सबसे सरल अपरिमेय समीकरण उदाहरण हैं। अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

पाठ के लिए प्रारंभिक तैयारी: छात्रों को विभिन्न तरीकों से अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए।

इस पाठ से तीन सप्ताह पहले, छात्रों को होमवर्क नंबर 1 मिलता है: विभिन्न अपरिमेय समीकरणों को हल करें। (छात्र स्वतंत्र रूप से 6 अलग-अलग अपरिमेय समीकरण ढूंढते हैं और उन्हें जोड़े में हल करते हैं।)

इस पाठ से एक सप्ताह पहले, छात्रों को होमवर्क नंबर 2 मिलता है, जिसे वे व्यक्तिगत रूप से पूरा करते हैं।

1. समीकरण हल करेंविभिन्न तरीके।

2. प्रत्येक विधि के फायदे और नुकसान का मूल्यांकन करें।

3. निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में रिकॉर्ड करें।

№ पी/पी	रास्ता	लाभ	कमियां

पाठ मकसद:

शैक्षिक:इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का सामान्यीकरण, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का प्रदर्शन, छात्रों की शोध परिप्रेक्ष्य से समीकरणों को हल करने की क्षमता।

शैक्षिक:स्वतंत्रता को बढ़ावा देना, दूसरों को सुनने और समूहों में संवाद करने की क्षमता, विषय में रुचि बढ़ाना।

विकासात्मक:तार्किक सोच का विकास, एल्गोरिथम संस्कृति, स्व-शिक्षा कौशल, स्व-संगठन, होमवर्क करते समय जोड़े में काम करना, विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने का कौशल।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, टेबल "अतार्किक समीकरणों को हल करने के नियम", एम.वी. के उद्धरण वाला पोस्टर। लोमोनोसोव "गणित तभी पढ़ाया जाना चाहिए क्योंकि यह दिमाग को व्यवस्थित करता है," कार्ड।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के नियम.

पाठ का प्रकार: पाठ-संगोष्ठी (5-6 लोगों के समूह में काम करें, प्रत्येक समूह में मजबूत छात्र होने चाहिए)।

कक्षाओं के दौरान

मैं . आयोजन का समय

(पाठ के विषय और उद्देश्यों का संचार)

द्वितीय . शोध कार्य की प्रस्तुति "अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके"

(कार्य उस छात्र द्वारा प्रस्तुत किया गया है जिसने इसे किया है।)

तृतीय . गृहकार्य हल करने की विधियों का विश्लेषण

(प्रत्येक समूह से एक छात्र अपनी प्रस्तावित समाधान विधियों को बोर्ड पर लिखता है। प्रत्येक समूह समाधान विधियों में से एक का विश्लेषण करता है, फायदे और नुकसान का मूल्यांकन करता है, और निष्कर्ष निकालता है। समूहों में छात्र यदि आवश्यक हो तो जोड़ते हैं। समूह का विश्लेषण और निष्कर्ष मूल्यांकन किया जाता है। उत्तर स्पष्ट और पूर्ण होने चाहिए।)

पहली विधि: समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाना और फिर जाँच करना।

समाधान।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का फिर से वर्ग करें:

यहाँ से

इंतिहान:

1. यदिएक्स=42 तो, जिसका अर्थ है संख्या42 समीकरण का मूल नहीं है.

2. यदिएक्स=2, फिर, जिसका अर्थ है संख्या2 समीकरण का मूल है.

उत्तर:2.

№ पी/पी	रास्ता	लाभ	कमियां
	किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना	1. मैं देखता हूँ. दो उपलब्ध हैं।	1. मौखिक रिकॉर्डिंग. 2. कठिन सत्यापन.

निष्कर्ष। समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, मौखिक रिकॉर्ड रखना आवश्यक है, जो समाधान को समझने योग्य और सुलभ बनाता है। हालाँकि, अनिवार्य सत्यापन कभी-कभी जटिल और समय लेने वाला होता है। इस विधि का उपयोग 1-2 मूलांक वाले सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरी विधि: समतुल्य परिवर्तन।

समाधान:आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

उत्तर:2.

№ पी/पी	रास्ता	लाभ	कमियां
	समतुल्य परिवर्तन	1. मौखिक विवरण का अभाव. 2. कोई सत्यापन नहीं. 3. स्पष्ट तार्किक संकेतन. 4. समतुल्य संक्रमणों का क्रम।	1. बोझिल रिकॉर्डिंग. 2. किसी सिस्टम और सेट के संकेतों को मिलाते समय आप गलती कर सकते हैं।

निष्कर्ष। समतुल्य संक्रमणों की विधि का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको यह स्पष्ट रूप से जानना होगा कि सिस्टम का चिह्न कब लगाना है और समुच्चय का चिह्न कब लगाना है। रिकॉर्डिंग की बोझिलता और सिस्टम और संयोजन प्रतीकों के विभिन्न संयोजन अक्सर त्रुटियों का कारण बनते हैं। हालाँकि, समतुल्य संक्रमणों का क्रम, मौखिक विवरण के बिना एक स्पष्ट तार्किक संकेतन, जिसे सत्यापन की आवश्यकता नहीं है, इस पद्धति के निर्विवाद फायदे हैं।

तीसरी विधि: कार्यात्मक-ग्राफिकल।

समाधान।

आइए कार्यों पर नजर डालेंऔर.

1. कार्यबेहोश करना; बढ़ रहा है, क्योंकि घातांक एक धनात्मक (पूर्णांक नहीं) संख्या है।

डी(एफ).

आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सऔरएफ( एक्स).

	1,5		3,5
एफ(एक्स)

2. कार्यबेहोश करना; गिरते हुए।

आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजेंडी( जी).

आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सऔरजी( एक्स).

जी(एक्स)

आइए इन फ़ंक्शन ग्राफ़ को एक समन्वय प्रणाली में बनाएं।

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ भुज बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंक्योंकि समारोहएफ( एक्स) बढ़ता है, और कार्यजी( एक्स) घटता है, तो समीकरण का केवल एक ही हल होगा।

उत्तर: 2.

№पी/पी	रास्ता	लाभ	कमियां
	कार्यात्मक-ग्राफिक	1. दृश्यता. 2. जटिल बीजगणितीय परिवर्तन करने और ODZ की निगरानी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। 3. आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देता है।	1. मौखिक रिकॉर्डिंग. 2. सटीक उत्तर पाना हमेशा संभव नहीं होता है, और यदि उत्तर सटीक है, तो सत्यापन की आवश्यकता होती है।

निष्कर्ष। कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि दृश्य है और आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देती है, लेकिन इसका उपयोग करना बेहतर होता है जब आप आसानी से विचाराधीन कार्यों के ग्राफ़ बना सकते हैं और सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर अनुमानित है, तो किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।

चौथी विधि: एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करना।

समाधान।आइए हम निरूपित करते हुए नए वेरिएबल्स का परिचय देंहमें सिस्टम का पहला समीकरण प्राप्त होता है

आइए सिस्टम का दूसरा समीकरण बनाएं।

एक चर के लिए:

एक चर के लिए

इसीलिए

हमें इसके संबंध में दो तर्कसंगत समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती हैऔर

वेरिएबल पर लौटना, हम पाते हैं

एक नए वेरिएबल का परिचय

सरलीकरण - समीकरणों की एक ऐसी प्रणाली प्राप्त करना जिसमें मूलांक न हों

1. नए वेरिएबल्स के DID को ट्रैक करने की आवश्यकता

2. मूल चर पर लौटने की आवश्यकता

निष्कर्ष। इस पद्धति का उपयोग उन अपरिमेय समीकरणों के लिए सबसे अच्छा किया जाता है जिनमें विभिन्न डिग्री के मूलांक, या मूल चिह्न के नीचे और मूल चिह्न के पीछे समान बहुपद, या मूल चिह्न के नीचे पारस्परिक अभिव्यक्तियाँ शामिल होती हैं।

- तो, दोस्तों, प्रत्येक अतार्किक समीकरण के लिए आपको इसे हल करने का सबसे सुविधाजनक तरीका चुनना होगा: समझने योग्य। सुलभ, तार्किक और सक्षम रूप से डिज़ाइन किया गया। अपना हाथ उठाएँ कि आप में से कौन पसंद करेगा:

1) सत्यापन के साथ समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि;

2) समतुल्य परिवर्तनों की विधि;

3) कार्यात्मक-ग्राफिक विधि;

4) एक नया वेरिएबल पेश करने की विधि।

चतुर्थ . व्यावहारिक भाग

(समूहों में कार्य करें। छात्रों के प्रत्येक समूह को एक समीकरण वाला एक कार्ड मिलता है और वे उसे अपनी नोटबुक में हल करते हैं। इस समय, समूह का एक प्रतिनिधि बोर्ड पर एक उदाहरण को हल करता है। प्रत्येक समूह के छात्र उसी उदाहरण को हल करते हैं जैसा कि किसी सदस्य के उनका समूह और बोर्ड पर कार्यों के सही निष्पादन की निगरानी करता है यदि बोर्ड पर उत्तर देने वाला व्यक्ति गलतियाँ करता है, तो जो उन्हें नोटिस करता है वह अपना हाथ उठाता है और पाठ के दौरान, प्रत्येक छात्र को हल करने में मदद करता है अपने समूह द्वारा प्रस्तावित अन्य प्रश्नों को एक नोटबुक में अवश्य लिखें और उन्हें घर पर ही हल करें।)

समूह 1।

समूह 2।

समूह 3.

वी . स्वतंत्र काम

(समूहों में, पहले चर्चा होती है, और फिर छात्र कार्य पूरा करना शुरू करते हैं। शिक्षक द्वारा तैयार किया गया सही समाधान स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है।)

छठी . पाठ का सारांश

अब आप जानते हैं कि अतार्किक समीकरणों को हल करने के लिए आपके पास अच्छा सैद्धांतिक ज्ञान, उन्हें अभ्यास में लागू करने की क्षमता, ध्यान, कड़ी मेहनत और बुद्धिमत्ता की आवश्यकता होती है।

गृहकार्य

पाठ के दौरान समूहों को दिए गए समीकरणों को हल करें।

मूल चिन्ह के नीचे अज्ञात मात्रा वाले समीकरण अपरिमेय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, ये समीकरण हैं

कई मामलों में, समीकरण के दोनों पक्षों के घातांक को एक बार या बार-बार लागू करके, एक अपरिमेय समीकरण को एक डिग्री या किसी अन्य के बीजगणितीय समीकरण में कम करना संभव है (जो मूल समीकरण का परिणाम है)। चूँकि किसी समीकरण को घात तक बढ़ाने पर, बाहरी समाधान प्रकट हो सकते हैं, तो, बीजगणितीय समीकरण को हल करने के बाद, जिसमें हमने इस अपरिमेय समीकरण को कम कर दिया है, हमें पाए गए मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचना चाहिए और केवल उन्हें रखना चाहिए जो इसे संतुष्ट करते हैं , और बाकी - अप्रासंगिक को त्याग दें।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, हम स्वयं को केवल उनकी वास्तविक जड़ों तक ही सीमित रखते हैं; समीकरणों के लेखन में सम डिग्री की सभी जड़ों को अंकगणितीय अर्थ में समझा जाता है।

आइए अपरिमेय समीकरणों के कुछ विशिष्ट उदाहरण देखें।

A. वर्गमूल चिह्न के नीचे अज्ञात वाले समीकरण। यदि किसी दिए गए समीकरण में केवल एक वर्गमूल है, जिसके चिह्न के नीचे कोई अज्ञात है, तो इस मूल को अलग किया जाना चाहिए, अर्थात समीकरण के एक भाग में रखा जाना चाहिए, और अन्य सभी पदों को दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाना चाहिए। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, हम अतार्किकता से मुक्त हो जाएंगे और एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त करेंगे

उदाहरण 1. समीकरण हल करें.

समाधान। हम समीकरण के बाईं ओर मूल को अलग करते हैं;

हम परिणामी समानता को वर्गित करते हैं:

हम इस समीकरण की जड़ें पाते हैं:

जाँच से पता चलता है कि यह केवल मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।

यदि समीकरण में x वाले दो या दो से अधिक मूल शामिल हैं, तो वर्ग को कई बार दोहराया जाना चाहिए।

उदाहरण 2. निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

समाधान, ए) हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

हम जड़ को अलग करते हैं:

हम परिणामी समीकरण को फिर से वर्गित करते हैं:

परिवर्तनों के बाद हमें निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

आइए इसे हल करें:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके हम आश्वस्त हैं कि इसकी जड़ है, लेकिन यह इसके लिए एक बाहरी जड़ है।

बी) उदाहरण को उदाहरण ए के समान विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हालाँकि, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि इस समीकरण के दाईं ओर कोई अज्ञात मात्रा नहीं है, हम अलग तरीके से कार्य करेंगे। आइए समीकरण को उसके बायीं ओर संयुग्मित व्यंजक से गुणा करें; हम पाते हैं

दाईं ओर योग और अंतर का गुणनफल है, यानी वर्गों का अंतर। यहाँ से

इस समीकरण के बाईं ओर वर्गमूलों का योग था; अब प्राप्त समीकरण के बायीं ओर समान मूलों का अंतर है। आइए इसे और परिणामी समीकरणों को लिखें:

इन समीकरणों का योग लेने पर, हमें प्राप्त होता है

आइए हम अंतिम समीकरण का वर्ग करें और सरलीकरण के बाद हमें प्राप्त होता है

यहां से हम पाते हैं. जाँच करने पर हमें विश्वास हो गया कि इस समीकरण का मूल संख्या ही है। उदाहरण 3: समीकरण हल करें

यहां, पहले से ही मूल चिह्न के तहत, हमारे पास वर्ग त्रिपद हैं।

समाधान। हम समीकरण को बायीं ओर संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं:

इसमें से अंतिम समीकरण घटाएँ:

आइए इस समीकरण का वर्ग करें:

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं। जाँच करके हम आश्वस्त हैं कि इस समीकरण का मूल केवल संख्या x = 1 है।

बी. तीसरी डिग्री की जड़ों वाले समीकरण। अपरिमेय समीकरणों की प्रणाली. आइए हम स्वयं को ऐसे समीकरणों और प्रणालियों के व्यक्तिगत उदाहरणों तक सीमित रखें।

उदाहरण 4: समीकरण हल करें

समाधान। हम समीकरण (70.1) को हल करने के दो तरीके दिखाएंगे। पहला तरीका. आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें (सूत्र देखें (20.8)):

(यहां हमने समीकरण का उपयोग करके घनमूलों के योग को संख्या 4 से बदल दिया है)।

तो हमारे पास

यानी, सरलीकरण के बाद,

जहां से दोनों जड़ें मूल समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

दूसरा तरीका. चलो रखो

समीकरण (70.1) को फॉर्म में लिखा जाएगा। इसके अतिरिक्त यह भी स्पष्ट है कि. समीकरण (70.1) से हम सिस्टम की ओर बढ़े

सिस्टम के पहले समीकरण को पद दर पद दूसरे से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

इस लेख की सामग्री का पहला भाग अपरिमेय समीकरणों का विचार बनाता है। इसका अध्ययन करने के बाद आप अपरिमेय समीकरणों को अन्य प्रकार के समीकरणों से आसानी से अलग कर सकेंगे। दूसरा भाग अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियों की विस्तार से जाँच करता है और बड़ी संख्या में विशिष्ट उदाहरणों का विस्तृत समाधान प्रदान करता है। यदि आप इस जानकारी में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप निश्चित रूप से स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लगभग किसी भी अतार्किक समीकरण का सामना कर लेंगे। ज्ञान प्राप्त करने में शुभकामनाएँ!

अपरिमेय समीकरण क्या हैं?

आइए पहले स्पष्ट करें कि अपरिमेय समीकरण क्या हैं। ऐसा करने के लिए, हमें शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा अनुशंसित पाठ्यपुस्तकों में उपयुक्त परिभाषाएँ मिलेंगी रूसी संघ.

अपरिमेय समीकरणों और उनके समाधान के बारे में विस्तृत बातचीत बीजगणित पाठों में आयोजित की जाती है और हाई स्कूल में विश्लेषण शुरू किया जाता है। हालाँकि, कुछ लेखक इस प्रकार के समीकरण पहले ही प्रस्तुत कर चुके हैं। उदाहरण के लिए, जो लोग मोर्दकोविच ए.जी. की पाठ्यपुस्तकों का उपयोग करके अध्ययन करते हैं, वे आठवीं कक्षा में पहले से ही अपरिमेय समीकरणों के बारे में सीखते हैं: पाठ्यपुस्तक में कहा गया है कि

अपरिमेय समीकरणों के भी उदाहरण हैं, , , और इसी तरह। जाहिर है, उपरोक्त प्रत्येक समीकरण में वर्गमूल चिह्न के नीचे एक चर x होता है, जिसका अर्थ है कि, उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, ये समीकरण अपरिमेय हैं। यहां हम उन्हें हल करने के मुख्य तरीकों में से एक पर तुरंत चर्चा करते हैं -। लेकिन हम समाधान विधियों के बारे में थोड़ा नीचे बात करेंगे, लेकिन अभी हम अन्य पाठ्यपुस्तकों से अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा देंगे।

ए.एन. कोलमोगोरोव और यू. एम. कोल्यागिन की पाठ्यपुस्तकों में।

परिभाषा

तर्कहीनवे समीकरण हैं जिनमें मूल चिन्ह के नीचे एक चर समाहित होता है।

आइए इस परिभाषा और पिछली परिभाषा के बीच मूलभूत अंतर पर ध्यान दें: यह केवल मूल कहता है, न कि वर्गमूल, अर्थात, मूल की वह डिग्री जिसके अंतर्गत चर स्थित है, निर्दिष्ट नहीं है। इसका मतलब यह है कि मूल न केवल वर्गाकार हो सकता है, बल्कि तीसरा, चौथा आदि भी हो सकता है। डिग्री. इस प्रकार, अंतिम परिभाषा समीकरणों का एक व्यापक सेट निर्दिष्ट करती है।

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: हम हाई स्कूल में अपरिमेय समीकरणों की इस व्यापक परिभाषा का उपयोग क्यों शुरू करते हैं? सब कुछ समझने योग्य और सरल है: जब हम 8वीं कक्षा में अपरिमेय समीकरणों से परिचित होते हैं, तो हम केवल वर्गमूल के बारे में अच्छी तरह से जानते हैं, हम अभी तक किसी घनमूल, चौथी और उच्च घात की जड़ों के बारे में नहीं जानते हैं; और हाई स्कूल में जड़ की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जाता है, हम इसके बारे में सीखते हैं, और जब अपरिमेय समीकरणों के बारे में बात करते हैं तो हम अब वर्गमूल तक सीमित नहीं रहते हैं, बल्कि हमारा मतलब एक मनमानी डिग्री की जड़ से होता है।

स्पष्टता के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों के कई उदाहरण प्रदर्शित करेंगे। - यहां चर x घनमूल चिह्न के नीचे स्थित है, इसलिए यह समीकरण अपरिमेय है। एक और उदाहरण: - यहाँ चर x वर्गमूल और चतुर्थ मूल दोनों के चिह्न के अंतर्गत है, अर्थात यह भी एक अपरिमेय समीकरण है। यहां अधिक जटिल रूप के अपरिमेय समीकरणों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: और .

उपरोक्त परिभाषाएँ हमें यह ध्यान देने की अनुमति देती हैं कि किसी भी अपरिमेय समीकरण के अंकन में जड़ों के संकेत होते हैं। यह भी स्पष्ट है कि यदि मूलों का कोई चिह्न न हो तो समीकरण अतार्किक नहीं है। हालाँकि, मूल चिह्न वाले सभी समीकरण अपरिमेय नहीं होते हैं। दरअसल, एक अपरिमेय समीकरण में मूल चिह्न के नीचे एक चर होना चाहिए; यदि मूल चिह्न के नीचे कोई चर नहीं है, तो समीकरण अपरिमेय नहीं है। उदाहरण के तौर पर, हम ऐसे समीकरणों के उदाहरण देते हैं जिनमें जड़ें तो हैं, लेकिन वे अपरिमेय नहीं हैं। समीकरण और तर्कहीन नहीं हैं, क्योंकि उनमें मूल चिन्ह के नीचे चर नहीं होते हैं - मूल के नीचे संख्याएँ होती हैं, लेकिन मूल चिन्ह के नीचे कोई चर नहीं होते हैं, इसलिए ये समीकरण तर्कहीन नहीं होते हैं।

यह उन चरों की संख्या का उल्लेख करने योग्य है जो अपरिमेय समीकरण लिखने में भाग ले सकते हैं। उपरोक्त सभी अपरिमेय समीकरणों में एक ही चर x है, अर्थात वे एक चर वाले समीकरण हैं। हालाँकि, कोई भी चीज़ हमें दो, तीन, आदि के साथ अतार्किक समीकरणों पर विचार करने से नहीं रोकती है। चर। आइए हम दो चर वाले एक अपरिमेय समीकरण का उदाहरण दें और तीन चर के साथ.

ध्यान दें कि स्कूल में आपको मुख्य रूप से एक चर वाले अपरिमेय समीकरणों पर काम करना होता है। कई चर वाले अपरिमेय समीकरण बहुत कम आम हैं। उन्हें रचना में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कार्य में "समीकरणों की प्रणाली को हल करें"। "या, कहें, ज्यामितीय वस्तुओं के बीजगणितीय विवरण में, मूल पर एक केंद्र के साथ एक अर्धवृत्त, 3 इकाइयों की त्रिज्या, ऊपरी आधे तल में स्थित, समीकरण से मेल खाती है।

"तर्कहीन समीकरण" अनुभाग में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए समस्याओं के कुछ संग्रह में ऐसे कार्य शामिल हैं जिनमें चर न केवल मूल चिह्न के अंतर्गत है, बल्कि किसी अन्य फ़ंक्शन के चिह्न के अंतर्गत भी है, उदाहरण के लिए, मापांक, लघुगणक, आदि . यहाँ एक उदाहरण है , किताब से लिया गया है, लेकिन यहां - संग्रह से। पहले उदाहरण में, चर x लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है, और लघुगणक भी मूल चिह्न के अंतर्गत है, अर्थात, बोलने के लिए, हमारे पास एक अपरिमेय लघुगणक (या लघुगणक अपरिमेय) समीकरण है। दूसरे उदाहरण में, चर मापांक चिह्न के नीचे है, और मापांक भी मूल चिह्न के नीचे है, आपकी अनुमति से, हम इसे मापांक के साथ एक अपरिमेय समीकरण कहेंगे;

क्या इस प्रकार के समीकरणों को अपरिमेय माना जाना चाहिए? अच्छा प्रश्न। ऐसा लगता है कि मूल के चिन्ह के नीचे एक चर है, लेकिन यह भ्रामक है कि यह अपने "शुद्ध रूप" में नहीं है, बल्कि एक या अधिक कार्यों के चिन्ह के नीचे है। दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए अपरिमेय समीकरणों को हमने जिस प्रकार परिभाषित किया है, उसमें कोई विरोधाभास नहीं प्रतीत होता है, लेकिन अन्य कार्यों की उपस्थिति के कारण कुछ हद तक अनिश्चितता है। हमारे दृष्टिकोण से, किसी को "कुदाल को कुदाल कहने" के बारे में कट्टर नहीं होना चाहिए। व्यवहार में, यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस प्रकार का है, केवल "समीकरण" कहना पर्याप्त है। और ये सभी जोड़ "तर्कहीन", "लघुगणक" आदि हैं। सामग्री की प्रस्तुति और समूहन की सुविधा के लिए अधिकतर उपयोग किया जाता है।

अंतिम पैराग्राफ में दी गई जानकारी के आलोक में, ग्रेड 11 के लिए ए.जी. मोर्दकोविच द्वारा लिखित पाठ्यपुस्तक में दी गई अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा रुचिकर है।

परिभाषा

तर्कहीनवे समीकरण हैं जिनमें चर मूल चिह्न के अंतर्गत या भिन्नात्मक घात तक बढ़ने के चिह्न के अंतर्गत समाहित होता है।

यहां, मूल के चिह्न के अंतर्गत चर वाले समीकरणों के अलावा, भिन्नात्मक घात के चिह्न के अंतर्गत चर वाले समीकरणों को भी अपरिमेय माना जाता है। उदाहरण के लिए, इस परिभाषा के अनुसार, समीकरण तर्कहीन माना जाता है. अचानक क्यों? हम पहले से ही अपरिमेय समीकरणों में जड़ों के आदी हैं, लेकिन यहां यह जड़ नहीं है, बल्कि एक डिग्री है, और क्या आप इस समीकरण को, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय के बजाय एक शक्ति समीकरण कहेंगे? सब कुछ सरल है: इसे जड़ों के माध्यम से निर्धारित किया जाता है, और किसी दिए गए समीकरण के लिए चर x पर (बशर्ते x 2 +2·x≥0) इसे मूल का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है , और अंतिम समानता मूल चिह्न के नीचे एक चर के साथ एक परिचित अपरिमेय समीकरण है। और भिन्नात्मक शक्तियों के आधार में चर वाले समीकरणों को हल करने की विधियाँ बिल्कुल अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियों के समान हैं (उनकी चर्चा अगले पैराग्राफ में की जाएगी)। अत: इन्हें अतार्किक कहना और इसी दृष्टि से विचार करना सुविधाजनक है। लेकिन आइए अपने प्रति ईमानदार रहें: प्रारंभ में हमारे पास समीकरण है , लेकिन नहीं , और भाषा अंकन में जड़ की अनुपस्थिति के कारण मूल समीकरण को तर्कहीन कहने के लिए बहुत इच्छुक नहीं है। वही तकनीक हमें शब्दावली के संबंध में ऐसे विवादास्पद मुद्दों से बचने की अनुमति देती है: समीकरण को बिना किसी विशिष्ट स्पष्टीकरण के केवल एक समीकरण कहें।

सबसे सरल अपरिमेय समीकरण

यह तथाकथित के बारे में कहने लायक है सरलतम अपरिमेय समीकरण. आइए तुरंत कहें कि यह शब्द बीजगणित और प्रारंभिक विश्लेषण की मुख्य पाठ्यपुस्तकों में दिखाई नहीं देता है, लेकिन कभी-कभी समस्या पुस्तकों और प्रशिक्षण मैनुअल में पाया जाता है, उदाहरण के लिए, में। इसे आम तौर पर स्वीकृत नहीं माना जाना चाहिए, लेकिन यह जानने में कोई हर्ज नहीं है कि आमतौर पर सबसे सरल अतार्किक समीकरणों से क्या समझा जाता है। यह आमतौर पर अपरिमेय समीकरणों के रूप को दिया गया नाम है , जहां f(x) और g(x) कुछ हैं। इस प्रकाश में, सबसे सरल अपरिमेय समीकरण कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण या .

ऐसे नाम की उपस्थिति को "सबसे सरल अपरिमेय समीकरण" के रूप में कोई कैसे समझा सकता है? उदाहरण के लिए, क्योंकि अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए अक्सर उनके स्वरूप में प्रारंभिक कमी की आवश्यकता होती है और किसी भी मानक समाधान विधियों का आगे अनुप्रयोग। इस रूप में अपरिमेय समीकरण को सरलतम कहा जाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ

जड़ की परिभाषा के अनुसार

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियों में से एक पर आधारित है। इसकी सहायता से सामान्यतः सरलतम रूप के अपरिमेय समीकरण हल किये जाते हैं , जहां f(x) और g(x) कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्तियां हैं (हमने सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा दी है)। प्रपत्र के अपरिमेय समीकरणों को इसी प्रकार हल किया जाता है , लेकिन जिसमें f(x) और/या g(x) परिमेय के अलावा अन्य अभिव्यक्तियाँ हैं। हालाँकि, कई मामलों में ऐसे समीकरणों को अन्य तरीकों से हल करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसकी चर्चा निम्नलिखित पैराग्राफ में की जाएगी।

सामग्री को प्रस्तुत करने की सुविधा के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों को सम मूल घातांकों से अलग करते हैं, अर्थात समीकरण , 2·k=2, 4, 6, … , विषम मूल घातांक वाले समीकरणों से , 2 k+1=3, 5, 7, ...आइए तुरंत उन्हें हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करें:

उपरोक्त दृष्टिकोण सीधे अनुसरण करते हैं और .

इसलिए, अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि जड़ की परिभाषा इस प्रकार है:

मूल की परिभाषा के अनुसार, दाहिनी ओर संख्याओं के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करना सबसे सुविधाजनक है, यानी, फॉर्म के समीकरण, जहां सी एक निश्चित संख्या है। जब समीकरण के दाहिनी ओर कोई संख्या होती है, तो भले ही मूल घातांक सम हो, सिस्टम पर जाने की कोई आवश्यकता नहीं है: यदि C एक गैर-नकारात्मक संख्या है, तो, परिभाषा के अनुसार, सम की एक जड़ है डिग्री, और यदि C एक ऋणात्मक संख्या है, तो हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, एक सम डिग्री की जड़ एक गैर-नकारात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि समीकरण नहीं है चर x के किसी भी वास्तविक मान के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदलें।

आइए विशिष्ट उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।

हम सरल से जटिल की ओर जायेंगे। आइए सबसे सरल अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके बाईं ओर एक सम डिग्री की जड़ है, और दाईं ओर - एक सकारात्मक संख्या है, यानी, फॉर्म के समीकरण को हल करके, जहां सी एक सकारात्मक है संख्या। मूल का निर्धारण आपको किसी दिए गए अपरिमेय समीकरण को हल करने से लेकर बिना मूल वाले सरल समीकरण को हल करने की अनुमति देता है С 2·k =f(x) .

दाईं ओर शून्य वाले सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को मूल को परिभाषित करके इसी तरह हल किया जाता है।

आइए हम अपरिमेय समीकरणों पर अलग से ध्यान दें, जिसके बाईं ओर एक सम डिग्री का मूल है जिसके चिह्न के नीचे एक चर है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है। ऐसे समीकरणों का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर कोई हल नहीं होता (हम इससे परिचित होने के बाद जटिल मूलों के बारे में बात करेंगे जटिल आंकड़े). यह बिल्कुल स्पष्ट है: एक सम मूल परिभाषा के अनुसार एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता है।

पिछले उदाहरणों के अपरिमेय समीकरणों के बाएँ पक्ष सम घातों के मूल थे, और दाएँ पक्ष संख्याएँ थे। आइए अब दाईं ओर चर वाले उदाहरणों पर विचार करें, यानी हम फॉर्म के अपरिमेय समीकरणों को हल करेंगे . इन्हें हल करने के लिए मूल का निर्धारण करके सिस्टम में परिवर्तन किया जाता है , जिसमें मूल समीकरण के समान समाधानों का सेट है।

यह ध्यान में रखना होगा कि सिस्टम , जिसके समाधान में मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान कम हो जाता है , यह सलाह दी जाती है कि यंत्रवत् नहीं, बल्कि यदि संभव हो तो तर्कसंगत रूप से हल करें। यह स्पष्ट है कि यह "विषय से अधिक प्रश्न है" सिस्टम समाधान", लेकिन फिर भी हम अक्सर सामने आने वाली तीन स्थितियों को उदाहरणों के साथ सूचीबद्ध करते हैं:

1. उदाहरण के लिए, यदि इसके पहले समीकरण g 2·k (x)=f(x) का कोई समाधान नहीं है, तो असमानता g(x)≥0 को हल करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि समीकरण के समाधान की अनुपस्थिति से कोई भी निष्कर्ष निकालें कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

1. इसी प्रकार, यदि असमानता g(x)≥0 का कोई समाधान नहीं है, तो समीकरण g 2·k (x)=f(x) को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इसके बिना भी यह स्पष्ट है कि इस मामले में सिस्टम कोई समाधान नहीं है.

1. अक्सर, असमानता g(x)≥0 को बिल्कुल भी हल नहीं किया जाता है, बल्कि केवल यह जांचा जाता है कि समीकरण g 2·k (x)=f(x) के कौन से मूल इसे संतुष्ट करते हैं। उन सभी का समुच्चय जो असमानता को संतुष्ट करते हैं, प्रणाली का एक समाधान है, जिसका अर्थ है कि यह इसके समतुल्य मूल अपरिमेय समीकरण का भी एक समाधान है।

मूलों के सम घातांक वाले समीकरणों के बारे में बहुत हो गया। अब समय आ गया है कि फॉर्म की विषम घातों की जड़ों वाले अपरिमेय समीकरणों पर ध्यान दिया जाए . जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, उन्हें हल करने के लिए हम समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ते हैं , जिसे किसी भी उपलब्ध तरीके से हल किया जा सकता है।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, आइए उल्लेख करें समाधानों की जाँच करना. मूल का निर्धारण करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि संक्रमणों की तुल्यता की गारंटी देती है। इसका मतलब यह है कि पाए गए समाधानों की जांच करना आवश्यक नहीं है। इस बिंदु को अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए इस विधि के फायदों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, क्योंकि अधिकांश अन्य तरीकों में, सत्यापन समाधान का एक अनिवार्य चरण है, जो बाहरी जड़ों को काटने की अनुमति देता है। लेकिन यह याद रखना चाहिए कि मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करके जाँच करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता है: अचानक एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि आ गई है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की जाँच और फ़िल्टर करने का मुद्दा बहुत महत्वपूर्ण है, इसलिए हम इस लेख के अगले पैराग्राफ में से एक में इस पर लौटेंगे।

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि

आगे की प्रस्तुति यह मानती है कि पाठक को समतुल्य समीकरणों और परिणामी समीकरणों का अंदाजा है।

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है:

कथन

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने पर एक परिणामी समीकरण प्राप्त होता है, और किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम घात तक बढ़ाने पर एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

सबूत

आइए हम इसे एक चर वाले समीकरणों के लिए सिद्ध करें। कई चर वाले समीकरणों के लिए, प्रमाण के सिद्धांत समान हैं।

मान लीजिए A(x)=B(x) मूल समीकरण है और x 0 इसका मूल है। चूँकि x 0 इस समीकरण का मूल है, तो A(x 0)=B(x 0) – वास्तविक संख्यात्मक समानता. हम संख्यात्मक समानताओं के इस गुण को जानते हैं: वास्तविक संख्यात्मक समानताओं का पद-दर-पद गुणन एक वास्तविक संख्यात्मक समानता देता है। आइए सही संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) में से पद को पद 2·k से गुणा करें, जहां k एक प्राकृतिक संख्या है, इससे हमें सही संख्यात्मक समानता A 2·k (x 0)= मिलेगी ख 2·क (x0) . और परिणामी समानता का अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2·k (x)=B 2·k (x) का मूल है, जो मूल समीकरण से दोनों पक्षों को समान प्राकृतिक घात 2·k तक बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है। .

समीकरण A 2·k (x)=B 2·k (x) के मूल के अस्तित्व की संभावना को उचित ठहराने के लिए, जो मूल समीकरण A(x)=B(x) का मूल नहीं है, यह है एक उदाहरण देने के लिए पर्याप्त है. अपरिमेय समीकरण पर विचार करें , और समीकरण , जो मूल से दोनों भागों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है। यह जाँचना आसान है कि शून्य समीकरण का मूल है , वास्तव में, , वही बात 4=4 एक सच्ची समानता है। लेकिन साथ ही, शून्य समीकरण के लिए एक बाहरी जड़ है , चूँकि शून्य को प्रतिस्थापित करने के बाद हमें समानता प्राप्त होती है , जो कि 2=−2 के समान है, जो गलत है। इससे सिद्ध होता है कि मूल समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने पर प्राप्त समीकरण के मूल मूल समीकरण से भिन्न हो सकते हैं।

यह सिद्ध हो चुका है कि किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान प्राकृतिक घात तक बढ़ाने पर परिणामी समीकरण बनता है।

यह सिद्ध करना बाकी है कि समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने से एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण का प्रत्येक मूल मूल से प्राप्त समीकरण का मूल है, जो इसके दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा देता है, और इसके विपरीत, यह कि समीकरण का प्रत्येक मूल मूल से इसके दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है। शक्ति मूल समीकरण का मूल है.

आइए हमारे पास समीकरण A(x)=B(x) है। माना x 0 इसका मूल है। तब संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) सत्य है। वास्तविक संख्यात्मक समानताओं के गुणों का अध्ययन करते समय, हमने सीखा कि वास्तविक संख्यात्मक समानताओं को पद दर पद गुणा किया जा सकता है। पद को पद 2·k+1 से गुणा करने पर, जहाँ k एक प्राकृतिक संख्या है, सही संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) हमें सही संख्यात्मक समानता A 2·k+1 (x 0)= प्राप्त होती है B 2·k+1 ( x 0) , जिसका अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) का मूल है। अब पीछे हो। माना x 0 समीकरण A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) का मूल है। इसका मतलब है कि संख्यात्मक समानता A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) सही है। किसी भी वास्तविक संख्या के विषम मूल के अस्तित्व तथा उसकी विशिष्टता के कारण समानता भी सत्य होगी। यह, बदले में, पहचान के कारण है , जहां a कोई वास्तविक संख्या है जो जड़ों और शक्तियों के गुणों से आती है, उसे A(x 0)=B(x 0) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसका मतलब यह है कि x 0 समीकरण A(x)=B(x) का मूल है।

यह सिद्ध हो चुका है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाने पर एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

सिद्ध कथन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले हमारे ज्ञात शस्त्रागार को समीकरणों के एक और परिवर्तन के साथ पुनः भर देता है - समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ा देता है। किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही विषम घात तक बढ़ाना एक परिणामी समीकरण की ओर ले जाने वाला परिवर्तन है, और इसे एक सम घात तक बढ़ाना एक समतुल्य परिवर्तन है। समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि इसी परिवर्तन पर आधारित है।

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही प्राकृतिक घात तक बढ़ाना मुख्य रूप से अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि कुछ मामलों में यह परिवर्तन किसी को जड़ों के संकेतों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना घात n के लिए समीकरण देता है , जिसे बाद में समीकरण f(x)=g n (x) में बदला जा सकता है, जिसमें अब बाईं ओर कोई जड़ नहीं है। उपरोक्त उदाहरण दर्शाता है समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि का सार: एक उपयुक्त परिवर्तन का उपयोग करके, एक सरल समीकरण प्राप्त करें जिसके अंकन में मूलांक न हों, और इसके समाधान के माध्यम से, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान प्राप्त करें।

अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को समान प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने की विधि के विवरण पर सीधे आगे बढ़ सकते हैं। आइए इस पद्धति का उपयोग करके, सम मूल घातांक वाले सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों, यानी फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम से शुरू करें , जहां k एक प्राकृतिक संख्या है, f(x) और g(x) परिमेय अभिव्यक्ति हैं। विषम मूल घातांक वाले सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम, यानी फॉर्म के समीकरण , हम इसे थोड़ी देर बाद देंगे। तो चलिए और भी आगे बढ़ते हैं: आइए समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि को और अधिक जटिल अपरिमेय समीकरणों तक विस्तारित करें जिसमें मूल के चिह्नों के नीचे मूल, मूल के कई चिह्न आदि शामिल हों।

समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने की विधि:

उपरोक्त जानकारी से यह स्पष्ट है कि एल्गोरिदम के पहले चरण के बाद हम एक ऐसे समीकरण पर पहुंचेंगे जिसकी जड़ों में मूल समीकरण की सभी जड़ें शामिल हैं, लेकिन ऐसी जड़ें भी हो सकती हैं जो मूल समीकरण से अलग हों। इसलिए, एल्गोरिदम में बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने के बारे में एक खंड शामिल है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए दिए गए एल्गोरिदम के अनुप्रयोग को देखें।

आइए एक सरल और काफी विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके दोनों पक्षों का वर्ग करने पर एक द्विघात समीकरण बनता है जिसका कोई मूल नहीं होता।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जिसमें दोनों पक्षों का वर्ग करने पर मूल अपरिमेय समीकरण से प्राप्त समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण से असंगत हो जाते हैं। निष्कर्ष: इसकी कोई जड़ नहीं है.

अगला उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है. इसके समाधान के लिए, पिछले दो के विपरीत, दोनों भागों को वर्ग तक नहीं, बल्कि छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है, और इससे अब रैखिक या द्विघात समीकरण नहीं, बल्कि घन समीकरण बनेगा। यहां एक जांच हमें दिखाएगी कि इसके तीनों मूल प्रारंभ में दिए गए अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे।

और यहां हम और भी आगे बढ़ेंगे. मूल से छुटकारा पाने के लिए, आपको अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी घात तक बढ़ाना होगा, जिससे बदले में चौथी घात का समीकरण प्राप्त होगा। जाँच से पता चलेगा कि चार संभावित जड़ों में से केवल एक ही अपरिमेय समीकरण का वांछित मूल होगा, और बाकी अप्रासंगिक होंगे।

अंतिम तीन उदाहरण निम्नलिखित कथन को स्पष्ट करते हैं: यदि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने से एक समीकरण उत्पन्न होता है जिसमें जड़ें होती हैं, तो उनका बाद का सत्यापन यह दिखा सकता है कि

• या वे सभी मूल समीकरण के अप्रासंगिक मूल हैं, और इसका कोई मूल नहीं है,
• या उनमें कोई भी बाहरी जड़ें नहीं हैं, और वे सभी मूल समीकरण की जड़ें हैं,
• या उनमें से केवल कुछ ही बाहरी लोग हैं।

अब समय आ गया है कि एक विषम मूल घातांक वाले सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ा जाए, यानी फॉर्म के समीकरण . आइए संबंधित एल्गोरिथम लिखें।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम घात तक बढ़ाने की विधि:

• अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम घात 2·k+1 तक बढ़ा दिया गया है।
• परिणामी समीकरण हल हो गया है। इसका हल मूल समीकरण का हल है।

कृपया ध्यान दें: उपरोक्त एल्गोरिदम, एक सम मूल घातांक के साथ सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम के विपरीत, बाहरी जड़ों के उन्मूलन के संबंध में कोई खंड शामिल नहीं है। हमने ऊपर दिखाया कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाना समीकरण के समतुल्य परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि इस तरह के परिवर्तन से बाहरी जड़ों की उपस्थिति नहीं होती है, इसलिए उन्हें फ़िल्टर करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार, दोनों पक्षों को समान विषम घात तक बढ़ाकर अतार्किक समीकरणों को हल करना बाहरी लोगों को हटाए बिना किया जा सकता है। साथ ही, यह न भूलें कि सम घात तक बढ़ाते समय सत्यापन की आवश्यकता होती है।

इस तथ्य को जानने से हमें एक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय कानूनी तौर पर बाहरी जड़ों को हटाने से बचने की अनुमति मिलती है . इसके अलावा, इस मामले में, चेक "अप्रिय" गणनाओं से जुड़ा है। वैसे भी कोई बाहरी जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि इसे एक विषम घात, यानी एक घन, तक बढ़ा दिया गया है, जो एक समतुल्य परिवर्तन है। यह स्पष्ट है कि जाँच की जा सकती है, लेकिन आत्म-नियंत्रण के लिए, ताकि पाए गए समाधान की शुद्धता को और अधिक सत्यापित किया जा सके।

आइए मध्यवर्ती परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। इस बिंदु पर, सबसे पहले, हमने एक और परिवर्तन के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने के पहले से ही ज्ञात शस्त्रागार का विस्तार किया, जिसमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाना शामिल है। जब इसे एक समान शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो यह परिवर्तन असमान हो सकता है, और इसका उपयोग करते समय, बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने के लिए जाँच करना आवश्यक है। जब एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो निर्दिष्ट परिवर्तन समतुल्य होता है, और बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना आवश्यक नहीं होता है। और दूसरी बात, हमने फॉर्म के सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए इस परिवर्तन का उपयोग करना सीखा , जहां n मूल घातांक है, f(x) और g(x) तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं।

अब सामान्य परिप्रेक्ष्य से समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने पर विचार करने का समय आ गया है। यह हमें इसके आधार पर अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि को सरलतम अपरिमेय समीकरणों से अधिक जटिल प्रकार के अपरिमेय समीकरणों तक विस्तारित करने की अनुमति देगा। आओ इसे करें।

वास्तव में, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर समीकरणों को हल करते समय, हमें पहले से ज्ञात सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है: मूल समीकरण, कुछ परिवर्तनों के माध्यम से, एक सरल समीकरण में बदल जाता है, यह और भी सरल में बदल जाता है एक, और इसी तरह, उन समीकरणों तक जिन्हें हम हल कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि ऐसे परिवर्तनों की श्रृंखला में हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने का सहारा लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की एक ही विधि का पालन कर रहे हैं। अब बस यह पता लगाना बाकी है कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए वास्तव में क्या परिवर्तन और किस क्रम में किए जाने की आवश्यकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सामान्य तरीका यहां दिया गया है:

• सबसे पहले, आपको मूल अपरिमेय समीकरण से एक सरल समीकरण की ओर बढ़ने की आवश्यकता है, जिसे आमतौर पर चक्रीय रूप से निम्नलिखित तीन क्रियाएं करके प्राप्त किया जा सकता है:
  • रेडिकल का अलगाव (या इसी तरह की तकनीकें, उदाहरण के लिए, रेडिकल के उत्पाद का अलगाव, एक अंश का अलगाव जिसका अंश और/या हर एक जड़ है, जो बाद में समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाने की अनुमति देता है) जड़ से छुटकारा पाएं)।
  • समीकरण के स्वरूप को सरल बनाना.
• दूसरे, आपको परिणामी समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।
• अंत में, यदि समाधान के दौरान परिणामी समीकरणों में परिवर्तन हुआ (विशेष रूप से, यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक समान शक्ति तक बढ़ाया गया था), तो बाहरी जड़ों को समाप्त करने की आवश्यकता है।

आइए अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाएं।

आइए एक उदाहरण को हल करें जिसमें रेडिकल का एकांत अपरिमेय समीकरण को उसके सरलतम रूप में लाता है, जिसके बाद जो कुछ बचता है वह दोनों पक्षों को वर्ग करना है, परिणामी समीकरण को हल करना है और एक चेक का उपयोग करके बाहरी जड़ों को निकालना है।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हर में मूलांक वाले भिन्न को अलग करके हल किया जा सकता है, जिसे समीकरण के दोनों पक्षों के बाद के वर्ग द्वारा समाप्त किया जा सकता है। और फिर सब कुछ सरल है: परिणामी भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण को हल किया जाता है और बाहरी जड़ों को उत्तर में प्रवेश करने से बाहर करने के लिए एक जांच की जाती है।

ऐसे अपरिमेय समीकरण जिनमें दो जड़ें होती हैं, काफी विशिष्ट होते हैं। इन्हें आमतौर पर समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर सफलतापूर्वक हल किया जाता है। यदि जड़ों की डिग्री समान है, और उनके अलावा कोई अन्य पद नहीं हैं, तो रेडिकल से छुटकारा पाने के लिए रेडिकल को अलग करना और एक बार घातांक लगाना पर्याप्त है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है।

और यहां एक उदाहरण है जिसमें दो जड़ें भी हैं, उनके अलावा कोई पद भी नहीं हैं, लेकिन जड़ों की डिग्री अलग-अलग हैं। इस मामले में, रेडिकल को अलग करने के बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की सलाह दी जाती है जो दोनों रेडिकल को एक ही बार में समाप्त कर दे। ऐसी डिग्री, उदाहरण के लिए, जड़ों के संकेतक के रूप में कार्य करती है। हमारे मामले में, मूलों की डिग्री 2 और 3 हैं, एलसीएम(2, 3) = 6, इसलिए, हम दोनों पक्षों को छठी घात तक बढ़ाएंगे। ध्यान दें कि हम मानक पथ पर भी कार्य कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में हमें दोनों हिस्सों को दो बार घात तक बढ़ाने का सहारा लेना होगा: पहले से दूसरे तक, फिर तीसरे तक। हम दोनों समाधान दिखाएंगे.

अधिक जटिल मामलों में, जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल किया जाता है, तो किसी को घात को दो बार, कम बार - तीन बार, और यहां तक ​​​​कि कम बार - अधिक बार बढ़ाने का सहारा लेना पड़ता है। जो कहा गया है उसे दर्शाने वाले पहले अपरिमेय समीकरण में दो मूलांक और एक और पद शामिल है।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए भी दो क्रमिक घातांक की आवश्यकता होती है। यदि आप रेडिकल्स को अलग करना नहीं भूलते हैं, तो इसके अंकन में मौजूद तीन रेडिकल्स से छुटकारा पाने के लिए दो घातांक पर्याप्त हैं।

एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाने की विधि किसी को उन अपरिमेय समीकरणों से निपटने की अनुमति देती है जिनमें जड़ के नीचे एक और जड़ होती है। यहां एक विशिष्ट उदाहरण का समाधान दिया गया है.

अंत में, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित तरीकों के विश्लेषण पर आगे बढ़ने से पहले, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक बढ़ाने से, आगे के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समीकरण मिल सकता है समाधानों की अनंत संख्या. एक समीकरण जिसमें अनंत रूप से कई जड़ें होती हैं, उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है और परिणामी समीकरण के रूप का बाद में सरलीकरण। हालाँकि, स्पष्ट कारणों से, हम प्रतिस्थापन जाँच करने में सक्षम नहीं हैं। ऐसे मामलों में, आपको या तो अन्य सत्यापन विधियों का सहारा लेना होगा, जिनके बारे में हम बात करेंगे, या किसी अन्य समाधान विधि के पक्ष में समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि को त्यागना होगा, उदाहरण के लिए, एक विधि के पक्ष में वह मानता है.

हमने समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर सबसे विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के समाधान की जांच की। अध्ययन किया गया सामान्य दृष्टिकोण अन्य अतार्किक समीकरणों से निपटना संभव बनाता है, यदि यह समाधान विधि उनके लिए उपयुक्त हो।

एक नया चर प्रस्तुत करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना

अस्तित्व समीकरणों को हल करने की सामान्य विधियाँ. वे आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं। विशेष रूप से, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों का उपयोग किया जाता है। इस पैराग्राफ में हम सामान्य तरीकों में से एक पर नजर डालेंगे - एक नया वेरिएबल पेश करने की विधि, या बल्कि, अपरिमेय समीकरणों को हल करने में इसका उपयोग। विधि का सार और विवरण स्वयं लेख में प्रस्तुत किया गया है, जिसका लिंक पिछले वाक्य में दिया गया है। यहां हम व्यावहारिक भाग पर ध्यान केंद्रित करेंगे, यानी हम एक नया चर पेश करके मानक अपरिमेय समीकरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

इस आलेख के निम्नलिखित पैराग्राफ अन्य सामान्य तरीकों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित हैं।

पहले हम देते हैं एक नया वेरिएबल पेश करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम. हम तुरंत बाद आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे। तो, एल्गोरिथ्म:

अब वादा किए गए स्पष्टीकरण के लिए।

एल्गोरिथम का दूसरा, तीसरा और चौथा चरण पूरी तरह से तकनीकी है और अक्सर कठिन नहीं होता है। और मुख्य रुचि पहला कदम है - एक नए चर का परिचय। यहां मुद्दा यह है कि यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि एक नया चर कैसे पेश किया जाए, और कई मामलों में अभिव्यक्ति जी (एक्स) को टी के साथ बदलने के लिए सुविधाजनक बनाने के लिए समीकरण के कुछ परिवर्तन करना आवश्यक है। के जैसा लगना। दूसरे शब्दों में, एक नया चर प्रस्तुत करना अक्सर एक रचनात्मक प्रक्रिया होती है, और इसलिए एक जटिल प्रक्रिया होती है। आगे हम सबसे बुनियादी और विशिष्ट उदाहरणों को छूने का प्रयास करेंगे जो बताते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नया चर कैसे पेश किया जाए।

हम प्रस्तुति के निम्नलिखित क्रम का पालन करेंगे:

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नया चर पेश करने के सबसे सरल मामलों से शुरुआत करें।

आइए अपरिमेय समीकरण को हल करें , जिसे हम पहले ही ऊपर एक उदाहरण के रूप में उद्धृत कर चुके हैं। जाहिर है, इस मामले में प्रतिस्थापन संभव है। यह हमें एक तर्कसंगत समीकरण की ओर ले जाएगा, जिसके, जैसा कि यह पता चला है, दो जड़ें हैं, जिन्हें उलटा करने पर, दो सरल अपरिमेय समीकरणों का एक सेट मिलेगा, जिसका समाधान मुश्किल नहीं है। तुलना के लिए, हम परिवर्तनों को अंजाम देकर एक वैकल्पिक समाधान दिखाएंगे जो सबसे सरल अपरिमेय समीकरण को जन्म देगा।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण में, एक नया चर प्रस्तुत करने की संभावना भी स्पष्ट है। लेकिन यह उल्लेखनीय है कि इसे हल करते समय हमें मूल चर पर वापस नहीं लौटना पड़ता है। तथ्य यह है कि एक चर प्रस्तुत करने के बाद प्राप्त समीकरण का कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

अपरिमेय समीकरण , पिछले वाले की तरह, एक नया वेरिएबल पेश करके आसानी से हल किया जा सकता है। इसके अलावा, पिछले वाले की तरह इसका भी कोई समाधान नहीं है। लेकिन जड़ों की अनुपस्थिति अन्य तरीकों से निर्धारित की जाती है: यहां चर को पेश करने के बाद प्राप्त समीकरण का एक समाधान होता है, लेकिन रिवर्स प्रतिस्थापन के दौरान लिखे गए समीकरणों के सेट का कोई समाधान नहीं होता है, इसलिए मूल समीकरण का भी कोई समाधान नहीं होता है। आइए इस समीकरण के समाधान का विश्लेषण करें।

आइए हम उन उदाहरणों की श्रृंखला को पूरा करें जिनमें प्रतिस्थापन स्पष्ट है, एक प्रतीत होता है जटिल अपरिमेय समीकरण जिसमें अंकन में जड़ के नीचे एक जड़ होती है। एक नए चर का परिचय देने से अक्सर समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है, जो इस उदाहरण के लिए विशेष रूप से सच है। दरअसल, अगर हम स्वीकार करते हैं , तो मूल अपरिमेय समीकरण एक सरल अपरिमेय समीकरण में बदल जाता है , जिसे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके। हम एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान प्रस्तुत करते हैं, और तुलना के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके भी समाधान दिखाएंगे।

पिछले सभी उदाहरणों के रिकॉर्ड में कई समान अभिव्यक्तियाँ थीं, जिन्हें हमने एक नए चर के रूप में लिया। सब कुछ सरल और स्पष्ट था: हम उपयुक्त समान अभिव्यक्तियाँ देखते हैं और इसके बजाय एक नया चर पेश करते हैं, जो एक नए चर के साथ एक सरल समीकरण देता है। अब हम थोड़ा और आगे बढ़ेंगे - हम यह पता लगाएंगे कि अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिसमें प्रतिस्थापन के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति इतनी स्पष्ट नहीं है, लेकिन सरल परिवर्तनों का उपयोग करके काफी आसानी से दिखाई देती है और स्पष्ट रूप से हाइलाइट की जाती है।

आइए उन बुनियादी तकनीकों पर विचार करें जो आपको एक नए चर को पेश करने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से चुनने की अनुमति देती हैं। पहला ये है. आइए स्पष्ट करें कि क्या कहा गया है।

जाहिर है, अपरिमेय समीकरण में एक नया वेरिएबल पेश करने के लिए, x 2 +x=t लेना पर्याप्त है। क्या समीकरण में एक नया चर भी शामिल करना संभव है? ? यह संभावना दिख रही है, क्योंकि यह स्पष्ट है . अंतिम समानता हमें समीकरण के समतुल्य परिवर्तन को पूरा करने की अनुमति देती है, जिसमें अभिव्यक्ति को एक समान समान अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है जो ओडीजेड को नहीं बदलता है, जिससे मूल समीकरण से समतुल्य समीकरण में जाना संभव हो जाता है और इसे पहले ही तय कर लें. आइए हम अपरिमेय समीकरण का पूर्ण समाधान दिखाएं एक नया वेरिएबल पेश करके।

सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखने के अलावा और क्या, हमें एक अपरिमेय समीकरण में एक नए चर को पेश करने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है? कुछ मामलों में, यह है, और। आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

एक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय हम एक नया चर कैसे प्रस्तुत करेंगे ? बेशक हम स्वीकार करेंगे. यदि कार्य एक अपरिमेय समीकरण को हल करना हो तो क्या होगा? , क्या कोई नया वैरिएबल प्रस्तुत करना संभव है जैसे ? स्पष्ट रूप से - दिखाई नहीं देता है, लेकिन ऐसी संभावना दिखाई देती है, क्योंकि इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर, जड़ की परिभाषा और जड़ों के गुणों के कारण, समानता मान्य है, जो हमें जाने की अनुमति देती है समतुल्य समीकरण .

आइए हम पिछले उदाहरण के आधार पर एक छोटा सा सामान्यीकरण करें। ऐसे मामलों में जहां एक मूल का सूचक दूसरे (k·n और k) के सूचक का गुणज होता है, वे आमतौर पर समानता का सहारा लेते हैं और एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करें। इस तरह हम समीकरण को हल करते हुए आगे बढ़े . थोड़ा आगे हम इस बारे में बात करेंगे कि असमान और गैर-एकाधिक मूल घातांक वाले अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

यह अपरिमेय समीकरणों में एक नए चर की शुरूआत पर संक्षेप में ध्यान देने योग्य है जिसमें एक जड़, साथ ही एक मूल अभिव्यक्ति और/या उसकी कुछ डिग्री शामिल है। इन मामलों में, यह स्पष्ट है कि मूल को नए चर के रूप में लिया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, समीकरण हल करते समय हम स्वीकार करेंगे , जड़ की परिभाषा से मूल समीकरण को रूप में बदल देगा , और एक नया चर प्रस्तुत करने के बाद हम द्विघात समीकरण 2·t 2 +3·t−2=0 पर पहुंचेंगे।

थोड़े अधिक जटिल मामलों में, मूलांक से मेल खाने वाले व्यंजक को अलग करने के लिए समीकरण के एक और अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है। आइये इसे समझाते हैं. हम समीकरण में एक नया चर कैसे पेश करेंगे? ? जाहिर है, अभिव्यक्ति x 2 +5 मूल अभिव्यक्ति के साथ मेल खाती है, इसलिए, पिछले पैराग्राफ में दी गई जानकारी के अनुसार, जड़ की परिभाषा के आधार पर, हम समतुल्य समीकरण पर आगे बढ़ेंगे और के रूप में एक नया वेरिएबल पेश करेगा। यदि हम समीकरण से निपट नहीं रहे थे तो हम एक नया चर कैसे पेश करेंगे , और समीकरण के साथ ? हां और। यह सिर्फ इतना है कि मूल अभिव्यक्ति x 2 +5 को स्पष्ट रूप से उजागर करने के लिए पहले हमें x 2 +1 को x 2 +5−4 के रूप में प्रस्तुत करना होगा। अर्थात् हम अपरिमेय समीकरण से होंगे समतुल्य समीकरण में पारित किया गया , फिर समीकरण के लिए , जिसके बाद हम आसानी से एक नया वेरिएबल पेश कर सकते हैं।

ऐसे मामलों में, एक नए चर को पेश करने के लिए एक और अधिक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है: मूल को एक नए चर के रूप में लें और, इस समानता के आधार पर, शेष पुराने चर को नए के माध्यम से व्यक्त करें। समीकरण के लिए हम स्वीकार करेंगे, इस समानता से हम x 2 से t को t 2 −5 (,) के रूप में व्यक्त करेंगे , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), जहां से x 2 +1=t 2 −4 . यह हमें एक नए चर t 2 −4+3·t=0 वाले समीकरण की ओर बढ़ने की अनुमति देता है। अपने कौशल का अभ्यास करने के लिए, हम एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करेंगे।

ऐसे उदाहरणों में एक नए चर की शुरूआत से जड़ों के संकेतों के तहत अभिव्यक्ति की उपस्थिति हो सकती है जो पूर्ण वर्ग हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक अपरिमेय समीकरण लेते हैं, तो यह उस समीकरण की ओर ले जाएगा जहां पहला मूल अभिव्यक्ति रैखिक द्विपद t−2 का वर्ग है, और दूसरा मूल अभिव्यक्ति रैखिक द्विपद t−3 का वर्ग है। और ऐसे समीकरणों से मॉड्यूल वाले समीकरणों पर आगे बढ़ना सबसे अच्छा है: , , . यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे समीकरणों में जड़ों की अनंत संख्या हो सकती है, जबकि समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके उन्हें हल करने से प्रतिस्थापन द्वारा परीक्षण की अनुमति नहीं होगी, और मूल निर्धारित करके हल करने से एक तर्कहीन असमानता को हल करने की आवश्यकता होगी। . हम ऐसे उदाहरण का समाधान नीचे एक अपरिमेय समीकरण से मापांक वाले समीकरण में संक्रमण अनुभाग में दिखाएंगे।

किसी नए वेरिएबल को पेश करने की संभावना को देखना अभी भी कब आसान है? जब समीकरण में "उल्टे" भिन्न हों और (आपकी अनुमति से, हम उन्हें सादृश्य द्वारा परस्पर व्युत्क्रम कहेंगे)। हम इस तरह के भिन्नों के साथ एक तर्कसंगत समीकरण को कैसे हल करेंगे? हम इनमें से एक भिन्न को नए चर t के रूप में लेंगे, जबकि दूसरे भिन्न को नए चर के माध्यम से 1/t के रूप में व्यक्त करेंगे। अपरिमेय समीकरणों में, इस तरह से एक नया चर पेश करना पूरी तरह से व्यावहारिक नहीं है, क्योंकि जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, सबसे अधिक संभावना है, आपको एक और चर पेश करना होगा। भिन्न के मूल को तुरंत नये चर के रूप में स्वीकार कर लेना बेहतर है। खैर, फिर किसी एक समानता का उपयोग करके मूल समीकरण को रूपांतरित करें और , जो आपको एक नए चर के साथ समीकरण में जाने की अनुमति देगा। आइए एक उदाहरण देखें.

पहले से ज्ञात प्रतिस्थापन विकल्पों के बारे में मत भूलना। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियाँ x+1/x और x 2 +1/x 2 एक अपरिमेय समीकरण की रिकॉर्डिंग में दिखाई दे सकती हैं, जो हमें एक नया चर x+1/x=t पेश करने की संभावना के बारे में सोचने पर मजबूर करती है। यह विचार अनायास ही नहीं उठता, क्योंकि जब हमने निर्णय लिया तो हम पहले ही ऐसा कर चुके थे पारस्परिक समीकरण. एक नए चर को प्रस्तुत करने की यह विधि, हमें पहले से ज्ञात अन्य विधियों की तरह, अपरिमेय समीकरणों के साथ-साथ अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करते समय ध्यान में रखी जानी चाहिए।

हम अधिक जटिल अपरिमेय समीकरणों की ओर बढ़ते हैं, जिसमें एक नए चर को पेश करने के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति को समझना अधिक कठिन होता है। और आइए उन समीकरणों से शुरू करें जिनमें मूल अभिव्यक्तियाँ समान हैं, लेकिन, ऊपर चर्चा किए गए मामले के विपरीत, एक मूल का बड़ा घातांक दूसरे मूल के छोटे घातांक से पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है। आइए जानें कि ऐसे मामलों में एक नया वेरिएबल पेश करने के लिए सही अभिव्यक्ति का चयन कैसे करें।

जब मूल अभिव्यक्तियाँ समान होती हैं, और एक मूल k 1 का बड़ा घातांक दूसरे मूल k 2 के छोटे घातांक से पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो डिग्री LCM (k 1, k 2) की जड़ को एक के रूप में लिया जा सकता है नया वैरिएबल, जहां एलसीएम है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में मूल 2 और 3 के बराबर होते हैं, तीन दो का गुणज नहीं है, LCM(3, 2)=6, इसलिए एक नया चर इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है . इसके अलावा, जड़ की परिभाषा, साथ ही जड़ों के गुण, आपको अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से चुनने के लिए मूल समीकरण को बदलने और फिर इसे एक नए चर के साथ बदलने की अनुमति देते हैं। हम इस समीकरण का पूर्ण और विस्तृत समाधान प्रस्तुत करते हैं।

समान सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, उन मामलों में एक नया चर पेश किया जाता है जहां जड़ों के नीचे के भाव डिग्री में भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी अपरिमेय समीकरण में चर केवल जड़ों के नीचे समाहित है, और जड़ों का रूप स्वयं है, तो आपको जड़ों के लघुत्तम समापवर्त्य LCM(3, 4) = 12 की गणना करनी चाहिए और लेना चाहिए। इसके अलावा, जड़ों के गुणों और शक्तियों के अनुसार, जड़ों को रूपांतरित किया जाना चाहिए और तदनुसार, जो आपको एक नया वेरिएबल पेश करने की अनुमति देगा।

आप अपरिमेय समीकरणों में भी इसी तरह कार्य कर सकते हैं, जिसमें विभिन्न घातांक वाले मूलों के नीचे परस्पर व्युत्क्रम भिन्न होते हैं और। अर्थात्, नए चर के रूप में रूट संकेतकों के एलसीएम के बराबर संकेतक वाले रूट को लेने की सलाह दी जाती है। खैर, फिर एक नए चर के साथ समीकरण पर आगे बढ़ें, जो हमें समानताएं बनाने की अनुमति देता है और , जड़ की परिभाषा, साथ ही जड़ों और शक्तियों के गुण। आइए एक उदाहरण देखें.

अब आइए उन समीकरणों के बारे में बात करते हैं जिनमें एक नए चर को पेश करने की संभावना केवल संदेह की जा सकती है, और जो सफल होने पर, काफी गंभीर परिवर्तनों के बाद ही खुलता है। उदाहरण के लिए, इतने स्पष्ट परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद ही एक अपरिमेय समीकरण को रूप में लाया जाता है, जो प्रतिस्थापन का रास्ता खोलता है . आइए इस उदाहरण का समाधान दें।

अंत में, आइए थोड़ा विदेशीवाद जोड़ें। कभी-कभी एक अपरिमेय समीकरण को एक से अधिक चर प्रस्तुत करके हल किया जा सकता है। समीकरणों को हल करने का यह दृष्टिकोण पाठ्यपुस्तक में प्रस्तावित है। वहाँ अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए इसमें दो चर दर्ज करने का प्रस्ताव है . पाठ्यपुस्तक एक संक्षिप्त समाधान प्रदान करती है, आइए विवरण पुनर्स्थापित करें।

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना

एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि के अलावा, अन्य सामान्य तरीकों का उपयोग विशेष रूप से अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। गुणनखंडन विधि. पिछले वाक्य में दर्शाए गए लिंक पर दिए गए लेख में विस्तार से चर्चा की गई है कि गुणनखंडन विधि का उपयोग कब किया जाता है, इसका सार क्या है और यह किस पर आधारित है। यहां हमारी रुचि विधि में नहीं, बल्कि अपरिमेय समीकरणों को हल करने में इसके उपयोग में अधिक है। इसलिए, हम सामग्री को इस प्रकार प्रस्तुत करेंगे: हम विधि के मुख्य प्रावधानों को संक्षेप में याद करेंगे, जिसके बाद हम गुणनखंडन की विधि का उपयोग करके विशेषता अपरिमेय समीकरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

गुणनखंडन विधि का उपयोग उन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है जिनमें बायीं ओर गुणनफल होता है और दायीं ओर शून्य होता है, अर्थात फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) एफ एन (एक्स)=0, जहां f 1, f 2, …, f n कुछ फलन हैं। विधि का सार समीकरण को प्रतिस्थापित करना है एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) एफ एन (एक्स)=0मूल समीकरण के लिए चर x पर।

किसी समुच्चय में परिवर्तन के बारे में अंतिम वाक्य का पहला भाग प्राथमिक विद्यालय से ज्ञात तथ्य से अनुसरण करता है: कई संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि कम से कम एक संख्या शून्य के बराबर हो। ODZ के बारे में दूसरे भाग की उपस्थिति को इस तथ्य से समझाया गया है कि समीकरण से संक्रमण एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) एफ एन (एक्स)=0समीकरणों के एक सेट के लिए f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0असमान हो सकता है और बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है, जिसे इस मामले में ओडीजेड को ध्यान में रखकर समाप्त किया जा सकता है। यह ध्यान देने योग्य है कि यदि सुविधाजनक हो तो बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग न केवल ओडीजेड के माध्यम से की जा सकती है, बल्कि अन्य तरीकों से भी की जा सकती है, उदाहरण के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करके जाँच करके।

तो, समीकरण को हल करने के लिए एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) एफ एन (एक्स)=0अपरिमेय सहित गुणनखंडन की विधि का उपयोग करना आवश्यक है

• समीकरणों के सेट पर जाएँ f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• रचित सेट को हल करें,
• यदि समाधान के सेट में कोई समाधान नहीं है, तो निष्कर्ष निकालें कि मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। यदि जड़ें हैं, तो बाहरी जड़ों को हटा दें।

चलिए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं।

फैक्टरिंग द्वारा हल किए जाने वाले विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के बाएँ हाथ कई बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उत्पाद होते हैं, आमतौर पर रैखिक द्विपद और द्विघात त्रिपद, और उनके नीचे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ कई जड़ें होती हैं। दाहिनी ओर शून्य हैं. ऐसे समीकरणों को हल करने में प्रारंभिक कौशल हासिल करने के लिए आदर्श हैं। हम एक समान समीकरण को हल करके शुरुआत करेंगे। ऐसा करते हुए, हम दो लक्ष्य प्राप्त करने का प्रयास करेंगे:

• एक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय गुणनखंड विधि एल्गोरिदम के सभी चरणों पर विचार करें,
• बाहरी जड़ों को हटाने के तीन मुख्य तरीकों को याद करें (ODZ द्वारा, ODZ स्थितियों द्वारा, और सीधे मूल समीकरण में समाधानों को प्रतिस्थापित करके)।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण इस अर्थ में विशिष्ट है कि गुणनखंडन की विधि का उपयोग करके इसे हल करते समय, ODZ की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना सुविधाजनक होता है, न कि संख्यात्मक सेट के रूप में ODZ के अनुसार, क्योंकि संख्यात्मक कारक के रूप में ODZ प्राप्त करना कठिन है। कठिनाई यह है कि डीएल को परिभाषित करने वाली शर्तों में से एक है अतार्किक असमानता . बाहरी जड़ों को छांटने का यह दृष्टिकोण इसे हल किए बिना करना संभव बनाता है; इसके अलावा, कभी-कभी स्कूल के पाठ्यक्रम में गणितज्ञों को तर्कहीन असमानताओं को हल करने के बारे में बिल्कुल भी नहीं सिखाया जाता है।

यह अच्छा है जब समीकरण में बायीं ओर गुणनफल हो और दायीं ओर शून्य हो। इस मामले में, आप तुरंत समीकरणों के सेट पर जा सकते हैं, इसे हल कर सकते हैं, मूल समीकरण से अप्रासंगिक जड़ों को ढूंढ और हटा सकते हैं, जो वांछित समाधान देगा। लेकिन अधिकतर समीकरणों का रूप भिन्न होता है। यदि साथ ही उन्हें गुणनखंडन विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में बदलने का अवसर है, तो उचित परिवर्तन करने का प्रयास क्यों न करें। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर उत्पाद प्राप्त करने के लिए, वर्गों के अंतर का सहारा लेना पर्याप्त है।

समीकरणों का एक और वर्ग है जिसे आमतौर पर गुणनखंडन द्वारा हल किया जाता है। इसमें समीकरण शामिल हैं, जिनके दोनों पक्ष ऐसे उत्पाद हैं जिनका चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में समान कारक होता है। उदाहरण के लिए, यह अपरिमेय समीकरण है . आप समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही कारक से विभाजित करके जा सकते हैं, लेकिन आपको उन मानों को अलग से जांचना नहीं भूलना चाहिए जो इन अभिव्यक्तियों को गायब कर देते हैं, अन्यथा आप समाधान खो सकते हैं, क्योंकि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से विभाजित करने पर एक असमान परिवर्तन हो सकता है. गुणनखंडन विधि का उपयोग करना अधिक विश्वसनीय है, इससे यह गारंटी देना संभव हो जाता है कि सही ढंग से हल करने पर भविष्य में जड़ें नष्ट नहीं होंगी। यह स्पष्ट है कि ऐसा करने के लिए, आपको पहले समीकरण के बाईं ओर उत्पाद प्राप्त करना होगा, और दाईं ओर शून्य प्राप्त करना होगा। यह आसान है: बस अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं, उसका चिह्न बदलें, और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें। आइए हम एक समान, लेकिन थोड़े अधिक जटिल अपरिमेय समीकरण का संपूर्ण समाधान दिखाएं।

किसी भी समीकरण को हल करना शुरू करना (वास्तव में, कई अन्य समस्याओं को हल करना) ओडीजेड को खोजने से उपयोगी है, खासकर अगर ओडीजेड को ढूंढना आसान है। आइए हम इसके पक्ष में कुछ सबसे स्पष्ट तर्क दें।

तो, एक समीकरण को हल करने का कार्य प्राप्त करने के बाद, आपको बिना पीछे देखे परिवर्तनों और गणनाओं में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए, शायद केवल ओडीजेड को देखें? यह निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया है।

कार्यात्मक ग्राफिक विधि

कार्यात्मक ग्राफिक विधिसमीकरणों को हल करने की एक और सामान्य विधि है। किसी भी सामान्य विधि की तरह, यह आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है, विशेष रूप से, इसका उपयोग अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह कार्यात्मक-ग्राफ़िक पद्धति का अनुप्रयोग है जो वर्तमान लेख के ढांचे में हमारी सबसे अधिक रुचि रखता है।

कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि में समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में फ़ंक्शन, उनके गुण और ग्राफ़ शामिल होते हैं। यह एक बहुत ही शक्तिशाली उपकरण है. और, किसी भी शक्तिशाली उपकरण की तरह, इसका सहारा आमतौर पर तब लिया जाता है जब सरल उपकरण शक्तिहीन होते हैं।

समीकरणों को हल करने के लिए कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि की तीन मुख्य दिशाएँ हैं:

• पहला फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग है। इस दिशा को ग्राफिकल विधि कहा जाता है।
• दूसरा है बढ़ते और घटते कार्यों के गुणों का उपयोग।
• तीसरा है सीमित कार्यों के गुणों का उपयोग। संभवतः, मूल्यांकन पद्धति से, जिसे हाल ही में व्यापक रूप से सुना गया है, कार्यात्मक-ग्राफिक पद्धति की इस दिशा को समझा जाता है।

ये तीन दिशाएँ अधिकांश अतार्किक समीकरणों से निपटना संभव बनाती हैं, जिसके लिए कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि आम तौर पर उपयुक्त होती है। निर्दिष्ट अनुक्रम में - ग्राफ़ का उपयोग, बढ़ते-घटते का उपयोग, सीमित कार्यों के गुणों का उपयोग - हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

ग्राफ़िकल विधि

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि से शुरुआत करें।

आपको आवश्यक ग्राफ़िकल विधि के अनुसार:

• सबसे पहले, एक समन्वय प्रणाली में, हल किए जा रहे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के अनुरूप फलन f और g के ग्राफ़ बनाएँ,
• दूसरे, उनकी सापेक्ष स्थिति के आधार पर समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालें:
  • यदि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है,
  • यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो समीकरण की जड़ें इन बिंदुओं के भुज हैं।

ODZ के माध्यम से अपरिमेय समीकरणों को हल करना

अक्सर समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया का हिस्सा होता है. वे कारण जो किसी को ओडीजेड की तलाश करने के लिए मजबूर करते हैं, अलग-अलग हो सकते हैं: समीकरण के परिवर्तनों को पूरा करना आवश्यक है, और जैसा कि ज्ञात है, उन्हें ओडीजेड पर किया जाता है, चुनी गई समाधान विधि में ओडीजेड को ढूंढना, जांच करना शामिल है। ODZ आदि का उपयोग करना। और कुछ मामलों में, ODZ न केवल एक सहायक या नियंत्रण उपकरण के रूप में कार्य करता है, बल्कि समीकरण का समाधान प्राप्त करने की भी अनुमति देता है। यहां हमारा मतलब दो स्थितियों से है: जब ODZ एक खाली सेट होता है और जब ODZ संख्याओं का एक सीमित सेट होता है।

यह स्पष्ट है कि यदि किसी समीकरण का ODZ, विशेष रूप से एक अपरिमेय समीकरण, एक खाली सेट है, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है। तो निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के लिए चर x का ODZ एक खाली सेट है, जिसका अर्थ है कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

जब किसी समीकरण के लिए किसी चर का ODZ संख्याओं का एक सीमित सेट होता है, तो इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करके क्रमिक रूप से जाँच करके, समीकरण का समाधान प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण पर विचार करें जिसके लिए ODZ में दो संख्याएँ हैं, और प्रतिस्थापन से पता चलता है कि उनमें से केवल एक ही समीकरण का मूल है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह मूल समीकरण का एकमात्र समाधान है।

"अंश बराबर शून्य" के रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करना

कोई "अंश शून्य के बराबर होता है" रूप का समीकरण, विशेष रूप से, अपरिमेय, इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर समीकरण f(x)=0 के बराबर है। इस कथन से इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के दो दृष्टिकोण अनुसरण करते हैं:

यह स्पष्ट है कि समीकरण को हल करने के लिए पहले दृष्टिकोण का सहारा लेना बेहतर है जब समीकरण f(x)=0 को हल करने की तुलना में ODZ खोजना आसान हो। इस मामले में, ODZ एक खाली सेट हो सकता है या इसमें कई संख्याएँ शामिल हो सकती हैं, समीकरण f(x) = 0 को हल किए बिना ऐसा करना संभव होगा (देखें)। आइए एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करें।

समीकरण को हल करने का दूसरा तरीका तब बेहतर होता है जब समीकरण f(x) = 0 को हल करना काफी आसान हो। समीकरण f(x)=0 को हल करने के बाद, जो कुछ बचा है वह पाए गए मूलों की जांच करना है, जो आमतौर पर निम्नलिखित तरीकों में से एक में किया जाता है:

• मूल समीकरण के हर में प्रतिस्थापन के माध्यम से, वे पाए गए मूल जो हर को शून्य या अर्थहीन अभिव्यक्ति में बदल देते हैं, मूल नहीं हैं, और पाए गए मूल जो हर को एक गैर-शून्य संख्या में बदल देते हैं, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं .
• सीधे ODZ से (जब ODZ काफी आसानी से पाया जाता है, जबकि "अंश शून्य के बराबर होता है" के रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए पहला और दूसरा दृष्टिकोण व्यावहारिक रूप से समतुल्य है), ODZ से संबंधित पाई गई जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो नहीं हैं वे नहीं हैं।
• या ODZ की शर्तों के माध्यम से (ODZ को परिभाषित करने वाली शर्तों को लिखना अक्सर आसान होता है, लेकिन संख्यात्मक सेट के रूप में ODZ को खोजने के लिए उनका उपयोग करना कठिन होता है), उन पाए गए जड़ों में से जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं ODZ के मूल समीकरण के मूल हैं, शेष नहीं हैं।

अपरिमेय समीकरणों को संख्यात्मक समानता में बदलना

मॉड्यूल पर जाएँ

यदि किसी अपरिमेय समीकरण के अंकन में किसी सम घात के मूल के चिह्न के नीचे मूल के घातांक के बराबर घातांक के साथ किसी अभिव्यक्ति की घात हो, तो आप मापांक पर जा सकते हैं। यह परिवर्तन एक सूत्र के कारण होता है, जहाँ 2·m एक सम संख्या है, a कोई वास्तविक संख्या है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह परिवर्तन समीकरण का समतुल्य परिवर्तन है। दरअसल, इस तरह के परिवर्तन के साथ, रूट को एक समान रूप से समान मॉड्यूल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि ओडीजेड नहीं बदलता है।

आइए एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसे मापांक पर जाकर हल किया जा सकता है।

क्या संभव होने पर हमेशा मॉड्यूल पर स्विच करना उचित है? अधिकांश मामलों में, ऐसा परिवर्तन उचित है। अपवाद वे मामले हैं जब यह स्पष्ट है कि एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के वैकल्पिक तरीकों के लिए अपेक्षाकृत कम श्रम की आवश्यकता होती है। आइए एक अपरिमेय समीकरण लें जिसे मॉड्यूल और कुछ अन्य तरीकों में संक्रमण के माध्यम से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके या मूल का निर्धारण करके, और देखें कि कौन सा समाधान सबसे सरल और सबसे कॉम्पैक्ट होगा।

हल किए गए उदाहरण में, मूल को निर्धारित करने का समाधान बेहतर दिखता है: यह मॉड्यूल में संक्रमण के माध्यम से समाधान और समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके समाधान दोनों की तुलना में छोटा और सरल है। क्या हम तीनों तरीकों का उपयोग करके समीकरण को हल करने से पहले यह जान सकते थे? आइए इसका सामना करें, यह स्पष्ट नहीं था। इसलिए जब आप कई समाधान विधियों को देख रहे हैं और यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि किसे प्राथमिकता दी जाए, तो आपको उनमें से किसी एक के साथ समाधान प्राप्त करने का प्रयास करना चाहिए। अगर ये काम कर गया तो अच्छा है. यदि चुनी गई विधि से परिणाम नहीं मिलते हैं या समाधान बहुत कठिन हो जाता है, तो आपको दूसरी विधि आज़मानी चाहिए।

इस बिंदु के अंत में, आइए अपरिमेय समीकरण पर वापस लौटें। पिछले पैराग्राफ में, हमने पहले ही इसे हल कर लिया था और देखा था कि मूलांक को अलग करके और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके इसे हल करने के प्रयास से संख्यात्मक समानता 0=0 हो गई और जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की असंभवता हो गई। और मूल को निर्धारित करने के समाधान में एक अतार्किक असमानता को हल करना शामिल है, जो अपने आप में काफी कठिन है। इस अपरिमेय समीकरण को हल करने का एक अच्छा तरीका मॉड्यूलि पर जाना है। आइए एक विस्तृत समाधान दें।

अपरिमेय समीकरणों का परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों का समाधान उन्हें रूपांतरित किए बिना लगभग कभी पूरा नहीं होता है। जब तक हम अपरिमेय समीकरणों का अध्ययन करते हैं, तब तक हम समीकरणों के समतुल्य परिवर्तनों से परिचित हो चुके होते हैं। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उनका उपयोग उसी तरह किया जाता है जैसे पहले अध्ययन किए गए प्रकार के समीकरणों को हल करते समय किया जाता है। आपने पिछले पैराग्राफ में अपरिमेय समीकरणों के ऐसे परिवर्तनों के उदाहरण देखे थे, और, आप देखते हैं, उन्हें काफी स्वाभाविक रूप से माना गया था, क्योंकि वे हमसे परिचित हैं। ऊपर, हमने अपने लिए एक नए परिवर्तन के बारे में भी सीखा - समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाना, जो सामान्य स्थिति में अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट है, यह समतुल्य नहीं है; इनके कार्यान्वयन के दौरान उत्पन्न होने वाले सभी सूक्ष्म बिंदुओं को जानने और गलतियों से बचने के लिए इन सभी परिवर्तनों के बारे में विस्तार से बात करना उचित है।

हम निम्नलिखित क्रम में अपरिमेय समीकरणों के परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे:

1. भावों को समान रूप से समान भावों से बदलना जो ODZ को नहीं बदलते हैं।
2. किसी समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना या समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना।
3. समीकरण के दोनों पक्षों में एक ही अभिव्यक्ति जोड़ना, जो संपत्ति के मूल्य को नहीं बदलता है, या समीकरण के दोनों पक्षों से एक ही अभिव्यक्ति को घटाना, जो संपत्ति के मूल्य को नहीं बदलता है।
4. विपरीत चिह्न के साथ पदों को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करना।
5. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा समान संख्या से गुणा और विभाजित करना।
6. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से गुणा और भाग करने पर चर के अनुमेय मानों की सीमा नहीं बदलती और उस पर शून्य नहीं आता।
7. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना।

तो, प्रश्नों की श्रृंखला रेखांकित की गई है। आइए इन्हें उदाहरणों से समझना शुरू करें।

हमारे लिए रुचि का पहला परिवर्तन समीकरण में भावों को समान रूप से समान भावों से बदलना है। हम जानते हैं कि यह समतुल्य है यदि परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के लिए वीए मूल समीकरण के वीए के समान है। इससे यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन को करते समय त्रुटियों के घटित होने के दो मुख्य कारण हैं: पहला OD में परिवर्तन है जो परिवर्तन के परिणामस्वरूप होता है, दूसरा एक अभिव्यक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन है वह बिल्कुल उसके बराबर नहीं है। आइए इस प्रकार के विशिष्ट परिवर्तनों के उदाहरणों पर विचार करते हुए, इन पहलुओं की विस्तार से और क्रम से जाँच करें।

सबसे पहले, आइए समीकरणों के विशिष्ट परिवर्तनों पर गौर करें, जिसमें एक अभिव्यक्ति को एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, जो हमेशा समतुल्य होता है। यहां प्रासंगिक सूची है.

• नियमों और कारकों को पुनर्व्यवस्थित करना. यह परिवर्तन अपरिमेय समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर किया जा सकता है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, समीकरण के रूप को सरल बनाने के लिए समूह बनाने और फिर समान पदों को छोटा करने के लिए किया जा सकता है। पदों या कारकों को पुनर्व्यवस्थित करना स्पष्ट रूप से समीकरण का एक समतुल्य परिवर्तन है। यह समझने योग्य है: मूल अभिव्यक्ति और पुनर्व्यवस्थित शब्दों या कारकों वाली अभिव्यक्ति समान रूप से समान हैं (यदि, निश्चित रूप से, पुनर्व्यवस्था सही ढंग से की गई है), और यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन से ओडीजेड नहीं बदलता है। चलिए एक उदाहरण देते हैं. उत्पाद x·3·x में अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर, आप पहले और दूसरे कारक x और 3 को स्वैप कर सकते हैं, जो बाद में आपको मानक रूप में मूल चिह्न के तहत बहुपद का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगा। और समीकरण के दाईं ओर 4+x+5 के योग में, आप पदों 4 और x की अदला-बदली कर सकते हैं, जो भविष्य में आपको संख्या 4 और 5 जोड़ने की अनुमति देगा। इन पुनर्व्यवस्थाओं के बाद, अपरिमेय समीकरण का रूप ले लेगा, परिणामी समीकरण मूल समीकरण के बराबर होगा।
• कोष्ठकों का विस्तार. समीकरणों के इस परिवर्तन की समानता स्पष्ट है: कोष्ठक खोलने से पहले और बाद के भाव समान रूप से समान हैं और अनुमेय मूल्यों की समान सीमा है। उदाहरण के लिए, आइए अपरिमेय समीकरण लें . उसके समाधान के लिए कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। समीकरण के बाईं ओर और साथ ही दाईं ओर के कोष्ठकों को खोलने पर, हम एक समतुल्य समीकरण पर पहुंचते हैं।
• पदों और/या कारकों का समूहन. समीकरण का यह परिवर्तन अनिवार्य रूप से किसी भी अभिव्यक्ति के प्रतिस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है जो समूहीकृत शब्दों या कारकों के साथ एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ समीकरण का हिस्सा है। जाहिर है, इससे ODZ नहीं बदलता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का संकेतित परिवर्तन समतुल्य है। उदाहरण के लिए, आइए एक अपरिमेय समीकरण लें। पदों को पुनर्व्यवस्थित करना (हमने इसके बारे में ऊपर दो पैराग्राफ में बात की है) और पदों को समूहीकृत करने से हम एक समतुल्य समीकरण पर आगे बढ़ सकते हैं। शब्दों के ऐसे समूहन का उद्देश्य स्पष्ट रूप से दिखाई देता है - निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तन को अंजाम देना, जो एक नए चर की शुरूआत की अनुमति देगा।
• सामान्य कारक को अलग करना। यह स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से पहले और उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने के बाद के भाव समान रूप से बराबर होते हैं। यह भी स्पष्ट है कि सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से वीए में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसलिए, किसी अभिव्यक्ति में सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना जो समीकरण का हिस्सा है, समीकरण का एक समतुल्य परिवर्तन है। इस परिवर्तन का उपयोग, उदाहरण के लिए, किसी समीकरण के बाईं ओर को गुणनखंडन द्वारा हल करने के लिए उत्पाद के रूप में दर्शाने के लिए किया जाता है। यहाँ एक ठोस उदाहरण है. आइए अपरिमेय समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण के बाईं ओर को उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा। इस परिवर्तन के फलस्वरूप अपरिमेय समीकरण प्राप्त होगा , मूल के समतुल्य, जिसे गुणनखंडन द्वारा हल किया जा सकता है।
• संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदलना। यह स्पष्ट है कि यदि समीकरण में एक निश्चित संख्यात्मक अभिव्यक्ति शामिल है, और हम इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति को इसके मूल्य (सही ढंग से गणना) के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो ऐसा प्रतिस्थापन समतुल्य होगा। वास्तव में, संक्षेप में, एक अभिव्यक्ति को एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और साथ ही समीकरण का ODZ नहीं बदलता है। इस प्रकार, अपरिमेय समीकरण में प्रतिस्थापित करना दो संख्याओं -3 और 1 का योग और इस योग का मान, जो -2 के बराबर है, हमें एक समतुल्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है। इसी प्रकार, कोई अपरिमेय समीकरण का समतुल्य परिवर्तन कर सकता है , मूल चिह्न (1+2=3 और) के तहत संख्याओं के साथ संचालन करना ), यह परिवर्तन हमें समतुल्य समीकरण की ओर ले जाएगा .
• एक अपरिमेय समीकरण के अंकन में पाए जाने वाले एकपदी और बहुपद के साथ संचालन करना। यह स्पष्ट है कि इन कार्यों के सही कार्यान्वयन से एक समतुल्य समीकरण बनेगा। दरअसल, इस मामले में अभिव्यक्ति को एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा और OD नहीं बदलेगा। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण में आप एकपदी x 2 और 3 x 2 जोड़ सकते हैं और समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं . एक अन्य उदाहरण: एक अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर बहुपदों को घटाना एक समतुल्य परिवर्तन है जो एक समतुल्य समीकरण की ओर ले जाता है .

हम समीकरणों के परिवर्तनों पर विचार करना जारी रखते हैं, जिसमें व्यंजकों को समान रूप से समान व्यंजकों से प्रतिस्थापित करना शामिल है। ऐसे परिवर्तन असमान भी हो सकते हैं, क्योंकि वे ODZ को बदल सकते हैं। खास तौर पर ODZ का विस्तार हो सकता है. यह समान पदों को कम करते समय, भिन्नों को कम करते समय, कई शून्य कारकों वाले उत्पाद को या शून्य से शून्य के बराबर अंश वाले अंश को प्रतिस्थापित करते समय, और अक्सर जड़ों के गुणों के अनुरूप सूत्रों का उपयोग करते समय हो सकता है। वैसे, जड़ों के गुणों का लापरवाही से उपयोग भी ODZ के संकुचन का कारण बन सकता है। और यदि ओडीजेड का विस्तार करने वाले परिवर्तन समीकरणों को हल करते समय स्वीकार्य हैं (वे बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकते हैं, जो एक निश्चित तरीके से समाप्त हो जाते हैं), तो ओडीजेड को संकीर्ण करने वाले परिवर्तनों को छोड़ दिया जाना चाहिए, क्योंकि वे जड़ों के नुकसान का कारण बन सकते हैं। आइए इन बिंदुओं पर ध्यान दें।

पहला अपरिमेय समीकरण है . इसका समाधान समीकरण को रूप में बदलने से शुरू होता है डिग्री के गुणों में से एक पर आधारित। यह परिवर्तन समतुल्य है, क्योंकि अभिव्यक्ति को एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और ODZ नहीं बदलता है। लेकिन समीकरण में अगला परिवर्तन, जड़ की परिभाषा के आधार पर किया गया, पहले से ही समीकरण का एक असमान परिवर्तन हो सकता है, क्योंकि इस तरह के परिवर्तन के साथ ODZ का विस्तार होता है। आइए हम इस समीकरण का पूरा समाधान दिखाएं।

दूसरा अपरिमेय समीकरण, यह स्पष्ट करने के लिए उपयुक्त है कि जड़ों के गुणों और जड़ की परिभाषा का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों के परिवर्तन असमान हो सकते हैं, इस रूप का है . यह अच्छा है यदि आप स्वयं को इस तरह से समाधान शुरू करने की अनुमति नहीं देते हैं

या ऐसा

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं। पहला परिवर्तन मूल अपरिमेय समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए इसमें अभिव्यक्ति x+3 को अभिव्यक्ति से प्रतिस्थापित करना शामिल है। ये अभिव्यक्तियाँ सर्वथा समान हैं। लेकिन इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, ODZ सेट (−∞, −3)∪[−1, +∞) से सेट [−1, +∞) तक सीमित हो जाता है। और हम डीएल को संकीर्ण करने वाले सुधारों को छोड़ने पर सहमत हुए, क्योंकि इससे जड़ें नष्ट हो सकती हैं।

दूसरे मामले में क्या गलत है? से अंतिम संक्रमण के दौरान ODZ का विस्तार संख्या −3 तक? इतना ही नहीं। बड़ी चिंता का विषय मूल अपरिमेय समीकरण से पहला परिवर्तन है समीकरण के लिए . इस संक्रमण का सार अभिव्यक्ति x+3 को अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना है। लेकिन ये अभिव्यक्तियाँ समान रूप से समान नहीं हैं: x+3 के लिए<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , जिससे यह अनुसरण होता है .

तो फिर इस अपरिमेय समीकरण को कैसे हल किया जाए ? यहां तुरंत एक नया वेरिएबल पेश करना सबसे अच्छा है , इस मामले में (x+3)·(x+1)=t 2. आइए एक विस्तृत समाधान दें।

आइए हम विश्लेषण किए जा रहे समीकरणों के पहले परिवर्तनों का सारांश प्रस्तुत करें - एक अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना जो समीकरण का हिस्सा है, उसके समान अभिव्यक्ति के साथ। हर बार जब इसे किया जाता है, तो दो शर्तों को पूरा करना आवश्यक होता है: पहला, कि अभिव्यक्ति को एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और दूसरा, कि ओडीजेड का संकुचन नहीं होता है। यदि इस तरह के प्रतिस्थापन से ODZ नहीं बदलता है, तो परिवर्तन का परिणाम एक समतुल्य समीकरण होगा। यदि ऐसे प्रतिस्थापन के दौरान ओडीजेड का विस्तार होता है, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और उन्हें फ़िल्टर करने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए।

आइए सूची के दूसरे परिवर्तन पर आगे बढ़ें - समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना और समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना। यह समीकरण का समतुल्य परिवर्तन है. हम आमतौर पर इसका सहारा तब लेते हैं जब समीकरण के बायीं और दायीं ओर समान संख्याएँ होती हैं; समीकरण के दोनों ओर से इन संख्याओं को घटाने से हमें भविष्य में उनसे छुटकारा मिल जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर एक पद 3 है. समीकरण के दोनों पक्षों से एक त्रिक घटाने पर एक समीकरण बनता है, जो संख्याओं के साथ जोड़-तोड़ करने के बाद एक रूप लेता है और इसे और अधिक सरल बनाया गया। परिणाम के अनुसार, प्रश्न में परिवर्तन में समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ एक पद के स्थानांतरण के साथ कुछ समानता है, लेकिन इस परिवर्तन पर थोड़ी देर बाद और अधिक जानकारी दी जाएगी। इस परिवर्तन के अन्य उदाहरणों का उपयोग किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में, समीकरण के बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग को व्यवस्थित करने और एक नया चर पेश करने के लिए समीकरण को रूप में बदलने के लिए दोनों पक्षों में संख्या 3 जोड़ना आवश्यक है।

अभी चर्चा किए गए परिवर्तन का सामान्यीकरण समीकरण के दोनों पक्षों से एक ही अभिव्यक्ति को जोड़ना या घटाना है। जब ODZ नहीं बदलता है तो समीकरणों का यह परिवर्तन समतुल्य होता है। यह परिवर्तन मुख्य रूप से समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर एक साथ मौजूद समान शब्दों से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए मान लें कि हमारे पास एक अपरिमेय समीकरण है। यह स्पष्ट है कि समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों तरफ एक पद है। इस अभिव्यक्ति को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाना उचित है:। हमारे मामले में, ऐसा परिवर्तन ODZ को नहीं बदलता है, इसलिए किया गया परिवर्तन समतुल्य है। और यह एक सरल अपरिमेय समीकरण की ओर आगे बढ़ने के लिए किया जाता है।

समीकरणों का अगला परिवर्तन, जिस पर हम इस अनुच्छेद में चर्चा करेंगे, वह है समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ पदों का स्थानांतरण। समीकरण का यह परिवर्तन सदैव समतुल्य होता है। इसके अनुप्रयोग का दायरा काफी व्यापक है। उदाहरण के लिए, इसकी सहायता से, आप मूलांक को अलग कर सकते हैं या समीकरण के एक भाग में समान पदों को एकत्र कर सकते हैं, ताकि आप फिर उन्हें कम कर सकें और इस तरह समीकरण के रूप को सरल बना सकें। चलिए एक उदाहरण देते हैं. एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए आप पदों -1 को दाईं ओर ले जा सकते हैं, उनका चिह्न बदल सकते हैं, इससे एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा , जिसे आगे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य से भिन्न, एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करने के लिए समीकरणों के परिवर्तनों पर विचार करने के पथ पर आगे बढ़ते हैं। यह परिवर्तन समीकरण का समतुल्य परिवर्तन है। किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने का उपयोग मुख्य रूप से भिन्न से पूर्ण संख्या में जाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, ताकि अपरिमेय समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए, आपको दोनों भागों को 8 से गुणा करना चाहिए, जो एक समतुल्य समीकरण देता है , जिसे आगे इस रूप में संक्षिप्त किया गया है . समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन मुख्यतः संख्यात्मक गुणांकों को कम करने के उद्देश्य से किया जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्ष संख्यात्मक गुणांक 18 और 12 से विभाजित करने की सलाह दी जाती है, अर्थात 6 से, ऐसा विभाजन समतुल्य समीकरण देता है , जिससे हम बाद में समीकरण पर आगे बढ़ सकते हैं , जिसमें छोटे, लेकिन पूर्णांक गुणांक भी हैं।

समीकरण का अगला परिवर्तन समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से गुणा और विभाजित करना है। यह परिवर्तन समतुल्य है जब वह अभिव्यक्ति जिसके द्वारा गुणा या भाग किया जाता है, चर के अनुमेय मानों की सीमा को नहीं बदलता है और उस पर शून्य नहीं होता है। आम तौर पर, दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से गुणा करना किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने के समान होता है। बहुधा, आगे के परिवर्तनों द्वारा भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए इस परिवर्तन का सहारा लिया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

हम अपरिमेय समीकरणों को नज़रअंदाज़ नहीं करेंगे, जिन्हें हल करने के लिए हमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से विभाजित करने का सहारा लेना पड़ता है। हमने थोड़ा ऊपर देखा कि ऐसा विभाजन एक समतुल्य परिवर्तन है यदि यह ओडीजेड को प्रभावित नहीं करता है और ओडीजेड पर यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है। लेकिन कभी-कभी विभाजन को एक अभिव्यक्ति द्वारा पूरा करना पड़ता है जो ओडीजेड में गायब हो जाता है। ऐसा करना काफी संभव है यदि आप एक ही समय में इस अभिव्यक्ति के शून्यों को अलग से जांचें कि क्या उनके बीच हल किए जा रहे समीकरण की कोई जड़ें हैं, अन्यथा ये जड़ें ऐसे विभाजन के दौरान खो सकती हैं।

अपरिमेय समीकरणों का अंतिम परिवर्तन जिस पर हम इस अनुच्छेद में चर्चा करेंगे, वह है समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाना। इस परिवर्तन को अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट कहा जा सकता है, क्योंकि अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करते समय इसका व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। जब हमने जांच की तो हमने वर्तमान लेख में इस परिवर्तन का पहले ही उल्लेख किया है। इस बदलाव के कई उदाहरण भी हैं. हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे, लेकिन बस इतना याद रखें कि सामान्य स्थिति में यह परिवर्तन समतुल्य नहीं है। इससे बाहरी जड़ों की उपस्थिति हो सकती है। इसलिए, यदि समाधान की प्रक्रिया में हम इस परिवर्तन की ओर मुड़ते हैं, तो पाई गई जड़ों की उनके बीच बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए जाँच की जानी चाहिए।

जड़ें खोने के बारे में

किसी समीकरण को हल करते समय जड़ों के नष्ट होने का क्या कारण हो सकता है? जड़ों के नष्ट होने का मुख्य कारण समीकरण का परिवर्तन है, जिसमें ODZ संकुचित हो जाता है। इस बात को समझने के लिए आइए एक उदाहरण देखें.

आइए अपरिमेय समीकरण लें , जिसे हम वर्तमान लेख में पहले ही हल कर चुके हैं। हमने समीकरण के निम्नलिखित परिवर्तनों को करने के विरुद्ध चेतावनी के साथ इसे हल करना शुरू किया

सबसे पहला परिवर्तन समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए - ODZ को संकीर्ण करता है। दरअसल, मूल समीकरण के लिए ODZ (−∞, −3)∪[−1, +∞) है, और परिणामी समीकरण के लिए यह [−1, +∞) है। इसमें अंतराल (−∞, −3) को विचार से बाहर करना शामिल है और, परिणामस्वरूप, इस अंतराल से समीकरण की सभी जड़ों का नुकसान होता है। हमारे मामले में, इस परिवर्तन को करते समय, समीकरण की सभी जड़ें खो जाएंगी, जिनमें से दो और हैं।

इसलिए, यदि किसी समीकरण के परिवर्तन से OD में संकुचन होता है, तो उस भाग में स्थित समीकरण की सभी जड़ें, जहां संकुचन हुआ है, नष्ट हो जाएंगी। इसीलिए हम आह्वान करते हैं कि डीजेड को संकीर्ण करने वाले सुधारों का सहारा न लें। हालाँकि, एक चेतावनी है।

यह खंड उन परिवर्तनों पर लागू होता है जिनमें ODZ एक या अधिक संख्याओं द्वारा संकुचित होता है। सबसे विशिष्ट परिवर्तन, जिसमें कई व्यक्तिगत संख्याएँ ODZ से बाहर हो जाती हैं, एक ही अभिव्यक्ति द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन है। यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देते समय, केवल वे जड़ें जो संख्याओं के इस सीमित सेट के बीच होती हैं, जो ओडीजेड को कम करने पर गिर जाती हैं, खो सकती हैं। इसलिए, यदि आप यह देखने के लिए इस सेट में सभी संख्याओं की अलग-अलग जांच करते हैं कि क्या उनके बीच हल किए जा रहे समीकरण की जड़ें हैं, उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन द्वारा, और उत्तर में पाए गए जड़ों को शामिल करें, तो आप इच्छित परिवर्तन कर सकते हैं जड़ें खोने के डर के बिना. आइये इसे एक उदाहरण से समझाते हैं।

आइए अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसे पिछले पैराग्राफ में पहले ही हल किया जा चुका है। एक नया चर प्रस्तुत करके इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 1+x से विभाजित करना उपयोगी होता है। इस विभाजन के साथ, संख्या −1 ODZ से बाहर हो जाती है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने से गलत संख्यात्मक समानता () मिलती है, जिसका अर्थ है कि -1 समीकरण का मूल नहीं है। इस तरह की जाँच के बाद, आप जड़ खोने के डर के बिना सुरक्षित रूप से इच्छित विभाजन को अंजाम दे सकते हैं।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि अक्सर, अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित करने के साथ-साथ जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन, OD की संकीर्णता की ओर ले जाते हैं। इसलिए आपको ऐसे परिवर्तन करते समय बहुत सावधान रहने की आवश्यकता है और जड़ों को खोने से बचना चाहिए।

बाहरी जड़ों और उन्हें छानने की विधियों के बारे में

समीकरणों की भारी संख्या का समाधान समीकरणों के परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है। कुछ परिवर्तनों से परिणाम समीकरण बन सकते हैं, और परिणाम समीकरण के समाधानों में ऐसे मूल भी हो सकते हैं जो मूल समीकरण से भिन्न हों। बाह्य मूल मूल समीकरण के मूल नहीं हैं, इसलिए, उन्हें उत्तर में प्रकट नहीं होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, उन्हें ख़त्म किया जाना चाहिए।

इसलिए, यदि हल किए जा रहे समीकरण के परिवर्तनों की श्रृंखला में कम से कम एक परिणामी समीकरण है, तो आपको बाहरी जड़ों का पता लगाने और उन्हें फ़िल्टर करने का ध्यान रखना होगा।

विदेशी जड़ों का पता लगाने और उनकी जांच करने के तरीके उनकी संभावित उपस्थिति के कारणों पर निर्भर करते हैं। और अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के दो कारण हैं: पहला समीकरण को बदलने के परिणामस्वरूप ओडीजेड का विस्तार है, दूसरा समीकरण के दोनों पक्षों को एक समान शक्ति तक बढ़ाना है। आइए संबंधित तरीकों पर नजर डालें।

आइए बाहरी जड़ों को हटाने के तरीकों से शुरुआत करें, जब उनकी संभावित उपस्थिति का कारण केवल ओडीजेड का विस्तार है। इस मामले में, बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग निम्नलिखित तीन तरीकों में से एक में की जाती है:

• ओडीजेड के अनुसार. ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण के लिए चर का ODZ पाया जाता है और पाए गए मूलों की संबद्धता की जाँच की जाती है। जो जड़ें ODZ से संबंधित हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो जड़ें ODZ से संबंधित नहीं हैं वे मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।
• ODZ की शर्तों के माध्यम से. मूल समीकरण के लिए चर के ODZ को निर्धारित करने वाली शर्तों को लिखा जाता है, और पाए गए मूलों को एक-एक करके उनमें प्रतिस्थापित किया जाता है। वे जड़ें जो सभी शर्तों को पूरा करती हैं वे जड़ें हैं, और जो जड़ें कम से कम एक शर्त को संतुष्ट नहीं करती हैं वे मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।
• मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से (या किसी समकक्ष समीकरण में)। पाए गए मूलों को मूल समीकरण में बदले में प्रतिस्थापित किया जाता है, उनमें से वे, जिनके प्रतिस्थापन पर समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, मूल हैं, और उनमें से वे, जिनके प्रतिस्थापन पर एक ऐसी अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जिसका कोई मतलब नहीं है , मूल समीकरण के लिए बाह्य जड़ें हैं।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, आइए उनमें से प्रत्येक का सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए प्रत्येक संकेतित विधि का उपयोग करके बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करें।

यह स्पष्ट है कि हम सभी ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हर बार बाहरी जड़ों की पहचान नहीं करेंगे और उन्हें हटा नहीं देंगे। बाहरी जड़ों को ख़त्म करने के लिए, हम प्रत्येक विशिष्ट मामले में सबसे उपयुक्त विधि का चयन करेंगे। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित उदाहरण में, ओडीजेड की शर्तों के माध्यम से बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना सबसे सुविधाजनक है, क्योंकि इन शर्तों के तहत संख्यात्मक सेट के रूप में ओडीजेड को ढूंढना मुश्किल है।

अब बात करते हैं बाहरी जड़ों को छांटने की, जब एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को एक सम घात तक बढ़ाया जाता है। यहां, ODZ के माध्यम से या ODZ स्थितियों के माध्यम से छानने से अब मदद नहीं मिलेगी, क्योंकि यह हमें किसी अन्य कारण से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को हटाने की अनुमति नहीं देगा - समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने के कारण। जब किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाया जाता है तो बाहरी जड़ें क्यों दिखाई देती हैं? इस मामले में बाहरी जड़ों की उपस्थिति इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि गलत संख्यात्मक समानता के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने से सही संख्यात्मक समानता मिल सकती है। उदाहरण के लिए, गलत संख्यात्मक समानता 3=−3 दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद सही संख्यात्मक समानता 3 2 =(−3) 2 बन जाती है, जो 9=9 के समान है।

हमने समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक बढ़ाने पर बाहरी जड़ों के प्रकट होने के कारणों का पता लगा लिया है। यह इंगित करना बाकी है कि इस मामले में बाहरी जड़ों को कैसे समाप्त किया जाता है। स्क्रीनिंग मुख्य रूप से पाए गए संभावित जड़ों को मूल समीकरण या उसके समकक्ष किसी समीकरण में प्रतिस्थापित करके की जाती है। आइए इसे एक उदाहरण से प्रदर्शित करें।

लेकिन यह एक और विधि को ध्यान में रखने लायक है जो आपको उन मामलों में बाहरी जड़ों को हटाने की अनुमति देती है जब एक अकेले कट्टरपंथी के साथ एक अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय , जहां 2·k एक सम संख्या है, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर, बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की स्थिति g(x)≥0 के माध्यम से की जा सकती है (अर्थात्, वास्तव में निर्धारण करके एक अपरिमेय समीकरण को हल करना जड़)। यह विधि अक्सर तब बचाव में आती है जब प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने से जटिल गणनाएँ शामिल हो जाती हैं। निम्नलिखित उदाहरण इसका एक अच्छा उदाहरण है।

साहित्य

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एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिन्ह के नीचे एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:

ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल किए जाते हैं:

1. जड़ को अलग करें. दूसरे शब्दों में, यदि समान चिह्न के बाईं ओर, मूल के अलावा, अन्य संख्याएँ या फ़ंक्शन हैं, तो चिह्न को बदलते हुए, इन सभी को दाईं ओर ले जाना होगा। इस मामले में, केवल मूलांक बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
2. 2. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें। साथ ही, हमें याद है कि मूल के मानों की सीमा सभी गैर-नकारात्मक संख्याएँ हैं। इसलिए, दाईं ओर फ़ंक्शन अपरिमेय समीकरणगैर-नकारात्मक भी होना चाहिए: g(x) ≥ 0.
3. तीसरा चरण तार्किक रूप से दूसरे से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमें अतिरिक्त जड़ें मिल सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, आपको परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और जांचना होगा: क्या वास्तव में सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई है?

एक अपरिमेय समीकरण को हल करना

आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण को देखें। यहां जड़ पहले से ही अलग है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। दोनों तरफ वर्गाकार:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

हम विवेचक के माध्यम से परिणामी द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

डी = बी 2 - 4एसी = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 = −2

जो कुछ बचा है वह इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना है, अर्थात। जाँच करें. लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को सरल बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।

समाधान को सरल कैसे बनायें

आइए विचार करें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में जाँच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जब हम अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो बराबर चिह्न के दाईं ओर एक गैर-नकारात्मक संख्या होगी। आख़िरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि बाईं ओर एक गैर-नकारात्मक संख्या है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार अंकगणितीय वर्गमूल (यही कारण है कि हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) शून्य से कम नहीं हो सकता है।

इसलिए, हमें केवल यह जांचने की आवश्यकता है कि फलन g (x) = 5 - x, जो समान चिह्न के दाईं ओर है, गैर-नकारात्मक है:

जी(एक्स) ≥ 0

हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ें प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

जी (एक्स 1) = जी (6) = 5 − 6 = −1< 0
जी (एक्स 2) = जी (−2) = 5 - (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

प्राप्त मूल्यों से यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल x 1 = 6 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। लेकिन मूल x 2 = −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:

1. यह मूल दोनों पक्षों को ऊपर उठाने पर प्राप्त द्विघात समीकरण का हल है अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में.
2. मूल x 2 = −2 को प्रतिस्थापित करने पर, मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना पक्ष एक सकारात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणित मूल के मानों की सीमा का उल्लंघन नहीं किया गया है।

यह संपूर्ण एल्गोरिथम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, मूलांक वाले समीकरणों को हल करना उतना कठिन नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अनावश्यक उत्तर प्राप्त होने की बहुत अधिक संभावना है।