வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலின் ஆதாரம். வியட்டாவின் தேற்றத்தை எவ்வாறு நிரூபிப்பது

அந்த வரிசையில் 12x, x 2-5 மற்றும் 4 ஆகிய மூன்று எண்கள் அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன. https://youtu.be/U0VO_N9udpIசரியான அறிக்கை கணிதம் ZFTSH MIPT மாஸ்கோ இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப நிறுவனம் (மாநில பல்கலைக்கழகம்) இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் கடிதப் பள்ளியைத் தேர்வுசெய்க. http://pin.it/9w-GqGp 5x + 3, y2 மற்றும் 3z + 5 எண்கள் அந்த வரிசையில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் வகையில் அனைத்து x, y மற்றும் z ஐக் கண்டறியவும். x ஐக் கண்டுபிடித்து, இந்த முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் குறிக்கவும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் கணிதத்தின் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும். வீடியோ பாடங்கள். முழு எண்களின் வகுபடுதல். நேரியல் செயல்பாடு. பிரித்தல் சிக்கல்கள். வியட்டாவின் தேற்றம், உரையாடல் தேற்றம், வியட்டாவின் சூத்திரங்கள். புத்திசாலி #மாணவர்கள் #சமன்பாடுகள் #vietas_theorem #தேற்றம் அடுத்து நாம் தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுவதைக் கருதுகிறோம். இதற்குப் பிறகு, மிகவும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் முதல் தொடர்பை நிரூபிக்கிறது. இரண்டாவதாக செல்லலாம். வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலை எவ்வாறு நிரூபிப்பது? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) =0 (x-M ) (x-N) =0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. கணித சார்பு கொண்ட ஒரு சிறப்பு வகுப்பில் இதை இப்படித்தான் நிரூபித்தோம். பதில்கள்: குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நன்றி வியட்டா தேற்றத்தின் தலைகீழ் தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவுங்கள் வியட்டா தேற்றத்தின் தலைகீழ் தேற்றம் தீர்வைத் தீர்க்க உதவுகிறது: குணகம் a என்பது பகுத்தறிவு முழு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது எளிதான எண்ணாக இருந்தால், பின்னர் x1 மற்றும் x2 இன் கூட்டுத்தொகை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும். தலைகீழ் தேற்றத்தை நிரூபியுங்கள் Vieta - Vieta தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை எவ்வாறு புகார் செய்வது என்பதைப் பார்க்கவும். வியட்டாவின் தேற்றத்தையும், மாற்றுத் தேற்றத்தையும் உருவாக்கி நிரூபிக்கவும், சமன்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தவும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின் மாற்றத்தை நிரூபிக்கவும். 100 புள்ளிகளுக்கான கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு: பள்ளி ஆசிரியர்கள் உங்களுக்குச் சொல்லாத ரகசியங்கள், வழித்தோன்றல்களில் சிக்கல்கள். பல விண்ணப்பதாரர்கள் முதல் பதினான்கு சிக்கல்களுக்குத் தயாராக வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நினைக்கிறார்கள், அவை மிகவும் எளிதானவை என்று நினைத்து, ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை! பெரும்பாலான தேர்வு எழுதுபவர்கள் எளிமையான எண்கணிதப் பிழைகளைச் செய்கிறார்கள், இதன் மூலம் பகுதி சியின் சிக்கல்களுக்கு சிறந்த தீர்வை மறைக்கிறார்கள். இதுபோன்ற சூழ்நிலைகள் அடிக்கடி நிகழ்கின்றன, எனவே, நீங்கள் முதல் சிக்கல்களைத் தயாரிப்பதை புறக்கணிக்கக்கூடாது, ஆனால் விளையாட்டுப் பயிற்சியின் போது நீங்கள் தயார் செய்வது போல்: நீங்கள் 90-100 புள்ளிகளுக்கு விண்ணப்பிக்கிறீர்கள் - முதல் தொகுதியை 20-25 நிமிடங்களில் தீர்க்க பயிற்சி செய்யுங்கள், 70-80 புள்ளிகள் இருந்தால் - சுமார் 30 நிமிடங்கள், இனி இல்லை. பயிற்சிக்கான ஒரு சிறந்த வழி, ஒரு ஆசிரியரின் நிறுவனத்தில், சில நிபந்தனைகள் அமைக்கப்படும் படிப்புகளில் தீர்க்க வேண்டும்: எடுத்துக்காட்டாக, முதல் தவறுக்கு முன் நீங்கள் தீர்க்கிறீர்கள், பின்னர் வேலையைச் செய்யுங்கள்; மற்றொரு விருப்பம் என்னவென்றால், நீங்கள் செய்யும் ஒவ்வொரு தவறுக்கும், நீங்கள் பொது பணப் பதிவேட்டில் பணத்தை நன்கொடையாக வழங்குகிறீர்கள். இது எவ்வளவு விசித்திரமாகத் தோன்றினாலும், அதிகாரப்பூர்வ வலைத்தளத்தை நாங்கள் பரிந்துரைக்கவில்லை, ஏனெனில் அங்குள்ள அனைத்து சோதனைகளும் மிகவும் கலக்கப்பட்டதால் அதைப் பயன்படுத்த முடியாது. பகுதி C பணிகளின் வடிவமைப்பு முக்கியமானது. தீர்வு கவனமாக வரையப்படாவிட்டால், பணியைத் தீர்ப்பதற்கான முன்னேற்றம் தெளிவாக இருக்காது, எனவே, தேர்வாளர் நிச்சயமாக இதில் தவறைக் கண்டுபிடித்து உங்கள் மதிப்பெண்ணைக் குறைப்பார். நாங்கள் மிகவும் எளிமையான விஷயங்களைப் பற்றி பேசினோம் என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் எங்கள் ஆலோசனையைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவீர்கள்! மாஸ்டர் வகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்ட ரகசிய இணைப்புகளை இங்கே காணலாம் - இவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராவதற்கான வீடியோ படிப்புகளுக்கான இணைப்புகள். பெறப்பட்ட முடிவு வியட்டா தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறைக்கப்பட்ட சதுர முக்கோண 2 x px q க்கு, வியட்டாவின் தேற்றம் இப்படி இருக்கும்: வேர்கள் இருந்தால், வியட்டா தேற்றத்தின் தலைகீழ் நிலையும் உள்ளது: எண்கள் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால், இந்த எண்கள் சமன்பாட்டின் வேர்களாகும். இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒதுக்கீட்டின் கட்டுப்பாட்டு கேள்விகளில் ஒன்றாகும். சில நேரங்களில், சுருக்கத்திற்கு, வியட்டாவின் இரண்டு கோட்பாடுகளும் (நேரடி மற்றும் தலைகீழ்) வெறுமனே வியட்டாவின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க வியட்டாவின் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் வேர்களைக் கண்டறிந்தால், \(p இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிட \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். \) மற்றும் \(q\ ). அவை அசல் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போலவே மாறினால், வேர்கள் சரியாகக் காணப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, \(x^2+x-56=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்களைப் பெறுவோம்: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). தீர்வு செயல்பாட்டில் நாங்கள் தவறு செய்திருந்தால் சரிபார்ப்போம். எங்கள் விஷயத்தில், \(p=1\), மற்றும் \(q=-56\). வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

இரண்டு அறிக்கைகளும் ஒன்றிணைந்தன, அதாவது சமன்பாட்டை சரியாக தீர்த்தோம்.

இந்த சோதனையை வாய்வழியாக செய்யலாம். இது 5 வினாடிகள் எடுக்கும் மற்றும் முட்டாள் தவறுகளிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும்.

வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றம்

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), \(x_1\) மற்றும் \(x_2\) இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் \ (x^ 2+px+q=0\).

அல்லது எளிமையான முறையில்: \(x^2+px+q=0\) படிவத்தின் சமன்பாடு உங்களிடம் இருந்தால் \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) நீங்கள் அதன் வேர்களைக் காண்பீர்கள்.

இந்த தேற்றத்திற்கு நன்றி, நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை விரைவாகக் கண்டறியலாம், குறிப்பாக இந்த வேர்கள் . இந்த திறன் முக்கியமானது, ஏனெனில் இது நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

உதாரணமாக . \(x^2-5x+6=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு : Vieta இன் தலைகீழ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, வேர்கள் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்வதைக் காண்கிறோம்: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும் \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) எண்ணை எந்த இரண்டாக சிதைக்கலாம்? அன்று \(2\) மற்றும் \(3\), \(6\) மற்றும் \(1\) அல்லது \(-2\) மற்றும் \(-3\), மற்றும் \(-6\) மற்றும் \(- 1\). கணினியின் முதல் சமன்பாடு எந்த ஜோடியை தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்பதை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும்: \(x_1+x_2=5\). \(2\) மற்றும் \(3\) ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் \(2+3=5\).
பதில் : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

எடுத்துக்காட்டுகள் . வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); ஈ) \(x^2-88x+780=0\).

தீர்வு :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(2\) மற்றும் \(7\), \(-2\) மற்றும் \(-7\), \(-1\) மற்றும் \(-14\), \(1\) மற்றும் \(14\ ) எந்த ஜோடி எண்கள் \(15\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(-2\) மற்றும் \(2\), \(4\) மற்றும் \(-1\), \(1\) மற்றும் \(-4\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-3\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(4\) மற்றும் \(5\), \(-4\) மற்றும் \(-5\), \(2\) மற்றும் \(10\), \(-2\) மற்றும் \(-10\ ), \(-20\) மற்றும் \(-1\), \(20\) மற்றும் \(1\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-9\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(-4\) மற்றும் \(-5\).

ஈ) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(390\) மற்றும் \(2\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? இல்லை. \(780\) வேறு என்ன பெருக்கிகள் உள்ளன? \(78\) மற்றும் \(10\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? ஆம். பதில்: \(78\) மற்றும் \(10\).

சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளிலும் கடைசி காலத்தை விரிவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (கடைசி உதாரணத்தைப் போல). அவற்றின் தொகை \(-p\) கொடுக்கிறதா என்பதை உடனடியாகச் சரிபார்க்கலாம்.

முக்கியமான!வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் உரையாடல் தேற்றம் ஆகியவை மட்டுமே வேலை செய்கின்றன, அதாவது \(x^2\) குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். முதலில் நமக்குக் குறைக்கப்படாத சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், \(x^2\)க்கு முன்னால் உள்ள குணகத்தால் வகுத்து அதைக் குறைக்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு, சமன்பாடு \(2x^2-4x-6=0\) கொடுக்கப்பட்டு, வியட்டாவின் தேற்றங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறோம். ஆனால் \(x^2\) இன் குணகம் \(2\)க்கு சமமாக இருப்பதால் நம்மால் முடியாது. முழு சமன்பாட்டையும் \(2\) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

தயார். இப்போது நீங்கள் இரண்டு தேற்றங்களையும் பயன்படுத்தலாம்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகளுக்கான பதில்கள்

கேள்வி: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எதையாவது தீர்க்க முடியுமா?
பதில்: துரதிருஷ்டவசமாக இல்லை. சமன்பாட்டில் முழு எண்கள் இல்லை அல்லது சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை என்றால், வியட்டாவின் தேற்றம் உதவாது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பாரபட்சமான . அதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளிக் கணிதத்தில் 80% சமன்பாடுகள் முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன.

இருபடி செயல்பாடு.

y = ax2 + bx + c சூத்திரத்தால் வழங்கப்படும் ஒரு செயல்பாடு, x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள் மற்றும் a, b, c ஆகியவை எண்கள் மற்றும் a என்பது 0 க்கு சமமாக இருக்காது.
அழைக்கப்பட்டது இருபடி செயல்பாடு

ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல், அவற்றின் இருப்பு மற்றும் எண்களுக்கான நிபந்தனைகள்.

- இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு.

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் வியட்டா தேற்றங்கள்.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் சிதைவு நேரியல் காரணிகளாக.

தேற்றம். விடுங்கள்

எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்கள்எக்ஸ் 2 + px + கே. இந்த முக்கோணம் பின்வருமாறு நேரியல் காரணிகளாக சிதைகிறது:எக்ஸ் 2 + px + கே = (எக்ஸ் - எக்ஸ் 1) (எக்ஸ் - எக்ஸ் 2).

ஆதாரம். அதற்கு பதிலாக மாற்றுவோம்

பமற்றும் கேமூலம் அவர்களின் வெளிப்பாடுகள்எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 மற்றும் தொகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தவும்:

x 2 + px + கே = எக்ஸ் 2 - (எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 ) எக்ஸ் + எக்ஸ் 1 எக்ஸ் 2 = எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் 1 எக்ஸ் - எக்ஸ் 2 எக்ஸ் + எக்ஸ் 1 எக்ஸ் 2 = எக்ஸ் (எக்ஸ் - எக்ஸ் 1 ) - எக்ஸ் 2 (எக்ஸ் - எக்ஸ் 1 ) = = (எக்ஸ் - எக்ஸ் 1 ) (எக்ஸ் - எக்ஸ் 2 ). தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இருபடி சமன்பாடு. இருபடி முக்கோணத்தின் வரைபடம்

படிவத்தின் சமன்பாடு

இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. D = b 2 - 4ac என்ற எண் இந்த சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ஆகும்.
என்றால்

பின்னர் எண்கள்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (அல்லது தீர்வுகள்). D = 0 என்றால், வேர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

டி என்றால்< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
சரியான சூத்திரங்கள்:

- வியட்டா சூத்திரங்கள்; ஏ
கோடாரி 2 + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) -
காரணியாக்கல் சூத்திரம்.
இருபடி செயல்பாட்டின் வரைபடம் (குவாட்ராடிக் டிரினோமியல்) y = ax 2 + bx + c என்பது ஒரு பரவளையமாகும். குணகம் a மற்றும் பாகுபாடு D ஆகியவற்றின் அறிகுறிகளைப் பொறுத்து பரவளையத்தின் இருப்பிடம் படம்.


abscissa அச்சில் உள்ள எண்கள் x 1 மற்றும் x 2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் 2 + bx + + c = 0; எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பரவளையத்தின் (புள்ளி A) உச்சியின் ஒருங்கிணைப்புகள்

ஆர்டினேட் அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (0; c).
ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு வட்டம் போல, ஒரு பரவளையம் ஒரு விமானத்தை இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கிறது. இந்தப் பகுதிகளில் ஒன்றில், அனைத்துப் புள்ளிகளின் ஆயங்களும் சமத்துவமின்மை y > ax 2 + bx + c, மற்றொன்றில் எதிர். விமானத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதியில் உள்ள சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை விமானத்தின் இந்த பகுதியில் எந்த இடத்திலும் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கிறோம்.
ஒரு பரவளைய (அல்லது வட்டம்) ஒரு தொடுகோடு என்ற கருத்தை கருத்தில் கொள்வோம். இந்த வளைவுடன் ஒரு பொதுவான புள்ளி இருந்தால், y - kx + 1 என்ற நேர்கோட்டை ஒரு பரவளையத்திற்கு (அல்லது வட்டம்) தொடுகோடு என்று அழைப்போம்.


தொடர்பு இடத்தில் M(x; y), ஒரு பரவளையத்திற்கான சமத்துவம் kx +1 = ax 2 + bx + c (ஒரு வட்டத்திற்கு - சமத்துவம் (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) ) 2 - ஆர் 2). இதன் விளைவாக வரும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வது (சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதால்), தொடுகோடு குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நிபந்தனைகளை நாங்கள் அடைகிறோம்.இந்த நுட்பத்தின் சாராம்சம் ஒரு பாகுபாட்டின் உதவியின்றி வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். x2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு, இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள் இருக்கும் இடத்தில், இரண்டு அறிக்கைகள் உண்மையாக இருக்கும்.

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x மாறியின் குணகத்தின் மதிப்புக்கு சமம் என்று முதல் அறிக்கை கூறுகிறது (இந்த விஷயத்தில் இது b), ஆனால் எதிர் அடையாளத்துடன். பார்வைக்கு இது போல் தெரிகிறது: x1 + x2 = -b.

இரண்டாவது கூற்று இனி கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடையது அல்ல, ஆனால் இந்த இரண்டு வேர்களின் தயாரிப்புடன் தொடர்புடையது. இந்த தயாரிப்பு இலவச குணகத்திற்கு சமம், அதாவது. c. அல்லது, x1 * x2 = c. இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளும் அமைப்பில் தீர்க்கப்படுகின்றன.

வியட்டாவின் தேற்றம் தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது, ஆனால் ஒரு வரம்பு உள்ளது. இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியக்கூடிய இருபடிச் சமன்பாடு குறைக்கப்பட வேண்டும். மேலே உள்ள சமன்பாட்டில், குணகம் a, x2 க்கு முன்னால் உள்ள ஒன்று, ஒன்றுக்கு சமம். எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் முதல் குணகத்தால் வெளிப்பாட்டைப் பிரிப்பதன் மூலம் ஒத்த வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும், ஆனால் இந்த செயல்பாடு எப்போதும் பகுத்தறிவு அல்ல.

தேற்றத்தின் ஆதாரம்

தொடங்குவதற்கு, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேடுவது பாரம்பரியமாக எப்படி இருக்கிறது என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். முதல் மற்றும் இரண்டாவது வேர்கள் காணப்படுகின்றன, அதாவது: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. பொதுவாக இது 2a ஆல் வகுபடும், ஆனால், ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தேற்றம் a=1 என்ற போது மட்டுமே பயன்படுத்தப்படும்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திலிருந்து, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. இதன் பொருள் x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

அறியப்படாத வேர்களின் தயாரிப்புக்கும் இது பொருந்தும்: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. இதையொட்டி, D = b2-4c (மீண்டும் a=1 உடன்). இதன் விளைவாக: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

கொடுக்கப்பட்ட எளிய ஆதாரத்திலிருந்து, ஒரே ஒரு முடிவுக்கு வரலாம்: வியட்டாவின் தேற்றம் முழுமையாக உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாவது உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரம்

வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றொரு விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. இன்னும் துல்லியமாகச் சொல்வதானால், இது ஒரு விளக்கம் அல்ல, ஒரு சூத்திரம். உண்மை என்னவென்றால், முதல் வழக்கில் உள்ள அதே நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்: இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள் உள்ளன, பின்னர் தேற்றம் மற்றொரு சூத்திரத்தால் எழுதப்படலாம்.

இந்த சமத்துவம் இது போல் தெரிகிறது: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). P(x) சார்பு x1 மற்றும் x2 என்ற இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டினால், அதை P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) என எழுதலாம். P ஆனது இரண்டாவது பட்டத்தைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​இதுவே அசல் வெளிப்பாடு போல் இருக்கும் போது, ​​R என்பது ஒரு முதன்மை எண், அதாவது 1. இல்லையெனில் சமத்துவம் இருக்காது என்ற காரணத்திற்காக இந்தக் கூற்று உண்மையாகும். அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும் போது குணகம் x2 ஒன்றுக்கு மேல் இருக்கக்கூடாது, மேலும் வெளிப்பாடு சதுரமாக இருக்க வேண்டும்.

I. வியட்டாவின் தேற்றம்குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1) x 2 -x-30=0.இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு ஆகும் ( x 2 +px+q=0), இரண்டாவது குணகம் ப=-1, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-30.முதலில், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருப்பதையும், வேர்கள் (ஏதேனும் இருந்தால்) முழு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதையும் உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருந்தால் போதும்.

பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

இப்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. ( -ப), மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம், அதாவது. ( கே) பிறகு:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் -30 , மற்றும் தொகை அலகு. இவை எண்கள் -5 மற்றும் 6 . பதில்: -5; 6.

எடுத்துக்காட்டு 2) x 2 +6x+8=0.எங்களிடம் இரண்டாவது குணகத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு உள்ளது ப=6மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=8. முழு எண் வேர்கள் இருப்பதை உறுதி செய்வோம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1 டி 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . பாகுபாடு D 1 என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் 1 , அதாவது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் –р=-6, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் q=8. இவை எண்கள் -4 மற்றும் -2 .

உண்மையில்: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=கே. பதில்: -4; -2.

எடுத்துக்காட்டு 3) x 2 +2x-4=0. இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டில், இரண்டாவது குணகம் ப=2, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-4. பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் இரட்டை எண் என்பதால். டி 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. பாகுபாடு என்பது எண்ணின் சரியான வர்க்கம் அல்ல, எனவே நாங்கள் செய்கிறோம் முடிவுரை: இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள் அல்ல மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது.இதன் பொருள், இந்த சமன்பாட்டை வழக்கம் போல், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (இந்த விஷயத்தில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி) தீர்க்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4).இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் x 1 =-7, x 2 =4.

தீர்வு.தேவையான சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்: x 2 +px+q=0, மற்றும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → ப=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 +3x-28=0.

எடுத்துக்காட்டு 5).ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும்:

II. வியட்டாவின் தேற்றம்ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு கோடாரி 2 +bx+c=0.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கழித்தல் பி, வகுக்க ஏ, வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் உடன், வகுக்க A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

எடுத்துக்காட்டு 6).இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் 2x 2 -7x-11=0.