주어진 벡터에 수직인 평면의 방정식입니다. 일직선

이 기사는 주어진 선에 수직인 3차원 공간에서 주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만드는 방법에 대한 아이디어를 제공합니다. 일반적인 문제를 해결하는 예를 사용하여 주어진 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

주어진 직선에 수직인 공간의 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식 찾기

그 안에 3차원 공간과 직교좌표계 O x y z를 주어보자. 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), 선 a 및 선 a에 수직인 점 M 1을 통과하는 평면 α도 제공됩니다. 평면 α의 방정식을 적어야 합니다.

이 문제를 해결하기 전에 10~11학년 강의 계획서에 나오는 기하학 정리를 기억해 봅시다.

정의 1

3차원 공간의 주어진 점을 통해 주어진 직선에 수직인 단일 평면이 통과합니다.

이제 시작점을 통과하고 주어진 선에 수직인 이 단일 평면의 방정식을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

평면에 속하는 점의 좌표와 평면의 법선 벡터 좌표를 알고 있으면 평면의 일반 방정식을 작성할 수 있습니다.

문제의 조건은 평면 α가 통과하는 점 M 1의 좌표 x 1, y 1, z 1을 제공합니다. 평면 α의 법선 벡터의 좌표를 결정하면 필요한 방정식을 작성할 수 있습니다.

평면 α의 법선 벡터는 0이 아니고 평면 α에 수직인 선 a 위에 있기 때문에 선 a의 모든 방향 벡터가 됩니다. 따라서 평면 α의 법선 벡터의 좌표를 찾는 문제는 직선 a의 방향 벡터의 좌표를 결정하는 문제로 변환됩니다.

직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정하는 것은 다양한 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다. 이는 초기 조건에서 직선 a를 지정하는 옵션에 따라 다릅니다. 예를 들어, 문제 설명의 직선 a가 다음 형식의 표준 방정식으로 제공되는 경우

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

또는 다음 형식의 매개변수 방정식:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

그러면 직선의 방향 벡터는 x, y 및 z 좌표를 갖게 됩니다. 직선 a가 두 점 M 2 (x 2, y 2, z 2)와 M 3 (x 3, y 3, z 3)으로 표시되는 경우 방향 벡터의 좌표는 다음과 같이 결정됩니다. x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

정의 2

주어진 선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾는 알고리즘:

직선 a의 방향 벡터의 좌표를 결정합니다. a → = (a x, a y, a z) ;

평면 α의 법선 벡터 좌표를 직선 a의 방향 벡터 좌표로 정의합니다.

n → = (A, B, C), 여기서 A = a x , B = a y , C = a z;

우리는 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 통과하고 법선 벡터를 갖는 평면의 방정식을 작성합니다. n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 형식입니다. 이것은 공간의 주어진 점을 통과하고 주어진 선에 수직인 평면의 필수 방정식이 될 것입니다.

결과적으로 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다. A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0을 사용하면 세그먼트 단위의 평면 방정식 또는 평면의 일반 방정식을 얻을 수 있습니다.

위에서 얻은 알고리즘을 사용하여 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

실시예 1

평면이 통과하는 점 M 1 (3, - 4, 5)이 주어지며, 이 평면은 좌표선 O z에 수직입니다.

해결책

좌표선 O z의 방향 벡터는 좌표 벡터 k ⇀ = (0, 0, 1)이 됩니다. 따라서 평면의 법선 벡터의 좌표는 (0, 0, 1)입니다. 주어진 점 M 1 (3, - 4, 5)을 통과하는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다. 해당 법선 벡터의 좌표는 (0, 0, 1)입니다.

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

답변: z – 5 = 0 .

이 문제를 해결하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.

실시예 2

선 O z에 수직인 평면은 C z + D = 0, C ≠ 0 형식의 불완전한 일반 평면 방정식으로 제공됩니다. C와 D의 값, 즉 비행기가 주어진 지점을 통과하는 값을 결정해 보겠습니다. 이 점의 좌표를 방정식 C z + D = 0으로 대체하면 C · 5 + D = 0을 얻습니다. 저것들. 숫자, C와 D는 D C = 5라는 관계로 연결됩니다. C = 1을 취하면 D = - 5가 됩니다.

이 값을 방정식 C z + D = 0으로 대체하고 직선 O z에 수직이고 점 M 1 (3, - 4, 5)을 통과하는 평면의 필요한 방정식을 얻습니다.

다음과 같습니다: z – 5 = 0.

답변: z – 5 = 0 .

실시예 3

원점을 통과하고 선에 수직인 평면에 대한 방정식을 쓰십시오. x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

해결책

문제의 조건에 따라 주어진 직선의 방향 벡터는 주어진 평면의 법선 벡터 n →로 간주될 수 있다고 주장할 수 있습니다. 따라서: n → = (- 3 , - 7 , 2) . 점 O (0, 0, 0)을 통과하고 법선 벡터 n → = (- 3, - 7, 2)를 갖는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다.

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

우리는 주어진 직선에 수직인 좌표의 원점을 통과하는 평면의 필요한 방정식을 얻었습니다.

답변:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

실시예 4

직교 좌표계 O x y z는 3차원 공간에 주어지며 그 안에 두 점 A(2, - 1, - 2)와 B(3, - 2, 4)가 있습니다. 평면 α는 선 A B에 수직인 점 A를 통과합니다. 평면 α에 대한 방정식을 세그먼트로 작성해야 합니다.

해결책

평면 α는 선 A B에 수직이며 벡터 A B →는 평면 α의 법선 벡터가 됩니다. 이 벡터의 좌표는 점 B(3, - 2, 4)와 A(2, - 1, - 2)의 해당 좌표 간의 차이로 정의됩니다.

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

평면의 일반 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

이제 세그먼트별로 필요한 평면 방정식을 작성해 보겠습니다.

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

답변:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

또한 주어진 점을 통과하고 주어진 두 평면에 수직인 평면의 방정식을 작성해야 하는 문제가 있다는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 이 문제에 대한 해결책은 주어진 직선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 구성하는 것입니다. 두 개의 교차 평면이 직선을 정의합니다.

실시예 5

직교 좌표계 O x y z가 주어지며 그 안에 점 M 1 (2, 0, - 5)이 있습니다. 직선 a를 따라 교차하는 두 평면 3 x + 2 y + 1 = 0 및 x + 2 z – 1 = 0의 방정식도 제공됩니다. 직선 a에 수직인 점 M1을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

해결책

직선 a의 방향 벡터의 좌표를 결정합시다. 이는 n → (1, 0, 2) 평면의 법선 벡터 n 1 → (3, 2, 0)과 x + 2 z -의 법선 벡터 3 x + 2 y + 1 = 0 모두에 수직입니다. 1 = 0 평면.

그런 다음 방향 벡터 α → 선 a로서 벡터 n 1 → 및 n 2 →의 벡터 곱을 취합니다.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

따라서 벡터 n → = (4, - 6, - 2)는 선 a에 수직인 평면의 법선 벡터가 됩니다. 평면의 필수 방정식을 적어 보겠습니다.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

답변: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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공간의 세 점을 통과하는 단일 평면을 그리려면 이 점들이 동일한 직선 위에 있지 않아야 합니다.

일반 직교 좌표계에서 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) 점을 고려하십시오.

임의의 점 M(x, y, z)가 점 M 1, M 2, M 3과 동일한 평면에 놓이려면 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다.

(
) = 0

따라서,

세 점을 통과하는 평면의 방정식:

두 개의 점과 평면에 동일선상에 있는 벡터가 주어진 평면의 방정식입니다.

점 M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2)와 벡터가 주어집니다.
.

주어진 점 M 1 과 M 2 를 통과하는 평면과 벡터에 평행한 임의의 점 M (x, y, z)에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다. .

벡터
그리고 벡터
동일 평면상에 있어야 합니다. 즉,

(
) = 0

평면 방정식:

하나의 점과 두 개의 벡터를 사용한 평면 방정식,

비행기와 동일 선상에 있습니다.

두 벡터를 주어보자
그리고
, 동일선상 평면. 그런 다음 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터는
동일 평면상에 있어야 합니다.

평면 방정식:

점과 법선 벡터에 의한 평면의 방정식 .

정리. 공간에 점 M이 주어지면 0 (엑스 0 , y 0 , 지 0 ), 점 M을 통과하는 평면의 방정식 0 법선 벡터에 수직 (ㅏ, 비, 씨) 형식은 다음과 같습니다.

ㅏ(엑스 – 엑스 0 ) + 비(와이 – 와이 0 ) + 씨(지 – 지 0 ) = 0.

증거. 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터를 구성합니다. 왜냐하면 벡터 는 법선 벡터이고 평면에 수직이므로 벡터에 수직입니다.
. 그런 다음 스칼라 곱

= 0

따라서 우리는 평면의 방정식을 얻습니다.

정리가 입증되었습니다.

세그먼트의 평면 방정식.

일반 방정식 Ax + By + Cz + D = 0에서 양변을 (-D)로 나눕니다.

,

교체
, 우리는 세그먼트의 평면 방정식을 얻습니다.

숫자 a, b, c는 각각 x, y, z 축과 평면의 교차점입니다.

벡터 형태의 평면 방정식.

어디

- 현재 점 M(x, y, z)의 반경 벡터,

원점에서 평면에 떨어진 수직 방향을 갖는 단위 벡터입니다.

,  및 는 이 벡터와 x, y, z 축이 이루는 각도입니다.

p는 이 수직선의 길이입니다.

좌표에서 이 방정식은 다음과 같습니다.

xcos + ycos + zcos - p = 0.

점에서 평면까지의 거리.

임의의 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)에서 평면 Ax+By+Cz+D=0까지의 거리는 다음과 같습니다.

예.점 P(4; -3; 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수직선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.

따라서 A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, 다음 공식을 사용합니다.

에이(엑스 – 엑스 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

예.두 점 P(2; 0; -1)을 통과하는 평면의 방정식을 구하고

평면 3x + 2y – z + 5 = 0에 수직인 Q(1; -1; 3).

평면에 대한 법선 벡터 3x + 2y – z + 5 = 0
원하는 평면과 평행합니다.

우리는 다음을 얻습니다:

예.점 A(2, -1, 4)를 통과하는 평면의 방정식을 구하고

B(3, 2, -1) 평면에 수직 엑스 + ~에 + 2지 – 3 = 0.

필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. A 엑스+B 와이+C 지+ D = 0, 이 평면에 대한 법선 벡터 (A, B, C). 벡터
(1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 우리에게 주어진 평면은 원하는 평면에 수직이며 법선 벡터를 갖습니다. (1, 1, 2). 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면은 서로 수직입니다.

그래서 법선 벡터는 (11, -7, -2). 왜냐하면 점 A는 원하는 평면에 속하며, 그 좌표는 이 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉, 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

전체적으로 우리는 평면의 방정식을 얻습니다. 11 엑스 - 7와이 – 2지 – 21 = 0.

예.점 P(4, -3, 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수직선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.

법선 벡터의 좌표 찾기
= (4, -3, 12). 필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지+ D = 0. 계수 D를 찾기 위해 점 P의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

16 + 9 + 144 + D = 0

전체적으로 우리는 필요한 방정식을 얻습니다: 4 엑스 – 3와이 + 12지 – 169 = 0

예.피라미드 꼭지점의 좌표는 다음과 같습니다. A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

모서리 A 1 A 2의 길이를 구하세요.

모서리 A 1 A 2와 A 1 A 4 사이의 각도를 구합니다.

모서리 A 1 A 4와 면 A 1 A 2 A 3 사이의 각도를 구합니다.

먼저 면 A 1 A 2 A 3에 대한 법선 벡터를 찾습니다. 벡터의 외적으로
그리고
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

법선 벡터와 벡터 사이의 각도를 찾아 보겠습니다.
.

-4 – 4 = -8.

벡터와 평면 사이의 원하는 각도 는  = 90 0 - 와 같습니다.

A 1 A 2 A 3의 면적을 구합니다.

피라미드의 부피를 구하세요.

평면 A 1 A 2 A 3의 방정식을 구합니다.

세 점을 통과하는 평면의 방정식에 대한 공식을 사용해 봅시다.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

컴퓨터 버전을 사용하는 경우 “ 고등 수학 코스” 피라미드 정점의 좌표에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행할 수 있습니다.

프로그램을 시작하려면 아이콘을 두 번 클릭하십시오.

열리는 프로그램 창에서 피라미드 꼭지점의 좌표를 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 이러한 방식으로 모든 결정 포인트를 하나씩 얻을 수 있습니다.

참고: 프로그램을 실행하려면 MapleV Release 4부터 모든 버전의 Maple 프로그램( Waterloo Maple Inc.)이 컴퓨터에 설치되어 있어야 합니다.

평면의 일반 방정식을 얻기 위해 주어진 점을 통과하는 평면을 분석해 보겠습니다.

우주에는 이미 우리에게 알려진 세 개의 좌표축이 있다고 가정해 보겠습니다. 황소, 아야그리고 온스. 종이가 편평하게 유지되도록 용지를 잡습니다. 평면은 시트 자체가 되며 모든 방향으로 계속됩니다.

허락하다 피우주의 임의의 평면. 이에 수직인 모든 벡터를 호출합니다. 법선 벡터 이 비행기로. 당연히 우리는 0이 아닌 벡터에 대해 이야기하고 있습니다.

비행기의 어떤 지점이라도 알려지면 피그리고 이에 대한 일부 법선 벡터를 사용하면 이 두 가지 조건에 의해 공간의 평면이 완전히 정의됩니다.(주어진 점을 통해 주어진 벡터에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다). 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

따라서 평면의 방정식을 정의하는 조건은 다음과 같습니다. 자신을 얻으려면 평면 방정식, 위와 같은 형태로 비행기에 탑승 피임의의 가리키다 중 가변 좌표 엑스, 와이, 지. 이 점은 다음과 같은 경우에만 평면에 속합니다. 벡터 벡터에 수직(그림 1). 이를 위해 벡터의 수직성 조건에 따라 이러한 벡터의 스칼라 곱이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.

벡터는 조건에 따라 지정됩니다. 공식을 사용하여 벡터의 좌표를 찾습니다. :

.

이제 벡터 공식의 스칼라 곱을 사용하여 , 스칼라 곱을 좌표 형식으로 표현합니다.

시점부터 남(x; y; z)평면에서 임의로 선택한 경우 마지막 방정식은 평면에 있는 모든 점의 좌표로 충족됩니다. 피. 포인트의 경우 N, 주어진 평면에 누워 있지 않습니다. 평등 (1)이 위반되었습니다.

예시 1.한 점을 통과하고 벡터에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성하세요.

해결책. 공식 (1)을 사용하여 다시 살펴보겠습니다.

이 공식에서 숫자는 ㅏ , 비그리고 씨벡터 좌표 및 숫자 엑스0 , 와이0 그리고 지0 - 지점의 좌표.

계산은 매우 간단합니다. 이 숫자를 공식에 대입하여 다음을 얻습니다.

곱셈이 필요한 모든 것을 곱하고 (문자가 없는) 숫자만 더합니다. 결과:

.

본 예에서 요구되는 평면방정식은 좌표변수에 대한 1차 일반방정식으로 표현되는 것으로 나타났다. x, y, z비행기의 어느 지점이든.

따라서 다음 형식의 방정식은

~라고 불리는 일반 평면 방정식 .

예시 2.직사각형 직교 좌표계에서 다음 방정식으로 주어진 평면을 구성합니다. .

해결책. 평면을 구성하려면 동일한 직선 위에 있지 않은 세 개의 점(예: 평면과 좌표축의 교차점)을 아는 것이 필요하고 충분합니다.

이 포인트를 찾는 방법은 무엇입니까? 축과의 교차점을 찾으려면 온스, 문제 설명에 제공된 방정식에서 X와 Y를 0으로 대체해야 합니다. 엑스 = 와이= 0 . 그러므로 우리는 얻는다 지= 6. 따라서 주어진 평면은 축과 교차합니다. 온스그 시점에 ㅏ(0; 0; 6) .

같은 방법으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 아야. ~에 엑스 = 지= 0 우리는 얻습니다 와이= −3, 즉 요점 비(0; −3; 0) .

그리고 마지막으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 황소. ~에 와이 = 지= 0 우리는 얻습니다 엑스= 2, 즉 점 씨(2; 0; 0) . 우리 솔루션에서 얻은 세 가지 점을 기반으로 ㅏ(0; 0; 6) , 비(0; -3; 0) 및 씨(2; 0; 0) 주어진 평면을 구성합니다.

이제 고려해 봅시다 일반 평면 방정식의 특별한 경우. 이는 방정식 (2)의 특정 계수가 0이 되는 경우입니다.

1. 언제 디= 0 방정식 점의 좌표 때문에 원점을 통과하는 평면을 정의합니다. 0 (0; 0; 0)은 이 방정식을 만족시킵니다.

2. 언제 A= 0 방정식 축에 평행한 평면을 정의합니다. 황소, 이 평면의 법선 벡터는 축에 수직이므로 황소(축으로의 투영 황소 0과 같습니다). 마찬가지로, 언제 비= 0면 축에 평행 아야, 그리고 언제 C= 0면 축에 평행 온스.

3. 언제 A=D= 0 방정식은 축을 통과하는 평면을 정의합니다. 황소, 축과 평행하기 때문에 황소 (A=디= 0). 마찬가지로 평면은 축을 통과합니다. 아야, 축을 통과하는 평면 온스.

4. 언제 A=B= 0 방정식은 좌표 평면에 평행한 평면을 정의합니다. xOy, 축과 평행하기 때문에 황소 (ㅏ= 0) 및 아야 (비= 0). 마찬가지로 평면은 평면과 평행하다. yOz, 그리고 비행기는 비행기입니다 xOz.

5. 언제 A=B=D= 0 방정식(또는 z = 0) 좌표 평면을 정의합니다 xOy, 평면과 평행하기 때문에 xOy (A=B= 0) 원점( 디= 0). 마찬가지로, Eq. y=공간의 0은 좌표 평면을 정의합니다. xOz, 그리고 방정식 x = 0 - 좌표평면 yOz.

예시 3.평면의 방정식 만들기 피, 축을 통과 아야그리고 기간.

해결책. 따라서 비행기는 축을 통과합니다. 아야. 그러므로 그녀의 방정식에서 와이= 0이고 이 방정식의 형식은 입니다. 계수를 결정하려면 ㅏ그리고 씨점이 평면에 속한다는 사실을 활용하자 피 .

따라서 그 좌표 중에는 우리가 이미 유도한 평면방정식()에 대입할 수 있는 것이 있다. 점의 좌표를 다시 살펴보겠습니다.

중0 (2; −4; 3) .

그 중 엑스 = 2 , 지= 3 . 우리는 이를 일반 방정식으로 대체하고 특정 사례에 대한 방정식을 얻습니다.

2ㅏ + 3씨 = 0 .

2를 남겨주세요 ㅏ방정식의 왼쪽에서 3을 이동합니다. 씨오른쪽으로 가면 우리는 얻을 수 있습니다

ㅏ = −1,5씨 .

찾은 값 대체 ㅏ방정식에 우리는

또는 .

이는 예제 조건에 필요한 방정식입니다.

평면방정식 문제를 직접 풀고 해를 살펴보세요.

예시 4.평면이 방정식으로 주어지는 경우 좌표 축 또는 좌표 평면에 대해 평면(두 개 이상인 경우 평면)을 정의합니다.

테스트 중에 발생하는 일반적인 문제에 대한 해결책은 교과서 "평면상의 문제: 평행성, 직각성, 한 지점에서 세 평면의 교차점"에 나와 있습니다.

세 점을 통과하는 평면의 방정식

이미 언급했듯이 평면을 구성하기 위한 필요충분조건은 한 점과 법선 벡터 외에 같은 선상에 있지 않은 세 점도 있습니다.

같은 선상에 있지 않은 세 개의 다른 점 , 및 가 주어져 있다고 하자. 표시된 세 점이 같은 선 위에 있지 않기 때문에 벡터는 동일 선상에 있지 않습니다. 따라서 평면의 모든 점은 점과 동일한 평면에 있으며, 벡터 , 및 동일 평면, 즉 그때 그리고 그때만 이 벡터의 혼합 제품 0과 같습니다.

좌표의 혼합 곱에 대한 표현식을 사용하여 평면의 방정식을 얻습니다.

(3)

행렬식을 밝힌 후 이 방정식은 (2) 형식의 방정식이 됩니다. 평면의 일반 방정식.

실시예 5.동일한 직선 위에 있지 않은 주어진 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

그리고 직선의 일반 방정식이 발생하는 경우 특수한 경우를 결정합니다.

해결책. 공식 (3)에 따르면 다음과 같습니다.

법선 평면 방정식. 점에서 평면까지의 거리

평면의 정규 방정식은 방정식이며 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.