 இருக்கைகள் கொண்ட 20 வரிசைகள் கொண்ட ஒரு மண்டபத்தில் கூட்டத்தை நடத்துகிறது. ஒவ்வொரு மாணவரும் தோராயமாக மண்டபத்தில் இடம் பெறுகிறார்கள். வரிசையின் ஏழாவது இடத்தில் மூன்று பேருக்கு மேல் இல்லாத நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2.31.

பின்னர், நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறையின்படி:

எங்கே -- தொகுப்பில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தொகுப்பில் உள்ள தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்.

கணித எதிர்பார்ப்புதனித்த சீரற்ற மாறி அழைக்கப்படுகிறது:

எல்லையற்ற மதிப்புகளின் தொகுப்பில், (4.4) இன் வலது பக்கத்தில் ஒரு தொடர் உள்ளது, மேலும் இந்தத் தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்த X இன் மதிப்புகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எம்(எக்ஸ்)சீரற்ற மாறியின் சராசரி எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) M(C)=C, இதில் C=const

2) M (CX)=CM (X) (4.5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), எந்த X மற்றும் Y க்கும்.

4) M (XY)=M (X)M(Y), X மற்றும் Y சுயாதீனமாக இருந்தால்.

அதன் சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் சிதறலின் அளவை மதிப்பிடுவதற்கு M(X)= ஏ கருத்துக்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன மாறுபாடுகள்D(X)மற்றும் சராசரி சதுர (தரநிலை) விலகல். மாறுபாடுசதுர வேறுபாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (எக்ஸ்-),அந்த. :

D(X)=M(X-) 2 = p i,

எங்கே =எம்(எக்ஸ்);மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது. .

மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

(4.6)

சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகலின் பண்புகள்:

1) D(C)=0, C=const

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

X மற்றும் Y சுயாதீனமாக இருந்தால்.

அளவுகளின் பரிமாணம் மற்றும் ரேண்டம் மாறி X இன் பரிமாணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் D(X) இன் பரிமாணம் ரேண்டம் மாறி X இன் பரிமாணத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்.

4.3 சீரற்ற மாறிகளில் கணித செயல்பாடுகள்.

சீரற்ற மாறி X நிகழ்தகவுகளுடன் மதிப்புகளை எடுக்கட்டும் மற்றும் சீரற்ற மாறி Y நிகழ்தகவுகளுடன் மதிப்புகளை எடுக்கட்டும். மாறி X, சீரற்ற மாறி X இன் K மதிப்புகளால் தயாரிப்புகளுக்குச் சமமான மதிப்புகளை எடுக்கும். இதன் விளைவாக, அதன் விநியோகச் சட்டமானது அட்டவணை 4.2 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

அட்டவணை 4.2

			...
			...

சதுரம்சீரற்ற மாறி X, அதாவது. , ஒரு புதிய சீரற்ற மாறி, ரேண்டம் மாறி X போன்ற அதே நிகழ்தகவுகளுடன், அதன் மதிப்புகளின் சதுரங்களுக்கு சமமான மதிப்புகளை எடுக்கும்.

தொகைசீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y என்பது ஒரு புதிய ரேண்டம் மாறி ஆகும், இது படிவத்தின் அனைத்து மதிப்புகளையும் நிகழ்தகவுகளுடன் எடுத்துக்கொள்கிறது, இது சீரற்ற மாறி X மதிப்பை எடுக்கும் மற்றும் Y என்பது மதிப்பு, அதாவது

(4.8)

சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமாக இருந்தால், பின்:

சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y இன் வேறுபாடு மற்றும் தயாரிப்பு இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வேறுபாடுசீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y - இது ஒரு புதிய சீரற்ற மாறி, இது படிவத்தின் அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கும், மற்றும் வேலை- நிகழ்தகவுகளுடன் கூடிய படிவத்தின் அனைத்து மதிப்புகளும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (4.8), மற்றும் சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y சுயாதீனமாக இருந்தால், பின்னர் சூத்திரத்தால் (4.9).

4.4 பெர்னோலி மற்றும் பாய்சன் விநியோகம்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் n ஒரே மாதிரியான தொடர்ச்சியான சோதனைகளின் வரிசையைக் கவனியுங்கள்:

1. ஒவ்வொரு சோதனையும் வெற்றி மற்றும் தோல்வி எனப்படும் இரண்டு முடிவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த இரண்டு விளைவுகளும் ஒன்றுக்கொன்று பொருந்தாதவை மற்றும் எதிர் நிகழ்வுகள்.

2. வெற்றியின் நிகழ்தகவு, p குறிக்கப்படுகிறது, சோதனையிலிருந்து சோதனை வரை மாறாமல் இருக்கும். தோல்வியின் நிகழ்தகவு q ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

3. அனைத்து n சோதனைகளும் சுயாதீனமானவை. அதாவது n மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்ற சோதனைகளின் முடிவுகளைச் சார்ந்து இருக்காது.

n சுயாதீனமான தொடர்ச்சியான சோதனைகளில், நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் சமமாக இருக்கும் நிகழ்தகவு, நிகழ்வு சரியாக m முறை (எந்த வரிசையிலும்) நிகழும்

(4.10)

வெளிப்பாடு (4.10) பெர்னோலியின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவுகள்:

அ) மீ விட குறைவான முறை,

b) m முறைக்கு மேல்,

c) குறைந்தபட்சம் மீ முறை,

ஈ) மீ முறைக்கு மேல் இல்லை - சூத்திரங்களின்படி அதற்கேற்ப காணப்படுகின்றன:

பைனோமியல் என்பது ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி - n சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு p க்கு சமம்; X = 0,1,2,..., m,...,n சாத்தியமான மதிப்புகளின் சாத்தியக்கூறுகள் பெர்னௌல்லி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன (அட்டவணை 4.3).

அட்டவணை 4.3

வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை X=m				...	மீ	...	n
நிகழ்தகவு பி				...		...

சூத்திரத்தின் வலது பக்கம் (4.10) இருசொற் விரிவாக்கத்தின் பொதுவான சொல்லைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதால், இந்த விநியோகச் சட்டம் அழைக்கப்படுகிறது இருவகை. பைனோமியல் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி Xக்கு, எங்களிடம் உள்ளது.