கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு. நேர் கோடு

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது பற்றிய யோசனையை இந்த கட்டுரை வழங்குகிறது. பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிதல்

ஒரு முப்பரிமாண இடைவெளி மற்றும் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z அதில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1), கோடு a மற்றும் விமானம் α புள்ளி M 1 க்கு செங்குத்தாக கடந்து செல்லும். விமானம் α இன் சமன்பாட்டை எழுதுவது அவசியம்.

இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்கும் முன், 10-11 ஆம் வகுப்புகளுக்கான பாடத்திட்டத்தில் உள்ள வடிவியல் தேற்றத்தை நினைவில் கொள்வோம்.

வரையறை 1

முப்பரிமாண இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானம் செல்கிறது.

இப்போது இந்த ஒற்றை விமானத்தின் சமன்பாட்டை ஆரம்ப புள்ளியின் வழியாகவும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாகவும் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று பார்ப்போம்.

இந்த விமானத்திற்கு சொந்தமான ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்பட்டால், விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் தெரிந்தால், ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை எழுதுவது சாத்தியமாகும்.

சிக்கலின் நிபந்தனைகள், விமானம் α கடந்து செல்லும் புள்ளி M 1 இன் ஆயத்தொலைவுகளை x 1, y 1, z 1 வழங்குகிறது. விமானம் α இன் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை நாம் தீர்மானித்தால், தேவையான சமன்பாட்டை நாம் எழுத முடியும்.

விமானம் α இன் சாதாரண திசையன், பூஜ்ஜியம் அல்லாதது மற்றும் விமானம் α க்கு செங்குத்தாக a கோட்டில் இருப்பதால், a கோட்டின் எந்த திசை திசையனும் இருக்கும். எனவே, விமானம் α இன் சாதாரண திசையன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் நேர்கோட்டின் திசையனின் ஆயங்களை தீர்மானிக்கும் சிக்கலாக மாற்றப்படுகிறது a.

நேர் கோட்டின் திசை திசையன்களின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்பது வெவ்வேறு முறைகளால் மேற்கொள்ளப்படலாம்: இது ஆரம்ப நிலைகளில் நேர் கோடு a ஐக் குறிப்பிடுவதற்கான விருப்பத்தைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கல் அறிக்கையில் ஒரு நேர் கோடு படிவத்தின் நியதிச் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால்

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

அல்லது படிவத்தின் அளவுரு சமன்பாடுகள்:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

நேர் கோட்டின் திசை திசையன் ஒரு x, a y மற்றும் a z ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும். நேர்கோடு a ஆனது M 2 (x 2, y 2, z 2) மற்றும் M 3 (x 3, y 3, z 3) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளால் குறிக்கப்படும் போது, ​​திசை திசையன் ஆயத்தொகுப்புகள் இவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படும் ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

வரையறை 2

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

நேர் கோட்டின் திசை வெக்டரின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: a → = (a x, a y, a z) ;

விமானம் α இன் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை நேர்கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளாக வரையறுக்கிறோம் a:

n → = (A , B , C) , எங்கே A = a x, B = a y, C = a z;

புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் எழுதுகிறோம் மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 வடிவத்தில். இது விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு ஆகும்.

இதன் விளைவாக விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 ஆனது விமானத்தின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் அல்லது விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

மேலே பெறப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு புள்ளி M 1 (3, - 4, 5) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் மூலம் விமானம் கடந்து செல்கிறது, மேலும் இந்த விமானம் O z ஒருங்கிணைப்பு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

தீர்வு

O z ஆயக் கோட்டின் திசை திசையன் ஆய திசையன் k ⇀ = (0, 0, 1) ஆக இருக்கும். எனவே, விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆய (0, 0, 1) உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 1 (3, - 4, 5) வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம், இதன் இயல்பான திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

பதில்: z – 5 = 0 .

இந்த சிக்கலை தீர்க்க மற்றொரு வழியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

O z கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு விமானம் C z + D = 0, C ≠ 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற பொது சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படும். C மற்றும் D இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானிப்போம்: கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக விமானம் செல்லும். இந்த புள்ளியின் ஆயங்களை C z + D = 0 சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம், நாம் பெறுவது: C · 5 + D = 0. அந்த. எண்கள், C மற்றும் D ஆகியவை உறவின் மூலம் தொடர்புடையவை - D C = 5. C = 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், D = - 5 கிடைக்கும்.

இந்த மதிப்புகளை C z + D = 0 என்ற சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் மற்றும் O z என்ற நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தின் தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் மற்றும் புள்ளி M 1 (3, - 4, 5) வழியாக செல்கிறோம்.

இது போல் இருக்கும்: z – 5 = 0.

பதில்: z – 5 = 0 .

எடுத்துக்காட்டு 3

x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 கோட்டிற்கு செங்குத்தாக தோற்றம் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு

சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில், கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் திசை வெக்டரை, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண திசையன் n → ஆக எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்று வாதிடலாம். இவ்வாறு: n → = (- 3 , - 7 , 2) . புள்ளி O (0, 0, 0) வழியாக செல்லும் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் தேவையான சமன்பாட்டை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம்.

பதில்:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதில் A (2, - 1, - 2) மற்றும் B (3, - 2, 4) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன. விமானம் α A B கோட்டிற்கு செங்குத்தாக புள்ளி A வழியாக செல்கிறது. பிரிவுகளில் விமானம் α க்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

தீர்வு

விமானம் α கோடு A B க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, பின்னர் திசையன் A B → விமானத்தின் சாதாரண திசையனாக இருக்கும். இந்த வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் B (3, - 2, 4) மற்றும் A (2, - 1, - 2) ஆகிய புள்ளிகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

இப்போது விமானத்தின் தேவையான சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் உருவாக்குவோம்:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

பதில்:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு விமானங்களுக்கு செங்குத்தாக, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுத வேண்டிய சிக்கல்கள் உள்ளன என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பொதுவாக, இந்தச் சிக்கலுக்கான தீர்வு, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவதாகும். இரண்டு வெட்டும் விமானங்கள் ஒரு நேர் கோட்டை வரையறுக்கின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 5

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதில் ஒரு புள்ளி M 1 (2, 0, - 5) உள்ளது. 3 x + 2 y + 1 = 0 மற்றும் x + 2 z – 1 = 0 ஆகிய இரண்டு விமானங்களின் சமன்பாடுகளும் a நேர் கோட்டில் வெட்டுகின்றன. ஒரு நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக புள்ளி M 1 வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

தீர்வு

ஒரு நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம். இது n → (1, 0, 2) விமானத்தின் சாதாரண திசையன் n 1 → (3, 2, 0) மற்றும் x + 2 z இன் சாதாரண திசையன் 3 x + 2 y + 1 = 0 ஆகிய இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது - 1 = 0 விமானம்.

பின்னர், இயக்கும் திசையன் α → வரி a ஆக, n 1 → மற்றும் n 2 → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியை எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 2) , -

எனவே, திசையன் n → = (4, - 6, - 2) என்பது ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆகும். விமானத்தின் தேவையான சமன்பாட்டை எழுதுவோம்:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

பதில்: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

விண்வெளியில் ஏதேனும் மூன்று புள்ளிகள் வழியாக ஒற்றை விமானம் வரையப்படுவதற்கு, இந்த புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்காமல் இருப்பது அவசியம்.

பொது கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) M 1, M 2, M 3 புள்ளிகளுடன் ஒரே விமானத்தில் இருக்க, திசையன்கள் கோப்லனராக இருப்பது அவசியம்.

(
) = 0

இதனால்,

மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு:

விமானத்திற்கு இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன் கோலினியர் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

புள்ளிகள் M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) மற்றும் திசையன் கொடுக்கப்பட வேண்டும்
.

கொடுக்கப்பட்ட M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M (x, y, z) .

திசையன்கள்
மற்றும் திசையன்
coplanar இருக்க வேண்டும், அதாவது.

(
) = 0

விமானச் சமன்பாடு:

ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு,

விமானத்திற்கு நேர்கோட்டு.

இரண்டு திசையன்களை கொடுக்கலாம்
மற்றும்
, கோலினியர் விமானங்கள். பின்னர் விமானத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, திசையன்கள்
கோப்ளனாராக இருக்க வேண்டும்.

விமானச் சமன்பாடு:

புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் மூலம் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு .

தேற்றம். விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி M கொடுக்கப்பட்டால் 0 (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 , z 0 ), பின்னர் புள்ளி எம் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு 0 சாதாரண வெக்டருக்கு செங்குத்தாக (ஏ, பி, சி) வடிவம் உள்ளது:

ஏ(எக்ஸ் – எக்ஸ் 0 ) + பி(ஒய் – ஒய் 0 ) + சி(z – z 0 ) = 0.

ஆதாரம். விமானத்திற்குச் சொந்தமான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, நாம் ஒரு திசையன் உருவாக்குகிறோம். ஏனெனில் திசையன் சாதாரண திசையன், பின்னர் அது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே, திசையன் செங்குத்தாக
. பின்னர் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு

= 0

இவ்வாறு, விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

பொது சமன்பாட்டில் Ax + Bi + Cz + D = 0 எனில் இரு பக்கங்களையும் (-D) ஆல் வகுக்கிறோம்

,

பதிலாக
, விமானத்தின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் பெறுகிறோம்:

எண்கள் a, b, c ஆகியவை முறையே x, y, z அச்சுகளுடன் கூடிய விமானத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

திசையன் வடிவத்தில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

எங்கே

- தற்போதைய புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M(x, y, z),

ஒரு செங்குத்து திசையைக் கொண்ட ஒரு அலகு திசையன் தோற்றத்திலிருந்து ஒரு விமானத்தின் மீது கைவிடப்பட்டது.

,  மற்றும்  ஆகியவை இந்த திசையன் x, y, z அச்சுகளுடன் உருவாகும் கோணங்கள்.

p என்பது இந்த செங்குத்து நீளம்.

ஒருங்கிணைப்புகளில், இந்த சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம்.

தன்னிச்சையான புள்ளி M 0 (x 0, y 0, z 0) இலிருந்து Ax+By+Cz+D=0 வரையிலான தூரம்:

உதாரணமாக.புள்ளி P(4; -3; 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கைவிடப்பட்ட செங்குத்தான அடித்தளம் என்பதை அறிந்து, விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

எனவே A = 4/13; பி = -3/13; சி = 12/13, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

A(x – x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

உதாரணமாக. P(2; 0; -1) மற்றும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

Q(1; -1; 3) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 3x + 2y – z + 5 = 0.

விமானத்தின் இயல்பான திசையன் 3x + 2y – z + 5 = 0
விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

உதாரணமாக. A(2, -1, 4) மற்றும் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

B(3, 2, -1) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக எக்ஸ் + மணிக்கு + 2z – 3 = 0.

விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: ஏ எக்ஸ்+பி ஒய்+சி z+ D = 0, இந்த விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் (ஏ, பி, சி). திசையன்
(1, 3, -5) விமானத்திற்கு உரியது. எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட விமானம், விரும்பிய ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக, ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது (1, 1, 2). ஏனெனில் புள்ளிகள் A மற்றும் B இரண்டு விமானங்களுக்கும் சொந்தமானது, மேலும் விமானங்கள் பரஸ்பர செங்குத்தாக இருக்கும்

எனவே சாதாரண திசையன் (11, -7, -2). ஏனெனில் புள்ளி A விரும்பிய விமானத்திற்கு சொந்தமானது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த விமானத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அதாவது. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

மொத்தத்தில், விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 11 எக்ஸ் - 7ஒய் – 2z – 21 = 0.

உதாரணமாக.விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், புள்ளி P(4, -3, 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கீழே இறக்கப்பட்ட செங்குத்தாக அடித்தளம் என்பதை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.

சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டறிதல்
= (4, -3, 12). விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 4 எக்ஸ் – 3ஒய் + 12z+ D = 0. குணகம் D ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் புள்ளி P இன் ஆயங்களை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

16 + 9 + 144 + D = 0

மொத்தத்தில், தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 4 எக்ஸ் – 3ஒய் + 12z – 169 = 0

உதாரணமாக.பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

விளிம்பு A 1 A 2 இன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 மற்றும் A 1 A 4 விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

விளிம்பு A 1 A 4 மற்றும் முகம் A 1 A 2 A 3 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

முதலில் A 1 A 2 A 3 முகத்திற்கு சாதாரண திசையன் இருப்பதைக் காண்கிறோம் திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியாக
மற்றும்
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

சாதாரண வெக்டருக்கும் வெக்டருக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

-4 – 4 = -8.

திசையன் மற்றும் விமானம் இடையே விரும்பிய கோணம்  = 90 0 -  சமமாக இருக்கும்.

முகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் A 1 A 2 A 3.

பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 A 3 விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

கணினி பதிப்பைப் பயன்படுத்தும் போது " உயர் கணிதப் படிப்பு” நீங்கள் ஒரு நிரலை இயக்கலாம், அது மேலே உள்ள உதாரணத்தை பிரமிட்டின் முனைகளின் எந்த ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் தீர்க்கும்.

நிரலைத் தொடங்க, ஐகானில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும்:

திறக்கும் நிரல் சாளரத்தில், பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயங்களை உள்ளிட்டு Enter ஐ அழுத்தவும். இந்த வழியில், அனைத்து முடிவு புள்ளிகளையும் ஒவ்வொன்றாகப் பெறலாம்.

குறிப்பு: நிரலை இயக்க, MapleV வெளியீடு 4 இல் தொடங்கி எந்தப் பதிப்பின் Maple நிரல் ( Waterloo Maple Inc.) உங்கள் கணினியில் நிறுவப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டைப் பெற, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

விண்வெளியில் ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த மூன்று ஆய அச்சுகள் இருக்கட்டும் - எருது, ஓமற்றும் ஓஸ். காகிதத் தாளைப் பிடிக்கவும், அதனால் அது தட்டையாக இருக்கும். விமானம் தாளாகவும் அனைத்து திசைகளிலும் அதன் தொடர்ச்சியாகவும் இருக்கும்.

விடுங்கள் பிவிண்வெளியில் தன்னிச்சையான விமானம். அதற்கு செங்குத்தாக உள்ள ஒவ்வொரு வெக்டரும் அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண திசையன் இந்த விமானத்திற்கு. இயற்கையாகவே, நாம் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் பற்றி பேசுகிறோம்.

விமானத்தில் ஏதேனும் புள்ளி தெரிந்தால் பிமற்றும் அதற்கு சில சாதாரண திசையன், பின்னர் இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளால் விண்வெளியில் உள்ள விமானம் முழுமையாக வரையறுக்கப்படுகிறது(கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனுக்கு செங்குத்தாக ஒற்றை விமானத்தை வரையலாம்). விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு இருக்கும்:

எனவே, விமானத்தின் சமன்பாட்டை வரையறுக்கும் நிபந்தனைகள். உங்களைப் பெறுவதற்கு விமானச் சமன்பாடு, மேலே உள்ள படிவத்தைக் கொண்டு, விமானத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் பிதன்னிச்சையான புள்ளி எம் மாறி ஆயத்தொலைவுகளுடன் எக்ஸ், ஒய், z. இந்த புள்ளி இருந்தால் மட்டுமே விமானத்திற்கு சொந்தமானது திசையன் திசையன் செங்குத்தாக(வரைபடம். 1). இதற்காக, திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிபந்தனையின்படி, இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

திசையன் நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்படுகிறது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம் :

.

இப்போது, ​​வெக்டார் ஃபார்முலாவின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது , நாங்கள் அளவிடல் தயாரிப்பை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வெளிப்படுத்துகிறோம்:

புள்ளி இருந்து M(x; y; z)விமானத்தில் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, பின்னர் கடைசி சமன்பாடு விமானத்தில் இருக்கும் எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது பி. ஒரு புள்ளிக்கு என், கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் பொய் இல்லை, அதாவது. சமத்துவம் (1) மீறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு புள்ளியின் வழியே செல்லும் விமானம் மற்றும் திசையன் செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு. சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்துவோம், அதை மீண்டும் பார்க்கலாம்:

இந்த சூத்திரத்தில் எண்கள் ஏ , பிமற்றும் சிதிசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் எண்கள் எக்ஸ்0 , ஒய்0 மற்றும் z0 - புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்.

கணக்கீடுகள் மிகவும் எளிமையானவை: இந்த எண்களை சூத்திரத்தில் மாற்றிப் பெறுகிறோம்

நாம் பெருக்க வேண்டிய அனைத்தையும் பெருக்கி, வெறும் எண்களை (எழுத்துக்கள் இல்லாத) சேர்க்கிறோம். விளைவாக:

.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு மாறி ஆயத்தொலைவுகளைப் பொறுத்து முதல் பட்டத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. x, y, zவிமானத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளி.

எனவே, படிவத்தின் சமன்பாடு

அழைக்கப்பட்டது பொதுவான விமானச் சமன்பாடு .

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தை உருவாக்கவும் .

தீர்வு. ஒரு விமானத்தை உருவாக்க, ஒரே நேர் கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் விமானத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்.

இந்த புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறிய ஓஸ், சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டில் X மற்றும் Yக்கு பூஜ்ஜியங்களை மாற்ற வேண்டும்: எக்ஸ் = ஒய்= 0 எனவே நாம் பெறுகிறோம் z= 6. இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட விமானம் அச்சில் வெட்டுகிறது ஓஸ்புள்ளியில் ஏ(0; 0; 6) .

அதே வழியில், அச்சுடன் விமானம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்கிறோம் ஓ. மணிக்கு எக்ஸ் = z= 0 நாம் பெறுகிறோம் ஒய்= −3, அதாவது புள்ளி பி(0; −3; 0) .

இறுதியாக, அச்சுடன் எங்கள் விமானம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்கிறோம் எருது. மணிக்கு ஒய் = z= 0 நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ்= 2, அதாவது ஒரு புள்ளி சி(2; 0; 0) . எங்கள் தீர்வில் பெறப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளின் அடிப்படையில் ஏ(0; 0; 6) , பி(0; -3; 0) மற்றும் சி(2; 0; 0) கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தை உருவாக்கவும்.

இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் பொது விமானச் சமன்பாட்டின் சிறப்பு நிகழ்வுகள். சமன்பாட்டின் சில குணகங்கள் (2) பூஜ்ஜியமாக மாறும் போது இவை.

1. எப்போது D= 0 சமன்பாடு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து, தோற்றம் வழியாக செல்லும் விமானத்தை வரையறுக்கிறது 0 (0; 0; 0) இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தவும்.

2. எப்போது A= 0 சமன்பாடு அச்சுக்கு இணையான விமானத்தை வரையறுக்கிறது எருது, இந்த விமானத்தின் சாதாரண திசையன் அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் எருது(அச்சு மீது அதன் கணிப்பு எருதுபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). இதேபோல், எப்போது பி= 0 விமானம் அச்சுக்கு இணையாக ஓ, பிறகு எப்போது C= 0 விமானம் அச்சுக்கு இணையாக ஓஸ்.

3. எப்போது A=D= 0 சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் விமானத்தை வரையறுக்கிறது எருது, இது அச்சுக்கு இணையாக இருப்பதால் எருது (A=D= 0) இதேபோல், விமானம் அச்சின் வழியாக செல்கிறது ஓ, மற்றும் அச்சு வழியாக விமானம் ஓஸ்.

4. எப்போது A=B= 0 சமன்பாடு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையான விமானத்தை வரையறுக்கிறது xOy, இது அச்சுகளுக்கு இணையாக இருப்பதால் எருது (ஏ= 0) மற்றும் ஓ (பி= 0). இதேபோல், விமானம் விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது yOz, மற்றும் விமானம் விமானம் xOz.

5. எப்போது A=B=D= 0 சமன்பாடு (அல்லது z = 0) ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை வரையறுக்கிறது xOy, இது விமானத்திற்கு இணையாக இருப்பதால் xOy (A=B= 0) மற்றும் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது ( D= 0) அதேபோல், Eq. y =விண்வெளியில் 0 என்பது ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை வரையறுக்கிறது xOz, மற்றும் சமன்பாடு x = 0 - ஒருங்கிணைப்பு விமானம் yOz.

எடுத்துக்காட்டு 3.விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும் பி, அச்சு வழியாக செல்லும் ஓமற்றும் காலம்.

தீர்வு. எனவே விமானம் அச்சின் வழியாக செல்கிறது ஓ. எனவே, அவளுடைய சமன்பாட்டில் ஒய்= 0 மற்றும் இந்த சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது. குணகங்களைத் தீர்மானிக்க ஏமற்றும் சிபுள்ளி விமானத்திற்கு சொந்தமானது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம் பி .

எனவே, அதன் ஒருங்கிணைப்புகளில் நாம் ஏற்கனவே பெறப்பட்ட () விமானச் சமன்பாட்டில் மாற்றக்கூடியவை உள்ளன. புள்ளியின் ஆயங்களை மீண்டும் பார்ப்போம்:

எம்0 (2; −4; 3) .

அவர்களில் எக்ஸ் = 2 , z= 3 அவற்றைப் பொதுச் சமன்பாட்டில் மாற்றி, நமது குறிப்பிட்ட வழக்கிற்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

2ஏ + 3சி = 0 .

2 ஐ விடுங்கள் ஏசமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில், நகர்த்து 3 சிவலது பக்கம் மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்

ஏ = −1,5சி .

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை மாற்றுதல் ஏசமன்பாட்டில், நாம் பெறுகிறோம்

அல்லது .

எடுத்துக்காட்டு நிலையில் தேவைப்படும் சமன்பாடு இது.

விமான சமன்பாடு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கவும், பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டின் மூலம் விமானம் (கள்) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு விமானத்தை (அல்லது விமானங்கள், ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருந்தால்) ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் அல்லது ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களைப் பொறுத்து வரையறுக்கவும்.

சோதனைகளின் போது ஏற்படும் பொதுவான சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகள் "ஒரு விமானத்தில் உள்ள சிக்கல்கள்: இணை, செங்குத்தாக, ஒரு கட்டத்தில் மூன்று விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு" பாடப்புத்தகத்தில் உள்ளன.

மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு விமானத்தை நிர்மாணிப்பதற்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை, ஒரு புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் கூடுதலாக, அதே வரியில் பொய் இல்லை என்று மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன.

மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகள் , மற்றும் , ஒரே வரியில் பொய் இல்லை, கொடுக்கப்பட வேண்டும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் ஒரே வரியில் இல்லாததால், திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல, எனவே விமானத்தின் எந்த புள்ளியும் புள்ளிகளுடன் ஒரே விமானத்தில் உள்ளது, மேலும் திசையன்கள் இருந்தால் மட்டுமே , மற்றும் coplanar, அதாவது. பின்னர் மற்றும் எப்போது மட்டுமே இந்த திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்புபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

ஒருங்கிணைப்புகளில் கலப்பு தயாரிப்புக்கான வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

(3)

தீர்மானிப்பதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, இந்த சமன்பாடு படிவத்தின் (2) சமன்பாடாக மாறும், அதாவது. விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு.

எடுத்துக்காட்டு 5.ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்:

மற்றும் ஒரு கோட்டின் பொதுவான சமன்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வைத் தீர்மானிக்கவும், ஒன்று ஏற்பட்டால்.

தீர்வு. சூத்திரம் (3) இன் படி எங்களிடம் உள்ளது:

சாதாரண விமானச் சமன்பாடு. புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்

ஒரு விமானத்தின் இயல்பான சமன்பாடு அதன் சமன்பாடு ஆகும், இது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது