क्या समारोह आवधिक होगा? किसी फ़ंक्शन की आवधिकता कैसे निर्धारित करें

परिशिष्ट संख्या 7

नगर शिक्षण संस्थान

माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 3

अध्यापक

कोरोटकोवा

आसिया एडिकोव्ना

सोची

2008

सामग्री

परिचय………………………………………………………… 2-3

आवधिक कार्य और उनके गुण…………. 4-6

समस्याएँ………………………………………………………… 7-14

परिचय

आइए ध्यान दें कि शैक्षिक और पद्धति संबंधी साहित्य में आवधिकता की समस्याओं का भाग्य आसान नहीं है। इसे आवधिक कार्यों को निर्धारित करने में कुछ लापरवाही की अनुमति देने की एक अजीब परंपरा द्वारा समझाया गया है, जो विवादास्पद निर्णयों को जन्म देती है और परीक्षाओं में घटनाओं को भड़काती है।

उदाहरण के लिए, पुस्तक "व्याख्यात्मक शब्दकोश ऑफ मैथमैटिकल टर्म्स" - एम, 1965 में, निम्नलिखित परिभाषा दी गई है: "एक आवधिक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है

y = f(x), जिसके लिए एक संख्या t > 0 है, जो डोमेन f(x + t) = f(x) से सभी x और x+t के लिए है।

आइए हम इस परिभाषा की ग़लती को दर्शाने वाला एक प्रति-उदाहरण दें। इस परिभाषा के अनुसार, फलन आवर्त t = 2π के साथ आवर्ती होगा

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 परिभाषा के एक सीमित क्षेत्र के साथ, जो आवधिक कार्यों के बारे में आम तौर पर स्वीकृत दृष्टिकोण का खंडन करता है।

कई नई वैकल्पिक स्कूली पाठ्यपुस्तकों में समान समस्याएं आती हैं।

ए.एन. कोलमोगोरोव की पाठ्यपुस्तक में निम्नलिखित परिभाषा दी गई है: "फ़ंक्शन f की आवधिकता के बारे में बोलते हुए, यह माना जाता है कि ऐसी संख्या T ≠ 0 है कि परिभाषा का डोमेन D (f), प्रत्येक बिंदु x के साथ, इसमें T दूरी पर अक्ष Ox (दाएं और बाएं) के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा x से प्राप्त बिंदु भी शामिल हैं। फ़ंक्शन f को कहा जाता हैआवधिक अवधि T ≠ 0 के साथ, यदि परिभाषा के किसी भी क्षेत्र के लिए बिंदु x, x - T, x + T पर इस फ़ंक्शन के मान समान हैं, अर्थात। एफ (एक्स + टी) = एफ (एक्स) = एफ (एक्स - टी)।” पाठ्यपुस्तक में आगे लिखा है: “चूँकि साइन और कोसाइन को पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है और पाप (x + 2π) = पाप x,

Cos (x + 2π) = Cos x किसी भी x के लिए, साइन और कोसाइन 2π की अवधि के साथ एक फ़ंक्शन की अवधि हैं।

इस उदाहरण में, किसी कारण से, परिभाषा में आवश्यक शर्त की जाँच नहीं की गई है:

पाप (x – 2π) = पाप x. क्या बात क्या बात? तथ्य यह है कि परिभाषा में यह शर्त अतिश्योक्तिपूर्ण है। दरअसल, यदि T > 0 फ़ंक्शन f(x) की अवधि है, तो T भी इस फ़ंक्शन की अवधि होगी।

मैं एम.आई. बश्माकोव की पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण ग्रेड 10-11 की शुरुआत" से एक और परिभाषा देना चाहूंगा। "फ़ंक्शन y = f(x) को आवधिक कहा जाता है यदि कोई संख्या T ≠ 0 है जैसे कि समानता

f (x + T) = f (x) x के सभी मानों के लिए समान रूप से धारण करता है।”

उपरोक्त परिभाषा किसी फ़ंक्शन के डोमेन के बारे में कुछ नहीं कहती है, हालांकि इसका अर्थ परिभाषा के क्षेत्र में x है, कोई वास्तविक x नहीं। इस परिभाषा के अनुसार, फलन y = Syn (√x) आवर्त हो सकता है 2 , केवल x ≥ 0 के लिए परिभाषित किया गया है, जो ग़लत है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में आवधिकता के लिए कार्य होते हैं। एक वैज्ञानिक आवधिक पत्रिका में, एकीकृत राज्य परीक्षा के अनुभाग सी के लिए एक प्रशिक्षण सत्र के रूप में, समस्या का समाधान दिया गया था: "कार्य y (x) = पाप है" 2 (2+x) – 2 सिन 2 सिन x कॉस (2+x) आवर्त?”

समाधान से पता चलता है कि उत्तर में y (x – π) = y (x) एक अतिरिक्त प्रविष्टि है

"T = π" (आखिरकार, सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने का सवाल ही नहीं उठाया जाता है)। क्या इस समस्या को हल करने के लिए जटिल त्रिकोणमितीय शिक्षा करना वास्तव में आवश्यक है? आख़िरकार, यहां आप समस्या की स्थिति में कुंजी के रूप में, आवधिकता की अवधारणा पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं।

समाधान।

च 1 (x) = पाप x - आवर्त T = 2π के साथ आवर्त फलन

च 2 (x) = क्योंकि x एक आवर्त फलन है जिसका आवर्त T = 2π है, तो 2π फलन f का आवर्त काल है 3 (x) = पाप (2 + x) और f 4 (x) = Cos (2 + x), (यह आवर्तता की परिभाषा का अनुसरण करता है)

च 5 (x) = - 2 पाप 2 = स्थिरांक, इसका आवर्त 2π सहित कोई भी संख्या है।

क्योंकि एक सामान्य अवधि टी के साथ आवधिक कार्यों का योग और उत्पाद भी टी-आवधिक है, तो यह फ़ंक्शन आवधिक है।

मुझे आशा है कि इस कार्य में प्रस्तुत सामग्री समय-समय पर समस्याओं को हल करने में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में मदद करेगी।

आवधिक कार्य और उनके गुण

परिभाषा: एक फ़ंक्शन f(t) को आवधिक कहा जाता है यदि इस फ़ंक्शन D की परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी t के लिएएफ एक संख्या ω ≠ 0 ऐसी है कि:

1) संख्याएँ (टी ± ω) є डी एफ ;

2) एफ (टी + ω) = एफ(टी)।

1. यदि संख्या ω = फ़ंक्शन f (t) की अवधि है, तो संख्या kω, जहां k = ±1, ±2, ±3, ... भी फ़ंक्शन f (t) की अवधि हैं।

उदाहरण एफ (टी) = पाप टी। संख्या T = 2π इस फलन का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है। चलो टी 1 = 4π. आइये दिखाते हैं कि टी 1 इस समारोह की अवधि भी है.

एफ (टी + 4π) = एफ (टी + 2π + 2π) = पाप (टी + 2π) = पाप टी।

तो टी 1 – फलन की अवधि f (t) = Syn t.

2. यदि फ़ंक्शन f(t) - ω एक आवधिक फ़ंक्शन है, तो फ़ंक्शन f (аt), जहां а є R, और f (t + с), जहां с एक मनमाना स्थिरांक है, भी आवधिक हैं।

आइए फ़ंक्शन f (аt) की अवधि ज्ञात करें।

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), यानी। f (аt) = f (а(t + ω/а).

इसलिए, फ़ंक्शन की अवधि f(аt) – ω 1 = ω/ए.

उदाहरण 1. फलन y = SIN t/2 की अवधि ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 2. फलन y = SIN (t + π/3) की अवधि ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए f(t) = पाप t; y 0 = पाप (t 0 + π/3).

तब फलन f(t) = Syn t समान मान लेगा 0 पर t = t 0 + π/3.

वे। फ़ंक्शन y द्वारा लिए गए सभी मान भी फ़ंक्शन f(t) द्वारा लिए जाते हैं। यदि t की व्याख्या समय के रूप में की जाती है, तो y का प्रत्येक मान 0 फ़ंक्शन y = पाप (t + π/3) को π/3 समय इकाई पहले स्वीकार किया जाता है, फ़ंक्शन f(t) को π/3 द्वारा बाईं ओर "स्थानांतरित" किया जाता है। जाहिर है, इससे समारोह की अवधि नहीं बदलेगी, यानी. टीवाई = टी 1.

3. यदि F(x) कोई फ़ंक्शन है, और f(t) एक आवधिक फ़ंक्शन है, और ऐसा है कि f(t) फ़ंक्शन F(x) - D की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैएफ , तो फलन F(f (t)) एक आवर्त फलन है।

मान लीजिए F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) किसी भी t є D के लिएएफ।

उदाहरण आवधिकता के लिए फलन की जाँच करें: F(x) = ℓसिनक्स.

इस फ़ंक्शन का डोमेन Dएफ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R से मेल खाता है। f (x) = पाप x।

इस फ़ंक्शन के लिए मानों का सेट है [-1; 1]. क्योंकि खंड [-1; 1] डी से संबंधित हैएफ , तो फलन F(x) आवर्त है।

F(x+2π) = ℓ पाप (x + 2π) = ℓ पाप x = F(x).

2 π - इस फ़ंक्शन की अवधि।

4. यदि फलन f 1 (t) और f 2 है (टी) आवधिक, क्रमशः, अवधियों के साथ ω 1 और ω 2 और ω 1 /ω 2 = r, जहाँ r एक परिमेय संख्या है, तो फलन

सी 1 एफ 1 (टी) + सी 2 एफ 2 (टी) और एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक हैं (सी 1 और C 2 स्थिरांक हैं)।

नोट: 1) यदि r = ω 1 /ω 2 = पी/क्यू, क्योंकि तो, r एक परिमेय संख्या है

ω 1 क्यू = ω 2 पी = ω, जहां ω, ω का सबसे छोटा सामान्य गुणज है 1 और ω 2 (एनओसी)।

फ़ंक्शन C पर विचार करें 1 एफ 1 (टी) + सी 2 एफ 2 (टी)।

दरअसल, ω = एलसीएम (ω 1 , ω 2 ) - इस समारोह की अवधि

सी 1 एफ 1 (टी) + सी 2 एफ 2 (टी) = सी 1 एफ 1 (टी+ ω 1 क्यू) + सी 2 एफ 2 (टी+ ω 2 पी) + सी 1 एफ 1 (टी) + सी 2 एफ 2 (टी) ।

2) ω - फलन f की अवधि 1 (टी) एफ 2 (टी), क्योंकि

एफ 1 (टी + ω) एफ 2 (टी + ω =एफ 1 (टी +ω 1 क्यू) एफ 2 (टी =ω 2 पी) = एफ 1 (टी) एफ 2 (टी)।

परिभाषा: चलो एफ 1 (टी) और एफ (टी) क्रमशः अवधि ω के साथ आवधिक कार्य हैं 1 और ω 2 , तो दो अवधियों को अनुरूप कहा जाता है यदिω 1 /ω 2 = r एक परिमेय संख्या है.

3) यदि अवधि ω 1 और ω 2 तुलनीय नहीं हैं, तो फलन f 1 (टी) + एफ 2 (टी) और

एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक नहीं हैं. अर्थात्, यदि एफ 1 (टी) और एफ 2 (टी) स्थिर, आवधिक, निरंतर से भिन्न हैं, उनकी अवधि अनुरूप नहीं है, फिर एफ 1 (टी) + एफ 2 (टी), एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक नहीं हैं.

4) मान लीजिए f(t) = C, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है। यह कार्य आवधिक है. इसका आवर्त कोई भी परिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त नहीं है।

5) यह कथन बड़ी संख्या में कार्यों के लिए भी सत्य है।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन की आवधिकता की जांच करें

एफ(एक्स) = सिन एक्स + कॉस एक्स।

समाधान। मान लीजिए f 1 (x) = पाप x, तो ω 1 = 2πk, जहां k є Z।

टी 1 = 2π - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि।

एफ 2 (एक्स) = कॉस एक्स, टी 2 = 2π।

अनुपात टी 1/टी 2 = 2π/2π = 1 - परिमेय संख्या, अर्थात कार्यों की अवधि एफ 1 (एक्स) और एफ 2 (x) अनुरूप हैं। इसका मतलब यह है कि यह कार्य आवधिक है। आइए इसकी अवधि ज्ञात करें। हमारे पास एक आवर्त फलन की परिभाषा है

पाप (x + T) + Cos (x + T) = पाप x + Cos x,

पाप (x + T) - पाप x = Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2х+ π/2 · पाप Т/2 = 2 पाप 2х+Т/2 · पाप Т/2,

पाप T/2 (Cos T+2x/2 - पाप T+2x/2) =0,

√2 पाप Т/2 पाप (π/4 – Т+2х/2) = 0, इसलिए,

पाप Т/2 = 0, तो Т = 2πk.

क्योंकि (х ± 2πk) є डी एफ , जहां एफ(एक्स) = पाप एक्स + कॉस एक्स,

f(x + t) = f(x), तो फ़ंक्शन f(x) सबसे छोटी सकारात्मक अवधि 2π के साथ आवर्त है।

उदाहरण 2. क्या फलन f(x) = Cos 2x · Syn x आवर्त है, इसकी अवधि क्या है?

समाधान। मान लीजिए f 1 (x) = Cos 2x, तो T 1 = 2π: 2 = π (देखें 2)

मान लीजिए f 2 (x) = पाप x, तो T 2 = 2π. क्योंकि π/2π = ½ एक परिमेय संख्या है, तो यह फलन आवर्त है। इसकी अवधि T = NOC

(π, 2π) = 2π.

तो, यह फलन 2π की अवधि के साथ आवर्त है।

5. मान लें कि फलन f(t), जो एक स्थिरांक के समान नहीं है, निरंतर और आवधिक है, तो इसकी सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है ω 0 , इसके ω के किसी भी अन्य आवर्त का रूप है: ω= kω 0, जहां k є Z.

नोट: 1) इस संपत्ति में दो शर्तें बहुत महत्वपूर्ण हैं:

f(t) सतत है, f(t) ≠ C, जहां C एक स्थिरांक है।

2) विपरीत कथन सत्य नहीं है। अर्थात्, यदि सभी अवधियाँ तुलनीय हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है। वे। किसी आवधिक फलन का सबसे छोटा धनात्मक काल नहीं हो सकता है।

उदाहरण 1. एफ(टी) = सी, आवधिक। इसका आवर्त कोई वास्तविक संख्या है; कोई सबसे छोटा आवर्त नहीं है।

उदाहरण 2. डिरिचलेट फ़ंक्शन:

डी(एक्स) =

कोई भी परिमेय संख्या उसका आवर्त है; कोई सबसे छोटा धनात्मक आवर्त नहीं है।

6. यदि f(t) एक सतत आवर्त फलन है और ω 0 इसकी सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है, तो फ़ंक्शन f(αt + β) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि ω है 0 /‌‌/α/. यह कथन पैराग्राफ 2 से अनुसरण करता है।

उदाहरण 1. फलन y = SIN (2x – 5) का आवर्त ज्ञात कीजिए।

समाधान। y = पाप (2x – 5) = पाप (2(x – 5/2)).

फ़ंक्शन y का ग्राफ़ फ़ंक्शन सिन x के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है, पहले दो बार "संपीड़ित" करके, फिर 2.5 द्वारा दाईं ओर "शिफ्टिंग" करके। “शिफ्ट आवधिकता को प्रभावित नहीं करता है, टी = π इस फ़ंक्शन की अवधि है।

चरण 6 की संपत्ति का उपयोग करके इस फ़ंक्शन की अवधि प्राप्त करना आसान है:

Т = 2π/2 = π.

7. यदि f(t) – ω एक आवर्त फलन है, और इसका एक सतत अवकलज f"(t) है, तो f"(t) भी एक आवर्त फलन है, Т = ω

उदाहरण 1. एफ(टी) = पाप टी, टी = 2πk। इसका व्युत्पन्न f"(t) = Cos t

F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.

उदाहरण 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk। इसका व्युत्पन्न

एफ"(टी) = - पाप टी, टी = 2πk, के є जेड।

उदाहरण 3. f(t) =tg t, इसकी अवधि T = πk।

एफ"(टी) = 1/ कॉस 2 चरण 7 के गुण के अनुसार t भी आवर्त है और इसकी अवधि T = πk है। इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त T = π है।

कार्य।

№ 1

क्या फलन f(t) = पाप t + पाप πt आवर्त है?

समाधान। तुलना के लिए, हम इस समस्या को दो तरीकों से हल करते हैं।

सबसे पहले, एक आवधिक फलन की परिभाषा के अनुसार। आइए मान लें कि f(t) आवर्त है, तो किसी भी t є D के लिएच हमारे पास है:

पाप (टी + टी) + पाप π (टी + टी) = पाप टी + पाप πt,

पाप (टी + टी) - पाप टी = पाप πt - पाप π (टी + टी),

2 Cos 2t + Т/2 पाप Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 पाप πt/2।

क्योंकि यह किसी भी t є D के लिए सत्य हैएफ , फिर विशेष रूप से टी के लिए 0 , जिसमें अंतिम समानता का बायां भाग शून्य हो जाता है।

तब हमारे पास है: 1) कॉस 2टी 0 +T/2 पाप T/2 = 0. आइए T के सापेक्ष हल करें।

पाप Т/2 = 0 पर Т = 2 πk, जहां k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 पाप πT/2 = 0. आइए T के सापेक्ष हल करें।

पाप πТ/2 = 0, फिर Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, जहां n є Z.

क्योंकि हमारी एक पहचान है, तो 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, जो नहीं हो सकता, क्योंकि π एक अपरिमेय संख्या है, और n/ k एक परिमेय संख्या है। अर्थात्, हमारी यह धारणा कि फलन f(t) आवर्त है, गलत थी।

दूसरे, यदि आप आवधिक कार्यों के उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हैं तो समाधान बहुत सरल है:

मान लीजिए f 1 (t) = पाप t, T 1 = 2 π; एफ 2 (टी) = पाप πt, टी 2 - 2π/π = 2. फिर, टी 1 / टी 2 = 2π/2 = π एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात अवधि टी 1, टी 2 अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि f(t) आवधिक नहीं है।

उत्तर: नहीं.

№ 2

दिखाएँ कि यदि α एक अपरिमेय संख्या है, तो फ़ंक्शन

एफ(टी) = कॉस टी + कॉस αt

आवधिक नहीं है.

समाधान। मान लीजिए f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt।

तो उनके आवर्त क्रमशः T हैं 1 = 2π, टी 2 = 2π//α/ - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। आइए खोजें, टी 1 /टी 2 = 2π/α//2π = /α/ एक अपरिमेय संख्या है। तो टी 1 और टी 2 अतुलनीय हैं, और कार्य

f(t) आवधिक नहीं है.

№ 3

फलन f(t) = SIN 5t का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त ज्ञात कीजिए।

समाधान। गुण मद 2 से हमारे पास है:

एफ(टी) - आवधिक; टी = 2π/5.

उत्तर: 2π/5.

№ 4

क्या फलन F(x) = arccos x + arcsin x आवर्त है?

समाधान। आइए इस फ़ंक्शन पर विचार करें

एफ(एक्स) = आर्ककोस एक्स + आर्क्सिन एक्स = π - आर्क्सिन एक्स + आर्क्सिन एक्स = π,

वे। F(x) एक आवधिक फलन है (पैराग्राफ 5 का गुण देखें, उदाहरण 1.)।

उत्तर: हाँ.

№ 5

क्या फलन आवर्ती है?

एफ(एक्स) = पाप 2x + कॉस 4x + 5?

समाधान। मान लीजिए f 1 (x) = पाप 2x, तो T 1 = π;

एफ 2 (एक्स) = कॉस 4x, फिर टी 2 = 2π/4 = π/2;

एफ 3 (एक्स) = 5, टी 3 - कोई भी वास्तविक संख्या, विशेष रूप से टी 3 हम T के बराबर मान सकते हैं 1 या टी 2 . तब इस फलन की अवधि T = LCM (π, π/2) = π. अर्थात्, f(x) आवर्त T = π के साथ आवर्त है।

उत्तर: हाँ.

№ 6

क्या फ़ंक्शन f(x) = x - E(x) आवधिक है, जहां E(x) एक फ़ंक्शन है जो दिए गए पूर्णांक से अधिक नहीं होने वाले सबसे छोटे पूर्णांक के लिए तर्क x निर्दिष्ट करता है।

समाधान। अक्सर फ़ंक्शन f(x) को (x) द्वारा निरूपित किया जाता है - संख्या x का भिन्नात्मक भाग, यानी।

एफ(एक्स) = (एक्स) = एक्स - ई(एक्स).

मान लीजिए f(x) एक आवर्त फलन है, अर्थात एक संख्या T > 0 इस प्रकार है कि x – E(x) = x + T – E(x + T). आइए इस समानता को लिखें

(एक्स) + ई(एक्स) - ई(एक्स) = (एक्स + टी) + ई(एक्स + टी) - ई(एक्स + टी),

(x) + (x + T) - डोमेन D से किसी भी x के लिए सत्य हैएफ, बशर्ते कि T ≠ 0 और T є Z। उनमें से सबसे छोटा धनात्मक T = 1 है, अर्थात। टी =1 ऐसे कि

एक्स + टी - ई(एक्स + टी) = एक्स - ई(एक्स),

इसके अलावा, (x ± Tk) є Dएफ, जहां के є जेड।

उत्तर: यह कार्य आवधिक है।

№ 7

क्या फलन f(x) = पाप x आवर्त है? 2 .

समाधान। आइए मान लें कि f(x) = पाप x 2 आवधिक कार्य. फिर, एक आवर्त फलन की परिभाषा के अनुसार, एक संख्या T ≠ 0 होती है जैसे: पाप x 2 = किसी भी x є D f के लिए पाप (x + T) 2।

पाप x 2 = पाप (x + T) 2 = 0,

2 Cos x 2 + (x+T) 2/2 Syn x 2 -(x+T) 2/2 = 0, फिर

क्योंकि x 2 + (x+T) 2/2 = 0 या पाप x 2 -(x+T) 2/2 = 0.

पहले समीकरण पर विचार करें:

क्योंकि x 2 + (x+T) 2/2 = 0,

एक्स 2 + (एक्स+टी) 2/2 = π(1+2 के)/2 (के є जेड),

Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)

दूसरे समीकरण पर विचार करें:

पाप x 2 -(x+T) 2/2 = 0,

एक्स + टी = √- 2πk + x 2,

टी = √x 2 - 2πk – x. (2)

भाव (1) और (2) से यह स्पष्ट है कि T का पाया गया मान x पर निर्भर करता है, अर्थात। ऐसा कोई T>0 नहीं है

पाप x 2 = पाप (x+T) 2

इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी x के लिए। f(x) आवर्त नहीं है।

उत्तर: नहीं

№ 8

आवधिकता के लिए फ़ंक्शन f(x) = Cos की जांच करें 2 एक्स.

समाधान। आइए हम दोहरे कोण कोज्या सूत्र का उपयोग करके f(x) को निरूपित करें

एफ(एक्स) = 1/2 + 1/2 कॉस 2एक्स।

मान लीजिए f 1 (x) = ½, तो T 1 - यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; एफ 2 (x) = ½ Cos 2x एक आवर्त फलन है, क्योंकि एक सामान्य अवधि टी वाले दो आवधिक कार्यों का उत्पाद 2 = π. फिर इस फ़ंक्शन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि

टी = एलओसी (टी 1, टी 2) =π.

तो, फलन f(x) = Cos 2 एक्स – π – आवधिक.

उत्तर: π आवर्त है।

№ 9

क्या किसी आवर्ती फलन का डोमेन हो सकता है:

ए) अर्ध-पंक्ति [ए, ∞),

बी) खंड?

समाधान। नहीं क्योंकि

ए) एक आवधिक फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, यदि x є D f, तो x ± ω भी

फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए. मान लीजिए x = a, तो

एक्स 1 = (ए - ω) є [ए, ∞);

बी) मान लीजिए x = 1, फिर x 1 = (1 + टी) є .

№ 10

क्या कोई आवधिक कार्य हो सकता है:

ए) सख्ती से नीरस;

बी) सम;

ग) भी नहीं?

समाधान। a) मान लीजिए f(x) एक आवर्त फलन है, अर्थात वहाँ Т≠0 मौजूद है जैसे कि फ़ंक्शन डी की परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी एक्स के लिएच क्यों

(x ±T) є D f और f (x±T) = f(x)।

आइए किसी x को ठीक करें 0 डीएफ , क्योंकि f(x) आवर्त है, तो (x 0 +T) є D f और f(x 0) = f(x 0 +T).

आइए मान लें कि f(x) पूरी तरह से मोनोटोन है और परिभाषा D के पूरे क्षेत्र में हैएफ , उदाहरण के लिए, बढ़ता है। फिर किसी भी x के लिए बढ़ते फलन की परिभाषा के अनुसार 1 और एक्स 2 परिभाषा के क्षेत्र से डीएफ असमानता x से 1 2 यह इस प्रकार है कि f(x 1) 2 ). विशेष रूप से, स्थिति x से 0 0 + T, यह इस प्रकार है

एफ(एक्स 0) 0 +टी), जो शर्त का खंडन करता है।

इसका मतलब यह है कि एक आवधिक कार्य सख्ती से मोनोटोनिक नहीं हो सकता है।

ख) हाँ, एक आवर्त फलन सम हो सकता है। आइए कुछ उदाहरण दें.

F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) एक सम आवर्त फलन है।

0 यदि x एक परिमेय संख्या है;

डी(एक्स) =

1 यदि x एक अपरिमेय संख्या है।

D(x) = D(-x), फ़ंक्शन D(x) की परिभाषा का क्षेत्र सममित है।

डायरेक्ट्लेट फ़ंक्शन D(x) एक सम आवधिक फ़ंक्शन है।

एफ(एक्स) = (एक्स),

f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).

यह फ़ंक्शन सम नहीं है.

ग) एक आवर्त फलन विषम हो सकता है।

f(x) = पाप x, f(-x) = पाप (-x) = - पाप = - f(x)

f(x) एक विषम आवर्त फलन है।

एफ(एक्स) - सिन एक्स कॉस एक्स, एफ(-एक्स) = सिन (-एक्स) कॉस (-एक्स) = - सिन एक्स कॉस एक्स = - एफ(एक्स) ,

f(x) - विषम और आवधिक।

f(x) = ℓ पाप x, f(-x) = ℓ पाप(- x) = ℓ -पाप x ≠ - f(x),

f(x) विषम नहीं है.

f(x) = tan x - विषम आवर्त फलन।

उत्तर: नहीं; हाँ; हाँ।

№ 11

एक आवधिक फ़ंक्शन पर कितने शून्य हो सकते हैं:

1) ; 2) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर, यदि फ़ंक्शन की अवधि T के बराबर है?

समाधान: 1. ए) खंड [ए, बी] पर, एक आवधिक फ़ंक्शन में शून्य नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए, एफ(एक्स) = सी, सी≠0; एफ(एक्स) = कॉस एक्स + 2.

बी) अंतराल [ए, बी] पर, एक आवधिक फ़ंक्शन में शून्य की अनंत संख्या हो सकती है, उदाहरण के लिए, डायरचलेट फ़ंक्शन

0 यदि x एक परिमेय संख्या है,

डी(एक्स) =

1 यदि x एक अपरिमेय संख्या है।

ग) अंतराल [ए, बी] पर, एक आवधिक फ़ंक्शन में शून्य की एक सीमित संख्या हो सकती है। आइए इस नंबर को खोजें.

माना कि T फलन की अवधि है। चलो निरूपित करें

एक्स 0 = (न्यूनतम x є(a,b), जैसे कि f(x) = 0).

फिर खंड [ए, बी] पर शून्य की संख्या: एन = 1 + ई (सी-एक्स 0 /टी).

उदाहरण 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x - अवधि T = π के साथ आवर्त फलन; एक्स 0 = -π/2; तो किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के शून्य की संख्या

एन = 1 + ई (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + ई (8π/2π) = 5।

उदाहरण 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – आवधिक फलन, T + 1,

एक्स 0 = -2. फिर किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के शून्य की संख्या

एन = 1 + ई (8.5 - (-2)/1) = 1 + ई (10.5/1) = 1 + 10 = 11।

उदाहरण 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], टी 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.

फिर किसी दिए गए अंतराल पर इस फ़ंक्शन के शून्य की संख्या

एन = 1 + ई (π - (-5π/2)/2π) = 1 + ई (7π/2π) = 1 + 3 = 4।

2. ए) शून्य की अनंत संख्या, क्योंकि एक्स 0 є डी एफ और एफ(एक्स 0 ) = 0, फिर सभी संख्याओं के लिए

Х 0 +Тk, जहां k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, और फॉर्म x के बिंदु 0 ± Tk एक अनंत समुच्चय है;

बी) कोई शून्य नहीं है; यदि f(x) आवधिक है और किसी के लिए है

एक्स є डी एफ फलन f(x) >0 या f(x)

एफ(एक्स) = पाप एक्स +3.6; एफ(एक्स) = सी, सी ≠ 0;

एफ(एक्स) = सिन एक्स - 8 + कॉस एक्स;

एफ(एक्स) = सिन एक्स कॉस एक्स + 5।

№ 12

क्या गैर-आवधिक कार्यों का योग आवर्त हो सकता है?

समाधान। हाँ शायद। उदाहरण के लिए:

1. च 1 (एक्स) = एक्स - गैर-आवधिक, एफ 2 (एक्स) = ई(एक्स) - गैर-आवधिक

एफ(एक्स) = एफ 1 (एक्स) – एफ 2 (एक्स) = एक्स - ई(एक्स) - आवधिक।

1. च 1 (x) = x - गैर-आवधिक, f(x) = पाप x + x - गैर-आवधिक

एफ(एक्स) = एफ 2 (एक्स) – एफ 1 (x) = पाप x - आवधिक।

उत्तर: हाँ.

№ 13

फलन f(x) और φ(x) आवर्त T के साथ आवर्त हैं 1 और टी 2 क्रमश। क्या उनका उत्पाद हमेशा एक आवधिक कार्य है?

समाधान। नहीं, केवल तभी जब टी 1 और टी 2 - तुलनीय हैं. उदाहरण के लिए,

एफ(एक्स) = पाप x पाप πx, टी 1 = 2π, टी 2 = 2; फिर टी 1/टी 2 = 2π/2 = π एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि f(x) आवर्त नहीं है।

f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. चलो एफ 1 (एक्स) = एक्स - ई(एक्स), टी 1 = 1;

एफ 2 (एक्स) = कॉस (एक्स), टी 2 = 2π। टी 2 /टी 1 = 2π/1 = 2π, जिसका अर्थ है कि f(x) आवर्त नहीं है।

उत्तर: नहीं.

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

कौन से फलन आवर्त हैं, आवर्त ज्ञात कीजिए?

1. f(x) = पाप 2x, 10. f(x) = पाप x/2 + tan x,

2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = SIN 3x + Cos 4x,

3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = पाप 2 एक्स+1,

4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,

5. एफ(एक्स) = सिन एक्स कॉस एक्स, 14. एफ(एक्स) = सिन πх + कॉस एक्स,

6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – ई(एक्स 2),

7. f(x) = पाप (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,

8. एफ(एक्स) = सिन 4 एक्स + कॉस 4 एक्स, 17. एफ(एक्स) = 2 एक्स - ई(एक्स),

9. f(x) = पाप 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, यदि n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

मान लीजिए f(x) – T एक आवर्त फलन है। कौन से फलन आवर्ती हैं (T ज्ञात करें)?

1. φ(x) = f(x + λ) – आवधिक, क्योंकि ऑक्स अक्ष के साथ "शिफ्ट" ω को प्रभावित नहीं करता है; इसकी अवधि ω = टी.
2. φ(x) = a f(x + λ) + в - अवधि ω = T के साथ आवधिक कार्य।
3. φ(х) = f(kh) - अवधि ω = Т/k के साथ आवधिक कार्य।
4. φ(x) = f(ax + b) अवधि ω = T/a के साथ एक आवर्त फलन है।
5. φ(x) = f(√x) आवर्त नहीं है, क्योंकि इसकी परिभाषा का क्षेत्र Dφ = (x/x ≥ 0), और एक आवधिक फ़ंक्शन में अर्ध-अक्ष द्वारा परिभाषित डोमेन नहीं हो सकता है।
6. φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) एक आवर्त फलन है, क्योंकि

φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.

1. φ(x) = a f 2 (x) + in f(x) + c.

मान लीजिए φ 1 (x) = a f 2 (एक्स) - आवधिक, ω 1 = टी/2;

φ 2 (x) = f(x) में - आवधिक, ω 2 = टी/टी = टी;

φ 3 (x) = с - आवधिक, ω 3 - कोई भी संख्या;

तब ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) आवर्त है।

अन्यथा, क्योंकि इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है, फिर फ़ंक्शन के मानों का सेट f - Eएफ є डी φ , जिसका अर्थ है फ़ंक्शन

φ(x) आवर्त है और ω = T.

1. φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.

φ(x) - अवधि ω = टी के साथ आवधिक, क्योंकि किसी भी x के लिए, फ़ंक्शन f(x) मान f(x) ≥ 0 लेता है, अर्थात। इसके मानों का समुच्चय Eएफ є डी φ , कहा पे

डीφ - फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन φ(z) = √z.

№ 15

क्या फलन f(x) = x है 2 आवधिक?

समाधान। x ≥ 0 पर विचार करें, फिर f(x) के लिए एक व्युत्क्रम फलन √x है, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर f(x) एक मोनोटोन फलन है, तो यह आवधिक नहीं हो सकता (नंबर 10 देखें)।

№ 16

एक बहुपद P(x) = a दिया गया है 0 + ए 1 एक्स + ए 2 एक्स + ...ए एन एक्स।

क्या P(x) एक आवर्त फलन है?

समाधान। 1. यदि सर्वसमिका एक स्थिरांक के बराबर है, तो P(x) एक आवर्त फलन है, अर्थात यदि एकमैं = 0, जहां मैं ≥ 1.

2. माना P(x) ≠ с, जहां с कुछ स्थिरांक है। मान लीजिए कि P(x) एक आवर्त फलन है, और मान लीजिए कि P(x) के वास्तविक मूल हैं, तो तब से P(x) एक आवर्त फलन है, तो इनकी संख्या अनंत होनी चाहिए। और बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, उनकी संख्या k ऐसी है कि k ≤ n. इसका अर्थ यह है कि P(x) एक आवर्त फलन नहीं है।

3. मान लीजिए कि P(x) एक सर्वमान्य गैर-शून्य बहुपद है और इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है। मान लीजिए कि P(x) एक आवर्त फलन है। आइए बहुपद q(x) = a का परिचय दें 0 , q(x) एक आवर्त फलन है। अंतर P(x) - q(x) = a पर विचार करें 1 एक्स 2 + ... +ए एन एक्स एन।

क्योंकि समानता के बाईं ओर एक आवर्त फलन है, तो दाहिनी ओर का फलन भी आवर्त है, और इसका कम से कम एक वास्तविक मूल है, x = 0. क्योंकि यदि फ़ंक्शन आवर्त है, तो शून्य की अनंत संख्या होनी चाहिए। हमें एक विरोधाभास मिला.

P(x) एक आवर्ती फलन नहीं है.

№ 17

एक फलन f(t) – T – आवधिक दिया गया है। क्या फ़ंक्शन एफ है?से (t), कहाँ

k є Z, एक आवर्त फलन, उनके आवर्त कैसे संबंधित हैं?

समाधान। हम गणितीय फ़ंक्शन विधि का उपयोग करके प्रमाण को पूरा करेंगे। होने देना

एफ 1 = एफ(टी), फिर एफ 2 = एफ 2 (टी) = एफ(टी) एफ(टी),

एफ 3 = एफ 3 (टी) = एफ (टी) एफ 2 चरण 4 की संपत्ति के अनुसार एक आवधिक कार्य है।

………………………………………………………………………….

मान लीजिए f k-1 = f k-1 (टी) - आवधिक कार्य और इसकी अवधि टीके-1 अवधि T के साथ तुलनीय। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को f(t) से गुणा करने पर, हमें f प्राप्त होता है k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

एफ के = एफ के (टी) चरण 4 की संपत्ति के अनुसार एक आवधिक कार्य है। ω ≤ टी.

№ 18

मान लीजिए कि f(x) एक मनमाना फलन है जिसे परिभाषित किया गया है। क्या फलन f((x)) आवर्त है?

उत्तर: हाँ, क्योंकि फ़ंक्शन के मानों का सेट (x) फ़ंक्शन f(x) की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, फिर आइटम 3 की संपत्ति द्वारा f((x)) एक आवधिक फ़ंक्शन है, इसकी अवधि ω = T = 1 .

№ 19

F(x) [-1; पर परिभाषित एक मनमाना फलन है; 1], क्या फलन f(sinx) आवर्त है?

उत्तर: हाँ, इसकी अवधि ω = Т = 2π है (प्रमाण संख्या 18 के समान)।

प्राकृतिक घटनाओं का अध्ययन करते हुए और तकनीकी समस्याओं को हल करते हुए, हम आवधिक प्रक्रियाओं का सामना करते हैं जिन्हें एक विशेष प्रकार के कार्यों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

डोमेन D के साथ एक फ़ंक्शन y = f(x) को आवधिक कहा जाता है यदि कम से कम एक संख्या T > 0 हो जिससे निम्नलिखित दो शर्तें पूरी हों:

1) बिंदु x + T, x - T किसी भी x ∈ D के लिए परिभाषा D के क्षेत्र से संबंधित हैं;

2) D से प्रत्येक x के लिए निम्नलिखित संबंध है:

एफ(एक्स) = एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स − टी).

संख्या T को फलन f(x) का आवर्त कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक आवधिक फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका मान एक निश्चित अंतराल के बाद दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, फलन y = syn x 2π की अवधि के साथ आवर्त है (चित्र 1)।

ध्यान दें कि यदि संख्या T फ़ंक्शन f(x) की अवधि है, तो संख्या 2T भी इसकी अवधि होगी, साथ ही 3T, और 4T, आदि, यानी, एक आवधिक फ़ंक्शन में अनंत रूप से कई अलग-अलग अवधि होती हैं। यदि उनमें से सबसे छोटा (शून्य के बराबर नहीं) है, तो फ़ंक्शन के अन्य सभी आवर्त इस संख्या के गुणज हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक आवर्त फलन की इतनी छोटी सकारात्मक अवधि नहीं होती; उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x)=1 में ऐसी कोई अवधि नहीं है। यह भी ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है कि, उदाहरण के लिए, दो आवधिक कार्यों का योग जिनकी सबसे छोटी सकारात्मक अवधि टी 0 है, जरूरी नहीं कि समान सकारात्मक अवधि हो। इस प्रकार, फलनों का योग f(x) = पाप x और g(x) = −sin x का सबसे छोटा धनात्मक काल नहीं है, और फलनों का योग f(x) = पाप x + पाप 2x और g(x) = −sin x, जिसकी सबसे छोटी अवधि 2π के बराबर है, सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π के बराबर है।

यदि दो फलनों f(x) और g(x) के आवर्तों का अनुपात एक परिमेय संख्या है, तो इन फलनों का योग और गुणनफल भी आवर्त फलन होंगे। यदि हर जगह परिभाषित और निरंतर फलनों f और g की अवधियों का अनुपात एक अपरिमेय संख्या है, तो फलन f + g और fg पहले से ही गैर-आवधिक फलन होंगे। इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन cos x syn √2 x और cosj √2 x + syn x गैर-आवधिक हैं, हालांकि फ़ंक्शन पाप x और cos x 2π की अवधि के साथ आवधिक हैं, फ़ंक्शन पाप √2 x और cos √2 x आवर्त अवधि √2 π के साथ आवर्त हैं।

ध्यान दें कि यदि f(x) आवर्त T के साथ एक आवर्त फलन है, तो जटिल फलन (यदि, निश्चित रूप से, यह समझ में आता है) F(f(x)) भी एक आवर्त फलन है, और संख्या T इसके रूप में कार्य करेगी अवधि। उदाहरण के लिए, फलन y = syn 2 x, y = √(cos x) (चित्र 2.3) आवधिक फलन हैं (यहाँ: F 1 (z) = z 2 और F 2 (z) = √z)। हालाँकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यदि फ़ंक्शन f(x) में सबसे छोटी सकारात्मक अवधि T 0 है, तो फ़ंक्शन F(f(x)) में भी वही सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होगी; उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = पाप 2 x में सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है, जो फ़ंक्शन f(x) = पाप x से 2 गुना कम है (चित्र 2)।

यह दिखाना आसान है कि यदि कोई फलन f आवर्त T के साथ आवर्त है, वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित और अवकलनीय है, तो फलन f"(x) (व्युत्पन्न) भी आवर्त T के साथ एक आवर्त फलन है, लेकिन प्रतिअवकलन f(x) के लिए फ़ंक्शन F(x) (इंटीग्रल कैलकुलस देखें) केवल एक आवधिक फ़ंक्शन होगा यदि

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

कुछ नियमित तर्क अंतराल पर इसके मानों को दोहराना, यानी तर्क में कुछ निश्चित गैर-शून्य संख्या जोड़ने पर इसके मान को नहीं बदलना ( अवधिफ़ंक्शन) परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर।

अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, फ़ंक्शन को अवधि के साथ आवधिक कहा जाता है टी ≠ 0 (\displaystyle टी\neq 0), यदि प्रत्येक बिंदु के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)बिंदु की परिभाषा के अपने क्षेत्र से x + T (\displaystyle x+T)और x − T (\displaystyle x-T)इसकी परिभाषा के क्षेत्र से भी संबंधित हैं, और उनके लिए समानता है f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

परिभाषा के आधार पर, समानता किसी आवधिक फलन के लिए भी सत्य है f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)- कोई भी पूर्णांक.

हालाँकि, यदि अवधियों का एक सेट ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))सबसे छोटा मान है, तो उसे कहा जाता है मुख्य (या मुख्य) अवधिकार्य.

उदाहरण

पाप ⁡ (x + 2 π) = पाप ⁡ x, क्योंकि ⁡ (x + 2 π) = क्योंकि ⁡ x, ∀ x ∈ आर. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• डिरिचलेट फ़ंक्शन आवधिक है; इसकी अवधि कोई भी गैर-शून्य तर्कसंगत संख्या है। इसका कोई मुख्य काल भी नहीं होता.

आवधिक कार्यों की कुछ विशेषताएं

और टी 2 (\डिस्प्लेस्टाइल टी_(2))(हालाँकि, यह संख्या केवल एक अवधि होगी)। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ (एक्स) = पाप ⁡ (2 एक्स) - पाप ⁡ (3 एक्स) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))मुख्य काल है 2 π (\displaystyle 2\pi ), समारोह में g (x) = पाप ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))अवधि है 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), और उनका योग f (x) + g (x) = पाप ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))मुख्य अवधि स्पष्ट रूप से बराबर है π (\displaystyle \pi ).

• असंगत अवधि वाले दो कार्यों का योग हमेशा एक गैर-आवधिक कार्य नहीं होता है।

सामान्य स्कूल कार्यों में आवधिकता सिद्ध करेंएक या दूसरे फ़ंक्शन का आमतौर पर मुश्किल नहीं होता है: इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि फ़ंक्शन $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ आवधिक है, बस यह नोट करना पर्याप्त है कि उत्पाद $T=4\times7\ गुना 2\pi$ इसकी अवधि है: यदि हम संख्या T को x में जोड़ते हैं, तो यह उत्पाद दोनों हर को "खाएगा" और साइन चिह्न के तहत केवल $2\pi$ के पूर्णांक गुणज अतिश्योक्तिपूर्ण होंगे, जो होगा " साइन द्वारा ही खा लिया गया।

लेकिन गैर-आवधिकता का प्रमाणपरिभाषा के अनुसार सीधे तौर पर एक या दूसरे फ़ंक्शन का कार्यान्वयन बिल्कुल भी सरल नहीं हो सकता है। इस प्रकार, ऊपर दिए गए फ़ंक्शन $y=\sin x^2$ की गैर-आवधिकता को साबित करने के लिए, आप समानता $sin(x+T)^2=\sin x^2$ लिख सकते हैं, लेकिन हल नहीं कर सकते यह त्रिकोणमितीय समीकरण आदत से बाहर है, लेकिन अनुमान लगाएं और इसमें x=0 को प्रतिस्थापित करें, जिसके बाद निम्नलिखित लगभग स्वचालित रूप से होगा: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, जहां k है कुछ पूर्णांक 0 से अधिक हैं, अर्थात $T=\sqrt (k\pi)$, और यदि अब हम इसमें $x=\sqrt (\pi)$ को प्रतिस्थापित करने का अनुमान लगाते हैं, तो यह पता चलता है कि $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, जहां से $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, और इस प्रकार संख्या p समीकरण $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$ का मूल है, यानी। बीजगणितीय है, जो सत्य नहीं है: $\pi$, जैसा कि हम जानते हैं, पारलौकिक है, अर्थात्। पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बीजीय समीकरण का मूल नहीं है। हालाँकि, भविष्य में हमें इस कथन का अधिक सरल प्रमाण प्राप्त होगा - लेकिन गणितीय विश्लेषण की सहायता से।

कार्यों की गैर-आवधिकता साबित करते समय, एक प्राथमिक तार्किक चाल अक्सर मदद करती है: यदि सभी आवधिक कार्यों में कुछ गुण होते हैं, लेकिन किसी दिए गए फ़ंक्शन में यह नहीं होता है, तो यह स्वाभाविक रूप से होता है आवधिक नहीं है. इस प्रकार, एक आवधिक फ़ंक्शन किसी भी मान को अनंत बार लेता है, और इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ आवधिक नहीं है, क्योंकि मान 7 है यह केवल दो बिंदुओं पर स्वीकार करता है। प्राय: गैर-आवधिकता सिद्ध करने के लिए इसकी विशेषताओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है परिभाषा का क्षेत्र, और आवधिक कार्यों की वांछित संपत्ति खोजने के लिए कभी-कभी आपको कुछ कल्पना दिखानी पड़ती है।

आइए हम यह भी ध्यान दें कि अक्सर जब पूछा जाता है कि एक गैर-आवधिक कार्य क्या है, तो व्यक्ति उसी शैली में उत्तर सुनता है जिसके बारे में हमने बात की थी। सम और विषम कार्य, तब होता है जब $f(x+T)\neq f(x)$, जो निश्चित रूप से अस्वीकार्य है।

और सही उत्तर एक आवधिक फ़ंक्शन की विशिष्ट परिभाषा पर निर्भर करता है, और, ऊपर दी गई परिभाषा के आधार पर, हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि एक फ़ंक्शन गैर-आवधिक है यदि इसमें एक भी अवधि नहीं है, लेकिन यह होगा एक "बुरी" परिभाषा जो दिशा नहीं देती गैर-आवधिकता का प्रमाण. और यदि हम इसे आगे समझें, यह बताते हुए कि वाक्य "फ़ंक्शन f में एक भी अवधि नहीं है" का क्या अर्थ है, या, वही क्या है, "कोई संख्या $T \neq 0$ फ़ंक्शन f की एक अवधि नहीं है", तो हम पाते हैं कि फ़ंक्शन f आवधिक नहीं है यदि और केवल यदि प्रत्येक $T \neq 0$ के लिए एक संख्या $x\in D(f)$ है जैसे कि कम से कम एक संख्या $x+T$ और $ x-T$ D(f), या $f(x+T)\neq f(x)$ से संबंधित नहीं है।

आप इसे दूसरे तरीके से कह सकते हैं: "D(f)$ में एक संख्या $x\है जैसे कि समानता $f(x+T) = f(x)$ कायम नहीं है" - यह समानता दो के लिए मान्य नहीं हो सकती है कारण: या यह कोई मतलब नहीं, अर्थात। इसका एक भाग अपरिभाषित है, या - अन्यथा, गलत है। रुचि के लिए, हम जोड़ते हैं कि जिस भाषा प्रभाव के बारे में हमने ऊपर बात की थी, वह यहां भी प्रकट होता है: समानता के लिए "सच्चा नहीं होना" और "झूठा होना" एक ही चीज़ नहीं हैं - समानता का अभी तक कोई अर्थ नहीं हो सकता है।

इस भाषाई प्रभाव के कारणों और परिणामों की विस्तृत व्याख्या वास्तव में गणित का विषय नहीं है, बल्कि भाषा, भाषा विज्ञान, या अधिक सटीक रूप से, इसके विशेष खंड के सिद्धांत का विषय है: शब्दार्थ - अर्थ का विज्ञान, जहां, हालांकि, ये प्रश्न बहुत जटिल हैं और इनका कोई स्पष्ट समाधान नहीं है। और स्कूली गणित सहित गणित को इन कठिनाइयों से जूझने और भाषाई "परेशानियों" पर काबू पाने के लिए मजबूर किया जाता है - जबकि और क्योंकि यह प्रतीकात्मक, प्राकृतिक भाषा के साथ-साथ उपयोग करता है।

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स्लाइड कैप्शन:

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (प्रोफ़ाइल स्तर) ए.जी. मोर्दकोविच, पी.ई. सेमेनोव शिक्षक वोल्कोवा एस.ई.

परिभाषा 1 एक फ़ंक्शन y = f (x), x ∈ X को अवधि T कहा जाता है यदि किसी x ∈ X के लिए समानता f (x - T) = f (x) = f (x + T) है। यदि अवधि T वाला एक फ़ंक्शन बिंदु x पर परिभाषित किया गया है, तो इसे बिंदु x + T, x - T पर भी परिभाषित किया गया है। किसी भी फ़ंक्शन की अवधि T = 0 पर शून्य के बराबर है, हमें f(x - 0) = f मिलता है (एक्स) = एफ( एक्स + 0) .

परिभाषा 2 एक फलन जिसमें गैर-शून्य आवर्त T होता है, आवर्त कहलाता है। यदि किसी फलन y = f (x), x ∈

प्रमाण मान लीजिए कि 2T फलन की अवधि है। फिर f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), आदि। तो f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

किसी आवर्त फलन की धनात्मक अवधियों में से सबसे छोटी अवधि को इस फलन की मुख्य अवधि कहा जाता है।

एक आवधिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ की विशेषताएं यदि T फ़ंक्शन y = f(x) की मुख्य अवधि है, तो यह पर्याप्त है: लंबाई T के अंतरालों में से एक पर ग्राफ़ की एक शाखा का निर्माण करें, एक समानांतर अनुवाद करें इस शाखा का x अक्ष के अनुदिश ±T, ±2T, ±3T, आदि द्वारा। आमतौर पर बिंदुओं पर सिरे वाला एक गैप चुना जाता है

आवर्त फलनों के गुण 1. यदि f(x) आवर्त T के साथ एक आवर्त फलन है, तो फलन g(x) = A f(kx + b), जहां k > 0, आवर्त T 1 = T/ के साथ भी आवर्त है क। 2. मान लीजिए कि फ़ंक्शन f 1 (x) और f 2 (x) को संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित किया गया है और अवधि T 1 > 0 और T 2 >0 के साथ आवर्ती है। फिर, T 1 /T 2 ∈ Q के लिए, फलन f(x) = f(x) + f 2 (x) एक आवर्त फलन है जिसका आवर्त T संख्या T 1 और T 2 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है।

उदाहरण 1. आवर्त फलन y = f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। इसका आवर्तकाल 3 तथा f(0) =4 है। व्यंजक 2f(3) – f(-3) का मान ज्ञात कीजिए। समाधान। Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. प्राप्त मानों को अभिव्यक्ति 2f में प्रतिस्थापित करना (3) - f(-3) , हमें 8 - 4 =4 मिलता है। उत्तर - 4।

उदाहरण 2. आवर्त फलन y = f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। इसकी अवधि 5 है, और f(-1) = 1. f(-12) ज्ञात करें यदि 2f(3) – 5f(9) = 9. समाधान T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3)=7 उत्तर:7.

प्रयुक्त साहित्य ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (प्रोफ़ाइल स्तर), ग्रेड 10 ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (प्रोफ़ाइल स्तर), 10वीं कक्षा। शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी मैनुअल

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

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