रैखिकतः स्वतंत्र वेक्टर का क्या अर्थ है? सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता

तो, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन करने की समस्या इस प्रणाली के वैक्टर से बने मैट्रिक्स की रैंक खोजने की समस्या तक कम हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि p>n के लिए सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी।

टिप्पणी: मैट्रिक्स ए संकलित करते समय, सिस्टम के वैक्टर को पंक्तियों के रूप में नहीं, बल्कि स्तंभों के रूप में लिया जा सकता है।

रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके एल्गोरिदम को देखें।

रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की एक प्रणाली का अध्ययन करने के उदाहरण।

उदाहरण।

सदिशों की एक प्रणाली दी गई है। रैखिक निर्भरता के लिए इसका परीक्षण करें।

समाधान।

चूँकि वेक्टर c शून्य है, वैक्टर की मूल प्रणाली तीसरी संपत्ति के कारण रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर:

वेक्टर प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उदाहरण।

रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की एक प्रणाली का परीक्षण करें।

समाधान।

यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि वेक्टर c के निर्देशांक वेक्टर के संबंधित निर्देशांक को 3 से गुणा करने के बराबर हैं, अर्थात। इसलिए, सदिशों की मूल प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

परिभाषा 1. सदिशों का एक रैखिक संयोजन इन सदिशों और अदिशों के उत्पादों का योग है:

परिभाषा 2. सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली कहा जाता है यदि उनका रैखिक संयोजन (2.8) गायब हो जाता है:

इसके अलावा, संख्याओं में से कम से कम एक ऐसी है जो शून्य से भिन्न है।

परिभाषा 3. सदिशों को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनका रैखिक संयोजन (2.8) केवल उस स्थिति में गायब हो जाता है जब सभी संख्याएँ।

इन परिभाषाओं से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किये जा सकते हैं।

परिणाम 1. सदिशों की एक रैखिक रूप से आश्रित प्रणाली में, कम से कम एक सदिश को अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सबूत. मान लीजिए (2.9) संतुष्ट है और, निश्चितता के लिए, गुणांक मान लीजिए। फिर हमारे पास है: ध्यान दें कि इसका विपरीत भी सत्य है।

परिणाम 2.यदि सदिशों की एक प्रणाली में शून्य सदिश है, तो यह प्रणाली (आवश्यक रूप से) रैखिक रूप से निर्भर है - प्रमाण स्पष्ट है।

परिणाम 3. यदि बीच में एनकिसी भी प्रकार के वैक्टर क() सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो बस इतना ही एनसदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं (हम प्रमाण छोड़ देंगे)।

2 0 . दो, तीन और चार सदिशों का रैखिक संयोजन. आइए एक सीधी रेखा, समतल और अंतरिक्ष में सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के मुद्दों पर विचार करें। आइए हम संगत प्रमेय प्रस्तुत करें।

प्रमेय 1. दो सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे संरेख हों।

ज़रूरत. मान लीजिए कि सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं। इसका मतलब है कि उनका रैखिक संयोजन = 0 और (निश्चितता के लिए)। इसका तात्पर्य समानता से है, और (किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की परिभाषा के अनुसार) सदिश संरेख होते हैं।

पर्याप्तता. मान लीजिए कि सदिश संरेख (║) हैं (हम मानते हैं कि वे शून्य सदिश से भिन्न हैं; अन्यथा उनकी रैखिक निर्भरता स्पष्ट है)।

प्रमेय (2.7) के अनुसार (§2.1, पैराग्राफ 2 0 देखें) तो यह है कि, या - रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, और गुणांक 1 के बराबर है - वेक्टर या रैखिक रूप से निर्भर हैं।

इस प्रमेय से निम्नलिखित परिणाम निकलता है।

परिणाम. यदि सदिश संरेख नहीं हैं, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

प्रमेय 2. तीन सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों।

ज़रूरत. मान लीजिए कि सदिश या रैखिक रूप से आश्रित हैं। आइए हम दिखाएँ कि वे समतलीय हैं।

वैक्टर की रैखिक निर्भरता की परिभाषा से यह संख्याओं के अस्तित्व का अनुसरण करता है और ऐसा होता है कि एक रैखिक संयोजन, और एक ही समय में (विशिष्ट होने के लिए)। फिर इस समानता से हम सदिश को व्यक्त कर सकते हैं: =, अर्थात, सदिश इस समानता के दाईं ओर सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर है (चित्र 2.6)। इसका मतलब यह है कि सदिश और एक ही तल में स्थित हैं।

पर्याप्तता. माना कि सदिश समतलीय हैं। आइए हम दिखाएं कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं।

आइए हम सदिशों के किसी भी युग्म की संरेखता के मामले को छोड़ दें (क्योंकि तब यह युग्म रैखिक रूप से निर्भर होता है और उपफल 3 (अनुच्छेद 1 0 देखें) के अनुसार सभी तीन सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं)। ध्यान दें कि यह धारणा इन तीनों के बीच शून्य वेक्टर के अस्तित्व को भी बाहर करती है।

आइए तीन समतलीय सदिशों को एक तल में ले जाएँ और उन्हें एक सामान्य मूल पर लाएँ। वेक्टर के अंत से होकर हम वेक्टर के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं; इस मामले में हम सदिश प्राप्त करते हैं (चित्र 2.7) - उनका अस्तित्व इस तथ्य से सुनिश्चित होता है कि सदिश धारणा के अनुसार संरेख सदिश नहीं हैं। यह उस वेक्टर =+ का अनुसरण करता है। इस समानता को (-1)++=0 के रूप में दोबारा लिखने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सदिश या रैखिक रूप से निर्भर हैं।

सिद्ध प्रमेय से दो परिणाम निकलते हैं।

परिणाम 1. मान लीजिए कि सदिश असंरेखीय हैं, सदिश एक मनमाना सदिश है जो सदिशों द्वारा परिभाषित तल में पड़ा हुआ है। फिर कुछ संख्याएं ऐसी भी हैं

परिणाम 2. यदि सदिश समतलीय नहीं हैं, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

प्रमेय 3. कोई भी चार सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

हम सबूत छोड़ देंगे; कुछ संशोधनों के साथ यह प्रमेय 2 के प्रमाण की प्रतिलिपि बनाता है। आइए हम इस प्रमेय से एक परिणाम दें।

परिणाम. किसी भी गैर-समतलीय सदिश और ऐसे किसी भी सदिश के लिए

टिप्पणी. (त्रि-आयामी) अंतरिक्ष में वैक्टर के लिए, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता की अवधारणाओं का, जैसा कि ऊपर प्रमेय 1-3 से निम्नानुसार है, एक सरल ज्यामितीय अर्थ है।

मान लीजिए कि दो रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और। इस मामले में, उनमें से एक दूसरे का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात, यह केवल एक संख्यात्मक कारक (उदाहरण के लिए,) द्वारा इससे भिन्न होता है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि दोनों वेक्टर एक सामान्य रेखा पर हैं; उनकी दिशाएँ समान या विपरीत हो सकती हैं (चित्र 2.8 xx)।

यदि दो सदिश एक दूसरे से कोण पर स्थित हैं (चित्र 2.9 xx), तो इस स्थिति में उनमें से एक को दूसरे को किसी संख्या से गुणा करके प्राप्त करना असंभव है - ऐसे सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। नतीजतन, दो वैक्टरों की रैखिक स्वतंत्रता का मतलब है कि इन वैक्टरों को एक सीधी रेखा पर नहीं रखा जा सकता है।

आइए हम तीन सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता का ज्यामितीय अर्थ जानें।

मान लीजिए सदिश और रैखिक रूप से निर्भर हैं और मान लेते हैं (विशिष्ट होने के लिए) सदिश सदिशों का एक रैखिक संयोजन है और, अर्थात, सदिशों वाले तल में स्थित है। इसका मतलब यह है कि सदिश और एक ही तल में स्थित हैं। विपरीत कथन भी सत्य है: यदि सदिश और एक ही तल में स्थित हैं, तो वे रैखिक रूप से निर्भर हैं।

इस प्रकार, सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे एक ही तल में नहीं होते हैं।

3 0 . आधार की अवधारणा. रैखिक और वेक्टर बीजगणित में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक आधार की अवधारणा है। आइए कुछ परिभाषाएँ प्रस्तुत करें।

परिभाषा 1. सदिशों की एक जोड़ी को क्रमित कहा जाता है यदि यह निर्दिष्ट किया जाता है कि इस जोड़ी का कौन सा सदिश पहला माना जाता है और कौन सा दूसरा।

परिभाषा 2.असंरेखीय सदिशों की एक क्रमित जोड़ी को दिए गए सदिशों द्वारा परिभाषित तल पर आधार कहा जाता है।

प्रमेय 1. समतल में किसी भी सदिश को सदिशों की मूल प्रणाली के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

और यह प्रतिनिधित्व ही एकमात्र है.

सबूत. सदिशों को एक आधार बनाने दें। फिर किसी भी वेक्टर को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है।

विशिष्टता सिद्ध करने के लिए मान लीजिए कि एक और अपघटन है। तब हमारे पास = 0 है, और कम से कम एक अंतर शून्य से भिन्न है। उत्तरार्द्ध का मतलब है कि वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, यानी, संरेख; यह इस कथन का खंडन करता है कि वे एक आधार बनाते हैं।

लेकिन तब केवल विघटन होता है।

परिभाषा 3. सदिशों के त्रिक को क्रमित कहा जाता है यदि यह इंगित किया जाए कि कौन सा सदिश पहला माना जाता है, कौन सा दूसरा माना जाता है, और कौन सा तीसरा माना जाता है।

परिभाषा 4. अंतरिक्ष में गैर-समतलीय सदिशों के क्रमबद्ध त्रिक को आधार कहा जाता है।

अपघटन और विशिष्टता प्रमेय भी यहाँ लागू होता है।

प्रमेय 2. किसी भी वेक्टर को वैक्टर की आधार प्रणाली के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

और यह निरूपण अद्वितीय है (हम प्रमेय के प्रमाण को छोड़ देंगे)।

विस्तार (2.12) और (2.13) में, मात्राओं को दिए गए आधार पर वेक्टर निर्देशांक कहा जाता है (अधिक सटीक रूप से, एफ़िन निर्देशांक)।

एक निश्चित आधार पर लिखना संभव है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई आधार दिया गया है और यह दिया गया है, तो इसका मतलब है कि एक प्रतिनिधित्व (विघटन) होता है।

4 0 . निर्देशांक रूप में सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ. एक आधार की शुरूआत से वैक्टरों पर रैखिक संचालन को संख्याओं पर सामान्य रैखिक संचालन द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति मिलती है - इन वैक्टरों के निर्देशांक।

कुछ आधार तो बताया जाए. जाहिर है, इस आधार पर वेक्टर निर्देशांक निर्दिष्ट करना पूरी तरह से वेक्टर को ही निर्धारित करता है। निम्नलिखित प्रस्ताव लागू होते हैं:

ए) दो वेक्टर समान हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित निर्देशांक समान हैं:

बी) किसी वेक्टर को किसी संख्या से गुणा करते समय, उसके निर्देशांक इस संख्या से गुणा किए जाते हैं:

ग) वैक्टर जोड़ते समय, उनके संबंधित निर्देशांक जोड़े जाते हैं:

हम इन संपत्तियों के प्रमाण छोड़ देंगे; आइए हम संपत्ति बी को केवल एक उदाहरण के रूप में साबित करें। हमारे पास है

टिप्पणी. अंतरिक्ष में (विमान पर) आप अनंत रूप से कई आधार चुन सकते हैं।

आइए एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण का उदाहरण दें, विभिन्न आधारों में वेक्टर निर्देशांक के बीच संबंध स्थापित करें।

उदाहरण 1. मूल प्रणाली में, तीन वैक्टर निर्दिष्ट हैं:, और। आधार में वेक्टर का अपघटन होता है। आधार में सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान. हमारे पास विस्तार हैं:,,; इसलिए, =+2+= =, अर्थात आधार में।

उदाहरण 2. मान लीजिए, किसी आधार पर, चार सदिशों को उनके निर्देशांकों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:,, और।

पता लगाएँ कि क्या सदिश एक आधार बनाते हैं; यदि उत्तर सकारात्मक है, तो इस आधार पर वेक्टर का अपघटन ज्ञात करें।

समाधान. 1) सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। आइए वैक्टर () का एक रैखिक संयोजन बनाएं और पता लगाएं कि किस बिंदु पर यह शून्य हो जाता है: = 0। हमारे पास है:

निर्देशांक रूप में सदिशों की समानता को परिभाषित करके, हम (रैखिक सजातीय बीजगणितीय) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं: ;;, जिसका निर्धारक = 1, अर्थात, प्रणाली में (केवल) एक तुच्छ समाधान है। इसका मतलब यह है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए वे एक आधार बनाते हैं;

2) इस आधार पर वेक्टर का विस्तार करें। हमारे पास:=या समन्वित रूप में है।

निर्देशांक रूप में सदिशों की समानता की ओर आगे बढ़ते हुए, हमें रैखिक अमानवीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है: ;;। इसे हल करने पर (उदाहरण के लिए, क्रैमर नियम का उपयोग करके), हम प्राप्त करते हैं:,, और ()। हमारे पास आधार में एक वेक्टर विस्तार है: =।

5 0 . एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण. प्रक्षेपणों के गुण.चलो कोई धुरी हो एल, यानी, एक सीधी रेखा जिस पर एक चुनी हुई दिशा है और कुछ वेक्टर दिया गया है आइए एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की अवधारणा को परिभाषित करें एल.

परिभाषा. प्रक्षेपित सदिश अक्ष एलइस सदिश के मापांक और अक्ष के बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल कहलाता है एलऔर वेक्टर (चित्र 2.10):

इस परिभाषा का एक परिणाम यह कथन है कि समान वैक्टर के समान प्रक्षेपण (एक ही अक्ष पर) होते हैं।

आइए हम प्रक्षेपणों के गुणों पर ध्यान दें।

1) किसी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण एलएक ही अक्ष पर सदिशों के पदों के प्रक्षेपण के योग के बराबर:

2) एक वेक्टर द्वारा एक अदिश के उत्पाद का प्रक्षेपण एक ही अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण द्वारा इस अदिश के उत्पाद के बराबर होता है:

परिणाम. अक्ष पर सदिशों के रैखिक संयोजन का प्रक्षेपण उनके प्रक्षेपणों के रैखिक संयोजन के बराबर है:

हम संपत्तियों के सबूत छोड़ देंगे.

6 0 . अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली.अक्षों के इकाई सदिशों में एक सदिश का अपघटन।मान लीजिए कि तीन परस्पर लंबवत इकाई सदिशों को आधार के रूप में चुना गया है; हम उनके लिए विशेष नोटेशन पेश करते हैं। उनकी शुरुआत को एक बिंदु पर रखकर हे, आइए हम निर्देशांक अक्षों को उनके अनुदिश निर्देशित करें (इकाई सदिशों के अनुसार) बैल,ओएतथाओ जेड(सकारात्मक दिशा, मूल और उस पर चयनित लंबाई की इकाई वाली धुरी को समन्वय अक्ष कहा जाता है)।

परिभाषा. एक समान मूल और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ तीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली को अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली कहा जाता है।

एक्सिस बैल भुज अक्ष कहा जाता है, ओए- कोटि अक्ष uO जेड – अक्ष एप्लिकेटर.

आइए आधार के संबंध में एक मनमाना वेक्टर के विस्तार से निपटें। प्रमेय से (देखें §2.2, पैराग्राफ 3 0, (2.13)) यह इस प्रकार है कि इसे आधार पर एक अनूठे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है (यहां, नोटेशन समन्वय के बजाय, हम उपयोग करते हैं):

(2.21) में सार वेक्टर के (कार्टेशियन आयताकार) निर्देशांक हैं। कार्टेशियन निर्देशांक का अर्थ निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

प्रमेय. एक वेक्टर के कार्तीय आयताकार निर्देशांक क्रमशः अक्षों पर इस वेक्टर के प्रक्षेपण होते हैं बैल,ओएतथाओ जेड.

सबूत।आइए वेक्टर को समन्वय प्रणाली के मूल में रखें - बिंदु हे. तब इसका अंत एक निश्चित बिंदु से मेल खाएगा।

आइए हम निर्देशांक तलों के समानांतर बिंदु से होकर तीन तल बनाएं ओयज़,ऑक्सज़और ऑक्सी(चित्र 2.11 xx)। फिर हमें मिलता है:

(2.22) में सदिशों को अक्षों के अनुदिश सदिश के घटक कहा जाता है बैल,ओएतथाओ जेड.

मान लीजिए कि आप इकाई सदिशों वाले एक सदिश द्वारा बनाए गए कोणों को क्रमशः निरूपित करते हैं। फिर घटकों के लिए हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

= =, = =, = =(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) से हम पाते हैं:

- वेक्टर निर्देशांक निर्देशांक अक्षों पर इस वेक्टर के प्रक्षेपण हैं बैल,ओएतथाओ जेडक्रमश।

टिप्पणी. संख्याओं को वेक्टर की दिशा कोसाइन कहा जाता है।

वेक्टर मापांक (एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

सूत्र (2.23) और (2.24) से यह निष्कर्ष निकलता है कि दिशा कोसाइन की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

(2.25) में प्रत्येक समानता के दोनों पक्षों को ऊपर उठाने और परिणामी समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ने पर, हम सूत्र पर पहुँचते हैं:

- कोई भी तीन कोण अंतरिक्ष में एक निश्चित दिशा नहीं बनाते हैं, बल्कि केवल वे जिनकी कोसाइन संबंध (2.26) से संबंधित होती हैं।

7 0 . त्रिज्या वेक्टर और बिंदु निर्देशांक.किसी सदिश को उसके आरंभ और अंत से निर्धारित करना. आइए एक परिभाषा प्रस्तुत करें.

परिभाषा. त्रिज्या वेक्टर (निरूपित) निर्देशांक की उत्पत्ति को जोड़ने वाला वेक्टर है हेइस बिंदु के साथ (चित्र 2.12 xx):

अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु एक निश्चित त्रिज्या वेक्टर (और इसके विपरीत) से मेल खाता है। इस प्रकार, अंतरिक्ष में बिंदुओं को उनके त्रिज्या वैक्टर द्वारा वेक्टर बीजगणित में दर्शाया जाता है।

जाहिर है, बिंदु के निर्देशांक एमइसके त्रिज्या वेक्टर और समन्वय अक्षों के प्रक्षेपण हैं:

और इस तरह,

- किसी बिंदु की त्रिज्या सदिश एक सदिश है जिसके निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण इस बिंदु के निर्देशांक के बराबर होते हैं। इससे दो प्रविष्टियाँ होती हैं: और।

आइए हम किसी वेक्टर के आरंभ-बिंदु और अंत-बिंदु के निर्देशांक से उसके प्रक्षेपण की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें।

आइए त्रिज्या सदिश और सदिश बनाएं (चित्र 2.13)। हमें वह मिल गया

- समन्वय इकाई वैक्टर पर वेक्टर के प्रक्षेपण वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर हैं।

8 0 . कार्टेशियन निर्देशांक से जुड़ी कुछ समस्याएं.

1) सदिशों की संरेखता के लिए शर्तें . प्रमेय से (देखें §2.1, अनुच्छेद 2 0, सूत्र (2.7)) यह इस प्रकार है कि सदिशों की संरेखता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संबंध: = संतुष्ट हो। इस सदिश समानता से हमें निर्देशांक रूप में तीन समानताएँ प्राप्त होती हैं:, जो निर्देशांक रूप में सदिशों की संरेखता की स्थिति को दर्शाती है:

- सदिशों की संरेखता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक हों।

2) बिंदुओं के बीच की दूरी . निरूपण (2.29) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

3) किसी खंड का किसी दिए गए अनुपात में विभाजन . अंक और संबंध दिए जाएं। हमें बिंदु के निर्देशांक खोजने होंगे एम (चित्र 2.14)।

सदिशों की संरेखता की स्थिति से हमें प्राप्त होता है: , कहाँ से

(2.32) से हम निर्देशांक रूप में प्राप्त करते हैं:

सूत्र (2.32') से हम खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, यह मानते हुए:

टिप्पणी. हम खंडों पर सकारात्मक या नकारात्मक विचार करेंगे, यह इस आधार पर होगा कि उनकी दिशा खंड की शुरुआत से अंत तक की दिशा से मेल खाती है या नहीं, या मेल नहीं खाता. फिर, सूत्र (2.32) - (2.32") का उपयोग करके, आप खंड को बाह्य रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं, अर्थात, विभाजन बिंदु एमखंड की निरंतरता पर स्थित है, न कि उसके अंदर। निःसंदेह, उसी समय।

4) गोलाकार सतह समीकरण . आइए एक गोलाकार सतह के लिए एक समीकरण बनाएं - कुछ निश्चित केंद्र - एक बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान। यह स्पष्ट है कि इस मामले में, सूत्र (2.31) को ध्यान में रखते हुए

समीकरण (2.33) वांछित गोलाकार सतह का समीकरण है।

आइए रैखिक स्थानों के गुणों का वर्णन करने के लिए आगे बढ़ें। सबसे पहले, इनमें इसके तत्वों के बीच संबंध शामिल हैं।

रैखिक संयोजन वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में तत्व आरतत्व कहा जाता है

परिभाषा।तत्वों के एक समूह को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि, समानता से

यह आवश्यक रूप से इसका अनुसरण करता है। स्पष्ट है कि तत्वों का कोई भी भाग रैखिक रूप से स्वतंत्र भी होता है। यदि इनमें से कम से कम एक, तो समुच्चय को रैखिकतः आश्रित कहा जाता है।

उदाहरणतृतीय.6. मान लीजिए कि एक सदिश समुच्चय दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई सदिश है, तो सदिशों की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। वास्तव में, समुच्चय,, ...,,, ... को रैखिक रूप से स्वतंत्र होने दें, तो यह समानता से अनुसरण करता है।

इस सेट में वेक्टर को गुणा करने पर भी हमारे पास समानता है

नतीजतन, वैक्टर का सेट, साथ ही शून्य तत्व वाले किसी भी अन्य तत्व, हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं ▼।

टिप्पणी।यदि सदिशों का समुच्चय रिक्त है, तो यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, यदि कोई सूचकांक नहीं हैं, तो उनके अनुरूप संख्याओं को चुनना असंभव है जो शून्य के बराबर नहीं हैं, ताकि फॉर्म का योग (III.2) 0 के बराबर हो। रैखिक स्वतंत्रता की यह व्याख्या हो सकती है प्रमाण के रूप में लिया जाता है, विशेषकर इसलिए क्योंकि ऐसा परिणाम सिद्धांत 11 के साथ अच्छी तरह मेल खाता है।

उपरोक्त के संबंध में, रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: तत्वों का एक सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है यदि इसके लिए कोई सूचकांक नहीं है। विशेष रूप से, यह सेट खाली हो सकता है.

उदाहरणतृतीय.7. कोई भी दो गतिमान सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं। याद रखें कि स्लाइडिंग वेक्टर वे वेक्टर होते हैं जो एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। एक यूनिट वेक्टर लेते हुए, आप संबंधित वास्तविक संख्या, यानी या से गुणा करके कोई अन्य वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं। नतीजतन, एक-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी दो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

उदाहरणतृतीय.8. बहुपदों के स्थान पर विचार करें, जहां ,,,। चलो इसे लिख लें

यह मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं, समान रूप से टी

अर्थात् समुच्चय रैखिकतः आश्रित है। ध्यान दें कि रूप का कोई भी परिमित सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसे सिद्ध करने के लिए मामले पर विचार करें, फिर समानता से

इसकी रैखिक निर्भरता की धारणा के मामले में, यह निष्कर्ष निकलेगा कि शून्य के बराबर सभी संख्याएँ मौजूद नहीं हैं  1 ,  2 ,  3, जो किसी भी (III.3) के लिए समान है, लेकिन यह बीजगणित के मुख्य प्रमेय का खंडन करता है: कोई भी बहुपद एन-th डिग्री से अधिक नहीं है एनअसली जड़ें. हमारे मामले में, इस समीकरण के केवल दो मूल हैं, उनकी अनंत संख्या नहीं है। हमें एक विरोधाभास मिला.

§ 2. रैखिक संयोजन. अड्डों

होने देना । आइए बताते हैं यह क्या है रैखिक संयोजन तत्व.

प्रमेयतृतीय.1 (मुख्य).गैर-शून्य तत्वों का एक सेट रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि और केवल यदि कुछ तत्व पिछले तत्वों का एक रैखिक संयोजन है।

सबूत. ज़रूरत. आइए मान लें कि तत्व ,, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं और मान लें कि पहली प्राकृतिक संख्या जिसके लिए तत्व,, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो

सभी शून्य के बराबर नहीं हैं और आवश्यक रूप से (अन्यथा यह गुणांक होगा, जो कहा गया था उसका खंडन करेगा)। यहां से हमें एक रैखिक संयोजन प्राप्त होता है

पर्याप्ततास्पष्ट है, चूँकि रैखिकतः आश्रित समुच्चय वाला प्रत्येक समुच्चय स्वयं रैखिकतः आश्रित होता है।

परिभाषा।रैखिक स्थान का आधार (समन्वय प्रणाली)। एलएक सेट कहा जाता है एरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जैसे कि प्रत्येक तत्व एलसे तत्वों का एक रैखिक संयोजन है ए, 11.

हम परिमित-आयामी रैखिक स्थानों पर विचार करेंगे।

उदाहरणतृतीय.9. त्रि-आयामी सदिश समष्टि पर विचार करें. आइए यूनिट वैक्टर लें,,। वे इसके लिए आधार बनाते हैं।

आइए हम दिखाएँ कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। वास्तव में, हमारे पास है

या । यहां से, किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने और सदिश जोड़ने के नियमों के अनुसार (उदाहरण III.2), हमें मिलता है

इसलिए, ,,▼.

मान लीजिए कि यह अंतरिक्ष का एक मनमाना वेक्टर है, तो हम रैखिक अंतरिक्ष के सिद्धांतों के आधार पर प्राप्त करते हैं

समान तर्क किसी आधार वाले स्थान के लिए मान्य है। मुख्य प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक मनमाना परिमित-आयामी रैखिक स्थान में एलकिसी भी तत्व को उसके मूल तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है,, ...,, अर्थात

इसके अलावा, ऐसा अपघटन अद्वितीय है। वास्तव में, हमें ऐसा करने दीजिए

फिर घटाने के बाद हमें प्राप्त होता है

अत: तत्वों की स्वतंत्रता के कारण,,

वह ▼ है.

प्रमेयतृतीय.2 (आधार में जोड़ने के बारे में)।मान लीजिए कि यह एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान है और रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों का एक निश्चित समूह है। यदि वे कोई आधार नहीं बनाते हैं, तो ऐसे तत्वों को खोजना संभव है,,...,, जिनमें तत्वों का समूह एक आधार बनाता है। अर्थात्, रैखिक स्थान के तत्वों के प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट को एक आधार से पूरक किया जा सकता है।

सबूत. चूँकि अंतरिक्ष परिमित-आयामी है, इसका एक आधार है, उदाहरण के लिए, का एनतत्व, उन्हें तत्व ही रहने दें। आइए कई तत्वों पर विचार करें.

आइए मुख्य प्रमेय लागू करें। तत्वों के क्रम में, समुच्चय पर विचार करें ए. यह स्पष्ट रूप से रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि कोई भी तत्व एक रैखिक संयोजन है। चूँकि तत्व,, ..., रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो इसमें तत्वों को क्रमिक रूप से तब तक जोड़ते हैं जब तक कि पहला तत्व प्रकट न हो जाए, उदाहरण के लिए, जैसे कि यह इस सेट के पिछले वैक्टर का एक रैखिक संयोजन होगा, अर्थात। इस तत्व को सेट से हटाया जा रहा है ए, हम प्राप्त करेंगे । हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक इस सेट में और कुछ न रह जाए एनरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जिनमें से सभी तत्व ,, ..., और एन-एमतत्वों से. परिणामी सेट आधार होगा ▼.

उदाहरणतृतीय.10. साबित करें कि वेक्टर ,, और एक रैखिक रूप से निर्भर सेट बनाते हैं, और उनमें से कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

आइए हम दिखाते हैं कि सभी संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं होती हैं

वास्तव में, हमारे पास है

रैखिक संबंध सिद्ध हो चुका है। आइए हम दिखाते हैं कि सदिशों का त्रिगुण, उदाहरण के लिए,,, एक आधार बनाता है। आइये समानता बनायें

सदिशों के साथ संक्रियाएँ करने पर, हमें प्राप्त होता है

अंतिम समानता के दाएं और बाएं पक्षों पर संबंधित निर्देशांक को बराबर करने पर, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, इसे हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं।

इसी तरह का तर्क सदिशों के शेष त्रिक ,,या,, के लिए भी मान्य है।

प्रमेयतृतीय.3 (अंतरिक्ष के आयाम के बारे में)।एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान के सभी आधार एलमूल तत्वों की समान संख्या से मिलकर बनता है।

सबूत. मान लीजिए दो सेट दिए गए हैं, कहां;,। हम उनमें से प्रत्येक को दो गुणों में से एक प्रदान करते हैं जो आधार को परिभाषित करते हैं: 1) सेट के तत्वों के माध्यम से एसे कोई भी तत्व एल, 2) सेट के तत्व बीएक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे सभी हों एल. हम मान लेंगे कि तत्व एऔर बीआदेश दिया.

सेट पर विचार करें एऔर इसके तत्वों पर लागू करें एमएक बार मुख्य प्रमेय से विधि. चूंकि तत्व से बीरैखिकतः स्वतंत्र हैं, तो भी हमें एक रैखिकतः आश्रित समुच्चय प्राप्त होता है

वास्तव में, यदि, तो परिणाम एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट और शेष होगा एनसेट के तत्व बीउनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाएगा, जो असंभव है, जिसका अर्थ है। लेकिन यह भी नहीं हो सकता, क्योंकि निर्माण से सेट (III.4) में सेट के आधार का गुण होता है ए. क्योंकि अंतरिक्ष एलपरिमित-आयामी, फिर जो कुछ बचता है, वह है, अंतरिक्ष के दो अलग-अलग आधार एलतत्वों की समान संख्या से मिलकर बनता है ▼.

परिणाम।मेँ कोई एन-आयामी रैखिक स्थान () में कोई भी अनंत आधार पा सकता है।

सबूतरैखिक (वेक्टर) स्थान के तत्वों को एक संख्या से गुणा करने के नियम का अनुसरण करता है।

परिभाषा।रैखिक स्थान का आयाम एलउन तत्वों की संख्या है जो इसका आधार बनाते हैं।

परिभाषा से यह पता चलता है कि तत्वों का खाली सेट - एक तुच्छ रैखिक स्थान - का आयाम 0 है, जो, जैसा कि ध्यान दिया जाना चाहिए, रैखिक निर्भरता की शब्दावली को उचित ठहराता है और हमें यह बताने की अनुमति देता है: एन-आयामी स्थान में आयाम होता है एन, .

इस प्रकार, जो कहा गया है उसे संक्षेप में, हम प्रत्येक सेट को प्राप्त करते हैं एन+1 तत्व एन-आयामी रैखिक स्थान रैखिक रूप से निर्भर; के कई एनएक रैखिक स्थान के तत्व एक आधार हैं यदि और केवल यदि यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है (या अंतरिक्ष का प्रत्येक तत्व इसके आधार के तत्वों का एक रैखिक संयोजन है); किसी भी रैखिक स्थान में आधारों की संख्या अनंत होती है।

उदाहरणतृतीय.11 (क्रोनकर-कैपेली प्रमेय)।

आइए हमारे पास रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली है

कहाँ ए – सिस्टम गुणांकों का मैट्रिक्स,  सिस्टम गुणांकों का विस्तारित मैट्रिक्स

कहा पे , (III.6)

यह प्रविष्टि समीकरणों की प्रणाली (III.5) के समतुल्य है।

प्रमेयतृतीय.4 (क्रोनकर - कैपेली)।रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (III.5) की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए की रैंक मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, अर्थात।

सबूत.ज़रूरत. मान लीजिए कि सिस्टम (III.5) सुसंगत है, तो इसका एक समाधान है: ,,। (III.6) को ध्यान में रखते हुए, लेकिन इस मामले में सदिशों का एक रैखिक संयोजन है,,...,। इसलिए, सदिशों के समुच्चय के माध्यम से,,, ..., कोई भी सदिश से। यह मतलब है कि।

पर्याप्तता. होने देना । आइए,,..., में से कोई भी आधार चुनें, फिर इसे आधार के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है (यह या तो सभी वैक्टर या उनका हिस्सा हो सकता है) और इस प्रकार, सभी वैक्टर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली सुसंगत ▼ है।

चलो गौर करते हैं एन-आयामी रैखिक स्थान एल. प्रत्येक वेक्टर को एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां सेट में आधार वेक्टर होते हैं। आइए फॉर्म में रैखिक संयोजन को फिर से लिखें और तत्वों और उनके निर्देशांक के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करें

इसका मतलब यह है कि बीच में एन- सदिशों का आयामी रैखिक सदिश समष्टि एनवास्तविक संख्याओं का -आयामी क्षेत्र एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है।

परिभाषा।एक ही अदिश क्षेत्र पर दो रैखिक स्थान समरूपी हैं , यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है एफ, ताकि

अर्थात्, समरूपता को एक-से-एक पत्राचार के रूप में समझा जाता है जो सभी रैखिक संबंधों को संरक्षित करता है। यह स्पष्ट है कि समरूपी स्थानों का आयाम समान होता है।

समरूपता के उदाहरण और परिभाषा से यह पता चलता है कि रैखिकता समस्याओं के अध्ययन के दृष्टिकोण से, समरूपी स्थान समान हैं, इसलिए औपचारिक रूप से के बजायएन-आयामी रैखिक स्थानएलक्षेत्र के ऊपर केवल क्षेत्र का ही अध्ययन किया जा सकता है।

माना कि अदिशों का एक क्षेत्र है और F इसका मुख्य समुच्चय है। चलो - आयामी अंकगणितीय स्थान - अंतरिक्ष के वैक्टर की एक मनमानी प्रणाली

परिभाषा। सदिशों की एक प्रणाली का एक रैखिक संयोजन उस रूप का योग है जहां। स्केलर को रैखिक संयोजन गुणांक कहा जाता है। एक रैखिक संयोजन को गैर-तुच्छ कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक गुणांक शून्य से भिन्न हो। एक रैखिक संयोजन को तुच्छ कहा जाता है यदि उसके सभी गुणांक शून्य हों।

परिभाषा। किसी प्रणाली के सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय को इस प्रणाली का रैखिक विस्तार कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है। एक खाली सिस्टम के रैखिक विस्तार को शून्य वेक्टर से युक्त एक सेट माना जाता है।

तो, परिभाषा के अनुसार,

यह देखना आसान है कि सदिशों की इस प्रणाली का रैखिक ढांचा सदिशों को जोड़ने, सदिशों को घटाने और सदिशों को अदिशों से गुणा करने के संचालन के संबंध में बंद है।

परिभाषा। सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि किसी अदिश के लिए समानताएँ अनुसरण करती हैं। खाली वेक्टर प्रणाली

रैखिक रूप से स्वतंत्र माना जाता है।

दूसरे शब्दों में, सदिशों की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी यदि प्रणाली के सदिशों का प्रत्येक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर न हो।

परिभाषा। सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि ऐसे अदिश राशियाँ हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

दूसरे शब्दों में, सदिशों की एक परिमित प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि प्रणाली के सदिशों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर हो।

वेक्टर प्रणाली

सदिश समष्टि में इकाई सदिशों की प्रणाली कहलाती है। सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है। दरअसल, किसी भी अदिश के लिए समानता समानता का अनुसरण करती है और इसलिए, समानताएं

आइए सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुणों पर विचार करें।

गुण 1.1. शून्य सदिश वाले सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

सबूत। यदि वैक्टर की प्रणाली में, उदाहरण के लिए, वेक्टर में से एक शून्य वेक्टर है, तो सिस्टम के वैक्टर का रैखिक संयोजन, जिनमें से सभी गुणांक शून्य हैं, गुणांक के अपवाद के साथ, शून्य के बराबर है वेक्टर। नतीजतन, वैक्टर की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति 1.2. सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि इसकी कोई उपप्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

सबूत। मान लीजिए कि सिस्टम का एक रैखिक रूप से निर्भर उपतंत्र है और कम से कम एक गुणांक शून्य से भिन्न है। फिर परिणामस्वरूप, सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

जाँच पड़ताल। रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

संपत्ति 1.3. वेक्टर प्रणाली

जिसमें रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि कम से कम एक वेक्टर पिछले वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है।

सबूत। मान लीजिए कि सिस्टम (1) रैखिक रूप से निर्भर है और फिर ऐसे अदिश मौजूद हैं जो सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

आइए हम शर्त को संतुष्ट करने वाली सबसे बड़ी संख्या को k से निरूपित करें। फिर समानता (2) को रूप में लिखा जा सकता है

ध्यान दें कि अन्यथा के लिए, चूँकि। (3) से समानता आती है

आइए अब मान लें कि वेक्टर अपने पूर्ववर्ती वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है, यानी तब, यानी सिस्टम का उपप्रणाली (1) रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए, संपत्ति 1.2 द्वारा, मूल प्रणाली (1) भी रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति 1.4. यदि सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और सदिशों की प्रणाली

रैखिक रूप से निर्भर है, तो वेक्टर v को वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है

और एकमात्र तरीके से.

सबूत। शर्त के अनुसार, सिस्टम (2) रैखिक रूप से निर्भर है, यानी ऐसे स्केलर हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

इसके अलावा, चूंकि सिस्टम (1) की रैखिक स्वतंत्रता विरोधाभासी है। (3) से समानता आती है

सिस्टम (1) की रैखिक स्वतंत्रता के कारण, यह उसका अनुसरण करता है

संपत्ति 1.5. अगर

सबूत। शर्त का अर्थ है कि ऐसे अदिश राशियाँ हैं

शर्त का मतलब है कि ऐसे अदिश मौजूद हैं

(1) और (2) के आधार पर हम प्राप्त करते हैं

प्रमेय 1.2. अगर

तब सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। प्रमाण (पर प्रेरण द्वारा किया गया)।

यह जांचने के लिए कि क्या वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन बनाना आवश्यक है, और जांचें कि क्या यह शून्य हो सकता है यदि कम से कम एक गुणांक शून्य के बराबर है।

केस 1. सदिशों की एक प्रणाली सदिशों द्वारा दी जाती है

एक रेखीय संयोजन बनाना

हमने समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त की है। यदि इसका कोई गैर-शून्य समाधान है, तो सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए एक सारणिक बनाएं और उसका मान ज्ञात करें।

निर्धारक शून्य है, इसलिए सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं।

केस 2. वैक्टर की प्रणाली को विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया है:

ए) यदि पहचान सत्य है, तो सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं।

यह जांचना आवश्यक है कि क्या ए, बी, सी मौजूद है (जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है) जिसके लिए यह अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है।

आइए हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस लिखें

तब सदिशों का रैखिक संयोजन रूप लेगा:

जहां, उदाहरण के लिए, लेते हैं, तो रैखिक संयोजन शून्य है, इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर: सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

ख) आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं

x के किसी भी मान के लिए सदिशों का एक रैखिक संयोजन शून्य के बराबर होना चाहिए।

आइए विशेष मामलों की जाँच करें।

सदिशों का एक रैखिक संयोजन तभी शून्य के बराबर होता है जब सभी गुणांक शून्य के बराबर हों।

इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उत्तर: सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5.3. कुछ आधार खोजें और रैखिक समाधान स्थान का आयाम निर्धारित करें।

आइए एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं और गाऊसी विधि का उपयोग करके इसे एक ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करें।

कुछ आधार प्राप्त करने के लिए, आइए मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:

आइए शेष निर्देशांक प्राप्त करें

5.4. आधार में सदिश X के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि यह आधार में दिया गया है।

एक नए आधार पर एक वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने तक कम हो जाता है

विधि 1. संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके ढूँढना

आइए एक ट्रांज़िशन मैट्रिक्स बनाएं

आइए सूत्र का उपयोग करके नए आधार में वेक्टर खोजें

आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें और गुणन करें

विधि 2. समीकरणों की एक प्रणाली बनाकर ज्ञात करना।

आइए आधार गुणांकों से आधार सदिशों की रचना करें

नए आधार में वेक्टर खोजने का रूप है

कहाँ डीयह एक दिया गया वेक्टर है एक्स.

परिणामी समीकरण को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, उत्तर समान होगा।

उत्तर: नए आधार पर वेक्टर।

5.5. मान लीजिए x = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) . क्या निम्नलिखित परिवर्तन रैखिक हैं?

आइए दिए गए सदिशों के गुणांकों से रैखिक संचालकों के आव्यूहों की रचना करें।

आइए प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर मैट्रिक्स के लिए रैखिक संचालन की संपत्ति की जांच करें।

हम मैट्रिक्स को गुणा करके बाईं ओर पाते हैं एवेक्टर के लिए

हम दिए गए वेक्टर को एक अदिश से गुणा करके दायां पक्ष ज्ञात करते हैं।

हम देखते हैं कि इसका मतलब यह है कि परिवर्तन रैखिक नहीं है।

आइए अन्य वैक्टरों की जाँच करें।

परिवर्तन रैखिक नहीं है.

परिवर्तन रैखिक है.

उत्तर: ओह– कोई रैखिक परिवर्तन नहीं, में– रैखिक नहीं, सी.एक्स– रैखिक.

टिप्पणी।आप दिए गए वैक्टर को ध्यान से देखकर इस कार्य को बहुत आसानी से पूरा कर सकते हैं। में ओहहम देखते हैं कि ऐसे शब्द हैं जिनमें तत्व नहीं हैं एक्स, जो एक रैखिक ऑपरेशन के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया जा सका। में मेंएक तत्व है एक्सतीसरी घात तक, जिसे सदिश से गुणा करके भी प्राप्त नहीं किया जा सकता था एक्स.

5.6. दिया गया एक्स = { एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 } , कुल्हाड़ी = { एक्स 2 – एक्स 3 , एक्स 1 , एक्स 1 + एक्स 3 } , बीएक्स = { एक्स 2 , 2 एक्स 3 , एक्स 1 } . निर्दिष्ट ऑपरेशन करें: ( ए ( बी – ए )) एक्स .

आइए हम रैखिक संकारकों के आव्यूह लिखें।

आइए मैट्रिक्स पर एक ऑपरेशन करें

परिणामी मैट्रिक्स को X से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है