तिरछे विस्थापन के साथ विकृति 4 अक्षर। ठोसों के विरूपण के प्रकार

विरूपण जैविक ऊतक यांत्रिक हड्डी पोत

विरूपण किसी पिंड के बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन है, जो शरीर पर बाहरी बलों की कार्रवाई के कारण उसके आकार और आकार में परिवर्तन के साथ होता है।

विकृति के प्रकार:

1. लोचदार - बाहरी ताकतों की समाप्ति के बाद पूरी तरह से गायब हो जाता है।

2. प्लास्टिक (अवशिष्ट) - बाहरी ताकतों की समाप्ति के बाद बचा रहता है।

3. इलास्टिक-प्लास्टिक - विकृति का अधूरा गायब होना।

4. विस्को-लोचदार - चिपचिपा प्रवाह और लोच का एक संयोजन।

बदले में, लोचदार विकृतियाँ निम्न प्रकार की होती हैं:

ए) तन्य या संपीड़ित विकृति शरीर की धुरी की दिशा में कार्य करने वाली ताकतों के प्रभाव में होती है:

विकृति की मुख्य विशेषताएँ

किसी पिंड में अपनी धुरी पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत तन्य (संपीड़ित) विरूपण होता है।

जहाँ l 0 शरीर का प्रारंभिक रैखिक आकार है।

डीएल - शरीर को लम्बा करना

विरूपण ई (सापेक्ष बढ़ाव) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ई एक आयामहीन मात्रा है.

परमाणुओं या आयनों को उनकी मूल स्थिति में लौटाने की प्रवृत्ति वाले बलों का एक माप यांत्रिक तनाव y है। तन्य विरूपण के दौरान, तनाव y को शरीर के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र में बाहरी बल के अनुपात से निर्धारित किया जा सकता है:

लोचदार विरूपण हुक के नियम का पालन करता है:

जहाँ E सामान्य लोच का मापांक है (यंग का मापांक यांत्रिक है

किसी सामग्री के बढ़ने पर उसमें होने वाला तनाव

मूल शरीर की लंबाई से दोगुना)।

यदि जीवित ऊतकों में थोड़ा विरूपण होता है, तो यंग के मापांक को नहीं, बल्कि कठोरता गुणांक को निर्धारित करने की सलाह दी जाती है। कठोरता भौतिक वातावरण की विकृतियों के निर्माण का विरोध करने की क्षमता को दर्शाती है।

आइए प्रयोगात्मक तन्यता वक्र की कल्पना करें:

OA एक लोचदार विरूपण है जो हुक के नियम का पालन करता है। बिंदु B लोचदार सीमा है अर्थात अधिकतम तनाव जिस पर विकृति अभी तक नहीं हुई है, तनाव दूर होने के बाद शरीर में शेष रहता है। वीडी - तरलता (तनाव, जिससे तनाव बढ़ने के बिना विकृति बढ़ती है)।

पॉलिमर में निहित लोच को लोच कहा जाता है।

अपनी धुरी पर संपीड़न या तनाव के अधीन कोई भी नमूना लंबवत दिशा में भी विकृत हो जाता है।

किसी नमूने के अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के पूर्ण मान को अनुप्रस्थ विकृति अनुपात या पॉइसन अनुपात कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है:

(आयाम रहित मान)

असंपीड्य सामग्रियों के लिए (चिपचिपा पेस्ट; रबर) m=0.5; अधिकांश धातुओं के लिए मी?

तनाव और संपीड़न के लिए पॉइसन के अनुपात का मान समान है। इस प्रकार, पॉइसन अनुपात का निर्धारण करके, कोई सामग्री की संपीड़ितता का अनुमान लगा सकता है।

जैविक ऊतकों का रियोलॉजिकल मॉडलिंग

रियोलॉजी पदार्थ की विकृति और तरलता का विज्ञान है।

पिंडों के लचीले और चिपचिपे गुणों को आसानी से मॉडल किया जा सकता है।

आइए हम कुछ रियोलॉजिकल मॉडल प्रस्तुत करें।

a) एक लोचदार शरीर का मॉडल एक लोचदार स्प्रिंग है।

वसंत ऋतु में उत्पन्न होने वाला तनाव हुक के नियम द्वारा निर्धारित होता है:

यदि किसी पदार्थ के लोचदार गुण सभी दिशाओं में समान हैं, तो इसे आइसोट्रोपिक कहा जाता है; यदि ये गुण समान नहीं हैं, तो इसे अनिसोट्रोपिक कहा जाता है।

बी) एक चिपचिपे तरल का मॉडल एक सिलेंडर में स्थित एक तरल होता है जिसमें एक पिस्टन होता है जो इसकी दीवारों से शिथिल रूप से जुड़ा होता है या: - यह छेद वाला एक पिस्टन होता है जो तरल के साथ एक सिलेंडर में चलता है।

यह मॉडल परिणामी तनाव y और तनाव दर के बीच सीधे आनुपातिक संबंध की विशेषता है

जहाँ z गतिशील श्यानता का गुणांक है।

ग) मैक्सवेल का रियोलॉजिकल मॉडल श्रृंखला में जुड़े लोचदार और चिपचिपे तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है।

व्यक्तिगत तत्वों का संचालन सामान्य तत्व की लोड गति पर निर्भर करता है।

लोचदार विरूपण के लिए, हुक का नियम संतुष्ट है:

लोचदार विरूपण की दर होगी:

चिपचिपा विरूपण के लिए:

तो श्यान विरूपण की दर होगी:

विस्कोइलास्टिक विरूपण की कुल दर लोचदार और चिपचिपा विरूपण की दरों के योग के बराबर है।

यह मैक्सवेल मॉडल का अंतर समीकरण है।

जैविक ऊतक के रेंगने के समीकरण की व्युत्पत्ति। यदि मॉडल पर बल लगाया जाता है, तो स्प्रिंग तुरंत लंबा हो जाता है और पिस्टन एक स्थिर गति से चलता है। इस प्रकार, इस मॉडल में रेंगने की घटना का एहसास होता है। यदि F=const, तो परिणामी वोल्टेज y=const, अर्थात्। तब समीकरण (3) से हम प्राप्त करते हैं।

परिभाषा

विरूपणभौतिकी में वे किसी पिंड के आकार, आयतन और अक्सर आकार में परिवर्तन को कहते हैं यदि शरीर पर कोई बाहरी भार लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए, खींचने, संपीड़न के दौरान और/या जब इसका तापमान बदलता है।

विकृति तब होती है जब शरीर के विभिन्न अंग अलग-अलग गति करते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि रबर की रस्सी को सिरों से खींचा जाता है, तो इसके विभिन्न हिस्से एक-दूसरे के सापेक्ष गति करेंगे, और रस्सी विकृत (खींची, लंबी) हो जाएगी। विरूपण के दौरान, पिंडों के परमाणुओं या अणुओं के बीच की दूरी बदल जाती है, इसलिए लोचदार बल दिखाई देते हैं।

ठोस पिंड की विकृति के प्रकार

विकृतियों को लोचदार और बेलोचदार में विभाजित किया जा सकता है। लोच एक विकृति है जो विकृत प्रभाव समाप्त होने पर गायब हो जाती है। इस प्रकार की विकृति के साथ, कण क्रिस्टल जाली में नई संतुलन स्थिति से पुरानी स्थिति में लौट आते हैं।

किसी ठोस वस्तु की बेलोचदार विकृतियों को प्लास्टिक कहा जाता है। प्लास्टिक विरूपण के दौरान, क्रिस्टल जाली का अपरिवर्तनीय पुनर्गठन होता है।

इसके अलावा, निम्नलिखित प्रकार के विरूपण प्रतिष्ठित हैं: तनाव (संपीड़न); कतरनी, मरोड़.

एकतरफा स्ट्रेचिंग में तन्य बल के संपर्क में आने पर शरीर की लंबाई बढ़ाना शामिल है। इस प्रकार की विकृति का माप सापेक्ष बढ़ाव () का मान है।

सर्वांगीण तन्यता (संपीड़न) विकृति शरीर के आयतन में परिवर्तन (वृद्धि या कमी) के रूप में प्रकट होती है। इस मामले में, शरीर का आकार नहीं बदलता है। तन्य (संपीड़न) बल शरीर की पूरी सतह पर समान रूप से वितरित होते हैं। इस प्रकार की विकृति की एक विशेषता शरीर के आयतन में सापेक्ष परिवर्तन है ()।

कतरनी एक प्रकार की विकृति है जिसमें किसी ठोस की सपाट परतें एक दूसरे के समानांतर विस्थापित हो जाती हैं। इस प्रकार की विकृति से परतें अपना आकार एवं साइज़ नहीं बदलतीं। इस विकृति का माप अपरूपण कोण है।

मरोड़ विरूपण में नमूने की धुरी के लंबवत, एक दूसरे के समानांतर वर्गों का सापेक्ष घुमाव शामिल होता है।

लोच के सिद्धांत ने साबित कर दिया है कि सभी प्रकार की लोचदार विकृति को एक समय में होने वाली तन्य या संपीड़ित विकृतियों में कम किया जा सकता है।

हुक का नियम

आइए हम लंबाई l और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र S वाली एक सजातीय छड़ पर विचार करें। F परिमाण के बराबर दो बल, छड़ की धुरी के साथ निर्देशित, लेकिन विपरीत दिशाओं में, छड़ के सिरों पर लगाए जाते हैं। इस स्थिति में, छड़ की लंबाई में परिवर्तन हुआ।

अंग्रेजी वैज्ञानिक आर. हुक ने अनुभवजन्य रूप से स्थापित किया कि छोटी विकृतियों के लिए सापेक्ष बढ़ाव () तनाव के सीधे आनुपातिक है ():

जहां ई यंग का मापांक है; - वह बल जो कंडक्टर के एक इकाई क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र पर कार्य करता है। अन्यथा, हुक का नियम इस प्रकार लिखा गया है:

जहाँ k लोच गुणांक है। एक छड़ में उत्पन्न होने वाले लोचदार बल के लिए हुक के नियम का रूप इस प्रकार है:

और के बीच का रैखिक संबंध छोटे भार पर संकीर्ण सीमाओं के भीतर संतुष्ट होता है। जैसे-जैसे भार बढ़ता है, निर्भरता अरेखीय हो जाती है, और फिर लोचदार विरूपण प्लास्टिक विरूपण में बदल जाता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

विकृति- बाहरी या आंतरिक बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप शरीर के आकार, आकार और विन्यास में परिवर्तन (लैटिन डिफॉर्मेटियो से - विरूपण)।

तरल और गैसीय पदार्थों के विपरीत, ठोस लंबे समय तक अपना आकार और आयतन अपरिवर्तित बनाए रखने में सक्षम होते हैं। यह सुप्रसिद्ध कथन केवल "पहले अनुमान तक" सत्य है और इसमें स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। सबसे पहले, आम तौर पर ठोस माने जाने वाले कई पिंड समय के साथ बहुत धीरे-धीरे "प्रवाह" करते हैं: एक ज्ञात मामला है जब एक ग्रेनाइट स्लैब (दीवार का हिस्सा) कई सौ वर्षों में, मिट्टी के अवसादन के कारण, एक नई सूक्ष्म राहत के बाद, उल्लेखनीय रूप से मुड़ गया था। और दरारों और किंकों के बिना (चित्र 1)। यह गणना की गई कि गति की विशिष्ट दर 0.8 मिमी प्रति वर्ष थी। दूसरा स्पष्टीकरण यह है कि यदि सभी ठोस पदार्थों पर बाहरी भार पड़ता है तो उनका आकार और आकार बदल जाता है। आकृति और आकार में होने वाले इन परिवर्तनों को ठोस वस्तु की विकृति कहा जाता है, और विकृतियाँ बड़ी हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, रबर की रस्सी खींचते समय या स्टील के शासक को मोड़ते समय) या छोटी, आंखों के लिए अदृश्य (उदाहरण के लिए, ग्रेनाइट की विकृति) स्मारक स्थापित करते समय कुरसी)।

आंतरिक संरचना के दृष्टिकोण से, कई ठोस पॉलीक्रिस्टलाइन होते हैं, अर्थात। इसमें छोटे-छोटे दाने होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक क्रिस्टल होता है जिसमें एक निश्चित प्रकार की जाली होती है। ग्लासी सामग्री और कई प्लास्टिक में क्रिस्टलीय संरचना नहीं होती है, लेकिन उनके अणु एक-दूसरे से बहुत निकटता से जुड़े होते हैं और यह शरीर के आकार और आकार के संरक्षण को सुनिश्चित करता है।

यदि किसी ठोस पिंड पर बाहरी बल कार्य करते हैं (उदाहरण के लिए, एक छड़ को दो बलों द्वारा खींचा जाता है, चित्र 2), तो पदार्थ के परमाणुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है, और उपकरणों की सहायता से वृद्धि का पता लगाना संभव है छड़ की लंबाई. यदि भार हटा दिया जाता है, तो छड़ अपनी पिछली लंबाई बहाल कर लेती है। ऐसी विकृतियों को लोचदार कहा जाता है; वे प्रतिशत के अंश से अधिक नहीं होती हैं। बढ़ती तन्यता शक्तियों के साथ, प्रयोग के दो परिणाम हो सकते हैं: कांच, कंक्रीट, संगमरमर, आदि से बने नमूने। लोचदार विकृतियों की उपस्थिति में नष्ट हो जाते हैं (ऐसे पिंडों को भंगुर कहा जाता है)। स्टील, तांबा, एल्युमीनियम से बने नमूनों में, लोचदार विकृतियों के साथ-साथ प्लास्टिक विकृतियाँ भी दिखाई देंगी, जो दूसरों के सापेक्ष सामग्री के कुछ कणों के फिसलने (कतरनी) से जुड़ी होती हैं। प्लास्टिक विरूपण की तीव्रता आमतौर पर कई प्रतिशत होती है। विकृत ठोस पदार्थों के बीच एक विशेष स्थान पर इलास्टोमर्स का कब्जा है - रबर जैसे पदार्थ जो भारी विकृति की अनुमति देते हैं: एक रबर की पट्टी को बिना टूटे या क्षति के 10 बार खींचा जा सकता है, और उतारने के बाद मूल आकार लगभग तुरंत बहाल हो जाता है। इस प्रकार के विरूपण को अत्यधिक लोचदार कहा जाता है और यह इस तथ्य के कारण होता है कि सामग्री में बहुत लंबे बहुलक अणु होते हैं, जो सर्पिल ("सर्पिल सीढ़ियों") या अकॉर्डियन के रूप में कुंडलित होते हैं, पड़ोसी अणु एक क्रमबद्ध प्रणाली बनाते हैं। लंबे, बार-बार मुड़े हुए अणु परमाणु श्रृंखलाओं के लचीलेपन के कारण सीधे होने में सक्षम होते हैं; इस मामले में, परमाणुओं के बीच की दूरी नहीं बदलती है, और छोटे बल अणुओं के आंशिक रूप से सीधे होने के कारण बड़ी विकृति उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त हैं।

तापमान, आर्द्रता, रासायनिक प्रतिक्रियाओं और न्यूट्रॉन विकिरण में परिवर्तन के प्रभाव में, उन पर लागू बलों के प्रभाव में शरीर विकृत हो जाते हैं। बलों के प्रभाव में विरूपण को समझने का सबसे आसान तरीका - उन्हें अक्सर भार कहा जाता है: एक बीम, समर्थन पर सिरों पर तय किया जाता है और बीच में लोड किया जाता है, झुकता है - झुकने वाला विरूपण; एक छेद ड्रिल करते समय, ड्रिल मरोड़ वाली विकृति का अनुभव करती है; जब गेंद को हवा से फुलाया जाता है, तो यह अपना गोलाकार आकार बरकरार रखती है लेकिन आकार में बढ़ जाती है। जब ज्वार की लहर इसकी सतह परत के ऊपर से गुजरती है तो ग्लोब विकृत हो जाता है। ये सरल उदाहरण भी दर्शाते हैं कि पिंडों की विकृतियाँ बहुत भिन्न हो सकती हैं। आमतौर पर, सामान्य परिस्थितियों में संरचनात्मक भागों में छोटे विरूपण का अनुभव होता है, जिसके दौरान उनका आकार लगभग अपरिवर्तित रहता है। इसके विपरीत, दबाव प्रसंस्करण के दौरान - मुद्रांकन या रोलिंग के दौरान - बड़ी विकृतियाँ होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप शरीर का आकार महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है; उदाहरण के लिए, एक बेलनाकार वर्कपीस से एक ग्लास या बहुत जटिल आकार का एक हिस्सा प्राप्त किया जाता है (इस मामले में, वर्कपीस को अक्सर गर्म किया जाता है, जो विरूपण प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाता है)।

समझने और गणितीय रूप से विश्लेषण करने में सबसे आसान है छोटी-छोटी विकृतियों पर किसी पिंड की विकृति। जैसा कि यांत्रिकी में प्रथागत है, कुछ मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु पर विचार किया जाता है एमशव.

विरूपण प्रक्रिया शुरू होने से पहले, इस बिंदु के एक छोटे से पड़ोस को मानसिक रूप से अलग कर दिया जाता है, जिसमें एक सरल आकार होता है जो अध्ययन के लिए सुविधाजनक होता है, उदाहरण के लिए, त्रिज्या डी की एक गेंद आरया भुजा D वाला घन ए, और यही बात है एमइन निकायों का केंद्र बन गया।

इस तथ्य के बावजूद कि विभिन्न आकृतियों के शरीर, बाहरी भार और अन्य कारणों के प्रभाव में, बहुत विविध विकृतियाँ प्राप्त करते हैं, यह पता चलता है कि किसी भी बिंदु का एक छोटा सा पड़ोस एक ही नियम (कानून) के अनुसार विकृत होता है: यदि एक छोटा सा पड़ोस एक बिंदु एमएक गेंद के आकार का था, फिर विरूपण के बाद यह एक दीर्घवृत्ताभ बन जाता है; इसी तरह, घन एक तिरछा समान्तर चतुर्भुज बन जाता है (आमतौर पर वे कहते हैं कि गेंद एक दीर्घवृत्ताकार में जाती है, और घन एक तिरछे समान्तर चतुर्भुज में जाता है)। यह वह परिस्थिति है जो सभी बिंदुओं पर समान है: विभिन्न बिंदुओं पर दीर्घवृत्त, निश्चित रूप से, अलग-अलग और अलग-अलग घुमाए जाते हैं। यही बात समान्तर चतुर्भुज पर भी लागू होती है।

यदि एक विकृत क्षेत्र में हम मानसिक रूप से एक रेडियल फाइबर का चयन करते हैं, यानी। भौतिक कण एक निश्चित त्रिज्या पर स्थित होते हैं, और विरूपण की प्रक्रिया में इस फाइबर का अनुसरण करते हैं, तब पता चलता है कि यह फाइबर हर समय सीधा रहता है, लेकिन इसकी लंबाई बदल जाती है - यह लंबा या छोटा हो जाता है। महत्वपूर्ण जानकारी इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है: एक विकृत गोले में, दो तंतु उभरे हुए होते हैं, जिनके बीच का कोण समकोण होता है। विरूपण के बाद, कोण, सामान्यतया, एक सीधी रेखा से भिन्न हो जाएगा। समकोण में परिवर्तन को अपरूपण विकृति या अपरूपण कहा जाता है। घन पड़ोस के उदाहरण का उपयोग करके इस घटना के सार पर विचार करना अधिक सुविधाजनक है, विकृत होने पर, वर्गाकार चेहरा एक समानांतर चतुर्भुज में बदल जाता है - यह कतरनी विरूपण नाम की व्याख्या करता है।

हम कह सकते हैं कि किसी बिंदु के पड़ोस का विरूपण एमपूरी तरह से ज्ञात है यदि विरूपण से पहले चुने गए किसी भी रेडियल फाइबर के लिए, इसकी नई लंबाई पाई जा सकती है, और ऐसे किन्हीं दो परस्पर लंबवत फाइबर के लिए, विरूपण के बाद उनके बीच का कोण पाया जा सकता है।

इससे यह पता चलता है कि यदि सभी तंतुओं की लम्बाई और सभी संभावित विस्थापन ज्ञात हैं, तो पड़ोस की विकृति ज्ञात होती है, अर्थात। असीमित मात्रा में डेटा की आवश्यकता होती है। वास्तव में, कण का विरूपण बहुत व्यवस्थित तरीके से होता है - आखिरकार, गेंद एक दीर्घवृत्ताभ में बदल जाती है (और टुकड़ों में नहीं उड़ती है और गांठों में बंधे धागे में नहीं बदल जाती है)। इस क्रम को गणितीय रूप से एक प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसका सार यह है कि किसी भी फाइबर के बढ़ाव और फाइबर के किसी भी जोड़े के बदलाव की गणना (और काफी सरलता से) की जा सकती है यदि तीन परस्पर लंबवत फाइबर के बढ़ाव और बदलाव - में परिवर्तन होता है उनके बीच के कोण ज्ञात हैं। और निश्चित रूप से, मामले का सार इस बात पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है कि कण के लिए कौन सा आकार चुना गया है - गोलाकार, घन या कोई अन्य।

विरूपण पैटर्न के अधिक विशिष्ट और अधिक कठोर विवरण के लिए, एक समन्वय प्रणाली (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन) पेश की गई है। ऑक्सीज़, शरीर में एक निश्चित बिंदु का चयन किया जाता है एमऔर इसका परिवेश एक घन के रूप में है जिसका शीर्ष बिंदु पर है एम, जिसके किनारे निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। धुरी के समानांतर पसली का सापेक्ष बढ़ाव बैल, -इ xx(इस नोटेशन में सूचकांक एक्सदो बार दोहराया गया: आमतौर पर मैट्रिक्स तत्वों को इस प्रकार दर्शाया जाता है)।

यदि प्रश्न में घन के किनारे की लंबाई थी ए, तो विरूपण के बाद इसकी लंबाई बढ़ाव डी की मात्रा से बदल जाएगी एक एक्स, जबकि ऊपर प्रस्तुत सापेक्ष बढ़ाव को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा

इ xx=डी एक एक्स/ ए

मूल्यों ई का एक समान अर्थ है Y yऔर ई zz.

बदलावों के लिए, निम्नलिखित नोटेशन स्वीकार किए जाते हैं: घन के किनारों के बीच प्रारंभिक समकोण में परिवर्तन, अक्षों के समानांतर बैलऔर ओए, 2e के रूप में दर्शाया गया है xy= 2इ हाँ(यहाँ भविष्य में सुविधा के लिए गुणांक "2" पेश किया गया है, जैसे कि एक निश्चित वृत्त का व्यास 2 नामित किया गया था आर).

इस प्रकार, 6 मात्राएँ प्रस्तुत की जाती हैं, अर्थात् तीन बढ़ाव उपभेद:

इ xxइ Y yइ zz

और तीन कतरनी विकृतियाँ:

इ हाँ= ई xyइ ज़ी= ई yzइ zx= ई xz

इन 6 मात्राओं को विरूपण घटक कहा जाता है, और इस परिभाषा का अर्थ यह है कि किसी दिए गए बिंदु के आसपास कोई भी बढ़ाव और कतरनी विरूपण उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है (अक्सर संक्षेप में "एक बिंदु पर विरूपण")।

तनाव घटकों को एक सममित मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है

इस मैट्रिक्स को समन्वय प्रणाली में लिखा गया छोटा विरूपण टेंसर कहा जाता है ऑक्सीज़. समान मूल वाले किसी अन्य समन्वय प्रणाली में, समान टेंसर को घटकों के साथ किसी अन्य मैट्रिक्स द्वारा व्यक्त किया जाएगा

नई प्रणाली के निर्देशांक अक्ष और पुराने सिस्टम के निर्देशांक अक्ष कोणों का एक समूह बनाते हैं, जिनकी कोसाइन को निम्नलिखित तालिका में आसानी से निर्दिष्ट किया गया है:

फिर नए अक्षों में तनाव टेंसर घटकों की अभिव्यक्ति (यानी ई ´ xx,…, ई ´ xy,...) पुराने अक्षों में स्ट्रेन टेंसर के घटकों के माध्यम से, यानी। ई एक्सएक्स,…, ई के माध्यम से xy,…, फॉर्म है:

ये सूत्र अनिवार्य रूप से निम्नलिखित अर्थों में एक टेंसर की परिभाषा हैं: यदि सिस्टम में किसी वस्तु का वर्णन किया गया है ऑक्सीज़मैट्रिक्स ई आईजे, और दूसरे सिस्टम में बैल´ वाई´ जेड´ - एक और मैट्रिक्स इ आईजे´, तो इसे एक टेंसर कहा जाता है यदि उपरोक्त सूत्र मान्य होते हैं, जिन्हें दूसरी रैंक के टेंसर के घटकों को एक नई समन्वय प्रणाली में बदलने के लिए सूत्र कहा जाता है। यहां, संक्षिप्तता के लिए, मैट्रिक्स को ई द्वारा दर्शाया गया है आईजे, जहां सूचकांक मैं, जेसूचकांकों के किसी भी जोड़ीवार संयोजन का मिलान करें एक्स, य, जेड; यह महत्वपूर्ण है कि हमेशा दो सूचकांक होते हैं। सूचकांकों की संख्या को टेंसर (या इसकी संयोजकता) की रैंक कहा जाता है। इस अर्थ में, वेक्टर एक रैंक वन टेंसर बन जाता है (इसके घटकों का सूचकांक समान होता है), और स्केलर को रैंक शून्य टेंसर माना जा सकता है जिसका कोई सूचकांक नहीं होता है; किसी भी समन्वय प्रणाली में अदिश का स्पष्ट रूप से एक ही अर्थ होता है।

समानता के दाहिनी ओर के पहले टेंसर को गोलाकार कहा जाता है, दूसरे को डिविएटर कहा जाता है (लैटिन डेविएटियो से - विरूपण), क्योंकि यह समकोण की विकृतियों - बदलावों से जुड़ा है। "गोलाकार" नाम इस तथ्य के कारण है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति में इस टेंसर का मैट्रिक्स एक गोलाकार सतह का वर्णन करता है।

व्लादिमीर कुजनेत्सोव

भौतिकी की सैद्धांतिक नींव में जाए बिना किसी ठोस पिंड के विरूपण की प्रक्रिया को बाहरी भार के प्रभाव में उसके आकार में परिवर्तन कहा जा सकता है। किसी भी ठोस पदार्थ में परमाणुओं और कणों की एक निश्चित व्यवस्था के साथ एक क्रिस्टलीय संरचना होती है, जब कोई भार लगाया जाता है, तो व्यक्तिगत तत्व या संपूर्ण परतें एक दूसरे के सापेक्ष विस्थापित हो जाती हैं, दूसरे शब्दों में, भौतिक दोष उत्पन्न होते हैं।

ठोसों के विरूपण के प्रकार

तन्य विकृति एक प्रकार की विकृति है जिसमें भार शरीर से अनुदैर्ध्य रूप से लगाया जाता है, अर्थात शरीर के लगाव बिंदुओं के समाक्षीय या समानांतर। स्ट्रेचिंग पर विचार करने का सबसे आसान तरीका कारों के लिए टो रस्सी है। केबल में टग और खींची गई वस्तु के लिए दो लगाव बिंदु होते हैं; जैसे ही गति शुरू होती है, केबल सीधी हो जाती है और खींची गई वस्तु को खींचना शुरू कर देती है। तनाव में होने पर, केबल तन्य विरूपण के अधीन होती है; यदि भार उसके द्वारा झेले जा सकने वाले अधिकतम मूल्यों से कम है, तो भार हटा दिए जाने के बाद केबल अपना आकार पुनः प्राप्त कर लेगी।

नमूना खींच योजना

तन्य विरूपण सामग्री के भौतिक गुणों के मुख्य प्रयोगशाला अध्ययनों में से एक है। तन्य तनाव के अनुप्रयोग के दौरान, वे मान जिन पर सामग्री सक्षम है:

1. मूल स्थिति की और बहाली के साथ भार को अवशोषित करें (लोचदार विरूपण)
2. मूल स्थिति को बहाल किए बिना भार सहन करना (प्लास्टिक विरूपण)
3. टूटने के बिंदु पर टूटना

ये परीक्षण उन सभी केबलों और रस्सियों के लिए मुख्य हैं जिनका उपयोग स्लिंगिंग, भार सुरक्षित करने और पर्वतारोहण के लिए किया जाता है। मुक्त कार्यशील तत्वों के साथ जटिल निलंबन प्रणालियों के निर्माण में तनाव भी महत्वपूर्ण है।

संपीड़न विरूपण तनाव के समान एक प्रकार का विरूपण है, जिसमें भार लगाने की विधि में एक अंतर होता है, इसे समाक्षीय रूप से लागू किया जाता है, लेकिन शरीर की ओर। किसी वस्तु को दोनों तरफ से दबाने से उसकी लंबाई कम हो जाती है और साथ ही बड़े भार के प्रयोग से सामग्री के शरीर में "बैरल" प्रकार की मोटाई बन जाती है।

नमूना संपीड़न सर्किट

उदाहरण के तौर पर, हम उसी उपकरण का उपयोग कर सकते हैं जो थोड़ा ऊपर तन्य तनाव में होता है।

धातु को फोर्ज करने के लिए धातुकर्म प्रक्रियाओं में कंप्रेसिव विरूपण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, प्रक्रिया के दौरान धातु की ताकत बढ़ जाती है और संरचनात्मक दोषों को वेल्ड किया जाता है। इमारतों के निर्माण में संपीड़न भी महत्वपूर्ण है; नींव, ढेर और दीवारों के सभी संरचनात्मक तत्व दबाव भार का अनुभव करते हैं। किसी भवन की भार वहन करने वाली संरचनाओं की सही गणना आपको ताकत के नुकसान के बिना सामग्री की खपत को कम करने की अनुमति देती है।

कतरनी विकृति एक प्रकार की विकृति है जिसमें भार शरीर के आधार के समानांतर लगाया जाता है। कतरनी विरूपण के दौरान, शरीर का एक तल दूसरे के सापेक्ष अंतरिक्ष में विस्थापित हो जाता है। सभी फास्टनरों - बोल्ट, स्क्रू, कील - का अधिकतम कतरनी भार के लिए परीक्षण किया जाता है। कतरनी विकृति का सबसे सरल उदाहरण एक जर्जर कुर्सी है, जहां फर्श को आधार के रूप में लिया जा सकता है, और सीट को भार के अनुप्रयोग के विमान के रूप में लिया जा सकता है।

नमूना बदलाव योजना

झुकने वाली विकृति एक प्रकार की विकृति है जिसमें शरीर की मुख्य धुरी का सीधापन बाधित हो जाता है। एक या अधिक समर्थनों पर निलंबित सभी पिंड झुकने वाली विकृतियों का अनुभव करते हैं। प्रत्येक सामग्री एक निश्चित स्तर के भार को झेलने में सक्षम है; ज्यादातर मामलों में ठोस शरीर न केवल अपने वजन को, बल्कि एक दिए गए भार को भी झेलने में सक्षम होते हैं। झुकने के दौरान भार लगाने की विधि के आधार पर, शुद्ध और तिरछा झुकने को प्रतिष्ठित किया जाता है।

नमूना झुकने का आरेख

झुकने की विकृति का मूल्य लोचदार निकायों के डिजाइन के लिए महत्वपूर्ण है, जैसे कि समर्थन के साथ एक पुल, एक जिमनास्टिक बार, एक क्षैतिज बार, एक कार एक्सल और अन्य।

मरोड़ विकृति एक प्रकार की विकृति है जिसमें किसी पिंड पर एक बलाघूर्ण लगाया जाता है, जो पिंड की धुरी के लंबवत तल में कार्य करने वाले बलों की एक जोड़ी के कारण होता है। मरोड़ मशीन शाफ्ट, ड्रिलिंग रिग ऑगर्स और स्प्रिंग्स द्वारा उत्पन्न होता है।

नमूना मरोड़ आरेख

प्लास्टिक और लोचदार विरूपण

विरूपण प्रक्रिया के दौरान, अंतरपरमाणु बंधों का परिमाण महत्वपूर्ण होता है; उन्हें तोड़ने के लिए पर्याप्त भार लगाने से अपरिवर्तनीय परिणाम (अपरिवर्तनीय या) होते हैं प्लास्टिक विकृत करना). यदि भार अनुमेय मूल्यों से अधिक नहीं है, तो शरीर अपनी मूल स्थिति में वापस आ सकता है ( लोचदार विकृति). प्लास्टिक और लोचदार विरूपण के अधीन वस्तुओं के व्यवहार का सबसे सरल उदाहरण रबर की गेंद और ऊंचाई से गिरने वाले प्लास्टिसिन के टुकड़े में देखा जा सकता है। रबर की गेंद में लोच होती है, इसलिए जब यह गिरेगी तो संकुचित हो जाएगी, और गति की ऊर्जा को तापीय और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित करने के बाद, यह फिर से अपना मूल आकार ले लेगी। प्लास्टिसिन में अत्यधिक प्लास्टिसिटी होती है, इसलिए जब यह किसी सतह से टकराता है, तो यह अपरिवर्तनीय रूप से अपना मूल आकार खो देगा।

विकृति की उपस्थिति के कारण, सभी ज्ञात सामग्रियों में उपयोगी गुणों का एक सेट होता है - प्लास्टिसिटी, नाजुकता, लोच, ताकत और अन्य। इन गुणों का अध्ययन काफी महत्वपूर्ण कार्य है, जो किसी को आवश्यक सामग्री का चयन या निर्माण करने की अनुमति देता है। इसके अलावा, उपकरण इंजीनियरिंग कार्यों के लिए विरूपण की उपस्थिति और उसका पता लगाना अक्सर आवश्यक होता है, इस उद्देश्य के लिए एक्सटेन्सोमीटर या अन्यथा स्ट्रेन गेज नामक विशेष सेंसर का उपयोग किया जाता है।

यह पता चल सकता है कि वास्तव में हमारे द्वारा देखी गई छवियां बीजगणित की छवियों से बिल्कुल मेल खाती हैं। यह परिस्थिति विश्लेषण को सरल बनाएगी। भाग III में ऐसी ही कई स्थितियों पर चर्चा की जाएगी (परिशिष्ट देखें)।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर मामलों में हम केवल आदर्श छवियों के विकृत संस्करण ही देख सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक मूलभूत समस्या का सामना करना पड़ता है - ऐसी विकृतियाँ कैसे उत्पन्न होती हैं। छवि के पूर्ण संश्लेषण के लिए विरूपण तंत्र के निर्धारण की आवश्यकता होती है। विश्लेषण के स्तर पर भी यह आवश्यक है।

आइए हम छवियों के बीजगणित के मानचित्रण द्वारा देखी जा सकने वाली छवियों के सेट को निरूपित करें। तत्वों

हम उन्हें विकृत छवियाँ कहेंगे।

आमतौर पर परिवर्तनों की संख्या बड़ी होती है और यह पहले से ज्ञात नहीं होता कि कौन सा परिवर्तन प्रभावी होगा। प्रतीक Ф का प्रयोग सभी परिवर्तनों के समुच्चय को दर्शाने के लिए किया जाता है।

अभी तक हमने विकृत छवियों की प्रकृति के बारे में कुछ नहीं कहा है। सबसे सरल मामला तब होता है जब छवियां छवि बीजगणित की आदर्श छवियों के समान होती हैं, इस मामले में, हम स्वचालित विकृतियों के बारे में बात करेंगे जो छवि बीजगणित को स्वयं में मैप करती हैं।

अन्यथा, हेटरोमोर्फिक विकृतियों के लिए, सेट में कई अलग-अलग प्रकार शामिल हो सकते हैं, जैसा कि हम इस अध्याय में देखेंगे। यह पता चल सकता है कि इसमें छवि बीजगणित की संरचना भी है, हालांकि इससे भिन्न है। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि इस मामले में भी ये संरचनाएं तेजी से भिन्न हो सकती हैं और इसलिए, बीच में एक बुनियादी अंतर है। अक्सर हम ऐसे मामले का सामना करेंगे जिसमें आदर्श (अविकृत) छवियां निजी होती हैं

विकृत के मामले. आमतौर पर संरचना को नष्ट कर देता है और इसलिए इसकी तुलना में कम संरचित होगा

ऐसे मामले में जहां परिभाषा का क्षेत्र अक्सर से तक विस्तारित होगा और मूल्यों की सीमा बराबर रहेगी। इस मामले में, अनुक्रम को बार-बार लागू किया जा सकता है और, स्वाभाविक रूप से, परिवर्तनों के एक अर्धसमूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

कई मामलों में, समानता परिवर्तनों की परिभाषा के दायरे का विस्तार करना भी संभव होगा, उपरोक्त सभी को एक शर्त के रूप में जोड़ा जा सकता है, जो नीचे अधिकांश मामलों में संतुष्ट होगा। इस खंड में हम मानेंगे कि यह एक समूह बनाता है।

परिभाषा 4.1.1. विरूपण तंत्र को नियमित यदि कहा जाता है

ऑटोमोर्फिक विकृतियाँ नियमित सेट Ф का एक बहुत ही विशेष मामला है। दोनों प्रकार के परिवर्तनों को एक ही सेट पर परिभाषित किया जाएगा। हालाँकि, उनकी भूमिकाएँ पूरी तरह से अलग हैं। समानता परिवर्तन आमतौर पर छवि को व्यवस्थित रूप से बदलते हैं, और ये परिवर्तन सहज होते हैं। ऐसे मामलों में जहां कोई समूह है, परिवर्तनों से जानकारी का नुकसान नहीं होता है, क्योंकि उलटा परिवर्तन मूल छवि को पुनर्स्थापित करता है। दूसरी ओर, वॉर्प्स छवि को इस हद तक विकृत कर सकते हैं कि इसका सटीक पुनर्निर्माण करना असंभव है। विकृतियों से जानकारी की हानि होती है।

समानता परिवर्तनों और विकृतियों की परस्पर क्रिया एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, और इस संबंध में हम दो गुणों का परिचय देंगे, जिनके कार्यान्वयन से छवियों का विश्लेषण काफी सरल हो जाता है।

परिभाषा 4.1.2. आइए छवि बीजगणित पर नियमित विरूपण तंत्र पर विचार करें। चलो उसे बुलाते हैं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये सख्त शर्तें हैं और इन्हें अक्सर पूरा नहीं किया जाता है। स्वाभाविक रूप से, विकृतियाँ स्पष्ट रूप से सहसंयोजक होती हैं यदि Φ एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह है और एक और सरल मामला तब उत्पन्न होता है जब एक वेक्टर स्थान उस पर परिभाषित रैखिक ऑपरेटरों द्वारा बनता है; ऐसी परिस्थितियों में विकृतियाँ समरूपी होती हैं।

मान लीजिए कि यह एक मीट्रिक स्थान है जिसकी दूरी निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती है:

हालाँकि, यदि दूरी निश्चित है, तो यह धारणा हमेशा पेश नहीं की जाएगी।

यह आवश्यक होना स्वाभाविक है कि मीट्रिक समानता संबंधों के अनुरूप हो और इसे दो तरीकों से सुनिश्चित किया जाएगा।

परिभाषा 4.1.3. हम परिभाषित दूरी को नियमित कहेंगे

दी गई दूरी के आधार पर हम निर्धारित करते हैं

इस मामले में, यह सत्यापित करना आसान है कि दूरी अपरिवर्तनीय है, और दूरी पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है।

कभी-कभी विरूपण कुछ भौतिक तंत्र पर आधारित होगा, जिसके कार्यान्वयन में आदर्श छवि को वास्तव में देखने योग्य रूप में बदलने के लिए आवश्यक शक्ति, ऊर्जा या कुछ समान भौतिक मात्रा का व्यय शामिल होता है। हम अधिक तटस्थ शब्द का प्रयोग करेंगे और आवश्यक प्रयास के बारे में बात करेंगे,

परिभाषा 4.1.4. आइए नियमित विरूपण स्थान पर एक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन पर विचार करें जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

फ़ंक्शन को अपरिवर्तनीय प्रयास फ़ंक्शन कहा जाता है। यदि शर्त और शर्तें पूरी होती हैं

यदि 3.5 एक सहसंयोजक है, तो शर्त स्वतः संतुष्ट हो जाती है। परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित प्रमेय पर पहुँचते हैं:

प्रमेय 4.1.1. प्रयास कार्य पूर्णतया अपरिवर्तनीय एवं समतापूर्ण हो

इस मामले में, यह पूरी तरह से अपरिवर्तनीय दूरी है।

टिप्पणी। हमने स्पष्ट रूप से कहा कि एक समीकरण के रूप में माने जाने वाले संबंध का हमेशा कम से कम एक समाधान होता है। यदि यह मामला नहीं है, तो संबंधित मान को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए और परिणामी दूरी के लिए एक मान मानना ​​आवश्यक हो सकता है। यह परिस्थिति साक्ष्यों को मामूली सीमा तक ही प्रभावित करेगी.

सबूत। फ़ंक्शन अपने दो तर्कों के संबंध में सममित है, और त्रिभुज असमानता को साबित करने के लिए हम निश्चित मानते हैं यदि ऐसा मौजूद है

फिर, निरूपित करते हुए हमें प्राप्त होता है

यहाँ से, परिभाषा 4.1.4 की संपत्ति के आधार पर, यह इस प्रकार है

जो बदले में इसका तात्पर्य है

अंत में, परिभाषा 4.1.4 की संपत्ति से पूर्ण अपरिवर्तनीयता प्राप्त होती है, क्योंकि इसका तात्पर्य यह है कि इसका मतलब है कि दूरी पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है।

यदि हम एक प्रयास फ़ंक्शन के साथ काम कर रहे थे जिसमें केवल अपरिवर्तनीयता थी, तो हम केवल यह दावा कर सकते थे कि परिणामी दूरी अपरिवर्तनीय है।

आइए हम उपसमुच्चय के कुछ बीजगणित पर संभाव्यता माप P का परिचय दें। इसका मतलब यह है कि हम कुछ विकृतियों के बारे में दूसरों की तुलना में अधिक संभावना के रूप में बात करेंगे। हमें -बीजगणित और टी पर भी आवश्यकता होगी और, क्रमशः, जैसे कि किसी भी उपसमुच्चय ई के लिए और जिसके लिए शर्त और संतुष्ट है, क्रमशः, यह सच है

एक निश्चित विकृत एनालॉग के लिए एक संभाव्यता माप होगा

आइए अब हम सहसंयोजक विकृतियों का अधिक सामान्य और अधिक दिलचस्प संस्करण पेश करें।

परिभाषा 4.1.5. संभाव्यता माप पी के साथ नियमित विकृतियों को संभाव्यता में सहसंयोजक कहा जाता है यदि किसी समानता परिवर्तन के लिए परिवर्तनों में समान संभाव्यता वितरण होता है।

ऐसे मामलों में जहां विरूपण पत्राचार छवि को एक यादृच्छिक उपसमुच्चय ई (लेकिन इसके मान नहीं) तक सीमित कर देता है, हम संभाव्यता सहप्रसरण की व्याख्या यादृच्छिक सेट ई पर संभाव्यता वितरण के लिए सेट पर संभाव्यता वितरण की समानता के रूप में करेंगे।

इस परिभाषा का उपयोग करके, किसी भी निश्चित के लिए हम उसे लिख सकते हैं

दूसरी ओर, यदि संबंध (4.1.12) किसी और ई के लिए संतुष्ट है, तो विकृतियाँ संभाव्यता में सहसंयोजक हैं।

संभाव्यता में सहप्रसरण का एक महत्वपूर्ण परिणाम निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है:

प्रमेय 4.1.2. मान लीजिए कि विकृतियाँ संभाव्यता में सहसंयोजक हैं और छवि समतुल्य वर्गों मॉड्यूलो से युक्त है

इस मामले में, यदि ई एक -अपरिवर्तनीय सेट है, तो सशर्त संभावनाएं अच्छी तरह से परिभाषित हैं: यदि पर निर्भर नहीं है।

सबूत। सशर्त संभाव्यता पर विचार करें

कुछ प्रोटोटाइप कहां है (देखें (3.1.14))। इस मामले में

इस तथ्य के कारण कि संभाव्यता में सहप्रसरण है। दूसरी ओर,

चूँकि E -अपरिवर्तनीय है। इसलिए, यह एक स्थिरांक है, इसलिए सशर्त संभाव्यता वास्तव में काफी निश्चित है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि छवि पर विचार करते समय कौन सी छवि प्रारंभिक के रूप में कार्य करती है।

अन्यथा, इसके बारे में तब तक बात करना असंभव होगा जब तक, निश्चित रूप से, हम आदर्श छवियों के बीजगणित पर एक संभाव्यता माप भी पेश नहीं करते हैं

इस खंड में चर्चा में यह जोड़ा जाना चाहिए कि बीजगणितीय, टोपोलॉजिकल और संभाव्य संरचनाओं को इस तरह से चुनना वांछनीय है कि वे प्राकृतिक पारस्परिक समझौते की अनुमति दें। मानक बीजीय-सामयिक सूत्रीकरण के ढांचे के भीतर यह कैसे किया जा सकता है, इसमें रुचि रखने वाले पाठक लेखक के मोनोग्राफ (1963) का संदर्भ ले सकते हैं।

एक विशिष्ट प्रकार का पी चुनते समय, हमें सैद्धांतिक से जुड़ी कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है

माप के पहलू. प्रत्येक मामले में चुनाव अलग से इस तरह से किया जाना चाहिए कि, संबंधित विषय क्षेत्र से उपलब्ध जानकारी का उपयोग करके, एक प्राकृतिक समझौते की उपलब्धि सुनिश्चित की जाए: मॉडल को अध्ययन की जा रही घटनाओं का पर्याप्त सटीक अनुमान प्रदान करना चाहिए और साथ ही समय एक विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक समाधान की संभावना के लिए अनुमति देता है। फिर भी, कई सामान्य सिद्धांत तैयार किए जा सकते हैं जो विरूपण मॉडल के निर्माण में उपयोगी हो सकते हैं।

सबसे पहले, हमें विघटित करने का प्रयास करना चाहिए, जो एक जटिल स्थान हो सकता है, सरल कारकों में। एक उत्पाद परिमित, गणनीय या बेशुमार हो सकता है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे। कभी-कभी ऐसे विभाजन को सीधे निर्दिष्ट किया जाता है, उदाहरण के लिए, ऐसे मामले में जहां विकृतियों को संदर्भ स्थान के टोपोलॉजिकल परिवर्तन में कम किया जाता है, जिसके बाद मास्क की विकृति होती है। जिस तरह से प्राथमिक वस्तुओं से छवि बीजगणित का निर्माण किया जाता है, उससे भी कुछ लाभ प्राप्त किया जा सकता है। यदि हम उन छवियों पर विचार कर रहे हैं जिनके कॉन्फ़िगरेशन में जनरेटर शामिल हैं, और वे सभी पहचाने जाने योग्य हैं, तो हम प्रतिनिधित्व का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं

इस तथ्य पर भरोसा करते हुए कि कारकों के गुण काफी सुविधाजनक होंगे। हालाँकि, यह विधि तभी काम करेगी जब जेनरेटर छवि द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित हों। इसके बजाय, कोई संबंधित विभाजन का उपयोग करने का प्रयास कर सकता है जैसा कि कैनोनिकल कॉन्फ़िगरेशन पर लागू होता है जिनके जेनरेटर विचाराधीन छवि बीजगणित में परिभाषित होते हैं।

काफी सरल कारकों में विभाजित करने के बाद, यह तय करना आवश्यक है कि कौन सा संभाव्यता माप पेश किया जाना चाहिए, इस मामले में, आवश्यक बिंदु विकृतियों के कारकीकरण की एक विधि का चुनाव है जिसमें व्यक्तिगत कारक एक दूसरे से स्वतंत्र हो जाते हैं। अनुभवजन्य जानकारी के बिना पी को पूरी तरह से निर्दिष्ट करना असंभव है, और संतोषजनक सटीकता के साथ अनुमान प्राप्त करने के लिए, स्वयंसिद्ध मॉडल को पर्याप्त रूप से संरचित किया जाना चाहिए। यह पी निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण बिंदु है और विरूपण तंत्र की समझ की आवश्यकता है जो इसे बाद के विश्लेषणों में गलत तरीके से प्रस्तुत होने से रोकेगी। यदि हम वास्तव में इस तरह से विभाजन को अंजाम देने में कामयाब रहे कि कारक संभाव्य अर्थ में स्वतंत्र हैं, तो समस्या का समाधान करना बाकी है

उन पर बिना शर्त वितरण की परिभाषाएँ। एक उदाहरण के रूप में, उस प्रकार के तंत्र द्वारा उत्पन्न आदर्श जनरेटर पर विचार करें जहां एक अंतर ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है, और विकृत जनरेटर को अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है। कोशिश करने वाली पहली बात के मूल्यों की स्वतंत्रता को मानना ​​है विभिन्न तर्क)। यदि इसे पर्याप्त सन्निकटन के रूप में स्वीकार नहीं किया जा सकता है, तो इसके साथ नहीं बल्कि इसके कुछ परिवर्तन (उदाहरण के लिए, रैखिक) के साथ काम करके निर्भरता को खत्म करने का प्रयास करना उचित होगा। दूसरे शब्दों में, कोई एक मॉडल इस प्रकार चुन सकता है कि विकृतियाँ एक सरल संभाव्य रूप ले लें। ध्यान दें, एक अन्य उदाहरण के रूप में, कि पत्राचार छवियों (धारा 3.5 देखें) और एक अलग संदर्भ स्थान एक्स के साथ काम करते समय, कोई इस धारणा के आधार पर पी को मॉडल करने का प्रयास कर सकता है कि एक्स के विभिन्न बिंदु स्वतंत्र रूप से संदर्भ स्थान पर मैप करते हैं और संबंधित वितरण कुछ अलग हैं ।

बिना शर्त वितरण की पसंद को सीमित करने के लिए, हम समानता परिवर्तनों की भूमिका पर विचार करते हैं। यदि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसे सफलतापूर्वक चुना जाता है, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि पी के पास उचित अपरिवर्तनीयता होगी। इसलिए, यदि समान आदर्श छवियां हैं, तो सबसे पहले आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या उनका संभाव्यता वितरण समान है। हम एक अन्य दृष्टिकोण का भी उपयोग कर सकते हैं: एक मॉडल का प्रयास करें जो संभाव्यता वितरण की समानता को दर्शाता है; यह पथ हमें संभाव्यता में सहप्रसरण की ओर ले जाता है।

इन विधियों का उपयोग करके हम पी के विश्लेषणात्मक रूप को निर्धारित कर सकते हैं और अनुभवजन्य रूप से मुक्त मापदंडों का अनुमान प्राप्त कर सकते हैं।

विरूपण तंत्र को दो मानदंडों के आधार पर वर्गीकृत किया जाएगा: स्तर और प्रकार।

विरूपण तंत्र के स्तर से हमारा तात्पर्य छवि छवियों के संश्लेषण के उस चरण से होगा जिस पर उच्चतम स्तर निर्धारित किया जाता है, छवियों का स्तर, उस मामले के अनुरूप जब