Δοκιμή «Κάθετες γραμμές στο χώρο. Καθετότητα ευθείας και επιπέδου

Για παράδειγμα, η καθετότητα των γραμμών m (\displaystyle m)Και n (\displaystyle n)γράψτε το ως m ⊥ n (\displaystyle m\perp n).

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

    1 / 5

    ✪ Βαθμός 10, μάθημα 17, Σημάδι καθετότητας ευθείας και επιπέδου

    ✪ στερεομετρία ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ κάθετες στο επίπεδο

    ✪ Καθετότητα ευθείας και επιπέδου. Γεωμετρία τάξεις 10-11. Μάθημα 7

    ✪ στερεομετρία ΣΗΜΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

    ✪ 10η τάξη, μάθημα 15, Κάθετες γραμμές στο διάστημα

    Υπότιτλοι

Στην επιφάνεια

Κάθετες γραμμές σε ένα επίπεδο

Σε μια αναλυτική έκφραση, ευθείες γραμμές που ορίζονται από γραμμικές συναρτήσεις y = tg ⁡ α 1 x + b 1 (\displaystyle y=\όνομα χειριστή (tg) \alpha _(1)x+b_(1))Και y = tg ⁡ α 2 x + b 2 (\displaystyle y=\όνομα χειριστή (tg) \alpha _(2)x+b_(2))θα είναι κάθετη αν πληρούται η προϋπόθεση α 2 = 1 2 π + α 1 (\displaystyle \alpha _(2)=(\frac (1)(2))\pi +\alpha _(1)). Αυτές οι ίδιες ευθείες θα είναι κάθετες αν tg ⁡ α 1 tg ⁡ α 2 = − 1 (\displaystyle \όνομα χειριστή (tg) \alpha _(1)\όνομα χειριστή (tg) \alpha _(2)=-1). (Εδώ α 1 , α 2 (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2))- γωνίες κλίσης ευθείας προς την οριζόντια)

Κατασκευή καθέτου

Βήμα 1: (το κόκκινο) Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σχεδιάστε ένα ημικύκλιο με κέντρο στο σημείο P, παίρνοντας τα σημεία Α" και Β".

Βήμα 2: (πράσινος) Χωρίς να αλλάξουμε την ακτίνα, κατασκευάζουμε δύο ημικύκλια με κέντρο στα σημεία Α" και Β", αντίστοιχα, περνώντας από το σημείο Ρ. Εκτός από το σημείο Ρ, υπάρχει ένα άλλο σημείο τομής αυτών των ημικυκλίων, ας το ονομάσουμε Q.

Βήμα 3: (μπλε) Συνδέστε τα σημεία P και Q. Η PQ είναι η κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

Συντεταγμένες του σημείου βάσης μιας κάθετης σε μια ευθεία

A (x a , y a) (\displaystyle A(x_(a),y_(a)))Και B (x b , y b) (\displaystyle B(x_(b),y_(b)))- ευθεία, O (x o , y o) (\displaystyle O(x_(o),y_(o)))- η βάση μιας καθέτου έπεσε από ένα σημείο P (x p , y p) (\displaystyle P(x_(p),y_(p))).

Αν x a = x b (\displaystyle x_(a)=x_(b))(κάθετη), λοιπόν x o = x a (\displaystyle x_(o)=x_(a))Και y o = y p (\displaystyle y_(o)=y_(p)). Αν y a = y b (\displaystyle y_(a)=y_(b))(οριζόντια), λοιπόν x o = x p (\displaystyle x_(o)=x_(p))Και y o = y a (\displaystyle y_(o)=y_(a)).

Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις:

x o = x a ⋅ (y b − y a) 2 + x p ⋅ (x b − x a) 2 + (x b − x a) ⋅ (y b − y a) ⋅ (y p − y a) (y b − y a) 2 + (x b − x a) 2 (\displaystyle x_(o)=(\frac (x_(a)\cdot (y_(b)-y_(a))^(2)+x_(p)\cdot (x_(b)-x_(a) )^(2)+(x_(b)-x_(a))\cdot (y_(b)-y_(a))\cdot (y_(p)-y_(a)))((y_(b) -y_(a))^(2)+(x_(b)-x_(a))^(2)))); y o = (x b − x a) ⋅ (x p − x o) (y b − y a) + y p (\displaystyle y_(o)=(\frac ((x_(b)-x_(a))\cdot (x_(p) -x_(o)))((y_(b)-y_(a))))+y_(p)).

Σε τρισδιάστατο χώρο

Κάθετες γραμμές

Δύο ευθείες στο διάστημα είναι κάθετες μεταξύ τους αν είναι αντίστοιχα παράλληλες με κάποιες άλλες δύο αμοιβαία κάθετες ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ονομάζονται κάθετες (ή αμοιβαία κάθετες) αν σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.

Καθετότητα ευθείας σε επίπεδο

Ορισμός: Μια ευθεία λέγεται κάθετη σε ένα επίπεδο αν είναι κάθετη σε όλες τις ευθείες που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.

Σημάδι: Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε καθεμία από δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου, τότε είναι κάθετη σε αυτό το επίπεδο.

Ένα επίπεδο κάθετο σε μία από δύο παράλληλες ευθείες είναι επίσης κάθετο στην άλλη. Μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου διέρχεται μια ευθεία κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο και μόνο μία.

Κάθετα επίπεδα

Δύο επίπεδα ονομάζονται κάθετα αν η διεδρική γωνία μεταξύ τους είναι 90°.

Σε πολυδιάστατους χώρους

Καθετότητα επιπέδων σε 4-διάστατο χώρο

Η καθετότητα των επιπέδων στον τετραδιάστατο χώρο έχει δύο έννοιες: τα επίπεδα μπορεί να είναι κάθετα με τρισδιάστατη έννοια εάν τέμνονται σε ευθεία γραμμή (και επομένως βρίσκονται στο ίδιο υπερεπίπεδο) και η διεδρική γωνία μεταξύ τους είναι 90°.

Τα επίπεδα μπορούν επίσης να είναι κάθετα με 4-διάστατη έννοια, εάν τέμνονται σε ένα σημείο (και επομένως δεν βρίσκονται στο ίδιο υπερεπίπεδο) και οποιεσδήποτε 2 ευθείες σε αυτά τα επίπεδα διαμέσου του σημείου τομής τους (κάθε γραμμή στο δικό της επίπεδο ) είναι κάθετες.

Στον 4-διάστατο χώρο, μέσω ενός δεδομένου σημείου είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ακριβώς 2 αμοιβαία κάθετα επίπεδα με την έννοια των 4 διαστάσεων (επομένως, ο 4-διάστατος Ευκλείδειος χώρος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το καρτεσιανό γινόμενο δύο επιπέδων). Αν συνδυάσουμε και τους δύο τύπους καθετότητας, τότε μέσω αυτού του σημείου μπορούμε να σχεδιάσουμε 6 αμοιβαία κάθετα επίπεδα (κάθετα σε οποιαδήποτε από τις δύο προαναφερθείσες τιμές).

Η ύπαρξη έξι αμοιβαία κάθετων επιπέδων μπορεί να απεικονιστεί με το ακόλουθο παράδειγμα. Ας δοθεί ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων x y z t. Για κάθε ζεύγος γραμμών συντεταγμένων, υπάρχει ένα επίπεδο που περιλαμβάνει αυτές τις δύο γραμμές. Ο αριθμός τέτοιων ζευγών είναι ίσος (4 2) = 6 (\displaystyle (\tbinom (4)(2))=6): xy, xz, xt, yz, yt, zt, και αντιστοιχούν σε 6 επίπεδα. Αυτά τα επίπεδα που περιλαμβάνουν τον ομώνυμο άξονα είναι κάθετα με τρισδιάστατη έννοια και τέμνονται σε ευθεία γραμμή (για παράδειγμα, xyΚαι xz, yzΚαι zt), και αυτά που δεν περιλαμβάνουν άξονες με το ίδιο όνομα είναι κάθετοι με τετραδιάστατη έννοια και τέμνονται σε ένα σημείο (π.χ. xyΚαι zt, yzΚαι xt).

Καθετότητα ευθείας και υπερεπίπεδου

Έστω ένας ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος (n>2) και ένας συσχετισμένος διανυσματικός χώρος W n (\displaystyle W^(n)), και την ευθεία μεγάλο L 1 (\displaystyle L^(1))και ένα υπερεπίπεδο με διανυσματικό χώρο κατεύθυνσης (όπου L 1 ⊂ W n (\displaystyle L_(1)\subset W^(n)), L k ⊂ W n , k< n {\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k) ανήκουν στο διάστημα R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)).

Ευθεία μεγάλοονομάζεται κάθετο στο υπερεπίπεδο Π k (\displaystyle \Pi _(k)), εάν ο υποχώρος L 1 (\displaystyle L_(1))ορθογώνιο προς τον υποχώρο L k (\displaystyle L^(k)), αυτό είναι (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 (\displaystyle (\forall (\vec (a))\in L_(1))\ (\forall (\vec ( β))\σε L_(k))\ (\vec (a))(\vec (b))=0)

Δύο ευθείες στο χώρο ονομάζονται κάθετες αν η μεταξύ τους γωνία είναι 90 o.


ρύζι. 37		 Οι κάθετες γραμμές μπορούν να τέμνονται και να είναι λοξές.

Λήμμα.Εάν μία από τις δύο παράλληλες ευθείες είναι κάθετη στην τρίτη ευθεία, τότε η άλλη ευθεία είναι κάθετη σε αυτήν την ευθεία.

Ορισμός.Μια ευθεία ονομάζεται κάθετη σε ένα επίπεδο εάν είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται στο επίπεδο.

Λένε επίσης ότι το επίπεδο είναι κάθετο στην ευθεία α.

ρύζι. 38		 Αν η ευθεία α είναι κάθετη στο επίπεδο, τότε προφανώς τέμνει αυτό το επίπεδο. Στην πραγματικότητα, αν η ευθεία α δεν τέμνει το επίπεδο, τότε θα βρισκόταν σε αυτό το επίπεδο ή θα ήταν παράλληλη με αυτό.

Αλλά και στις δύο περιπτώσεις θα υπήρχαν ευθείες στο επίπεδο που δεν είναι κάθετες στην ευθεία a, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες σε αυτήν, κάτι που είναι αδύνατο. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία α τέμνει το επίπεδο.

Η σχέση μεταξύ του παραλληλισμού των ευθειών και της καθετότητάς τους στο επίπεδο.

Σημάδι καθετότητας ευθείας και επιπέδου.

Σημειώσεις.

  1. Μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου διέρχεται ένα επίπεδο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία και, επιπλέον, η μοναδική.
  2. Μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου διέρχεται μια ευθεία κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο και μόνο μία.
  3. Αν δύο επίπεδα είναι κάθετα σε μια ευθεία, τότε είναι παράλληλα.

Προβλήματα και τεστ με θέμα «Θέμα 5. «Καθετότητα ευθείας και επιπέδου».

  • Καθετότητα ευθείας και επιπέδου
  • Δίεδρος γωνία. Καθετότητα επιπέδων - Καθετότητα γραμμών και επιπέδων, βαθμός 10

    Μαθήματα: 1 Εργασίες: 10 Τεστ: 1

  • Κάθετο και λοξό. Γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου - Καθετότητα γραμμών και επιπέδων, βαθμός 10

    Μαθήματα: 2 Εργασίες: 10 Τεστ: 1

  • Παραλληλισμός ευθειών, ευθείας και επιπέδου

    Μαθήματα: 1 Εργασίες: 9 Τεστ: 1

  • Παραλληλισμός επιπέδων - Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων, βαθμός 10

    Μαθήματα: 1 Εργασίες: 8 Τεστ: 1

Η ύλη για το θέμα συνοψίζει και συστηματοποιεί τις πληροφορίες που γνωρίζετε από την επιπεδομετρία σχετικά με την καθετότητα των ευθειών. Συνιστάται ο συνδυασμός της μελέτης των θεωρημάτων για τη σχέση μεταξύ παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών και επιπέδων στο χώρο, καθώς και υλικού στην κάθετη και κεκλιμένη, με συστηματική επανάληψη του αντίστοιχου υλικού από την επιπεδομετρία.

Οι λύσεις σχεδόν σε όλα τα προβλήματα υπολογισμού καταλήγουν στην εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος και στις συνέπειές του. Σε πολλά προβλήματα, η δυνατότητα χρήσης του Πυθαγόρειου θεωρήματος ή των συνεπειών του δικαιολογείται από το θεώρημα των τριών καθέτων ή τις ιδιότητες του παραλληλισμού και της καθετότητας των επιπέδων.

13.11.2016 14:35

Δοκιμαστικές εργασίες στη γεωμετρία για την ενότητα «Γραμμές και επίπεδα στο διάστημα» 1. Αξιώματα στερεομετρίας. 2. Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων. 3.Καθετότητα ευθειών και επιπέδων. Απαντήσεις στο τέλος της ανάπτυξης

Προβολή περιεχομένων εγγράφου
«Δοκιμαστικές εργασίες στη γεωμετρία για την ενότητα «Γραμμές και επίπεδα στο διάστημα», 1ο έτος μέσης επαγγελματικής εκπαίδευσης»

Ενότητα Νο. 3.

Ευθείες γραμμές και επίπεδα στο διάστημα

Θέμα στερεομετρίας. Βασικές έννοιες και αξιώματα της στερεομετρίας.

Χωρικές μορφές.

Παραλληλισμός γραμμών στο χώρο. Παραλληλισμός δύο επιπέδων.

Διανύσματα στο διάστημα.

Παράλληλη μεταφορά.

Τμήμα πολύεδρων.

Καθετότητα ευθειών, ευθειών και επιπέδων.

Κάθετο και λοξό.

Η γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου.

Δίεδρος γωνία. Καθετότητα επιπέδων.

Αξιώματα στερεομετρίας

Επιλογή 1

1) ABC 2) DBC 3) DAB 4) DAC

Τι αεροπλάνο Το σημείο Κ του ανήκει;

1) ABC και ABD

Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Οποιαδήποτε τρία σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

2) Αν το κέντρο ενός κύκλου και το σημείο του βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε ολόκληρος ο κύκλος βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

3) Μόνο ένα επίπεδο διέρχεται από τρία σημεία που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή.

4) Ένα επίπεδο διέρχεται από δύο τεμνόμενες γραμμές και μόνο μία.

Απάντηση: ______

Επιλέγω άπιστοςρητά:

1) Αν τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο, τότε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

3) Δύο επίπεδα μπορούν να έχουν μόνο δύο κοινά σημεία.

4) Τρεις ευθείες που τέμνονται σε ζευγάρια σε διαφορετικά σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Απάντηση: ______

Ονομάστε την ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα Α 1 π.Χ. και Α 1 μ.Χ.

1) DC 2) A 1 D 1

3) D 1 D 4) D 1 C

Ονομάστε την ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα DCC 1 και A 1 AD.

1) DC 2) A 1 D 1

3) D 1 D 4) D 1 C

Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και CD τέμνονται. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται μέσω της ευθείας ΑΒ. Ονομάστε τη γραμμή τομής αυτού του επιπέδου με το επίπεδο BCD.

1) AC 2) AB 3) BC 4) ВD

Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και CD τέμνονται. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται μέσα από τα σημεία Β και Δ. Ονομάστε τη γραμμή τομής αυτού του επιπέδου με το επίπεδο ACD.

1) AC 2) AB 3) BC 4) ВD

Επιλογή 2

Το σημείο P βρίσκεται στη γραμμή MN. Ονομάστε το επίπεδο στο οποίο ανήκει το σημείο P.

1) ABC 2) DBC 3) DAB 4) DAC

Σε ποια επίπεδα ανήκει το σημείο F;

1) ABC και ACD

Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Οποιαδήποτε τέσσερα σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

2) Μόνο ένα επίπεδο διέρχεται από μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της.

3) Αν τρία σημεία ενός κύκλου βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε ολόκληρος ο κύκλος βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

4) Δύο επίπεδα μπορούν να έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.

Απάντηση: ______

Επιλέγω άπιστοςρητά:

1) Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

3) Οι τρεις κορυφές του τριγώνου ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

4) Ένα επίπεδο διέρχεται από δύο παράλληλες ευθείες και μόνο μία.

Απάντηση: ______

Ονομάστε την ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα DCC 1 και A 1 BC.

1) DC 2) A 1 D 1

3) D 1 D 4) D 1 C

Ονομάστε την ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα ABC και C 1 CB.

1) BC 2) B 1 C 1

3) A 1 B 4) B 1 B

Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και CD τέμνονται. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται μέσω CD ευθείας γραμμής. Ονομάστε τη γραμμή τομής αυτού του επιπέδου με το επίπεδο ABC.

1) CD 2) AD 3) BC 4) ВD

Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και CD τέμνονται. Ένα επίπεδο σχεδιάζεται από τα σημεία Α και Δ. Ονομάστε τη γραμμή τομής αυτού του επιπέδου με το επίπεδο BCD.

1) AC 2) AD 3) BC 4) ВD

Επιλογή 1

Τα σημεία M, P, K είναι τα μέσα των ακμών DA, DB, DC του τετραέδρου DABC. Ονομάστε μια ευθεία παράλληλη στο επίπεδο FBC.

1) MR 2) RK 3) MK 4) MK και RK

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Ποια ευθεία είναι παράλληλη στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 ?

1) ΕΝΑ 2) σι 3) Π 4) Μ

Στο τετράεδρο DABC VC = KS, DP = PC. Σε ποιο επίπεδο είναι παράλληλη η ευθεία RK;

1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC

Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Δύο ευθείες στο διάστημα λέγονται παράλληλες αν δεν τέμνονται.

2) Εάν μία από τις δύο παράλληλες ευθείες είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, τότε η άλλη ευθεία είναι είτε επίσης παράλληλη με αυτό είτε βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

3) Υπάρχει μια ευθεία που βρίσκεται στο επίπεδο και είναι παράλληλη με την ευθεία που τέμνει το δεδομένο επίπεδο.

4) Οι γραμμές διέλευσης δεν έχουν κοινά σημεία.

Απάντηση: ______


1) ένα || n 2) ένα || σι

3) β || ντο 4) α || ντο

πιστόςρητά:

1) Ίσια CD και MN σταυρωμένα.

2) Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και ΜΝ βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

3) Οι ευθείες CD και MN τέμνονται.

4) Απευθείας διέλευση AB και CD.

Απάντηση: ______


1) ένα Και σι – τεμνόμενες γραμμές

2) ένα Και σι – παράλληλες γραμμές

3) ένα Και σι – διέλευση των γραμμών

Προσδιορίστε τη σχετική θέση των γραμμών.

1) ένα Και σι – τεμνόμενες γραμμές

2) ένα Και σι – παράλληλες γραμμές

3) ένα Και σι – διέλευση των γραμμών

Τα τρίγωνα ABC και ABF είναι διατεταγμένα έτσι ώστε οι ευθείες γραμμές AB και FK να τέμνονται. Πώς εντοπίζονται οι ευθείες γραμμές AK και BF;

Στο τετράεδρο DABC AB = BC = AC = 20; DA = DB = DC = 40. Μέσω του μέσου της ακμής AC βρίσκεται ένα επίπεδο παράλληλο με το AD και το BC. Βρείτε την περίμετρο της τομής.

Απάντηση: ____

Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων

Επιλογή 2

Τα σημεία M, P, K είναι τα μέσα των ακμών DA, DB, DC του τετραέδρου DABC. Ονομάστε την παράλληλη ευθεία στο επίπεδο FAB.

1) MR 2) RK 3) MK 4) MK και RK


ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Ποια ευθεία είναι παράλληλη στο επίπεδο A 1 AD;

1) ΕΝΑ 2) σι 3) Π 4) Μ

Στο τετράεδρο DABC AM = MD, AN = NB. Σε ποιο επίπεδο είναι παράλληλη η ευθεία MN;

1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC

Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Οι παράλληλες ευθείες δεν έχουν κοινά σημεία.

2) Εάν μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα δεδομένο επίπεδο, τότε είναι παράλληλη σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

3) Αν μια ευθεία είναι παράλληλη με την ευθεία τομής δύο επιπέδων και δεν ανήκει σε κανένα από αυτά, τότε είναι παράλληλη σε καθένα από αυτά τα επίπεδα.

4) Υπάρχει ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι άκρες είναι όλες αιχμηρές.

Απάντηση: ______

Τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι τα μέσα των άκρων του ορθογωνίου

παραλληλεπίπεδο. Ονομάστε τις παράλληλες ευθείες.


1) ένα || n 2) ένα || σι

3) β || ντο 4) α || ντο

Τα σημεία Α και Δ είναι τα μέσα των άκρων του παραλληλεπιπέδου. Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Οι ευθείες CD και MN τέμνονται.

2) Ευθεία ΑΒ και ΜΝ διασταυρωμένα

3) Οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες.

4) Οι ευθείες ΑΒ και ΜΝ τέμνονται

Απάντηση: ______


Προσδιορίστε τη σχετική θέση των γραμμών.

1) ένα Και σι – τεμνόμενες γραμμές

2) ένα Και σι – παράλληλες γραμμές

3) ένα Και σι – διέλευση των γραμμών

Τα σημεία Α και Β είναι τα μέσα των άκρων του παραλληλεπίπεδου. Προσδιορίστε τη σχετική θέση των γραμμών.

1) ένα Και σι – τεμνόμενες γραμμές

2) ένα Και σι – παράλληλες γραμμές

3) ένα Και σι – διέλευση των γραμμών

Δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ με κοινή βάση ΑΒ βρίσκονται έτσι ώστε το σημείο Γ να μην βρίσκεται στο επίπεδο ΑΒΔ. Προσδιορίστε τις σχετικές θέσεις των ευθειών που περιέχουν τις διάμεσες των τριγώνων που σχεδιάζονται στις πλευρές BC και ВD.

1) είναι παράλληλα 2) διασταυρώνονται 3) τέμνονται

Στο τετράεδρο DABC AB = BC = AC = 10; DA = DB = DC = 20. Μέσα από το μέσο της ακμής BC υπάρχει ένα επίπεδο παράλληλο προς το AC και το ВD. Βρείτε την περίμετρο της τομής.

Απάντηση: ____

Επιλογή 1

Ένα επίπεδο σύρεται από την πλευρά ΑΒ του τριγώνου ABC κάθετου στην πλευρά BC. Προσδιορίστε τον τύπο του τριγώνου σε σχέση με τις γωνίες.

Το τρίγωνο ABC είναι κανονικό, το Ο είναι το κέντρο του τριγώνου. Η απόσταση από το σημείο Μ έως την κορυφή Α είναι 3. Να βρείτε το ύψος του τριγώνου.

Απάντηση: ____

ABCD – παραλληλόγραμμο; Να βρείτε την περίμετρο του παραλληλογράμμου.

1) 20 2) 25 3) 40 4) 60

Μέσω της κορυφής Α του τριγώνου ABC σχεδιάζεται ένα επίπεδο α παράλληλο στο BC. Η απόσταση από το BC έως το επίπεδο α είναι 12. Να βρείτε την απόσταση από το σημείο τομής των διαμέτρων του τριγώνου ABC σε αυτό το επίπεδο.

1) 8 2) 6 3) 12 4) 18

Το ύψος του ρόμβου είναι 12. Το σημείο Μ απέχει από όλες τις πλευρές του ρόμβου και βρίσκεται σε απόσταση 8 από το επίπεδό του. Ποια είναι η απόσταση του σημείου Μ από τις πλευρές του ρόμβου;

Απάντηση: ____

Επιλέγω πιστόςρητά:

2) Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες.

3) Το μήκος της κάθετου είναι μικρότερο από το μήκος της κεκλιμένης γραμμής που χαράσσεται από το ίδιο σημείο.

4) Δύο τεμνόμενες ευθείες μπορεί να είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο.

Απάντηση: ______

Το τμήμα ΑΒ στηρίζεται με τα άκρα Α και Β στα άκρα μιας ορθής διεδρικής γωνίας. Οι αποστάσεις από τα σημεία Α και Β μέχρι την άκρη είναι 1 και το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι 3. Βρείτε το μήκος της προβολής αυτού του τμήματος στην άκρη.

Στο τετράεδρο DABC, το AO τέμνει το BC στο σημείο Ε. Βρες το.

Το ορθογώνιο ABCD και το παραλληλόγραμμο BEMC βρίσκονται έτσι ώστε τα επίπεδά τους να είναι αμοιβαία κάθετα. Βρείτε τη γωνία MCD.

Καθετότητα γραμμών και επιπέδων

Επιλογή 2

Μέσω της πλευράς AD του παραλληλογράμμου ABCD, σχεδιάζεται ένα επίπεδο κάθετο στην πλευρά DC. Προσδιορίστε τον τύπο του τριγώνου ABC.

1) οξεία γωνία 2) ορθογώνια 3) αμβλεία γωνία

Το τρίγωνο ABC είναι κανονικό, το Ο είναι το κέντρο του τριγώνου. Το ύψος του τριγώνου είναι 3. Να βρείτε την απόσταση από το σημείο Μ έως τις κορυφές του τριγώνου.

Απάντηση: ____

ABCD – παραλληλόγραμμο; Βρείτε το BD.

1) 20 2) 15 3) 40 4) 10

Μέσω της κορυφής Α του τριγώνου ABC σχεδιάζεται ένα επίπεδο α παράλληλο στο BC. Η απόσταση από το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου ABC σε αυτό το επίπεδο είναι 4. Σε ποια απόσταση από το επίπεδο βρίσκεται το BC;

1) 8 2) 6 3) 12 4) 14

Το σημείο P αφαιρείται από όλες τις πλευρές του ρόμβου σε απόσταση ίση με, και βρίσκεται σε απόσταση ίση με 2 από το επίπεδό του. Ποια είναι η πλευρά του ρόμβου αν η γωνία του είναι 30°;

Απάντηση: ____

Στο σχήμα, βρείτε τη γωνία μεταξύ MC και επιπέδου AMB.

1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0

Επιλέγω πιστόςρητά:

1) Η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 90 0.

2) Δύο επίπεδα κάθετα σε μία ευθεία τέμνονται.

3) Το μήκος της καθέτου είναι μεγαλύτερο από το μήκος της κεκλιμένης γραμμής που χαράσσεται από το ίδιο σημείο.

4) Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε από τις ακμές.

Απάντηση: ______

Το τμήμα ΑΒ στηρίζεται με τα άκρα Α και Β στα άκρα μιας ορθής διεδρικής γωνίας. Οι αποστάσεις από τα σημεία Α και Β μέχρι την άκρη είναι 2 και το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι 4. Βρείτε το μήκος της προβολής αυτού του τμήματος στην άκρη.

Στο τετράεδρο DABC, η βάση ABC είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Η κορυφή D προβάλλεται στο κέντρο της O. Βρείτε τη γωνία μεταξύ του επιπέδου ADO και της όψης DCB.

1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0

Το τρίγωνο AMB και το ορθογώνιο ABCD είναι διατεταγμένα έτσι ώστε τα επίπεδά τους να είναι αμοιβαία κάθετα. Βρείτε τη γωνία MAD.

1) 90 0 2) 60 0 3) 30 0 4) 45 0

Δοκιμή 1

Επιλογή 1

Επιλογή 2

Δοκιμή 2

Επιλογή 1

Επιλογή 2

Δοκιμή 3

Επιλογή 1

Επιλογή 2

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων διαγωνίων των όψεων του κύβου.

2. Σε κύβο ΕΝΑ Δ 1 βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών ΕΝΑ Δ 1 και C.B. 1 .

3. Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου του οποίου η βάση είναι τετράγωνο είναι διπλάσια από την πλευρά της βάσης. Να βρείτε τις γωνίες μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλεπιπέδου που βρίσκονται στο ίδιο διαγώνιο τμήμα.

1) 45 0 και 45 0.

2) 90 0 και 90 0.

3) 30 0 και 60 0.

4) 60 0 και 120 0.

4. Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου του οποίου η βάση είναι τετράγωνο είναι διπλάσια από την πλευρά της βάσης. Βρείτε τις γωνίες μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλεπίπεδου που βρίσκονται σε διαφορετικά διαγώνια τμήματα.

1) 45 0 και 135 0.

2) 90 0 και 90 0.

3) 30 0 και 150 0.

4) 60 0 και 120 0.

5. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρικών άκρων μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας.

6. Από σημείο που δεν ανήκει στο επίπεδο, πέφτει πάνω του μια κάθετη και σχεδιάζεται μια κεκλιμένη. Να βρείτε την πλάγια προβολή αν η κάθετη είναι 12 cm και η πλάγια είναι 15 cm.

7. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των ευθειών που είναι κάθετες σε μια δεδομένη ευθεία και διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο της.

2) Επίπεδο κάθετο σε δεδομένη ευθεία.

3) Επίπεδο παράλληλο σε δεδομένη ευθεία.

4) Επίπεδο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία και που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.

8. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που έχουν ίση απόσταση από δύο δεδομένα σημεία.

1) Μια κάθετη που τραβιέται στο μέσο τμήματος που συνδέει αυτά τα σημεία.

3) Επίπεδο κάθετο σε ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

4) Επίπεδο κάθετο στο τμήμα που συνδέει αυτά τα σημεία και διέρχεται από το μέσο του.

9. Από ένα δεδομένο σημείο χαράσσονται στο επίπεδο μια κάθετη και μια κεκλιμένη ευθεία. Γνωρίζοντας ότι η διαφορά τους είναι 25 cm και η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους είναι 32,5 cm, βρείτε την κεκλιμένη.

10. Τα άκρα του τμήματος βρίσκονται σε απόσταση 26 cm και 37 cm από ένα δεδομένο επίπεδο Η ορθογώνια προβολή του πάνω στο επίπεδο είναι 6 dm. Βρείτε το τμήμα.

11. Ένα από τα σκέλη ενός ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται σε ένα επίπεδο και το άλλο είναι κεκλιμένο προς αυτό υπό γωνία 45 0. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ της υποτείνουσας αυτού του τριγώνου και του δεδομένου επιπέδου.

12. Βρείτε τη γωνία κλίσης του τμήματος προς το επίπεδο εάν η ορθογώνια προβολή του σε αυτό το επίπεδο είναι το μισό του μεγέθους του ίδιου του τμήματος.

13. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που έχουν ίση απόσταση από όλα τα σημεία του κύκλου.

1) Κέντρο του κύκλου.

2) Κύκλος.

3) Επίπεδο κάθετο στο επίπεδο του κύκλου και που διέρχεται από το κέντρο του.

14. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που έχουν ίση απόσταση από όλες τις πλευρές του ρόμβου.

1) Μια κάθετη που σύρεται στο επίπεδο του ρόμβου και διέρχεται από την κορυφή του.

2) Επίπεδο κάθετο στο επίπεδο του ρόμβου και που διέρχεται από τη διαγώνιο του.

3) Κάθετη που σύρεται στο επίπεδο του ρόμβου και διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

4) Κύκλος εγγεγραμμένος σε ρόμβο.

15. Να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας αν η πλευρά της βάσης της είναι ίση με ένα, πλαϊνή πλευρά σι.

3) .

16. Βρείτε τη δίεδρη γωνία j μεταξύ των πλευρικών όψεων μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, της οποίας όλες οι ακμές είναι ίσες με 1.

17. Σημείο ΕΝΑβρίσκεται σε απόσταση 4 cm από το ένα από τα δύο κάθετα επίπεδα και σε απόσταση 16 cm από το άλλο Βρείτε την απόσταση από το σημείο ΕΝΑστη γραμμή τομής των επιπέδων.

18. Να βρείτε τη δίεδρη γωνία στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας αν το ύψος της είναι 2 cm και η πλευρά της βάσης είναι 4 cm.

19. Σημείο σι, αφαιρείται από την άκρη της διεδρικής γωνίας σε απόσταση ένα, είναι η ίδια απόσταση από κάθε όψη του. Βρείτε αυτήν την απόσταση αν η διεδρική γωνία είναι j.

1) ένα sinj.

2) ένα cosj.

3) ένααμαρτία.

4) ένα cos.

20. Σημείο μιανήκει στο επίπεδο α, σημείο φάανήκει στο επίπεδο β. Τα επίπεδα είναι κάθετα. Ορθογώνιες προβολές τμήματος Η Ε.Φ., ίσο με 10 cm, στο επίπεδο a και b είναι αντίστοιχα 8 cm και 7,5 cm Βρείτε την προβολή του τμήματος Η Ε.Φ.στη γραμμή τομής των επιπέδων α και α.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΙΘΜΟΣ δουλειας Αριθμός δοκιμής
4) 3) 3) 4) 4) 2) 1)
4) 3) 4) 3) 3) 1) 2)
2) 4) 2) 3) 4) 1) 4)
4) 1) 4) 3) 2) 3) 3)
2) 1) 4) 3) 3) 4) 3)
2) 2) 2) 2) 3) 4) 3)
4) 3) 4) 2) 1) 4) 4)
4) 2) 4) 2) 2) 3) 2)
3) 3) 3) 1) 4) 3) 3)
1) 4) 1) 4) 3) 3) 4)
3) 1) 2) 2) 2) 3) 3)
2) 2) 3) 3) 1) 2) 1)
2) 3) 4) 4) 4) 4) 3)
4) 4) 3) 3) 2) 3) 4)
3) 4) 3) 2) 1) 2) 4)
3) 2) 2) 2) 4) 3) 3)
3) 4) 4) 2) 2) 2) 4)
4) 3) 2) 4) 3) 2) 2)
2) 4) 3) 1) 3) 2) 2)
1) 2) 1) 4) 2) 3) 4)

Τίτλος: Γεωμετρία. 10-11 τάξη. Δοκιμές

Το εγχειρίδιο περιέχει τεστ για τα κύρια θέματα του μαθήματος της γεωμετρίας για τους βαθμούς 10-11 σε δύο εκδόσεις - 8 τεστ για τον βαθμό 10 και 9 τεστ για τον βαθμό 11.
Ο δάσκαλος μπορεί να χρησιμοποιήσει τα προτεινόμενα τεστ για να παρακολουθεί τις γνώσεις των μαθητών πριν από τη διεξαγωγή ενός τεστ ή ως τεστ. Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τεστ για αυτοπροετοιμασία για τελικές εξετάσεις, καθώς και για εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια.

Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει δοκιμαστικά τεστ γεωμετρίας για τις τάξεις 10-11. Είναι η συνέχεια ενός παρόμοιου βιβλίου γεωμετρίας για τις τάξεις 7-9. Τα τεστ δίνονται σε δύο εκδόσεις - 8 τεστ για τον βαθμό 10 και 9 τεστ για τον βαθμό 11.
Συνιστάται η διεξαγωγή δοκιμών μία φορά το μήνα ως δοκιμή πριν από τις δοκιμές ή για την αντικατάστασή τους. Δεδομένης της πολυπλοκότητας των επιμέρους εργασιών, θα πρέπει να διατεθούν δύο μαθήματα για την ολοκλήρωση του πλήρους τεστ. Ωστόσο, ο δάσκαλος μπορεί να χωρίσει το τεστ σε 2 μέρη (4 εργασίες το καθένα) και να το δώσει σε δύο διαφορετικά μαθήματα σε διαφορετικές ημέρες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο δάσκαλος πρέπει να λάβει υπόψη το γεγονός ότι οι εργασίες δεν είναι διατεταγμένες με σειρά αυξανόμενης δυσκολίας (δηλαδή, για παράδειγμα, η εργασία 3 μπορεί να είναι πιο δύσκολη από την εργασία 5), αυτό έγινε σκόπιμα, έτσι ώστε οι μαθητές να λύσουν όχι μόνο εύκολα προβλήματα, αλλά και προσπάθησε να λύσει πιο περίπλοκα. Αλλά ο δάσκαλος, έχοντας εξετάσει τις εργασίες ενός ξεχωριστού τεστ, μπορεί ο ίδιος να αλλάξει τον αριθμό και την πολυπλοκότητα των εργασιών.
Λαμβάνοντας υπόψη τη μοναδική φύση της διεξαγωγής τεστ επαλήθευσης, όταν οι απαντήσεις που δίνονται διευκολύνουν σε κάποιο βαθμό τη λύση του προβλήματος, ο δάσκαλος μπορεί να πραγματοποιήσει ανάλυση της εργασίας στο επόμενο μάθημα, δίνοντας έμφαση στη θεωρητική αιτιολόγηση για την επίλυση προβλημάτων, τη διεξαγωγή τα απαραίτητα στοιχεία προκειμένου να εντοπιστεί η λογική εγκυρότητα της επιλογής της απάντησης από τον μαθητή.
Η σειρά του υλικού δίνεται σύμφωνα με το εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 7-11 από τον A.V. Pogorelov. Ωστόσο, οι εκπαιδευτικοί που εργάζονται με άλλα διδακτικά βοηθήματα, έχοντας κάνει τις απαραίτητες προσαρμογές, μπορούν να τα χρησιμοποιήσουν και στην εργασία τους.

Περιεχόμενο
Πρόλογος
Βαθμός 10
Δοκιμή 1. Αξιώματα στερεομετρίας. Συμπεράσματα από τα αξιώματα
Δοκιμή 2. Παραλληλισμός στο χώρο
Δοκιμή 3. Καθετότητα στο χώρο
Δοκιμή 4. Παραλληλισμός και καθετότητα στο χώρο
Δοκιμή 5. Συντεταγμένες στο χώρο
Δοκιμή 6. Γωνίες μεταξύ ευθειών και επιπέδων
Δοκιμή 7. Διανύσματα
Δοκιμή 8. Τελικό
Βαθμός 11
Δοκιμή 1. Διεδρικές και γραμμικές γωνίες. Πολυεδρικές γωνίες
Δοκιμή 2. Παραλληλεπίπεδο και πρίσμα
Δοκιμή 3. Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα
Δοκιμή 4. Κύλινδρος. Κώνος. Μπάλα
Δοκιμή 5. Όγκοι πολύεδρων
Δοκιμή 6. Όγκοι σωμάτων περιστροφής
Δοκιμή 7. Συνδυασμοί σχημάτων
Δοκιμή 8. Τελικό - 1
Δοκιμή 9. Τελικό - 2
Απαντήσεις

Κατεβάστε το e-book δωρεάν σε βολική μορφή, παρακολουθήστε και διαβάστε:
Κατεβάστε το βιβλίο Γεωμετρία. 10-11 τάξη. Δοκιμές. Altynov P.I. 2001 - fileskachat.com, γρήγορη και δωρεάν λήψη.

Λήψη pdf
Παρακάτω μπορείτε να αγοράσετε αυτό το βιβλίο στην καλύτερη τιμή με έκπτωση με παράδοση σε όλη τη Ρωσία.