बहुभुज के कौन से शीर्ष पड़ोसी कहलाते हैं? पाठ "बहुभुज"

विषय: "बहुभुज के प्रकार"

9 वां दर्जा

एसएचएल नंबर 20

शिक्षक: खारितोनोविच टी.आई.पाठ का उद्देश्य: बहुभुजों के प्रकारों का अध्ययन करना।

सीखने का कार्य:बहुभुजों के बारे में छात्रों के ज्ञान को अद्यतन, विस्तारित और सामान्यीकृत करना; बहुभुज के "घटक भागों" का एक विचार तैयार करें; नियमित बहुभुज (त्रिकोण से एन-गॉन तक) के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करें;

विकासात्मक कार्य:विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करना, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोच और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करना; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास करना;

शैक्षिक कार्य:सौंपे गए कार्य के लिए स्वतंत्रता, गतिविधि, जिम्मेदारी, लक्ष्य प्राप्त करने में दृढ़ता पैदा करें।

उपकरण: इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड (प्रस्तुति)

कक्षाओं के दौरान

प्रस्तुति दिखा रही है: "बहुभुज"

"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर...गणितीय आंकड़े।" जी.गैलिली

पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया गया है (हमारे मामले में, 3 समूहों में विभाजित)

1.कॉल स्टेज-

क) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;

बी) अध्ययन किए जा रहे विषय में रुचि जगाना, प्रत्येक छात्र को शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरित करना।

तकनीक: खेल "क्या आप ऐसा मानते हैं...", पाठ के साथ काम का संगठन।

कार्य के रूप: ललाट, समूह।

"क्या आप मानते हैं कि..."

1. ... "बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार की सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं?

2. ...क्या एक त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो एक समतल पर विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की विविधता के बीच प्रतिष्ठित है?

3. ...क्या एक वर्ग एक नियमित अष्टकोण (चार भुजाएँ + चार कोने) है?

आज के पाठ में हम बहुभुजों के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद टूटी हुई रेखा से सीमित है, जो बदले में सरल, बंद हो सकता है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करें कि बहुभुज समतल, नियमित या उत्तल हो सकते हैं। समतल बहुभुजों में से एक एक त्रिभुज है, जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप छात्रों को बहुभुज, एक टूटी हुई रेखा को दर्शाने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप टीएसओ का भी उपयोग कर सकते हैं)।

2. गर्भाधान अवस्था

लक्ष्य: नई जानकारी प्राप्त करना, उसे समझना, उसका चयन करना।

तकनीक: ज़िगज़ैग.

कार्य के रूप: व्यक्तिगत->जोड़ी->समूह।

समूह के प्रत्येक सदस्य को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से संकलित किया जाता है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल होती हैं। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न मिलते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में मिलने चाहिए।

बहुभुज. बहुभुज के प्रकार.

रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जिसमें जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से परिचित त्रिकोण कई दिलचस्प और रहस्यमय चीजों से भरा हुआ है।

हमें पहले से ही ज्ञात त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा, भुजाओं (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र, अधिक, आयताकार) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच प्रतिष्ठित है। विमान।

शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार की सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं। लेकिन यह आंकड़े को दर्शाने के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक टूटी हुई रेखा A1A2...An एक आकृति है जिसमें बिंदु A1,A2,...An और उन्हें जोड़ने वाले खंड A1A2, A2A3,... होते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन की कड़ियाँ कहा जाता है। (चित्र .1)

एक टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है यदि उसमें कोई स्व-प्रतिच्छेद न हो (चित्र 2, 3)।

एक पॉलीलाइन को बंद कहा जाता है यदि उसके सिरे संपाती हों। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग होती है (चित्र 4)

एक सरल बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसकी पड़ोसी कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं (चित्र 5)।

शब्द "बहुभुज" में "अनेक" भाग के स्थान पर एक विशिष्ट संख्या रखें, उदाहरण के लिए 3, आपको एक त्रिभुज मिलेगा। या 5. फिर - एक पंचकोण. ध्यान दें, जितने कोण हैं, उतनी ही भुजाएँ हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुभुज कहा जा सकता है।

टूटी हुई रेखा के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और टूटी हुई रेखा की कड़ियों को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है।

बहुभुज विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी (चित्र 6)।

एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र एक बहुभुज से घिरे हुए समतल का परिमित भाग होता है।

बहुभुज के दो शीर्ष जो एक भुजा के सिरे होते हैं, आसन्न कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक तरफ के सिरे नहीं हैं, गैर-पड़ोसी कहलाते हैं।

n शीर्षों और इसलिए n भुजाओं वाले बहुभुज को n-गॉन कहा जाता है।

हालाँकि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिभुज, जब एक दूसरे से जुड़े होते हैं, तो अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होती हैं।

बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।

एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपनी भुजा वाली किसी रेखा के सापेक्ष एक ही आधे तल में स्थित हो। इस स्थिति में, सीधी रेखा को ही HALF PLANE से संबंधित माना जाता है

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण उसकी भुजाओं के इस शीर्ष पर अभिसरित होने से बनने वाला कोण होता है।

आइए प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल एन-गॉन के कोणों के योग के बारे में): उत्तल एन-गॉन के कोणों का योग 1800*(n - 2) के बराबर है।

सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। मान लीजिए A1A2...A n एक दिया गया उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें (एक शीर्ष से) विकर्ण बनाएं। चूँकि बहुभुज उत्तल है, ये विकर्ण इसे n-2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों का योग होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 1800 है, और इन त्रिभुज n की संख्या 2 है। इसलिए, उत्तल n त्रिभुज A1A2...A n के कोणों का योग 1800* (n - 2) है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटा हुआ कोण होता है।

एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।

तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। ऐसी आकृतियाँ लंबे समय से इमारतों को सजाने वाले कारीगरों के लिए रुचिकर रही हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए लकड़ी की छत पर। लेकिन सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग लकड़ी की छत बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। नियमित अष्टकोणों से लकड़ी की छत नहीं बनाई जा सकती। तथ्य यह है कि प्रत्येक कोण 1350 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु दो ऐसे अष्टकोणों का शीर्ष है, तो उनका हिस्सा 2700 होगा, और तीसरे अष्टकोण के लिए वहां फिट होने के लिए कहीं नहीं है: 3600 - 2700 = 900। लेकिन के लिए एक वर्ग यह पर्याप्त है. इसलिए, आप नियमित अष्टकोण और वर्गों से लकड़ी की छत बना सकते हैं।

सितारे भी सही हैं. हमारा पाँचकोणीय तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप वर्ग को केंद्र के चारों ओर 450 तक घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।

टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के शीर्ष और लिंक क्या हैं।

कौन सी टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है?

कौन सी टूटी हुई रेखा बंद कहलाती है?

बहुभुज किसे कहते हैं? बहुभुज के शीर्षों को क्या कहते हैं? बहुभुज की भुजाओं को क्या कहते हैं?

किस बहुभुज को समतल कहा जाता है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

n-वर्ग क्या है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से शीर्ष आसन्न हैं और कौन से नहीं।

बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?

किस बहुभुज को उत्तल कहा जाता है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोण बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?

किस बहुभुज को नियमित कहा जाता है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

उत्तल n-गॉन के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।

छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, पूछे गए प्रश्नों के उत्तर तलाशते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सारांश तैयार करते हैं, और किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप. काम पूरा होने पर, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।

3. परावर्तन अवस्था -

क) किसी के ज्ञान का मूल्यांकन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;

बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।

रिसेप्शन: शोध कार्य।

कार्य के रूप: व्यक्तिगत->जोड़ी->समूह।

कार्य समूहों में प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक अनुभाग का उत्तर देने वाले विशेषज्ञ शामिल होते हैं।

कार्य समूह में लौटकर, विशेषज्ञ अपने प्रश्नों के उत्तर समूह के अन्य सदस्यों को प्रस्तुत करता है। समूह कार्य समूह के सभी सदस्यों के बीच सूचनाओं का आदान-प्रदान करता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन किए जा रहे विषय की एक सामान्य समझ बनती है।

छात्र अनुसंधान कार्य– तालिका भरना.

नियमित बहुभुज आरेखण भुजाओं की संख्या शीर्षों की संख्या सभी आंतरिक कोणों का योग आंतरिक डिग्री माप। बाहरी कोण का कोण डिग्री माप, विकर्णों की संख्या

एक त्रिकोण

बी) चतुर्भुज

बी) पांच छेद वाला

डी) षट्भुज

डी) एन-गॉन

पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं का समाधान।

1) एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक का आंतरिक कोण 1350 है?

2) एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 3600, 3800 हो सकता है?

3) क्या 100,103,110,110,116 डिग्री के कोण वाला पंचभुज बनाना संभव है?

पाठ का सारांश.

होमवर्क की रिकॉर्डिंग: पृष्ठ 66-72 संख्या 15,17 और कार्य: एक चतुर्भुज में, एक सीधी रेखा खींचें ताकि वह इसे तीन त्रिकोणों में विभाजित कर दे।

परीक्षणों के रूप में प्रतिबिंब (इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर)

ज्यामिति के पाठ्यक्रम में, हम भू-मीट्रिक आकृतियों के गुणों का अध्ययन करते हैं और उनमें से सबसे सरल: त्रिकोण और परिवेश को पहले ही देख चुके हैं। साथ ही, हमने इन आकृतियों के विशिष्ट विशेष मामलों पर भी चर्चा की, जैसे आयताकार, समान और दाएँ त्रि-कोयला-नी-की। अब अधिक सामान्य और जटिल आंकड़ों के बारे में बात करने का समय आ गया है - बहुत सारा कोयला.

एक निजी मामले के साथ बहुत सारा कोयलाहम पहले से ही जानते हैं - यह एक त्रिभुज है (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. त्रिभुज

नाम में ही यह पहले से ही संकेत दिया गया है कि यह एक फाई-गु-रा है, जिसके तीन कोने हैं। अगला, में बहुत सारा कोयलाउनमें से कई हो सकते हैं, यानी तीन से अधिक. उदाहरण के लिए, एक पंचभुज बनाएं (चित्र 2 देखें), अर्थात। पांच कोनों-ला-मील के साथ फाई-गु-आरयू।

चावल। 2. पेंटा-कोना. आप ऊबड़-खाबड़ बहुभुज हैं

परिभाषा।बहुभुज- आकृति, जिसमें कई बिंदु (दो से अधिक) शामिल हैं और कोव से बिंदुओं की संख्या के अनुरूप हैं, जो उन्हें एक साथ पालन करते हैं। इन बिंदुओं को कहा जाता है शीर्ष-शि-ना-मीलबहुत सारा कोयला, लेकिन काटने से - सौ-रो-ना-मील. इस मामले में, कोई भी दो आसन्न भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं और कोई भी दो गैर-आसन्न भुजाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

परिभाषा।दायां बहुभुज- यह एक उत्तल बहुभुज है, जिसकी सभी भुजाएँ एवं कोण बराबर होते हैं।

कोई बहुभुजविमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी। आंतरिक क्षेत्र भी से है बहुत सारा कोयला.

दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, जब वे पंचकोण के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब उसके संपूर्ण आंतरिक क्षेत्र और उसकी सीमाएँ दोनों से होता है। और बहुत सारे कोयले के अंदर मौजूद सभी बिंदु आंतरिक क्षेत्र से संबंधित हैं, यानी। बिंदु भी नो-सिट-ज़िया से पांच-कोयला-नी-कू तक है (चित्र 2 देखें)।

बहुत सारे कोयले को कभी-कभी एन-कोयला कहा जाता है ताकि इस बात पर जोर दिया जा सके कि अज्ञात संख्या में कोणों (एन टुकड़े) का मामला आम है।

परिभाषा। कई-कोयला-नो-का का पेरी-मीटर- बहुत सारे कोयले के किनारों की लंबाई का योग।

अब हमें बहुत सारे कोयले के दर्शनीय स्थलों से परिचित होने की जरूरत है। उन्हें विभाजित किया गया है आप पाधते हैंऔर पाद. उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाया गया बहुभुज। 2, आप पादते हुए प्रतीत होते हैं, और चित्र में। 3 पादना नहीं.

चावल। 3. नीवी-ऊबड़-खाबड़ बहुभुज

2. उत्तल और गैर-उत्तल बहुभुज

परिभाषा 1. बहुभुजना-ज़ा-वा-एत-स्या आप पाधते हैं, यदि, इसके किसी भी पक्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा से गुजरते समय, संपूर्ण बहुभुजइस सीधी रेखा के केवल एक तरफ स्थित है। नेवा-पुक-लि-मीलबाकी सभी लोग प्रकट होते हैं बहुत सारा कोयला.

यह कल्पना करना आसान है कि जब चित्र में पांच कोने के किसी भी पक्ष का विस्तार किया जाता है। 2 यह सब इस सीधी रेखा के एक तरफ समाप्त हो जाएगा, यानी। वह फार्टी है. लेकिन जब चित्र में चार-कोयले से सीधे गुजरते हैं। 3 हम पहले ही देख चुके हैं कि वह इसे दो भागों में विभाजित करती है, अर्थात्। वह पाद नहीं है.

लेकिन आपके पास कितना कोयला है इसकी एक और परिभाषा है।

परिभाषा 2. बहुभुजना-ज़ा-वा-एत-स्या आप पाधते हैं, यदि आप इसके किन्हीं दो आंतरिक बिंदुओं का चयन करते हैं और उन्हें कट से जोड़ते समय, कट से सभी बिंदु भी आंतरिक होते हैं - बिल्कुल बहुत अधिक कोयला नहीं।

इस परिभाषा के उपयोग का प्रदर्शन चित्र में कट-ऑफ के निर्माण के उदाहरण में देखा जा सकता है। 2 और 3.

परिभाषा। दीया-गो-ना-ल्यूबहुत सारे कोयले को कोई भी कट कहा जाता है जो इसके दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ता है।

3. उत्तल n-गॉन के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेय

बहुभुजों के गुणों का वर्णन करने के लिए, उनके कोणों के बारे में दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं: बहुत सारे कोणों के आंतरिक कोणों के योग के बारे में थियो-रे-माऔर बहुत सारे कोणों के बाह्य कोणों के योग के बारे में थियो-रे-मा. आइए उन पर नजर डालें.

प्रमेय. आंतरिक कोणों के योग के बारे में आपके पास बहुत सारे कोण हैं (एन-कोयला-नो-का)।

इसके कोणों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है?

प्रमाण 1. चित्र में चित्रण। 4 उभरे हुए एन-गॉन।

चावल। 4. आप-ऊबड़-खाबड़ एन-गॉन

ऊपर से हम सभी संभव डाय-गो आयोजित करेंगे। वे n-gon-nik को tri-gon-nik में विभाजित करते हैं, क्योंकि। शीर्ष की ओर स्थित पक्षों को छोड़कर, प्रत्येक पक्ष बहुत सारा कोयला बनाता है। चित्र से यह देखना आसान है कि इन सभी त्रिभुजों के कोणों का योग n-कोने के आंतरिक कोणों के योग के बिल्कुल बराबर होगा। चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग होता है, तो n-कोण के आंतरिक कोणों का योग होता है:

कारण 2. संभव है कि इस प्रमेय का कोई अन्य कारण हो। अंजीर में एक अनुरूप एन-गॉन का चित्रण। 5 और इसके किसी भी आंतरिक बिंदु को सभी शीर्षों से जोड़ दें।

हमने n-कोयले को n त्रिभुजों (कितनी भुजाएँ, कितने त्रिभुज) में विभाजित किया है। उनके सभी कोणों का योग बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग और आंतरिक बिंदु पर कोणों के योग के बराबर होता है और यही कोण होता है। हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

दो-का-ज़ा-लेकिन।

पिछले सिद्धांत के अनुसार, यह स्पष्ट है कि कोणों का योग एन-कोयला उसके पक्षों की संख्या (एन से) पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में कोणों का योग होता है। क-आप-रे-रे-कोयला-नो-के में, और कोणों का योग - आदि।

4. उत्तल n-गॉन के बाह्य कोणों के योग पर प्रमेय

प्रमेय. बहुत सारे कोयले के बाह्य कोणों के योग के बारे में (एन-कोयला-नो-का)।

इसके कोणों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है, और, ..., बाह्य कोण हैं।

सबूत। चित्र में उत्तल एन-गॉन की छवि। 6 और इसके आंतरिक और बाहरी कोणों को नामित करें।

चावल। 6. निर्दिष्ट बाहरी कोनों के साथ आप-उत्तल एन-गॉन

क्योंकि बाहरी कोण आंतरिक कोण से आसन्न के रूप में जुड़ा होता है, और फिर अन्य बाहरी कोणों के अनुरूप होता है। तब:

विकास-पूर्व के दौरान, हम पहले ही आंतरिक कोणों n-कोयला-नी-का के योग के बारे में प्रमेय का उपयोग कर चुके हैं।

दो-का-ज़ा-लेकिन।

पिछले प्रमेय से एक दिलचस्प तथ्य यह निकलता है कि उत्तल n-कोयले के बाह्य कोणों का योग इसके कोण (भुजाओं) के बराबर होता है। वैसे, आंतरिक कोणों के योग पर निर्भर करता है।

इसके बाद, हम बहुत सारे कोयले के विशेष मामले पर अधिक विस्तार से काम करेंगे - व्हाय-यू-री-री-कोयला-नो-मील। अगले पाठ में हम पार-राल-ले-लो-ग्राम जैसी आकृति को जानेंगे और इसके गुणों पर चर्चा करेंगे।

स्रोत

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometria/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

बहुभुज किसे कहते हैं? बहुभुज के प्रकार. बहुभुज, एक सपाट ज्यामितीय आकृति जिसकी तीन या अधिक भुजाएँ तीन या अधिक बिंदुओं (शीर्षों) पर प्रतिच्छेद करती हैं। परिभाषा। बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो सभी तरफ से एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरी होती है, जिसमें तीन या अधिक खंड (लिंक) होते हैं। एक त्रिभुज निश्चित रूप से एक बहुभुज है। बहुभुज एक आकृति है जिसमें पाँच या अधिक कोण होते हैं।

परिभाषा। चतुर्भुज एक सपाट ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार बिंदु (चतुर्भुज के शीर्ष) और उन्हें जोड़ने वाले चार लगातार खंड (चतुर्भुज की भुजाएँ) होते हैं।

आयत एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं। उनका नाम भुजाओं या शीर्षों की संख्या के अनुसार रखा गया है: त्रिभुज (तीन-तरफा); क्वाडगोन (चार-तरफा); पेंटागन (पांच-तरफा), आदि। प्रारंभिक ज्यामिति में, एक आकृति सीधी रेखाओं से घिरी हुई आकृति को कहा जाता है जिसे भुजाएँ कहा जाता है। वे बिंदु जिन पर भुजाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, शीर्ष कहलाते हैं। एक बहुभुज में तीन से अधिक कोण होते हैं। यह स्वीकृत या सहमत है।

त्रिभुज तो त्रिभुज है. और एक चतुर्भुज भी एक बहुभुज नहीं है, और इसे चतुर्भुज नहीं कहा जाता है - यह या तो एक वर्ग है, या एक समचतुर्भुज है, या एक समलंब है। तथ्य यह है कि तीन भुजाओं और तीन कोणों वाले बहुभुज का अपना नाम "त्रिकोण" होता है, यह इसे बहुभुज के रूप में इसकी स्थिति से वंचित नहीं करता है।

देखें अन्य शब्दकोशों में "बहुभुज" क्या है:

हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद टूटी हुई रेखा से सीमित है, जो बदले में सरल, बंद हो सकता है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करें कि बहुभुज समतल, नियमित या उत्तल हो सकते हैं। रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जिसमें जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से परिचित त्रिकोण कई दिलचस्प और रहस्यमय चीजों से भरा हुआ है।

हालाँकि, निःसंदेह, तीन कोणों वाली आकृति को भी बहुभुज माना जा सकता है

लेकिन यह आंकड़े को दर्शाने के लिए पर्याप्त नहीं है। एक टूटी हुई रेखा A1A2...An एक आकृति है जिसमें बिंदु A1,A2,...An और उन्हें जोड़ने वाले खंड A1A2, A2A3,... होते हैं। एक सरल बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसकी पड़ोसी कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं (चित्र 5)। शब्द "बहुभुज" में "अनेक" भाग के स्थान पर एक विशिष्ट संख्या रखें, उदाहरण के लिए 3, आपको एक त्रिभुज मिलेगा। ध्यान दें, जितने कोण हैं, उतनी ही भुजाएँ हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुभुज कहा जा सकता है।

मान लीजिए A1A2...A n एक दिया गया उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें विकर्ण बनाएं (एक शीर्ष से)

प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 1800 है, और इन त्रिभुज n की संख्या 2 है। इसलिए, उत्तल n - त्रिभुज A1A2...A n के कोणों का योग 1800* (n - 2) है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है। किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटा हुआ कोण होता है।

एक चतुर्भुज में एक सीधी रेखा खींचिए ताकि वह इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित कर दे

किसी चतुर्भुज के तीन शीर्ष कभी भी एक ही रेखा पर नहीं होते। शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार की सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं। एक टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है यदि उसमें कोई स्व-प्रतिच्छेद न हो (चित्र 2, 3)।

एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग होती है (चित्र 4)। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। ऐसी आकृतियाँ लंबे समय से इमारतों को सजाने वाले कारीगरों के लिए रुचिकर रही हैं।

शीर्षों की संख्या भुजाओं की संख्या के बराबर होती है। एक पॉलीलाइन को बंद कहा जाता है यदि उसके सिरे संपाती हों। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए लकड़ी की छत पर। हमारा पाँचकोणीय तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है।

लेकिन सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग लकड़ी की छत बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। आइए दो प्रकार के बहुभुजों पर करीब से नज़र डालें: त्रिभुज और चतुर्भुज। एक बहुभुज जिसके सभी आंतरिक कोण बराबर हों, नियमित कहलाता है। बहुभुजों का नाम भुजाओं या शीर्षों की संख्या के अनुसार रखा जाता है।

समतल का वह भाग जो किसी बंद टूटी रेखा से घिरा होता है, बहुभुज कहलाता है।

इस टूटी हुई रेखा के खंड कहलाते हैं दलोंबहुभुज. AB, BC, CD, DE, EA (चित्र 1) बहुभुज ABCDE की भुजाएँ हैं। बहुभुज की सभी भुजाओं का योग उसका कहलाता है परिमाप.

बहुभुज कहलाता है उत्तल, यदि यह इसके किसी भी किनारे पर स्थित है, तो दोनों शीर्षों से परे अनिश्चित काल तक विस्तारित है।

एमएनपीकेओ बहुभुज (चित्र 1) उत्तल नहीं होगा, क्योंकि यह सीधी रेखा केआर के एक से अधिक तरफ स्थित है।

हम केवल उत्तल बहुभुजों पर विचार करेंगे।

किसी बहुभुज की दो आसन्न भुजाओं से बनने वाले कोण उसके कहलाते हैं आंतरिककोने, और उनके शीर्ष हैं बहुभुज के शीर्ष.

किसी बहुभुज के दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाली सीधी रेखा खंड को बहुभुज का विकर्ण कहा जाता है।

AC, AD - बहुभुज के विकर्ण (चित्र 2)।

बहुभुज के आंतरिक कोणों से सटे कोणों को बहुभुज के बाह्य कोण कहा जाता है (चित्र 3)।

कोणों (भुजाओं) की संख्या के आधार पर बहुभुज को त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज आदि कहा जाता है।

दो बहुभुजों को सर्वांगसम कहा जाता है यदि उन्हें ओवरलैपिंग द्वारा एक साथ लाया जा सके।

उत्कीर्ण और परिचालित बहुभुज

यदि किसी बहुभुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों, तो बहुभुज कहलाता है अंकित कियाएक वृत्त में, और वृत्त - बताया गया हैबहुभुज के पास (अंजीर)।

यदि किसी बहुभुज की सभी भुजाएँ एक वृत्त की स्पर्शरेखा हों, तो बहुभुज कहलाता है बताया गया हैएक वृत्त के बारे में, और वृत्त को कहा जाता है अंकित कियाएक बहुभुज में (चित्र)।

बहुभुजों की समानता

एक ही नाम के दो बहुभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनमें से एक का कोण क्रमशः दूसरे के कोण के बराबर हो और बहुभुज की समान भुजाएँ समानुपाती हों।

समान भुजाओं (कोणों) वाले बहुभुजों को एक ही नाम के बहुभुज कहा जाता है।

समान बहुभुजों के शीर्षों को संगत समान कोणों से जोड़ने वाली भुजाएँ समरूप कहलाती हैं (चित्र)।

इसलिए, उदाहरण के लिए, बहुभुज ABCDE को बहुभुज A'B'C'D'E' के समान बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ डी = ∠डी' ∠ ई = ∠ई' और, इसके अलावा, एबी / ए'बी' = बीसी / बी'सी' = सीडी / सी'डी' = डीई / डी'ई' = ईए / ई'ए' .

समान बहुभुजों की परिमापों का अनुपात

सबसे पहले, समान अनुपातों की श्रृंखला की संपत्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित अनुपात हैं: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2।

आइए इन संबंधों के पिछले पदों का योग ज्ञात करें, फिर उनके बाद के पदों का योग और परिणामी योगों का अनुपात ज्ञात करें, हमें मिलता है:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

यदि हम कुछ अन्य संबंधों की श्रृंखला लेते हैं तो हमें वही चीज़ मिलती है, उदाहरण के लिए: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 आइए पिछले पदों का योग ज्ञात करें इन संबंधों और बाद के संबंधों का योग, और फिर इन योगों का अनुपात ज्ञात करें, हमें मिलता है:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

दोनों मामलों में, समान संबंधों की श्रृंखला के पिछले सदस्यों का योग उसी श्रृंखला के बाद के सदस्यों के योग से संबंधित होता है, जैसे इनमें से किसी भी संबंध का पिछला सदस्य उसके बाद के सदस्यों से संबंधित होता है।

हमने कई संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करके यह संपत्ति प्राप्त की है। इसे सख्ती से और सामान्य रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

अब समान बहुभुजों की परिमापों के अनुपात पर विचार करें।

माना बहुभुज ABCDE बहुभुज A'B'C'D'E' के समान है (चित्र)।

इन बहुभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है

एबी/ए'बी' = बीसी/बी'सी' = सीडी/सी'डी' = डीई/डी'ई' = ईए/ई'ए'

समान अनुपातों की श्रृंखला के लिए प्राप्त संपत्ति के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

हमारे द्वारा लिए गए संबंधों के पिछले पदों का योग पहले बहुभुज (P) की परिधि को दर्शाता है, और इन संबंधों के बाद के पदों का योग दूसरे बहुभुज (P') की परिधि को दर्शाता है, जिसका अर्थ है P/P ' = एबी/ए'बी'.

इस तरह, समान बहुभुजों की परिधि उनकी समान भुजाओं से संबंधित होती है।

समान बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

माना ABCDE और A'B'C'D'E' समान बहुभुज हैं (चित्र)।

यह ज्ञात है कि ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' और ΔADE ~ ΔA'D'E'।

अलावा,

चूँकि इन अनुपातों का दूसरा अनुपात बराबर है, जो बहुभुजों की समानता से उत्पन्न होता है

समान अनुपातों की श्रृंखला के गुण का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

जहां S और S' इन समान बहुभुजों के क्षेत्र हैं।

इस तरह, समान बहुभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं वाले वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं।

परिणामी सूत्र को इस रूप में बदला जा सकता है: S/S' = (AB/A'B') 2

एक मनमाना बहुभुज का क्षेत्रफल

मान लीजिए कि एक मनमाना चतुर्भुज ABC (चित्र) के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है।

आइए इसमें एक विकर्ण बनाएं, उदाहरण के लिए AD। हमें दो त्रिभुज ABD और ACD मिलते हैं, जिनके क्षेत्रफल की हम गणना कर सकते हैं। फिर हम इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करते हैं। परिणामी योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल को व्यक्त करेगा।

यदि आपको एक पंचभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम वही काम करते हैं: हम किसी एक शीर्ष से विकर्ण खींचते हैं। हमें तीन त्रिभुज मिलते हैं, जिनके क्षेत्रफल की हम गणना कर सकते हैं। इसका मतलब है कि हम इस पंचभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। किसी बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय भी हम ऐसा ही करते हैं।

बहुभुज का प्रक्षेपित क्षेत्र

आइए हम याद करें कि एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण किसी दी गई रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र)।

प्रमेय. एक समतल पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल, बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल से बने कोण की कोज्या से गुणा किए गए प्रक्षेपित बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिनके क्षेत्रफलों का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, यह एक त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

मान लीजिए ΔАВС को समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है आर. आइए दो मामलों पर विचार करें:

a) ΔABC की एक भुजा समतल के समानांतर है आर;

b) ΔABC की कोई भी भुजा समानांतर नहीं है आर.

चलो गौर करते हैं पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

आइए (AB) से होकर एक समतल बनाएं आर 1 || आरऔर ओर्थोगोनली ΔАВС को प्रोजेक्ट करें आर 1 और आगे आर(चावल।); हमें ΔАВС 1 और ΔА'В'С' मिलता है।

प्रक्षेपण की संपत्ति से हमारे पास ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' है, और इसलिए

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

आइए ⊥ और खंड D 1 C 1 बनाएं। फिर ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ समतल ΔABC और समतल के बीच के कोण का मान है आर 1 . इसीलिए

एस Δ एबीसी1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1 / 2 | एबी | | सीडी 1 | कॉस φ = एस Δ एबीसी कॉस φ

और, इसलिए, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ।

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें दूसरा मामला. आइए एक हवाई जहाज़ बनाएं आर 1 || आरउस शीर्ष के माध्यम से ΔАВС, जिससे विमान की दूरी आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।

आइए विमान पर ΔАВС प्रक्षेपित करें आर 1 और आर(चावल।); मान लीजिए इसके प्रक्षेपण क्रमशः ΔАВ 1 С 1 और ΔА'В'С' हैं।

चलो (बीसी) ∩ पी 1 = डी. फिर

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

अन्य सामग्री

विषय, छात्र आयु: ज्यामिति, 9वीं कक्षा

पाठ का उद्देश्य: बहुभुजों के प्रकारों का अध्ययन करना।

शैक्षिक कार्य: बहुभुजों के बारे में छात्रों के ज्ञान को अद्यतन, विस्तारित और सामान्य बनाना; बहुभुज के "घटक भागों" का एक विचार तैयार करें; नियमित बहुभुज (त्रिकोण से एन-गॉन तक) के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करें;

विकासात्मक कार्य: विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करने, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोच और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करने की क्षमता विकसित करना; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास करना;

शैक्षिक कार्य: स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य के लिए जिम्मेदारी, लक्ष्य प्राप्त करने में दृढ़ता पैदा करना।

कक्षाओं के दौरान:चॉकबोर्ड पर लिखा उद्धरण

"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर...गणितीय आंकड़े।"जी.गैलिली

पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया गया है (हमारे मामले में, प्रत्येक को 4 लोगों के समूहों में विभाजित किया गया है - समूह के सदस्यों की संख्या प्रश्न समूहों की संख्या के बराबर है)।

1.कॉल स्टेज-

लक्ष्य:

क) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;

बी) अध्ययन किए जा रहे विषय में रुचि जगाना, प्रत्येक छात्र को शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरित करना।

तकनीक: खेल "क्या आप ऐसा मानते हैं...", पाठ के साथ काम का संगठन।

कार्य के रूप: ललाट, समूह।

"क्या आप मानते हैं कि..."

1. ... "बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार की सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं?

2. ...क्या एक त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो एक समतल पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच प्रतिष्ठित है?

3. ...क्या एक वर्ग एक नियमित अष्टकोण (चार भुजाएँ + चार कोने) है?

आज के पाठ में हम बहुभुजों के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद टूटी हुई रेखा से सीमित है, जो बदले में सरल, बंद हो सकता है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करें कि बहुभुज समतल, नियमित या उत्तल हो सकते हैं। समतल बहुभुजों में से एक एक त्रिभुज है, जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप छात्रों को बहुभुज, एक टूटी हुई रेखा को दर्शाने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप टीएसओ का भी उपयोग कर सकते हैं)।

2. गर्भाधान अवस्था

लक्ष्य: नई जानकारी प्राप्त करना, उसे समझना, उसका चयन करना।

तकनीक: ज़िगज़ैग.

कार्य के रूप: व्यक्तिगत->जोड़ी->समूह।

समूह के प्रत्येक सदस्य को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से संकलित किया जाता है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल होती हैं। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न मिलते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में मिलने चाहिए।

बहुभुज. बहुभुज के प्रकार.

रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जिसमें जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से परिचित त्रिकोण कई दिलचस्प और रहस्यमय चीजों से भरा हुआ है।

हमें पहले से ही ज्ञात त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा, भुजाओं (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र, अधिक, आयताकार) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच प्रतिष्ठित है। विमान।

शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार की सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं। लेकिन यह आंकड़े को दर्शाने के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक टूटी हुई रेखा A 1 A 2 ...A n एक आकृति है जिसमें बिंदु A 1, A 2, ...A n और उन्हें जोड़ने वाले खंड A 1 A 2, A 2 A 3,... शामिल हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन की कड़ियाँ कहा जाता है। (चित्र .1)

एक टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है यदि उसमें कोई स्व-प्रतिच्छेद न हो (चित्र 2, 3)।

एक पॉलीलाइन को बंद कहा जाता है यदि उसके सिरे संपाती हों। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग होती है (चित्र 4)।

एक सरल बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसकी पड़ोसी कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं (चित्र 5)।

शब्द "बहुभुज" में "अनेक" भाग के स्थान पर एक विशिष्ट संख्या रखें, उदाहरण के लिए 3, आपको एक त्रिभुज मिलेगा। या 5. फिर - एक पंचकोण. ध्यान दें, जितने कोण हैं, उतनी ही भुजाएँ हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुभुज कहा जा सकता है।

टूटी हुई रेखा के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और टूटी हुई रेखा की कड़ियों को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है।

बहुभुज विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी (चित्र 6)।

एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र एक बहुभुज से घिरे हुए समतल का परिमित भाग होता है।

बहुभुज के दो शीर्ष जो एक भुजा के सिरे होते हैं, आसन्न कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक तरफ के सिरे नहीं हैं, गैर-पड़ोसी कहलाते हैं।

n शीर्षों और इसलिए n भुजाओं वाले बहुभुज को n-गॉन कहा जाता है।

हालाँकि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिभुज, जब एक दूसरे से जुड़े होते हैं, तो अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होती हैं।

बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।

एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपनी भुजा वाली किसी रेखा के सापेक्ष एक ही आधे तल में स्थित हो। इस मामले में, सीधी रेखा को ही आधे तल से संबंधित माना जाता है।

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण उसकी भुजाओं के इस शीर्ष पर अभिसरित होने से बनने वाला कोण होता है।

आइए प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल एन-गॉन के कोणों के योग के बारे में): उत्तल एन-गॉन के कोणों का योग 180 0 *(एन - 2) के बराबर है।

सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। मान लीजिए A 1 A 2 ...A n एक दिया गया उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें (एक शीर्ष से) विकर्ण बनाएं। चूँकि बहुभुज उत्तल है, ये विकर्ण इसे n-2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों का योग होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180 0 के बराबर है, और इन त्रिभुजों n की संख्या 2 है। इसलिए, उत्तल n-gon A 1 A 2 ...A n के कोणों का योग 180 के बराबर है 0* (एन-2). प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटा हुआ कोण होता है।

एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।

तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। ऐसी आकृतियाँ लंबे समय से इमारतों को सजाने वाले कारीगरों के लिए रुचिकर रही हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए लकड़ी की छत पर। लेकिन सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग लकड़ी की छत बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। नियमित अष्टकोणों से लकड़ी की छत नहीं बनाई जा सकती। तथ्य यह है कि प्रत्येक कोण 135 0 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु दो ऐसे अष्टकोणों का शीर्ष है, तो वे 270 0 के लिए जिम्मेदार होंगे, और तीसरे अष्टकोण के लिए वहां फिट होने के लिए कोई जगह नहीं है: 360 0 - 270 0 = 90 0. लेकिन एक वर्ग के लिए यह पर्याप्त है। इसलिए, आप नियमित अष्टकोण और वर्गों से लकड़ी की छत बना सकते हैं।

सितारे भी सही हैं. हमारा पाँचकोणीय तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप वर्ग को केंद्र के चारों ओर 45 0 तक घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।

1 समूह

टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के शीर्ष और लिंक क्या हैं।

कौन सी टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है?

कौन सी टूटी हुई रेखा बंद कहलाती है?

बहुभुज किसे कहते हैं? बहुभुज के शीर्षों को क्या कहते हैं? बहुभुज की भुजाओं को क्या कहते हैं?

दूसरा समूह

किस बहुभुज को समतल कहा जाता है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

n-वर्ग क्या है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से शीर्ष आसन्न हैं और कौन से नहीं।

बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?

3 समूह

किस बहुभुज को उत्तल कहा जाता है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोण बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?

किस बहुभुज को नियमित कहा जाता है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

4 समूह

उत्तल n-गॉन के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।

छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, पूछे गए प्रश्नों के उत्तर तलाशते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सारांश तैयार करते हैं, और किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप. काम पूरा होने पर, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।

3. परावर्तन अवस्था -

क) किसी के ज्ञान का मूल्यांकन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;

बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।

रिसेप्शन: शोध कार्य।

कार्य के रूप: व्यक्तिगत->जोड़ी->समूह।

कार्य समूहों में प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक अनुभाग का उत्तर देने वाले विशेषज्ञ शामिल होते हैं।

कार्य समूह में लौटकर, विशेषज्ञ अपने प्रश्नों के उत्तर समूह के अन्य सदस्यों को प्रस्तुत करता है। समूह कार्य समूह के सभी सदस्यों के बीच सूचनाओं का आदान-प्रदान करता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन किए जा रहे विषय की एक सामान्य समझ बनती है।

छात्रों का शोध कार्य - तालिका भरना।

नियमित बहुभुज	चित्रकला	भुजाओं की संख्या	शीर्षों की संख्या	सभी आंतरिक कोणों का योग	डिग्री माप आंतरिक कोण	बाहरी कोण का डिग्री माप	विकर्णों की संख्या
एक त्रिकोण
बी) चतुर्भुज
बी) पांच-बार
डी) षट्भुज
डी) एन-गॉन

पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं का समाधान।

• एक चतुर्भुज में एक सीधी रेखा खींचिए ताकि वह इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित कर दे।
• एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिसके प्रत्येक आंतरिक कोण की माप 135 0 है?
• एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग बराबर हो सकता है: 360 0, 380 0?

पाठ का सारांश. होमवर्क रिकॉर्ड करना.