यादृच्छिक चर x का वितरण घनत्व दिया गया है। एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

………………………………………………………

Аn - यादृच्छिक चर X ने मान An लिया है।

यह स्पष्ट है कि घटनाओं का योग A1 A2, है। , An एक विश्वसनीय घटना है, क्योंकि यादृच्छिक चर को X1, x2, xn में से कम से कम एक मान लेना चाहिए।

इसलिए P (A1 È A2 È . È An) = 1.

इसके अलावा, घटनाएँ A1, A2, ., An असंगत हैं, क्योंकि एक एकल प्रयोग के दौरान एक यादृच्छिक चर x1, x2, ., xn में से केवल एक मान ले सकता है। असंगत घटनाओं के लिए योग प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

अर्थात p1+p2+ । +पीएन = 1, या, संक्षेप में,

इसलिए, तालिका 1 की दूसरी पंक्ति में स्थित सभी संख्याओं का योग, जो यादृच्छिक चर X का वितरण कानून देता है, एक के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 1. मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X पासा फेंकने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। वितरण नियम (तालिका रूप में) खोजें।

यादृच्छिक चर X मान लेता है

x1=1, x2=2, … , x6=6

संभावनाओं के साथ

р1= р2 = … = р6 =

वितरण नियम तालिका द्वारा दिया गया है:

तालिका 2

उदाहरण 2.द्विपद वितरण। आइए एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें - स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में घटना A की घटनाओं की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में A प्रायिकता p के साथ घटित होता है।

यादृच्छिक चर X स्पष्ट रूप से निम्नलिखित मानों में से एक ले सकता है:

0, 1, 2, ., के, ., एन.

इस घटना की संभावना कि यादृच्छिक चर X, k के बराबर मान लेगा, बर्नौली सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

Рn(k)= जहां q=1- р.

यादृच्छिक चर के इस वितरण को द्विपद वितरण या बर्नौली वितरण कहा जाता है। बर्नौली वितरण पूरी तरह से दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट है: सभी प्रयोगों की संख्या n और संभावना p जिसके साथ प्रत्येक व्यक्तिगत प्रयोग में एक घटना घटित होती है।

द्विपद वितरण की शर्त इस प्रकार है:

इस समानता की वैधता सिद्ध करने के लिए यह पहचान ही पर्याप्त है

(q+px)n=

x=1 रखो.

उदाहरण 3.पॉसों वितरण। यह प्रपत्र के संभाव्यता वितरण का नाम है:

Р(k)= .

यह एक एकल (सकारात्मक) पैरामीटर ए द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि ξ एक पॉइसन वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर है, तो संबंधित पैरामीटर ए इस यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है:

a=Mξ=, जहां M गणितीय अपेक्षा है।

यादृच्छिक चर है:

उदाहरण 4.घातांकी रूप से वितरण।

यदि समय एक यादृच्छिक चर है, तो आइए हम इसे τ से निरूपित करें, जैसे कि

कहां 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

यादृच्छिक चर t का औसत मान है:

वितरण घनत्व का रूप है:

4) सामान्य वितरण

चलो स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर और चलो यदि पद काफी छोटे हैं और संख्या n काफी बड़ी है, यदि n à ∞ के लिए यादृच्छिक चर Mξ की गणितीय अपेक्षा और Dξ=M(ξ–Mξ)2 के बराबर प्रसरण Dξ ऐसे हैं कि Mξ~a, Dξ ~σ2, फिर

- सामान्य या गाऊसी वितरण

.

5) ज्यामितीय वितरण. आइए हम पहली "सफलता" की शुरुआत से पहले के परीक्षणों की संख्या को ξ से निरूपित करें। यदि हम मानते हैं कि प्रत्येक परीक्षण समय की एक इकाई तक चलता है, तो हम ξ को पहली "सफलता" तक प्रतीक्षा समय मान सकते हैं। वितरण इस प्रकार दिखता है:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) हाइपरजियोमेट्रिक वितरण।

N वस्तुएं हैं, जिनमें से n "विशेष वस्तुएं" हैं। सभी ऑब्जेक्टों में से, k-ऑब्जेक्ट्स को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चयनित वस्तुओं में r - "विशेष वस्तुएँ" के बराबर हैं। वितरण इस प्रकार दिखता है:

7) पास्कल वितरण.

मान लीजिए x, rवें "सफलता" के आगमन से पहले की "विफलताओं" की कुल संख्या है। वितरण इस प्रकार दिखता है:

वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

समसंभाव्यता वितरण का तात्पर्य है कि यादृच्छिक चर x समान संभावना के साथ अंतराल पर कोई भी मान ले सकता है। वितरण घनत्व की गणना इस प्रकार की जाती है

वितरण घनत्व ग्राफ़ और वितरण फ़ंक्शन नीचे प्रस्तुत किए गए हैं।

"श्वेत शोर" की अवधारणा को समझाने से पहले, कई परिभाषाएँ देना आवश्यक है।

एक यादृच्छिक फ़ंक्शन एक गैर-यादृच्छिक तर्क t का एक फ़ंक्शन है, जो तर्क के प्रत्येक निश्चित मान के लिए, एक यादृच्छिक चर है। उदाहरण के लिए, यदि U एक यादृच्छिक चर है, तो फ़ंक्शन X(t)=t2U यादृच्छिक है।

एक यादृच्छिक फ़ंक्शन का क्रॉस सेक्शन यादृच्छिक फ़ंक्शन के तर्क के एक निश्चित मान के अनुरूप एक यादृच्छिक चर है। इस प्रकार, एक यादृच्छिक फ़ंक्शन को पैरामीटर t के आधार पर, यादृच्छिक चर (X(t)) के एक सेट के रूप में माना जा सकता है।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक चर है जो विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकता है, और यादृच्छिक चर को सतत कहा जाता है , यदि यह किसी सीमित या असीमित अंतराल से कोई मूल्य ले सकता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, सभी संभावित मानों को इंगित करना असंभव है, इसलिए हम इन मानों के अंतराल को निर्दिष्ट करते हैं जो कुछ संभावनाओं से जुड़े होते हैं।

निरंतर यादृच्छिक चर के उदाहरणों में शामिल हैं: किसी दिए गए आकार के लिए जमीन पर रखे गए हिस्से का व्यास, किसी व्यक्ति की ऊंचाई, प्रक्षेप्य की उड़ान सीमा, आदि।

चूंकि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए फ़ंक्शन एफ(एक्स), विपरीत असतत यादृच्छिक चर, कहीं कोई छलांग नहीं है, तो निरंतर यादृच्छिक चर के किसी भी व्यक्तिगत मूल्य की संभावना शून्य है।

इसका मतलब यह है कि एक सतत यादृच्छिक चर के लिए उसके मूल्यों के बीच संभाव्यता वितरण के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है: उनमें से प्रत्येक की संभावना शून्य है। हालाँकि, एक अर्थ में, एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच "अधिक और कम संभावित" होते हैं। उदाहरण के लिए, शायद ही किसी को संदेह होगा कि एक यादृच्छिक चर का मान - एक यादृच्छिक रूप से सामने आए व्यक्ति की ऊंचाई - 170 सेमी - 220 सेमी से अधिक होने की संभावना है, हालांकि व्यवहार में दोनों मान हो सकते हैं।

सतत यादृच्छिक चर और संभाव्यता घनत्व का वितरण कार्य

एक वितरण कानून के रूप में जो केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए समझ में आता है, वितरण घनत्व या संभाव्यता घनत्व की अवधारणा पेश की गई है। आइए एक सतत यादृच्छिक चर और एक असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण फ़ंक्शन के अर्थ की तुलना करके इस तक पहुंचें।

तो, एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य (असतत और निरंतर दोनों) या अभिन्न कार्यएक फ़ंक्शन कहा जाता है जो एक यादृच्छिक चर के मान की संभावना निर्धारित करता है एक्ससीमा मान से कम या उसके बराबर एक्स.

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए उसके मानों के बिंदुओं पर एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्समैं,...संभावनाओं का समूह केंद्रित है पी1 , पी 2 , ..., पीमैं,..., और सभी द्रव्यमानों का योग 1 के बराबर है। आइए हम इस व्याख्या को एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में स्थानांतरित करें। आइए कल्पना करें कि 1 के बराबर द्रव्यमान अलग-अलग बिंदुओं पर केंद्रित नहीं है, बल्कि एब्सिस्सा अक्ष के साथ लगातार "स्मियर" होता है ओहकुछ असमान घनत्व के साथ. किसी यादृच्छिक चर के किसी क्षेत्र में गिरने की प्रायिकता Δ एक्सप्रति खंड द्रव्यमान के रूप में व्याख्या की जाएगी, और उस खंड पर औसत घनत्व द्रव्यमान और लंबाई के अनुपात के रूप में समझा जाएगा। हमने संभाव्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा पेश की है: वितरण घनत्व।

संभावित गहराई एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का इसके वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:

.

घनत्व फ़ंक्शन को जानकर, आप संभावना पा सकते हैं कि निरंतर यादृच्छिक चर का मान बंद अंतराल से संबंधित है [ ए; बी]:

संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से कोई भी मान लेगा [ ए; बी], से लेकर इसकी संभाव्यता घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है एपहले बी:

.

इस मामले में, फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण, जिसका उपयोग घनत्व फ़ंक्शन ज्ञात होने पर किया जा सकता है एफ(एक्स) :

.

एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व ग्राफ को इसका वितरण वक्र कहा जाता है (नीचे चित्र)।

एक आकृति का क्षेत्रफल (आकृति में छायांकित) एक वक्र से घिरा है, बिंदुओं से खींची गई सीधी रेखाएँ एऔर बी x-अक्ष और अक्ष के लंबवत ओह, ग्राफ़िक रूप से संभावना को प्रदर्शित करता है कि एक सतत यादृच्छिक चर का मान एक्सके दायरे में है एपहले बी.

एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के गुण

1. संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल (और चित्र का क्षेत्र जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित है) से कोई मान लेगा एफ(एक्स) और अक्ष ओह) एक के बराबर है:

2. संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन नकारात्मक मान नहीं ले सकता:

और वितरण के अस्तित्व के बाहर इसका मूल्य शून्य है

वितरण घनत्व एफ(एक्स), साथ ही वितरण कार्य भी एफ(एक्स), वितरण कानून के रूपों में से एक है, लेकिन वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, यह सार्वभौमिक नहीं है: वितरण घनत्व केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है।

आइए व्यवहार में सतत यादृच्छिक चर के वितरण के दो सबसे महत्वपूर्ण प्रकारों का उल्लेख करें।

यदि वितरण घनत्व कार्य करता है एफ(एक्स) कुछ परिमित अंतराल में निरंतर यादृच्छिक चर [ ए; बी] एक स्थिर मान लेता है सी, और अंतराल के बाहर शून्य के बराबर मान लेता है, तो यह वितरण को एकसमान कहा जाता है .

यदि वितरण घनत्व फ़ंक्शन का ग्राफ़ केंद्र के सापेक्ष सममित है, तो औसत मान केंद्र के पास केंद्रित होते हैं, और केंद्र से दूर जाने पर, औसत से अधिक भिन्न एकत्र किए जाते हैं (फ़ंक्शन ग्राफ़ के एक अनुभाग जैसा दिखता है) एक घंटी), फिर यह वितरण को सामान्य कहा जाता है .

उदाहरण 1।एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन ज्ञात है:

फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व। दोनों कार्यों के ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक के अंतराल में कोई मान लेगा।

समाधान। हम संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) - परवलय:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) - सीधा:

आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:

उदाहरण 2.एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन इस प्रकार दी गई है:

गुणांक की गणना करें सी. फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण। दोनों कार्यों के ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई मान लेगा।

समाधान। गुणक सीहम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की संपत्ति 1 का उपयोग करके पाते हैं:

इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:

एकीकृत करके, हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं एफ(एक्स) संभाव्यता वितरण। अगर एक्स < 0 , то एफ(एक्स) = 0 . यदि 0< एक्स < 10 , то

.

एक्स> 10, फिर एफ(एक्स) = 1 .

इस प्रकार, संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का पूरा रिकॉर्ड है:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) :

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) :

आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:

उदाहरण 3.एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व एक्ससमानता द्वारा दिया गया है, और। गुणांक ज्ञात कीजिए ए, संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल ]0, 5[, एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन से कोई भी मान लेगा एक्स.

समाधान। शर्त के अनुसार हम समानता पर पहुंचते हैं

इसलिए, , कहाँ से . इसलिए,

.

अब हम एक सतत यादृच्छिक चर की प्रायिकता ज्ञात करते हैं एक्सअंतराल ]0, 5[ से कोई भी मान लेगा:

अब हमें इस यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन मिलता है:

उदाहरण 4.एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व ज्ञात कीजिए एक्स, जो केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है, और इसका वितरण कार्य करता है .

अभ्यास 1. एक सतत यादृच्छिक चर X के वितरण घनत्व का रूप है:
खोजो:
ए) पैरामीटर ए;
बी) वितरण समारोह एफ(एक्स) ;
ग) एक यादृच्छिक चर X के अंतराल में गिरने की संभावना;
डी) गणितीय अपेक्षा एमएक्स और विचरण डीएक्स।
फ़ंक्शन f(x) और F(x) का एक ग्राफ़ बनाएं।

कार्य 2. अभिन्न फलन द्वारा दिए गए यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

कार्य 3. वितरण फलन को देखते हुए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

कार्य 4. कुछ यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व इस प्रकार दिया गया है: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
गुणांक A, वितरण फलन F(x), गणितीय अपेक्षा और विचरण, साथ ही संभावना ज्ञात करें कि यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेगा। ग्राफ़ f(x) और F(x) बनाएं।

काम. कुछ सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन इस प्रकार दिया गया है:

पैरामीटर ए और बी निर्धारित करें, संभाव्यता घनत्व एफ (एक्स), गणितीय अपेक्षा और विचरण के लिए एक अभिव्यक्ति ढूंढें, साथ ही संभावना है कि यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेगा। f(x) और F(x) का ग्राफ बनाएं।

आइए वितरण घनत्व फ़ंक्शन को वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में ढूंढें।
F′=f(x)=a
यह जानते हुए कि हमें पैरामीटर a मिलेगा:

या 3a=1, जहां से a = 1/3
हम निम्नलिखित गुणों से पैरामीटर b पाते हैं:
एफ(4) = ए*4 + बी = 1
1/3*4 + बी = 1 जहां से बी = -1/3
इसलिए, वितरण फ़ंक्शन का रूप है: F(x) = (x-1)/3

अपेक्षित मूल्य.


फैलाव.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेगा
पी(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

उदाहरण क्रमांक 1. एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व f(x) दिया गया है। आवश्यक:

1. गुणांक ए निर्धारित करें.
2. वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।
3. योजनाबद्ध रूप से F(x) और f(x) के ग्राफ़ बनाएं।
4. X की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
5. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X अंतराल (2;3) से एक मान लेगा।

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
समाधान:

यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

आइए शर्त से पैरामीटर A खोजें:



या
14/3*ए-1 = 0
कहाँ,
ए = 3/14

वितरण फ़ंक्शन सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है।

यादृच्छिक चर

उदाहरण 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (2.5; 3.6) में निहित मान लेगा।

समाधान: एक्सअंतराल में (2.5; 3.6) दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है:

उदाहरण 2.2.किस पैरामीटर मान पर एऔर मेंसमारोह एफ(एक्स) = ए + बीई - एक्सयादृच्छिक चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए एक वितरण फ़ंक्शन हो सकता है एक्स.

समाधान:चूँकि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्सअंतराल से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के लिए वितरण फ़ंक्शन होने के लिए एक्स, संपत्ति संतुष्ट होनी चाहिए:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.3.यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, चार स्वतंत्र परीक्षणों के परिणामस्वरूप, मान एक्सठीक 3 बार अंतराल (0.25;0.75) से संबंधित मान लिया जाएगा।

समाधान:किसी मान तक पहुंचने की संभावना एक्सअंतराल (0.25;0.75) में हम सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

उदाहरण 2.4.एक शॉट में गेंद के टोकरी से टकराने की प्रायिकता 0.3 है। तीन थ्रो के साथ हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- तीन शॉट्स के साथ बास्केट में हिट की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3. संभावनाएँ कि एक्स

एक्स:

उदाहरण 2.5.दो निशानेबाज एक लक्ष्य पर एक गोली चलाते हैं। पहले निशानेबाज के इसे मारने की संभावना 0.5 है, दूसरे की - 0.4। किसी लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:आइए असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम खोजें एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या. बता दें कि घटना में लक्ष्य पर निशाना साधने वाला पहला निशानेबाज होना चाहिए, और लक्ष्य पर निशाना साधने वाला दूसरा निशानेबाज होना चाहिए, और क्रमशः उनकी चूक होनी चाहिए।

आइए एसवी के संभाव्यता वितरण का नियम बनाएं एक्स:

उदाहरण 2.6.तीन तत्वों का परीक्षण किया जाता है, जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन के समय की अवधि (घंटों में) का वितरण घनत्व कार्य होता है: पहले के लिए: एफ 1 (टी) =1-इ- 0,1 टी, दूसरे के लिए: एफ 2 (टी) = 1-इ- 0,2 टी, तीसरे के लिए: एफ 3 (टी) =1-इ- 0,3 टी. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में: केवल एक तत्व विफल हो जाएगा; केवल दो तत्व विफल होंगे; सभी तीन तत्व विफल हो जाएंगे.

समाधान:आइए संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें:

संभावना यह है कि स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से पहले में किसी घटना के घटित होने की संभावना होती है एके बराबर, दूसरे में, आदि, घटना एकी शक्तियों में जनरेटिंग फ़ंक्शन के विस्तार में गुणांक के बराबर, बिल्कुल एक बार दिखाई देता है। आइए 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की क्रमशः विफलता और गैर-विफलता की संभावनाएं खोजें:

आइए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन बनाएं:

पर गुणांक उस घटना की प्रायिकता के बराबर है एठीक तीन बार दिखाई देगा, यानी तीनों तत्वों की विफलता की संभावना; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि वास्तव में दो तत्व विफल हो जाएंगे; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।

उदाहरण 2.7.संभाव्यता घनत्व को देखते हुए एफ(एक्स)अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स:

वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

.

इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:

उदाहरण 2.8.डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- एक प्रयोग में विफल होने वाले तत्वों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3. संभावनाएँ कि एक्सइन मानों को लेते हुए, हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

इस प्रकार, हमें यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है एक्स:

उदाहरण 2.9. 6 भागों के एक बैच में 4 मानक होते हैं। 3 भागों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित भागों में से मानक भागों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 1, 2, 3 और इसमें हाइपरजियोमेट्रिक वितरण होता है। संभावनाएँ कि एक्स

कहाँ -- बैच में भागों की संख्या;

-- एक बैच में मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या।

.

.

.

उदाहरण 2.10.यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व होता है

और ज्ञात नहीं हैं, लेकिन , ए और . लगता है और।

समाधान:इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर एक त्रिकोणीय वितरण (सिम्पसन वितरण) है [ ए, बी]. संख्यात्मक विशेषताएँ एक्स:

इस तरह, . इस प्रणाली को हल करने पर, हमें मूल्यों के दो जोड़े प्राप्त होते हैं:। चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, अंततः हमारे पास है: .

उत्तर: .

उदाहरण 2.11.औसतन, 10% अनुबंधों के तहत, बीमा कंपनी किसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। चार यादृच्छिक रूप से चयनित अनुबंधों के बीच ऐसे अनुबंधों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और फैलाव की गणना करें।

समाधान:गणितीय अपेक्षा और विचरण को सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

.

एसवी के संभावित मान (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या (चार में से): 0, 1, 2, 3, 4।

हम अनुबंधों की विभिन्न संख्या (चार में से) की संभावनाओं की गणना करने के लिए बर्नौली के सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसके लिए बीमा राशि का भुगतान किया गया था:

.

आईसी वितरण श्रृंखला (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या) का रूप है:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.12.पांच गुलाबों में से दो सफेद हैं। एक साथ लिए गए दो गुलाबों के बीच सफेद गुलाबों की संख्या व्यक्त करने वाले एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:दो गुलाबों के चयन में, या तो सफेद गुलाब नहीं हो सकता है, या एक या दो सफेद गुलाब हो सकते हैं। इसलिए, यादृच्छिक चर एक्समान ले सकते हैं: 0, 1, 2. संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

कहाँ -- गुलाबों की संख्या;

-- सफेद गुलाब की संख्या;

– एक ही समय में लिए गए गुलाबों की संख्या;

-- लिए गए फूलों में सफ़ेद गुलाबों की संख्या।

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.13. 15 एकत्रित इकाइयों में से 6 को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता होती है। कुल संख्या में से यादृच्छिक रूप से चयनित पांच इकाइयों के बीच अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पांचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5 और एक हाइपरज्यामितीय वितरण है। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

कहाँ -- एकत्रित इकाइयों की संख्या;

-- उन इकाइयों की संख्या जिन्हें अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता होती है;

– चयनित इकाइयों की संख्या;

-- चयनित इकाइयों के बीच अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या।

.

.

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.14.मरम्मत के लिए प्राप्त 10 घड़ियों में से 7 को तंत्र की सामान्य सफाई की आवश्यकता है। घड़ियों को मरम्मत के प्रकार के अनुसार क्रमबद्ध नहीं किया जाता है। मास्टर, ऐसी घड़ियाँ ढूंढना चाहता है जिन्हें सफाई की आवश्यकता है, एक-एक करके उनकी जाँच करता है और ऐसी घड़ियाँ मिलने पर, आगे देखना बंद कर देता है। देखे गए घंटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात करें।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पाँचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 1, 2, 3, 4। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

आइए अब मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.15.ग्राहक उस फ़ोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया है जिसकी उसे आवश्यकता है, लेकिन उसे याद है कि यह अजीब है। यदि वह अंतिम अंक को यादृच्छिक रूप से डायल करता है और बाद में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, तो वांछित नंबर तक पहुंचने से पहले वह कितनी बार फोन नंबर डायल करता है, इसकी गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

समाधान:यादृच्छिक चर निम्नलिखित मान ले सकता है:। चूंकि ग्राहक भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, इसलिए इन मूल्यों की संभावनाएं बराबर हैं।

आइए एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला संकलित करें:

	0,2

आइए डायलिंग प्रयासों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.16.श्रृंखला में प्रत्येक डिवाइस के लिए विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान विफलता की संभावना बराबर है पी. यदि परीक्षण किया गया तो विफल होने वाले उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एनउपकरण।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर X विफल उपकरणों की संख्या है एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में विफलता की संभावना बराबर है पी,द्विपद नियम के अनुसार वितरित। द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा एक परीक्षण में घटित होने वाली घटना की संभावना से गुणा किए गए परीक्षणों की संख्या के बराबर है:

उदाहरण 2.17.असतत यादृच्छिक चर एक्स 3 संभावित मान लेता है: संभाव्यता के साथ; संभाव्यता के साथ और संभाव्यता के साथ. खोजें और, यह जानते हुए कि एम( एक्स) = 8.

समाधान:हम गणितीय अपेक्षा की परिभाषा और असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का उपयोग करते हैं:

हम देखतें है: ।

उदाहरण 2.18.तकनीकी नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 उत्पाद होते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में ठीक 4 मानक उत्पाद हैं, यदि 50 बैच निरीक्षण के अधीन हैं।

समाधान:इस मामले में, किए गए सभी प्रयोग स्वतंत्र हैं, और प्रत्येक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद होने की संभावनाएं समान हैं, इसलिए, गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

,

पार्टियों की संख्या कहाँ है;

संभावना है कि एक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद हों।

हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता ज्ञात करते हैं:

उत्तर: .

उदाहरण 2.19.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स– घटना के घटित होने की संख्या एदो स्वतंत्र परीक्षणों में, यदि इन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संभावनाएँ समान हों और यह ज्ञात हो एम(एक्स) = 0,9.

समाधान:समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

1) एसवी के संभावित मान एक्स: 0, 1, 2. बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके, हम इन घटनाओं की संभावनाएं निर्धारित करते हैं:

, , .

फिर वितरण कानून एक्सइसका रूप है:

गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, हम संभाव्यता निर्धारित करते हैं:

आइए एसवी का फैलाव ज्ञात करें एक्स:

.

2) आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.20.सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 20 और 5 के बराबर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (15; 25) में निहित मान लेगा।

समाधान:एक सामान्य यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्ससे अनुभाग पर लाप्लास फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 2.21.दिया गया फ़ंक्शन:

किस पैरामीटर मान पर सीयह फ़ंक्शन कुछ सतत यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व है एक्स? एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स.

समाधान:किसी फ़ंक्शन के लिए कुछ यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व होने के लिए, यह गैर-नकारात्मक होना चाहिए, और इसे संपत्ति को संतुष्ट करना होगा:

.

इस तरह:

आइए सूत्र का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

.

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें:

टी बराबर है पी. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण का पता लगाना आवश्यक है।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटना ए के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

.

उदाहरण 2.25.लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र गोलियाँ चलाई गईं। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.25 है। तीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या का मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान:चूंकि तीन स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए (एक हिट) की घटना की संभावना समान है, हम मान लेंगे कि असतत यादृच्छिक चर एक्स - लक्ष्य पर हिट की संख्या - के अनुसार वितरित की जाती है द्विपद नियम.

द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 2.26.किसी बीमा कंपनी में 10 मिनट में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या तीन है। अगले 5 मिनट में कम से कम एक ग्राहक के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5 मिनट में पहुंचने वाले ग्राहकों की औसत संख्या: . .

उदाहरण 2.29.प्रोसेसर कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए प्रतीक्षा समय 20 सेकंड के औसत मूल्य के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला (यादृच्छिक) अनुरोध प्रोसेसर पर 35 सेकंड से अधिक समय तक प्रतीक्षा करेगा।

समाधान:इस उदाहरण में, गणितीय अपेक्षा , और विफलता दर के बराबर है .

फिर वांछित संभावना:

उदाहरण 2.30. 15 छात्रों का एक समूह 10 सीटों वाली 20 पंक्तियों वाले एक हॉल में बैठक करता है। प्रत्येक छात्र यादृच्छिक रूप से हॉल में एक स्थान लेता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पंक्ति के सातवें स्थान पर तीन से अधिक व्यक्ति नहीं होंगे?

समाधान:

उदाहरण 2.31.

फिर, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:

कहाँ -- बैच में भागों की संख्या;

-- बैच में गैर-मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित भागों में गैर-मानक भागों की संख्या।

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा।

गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर को कहा जाता है:

मूल्यों के अनंत सेट के मामले में, (4.4) के दाईं ओर एक श्रृंखला है, और हम केवल एक्स के उन मूल्यों पर विचार करेंगे जिनके लिए यह श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है।

एम(एक्स)एक यादृच्छिक चर के औसत अपेक्षित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1) एम(सी)=सी, जहां सी=स्थिरांक

2) एम (सीएक्स)=सीएम (एक्स) (4.5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), किसी भी X और Y के लिए।

4) M (XY)=M (X)M(Y), यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

किसी यादृच्छिक चर के मानों के उसके माध्य मान के चारों ओर प्रकीर्णन की डिग्री का अनुमान लगाना एम(एक्स)= ए अवधारणाओं का परिचय दिया जाता है प्रसरणडी(एक्स)और माध्य वर्ग (मानक) विचलन। झगड़ावर्ग अंतर की गणितीय अपेक्षा कहलाती है (एक्स-),वे। :

D(X)=M(X- ) 2 = p i ,

कहाँ =एम(एक्स);विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात .

विचरण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(4.6)

फैलाव और मानक विचलन के गुण:

1) डी(सी)=0, जहां सी=स्थिरांक

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) डी(एक्स+वाई) =डी(एक्स)+डी(वाई),

यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

मात्राओं का आयाम और यादृच्छिक चर X के आयाम के साथ मेल खाता है, और D(X) का आयाम यादृच्छिक चर X के आयाम के वर्ग के बराबर है।

4.3. यादृच्छिक चर पर गणितीय संक्रियाएँ।

मान लें कि यादृच्छिक चर X संभावनाओं के साथ मान लेता है और यादृच्छिक चर Y संभावनाओं के साथ मान लेता है। यादृच्छिक चर चर X, यादृच्छिक चर X के K मानों द्वारा उत्पादों के बराबर मान लेता है। नतीजतन, इसके वितरण कानून का रूप तालिका 4.2 है:

तालिका 4.2

			...
			...

वर्गयादृच्छिक चर एक्स, यानी , एक नया यादृच्छिक चर है, जो यादृच्छिक चर X के समान संभावनाओं के साथ, इसके मानों के वर्गों के बराबर मान लेता है।

जोड़यादृच्छिक चर

(4.8)

यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो:

यादृच्छिक चर X और Y का अंतर और उत्पाद समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

अंतरयादृच्छिक चर X और Y - यह एक नया यादृच्छिक चर है जो प्रपत्र के सभी मान लेता है, और काम- संभावनाओं वाले फॉर्म के सभी मान सूत्र (4.8) द्वारा निर्धारित होते हैं, और यदि यादृच्छिक चर एक्स और वाई स्वतंत्र हैं, तो सूत्र (4.9) द्वारा।

4.4. बर्नौली और पॉइसन वितरण.

निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले n समान दोहराए गए परीक्षणों के अनुक्रम पर विचार करें:

1. प्रत्येक परीक्षण के दो परिणाम होते हैं, जिन्हें सफलता और विफलता कहा जाता है।

ये दोनों परिणाम परस्पर असंगत एवं विपरीत घटनाएँ हैं।

2. सफलता की संभावना, जिसे पी दर्शाया गया है, परीक्षण से परीक्षण तक स्थिर रहती है। विफलता की संभावना को q द्वारा दर्शाया जाता है।

3. सभी n परीक्षण स्वतंत्र हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी बार-बार किए गए परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है।

n स्वतंत्र दोहराए गए परीक्षणों में, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना बराबर है, घटना के ठीक m बार (किसी भी क्रम में) घटित होने की संभावना बराबर है

(4.10)

व्यंजक (4.10) को बर्नौली का सूत्र कहा जाता है।

घटना घटित होने की सम्भावनाएँ:

ए) एम गुना से कम,

बी) एम से अधिक बार,

ग) कम से कम मी बार,

डी) एम बार से अधिक नहीं - सूत्रों के अनुसार पाए जाते हैं:

द्विपद एक असतत यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम है - n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में घटना घटित होने की संभावना p के बराबर है; संभावित मानों X = 0,1,2,..., m,...,n की संभावनाओं की गणना बर्नौली सूत्र (तालिका 4.3) का उपयोग करके की जाती है।

तालिका 4.3

सफलताओं की संख्या X=m				...	एम	...	एन
संभाव्यता पी				...		...

चूँकि सूत्र का दाहिना भाग (4.10) द्विपद विस्तार के सामान्य पद को दर्शाता है, इस वितरण नियम को कहा जाता है द्विपद. द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X के लिए, हमारे पास है।