किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत समतल का समीकरण। सरल रेखा

यह आलेख एक विचार देता है कि किसी दी गई रेखा के लंबवत त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए समीकरण कैसे बनाया जाए। आइए विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके दिए गए एल्गोरिदम का विश्लेषण करें।

किसी दी गई रेखा के लंबवत अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात करना

मान लीजिए कि इसमें एक त्रि-आयामी स्थान और एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दिया गया है। बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1), रेखा a और रेखा a के लंबवत बिंदु M 1 से गुजरने वाला समतल α भी दिया गया है। समतल α का समीकरण लिखना आवश्यक है।

इससे पहले कि हम इस समस्या को हल करना शुरू करें, आइए ग्रेड 10-11 के पाठ्यक्रम से ज्यामिति प्रमेय को याद करें, जो कहता है:

परिभाषा 1

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से दी गई सीधी रेखा पर लंबवत एक एकल विमान गुजरता है।

अब आइए देखें कि प्रारंभिक बिंदु से गुजरने वाले और दी गई रेखा के लंबवत इस एकल विमान का समीकरण कैसे ज्ञात किया जाए।

किसी विमान के सामान्य समीकरण को लिखना संभव है यदि इस विमान से संबंधित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हों, साथ ही विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक भी ज्ञात हों।

समस्या की स्थितियाँ हमें उस बिंदु M 1 के निर्देशांक x 1, y 1, z 1 देती हैं जिससे होकर विमान α गुजरता है। यदि हम समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, तो हम आवश्यक समीकरण लिखने में सक्षम होंगे।

समतल α का सामान्य सदिश, चूँकि यह गैर-शून्य है और समतल α के लंबवत रेखा a पर स्थित है, रेखा a का कोई भी दिशा सदिश होगा। इस प्रकार, समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजने की समस्या सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने की समस्या में बदल जाती है।

सीधी रेखा a के दिशा वेक्टर के निर्देशांक का निर्धारण विभिन्न तरीकों का उपयोग करके किया जा सकता है: यह प्रारंभिक स्थितियों में सीधी रेखा a को निर्दिष्ट करने के विकल्प पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि समस्या कथन में सीधी रेखा a फॉर्म के विहित समीकरणों द्वारा दी गई है

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड

या फॉर्म के पैरामीट्रिक समीकरण:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

तो सीधी रेखा के दिशा वेक्टर में निर्देशांक a x, a y और a z होंगे। उस स्थिति में जब सीधी रेखा a को दो बिंदुओं M 2 (x 2, y 2, z 2) और M 3 (x 3, y 3, z 3) द्वारा दर्शाया जाता है, तो दिशा वेक्टर के निर्देशांक इस प्रकार निर्धारित किए जाएंगे ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

परिभाषा 2

किसी दी गई रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण खोजने के लिए एल्गोरिदम:

हम सीधी रेखा a के दिशा वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं: ए → = (ए एक्स, ए वाई, ए जेड) ;

हम समतल α के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक के रूप में परिभाषित करते हैं:

n → = (ए , बी , सी) , कहां ए = ए एक्स, बी = ए वाई, सी = ए जेड;

हम बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से गुजरने वाले और एक सामान्य वेक्टर वाले विमान का समीकरण लिखते हैं एन → = (ए, बी, सी) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 के रूप में। यह उस समतल का आवश्यक समीकरण होगा जो अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है और दी गई रेखा के लंबवत है।

विमान का परिणामी सामान्य समीकरण है: ए (एक्स - एक्स 1) + बी (वाई - वाई 1) + सी (जेड - जेड 1) = 0 खंडों में विमान के समीकरण या विमान के सामान्य समीकरण को प्राप्त करना संभव बनाता है।

आइए ऊपर प्राप्त एल्गोरिदम का उपयोग करके कई उदाहरण हल करें।

उदाहरण 1

एक बिंदु M 1 (3, - 4, 5) दिया गया है, जिससे होकर विमान गुजरता है, और यह विमान समन्वय रेखा O z के लंबवत है।

समाधान

निर्देशांक रेखा O z का दिशा सदिश निर्देशांक सदिश k ⇀ = (0, 0, 1) होगा। इसलिए, विमान के सामान्य वेक्टर में निर्देशांक (0, 0, 1) होते हैं। आइए किसी दिए गए बिंदु M 1 (3, - 4, 5) से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण लिखें, जिसके सामान्य वेक्टर में निर्देशांक (0, 0, 1) हैं:

ए (एक्स - एक्स 1) + बी (वाई - वाई 1) + सी (जेड - जेड 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (एक्स - 3) + 0 (वाई - (- 4)) + 1 (जेड - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

उत्तर:जेड - 5 = 0 .

आइए इस समस्या को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें:

उदाहरण 2

एक समतल जो रेखा O z के लंबवत है, उसे C z + D = 0, C ≠ 0 के रूप के अपूर्ण सामान्य समतल समीकरण द्वारा दिया जाएगा। आइए हम C और D के मान निर्धारित करें: वे जिन पर विमान किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है। आइए इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण C z + D = 0 में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है: C · 5 + D = 0। वे। संख्याएँ, C और D संबंध से संबंधित हैं - D C = 5. C = 1 लेने पर, हमें D = - 5 प्राप्त होता है।

आइए इन मानों को समीकरण C z + D = 0 में प्रतिस्थापित करें और सीधी रेखा O z के लंबवत और बिंदु M 1 (3, - 4, 5) से गुजरने वाले विमान का आवश्यक समीकरण प्राप्त करें।

यह इस तरह दिखेगा: z – 5 = 0.

उत्तर:जेड - 5 = 0 .

उदाहरण 3

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 के लंबवत एक विमान के लिए एक समीकरण लिखें

समाधान

समस्या की स्थितियों के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी दी गई सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को किसी दिए गए विमान के सामान्य वेक्टर n → के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार: n → = (- 3 , - 7 , 2) . आइए बिंदु O (0, 0, 0) से गुजरने वाले और एक सामान्य वेक्टर n → = (- 3, - 7, 2) वाले एक विमान का समीकरण लिखें:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

हमने किसी दी गई रेखा के लंबवत निर्देशांक के मूल से गुजरने वाले विमान का आवश्यक समीकरण प्राप्त कर लिया है।

उत्तर:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

उदाहरण 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दी गई है, इसमें दो बिंदु A (2, - 1, - 2) और B (3, - 2, 4) हैं। समतल α रेखा A B के लंबवत बिंदु A से होकर गुजरता है। खंडों में समतल α के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

समतल α रेखा A B के लंबवत है, तो सदिश A B → समतल α का सामान्य सदिश होगा। इस वेक्टर के निर्देशांक को बिंदु B (3, - 2, 4) और A (2, - 1, - 2) के संगत निर्देशांक के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

ए बी → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ ए बी → = (1 , - 1 , 6)

समतल का सामान्य समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

आइए अब खंडों में विमान के आवश्यक समीकरण की रचना करें:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

उत्तर:एक्स - 9 + वाई 9 + जेड - 3 2 = 1

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसी समस्याएं हैं जिनकी आवश्यकता किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले और दो दिए गए विमानों के लंबवत विमान के समीकरण को लिखने की है। सामान्य तौर पर, इस समस्या का समाधान किसी दी गई रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाना है, क्योंकि दो प्रतिच्छेदी तल एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 5

एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z दी गई है, इसमें एक बिंदु M 1 (2, 0, - 5) है। दो समतलों 3 x + 2 y + 1 = 0 और x + 2 z – 1 = 0 के समीकरण भी दिए गए हैं, जो सीधी रेखा a पर प्रतिच्छेद करते हैं। सीधी रेखा a के लंबवत बिंदु M 1 से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

आइए सीधी रेखा a के निर्देशन सदिश के निर्देशांक निर्धारित करें। यह n → (1, 0, 2) तल के सामान्य वेक्टर n 1 → (3, 2, 0) और x + 2 z - के सामान्य वेक्टर 3 x + 2 y + 1 = 0 दोनों के लंबवत है। 1 = 0 समतल.

फिर, निर्देशन सदिश α → रेखा a के रूप में, हम सदिश n 1 → और n 2 → का सदिश गुणनफल लेते हैं:

ए → = एन 1 → × एन 2 → = आई → जे → के → 3 2 0 1 0 2 = 4 आई → - 6 जे → - 2 के → ⇒ ए → = (4 , - 6 , - 2 )

इस प्रकार, सदिश n → = (4, - 6, - 2) रेखा a के लंबवत तल का सामान्य सदिश होगा। आइए हम समतल का आवश्यक समीकरण लिखें:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

उत्तर: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर एक ही समतल खींचे जाने के लिए यह आवश्यक है कि ये बिंदु एक ही सीधी रेखा पर न हों।

सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) पर विचार करें।

एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) को बिंदु M 1, M 2, M 3 के साथ एक ही तल में स्थित करने के लिए, यह आवश्यक है कि सदिश समतलीय हों।

(
) = 0

इस प्रकार,

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण:

एक समतल का समीकरण जिसमें दो बिंदु दिए गए हैं और एक सदिश समतल के संरेख में है।

मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) और वेक्टर दिया गया है
.

आइए दिए गए बिंदुओं एम 1 और एम 2 से गुजरने वाले एक विमान और वेक्टर के समानांतर एक मनमाना बिंदु एम (x, y, z) के लिए एक समीकरण बनाएं। .

वैक्टर
और वेक्टर
समतलीय होना चाहिए, अर्थात

(
) = 0

समतल समीकरण:

एक बिंदु और दो सदिशों का उपयोग करके एक समतल का समीकरण,

समतल के संरेख।

मान लीजिए दो सदिश दिए गए हैं
और
, संरेख तल। फिर समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, सदिश
समतलीय होना चाहिए.

समतल समीकरण:

बिंदु और सामान्य वेक्टर द्वारा एक विमान का समीकरण .

प्रमेय. यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु M दिया गया है 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 ), फिर बिंदु M से गुजरने वाले विमान का समीकरण 0 सामान्य वेक्टर के लंबवत (ए, बी, सी) का रूप है:

ए(एक्स – एक्स 0 ) + बी(य – य 0 ) + सी(जेड – जेड 0 ) = 0.

सबूत। समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, हम एक वेक्टर बनाते हैं। क्योंकि वेक्टर सामान्य वेक्टर है, तो यह विमान के लंबवत है, और इसलिए, वेक्टर के लंबवत है
. फिर अदिश गुणनफल

= 0

इस प्रकार, हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है

प्रमेय सिद्ध है.

खंडों में एक समतल का समीकरण.

यदि सामान्य समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 में हम दोनों पक्षों को (-D) से विभाजित करते हैं

,

की जगह
, हम खंडों में विमान का समीकरण प्राप्त करते हैं:

संख्याएँ a, b, c क्रमशः x, y, z अक्षों के साथ समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

सदिश रूप में एक समतल का समीकरण.

कहाँ

- वर्तमान बिंदु M(x, y, z) की त्रिज्या वेक्टर,

मूल बिंदु से एक समतल पर गिराए गए लंबवत की दिशा वाला एक इकाई वेक्टर।

,  और  इस वेक्टर द्वारा x, y, z अक्षों के साथ बनने वाले कोण हैं।

p इस लम्ब की लंबाई है।

निर्देशांक में, यह समीकरण इस प्रकार दिखता है:

xcos + ycos + zcos - पी = 0.

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी.

एक मनमाना बिंदु M 0 (x 0, y 0, z 0) से समतल Ax+By+Cz+D=0 की दूरी है:

उदाहरण।यह जानते हुए कि बिंदु P(4; -3; 12) इस तल पर मूल बिंदु से डाले गए लम्ब का आधार है, समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

तो ए = 4/13; बी = -3/13; सी = 12/13, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एक्स – एक्स 0 ) + बी(वाई - वाई 0 ) + सी(जेड - जेड 0 ) = 0.

उदाहरण।दो बिंदुओं P(2; 0; -1) और से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात कीजिए

Q(1; -1; 3) समतल 3x + 2y – z + 5 = 0 के लंबवत।

समतल 3x + 2y – z + 5 = 0 का सामान्य सदिश
वांछित तल के समानांतर।

हम पाते हैं:

उदाहरण।बिंदु A(2, -1, 4) और से गुजरने वाले विमान का समीकरण ज्ञात कीजिए

B(3, 2, -1) समतल के लंबवत एक्स + पर + 2जेड – 3 = 0.

समतल के आवश्यक समीकरण का रूप है: A एक्स+बी य+सी जेड+ डी = 0, इस तल का सामान्य सदिश (ए, बी, सी)। वेक्टर
(1,3,-5) तल से संबंधित है। हमें जो विमान दिया गया है, वह वांछित विमान के लंबवत है, इसमें एक सामान्य वेक्टर है (1, 1, 2). क्योंकि बिंदु A और B दोनों तलों से संबंधित हैं, और तब तल परस्पर लंबवत हैं

तो सामान्य वेक्टर (11, -7, -2). क्योंकि बिंदु A वांछित तल से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक को इस तल के समीकरण को संतुष्ट करना होगा, अर्थात। 112 + 71 - 24 +डी= 0;डी= -21.

कुल मिलाकर, हमें समतल का समीकरण मिलता है: 11 एक्स - 7य – 2जेड – 21 = 0.

उदाहरण।यह जानते हुए कि बिंदु P(4, -3, 12) इस तल पर मूल बिंदु से डाले गए लम्ब का आधार है, समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सामान्य वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना
= (4, -3, 12). समतल के आवश्यक समीकरण का रूप है: 4 एक्स – 3य + 12जेड+ डी = 0. गुणांक डी खोजने के लिए, हम बिंदु पी के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

16 + 9 + 144 + डी = 0

कुल मिलाकर, हमें आवश्यक समीकरण मिलता है: 4 एक्स – 3य + 12जेड – 169 = 0

उदाहरण।पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

किनारे A 1 A 2 की लंबाई ज्ञात कीजिए।

किनारों A 1 A 2 और A 1 A 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

किनारे A 1 A 4 और फलक A 1 A 2 A 3 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले हम फलक A 1 A 2 A 3 का सामान्य सदिश ज्ञात करते हैं वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में
और
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

आइए सामान्य वेक्टर और वेक्टर के बीच का कोण ज्ञात करें
.

-4 – 4 = -8.

सदिश और समतल के बीच वांछित कोण  = 90 0 -  के बराबर होगा।

फलक A 1 A 2 A 3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समतल A 1 A 2 A 3 का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आइए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के समीकरण के लिए सूत्र का उपयोग करें।

2x + 2y + 2z – 8 = 0

एक्स + वाई + जेड - 4 = 0;

कंप्यूटर संस्करण का उपयोग करते समय " उच्च गणित पाठ्यक्रम” आप एक प्रोग्राम चला सकते हैं जो पिरामिड के शीर्षों के किसी भी निर्देशांक के लिए उपरोक्त उदाहरण को हल करेगा।

प्रोग्राम शुरू करने के लिए, आइकन पर डबल-क्लिक करें:

खुलने वाली प्रोग्राम विंडो में, पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांक दर्ज करें और Enter दबाएँ। इस प्रकार, सभी निर्णय बिंदु एक-एक करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

नोट: प्रोग्राम को चलाने के लिए, आपके कंप्यूटर पर मेपल प्रोग्राम ( वाटरलू मेपल इंक.) इंस्टॉल होना चाहिए, मेपलवी रिलीज़ 4 से शुरू होने वाला कोई भी संस्करण।

किसी समतल का सामान्य समीकरण प्राप्त करने के लिए, आइए किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का विश्लेषण करें।

मान लीजिए अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक अक्ष हमें पहले से ही ज्ञात हैं - बैल, ओएऔर आउंस. कागज की शीट को इस प्रकार पकड़ें कि वह समतल रहे। समतल ही चादर होगी और सभी दिशाओं में इसकी निरंतरता होगी।

होने देना पीअंतरिक्ष में मनमाना विमान. इसके लम्बवत् प्रत्येक सदिश को कहा जाता है सामान्य वेक्टर इस विमान को. स्वाभाविक रूप से, हम एक गैर-शून्य वेक्टर के बारे में बात कर रहे हैं।

यदि समतल पर कोई बिन्दु ज्ञात हो पीऔर इसके कुछ सामान्य वेक्टर, तो इन दो स्थितियों से अंतरिक्ष में विमान पूरी तरह से परिभाषित होता है(किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से आप दिए गए वेक्टर पर लंबवत एक एकल विमान खींच सकते हैं)। विमान का सामान्य समीकरण होगा:

तो, वे स्थितियाँ जो समतल के समीकरण को परिभाषित करती हैं। अपने आप को पाने के लिए समतल समीकरण, उपरोक्त फॉर्म होने पर, विमान पर ले जाएं पीमनमाना बिंदु एम परिवर्तनीय निर्देशांक के साथ एक्स, य, जेड. यह बिंदु केवल तभी विमान का है वेक्टर वेक्टर के लंबवत(चित्र .1)। इसके लिए सदिशों की लंबवतता की स्थिति के अनुसार यह आवश्यक एवं पर्याप्त है कि इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो, अर्थात्

वेक्टर शर्त द्वारा निर्दिष्ट है. हम सूत्र का उपयोग करके वेक्टर के निर्देशांक पाते हैं :

.

अब, सदिश सूत्र के अदिश गुणनफल का उपयोग करें , हम अदिश गुणनफल को निर्देशांक रूप में व्यक्त करते हैं:

बिंदु के बाद से एम(एक्स; वाई; जेड)विमान पर मनमाने ढंग से चुना जाता है, तो अंतिम समीकरण विमान पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है पी. एक बिंदु के लिए एन, किसी दिए गए विमान पर झूठ नहीं बोल रहा है, यानी। समानता (1) का उल्लंघन है।

उदाहरण 1।एक बिंदु से गुजरने वाले और वेक्टर के लंबवत समतल के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। आइए सूत्र (1) का उपयोग करें और इसे फिर से देखें:

इस सूत्र में संख्याएँ ए , बीऔर सीवेक्टर निर्देशांक, और संख्याएँ एक्स0 , य0 और जेड0 - बिंदु के निर्देशांक.

गणनाएँ बहुत सरल हैं: हम इन संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

हम उन सभी चीजों को गुणा करते हैं जिन्हें गुणा करने की आवश्यकता होती है और केवल संख्याएँ जोड़ते हैं (जिनमें अक्षर नहीं होते हैं)। परिणाम:

.

इस उदाहरण में विमान का आवश्यक समीकरण चर निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री के एक सामान्य समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है एक्स, वाई, जेडसमतल पर कोई बिंदु.

तो, प्रपत्र का एक समीकरण

बुलाया सामान्य समतल समीकरण .

उदाहरण 2.एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समीकरण द्वारा दिए गए एक विमान का निर्माण करें .

समाधान। किसी समतल का निर्माण करने के लिए उसके किन्हीं तीन बिंदुओं को जानना आवश्यक और पर्याप्त है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु।

इन बिंदुओं को कैसे खोजें? अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना आउंस, आपको समस्या कथन में दिए गए समीकरण में X और Y के स्थान पर शून्य लगाने की आवश्यकता है: एक्स = य= 0 . इसलिए हमें मिलता है जेड= 6. इस प्रकार, दिया गया तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है आउंसबिंदु पर ए(0; 0; 6) .

इसी प्रकार हम अक्ष के साथ समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं ओए. पर एक्स = जेड= 0 हमें प्राप्त होता है य= −3, अर्थात् बिंदु बी(0; −3; 0) .

और अंत में, हम अक्ष के साथ अपने तल का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं बैल. पर य = जेड= 0 हमें प्राप्त होता है एक्स= 2, यानी एक बिंदु सी(2; 0; 0) . हमारे समाधान में प्राप्त तीन बिंदुओं के आधार पर ए(0; 0; 6) , बी(0; −3; 0) और सी(2; 0; 0) दिए गए तल की रचना कीजिए।

आइये अब विचार करें सामान्य समतल समीकरण के विशेष मामले. ये ऐसे मामले हैं जब समीकरण (2) के कुछ गुणांक शून्य हो जाते हैं।

1. कब डी= 0 समीकरण बिंदु के निर्देशांक के बाद से, मूल बिंदु से गुजरने वाले विमान को परिभाषित करता है 0 (0; 0; 0) इस समीकरण को संतुष्ट करें।

2. कब ए= 0 समीकरण अक्ष के समानांतर एक समतल को परिभाषित करता है बैल, चूँकि इस तल का सामान्य सदिश अक्ष के लंबवत है बैल(अक्ष पर इसका प्रक्षेपण बैलशून्य के बराबर)। इसी तरह, जब बी= 0 विमान अक्ष के समानांतर ओए, और जब सी= 0 विमान अक्ष के समानांतर आउंस.

3. कब ए=डी= 0 समीकरण अक्ष से गुजरने वाले विमान को परिभाषित करता है बैल, क्योंकि यह अक्ष के समानांतर है बैल (ए=डी= 0). इसी प्रकार, विमान अक्ष से होकर गुजरता है ओए, और अक्ष के माध्यम से विमान आउंस.

4. कब ए=बी= 0 समीकरण निर्देशांक तल के समानांतर एक तल को परिभाषित करता है xOy, क्योंकि यह अक्षों के समानांतर है बैल (ए= 0) और ओए (बी= 0). इसी प्रकार, समतल समतल के समानांतर है yOz, और विमान विमान है xOz.

5. कब ए=बी=डी= 0 समीकरण (या z = 0) निर्देशांक तल को परिभाषित करता है xOy, क्योंकि यह समतल के समानांतर है xOy (ए=बी= 0) और मूल बिंदु से होकर गुजरता है ( डी= 0). इसी प्रकार, Eq. आप=अंतरिक्ष में 0 निर्देशांक तल को परिभाषित करता है xOz, और समीकरण एक्स = 0 - समन्वय विमान yOz.

उदाहरण 3.समतल का एक समीकरण बनाएं पी, अक्ष से होकर गुजरना ओएऔर अवधि.

समाधान। अतः विमान अक्ष से होकर गुजरता है ओए. इसलिए, उसके समीकरण में य= 0 और इस समीकरण का रूप है। गुणांक निर्धारित करने के लिए एऔर सीआइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि बिंदु समतल का है पी .

इसलिए, इसके निर्देशांकों में वे भी हैं जिन्हें समतल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसे हम पहले ही प्राप्त कर चुके हैं ()। आइए बिंदु के निर्देशांक को फिर से देखें:

एम0 (2; −4; 3) .

उनमें से एक्स = 2 , जेड= 3 . हम उन्हें सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे विशेष मामले के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

2ए + 3सी = 0 .

छोड़ो 2 एसमीकरण के बाईं ओर, 3 ले जाएँ सीदाहिनी ओर और हम पहुँचते हैं

ए = −1,5सी .

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करना एसमीकरण में, हम पाते हैं

या ।

यह उदाहरण स्थिति में आवश्यक समीकरण है।

समतल समीकरण समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.समन्वय अक्षों या समन्वय विमानों के संबंध में एक विमान (या विमान, यदि एक से अधिक) को परिभाषित करें यदि विमान समीकरण द्वारा दिए गए हैं।

परीक्षणों के दौरान होने वाली विशिष्ट समस्याओं के समाधान पाठ्यपुस्तक में हैं "एक विमान पर समस्याएं: समानता, लंबवतता, एक बिंदु पर तीन विमानों का प्रतिच्छेदन।"

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक विमान के निर्माण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त, एक बिंदु और सामान्य वेक्टर के अलावा, तीन बिंदु भी हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं।

मान लीजिए तीन अलग-अलग बिंदु दिए गए हैं, और, जो एक ही रेखा पर नहीं हैं। चूंकि संकेतित तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए वेक्टर संरेख नहीं हैं, और इसलिए विमान में कोई भी बिंदु बिंदुओं के साथ एक ही विमान में स्थित है, और यदि और केवल यदि वेक्टर, और समतलीय, यानी तब और केवल जब इन वैक्टरों का मिश्रित उत्पादशून्य के बराबर है.

निर्देशांक में मिश्रित उत्पाद के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, हम विमान का समीकरण प्राप्त करते हैं

(3)

निर्धारक को प्रकट करने के बाद, यह समीकरण फॉर्म (2) का समीकरण बन जाता है, यानी। समतल का सामान्य समीकरण.

उदाहरण 5.तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान के लिए एक समीकरण लिखें जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं:

और किसी रेखा के सामान्य समीकरण का एक विशेष मामला, यदि कोई हो, निर्धारित करें।

समाधान। सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास है:

सामान्य समतल समीकरण. बिंदु से समतल तक की दूरी

किसी समतल का सामान्य समीकरण उसका समीकरण होता है, जिसे प्रपत्र में लिखा जाता है