Απόδειξη του αντίστροφου του θεωρήματος του Βιέτα. Πώς να αποδείξετε το θεώρημα του Βιέτα

Τρεις αριθμοί 12x, x 2-5 και 4 με αυτή τη σειρά σχηματίζουν μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο https://youtu.be/U0VO_N9udpIΕπιλέξτε τη σωστή δήλωση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ZFTSH MIPT Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Σχολή Αλληλογραφίας Φυσικής και Τεχνολογίας. http://pin.it/9w-GqGpΒρείτε όλα τα x, y και z έτσι ώστε οι αριθμοί 5x + 3, y2 και 3z + 5 να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με αυτή τη σειρά. Βρείτε το x και υποδείξτε τη διαφορά αυτής της προόδου. Λύστε το σύστημα εξισώσεων Μαθηματικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Μαθήματα βίντεο. Διαιρετότητα ακεραίων. Γραμμική συνάρτηση. Προβλήματα διαιρετότητας. Το θεώρημα του Βιέτα, το θεώρημα της αντίστροφης, οι τύποι του Βιέτα. έξυπνος #Φοιτητές #εξισώσεις #vietas_theorem #θεώρημα Στη συνέχεια θεωρούμε το θεώρημα αντίστροφο με το θεώρημα του Vieta. Μετά από αυτό, θα αναλύσουμε τις λύσεις στα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα. Αυτό αποδεικνύει την πρώτη σχέση του θεωρήματος του Vieta για το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας περάσουμε στο δεύτερο. Πώς να αποδείξετε το αντίστροφο του θεωρήματος του Βιέτα; DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) =0 (x-M ) (x-N) =0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. Έτσι το αποδείξαμε σε μια εξειδικευμένη τάξη με μαθηματική προκατάληψη. Απαντήσεις: βοηθήστε στην κατανόηση του αντιστρόφου θεωρήματος του θεωρήματος του Vieta χάρη σε συγκεκριμένα παραδείγματα Το αντίστροφο θεώρημα του θεωρήματος του Vieta βοηθά στην επίλυση της λύσης: Εάν ο συντελεστής a είναι ένας αριθμός από τον οποίο είναι εύκολο να εξαχθεί η τετραγωνική ρίζα ενός ορθολογικού ακέραιου αριθμού, τότε το Το άθροισμα των x1 και x2 θα είναι ίσο με τον αριθμό Αποδείξτε το αντίστροφο θεώρημα Vieta - δείτε πώς να παραπονεθείτε για την απόδειξη του θεωρήματος του Vieta. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Vieta, καθώς και το θεώρημα της αντίστροφης, και εφαρμόστε τα θεωρήματα για να λύσετε εξισώσεις και προβλήματα. Να αποδείξετε το αντίστροφο του θεωρήματος του Βιέτα. Ενιαία κρατική εξέταση στα μαθηματικά για 100 βαθμούς: μυστικά που δεν σας λένε οι δάσκαλοι, προβλήματα σε παράγωγα. Πολλοί υποψήφιοι πιστεύουν ότι δεν χρειάζεται να προετοιμαστούν για τα πρώτα δεκατέσσερα προβλήματα, νομίζοντας ότι είναι πολύ εύκολα, αλλά δεν είναι έτσι! Οι περισσότεροι εξεταζόμενοι κάνουν τα πιο απλά αριθμητικά λάθη, επισκιάζοντας έτσι την εξαιρετική λύση στα προβλήματα του μέρους Γ. Τέτοιες καταστάσεις συμβαίνουν πολύ συχνά, επομένως, δεν πρέπει να αμελείτε την προετοιμασία για τα πρώτα προβλήματα, αλλά να προετοιμαστείτε όπως θα κάνατε κατά τη διάρκεια μιας αθλητικής προπόνησης: αν κάνετε αίτηση για 90-100 βαθμούς - εξασκηθείτε στην επίλυση του πρώτου μπλοκ σε 20-25 λεπτά, εάν για 70-80 βαθμούς - περίπου 30 λεπτά, όχι περισσότερο. Ένας εξαιρετικός τρόπος εκπαίδευσης είναι να λύνεις παρέα με έναν δάσκαλο, σε μαθήματα όπου θα τεθούν ορισμένες προϋποθέσεις: για παράδειγμα, λύνεις πριν από το πρώτο λάθος και μετά παραδίδεις τη δουλειά. Μια άλλη επιλογή είναι ότι για κάθε λάθος που κάνετε, δωρίζετε χρήματα στο γενικό ταμείο. Όσο περίεργο κι αν φαίνεται, δεν συνιστούμε την επίσημη ιστοσελίδα, αφού όλα τα τεστ εκεί είναι τόσο μπερδεμένα που είναι αδύνατη η χρήση του. Η μορφοποίηση των εργασιών του Μέρους Γ είναι σημαντική. Εάν η λύση δεν συνταχθεί προσεκτικά, τότε η πρόοδος επίλυσης της εργασίας θα είναι ασαφής και επομένως, ο εξεταστής σίγουρα θα βρει σφάλμα σε αυτό και θα μειώσει τη βαθμολογία σας. Φαίνεται ότι μιλήσαμε για πολύ απλά πράγματα, αλλά ακολουθώντας τις συμβουλές μας, θα διασφαλίσετε ότι θα περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους! Οι μυστικοί σύνδεσμοι που συζητήθηκαν στο Master Class μπορείτε να βρείτε εδώ - αυτοί είναι σύνδεσμοι για μαθήματα βίντεο για την προετοιμασία για την Εξεταστική Ενιαία Πολιτεία. Το αποτέλεσμα που προκύπτει ονομάζεται θεώρημα Vieta. Για το μειωμένο τετράγωνο τριώνυμο 2 x px q, το θεώρημα του Vieta μοιάζει με αυτό: εάν υπάρχουν ρίζες, τότε ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta: εάν οι αριθμοί ικανοποιούν τις συνθήκες, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι ένα από τα ερωτήματα ελέγχου της Εργασίας. Μερικές φορές, για συντομία, και τα δύο θεωρήματα του Βιέτα (άμεσο και αντίστροφο) ονομάζονται απλώς θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται συχνά για τον έλεγχο ριζών που έχουν ήδη βρεθεί. Εάν έχετε βρει τις ρίζες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) για να υπολογίσετε τις τιμές του \(p \) και \(q\ ). Και αν αποδειχθούν ότι είναι ίδια με την αρχική εξίσωση, τότε οι ρίζες βρίσκονται σωστά.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε χρησιμοποιώντας το , την εξίσωση \(x^2+x-56=0\) και πάρουμε τις ρίζες: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ας ελέγξουμε αν κάναμε λάθος στη διαδικασία λύσης. Στην περίπτωσή μας, \(p=1\), και \(q=-56\). Με το θεώρημα του Vieta έχουμε:

\(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\) \(\αριστερό βέλος\) \(\αρχή(περιπτώσεις)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (περιπτώσεις)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (περιπτώσεις)\ )

Και οι δύο προτάσεις συνέκλιναν, πράγμα που σημαίνει ότι λύσαμε σωστά την εξίσωση.

Αυτός ο έλεγχος μπορεί να γίνει από το στόμα. Θα πάρει 5 δευτερόλεπτα και θα σας σώσει από ανόητα λάθη.

Αντίστροφο θεώρημα του Vieta

Αν \(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\), τότε \(x_1\) και \(x_2\) είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης \ (x^ 2+px+q=0\).

Ή με έναν απλό τρόπο: εάν έχετε μια εξίσωση της μορφής \(x^2+px+q=0\), τότε λύνετε το σύστημα \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) θα βρείτε τις ρίζες του.

Χάρη σε αυτό το θεώρημα, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, ειδικά αν αυτές οι ρίζες είναι . Αυτή η ικανότητα είναι σημαντική γιατί εξοικονομεί πολύ χρόνο.

Παράδειγμα . Λύστε την εξίσωση \(x^2-5x+6=0\).

Λύση : Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο θεώρημα του Vieta, βρίσκουμε ότι οι ρίζες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις: \(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(περιπτώσεις)\).
Δείτε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος \(x_1 \cdot x_2=6\). Σε ποια δύο μπορεί να αποσυντεθεί ο αριθμός \(6\); Σε \(2\) και \(3\), \(6\) και \(1\) ή \(-2\) και \(-3\), και \(-6\) και \(- 1\). Η πρώτη εξίσωση του συστήματος θα σας πει ποιο ζευγάρι να επιλέξετε: \(x_1+x_2=5\). Τα \(2\) και \(3\) είναι παρόμοια, αφού \(2+3=5\).
Απάντηση : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Παραδείγματα . Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
α) \(x^2-15x+14=0\); β) \(x^2+3x-4=0\); γ) \(x^2+9x+20=0\); δ) \(x^2-88x+780=0\).

Λύση :
α) \(x^2-15x+14=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(14\); \(2\) και \(7\), \(-2\) και \(-7\), \(-1\) και \(-14\), \(1\) και \(14\ ). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται στο \(15\); Απάντηση: \(1\) και \(14\).

β) \(x^2+3x-4=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(-4\); \(-2\) και \(2\), \(4\) και \(-1\), \(1\) και \(-4\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-3\); Απάντηση: \(1\) και \(-4\).

γ) \(x^2+9x+20=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(20\); \(4\) και \(5\), \(-4\) και \(-5\), \(2\) και \(10\), \(-2\) και \(-10\ ), \(-20\) και \(-1\), \(20\) και \(1\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-9\); Απάντηση: \(-4\) και \(-5\).

δ) \(x^2-88x+780=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(780\); \(390\) και \(2\). Θα αθροιστούν στο \(88\); Οχι. Τι άλλους πολλαπλασιαστές έχει ο \(780\); \(78\) και \(10\). Θα αθροιστούν στο \(88\); Ναί. Απάντηση: \(78\) και \(10\).

Δεν είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε τον τελευταίο όρο σε όλους τους πιθανούς παράγοντες (όπως στο τελευταίο παράδειγμα). Μπορείτε να ελέγξετε αμέσως αν το άθροισμά τους δίνει \(-p\).

Σπουδαίος!Το θεώρημα του Vieta και το αντίστροφο θεώρημα λειτουργούν μόνο με , δηλαδή με ένα για το οποίο ο συντελεστής \(x^2\) είναι ίσος με ένα. Αν αρχικά μας δόθηκε μια μη ανηγμένη εξίσωση, τότε μπορούμε να την κάνουμε μειωμένη διαιρώντας απλώς με τον συντελεστή μπροστά από το \(x^2\).

Για παράδειγμα, ας δοθεί η εξίσωση \(2x^2-4x-6=0\) και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα από τα θεωρήματα του Vieta. Αλλά δεν μπορούμε, αφού ο συντελεστής \(x^2\) είναι ίσος με \(2\). Ας το ξεφορτωθούμε διαιρώντας ολόκληρη την εξίσωση με το \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Ετοιμος. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τα δύο θεωρήματα.

Απαντήσεις σε συχνές ερωτήσεις

Ερώτηση: Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να λύσετε οποιοδήποτε ?
Απάντηση: Δυστυχώς όχι. Εάν η εξίσωση δεν περιέχει ακέραιους αριθμούς ή η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες, τότε το θεώρημα του Vieta δεν θα βοηθήσει. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιήσετε διακριτική . Ευτυχώς, το 80% των εξισώσεων στα σχολικά μαθηματικά έχουν ακέραιες λύσεις.

Τετραγωνική λειτουργία.

Μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = ax2 + bx + c, όπου x και y είναι μεταβλητές και a, b, c δίνονται αριθμοί και το a δεν είναι ίσο με 0.
που ονομάζεται τετραγωνική λειτουργία

Επιλέγοντας ένα πλήρες τετράγωνο.

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, προϋποθέσεις ύπαρξης και αριθμοί.

– διάκριση δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Άμεσα και αντίστροφα θεωρήματα Vieta.

Αποσύνθεση τετραγωνικού τριωνύμου σε γραμμικούς συντελεστές.

Θεώρημα. Αφήνω

Χ 1 και Χ 2 - ρίζες τετραγωνικού τριωνύμουΧ 2 + px + q. Τότε αυτό το τριώνυμο διασπάται σε γραμμικούς παράγοντες ως εξής:Χ 2 + px + q = (Χ - Χ 1) (Χ - Χ 2).

Απόδειξη. Ας αντικαταστήσουμε

ΠΚαι qτις εκφράσεις τους μέσωΧ 1 και Χ 2 και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο ομαδοποίησης:

x 2 + px + q = Χ 2 - (Χ 1 + Χ 2 ) Χ + Χ 1 Χ 2 = Χ 2 - Χ 1 Χ - Χ 2 Χ + Χ 1 Χ 2 = Χ (Χ - Χ 1 ) - Χ 2 (Χ - Χ 1 ) = = (Χ - Χ 1 ) (Χ - Χ 2 ). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Τετραγωνική εξίσωση. Γράφημα τετραγωνικού τριωνύμου

Εξίσωση της φόρμας

ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση. Ο αριθμός D = b 2 - 4ac είναι η διάκριση αυτής της εξίσωσης.
Αν

μετά τους αριθμούς

είναι οι ρίζες (ή λύσεις) μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν D = 0, τότε οι ρίζες είναι ίδιες:

Αν ο Δ< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Έγκυροι τύποι:

— Τύποι Vieta. ΕΝΑ
ax 2 + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) -
τύπος παραγοντοποίησης.
Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης (τετραγωνικό τριώνυμο) y = ax 2 + bx + c είναι παραβολή. Η θέση της παραβολής ανάλογα με τα πρόσημα του συντελεστή a και του διακρίντη D φαίνεται στο Σχ.


Οι αριθμοί x 1 και x 2 στον άξονα της τετμημένης είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης ax 2 + bx + + c = 0; συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής (σημείο Α) σε όλες τις περιπτώσεις

το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα τεταγμένων έχει συντεταγμένες (0; c).
Όπως μια ευθεία γραμμή και ένας κύκλος, μια παραβολή χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο μέρη. Σε ένα από αυτά τα μέρη, οι συντεταγμένες όλων των σημείων ικανοποιούν την ανισότητα y > ax 2 + bx + c, και στο άλλο, το αντίθετο. Προσδιορίζουμε το πρόσημο της ανισότητας στο επιλεγμένο τμήμα του επιπέδου βρίσκοντάς το σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του τμήματος του επιπέδου.
Ας εξετάσουμε την έννοια της εφαπτομένης σε μια παραβολή (ή κύκλο). Θα ονομάσουμε την ευθεία y - kx + 1 εφαπτομένη σε μια παραβολή (ή κύκλο) αν έχει ένα κοινό σημείο με αυτήν την καμπύλη.


Στο σημείο επαφής M(x; y), για μια παραβολή ισχύει η ισότητα kx +1 = ax 2 + bx + c (για κύκλο - η ισότητα (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0 ) 2 - R 2). Εξισώνοντας τη διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που προκύπτει με το μηδέν (καθώς η εξίσωση πρέπει να έχει μοναδική λύση), καταλήγουμε στις προϋποθέσεις για τον υπολογισμό των συντελεστών εφαπτομένων.Η ουσία αυτής της τεχνικής είναι να βρεις ρίζες χωρίς τη βοήθεια κάποιου διακριτικού. Για μια εξίσωση της μορφής x2 + bx + c = 0, όπου υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Η πρώτη πρόταση δηλώνει ότι το άθροισμα των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι ίσο με την τιμή του συντελεστή της μεταβλητής x (στην περίπτωση αυτή είναι b), αλλά με το αντίθετο πρόσημο. Οπτικά μοιάζει με αυτό: x1 + x2 = −b.

Η δεύτερη πρόταση δεν σχετίζεται πλέον με το άθροισμα, αλλά με το γινόμενο αυτών των δύο ριζών. Αυτό το γινόμενο εξισώνεται με τον ελεύθερο συντελεστή, δηλ. ντο. Ή, x1 * x2 = c. Και τα δύο αυτά παραδείγματα επιλύονται στο σύστημα.

Το θεώρημα του Vieta απλοποιεί πολύ τη λύση, αλλά έχει έναν περιορισμό. Μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική πρέπει να μειωθεί. Στην παραπάνω εξίσωση, ο συντελεστής a, αυτός μπροστά από το x2, είναι ίσος με ένα. Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να έλθει σε παρόμοια μορφή διαιρώντας την έκφραση με τον πρώτο συντελεστή, αλλά αυτή η πράξη δεν είναι πάντα ορθολογική.

Απόδειξη του θεωρήματος

Αρχικά, θα πρέπει να θυμόμαστε πόσο παραδοσιακά συνηθίζεται να αναζητούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Βρίσκονται η πρώτη και η δεύτερη ρίζα, δηλαδή: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Γενικά διαιρείται με το 2a, αλλά, όπως ήδη αναφέρθηκε, το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί μόνο όταν a=1.

Από το θεώρημα του Βιέτα είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με πρόσημο μείον. Αυτό σημαίνει ότι x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο αγνώστων ριζών: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Με τη σειρά του, D = b2-4c (και πάλι με a=1). Αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα είναι: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Από την απλή απόδειξη που δίνεται, μόνο ένα συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί: το θεώρημα του Vieta επιβεβαιώνεται πλήρως.

Δεύτερη διατύπωση και απόδειξη

Το θεώρημα του Βιέτα έχει άλλη ερμηνεία. Για να είμαστε πιο ακριβείς, δεν είναι ερμηνεία, αλλά διατύπωση. Το γεγονός είναι ότι εάν πληρούνται οι ίδιες προϋποθέσεις όπως στην πρώτη περίπτωση: υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε το θεώρημα μπορεί να γραφτεί με άλλο τύπο.

Αυτή η ισότητα μοιάζει με αυτό: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Αν η συνάρτηση P(x) τέμνεται σε δύο σημεία x1 και x2, τότε μπορεί να γραφεί ως P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Στην περίπτωση που το P έχει δεύτερο βαθμό, και αυτό ακριβώς μοιάζει με την αρχική έκφραση, τότε το R είναι πρώτος αριθμός, δηλαδή το 1. Αυτή η πρόταση είναι αληθής για το λόγο ότι διαφορετικά δεν θα ισχύει η ισότητα. Ο συντελεστής x2 κατά το άνοιγμα των αγκύλων δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από ένα και η έκφραση πρέπει να παραμένει τετράγωνη.

Ι. Θεώρημα Vietaγια την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.

Άθροισμα ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0ισούται με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Να βρείτε τις ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα.

Παράδειγμα 1) x 2 -x-30=0.Αυτή είναι η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ( x 2 +px+q=0), δεύτερος συντελεστής p=-1, και το ελεύθερο μέλος q=-30.Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι αυτή η εξίσωση έχει ρίζες και ότι οι ρίζες (αν υπάρχουν) θα εκφράζονται σε ακέραιους αριθμούς. Για να γίνει αυτό, αρκεί η διάκριση να είναι ένα τέλειο τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού.

Βρίσκοντας το διακριτικό ρε=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Τώρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, το άθροισμα των ριζών πρέπει να είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, δηλ. ( -Π), και το γινόμενο ισούται με τον ελεύθερο όρο, δηλ. ( q). Επειτα:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.Πρέπει να επιλέξουμε δύο αριθμούς έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με -30 , και το ποσό είναι μονάδα. Αυτά είναι νούμερα -5 Και 6 . Απάντηση: -5; 6.

Παράδειγμα 2) x 2 +6x+8=0.Έχουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση με τον δεύτερο συντελεστή p=6και ελεύθερο μέλος q=8. Ας βεβαιωθούμε ότι υπάρχουν ακέραιες ρίζες. Ας βρούμε το διακριτικό Δ 1 Δ 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Η διάκριση D 1 είναι το τέλειο τετράγωνο του αριθμού 1 , που σημαίνει ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ακέραιοι. Ας επιλέξουμε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με –ρ=-6, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με q=8. Αυτά είναι νούμερα -4 Και -2 .

Μάλιστα: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Απάντηση: -4; -2.

Παράδειγμα 3) x 2 +2x-4=0. Σε αυτή τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, ο δεύτερος συντελεστής p=2, και το ελεύθερο μέλος q=-4. Ας βρούμε το διακριτικό Δ 1, αφού ο δεύτερος συντελεστής είναι ζυγός αριθμός. Δ 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Η διάκριση δεν είναι τέλειο τετράγωνο του αριθμού, έτσι κάνουμε συμπέρασμα: Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης δεν είναι ακέραιοι και δεν μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.Αυτό σημαίνει ότι λύνουμε αυτήν την εξίσωση, ως συνήθως, χρησιμοποιώντας τους τύπους (σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιώντας τους τύπους). Παίρνουμε:

Παράδειγμα 4).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν x 1 =-7, x 2 =4.

Λύση.Η απαιτούμενη εξίσωση θα γραφτεί με τη μορφή: x 2 +px+q=0, και, με βάση το θεώρημα του Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 +3x-28=0.

Παράδειγμα 5).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν:

II. Το θεώρημα του Βιέταγια μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0.

Το άθροισμα των ριζών είναι μείον σι, διαιρούμενο με ΕΝΑ, το γινόμενο των ριζών ισούται με Με, διαιρούμενο με ΕΝΑ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Παράδειγμα 6).Να βρείτε το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης 2x 2 -7x-11=0.