확률 변수 x의 분포 밀도가 주어집니다. 연속확률변수의 기대

………………………………………………………

Аn - 무작위 변수 X가 An 값을 취했습니다.

사건 A1 A2, . , An은 확률 변수가 x1, x2, xn 값 중 적어도 하나를 취해야 하기 때문에 신뢰할 수 있는 이벤트입니다.

따라서 P(A1 È A2 È . È An) = 1입니다.

또한 단일 실험 중 확률 변수는 x1, x2, ., xn 값 중 하나만 취할 수 있으므로 이벤트 A1, A2, ., An은 일관성이 없습니다. 호환되지 않는 사건에 대한 덧셈 정리를 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

즉, p1+p2+ . +pn = 1, 즉 간단히 말해서

따라서 확률변수 X의 분포 법칙을 제공하는 표 1의 두 번째 행에 있는 모든 숫자의 합은 1과 같아야 합니다.

실시예 1. 확률변수 X를 주사위를 던져 얻은 점수라고 하자. (표 형태로) 분배법칙을 찾아보세요.

확률 변수 X는 값을 취합니다.

x1=1, x2=2, … , x6=6

확률로

р1= р2 = … = р6 =

분포 법칙은 표에 나와 있습니다.

표 2

예 2.이항 분포. 일련의 독립적인 실험에서 사건 A가 발생한 횟수인 확률 변수 X를 생각해 보겠습니다. 각 실험에서 A는 확률 p로 발생합니다.

확률 변수 X는 분명히 다음 값 중 하나를 취할 수 있습니다.

0, 1, 2, ., k, ., n.

확률 변수 X가 k와 동일한 값을 가질 사건의 확률은 베르누이 공식에 의해 결정됩니다.

Рn(k)= 여기서 q=1- р.

이러한 확률 변수의 분포를 이항 분포 또는 베르누이 분포라고 합니다. 베르누이 분포는 모든 실험의 수 n과 각 개별 실험에서 사건이 발생할 확률 p라는 두 가지 매개변수로 완전히 지정됩니다.

이항 분포 조건은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 동등성의 타당성을 증명하려면 항등식으로 충분합니다.

(q+px)n=

x=1로 놔두세요.

예시 3.포아송 분포. 이는 다음 형식의 확률 분포 이름입니다.

Р(k)= .

이는 하나의 단일(양수) 매개변수 a에 의해 결정됩니다. ξ가 포아송 분포를 따르는 확률 변수인 경우 해당 모수 a는 이 확률 변수의 평균 값입니다.

a=Mξ=, 여기서 M은 수학적 기대값입니다.

무작위 변수는 다음과 같습니다.

실시예 4.지수 분포.

시간이 확률 변수인 경우 이를 τ로 표시하겠습니다.

여기서 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

확률변수 t의 평균값은 다음과 같습니다.

분포 밀도의 형식은 다음과 같습니다.

4) 정규분포

독립적이고 동일하게 분포된 확률변수라고 하자. 항이 충분히 작고 숫자 n이 충분히 큰 경우, n à 에 대해 확률 변수 Mξ의 수학적 기대값과 Dξ=M(ξ–Mξ)2와 동일한 분산 Dξ는 다음과 같습니다. Mξ~a, Dξ ~σ2, 그러면

- 정규 또는 가우스 분포

.

5) 기하학적 분포. 첫 번째 "성공"이 시작되기 전의 시행 횟수를 ξ로 표시하겠습니다. 각 테스트가 단위 시간 동안 지속된다고 가정하면 ξ를 첫 번째 "성공"까지의 대기 시간으로 간주할 수 있습니다. 분포는 다음과 같습니다.

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) 초기하 분포.

N개의 개체가 있으며 그 중 n개는 "특수 개체"입니다. 모든 객체 중에서 k-객체는 무작위로 선택됩니다. 선택한 개체 중에서 r - "특수 개체"가 동일할 확률을 찾습니다. 분포는 다음과 같습니다.

7) 파스칼 분포.

x를 r번째 "성공"이 도달하기 전의 "실패"의 총 개수로 설정합니다. 분포는 다음과 같습니다.

분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

등확률 분포는 확률 변수 x가 동일한 확률로 구간에서 어떤 값이든 취할 수 있음을 의미합니다. 분포 밀도는 다음과 같이 계산됩니다.

분포 밀도 그래프와 분포 함수는 다음과 같습니다.

백색소음의 개념을 설명하기 전에 먼저 몇 가지 정의를 내릴 필요가 있다.

랜덤 함수는 인수의 각 고정 값에 대해 랜덤 변수인 비랜덤 인수 t의 함수입니다. 예를 들어, U가 확률 변수인 경우 X(t)=t2U 함수는 확률입니다.

랜덤 함수의 단면은 랜덤 함수 인수의 고정된 값에 해당하는 랜덤 변수입니다. 따라서 확률함수는 매개변수 t에 따라 확률변수(X(t))의 집합으로 간주될 수 있습니다.

무작위 변수 다양한 상황에 따라 특정 값을 가질 수 있는 변수이며, 확률변수를 연속변수라고 합니다. , 제한된 또는 무제한 간격에서 값을 취할 수 있는 경우. 연속확률변수의 경우 가능한 모든 값을 표시하는 것은 불가능하므로 특정 확률과 관련된 이러한 값의 간격을 지정합니다.

연속 확률 변수의 예로는 특정 크기로 연마되는 부품의 직경, 사람의 키, 발사체의 비행 범위 등이 있습니다.

연속 확률 변수의 경우 함수는 다음과 같습니다. 에프(엑스), 달리 이산확률변수, 어디에도 점프가 없으면 연속 확률 변수의 개별 값이 발생할 확률은 0입니다.

이는 연속 확률 변수의 경우 해당 값 사이의 확률 분포에 대해 이야기하는 것이 의미가 없음을 의미합니다. 각 변수의 확률은 0입니다. 그러나 어떤 의미에서 연속확률변수의 값 중에는 “확률이 높은 확률과 확률이 낮은 확률”이 있습니다. 예를 들어, 무작위 변수의 값(무작위로 만난 사람의 키 170cm)이 실제로는 두 값 모두 발생할 수 있지만 220cm보다 클 가능성이 높다는 사실을 의심하는 사람은 거의 없습니다.

연속확률변수의 분포함수와 확률밀도

연속확률변수에 대해서만 의미가 있는 분포법칙으로 분포밀도 또는 확률밀도라는 개념이 도입되었습니다. 연속 확률 변수와 이산 확률 변수에 대한 분포 함수의 의미를 비교하여 접근해 보겠습니다.

따라서 확률 변수(이산형 및 연속형 모두)의 분포 함수 또는 적분 함수임의의 변수 값이 나올 확률을 결정하는 함수라고 합니다. 엑스한계값 이하 엑스.

해당 값의 지점에 있는 이산 확률 변수의 경우 엑스1 , 엑스 2 , ..., 엑스나,...수많은 확률이 집중되어 있다 피1 , 피 2 , ..., 피나,..., 모든 질량의 합은 1과 같습니다. 이 해석을 연속 확률 변수의 경우로 옮겨 보겠습니다. 1과 같은 질량이 개별 지점에 집중되지 않고 가로축을 따라 지속적으로 "번짐"된다고 상상해 봅시다. 오밀도가 고르지 않은 경우. 확률변수가 임의의 영역에 속할 확률 Δ 엑스는 단면당 질량으로 해석되고 해당 단면의 평균 밀도는 길이에 대한 질량의 비율로 해석됩니다. 우리는 방금 확률 이론에서 중요한 개념인 분포 밀도를 소개했습니다.

확률밀도 에프(엑스) 연속 확률 변수의 분포 함수의 미분은 다음과 같습니다.

.

밀도 함수를 알면 연속 확률 변수의 값이 닫힌 구간 [ ㅏ; 비]:

연속확률변수가 나올 확률 엑스간격 [에서 임의의 값을 취합니다. ㅏ; 비]는 확률 밀도의 특정 적분과 같습니다. ㅏ~ 전에 비:

.

이 경우 함수의 일반 공식은 다음과 같습니다. 에프(엑스) 밀도 함수가 알려진 경우 사용할 수 있는 연속 확률 변수의 확률 분포 에프(엑스) :

.

연속 확률 변수의 확률 밀도 그래프를 분포 곡선이라고 합니다(아래 그림).

곡선, 점에서 그려진 직선으로 둘러싸인 도형의 영역(그림에서 음영 처리됨) ㅏ그리고 비 x축에 수직이고 축 오, 연속확률변수의 값이 다음과 같은 확률을 그래픽으로 표시합니다. 엑스범위 내에 있습니다. ㅏ~ 전에 비.

연속 확률 변수의 확률 밀도 함수의 속성

1. 확률변수가 구간(및 함수의 그래프에 의해 제한되는 그림의 면적)에서 임의의 값을 취할 확률 에프(엑스) 및 축 오)는 1과 같습니다:

2. 확률 밀도 함수는 음수 값을 가질 수 없습니다.

분포가 존재하지 않는 경우 그 값은 0입니다.

분포 밀도 에프(엑스) 및 분포 함수 에프(엑스)는 분포 법칙의 한 형태이지만 분포 함수와 달리 보편적이지 않습니다. 분포 밀도는 연속 확률 변수에 대해서만 존재합니다.

실제로 연속 확률 변수의 가장 중요한 두 가지 분포 유형을 언급하겠습니다.

분포밀도함수 에프(엑스) 일부 유한 간격의 연속 확률 변수 [ ㅏ; 비]는 상수 값을 취합니다. 씨, 간격 밖에서는 0과 같은 값을 취합니다. 분포를 균일하다고 합니다. .

분포밀도함수 그래프가 중심을 기준으로 대칭인 경우 평균값은 중심 근처에 집중되고, 중심에서 멀어지면 평균과 더 다른 값이 모아진다. (함수 그래프는 벨) 그럼 이거 분포를 정규분포라고 합니다 .

예시 1.연속 확률 변수의 확률 분포 함수는 다음과 같이 알려져 있습니다.

찾기 기능 에프(엑스) 연속 확률 변수의 확률 밀도. 두 함수의 그래프를 구성합니다. 연속확률변수가 4에서 8 사이의 구간에서 임의의 값을 취할 확률을 구합니다.

해결책. 확률 분포 함수의 미분을 찾아 확률 밀도 함수를 얻습니다.

함수 그래프 에프(엑스) - 포물선:

함수 그래프 에프(엑스) - 똑바로:

연속 확률 변수가 4에서 8 사이의 값을 취할 확률을 찾아보겠습니다.

예시 2.연속확률변수의 확률밀도함수는 다음과 같이 주어진다.

계수 계산 씨. 찾기 기능 에프(엑스) 연속 확률 변수의 확률 분포. 두 함수의 그래프를 구성합니다. 연속확률변수가 0에서 5 사이의 값을 취할 확률을 구합니다.

해결책. 계수 씨확률 밀도 함수의 속성 1을 사용하여 다음을 찾습니다.

따라서 연속 확률 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.

통합함으로써 우리는 함수를 찾습니다. 에프(엑스) 확률 분포. 만약에 엑스 < 0 , то 에프(엑스) = 0 . 0이면< 엑스 < 10 , то

.

엑스> 10, 그러면 에프(엑스) = 1 .

따라서 확률 분포 함수의 전체 기록은 다음과 같습니다.

함수 그래프 에프(엑스) :

함수 그래프 에프(엑스) :

연속 확률 변수가 0에서 5 사이의 값을 취할 확률을 찾아보겠습니다.

예시 3.연속확률변수의 확률밀도 엑스는 평등에 의해 주어지며, . 계수 찾기 ㅏ, 연속 확률 변수가 엑스연속 확률 변수의 분포 함수인 간격 ]0, 5[에서 임의의 값을 취합니다. 엑스.

해결책. 조건에 따라 우리는 평등에 도달합니다.

그러므로 , 어디에서 . 그래서,

.

이제 우리는 연속 확률 변수가 다음과 같은 확률을 찾습니다. 엑스간격 ]0, 5[:에서 임의의 값을 취합니다.

이제 우리는 이 확률 변수의 분포 함수를 얻습니다.

예시 4.연속 확률 변수의 확률 밀도 찾기 엑스음이 아닌 값만 취하는 와 그 분포 함수 .

연습 1. 연속 확률 변수 X의 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
찾다:
a) 매개변수 A
b) 분포 함수 F(x);
c) 확률 변수 X가 구간에 포함될 확률;
d) 수학적 기대값 MX 및 분산 DX.
함수 f(x)와 F(x)의 그래프를 그립니다.

작업 2. 적분 함수에 의해 주어진 확률 변수 X의 분산을 구합니다.

작업 3. 주어진 분포 함수에서 확률 변수 X의 수학적 기대값을 구합니다.

작업 4. 일부 확률 변수의 확률 밀도는 다음과 같이 주어집니다: f(x) = A/x 4 (x = 1; +무한대)
계수 A, 분포 함수 F(x), 수학적 기대값과 분산, 확률 변수가 해당 구간에서 값을 취할 확률을 구합니다. 그래프 f(x)와 F(x)를 그립니다.

일. 일부 연속 확률 변수의 분포 함수는 다음과 같이 제공됩니다.

매개변수 a와 b를 결정하고, 확률 밀도 f(x), 수학적 기대값과 분산, 확률 변수가 구간에서 값을 취할 확률에 대한 표현식을 찾습니다. f(x)와 F(x)의 그래프를 그립니다.

분포함수의 미분으로 분포밀도함수를 찾아봅시다.
F'=f(x)=a
매개변수 a를 찾을 수 있다는 것을 알고 있습니다.

또는 3a=1, 여기서 a = 1/3
다음 속성에서 매개변수 b를 찾습니다.
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 여기서 b = -1/3
따라서 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다. F(x) = (x-1)/3

기대값.


분산.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
확률변수가 구간 내에서 어떤 값을 가질 확률을 구해보자
피(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

예 1. 연속 확률 변수 X의 확률 분포 밀도 f(x)가 주어집니다. 필수의:

1. 계수 A를 결정합니다.
2. 분포 함수 F(x) 를 구합니다.
3. F(x)와 f(x)의 그래프를 도식적으로 구성합니다.
4. X의 수학적 기대값과 분산을 구합니다.
5. X가 구간 (2;3)에서 값을 취할 확률을 구합니다.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
해결책:

확률 변수 X는 분포 밀도 f(x)로 지정됩니다.

조건에서 매개변수 A를 찾아보겠습니다.



또는
14/3*A-1 = 0
어디,
A = 3 / 14

분포 함수는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

무작위 변수

예제 2.1.임의의 값 엑스분포 함수에 의해 주어진다

테스트 결과에 따라 확률을 구해 보세요. 엑스간격 (2.5; 3.6)에 포함된 값을 사용합니다.

해결책: 엑스간격 (2.5; 3.6)은 두 가지 방법으로 결정될 수 있습니다.

예제 2.2.어떤 매개변수 값에서 ㅏ그리고 안에기능 에프(엑스) = A + Be - x무작위 변수의 음수가 아닌 값에 대한 분포 함수가 될 수 있습니다. 엑스.

해결책:확률변수의 가능한 모든 값은 엑스구간에 속하면 함수가 다음에 대한 분포 함수가 되기 위해서는 엑스, 속성은 다음을 충족해야 합니다.

.

답변: .

예제 2.3.확률 변수 X는 분포 함수로 지정됩니다.

4번의 독립적인 테스트 결과, 다음 값이 나올 확률을 구합니다. 엑스정확히 3번은 (0.25;0.75) 간격에 속하는 값을 취하게 됩니다.

해결책:값에 도달할 확률 엑스간격 (0.25;0.75)에서 다음 공식을 사용하여 찾습니다.

예제 2.4.한 번의 슛으로 공이 바스켓에 맞을 확률은 0.3이다. 세 번 던지면 안타 수에 대한 분포 법칙을 작성하십시오.

해결책:임의의 값 엑스– 세 번의 슛으로 골대에 안타가 들어간 횟수 – 다음 값을 사용할 수 있습니다: 0, 1, 2, 3. 엑스

엑스:

예제 2.5.두 명의 사수가 각각 목표물에 한 발씩 사격합니다. 첫 번째 사수가 명중할 확률은 0.5, 두 번째 사수가 명중할 확률은 0.4입니다. 목표물에 대한 명중 횟수에 대한 분포 법칙을 작성하십시오.

해결책:이산확률변수의 분포법칙을 찾아보자 엑스– 목표물에 대한 히트 수. 이벤트를 각각 표적에 명중한 첫 번째 사수, 두 번째 사수에 명중한 사건, 그리고 실패로 간주합니다.

SV의 확률분포 법칙을 구성해보자 엑스:

예제 2.6.세 가지 요소가 서로 독립적으로 작동하여 테스트되었습니다. 요소의 오류 없는 작동 기간(시간)에는 분포 밀도 함수가 있습니다. 에프 1 (티) =1-이자형- 0,1 티, 두 번째: 에프 2 (티) = 1-이자형- 0,2 티, 세 번째: 에프 3 (티) =1-이자형- 0,3 티. 0~5시간 간격에서 단 하나의 요소만 실패할 확률을 구합니다. 두 가지 요소만 실패합니다. 세 가지 요소가 모두 실패합니다.

해결책:확률 생성 함수의 정의를 사용해 보겠습니다.

독립적인 시행에서 사건이 발생할 확률이 첫 번째로 발생하는 확률입니다. ㅏ와 같음, 두 번째 등의 이벤트에서 ㅏ의 거듭제곱으로 표현된 생성 함수의 전개 계수와 동일하게 정확히 한 번 나타납니다. 0~5시간의 시간 간격에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 요소의 실패 확률과 실패하지 않을 확률을 각각 찾아보겠습니다.

생성 함수를 만들어 보겠습니다.

계수는 사건이 일어날 확률과 같습니다. ㅏ정확히 세 번 나타납니다. 즉, 세 요소 모두의 실패 확률이 나타납니다. 계수는 정확히 두 요소가 실패할 확률과 같습니다. 계수는 하나의 요소만 실패할 확률과 같습니다.

예제 2.7.확률밀도를 고려하면 에프(엑스) 무작위 변수 엑스:

분포 함수 F(x)를 구합니다.

해결책:우리는 다음 공식을 사용합니다.

.

따라서 분포 함수는 다음과 같습니다.

예제 2.8.이 장치는 독립적으로 작동하는 세 개의 요소로 구성됩니다. 한 실험에서 각 요소의 실패 확률은 0.1입니다. 한 번의 실험에서 실패한 요소의 수에 대한 분포 법칙을 작성하십시오.

해결책:임의의 값 엑스– 한 번의 실험에서 실패한 요소의 수 – 0, 1, 2, 3의 값을 취할 수 있습니다. 엑스이 값을 취하면 Bernoulli의 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

따라서 우리는 확률 변수의 확률 분포에 대해 다음과 같은 법칙을 얻습니다. 엑스:

예제 2.9. 6개 부품 배치에는 4개의 표준 부품이 있습니다. 3개 부품이 무작위로 선택되었습니다. 선정된 부품 중 표준부품의 개수에 대한 배분법칙을 작성한다.

해결책:임의의 값 엑스– 선택한 부품 중 표준 부품 수 – 다음 값을 사용할 수 있습니다: 1, 2, 3 및 초기하 분포를 갖습니다. 확률 엑스

어디 -- 배치의 부품 수;

-- 배치의 표준 부품 수;

– 선택한 부품 수;

-- 선택한 부품 중 표준 부품의 개수입니다.

.

.

.

예제 2.10.확률 변수에는 분포 밀도가 있습니다.

및 는 알려져 있지 않지만 , a 및 . 찾아보세요.

해결책:이 경우 확률변수는 엑스구간 [에 삼각 분포(심슨 분포)가 있습니다. 에, 비]. 수치적 특성 엑스:

따라서, . 이 시스템을 풀면 두 쌍의 값을 얻습니다. 문제의 조건에 따라 우리는 마침내 다음을 얻었습니다. .

답변: .

예제 2.11.평균적으로 계약의 10% 미만에서 보험사고 발생과 관련하여 보험회사가 보험금을 지급합니다. 무작위로 선택된 4개의 계약 중에서 해당 계약 수의 수학적 기대치와 분산을 계산합니다.

해결책:수학적 기대값과 분산은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

.

가능한 SV 값(보험 사건 발생 시 계약 수(4개 중)): 0, 1, 2, 3, 4.

우리는 Bernoulli의 공식을 사용하여 보험 금액이 지급된 다양한 계약 수(4개 중)의 확률을 계산합니다.

.

IC 분포 시리즈(보험 사건이 발생한 계약 수)의 형식은 다음과 같습니다.

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

답변: , .

예제 2.12.장미 5송이 중 2송이는 흰색입니다. 동시에 채취한 두 송이 중 흰 장미의 수를 나타내는 확률변수의 분포 법칙을 작성하십시오.

해결책:두 송이의 장미 중에서 흰 장미가 없을 수도 있고, 한 송이 또는 두 송이의 흰 장미가 있을 수도 있습니다. 따라서 확률변수는 엑스 0, 1, 2의 값을 가질 수 있습니다. 엑스이 값을 취하면 다음 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

어디 -- 장미의 수;

-- 흰 장미의 수;

– 동시에 찍은 장미의 수;

-- 찍은 것 중 흰 장미의 수.

.

.

.

그러면 확률변수의 분포법칙은 다음과 같습니다.

예제 2.13. 15개의 조립된 장치 중 6개에는 추가 윤활이 필요합니다. 전체 개수에서 무작위로 선택한 5개 장치 중 추가 윤활이 필요한 장치 개수에 대한 분포 법칙을 작성합니다.

해결책:임의의 값 엑스– 선택한 5개 중에서 추가 윤활이 필요한 장치의 수 – 다음 값을 사용할 수 있습니다: 0, 1, 2, 3, 4, 5 및 초기하 분포를 갖습니다. 확률 엑스이 값을 취하면 다음 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

어디 -- 조립된 유닛의 수;

-- 추가 윤활이 필요한 장치 수;

– 선택된 단위의 수;

-- 선택한 장치 중 추가 윤활이 필요한 장치의 수입니다.

.

.

.

.

.

.

그러면 확률변수의 분포법칙은 다음과 같습니다.

예제 2.14.수리를 위해 받은 시계 10개 중 7개는 메커니즘 전체를 청소해야 합니다. 시계는 수리 유형에 따라 분류되지 않습니다. 청소가 필요한 시계를 찾고자 하는 주인은 시계를 하나씩 살펴보더니 그런 시계를 발견하면 더 이상 보는 것을 중단합니다. 시청 시간의 수학적 기대값과 분산을 구합니다.

해결책:임의의 값 엑스– 선택한 5개 중에서 추가 윤활이 필요한 장치의 수 – 다음 값을 사용할 수 있습니다: 1, 2, 3, 4. 엑스이 값을 취하면 다음 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

.

.

.

.

그러면 확률변수의 분포법칙은 다음과 같습니다.

이제 수량의 수치적 특성을 계산해 보겠습니다.

답변: , .

예제 2.15.가입자는 필요한 전화번호의 마지막 숫자를 잊어버렸지만 그것이 이상하다는 것을 기억하고 있습니다. 그가 마지막 숫자를 무작위로 누르고 이후에 건 숫자를 누르지 않을 경우, 원하는 번호에 도달하기 전에 전화번호를 누르는 횟수에 대한 수학적 기대값과 분산을 구하십시오.

해결책:랜덤 변수는 다음 값을 가질 수 있습니다: . 가입자는 앞으로 전화를 건 숫자를 누르지 않기 때문에 이러한 값의 확률은 동일합니다.

무작위 변수의 분포 계열을 컴파일해 보겠습니다.

	0,2

전화 걸기 시도 횟수의 수학적 기대값과 분산을 계산해 보겠습니다.

답변: , .

예제 2.16.시리즈의 각 장치에 대한 신뢰성 테스트 중 실패 확률은 다음과 같습니다. 피. 테스트를 거친 경우 실패한 장치 수에 대한 수학적 기대치를 결정합니다. N장치.

해결책:이산 확률 변수 X는 실패한 장치의 수입니다. N각각의 실패 확률이 동일한 독립적인 테스트 피,이항법칙에 따라 분포됩니다. 이항 분포의 수학적 기대치는 시행 횟수에 한 번의 시행에서 사건이 발생할 확률을 곱한 것과 같습니다.

예제 2.17.이산확률변수 엑스 3가지 가능한 값을 취합니다: 확률로 ; 확률과 확률로. M( 엑스) = 8.

해결책:우리는 수학적 기대의 정의와 이산 확률 변수의 분포 법칙을 사용합니다.

우리는 찾는다: .

예제 2.18.기술관리부서에서는 제품의 규격성을 점검합니다. 제품이 표준일 확률은 0.9입니다. 각 배치에는 5개의 제품이 포함되어 있습니다. 확률 변수의 수학적 기대값 찾기 엑스– 50개의 배치가 검사 대상인 경우 각 배치에는 정확히 4개의 표준 제품이 포함된 배치 수입니다.

해결책:이 경우 수행된 모든 실험은 독립적이며 각 배치에 정확히 4개의 표준 제품이 포함될 확률은 동일하므로 수학적 기대치는 다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

,

파티 수는 어디에 있습니까?

배치에 정확히 4개의 표준 제품이 포함될 확률입니다.

Bernoulli의 공식을 사용하여 확률을 구합니다.

답변: .

예제 2.19.확률 변수의 분산 찾기 엑스– 이벤트 발생 횟수 ㅏ두 번의 독립적인 시행에서 두 시행에서 사건이 발생할 확률이 동일하고 다음이 알려진 경우 중(엑스) = 0,9.

해결책:문제는 두 가지 방법으로 해결될 수 있습니다.

1) SV의 가능한 값 엑스: 0, 1, 2. 베르누이 공식을 사용하여 다음 사건의 확률을 결정합니다.

, , .

그렇다면 유통법 엑스형식은 다음과 같습니다.

수학적 기대의 정의로부터 확률을 결정합니다.

SV의 분산을 구해보자 엑스:

.

2) 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

.

답변: .

예제 2.20.정규 분포 확률 변수의 기대값과 표준 편차 엑스각각 20과 5와 같습니다. 테스트 결과 엑스간격(15, 25)에 포함된 값을 사용합니다.

해결책:일반적인 무작위 변수에 부딪힐 확률 엑스 from to to 섹션은 Laplace 함수를 통해 표현됩니다.

예제 2.21.주어진 기능:

어떤 매개변수 값에서 씨이 함수는 일부 연속 확률 변수의 분포 밀도입니다. 엑스? 확률 변수의 수학적 기대값과 분산 찾기 엑스.

해결책:함수가 임의 변수의 분포 밀도가 되려면 음수가 아니어야 하며 다음 속성을 충족해야 합니다.

.

따라서:

다음 공식을 사용하여 수학적 기대치를 계산해 보겠습니다.

.

다음 공식을 사용하여 분산을 계산해 보겠습니다.

T는 같다 피. 이 확률변수의 수학적 기대값과 분산을 찾는 것이 필요합니다.

해결책:이산 확률 변수 X의 분포 법칙(사건 발생 확률이 각각 동일한 독립 시행에서 사건 발생 횟수)을 이항이라고 합니다. 이항 분포의 수학적 기대값은 시행 횟수와 한 번의 시행에서 사건 A가 발생할 확률을 곱한 것과 같습니다.

.

예제 2.25. 3발의 독립 사격이 목표물을 향해 발사됩니다. 각 샷의 적중 확률은 0.25입니다. 3발의 타수에 대한 표준편차를 구하시오.

해결책:세 번의 독립적인 시행이 수행되고 각 시행에서 사건 A(적중)가 발생할 확률이 동일하므로 이산확률변수 X(대상에 대한 적중 횟수)가 다음과 같이 분포된다고 가정합니다. 이항법.

이항 분포의 분산은 시행 횟수와 한 시행에서 사건이 발생할 확률과 발생하지 않을 확률을 곱한 것과 같습니다.

예제 2.26. 10분 동안 보험회사를 방문하는 고객 수는 평균 3명이다. 다음 5분 안에 최소한 한 명의 고객이 도착할 확률을 구하십시오.

5분 안에 도착하는 평균 고객 수: . .

예제 2.29.프로세서 큐에 있는 애플리케이션의 대기 시간은 평균 20초의 지수 분포 법칙을 따릅니다. 다음(임의) 요청이 35초 이상 프로세서에서 대기할 확률을 구합니다.

해결책:이 예에서 수학적 기대는 이고, 실패율은 와 같습니다.

그런 다음 원하는 확률은 다음과 같습니다.

예제 2.30. 15명의 학생으로 구성된 그룹이 10석씩 20열로 구성된 홀에서 회의를 진행합니다. 각 학생은 무작위로 홀에 자리를 잡습니다. 7번째 줄에 3명 이하가 올 확률은 얼마입니까?

해결책:

예제 2.31.

그런 다음 확률의 고전적 정의에 따르면 다음과 같습니다.

어디 -- 배치의 부품 수;

-- 배치의 비표준 부품 수;

– 선택한 부품 수;

-- 선택한 부품 중 비표준 부품의 개수입니다.

그러면 확률변수의 분포법칙은 다음과 같습니다.

수학적 기대이산 확률 변수는 다음과 같이 호출됩니다.

무한한 값 집합의 경우 (4.4)의 우변에 계열이 있는데, 이 계열이 절대적으로 수렴하는 X 값만 고려하겠습니다.

엠(엑스)확률변수의 평균 기대값을 나타냅니다. 여기에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1) M(C)=C, 여기서 C=상수

2) M(CX)=CM(X)(4.5)

3) M(X+Y)=M(X)+M(Y), 임의의 X 및 Y에 대해.

4) M(XY)=M(X)M(Y), X와 Y가 독립인 경우.

평균값 주변의 랜덤 변수 값의 산란 정도를 추정하려면 남(X)= ㅏ 개념이 소개된다 차이디(엑스)및 평균 제곱(표준) 편차. 변화차이의 제곱에 대한 수학적 기대값이라고 합니다. (엑스-),저것들. :

D(X)=M(X- ) 2 = 파이 ,

어디 =M(X);는 분산의 제곱근으로 정의됩니다. 즉 .

분산을 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.

(4.6)

분산 및 표준 편차의 특성:

1) D(C)=0, 여기서 C=상수

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

X와 Y가 독립인 경우.

수량의 차원은 확률 변수 X 자체의 차원과 일치하며 D(X)의 차원은 확률 변수 X 차원의 제곱과 같습니다.

4.3. 무작위 변수에 대한 수학적 연산.

확률변수 X는 확률이 있는 값을 취하고, 확률변수 Y는 확률이 있는 값을 취한다고 하면 확률변수 X와 상수값 K의 곱 KX는 확률변수와 동일한 확률을 갖는 새로운 확률변수이다. 변수 X는 무작위 변수 X의 K 값을 곱한 값과 동일한 값을 취합니다. 결과적으로 분포 법칙은 표 4.2 형식을 갖습니다.

표 4.2

			...
			...

정사각형무작위 변수 X, 즉 는 확률 변수 X와 동일한 확률로 해당 값의 제곱과 동일한 값을 취하는 새로운 확률 변수입니다.

합집합확률변수 X와 Y는 확률변수 X가 그 값을 취하고 Y가 그 값을 가질 확률을 표현하는 확률로 형태의 모든 값을 취하는 새로운 확률변수, 즉

(4.8)

확률 변수 X와 Y가 독립인 경우:

확률변수 X와 Y의 차이와 곱도 비슷하게 결정됩니다.

차이점무작위 변수 X 및 Y - 이것은 형식의 모든 값을 취하는 새로운 무작위 변수입니다. 일하다- 공식 (4.8)에 의해 결정된 확률을 갖는 형태의 모든 값, 그리고 확률 변수 X와 Y가 독립적인 경우 공식 (4.9)에 의해 결정됩니다.

4.4. 베르누이 및 포아송 분포.

다음 조건을 충족하는 일련의 n개의 동일한 반복 시행을 고려하십시오.

1. 각 테스트에는 성공과 실패라는 두 가지 결과가 있습니다.

이 두 가지 결과는 서로 양립할 수 없고 반대되는 사건입니다.

2. p로 표시된 성공 확률은 시행마다 일정하게 유지됩니다. 실패 확률은 q로 표시됩니다.

3. 모든 n개 테스트는 독립적입니다. 이는 n번의 반복 시행에서 사건이 발생할 확률이 다른 시행의 결과에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다.

사건이 발생할 확률이 와 같은 n개의 독립적인 반복 시행에서 사건이 (어떤 순서로든) 정확히 m번 발생할 확률은 다음과 같습니다.

(4.10)

식 (4.10)을 베르누이의 공식이라고 합니다.

이벤트가 발생할 확률:

a) m회 미만,

b) m회 이상,

c) 적어도 m번,

d) m회 이하 - 공식에 따라 구해집니다.

이항은 이산 확률 변수 X의 분포 법칙입니다. n개의 독립 시행에서 사건이 발생한 횟수는 사건이 발생할 확률이 p와 같습니다. 가능한 값 X = 0,1,2,..., m,...,n의 확률은 베르누이 공식(표 4.3)을 사용하여 계산됩니다.

표 4.3

성공 횟수 X=m				...	중	...	N
확률 P				...		...

식(4.10)의 우변은 이항확장의 일반항을 나타내기 때문에 이 분포법칙은 다음과 같이 불린다. 이항식. 이항법칙에 따라 분포된 확률변수 X의 경우 다음과 같습니다.