Kəsilmiş piramidanın ümumi səth sahəsi bərabərdir. Piramida və kəsilmiş piramida

Necə bir piramida qurmaq olar? Səthdə RÇoxbucaqlı quraq, məsələn, ABCDE beşbucaqlı. Təyyarədən R S nöqtəsini götürək. S nöqtəsini çoxbucaqlının bütün nöqtələrinə seqmentlərlə birləşdirərək SABCDE piramidasını alırıq (şək.).

S nöqtəsi deyilir üst, və ABCDE çoxbucaqlıdır əsas bu piramida. Beləliklə, üstü S və əsası ABCDE olan piramida, M ∈ ABCDE-nin olduğu bütün seqmentlərin birliyidir.

SAB, SBC, SCD, SDE, SEA üçbucaqları adlanır yan üzlər piramidalar, yan üzlərin ümumi tərəfləri SA, SB, SC, SD, SE - yan qabırğalar.

Piramidalar adlanır üçbucaqlı, dördbucaqlı, p-bucaqlı bazanın tərəflərinin sayından asılı olaraq. Şəkildə. Üçbucaqlı, dördbucaqlı və altıbucaqlı piramidaların şəkilləri verilmişdir.

Piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən müstəviyə deyilir diaqonal, və nəticədə olan bölmədir diaqonal.Şəkildə. 186 altıbucaqlı piramidanın diaqonal bölmələrindən biri kölgəlidir.

Piramidanın yuxarı hissəsindən onun əsasının müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar seqmentə piramidanın hündürlüyü deyilir (bu seqmentin ucları piramidanın yuxarı hissəsi və perpendikulyarın əsasıdır).

Piramida adlanır düzgün, əgər piramidanın əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın təpəsi onun mərkəzində proqnozlaşdırılıbsa.

Müntəzəm piramidanın bütün yan üzləri konqruent ikitərəfli üçbucaqlardır. Adi bir piramidada bütün yan kənarlar uyğun gəlir.

Düzgün piramidanın təpəsindən çəkilmiş yan üzünün hündürlüyünə deyilir apotem piramidalar. Normal piramidanın bütün apotemləri uyğundur.

Baza tərəfini olaraq təyin etsək A, və apotem vasitəsilə h, onda piramidanın bir yan üzünün sahəsi 1/2-dir ah.

Piramidanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəminə deyilir yanal səth sahəsi piramidadır və S tərəfi ilə təyin olunur.

Çünki müntəzəm piramidanın yan səthi ibarətdir n uyğun üzlər, sonra

S tərəfi = 1/2 ahn= P h / 2 ,

burada P piramidanın əsasının perimetridir. Beləliklə,

S tərəfi = P h / 2

yəni. Müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsi baza və apotem perimetrinin məhsulunun yarısına bərabərdir.

Piramidanın ümumi səth sahəsi düsturla hesablanır

S = S ocn. + S tərəfi. .

Piramidanın həcmi onun əsasının S ocn sahəsinin məhsulunun üçdə birinə bərabərdir. H hündürlüyünə:

V = 1/3 S əsas. N.

Bunun və bəzi digər düsturların əldə edilməsi sonrakı fəsillərdən birində veriləcəkdir.

İndi fərqli bir şəkildə bir piramida quraq. Çoxüzlü bucaq verilsin, məsələn, təpəsi S olan pentaedral (şəkil).

Bir təyyarə çəkək R belə ki, verilmiş çoxüzlü bucağın bütün kənarlarını müxtəlif A, B, C, D, E nöqtələrində kəsir (şəkil). Onda SABCDE piramidasını çoxüzlü bucağın və yarım fəzanın sərhəd ilə kəsişməsi kimi qəbul etmək olar. R S təpəsinin yerləşdiyi .

Aydındır ki, piramidanın bütün üzlərinin sayı ixtiyari ola bilər, lakin dörddən az olmamalıdır. Üçbucaqlı bucaq müstəvi ilə kəsişdikdə dörd tərəfi olan üçbucaqlı piramida alınır. Hər hansı üçbucaqlı piramida bəzən adlanır tetraedr, tetraedr deməkdir.

Kəsilmiş piramida piramida əsas müstəvisinə paralel müstəvi ilə kəsilərsə alına bilər.

Şəkildə. Dördbucaqlı kəsilmiş piramidanın təsviri verilmişdir.

Kəsilmiş piramidalar da adlanır üçbucaqlı, dördbucaqlı, n-bucaqlı bazanın tərəflərinin sayından asılı olaraq. Kəsilmiş piramidanın qurulmasından belə nəticə çıxır ki, onun iki əsası var: yuxarı və aşağı. Kəsilmiş piramidanın əsasları iki çoxbucaqlıdır, tərəfləri cüt-cüt paraleldir. Kəsilmiş piramidanın yan üzləri trapezoidlərdir.

Hündürlük kəsilmiş piramida yuxarı bazanın istənilən nöqtəsindən aşağının müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar seqmentdir.

Daimi kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın baza ilə bazaya paralel kəsik müstəvisi arasında qapalı hissəsi adlanır. Düzgün kəsilmiş piramidanın (trapezoid) yan üzünün hündürlüyü deyilir apotem.

Sübut edilə bilər ki, müntəzəm kəsilmiş piramidanın yanal kənarları uyğundur, bütün yan üzlər konqruentdir və bütün apotemlər konqruentdir.

Düzgün kəsilmişsə n-kömür piramidası vasitəsilə A Və b n yuxarı və aşağı əsasların tərəflərinin uzunluqlarını göstərin və keçin h apoteminin uzunluğudur, onda piramidanın hər yan üzünün sahəsi bərabərdir

1 / 2 (A + b n) h

Piramidanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəminə onun yan səthinin sahəsi deyilir və S tərəfi təyin olunur. . Aydındır ki, düzgün kəsilmiş üçün n- kömür piramidası

S tərəfi = n 1 / 2 (A + b n) h.

Çünki pa= P və nb n= P 1 - kəsilmiş piramidanın əsaslarının perimetrləri, onda

S tərəfi = 1/2 (P + P 1) h,

yəni müntəzəm kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsi onun əsasları və apoteminin perimetrləri cəminin məhsulunun yarısına bərabərdir.

Piramidanın bazasına paralel olan hissə

Teorem. Əgər piramida bazaya paralel bir müstəvi ilə kəsişirsə, onda:

1) yan qabırğalar və hündürlük mütənasib hissələrə bölünəcək;

2) kəsikdə bazaya bənzər çoxbucaqlı alacaqsınız;

3) en kəsiyinin sahələri və əsasları yuxarıdan olan məsafələrinin kvadratları kimi əlaqələndirilir.

Üçbucaqlı piramida üçün teoremi sübut etmək kifayətdir.

Paralel müstəvilər paralel xətlər boyunca üçüncü müstəvi ilə kəsişir, onda (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (şək.).

Paralel xətlər bir bucağın tərəflərini mütənasib hissələrə kəsdi və buna görə də

$$ \frac(\left|(SA)\sağ|)(\sol|(SA_1)\sağ|)=\frac(\left|(SB)\sağ|)(\sol|(SB_1)\sağ| )=\frac(\left|(SC)\sağ|)(\sol|(SC_1)\sağ|) $$

Buna görə də, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 və

$$ \frac(\left|(AB)\sağ|)(\sol|(A_(1)B_1)\sağ|)=\frac(\left|(SB)\sağ|)(\sol|(SB_1) )\sağ|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 və

$$ \frac(\left|(BC)\sağ|)(\sol|(B_(1)C_1)\sağ|)=\frac(\left|(SB)\sağ|)(\sol|(SB_1) )\sağ|)=\frac(\sol|(SC)\sağ|)(\sol|(SC_1)\sağ|) $$

Beləliklə,

$$ \frac(\left|(AB)\sağ|)(\sol|(A_(1)B_1)\sağ|)=\frac(\sol|(BC)\sağ|)(\sol|(B_) (1)C_1)\sağ|)=\frac(\sol|(AC)\sağ|)(\sol|(A_(1)C_1)\sağ|) $$

ABC və A 1 B 1 C 1 üçbucaqlarının müvafiq bucaqları paralel və eyni tərəfləri olan bucaqlar kimi konqruentdir. Buna görə də

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Oxşar üçbucaqların sahələri müvafiq tərəflərin kvadratları kimi əlaqələndirilir:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\sol|(AB)\sağ|^2)(\sol|(A_(1)B_1)\sağ|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\sağ|)(\sol|(A_(1)B_1)\sağ|)=\frac(\sol|(SH)\sağ|)(\sol|(SH_1) )\sağ|) $$

Beləliklə,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\sol|(SH)\sağ|^2)(\sol|(SH_1)\sağ|^2) $$

Teorem. Hündürlüyü bərabər olan iki piramida yuxarıdan eyni məsafədə əsaslara paralel müstəvilərlə kəsilirsə, onda kəsiklərin sahələri əsasların sahələrinə mütənasibdir.

(Şəkil 84) B və B 1 iki piramidanın əsaslarının sahələri, H onların hər birinin hündürlüyü olsun, b Və b 1 - bazalara paralel olan və eyni məsafədə təpələrdən çıxarılan təyyarələrlə bölmə sahələri h.

Əvvəlki teoremə görə əldə edəcəyik:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: və \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
harada
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: və ya \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Nəticə.Əgər B = B 1 olarsa, onda b = b 1, yəni. Hündürlüyü bərabər olan iki piramidanın əsasları bərabərdirsə, yuxarıdan bərabər məsafədə yerləşən kəsiklər də bərabərdir.

Digər materiallar

Bu dərs sizə “Piramida” mövzusunda fikir əldə etməyə kömək edəcək. Daimi və kəsilmiş piramida." Bu dərsdə biz müntəzəm piramida anlayışı ilə tanış olacaq və ona tərif verəcəyik. Sonra düzgün piramidanın yan səthindəki teoremi və düzgün kəsilmiş piramidanın yanal səthindəki teoremi sübut edirik.

Mövzu: Piramida

Dərs: Daimi və kəsilmiş piramidalar

Tərif: Müntəzəm n-bucaqlı piramida bazasında nizami n-bucaqlı olan piramidadır və hündürlüyü bu n-bucaqlının mərkəzinə proqnozlaşdırılır (şək. 1).

düyü. 1

Daimi üçbucaqlı piramida

Əvvəlcə AB=BC=CA (yəni piramidanın təməlində düzgün üçbucaq yerləşir) olan ∆ABC-ni (şək. 2) nəzərdən keçirək. Müntəzəm üçbucaqda, yazısı olan və ətrafa çəkilmiş dairələrin mərkəzləri üst-üstə düşür və üçbucağın özünün mərkəzidir. Bu halda mərkəz aşağıdakı kimi tapılır: orta AB - C 1-i tapın, medianı, bissektrisasını və hündürlüyünü təşkil edən CC 1 seqmentini çəkin; oxşar şəkildə AC - B 1-in ortasını tapırıq və BB 1 seqmentini çəkirik. BB 1 və CC 1-in kəsişməsi ∆ABC-nin mərkəzi olan O nöqtəsi olacaqdır.

O üçbucağının mərkəzini S piramidasının təpəsi ilə birləşdirsək, piramidanın hündürlüyünü SO ⊥ ABC, SO = h alırıq.

S nöqtəsini A, B və C nöqtələri ilə birləşdirərək piramidanın yan kənarlarını alırıq.

Biz müntəzəm üçbucaqlı SABC piramidasını əldə etdik (şək. 2).

piramida. Kəsilmiş piramida

piramidaçoxbucaqlıdır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarları bərabər olan üçbucaqlı piramida adlanır tetraedr .

Yanal qabırğa piramidanın yan üzünün bazaya aid olmayan tərəfidir Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Müntəzəm piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzləri bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotem . Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi ilə piramidanın kəsişməsi adlanır.

Yan səth sahəsi piramida bütün yanal üzlərin sahələrinin cəmidir. Ümumi səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmi adlanır.

Teoremlər

1. Əgər piramidada bütün yanal kənarlar eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın ətrafa çəkilmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

2. Əgər piramidanın bütün yan kənarları bərabər uzunluğa malikdirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın ətrafa çəkilmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

3. Əgər piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya həkk olunmuş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düzgün düstur:

Harada V- həcm;

S bazası- baza sahəsi;

H- piramidanın hündürlüyü.

Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:

Harada səh- baza perimetri;

h a- apotem;

H- hündürlük;

S dolu

S tərəfi

S bazası- baza sahəsi;

V- müntəzəm piramidanın həcmi.

Kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə piramidanın bazasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır (şək. 17). Daimi kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın baza ilə piramidanın bazasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.

Səbəblər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapezoidlər. Hündürlük kəsilmiş piramidanın əsasları arasındakı məsafədir. Diaqonal kəsilmiş piramida eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən seqmentdir. Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi ilə kəsilmiş piramidanın kəsimidir.

Kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

(4)

Harada S 1 , S 2 – yuxarı və aşağı əsasların sahələri;

S dolu- ümumi səth sahəsi;

S tərəfi- yanal səth sahəsi;

H- hündürlük;

V– kəsilmiş piramidanın həcmi.

Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün düstur düzgündür:

Harada səh 1 , səh 2 – əsasların perimetrləri;

h a– müntəzəm kəsilmiş piramidanın apothemi.

Misal 1. Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 18).

Piramida nizamlıdır, yəni bazada bərabərtərəfli üçbucaq var və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaqdır a iki perpendikulyar arasında: və s. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzinə (dairənin mərkəzi və üçbucağın yazılı dairəsi) proqnozlaşdırılır. ABC). Yan kənarın meyl açısı (məsələn S.B.) kənarın özü ilə təməl müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün S.B. bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ Və O.B.. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-ə bərabərdir A. Nöqtə HAQQINDA xətt seqmenti BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: Biz tapırıq:

Cavab:

Misal 2. Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın həcmini tapın, əgər onun əsaslarının diaqonalları sm və sm-ə bərabərdirsə, hündürlüyü isə 4 sm-dir.

Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahəsini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-ə bərabərdir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:

Cavab: 112 sm 3.

Misal 3.Əsaslarının tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).

Bu piramidanın yan üzü ikitərəfli trapesiyadır. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün baza və hündürlüyü bilmək lazımdır. Əsaslar şərtə uyğun verilir, yalnız hündürlüyü naməlum qalır. Onu haradan tapacağıq A 1 E bir nöqtədən perpendikulyar A 1 alt baza müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A başına 1 AC. A 1 E= 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq DEÜst görünüşü göstərən əlavə bir rəsm çəkək (şək. 20). Nöqtə HAQQINDA– yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam– dairəyə yazılmış radius və OM- dairədə yazılmış radius:

MK = DE.

-dən Pifaqor teoreminə görə

Yan üz sahəsi:

Cavab:

Misal 4. Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir A Və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq meydana gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.

Gəlin belə bir ifadədən istifadə edək ki, əgər piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər meyllidirsə, onda təpə bazaya yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir. Nöqtə HAQQINDA– təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Müstəvi fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsinə dair teoremdən istifadə edərək əldə edirik:

Eynilə o deməkdir Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Gəlin trapesiya çəkək A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə HAQQINDA– trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzi.

Dairə trapesiyaya yazıla bildiyi üçün, o zaman və ya Pifaqor teoremindən bizdə

Bu dərsdə biz kəsilmiş piramidaya baxacağıq, müntəzəm kəsilmiş piramida ilə tanış olacaq və onların xassələrini öyrənəcəyik.

Üçbucaqlı piramida nümunəsindən istifadə edərək n-bucaqlı piramida anlayışını xatırlayaq. ABC üçbucağı verilmişdir. Üçbucağın müstəvisindən kənarda, üçbucağın təpələri ilə əlaqəli P nöqtəsi alınır. Yaranan çoxüzlü səth piramida adlanır (şək. 1).

düyü. 1. Üçbucaqlı piramida

Piramidanın bünövrəsinin müstəvisinə paralel olan müstəvi ilə piramidanı kəsək. Bu müstəvilər arasında alınan fiqur kəsilmiş piramida adlanır (şək. 2).

düyü. 2. Kəsilmiş piramida

Əsas elementlər:

Üst baza;

ABC alt bazası;

Yan üz;

PH orijinal piramidanın hündürlüyüdürsə, o zaman kəsilmiş piramidanın hündürlüyüdür.

Kəsilmiş piramidanın xüsusiyyətləri onun qurulması üsulundan, yəni əsasların müstəvilərinin paralelliyindən yaranır:

Kəsilmiş piramidanın bütün yan üzləri trapesiya şəklindədir. Məsələn, kənarı nəzərdən keçirin. Paralel müstəvilərin xassəsinə malikdir (təyyarələr paralel olduğundan, onlar orijinal AVR piramidasının yan üzünü paralel düz xətlər boyunca kəsirlər), lakin eyni zamanda paralel deyillər. Aydındır ki, dördbucaqlı, kəsilmiş piramidanın bütün yan üzləri kimi trapesiyadır.

Əsasların nisbəti bütün trapezoidlər üçün eynidır:

Bizdə eyni oxşarlıq əmsalı olan bir neçə cüt oxşar üçbucaq var. Məsələn, üçbucaqlar və RAB təyyarələrin paralelliyi və oxşarlıq əmsalı ilə oxşardır:

Eyni zamanda, üçbucaqlar və RVS oxşarlıq əmsalı ilə oxşardır:

Aydındır ki, oxşar üçbucağın hər üç cütü üçün oxşarlıq əmsalları bərabərdir, ona görə də əsasların nisbəti bütün trapezoidlər üçün eynidir.

Müntəzəm kəsilmiş piramida bazaya paralel bir müstəvi ilə müntəzəm piramidanın kəsilməsi ilə əldə edilən kəsilmiş piramidadır (şəkil 3).

düyü. 3. Daimi kəsilmiş piramida

Tərif.

Piramidanın əsası düzgün n-bucaqlıdırsa və təpəsi bu n-bucaqlının mərkəzinə proyeksiya edilirsə, ona müntəzəm deyilir.

Bu halda, piramidanın təməlində bir kvadrat var və üstü onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsində proqnozlaşdırılır. Yaranan müntəzəm dördbucaqlı kəsikli piramida ABCD daha aşağı bazaya və yuxarı əsasa malikdir. Orijinal piramidanın hündürlüyü RO, kəsilmiş piramidadır (şək. 4).

düyü. 4. Daimi dördbucaqlı kəsilmiş piramida

Tərif.

Kəsilmiş piramidanın hündürlüyü bir bazanın istənilən nöqtəsindən ikinci bazanın müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyardır.

İlkin piramidanın apotemi RM (M AB-nin ortasıdır), kəsilmiş piramidanın apotemidir (şək. 4).

Tərif.

Kəsilmiş piramidanın apotemi istənilən yan üzün hündürlüyüdür.

Aydındır ki, kəsilmiş piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, yəni yan üzləri bərabər ikitərəfli trapesiyalardır.

Müntəzəm kəsilmiş piramidanın yanal səthinin sahəsi əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir.

Sübut (müntəzəm dördbucaqlı kəsilmiş piramida üçün - şək. 4):

Beləliklə, sübut etməliyik:

Buradakı yan səthin sahəsi yan üzlərin - trapezoidlərin sahələrinin cəmindən ibarət olacaqdır. Trapezoidlər eyni olduğundan, bizdə:

İkitərəfli trapezoidin sahəsi əsasların və hündürlüyün cəminin yarısının məhsuludur; apotem trapezoidin hündürlüyüdür. Bizdə:

Q.E.D.

n-bucaqlı piramida üçün:

Burada n piramidanın yan üzlərinin sayı, a və b trapezoidin əsaslarıdır və apotemdir.

Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri bərabər 3 sm və 9 sm, hündürlüyü - 4 sm Yan səthin sahəsini tapın.

düyü. 5. Problem 1 üçün illüstrasiya

Həll. Şərti təsvir edək:

Sual verən: , ,

O nöqtəsi vasitəsilə aşağı əsasın iki tərəfinə paralel MN düz xətti çəkirik və eynilə nöqtədən də düz xətt çəkirik (şək. 6). Kəsilmiş piramidanın əsaslarındakı kvadratlar və konstruksiyalar paralel olduğundan yan üzlərə bərabər olan trapesiya alırıq. Üstəlik, onun tərəfi yan üzlərin yuxarı və aşağı kənarlarının orta nöqtələrindən keçəcək və kəsilmiş piramidanın apothemi olacaqdır.

düyü. 6. Əlavə konstruksiyalar

Yaranan trapesiyanı nəzərdən keçirək (şək. 6). Bu trapezoiddə yuxarı baza, alt baza və hündürlük məlumdur. Verilmiş kəsilmiş piramidanın apotemi olan tərəfi tapmaq lazımdır. MN-ə perpendikulyar çəkək. Nöqtədən perpendikulyar NQ-ni aşağı salırıq. Daha böyük bazanın üç santimetrlik seqmentlərə bölündüyünü görürük (). Düzgün üçbucağı nəzərdən keçirək, içindəki ayaqları məlumdur, bu Misir üçbucağıdır, Pifaqor teoremindən istifadə edərək hipotenuzun uzunluğunu təyin edirik: 5 sm.

İndi piramidanın yan səthinin sahəsini təyin etmək üçün bütün elementlər var:

Piramida bazaya paralel bir müstəvi ilə kəsişir. Üçbucaqlı piramida nümunəsindən istifadə edərək, piramidanın yan kənarlarının və hündürlüyünün bu müstəvi ilə mütənasib hissələrə bölündüyünü sübut edin.

Sübut. Gəlin təsvir edək:

düyü. 7. Problem 2 üçün illüstrasiya

RABC piramidası verilmişdir. PO - piramidanın hündürlüyü. Piramida bir təyyarə ilə kəsilir, kəsilmiş bir piramida alınır və. Nöqtə - RO hündürlüyünün kəsilmiş piramidanın təməlinin müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi. Sübut etmək lazımdır:

Həllin açarı paralel müstəvilərin mülkiyyətidir. İki paralel təyyarə istənilən üçüncü müstəvini elə kəsir ki, kəsişmə xətləri paralel olsun. Buradan: . Müvafiq xətlərin paralelliyi dörd cüt oxşar üçbucağın mövcudluğunu nəzərdə tutur:

Üçbucaqların oxşarlığından müvafiq tərəflərin mütənasibliyi əmələ gəlir. Əhəmiyyətli bir xüsusiyyət, bu üçbucaqların oxşarlıq əmsallarının eyni olmasıdır:

Q.E.D.

Bazasının hündürlüyü və tərəfi olan müntəzəm üçbucaqlı RABC piramidası ABC bazasına paralel PH hündürlüyünün ortasından keçən müstəvi ilə parçalanır. Nəticədə kəsilmiş piramidanın yanal səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin təsvir edək:

düyü. 8. Problem 3 üçün illüstrasiya

ACB nizamlı üçbucaqdır, H bu üçbucağın mərkəzidir (yazılı və sərhədlənmiş dairələrin mərkəzi). RM verilmiş piramidanın apothemidir. - kəsilmiş piramidanın apothemi. Paralel müstəvilərin xassəsinə görə (iki paralel müstəvi istənilən üçüncü müstəvini elə kəsir ki, kəsişmə xətləri paralel olsun) bizdə bərabər oxşarlıq əmsalı olan bir neçə cüt oxşar üçbucaq var. Xüsusilə, əlaqələrlə maraqlanırıq:

NM-i tapaq. Bu, bazaya yazılmış bir dairənin radiusudur; biz müvafiq düsturu bilirik:

İndi PHM sağ üçbucağından Pifaqor teoremindən istifadə edərək RM - orijinal piramidanın apothemini tapırıq:

İlkin nisbətdən:

İndi biz kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsini tapmaq üçün bütün elementləri bilirik:

Beləliklə, biz kəsilmiş piramida və müntəzəm kəsilmiş piramida anlayışları ilə tanış olduq, əsas təriflər verdik, xassələrini araşdırdıq və yanal səthin sahəsinə dair teoremi sübut etdik. Növbəti dərs problemin həllinə yönəldiləcək.

Biblioqrafiya

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (əsas və ixtisas səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, rev. və əlavə - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə.
2. Sharygin I. F. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik / Sharygin İ.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. Həndəsə. 10-cu sinif: Riyaziyyatı dərindən və ixtisaslaşdırılmış ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. - 6-cı nəşr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: xəstə.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Ev tapşırığı