페르마의 마지막 정리의 역사. 펠릭스 키르사노프

페르마의 마지막 정리 싱 사이먼

"페르마의 마지막 정리는 증명되었나요?"

이는 타니야마-시무라 추측을 증명하기 위한 첫 번째 단계에 불과했지만 와일즈의 전략은 눈부신 수학적 돌파구였으며, 그 결과는 출판될 가치가 있었습니다. 그러나 Wiles는 스스로 침묵을 다짐했기 때문에 자신의 결과를 다른 세상에 알릴 수 없었고 또 누가 똑같이 중요한 돌파구를 만들 수 있는지 전혀 알 수 없었습니다.

Wiles는 잠재적인 도전자에 대한 그의 철학적 태도를 이렇게 회상합니다. “아무도 무언가를 증명하는 데 수년을 소비하고 다른 사람이 몇 주 전에 증거를 찾았다는 것을 발견하고 싶어하지 않습니다. 하지만 이상하게도 본질적으로 해결 불가능한 것으로 간주되는 문제를 해결하려고했기 때문에 라이벌을 크게 두려워하지 않았습니다. 나나 다른 누군가가 증거로 이어질 아이디어를 내놓을 것이라고는 기대하지 않았습니다.”

1988년 3월 8일, 와일즈는 신문의 첫 페이지에 "페르마의 마지막 정리가 증명되었다"라는 제목이 큰 활자로 인쇄된 것을 보고 충격을 받았습니다. 워싱턴포스트(Washington Post)와 뉴욕타임스(New York Times)는 38세의 도쿄 수도대학교 미야오카 요이치(Miyaoka Yoichi)가 세계에서 가장 어려운 수학 문제를 풀었다고 보도했습니다. 미야오카는 아직 자신의 증명을 발표하지 않았지만 본에 있는 막스 플랑크 수학 연구소의 세미나에서 그 진행 상황을 설명했습니다. Miyaoka의 강연에 참석한 Don Tsagir는 다음과 같이 수학계의 낙관론을 표현했습니다. “Miyaoka가 제시한 증명은 매우 흥미롭고 일부 수학자들은 그것이 정확할 확률이 높다고 믿습니다. 아직 완전히 확신할 수는 없지만 지금까지의 증거는 매우 고무적입니다.”

본에서 열린 세미나에서 Miyaoka는 완전히 다른 대수-기하학적 관점에서 문제를 해결하는 자신의 접근 방식에 대해 이야기했습니다. 지난 수십 년 동안 기하학자들은 수학적 대상, 특히 표면의 특성에 대해 깊고 미묘한 이해를 얻었습니다. 70년대에 러시아 수학자 S. Arakelov는 대수 기하학 문제와 정수론 문제 사이의 유사점을 확립하려고 노력했습니다. 이것은 Langlands 프로그램의 핵심 중 하나였으며 수학자들은 정수론에서 해결되지 않은 문제가 기하학에서 상응하는 문제를 연구함으로써 해결될 수 있기를 바랐습니다. 이 프로그램은 병렬성 철학으로 알려졌습니다. 정수론의 문제를 해결하려고 노력한 대수기하학자를 "산술대수기하학"이라고 불렀습니다. 1983년 프린스턴 고등연구소의 게르드 팔팅스가 페르마의 정리를 이해하는 데 중요한 공헌을 하면서 그들은 첫 번째 중요한 승리를 예고했습니다. Fermat에 따르면 방정식은 다음과 같습니다.

~에 N 2보다 큰 정수에는 해가 없습니다. Faltings는 다양한 값과 관련된 기하학적 표면을 연구하여 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 진전을 이루었다고 결정했습니다. N. 다양한 값에 대한 페르마 방정식과 관련된 곡면 N, 서로 다르지만 하나의 공통 속성을 가지고 있습니다. 모두 관통 구멍 또는 간단히 말하면 구멍이 있습니다. 이러한 표면은 모듈 모양의 그래프와 마찬가지로 4차원입니다. 두 표면의 2차원 단면이 그림 1에 표시되어 있습니다. 23. 페르마 방정식과 관련된 곡면은 비슷하게 보입니다. 값이 높을수록 N방정식에서 해당 표면에 더 많은 구멍이 있습니다.

쌀. 23. 이 두 표면은 컴퓨터 프로그램 Mathematica를 사용하여 얻었습니다. 각각은 방정식을 만족하는 점의 궤적을 나타냅니다. xn + 응 = zn(왼쪽 표면의 경우 N=3, 오른쪽 표면의 경우 N=5). 변수 엑스그리고 와이여기서는 복잡한 것으로 간주됩니다

팔팅스는 그러한 표면에는 항상 여러 개의 구멍이 있기 때문에 관련 페르마 방정식은 유한한 정수 해 집합만을 가질 수 있음을 증명할 수 있었습니다. 솔루션의 수는 Fermat가 가정한 대로 0부터 백만 또는 수십억까지 다양할 수 있습니다. 따라서 팔팅스는 페르마의 마지막 정리를 증명하지는 못했지만 적어도 페르마 방정식이 무한히 많은 해를 가질 가능성을 거부했습니다.

5년 후, 미야오카는 한 단계 더 나아갔다고 보고했습니다. 그때 그의 나이는 20대 초반이었습니다. Miyaoka는 불평등에 관한 가설을 세웠습니다. 그의 기하학적 추측을 증명한다는 것은 페르마 방정식의 해의 수가 단지 유한한 것이 아니라 0이라는 것을 증명한다는 것을 의미한다는 것이 분명해졌습니다. Miyaoka의 접근 방식은 페르마의 마지막 정리를 수학의 다른 분야의 기본 가설과 연결하여 증명하려고 시도했다는 점에서 Wiles의 접근 방식과 유사했습니다. Miyaoka의 경우 대수 기하학이었고 Wiles의 경우 증명의 길은 타원 곡선과 모듈러 형식을 통해 이루어졌습니다. Wiles는 유감스럽게도 Miyaoka가 자신의 추측, 즉 페르마의 마지막 정리에 대한 완전한 증거를 가지고 있다고 주장했을 때 여전히 Taniyama-Shimura 추측을 증명하려고 애쓰고 있었습니다.

본에서 연설한 지 2주 후, 미야오카는 자신의 증명의 핵심이 되는 계산서를 5페이지에 걸쳐 출판했고 철저한 조사가 시작되었습니다. 전 세계의 수 이론가와 대수 기하학 전문가가 한 줄씩 연구하고 계산을 발표했습니다. 며칠 후, 수학자들은 우려를 불러일으킬 수밖에 없는 증명에서 한 가지 모순을 발견했습니다. Miyaoka의 작업 중 한 부분은 정수론의 진술로 이어졌는데, 이는 대수기하학의 언어로 번역되었을 때 몇 년 전에 얻은 결과와 모순되는 진술을 생성했습니다. 그리고 이것이 미야오카의 전체 증명을 반드시 무효화한 것은 아니지만, 발견된 모순은 정수론과 기하학 사이의 평행론 철학에 맞지 않았습니다.

또 2주 후, Miyaoke의 길을 닦은 Gerd Faltings는 명백한 병렬성 위반의 정확한 원인, 즉 추론의 공백을 발견했다고 발표했습니다. 일본의 수학자인 그는 기하학자였으며 자신의 생각을 덜 친숙한 정수론의 영역으로 번역할 때 완전히 엄격하지는 않았습니다. 정수론자들은 미야오카 증명의 구멍을 메우기 위해 필사적으로 노력했지만 허사였습니다. 미야오카가 페르마의 마지막 정리에 대한 완전한 증거를 가지고 있다고 주장한 지 두 달 후, 수학계는 만장일치로 결론에 도달했습니다. 미야오카의 증명은 실패할 운명이었습니다.

이전의 실패한 증명과 마찬가지로 Miyaoka는 많은 흥미로운 결과를 얻을 수 있었습니다. 그의 증명 중 일부는 기하학을 정수론에 매우 독창적으로 적용한 것으로 주목할 만하며, 이후 몇 년 동안 다른 수학자들은 이를 사용하여 일부 정리를 증명했지만 누구도 이런 방식으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 성공하지 못했습니다.

페르마의 마지막 정리에 대한 분노는 곧 가라앉았고, 신문에는 300년 된 수수께끼가 아직 풀리지 않은 채로 남아 있다는 짧은 공지가 실렸습니다. 뉴욕의 8번가 지하철역 벽에 다음과 같은 문구가 나타났는데, 이는 의심할 바 없이 페르마의 마지막 정리에 대한 언론 보도에서 영감을 받은 것입니다: "Eq. xn + 인 = zn해결책이 없습니다. 나는 이 사실에 대한 정말 놀라운 증거를 발견했지만 기차가 도착했기 때문에 여기에 적을 수는 없습니다.”

Chapter 10 악어 농장 그들은 John의 차 뒷좌석에 앉아 그림 같은 길을 따라 운전하고 있었습니다. 운전석에는 머리가 이상하게 잘린 밝은 셔츠를 입은 흑인 운전자가 타고 있었습니다. 면도한 그의 두개골에는 철사처럼 단단한 검은 머리카락이 빽빽이 서 있었습니다.

경주 준비. 알래스카, Linda Pletner의 Iditarod Farm은 알래스카에서 매년 열리는 썰매개 경주입니다. 경로 길이는 1,150마일(1,800km)입니다. 이것은 세계에서 가장 긴 썰매 개 경주입니다. 시작(의식) – 2000년 3월 4일 앵커리지에서. 시작

염소 농장 여름에는 마을에 일이 많습니다. 우리가 Khomutets 마을을 방문했을 때 그곳에서는 건초를 수확하고 있었고 갓 자른 허브의 향기로운 파도가 주변 모든 곳에 스며드는 것 같았습니다. 허브가 너무 익지 않도록 제때에 깎아야 합니다. 그러면 가치 있고 영양가 있는 모든 것이 보존될 것입니다. 그들 안에. 이것

여름 농장 휴대용 번개와 같은 빨대, 잔디 속 유리; 또 다른 사람은 울타리에 서명한 후 말 여물통에 물이 담긴 녹색 유리에 불을 붙였습니다. 푸른 황혼 속으로 아홉 마리의 오리가 평행선의 정신으로 틀에 박힌 틀을 따라 흔들리며 방황합니다. 여기 닭은 아무것도 없이 혼자 쳐다보고 있어요

폐허가 된 농장 검붉은 꽃처럼 잔잔한 태양은 땅에 가라앉아 노을 속으로 자라나지만, 유휴 힘으로 밤의 장막은 시선에 어지러운 세상을 그렸다. 지붕 없는 농장에는 침묵이 흘렀다. 마치 누군가가 그녀의 머리를 찢은 듯 선인장을 두고 싸우고 있었다.

농장인가 농장인가? 1958년 2월 13일, 모든 모스크바 중앙 신문과 지역 신문은 "자포로제 지역의 집단 농민으로부터 소 구매 오류에 대한" 우크라이나 공산당 중앙위원회의 결정을 발표했습니다. 우리는 전체 지역에 대해 이야기한 것이 아니라 그 중 두 지역인 Primorsky에 대해 이야기하고 있었습니다.

페르마의 문제 1963년, 겨우 열 살이던 앤드루 와일즈(Andrew Wiles)는 이미 수학에 매료되었습니다. “학교에서 나는 문제 해결을 좋아했고, 문제를 집에 가져가서 각 문제에서 새로운 문제를 생각해냈습니다. 하지만 내가 겪은 가장 큰 문제는 현지에서 발생했습니다.

피타고라스의 정리부터 페르마의 마지막 정리까지 피타고라스의 정리와 무한한 수의 피타고라스 삼중항은 E.T. Bell의 "The Great Problem" - Andrew Wiles의 관심을 끌었던 도서관 서적과 동일합니다. 그리고 피타고라스학파는 거의 완전한 성취를 이루었지만

페르마의 마지막 정리 증명 이후의 수학 이상하게도 Wiles 자신도 자신의 보고서에 대해 엇갈린 감정을 가지고 있었습니다. “연설 기회를 아주 잘 선택했지만 강의 자체는 나에게 엇갈린 감정을 안겨주었습니다. 증명 작업 중

Chapter 63 Old McLennon's Farm 뉴욕으로 돌아온 지 약 한 달 반이 지난 어느 11월 저녁, 요코가 푸에르토리코인 억양을 지닌 남자 목소리로 요코에게 전화를 받았습니다.

Pontryagin의 정리 음악원과 동시에 아버지는 모스크바 주립 대학에서 기계와 수학을 공부했습니다. 그는 성공적으로 졸업했고 직업을 선택하는 데 한동안 망설이기도 했습니다. 아버지의 동급생 중 한 명이 수학적 사고방식의 도움을 받아 음악학에서 우승했습니다.

정리 성직자를 선택할 종교 단체의 권리에 관한 정리는 증거가 필요합니다. “정교회 공동체는...공동체가 선택한 사제의 영적 지도력 아래서 창설되고 교구장 주교의 축복을 받았습니다.”

I. 농장(“여기, 닭똥에서...”) 여기, 닭똥에서 구원의 하나는 빗자루이다. 사랑 - 어느 것? - 저를 닭장으로 데려가셨어요. 곡식을 쪼고, 암탉이 꽥꽥거리고, 수탉이 중요한 발걸음을 내디딘다. 그리고 크기와 검열 없이 시는 마음 속에서 구성됩니다. 프로방스의 오후에 대하여

피에르 페르마는 알렉산드리아의 디오판토스의 『산술』을 읽고 그 문제에 대해 숙고하면서 책의 여백에 자신의 숙고의 결과를 간략한 논평의 형태로 적어 두는 습관이 있었습니다. 책의 여백에 있는 디오판토스의 여덟 번째 문제에 대해 페르마는 다음과 같이 썼습니다. 반대로, 큐브를 두 개의 큐브로 분해하거나 이방형을 두 개의 이방형으로 분해하는 것은 불가능하며 일반적으로 정사각형보다 큰 거듭제곱은 동일한 지수를 가진 두 거듭제곱으로 분해할 수 없습니다. 나는 이것에 대한 정말 놀라운 증거를 발견했지만 이 분야는 너무 좁습니다.» / E.T. 벨 "수학의 창시자". M., 1979, p.69/. 저는 수학에 관심이 있는 고등학생이라면 누구나 이해할 수 있는 페르마 정리의 기초적인 증명을 여러분께 알려드립니다.

디오판투스의 문제에 대한 페르마의 논평을 방정식의 형태를 갖는 페르마의 마지막 정리의 현대식 공식과 비교해 보겠습니다.
« 방정식

xn + yn = zn(여기서 n은 2보다 큰 정수입니다)

양의 정수에는 해가 없습니다»

주석은 술어와 주제의 논리적 연결과 유사하게 작업과 논리적으로 연결됩니다. 디오판토스의 문제가 주장하는 것은 반대로 페르마의 논평에 의해 주장됩니다.

Fermat의 의견은 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 세 개의 미지수가 있는 이차 방정식이 피타고라스 수의 모든 삼중항 집합에 대해 무한한 수의 해를 갖는 경우, 반대로 제곱보다 큰 거듭제곱에 대한 세 개의 미지수가 있는 방정식은 다음과 같이 해석될 수 있습니다.

디오판토스의 문제와 연관되는 방정식에는 힌트조차 없습니다. 그의 진술에는 증명이 필요하지만 양의 정수에 대한 해가 없다는 조건은 없습니다.

나에게 알려진 방정식을 증명하기 위한 옵션은 다음 알고리즘으로 요약됩니다.

1. 페르마 정리의 방정식을 결론으로 ​​삼고 그 타당성은 증명을 통해 검증됩니다.
2. 이 동일한 방정식이 호출됩니다. 원래의증명이 진행되어야 하는 방정식입니다.

그 결과 다음과 같은 동어반복이 형성되었습니다. 방정식에 양의 정수의 해가 없으면 양의 정수의 해도 없습니다.“동어반복의 증명은 분명히 부정확하며 어떤 의미도 없습니다. 그러나 그것은 모순으로 증명된다.

• 증명이 필요한 방정식에 의해 명시된 것과 반대되는 가정이 이루어집니다. 원래 방정식과 모순되어서는 안 되지만, 그렇습니다. 증명 없이 인정되는 것을 증명하고, 입증해야 할 것을 증명 없이 받아들이는 것은 의미가 없습니다.
• 받아들인 가정에 기초하여, 그것이 원래 방정식과 모순되고 거짓임을 증명하기 위해 절대적으로 정확한 수학적 연산과 조치가 수행됩니다.

따라서 370년 동안 페르마의 마지막 정리 방정식을 증명하는 것은 전문가와 수학 애호가들에게 실현 불가능한 꿈으로 남아 있습니다.

나는 방정식을 정리의 결론으로 ​​삼았고, 디오판토스의 여덟 번째 문제와 그 방정식을 정리의 조건으로 삼았다.

"만약 방정식 x 2 + y 2 = z 2 (1) 피타고라스 수의 모든 삼중 집합에 대해 무한한 수의 해를 갖고, 반대로 방정식은 다음과 같습니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 (2) 양의 정수 집합에 대해서는 해가 없습니다.”

증거.

ㅏ)방정식 (1)에는 피타고라스 수의 모든 삼중 집합에 대한 무한한 수의 해가 있다는 것을 누구나 알고 있습니다. 방정식 (1)의 해인 피타고라스 수의 단일 삼중이 방정식 (2)의 해가 아니라는 것을 증명합시다.

평등의 가역성의 법칙에 기초하여 방정식 (1)의 변을 바꿉니다. 피타고라스 수 (z, x, y) 직각삼각형의 변의 길이로 해석할 수 있고, 정사각형의 (x 2 , y 2 , z 2) 빗변과 다리 위에 세워진 정사각형의 면적으로 해석될 수 있습니다.

방정식 (1)의 제곱의 면적에 임의의 높이를 곱해 보겠습니다. 시간 :

z 2h = x 2h + y 2h (3)

방정식 (3)은 두 평행육면체의 부피의 합과 평행육면체의 부피가 같다는 것으로 해석될 수 있습니다.

세 개의 평행육면체의 높이를 구해보자 h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

정육면체의 부피는 두 개의 평행육면체로 이루어진 두 개의 부피로 분해됩니다. 정육면체의 부피는 그대로 두고 첫 번째 평행육면체의 높이는 다음과 같이 줄입니다. 엑스 두 번째 평행육면체의 높이를 줄여서 와이 . 큐브의 부피는 두 큐브의 부피의 합보다 큽니다.

z 3 > x 3 + y 3 (5)

피타고라스 수의 삼중 집합에서 ( x, y, z ) 에 n=3 방정식 (2)에 대한 해결책은 없습니다. 결과적으로 피타고라스 수의 모든 삼중항 집합에서는 큐브를 두 개의 큐브로 분해하는 것이 불가능합니다.

방정식 (3)에 세 개의 평행육면체의 높이를 입력하세요. h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

평행육면체의 부피는 두 평행육면체의 부피의 합으로 분해됩니다.
방정식 (6)의 왼쪽은 변경하지 않고 그대로 둡니다. 오른쪽에는 높이가 있습니다. z 2 로 줄이다 엑스 첫 학기와 그 이전에 2시에 두 번째 학기에.

방정식 (6)은 부등식으로 바뀌었습니다.

평행육면체의 부피는 두 개의 평행육면체의 두 부피로 분해됩니다.

방정식 (8)의 왼쪽은 변경하지 않고 그대로 둡니다.
오른쪽은 높이 zn-2 로 줄이다 xn-2 첫 번째 항에서 다음으로 줄입니다. 와 n-2 두 번째 학기에. 방정식 (8)은 불평등이 됩니다.

z n > x n + y n

(9)

피타고라스 수의 삼중항 집합에는 방정식 (2)에 대한 단일 솔루션이 있을 수 없습니다.

결과적으로, 모든 피타고라스 수의 모든 삼중 세트에 대해 n > 2 방정식 (2)에는 해결책이 없습니다.

'정말 기적적인 증거'를 얻었지만, 세쌍둥이에게만 해당 피타고라스 수. 이것은 증거 부족 P. Fermat가 그를 거부한 이유.

비)방정식 (2)에는 임의의 피타고라스 수 삼중 계열을 나타내는 비피타고라스 수 삼중 집합에 대한 해가 없음을 증명해 보겠습니다. z = 13, x = 12, y = 5 양의 정수로 구성된 임의의 삼중 계열 z = 21, x = 19, y = 16

두 세 개의 숫자는 모두 가족의 구성원입니다.

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

가족 구성원 수 (10)과 (11)은 13 x 12와 21 x 20의 곱의 절반, 즉 78과 210과 같습니다.

각 가족 구성원(10)은 다음을 포함합니다. z = 13 그리고 변수 엑스 그리고 ~에 13 > x > 0 , 13 > 와이 > 0 1

가족의 각 구성원(11)에는 다음이 포함됩니다. z = 21 그리고 변수 엑스 그리고 ~에 , 정수 값을 취함 21 > x >0 , 21 > 와이 > 0 . 변수는 다음과 같이 연속적으로 감소합니다. 1 .

수열 (10)과 (11)의 삼중 수는 3차 부등식 수열로 표현될 수 있습니다.

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

그리고 4차 불평등의 형태로:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

각 부등식의 정확성은 숫자를 3승과 4승으로 올려 검증됩니다.

더 큰 숫자의 큐브는 더 작은 숫자의 큐브 두 개로 분해될 수 없습니다. 두 개의 작은 숫자의 세제곱의 합보다 작거나 큽니다.

큰 수의 이차수는 더 작은 수의 이차수 두 개로 분해될 수 없습니다. 더 작은 수의 2제곱합보다 작거나 큽니다.

지수가 증가함에 따라 왼쪽 극단 불평등을 제외한 모든 불평등은 동일한 의미를 갖습니다.

그것들은 모두 같은 의미를 가집니다: 더 큰 숫자의 거듭제곱은 동일한 지수를 가진 더 작은 두 숫자의 거듭제곱의 합보다 큽니다.

	13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;… 13n > 7n + 4n ;… 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;… ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

시퀀스 (12) (13)의 왼쪽 끝 항은 가장 약한 불평등을 나타냅니다. 그 정확성은 다음에 대한 수열(12)의 모든 후속 부등식의 정확성을 결정합니다. n > 8 그리고 시퀀스 (13) n > 14 .

그들 사이에는 평등이 있을 수 없습니다. 임의의 양의 정수 삼중(21,19,16)은 페르마의 마지막 정리 방정식 (2)의 해가 아닙니다. 양의 정수의 임의의 삼중이 방정식의 해가 아닌 경우, 방정식은 양의 정수 집합에 대한 해를 갖지 않으며, 이는 증명이 필요합니다.

와 함께)디오판토스의 문제에 대한 페르마의 논평에서는 분해가 불가능하다고 말합니다. 일반적으로 제곱보다 큰 거듭제곱은 없으며 동일한 지수를 갖는 두 거듭제곱».

키스제곱보다 큰 각도는 실제로 동일한 지수를 사용하여 2도로 분해될 수 없습니다. 키스 금지제곱보다 큰 차수는 동일한 지수를 갖는 두 거듭제곱으로 분해될 수 있습니다.

임의의 양의 정수 삼중 (z, x, y) 각 구성원이 상수로 구성된 패밀리에 속할 수 있습니다. 지 그리고 두 개의 숫자가 더 작습니다 지 . 가족의 각 구성원은 불평등의 형태로 표현될 수 있으며, 결과로 발생하는 모든 불평등은 일련의 불평등의 형태로 표현될 수 있습니다.

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

부등식의 시퀀스(14)는 왼쪽이 오른쪽보다 작은 부등식으로 시작하고 오른쪽이 왼쪽보다 작은 부등식으로 끝납니다. 지수가 증가하면서 n > 2 수열(14)의 오른쪽에 있는 부등식의 수가 증가합니다. 지수와 함께 n = k 수열의 왼쪽에 있는 모든 부등식은 그 의미를 변경하고 수열의 부등식의 오른쪽에 있는 부등식의 의미를 갖습니다(14). 모든 불평등의 지수를 증가시키면 왼쪽이 오른쪽보다 커집니다.

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;… zk > 2k + 1k ; z k > 1k + 1k

(15)

지수가 더 높아지면서 n>k 어떤 불평등도 그 의미를 바꾸지 않고 평등으로 바뀌지 않습니다. 이를 바탕으로 임의로 선택된 양의 정수 삼중은 다음과 같다고 주장할 수 있습니다. (z, x, y) ~에 n > 2 , z > 엑스 , z > 와이

임의로 선택한 양의 정수 삼중에서 지 임의로 큰 자연수가 될 수 있습니다. 다음보다 크지 않은 모든 자연수에 대해 지 , 페르마의 마지막 정리가 증명되었습니다.

디)숫자가 아무리 많아도 지 , 자연수열에는 그 앞에는 크지만 유한한 정수 집합이 있고 그 뒤에는 무한한 정수 집합이 있습니다.

무한한 자연수 집합 전체가 크다는 것을 증명해보자 지 , 페르마의 마지막 정리 방정식의 해가 아닌 세 개의 숫자를 형성합니다(예: 임의의 양의 정수 삼중). (z + 1, x, y) , 여기서 z + 1 > x 그리고 z + 1 > 와이 지수의 모든 값에 대해 n > 2 페르마의 마지막 정리 방정식의 해는 아니다.

무작위로 선택된 양의 정수 삼중 (z + 1, x, y) 세 개의 숫자 계열에 속할 수 있으며 각 구성원은 상수로 구성됩니다. z+1 그리고 두 개의 숫자 엑스 그리고 ~에 , 다른 값을 취함, 더 작은 z+1 . 가족의 구성원은 상수 왼쪽이 오른쪽보다 작거나 큰 부등식의 형태로 표현될 수 있습니다. 부등식은 부등식의 순서로 정렬될 수 있습니다.

지수가 더 높아지면서 n>k 무한대로, 수열(17)의 부등식 중 어느 것도 그 의미를 바꾸지 않고 등식으로 변하지 않습니다. 시퀀스 (16)에서 부등식은 임의로 선택된 양의 정수 삼중으로 형성됩니다. (z + 1, x, y) , 형식의 오른쪽에 위치할 수 있습니다. (z + 1) n > x n + y n 또는 형태의 왼쪽에 있어야 합니다. (z+1)n< x n + y n .

어쨌든, 양의 정수의 삼중 (z + 1, x, y) ~에 n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > 와이 시퀀스 (16)은 부등식을 나타내며 등식을 나타낼 수 없습니다. 즉, 페르마의 마지막 정리 방정식에 대한 해를 나타낼 수 없습니다.

왼쪽의 마지막 불평등과 오른쪽의 첫 번째 불평등이 반대 의미의 불평등인 력 불평등 수열(16)의 유래를 이해하는 것은 쉽고 간단하다. 반대로, 모든 불평등이 동일한 의미를 갖는 일련의 불평등(17)으로부터 일련의 불평등(16)이 어떻게 형성되는지를 초등학생, 고등학생, 고등학생이 이해하는 것은 쉽지도 어렵고 어렵지도 않습니다. .

시퀀스 (16)에서 정수 부등식을 1 단위만큼 증가시키면 왼쪽의 마지막 부등식이 오른쪽의 반대 의미의 첫 번째 부등식으로 바뀐다. 따라서 수열의 왼쪽에 있는 부등식의 수는 감소하고 오른쪽에 있는 부등식의 수는 증가합니다. 반대 의미의 마지막 권력 불평등과 첫 번째 권력 불평등 사이에는 필연적으로 권력 평등이 있습니다. 두 개의 연속된 자연수 사이에는 정수가 아닌 숫자만 있기 때문에 그 차수는 정수가 될 수 없습니다. 정리의 조건에 따라 정수가 아닌 정도의 전력 평등은 방정식 (1)에 대한 솔루션으로 간주될 수 없습니다.

순서 (16)에서 차수를 1 단위씩 계속 증가시키면 왼쪽의 마지막 부등식은 오른쪽의 반대 의미의 첫 번째 부등식으로 바뀔 것입니다. 그 결과, 왼손 불평등은 남지 않고 오른손 불평등만 남게 되며, 이는 권력 불평등이 증가하는 연속이 될 것입니다(17). 정수 거듭제곱이 1 단위 더 증가하면 거듭제곱의 불평등만 강화되고 정수 거듭제곱의 평등 가능성이 명백히 배제됩니다.

결과적으로, 일반적으로 거듭제곱 불평등 수열(17)의 자연수(z+1)의 어떤 정수 거듭제곱도 동일한 지수를 갖는 두 개의 정수 거듭제곱으로 분해될 수 없습니다. 따라서 방정식 (1)에는 증명이 필요한 무한한 자연수 집합에 대한 해가 없습니다.

결과적으로 페르마의 마지막 정리는 완전히 입증되었습니다.

• 섹션 A)에서 모든 세 쌍둥이에 대해 (z, x, y) 피타고라스 수(페르마의 발견은 정말 놀라운 증거입니다),
• 섹션 B) 삼중 가족의 모든 구성원에 대해 (z, x, y) 피타고라스 수,
• 섹션 C) 모든 삼중 숫자에 대해 (z, x, y) , 큰 숫자는 아님 지
• 섹션 D)에서 모든 세 개의 숫자에 대해 (z, x, y) 자연수열.

2010년 9월 5일에 변경됨

모순으로 증명할 수 있는 정리와 증명할 수 없는 정리는 무엇입니까?

수학 용어 설명 사전은 역정리의 반대인 정리의 모순에 의한 증명을 정의합니다.

“모순에 의한 증명은 정리(명제)를 증명하는 방법으로, 정리 자체를 증명하는 것이 아니라 그 정리(등가) 정리를 증명하는 것입니다. 모순에 의한 증명은 직접 정리는 증명하기 어렵지만 반대 정리는 증명하기가 더 쉬운 경우에 사용됩니다. 모순에 의한 증명에서는 정리의 결론이 부정으로 대체되고 추론을 통해 조건의 부정에 도달합니다. 모순, 반대(주어진 것의 반대; 터무니없는 것으로의 이러한 환원이 정리를 증명합니다."

모순에 의한 증명은 수학에서 매우 자주 사용됩니다. 모순에 의한 증명은 두 명제(명제) A와 A(A의 부정) 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이라는 사실로 구성된 중간배제의 법칙에 기초합니다.”/수학 용어 설명사전: 교사를 위한 매뉴얼/O. V. Manturov [등]; 편집자 V. A. Ditkina.- M.: Education, 1965.- 539 p.:ill.-C.112/.

모순에 의한 증명 방법은 비록 수학에서 사용되더라도 수학적 방법이 아니라 논리적 방법이고 논리에 속한다고 공개적으로 선언하는 것이 낫지 않을 것입니다. 모순에 의한 증명은 "직접 정리를 증명하기 어려울 때마다 사용된다"고 말하는 것이 실제로는 대체가 없을 때만 사용된다는 것이 허용됩니까?

직접 정리와 역 정리의 상호 관계 특성화에도 특별한 관심을 기울일 가치가 있습니다. “주어진 정리(또는 주어진 정리)에 대한 역정리는 조건이 결론이고 결론이 주어진 정리의 조건인 정리입니다. 역정리와 관련된 이 정리를 직접 정리(원본)라고 합니다. 동시에, 역정리에 대한 역정리는 주어진 정리가 될 것입니다. 그러므로 직접 정리와 역 정리를 상호 역이라고 합니다. 직접(주어진) 정리가 참이면 역 정리가 항상 참이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 사각형이 마름모라면 그 대각선은 서로 수직입니다(직접 정리). 만약 사변형에서 대각선이 서로 수직이라면 사변형은 마름모입니다. 이것은 거짓입니다. 즉, 역정리는 거짓입니다.”/수학 용어 설명사전: 교사를 위한 매뉴얼/O. V. Manturov [등]; 편집자 V. A. Ditkina.- M.: 교육, 1965.- 539 p.:ill.-C.261 /.

직접 정리와 역 정리 사이의 관계의 이러한 특성은 직접 정리의 조건이 증명 없이 주어진 것으로 받아들여진다는 사실을 고려하지 않으므로 그 정확성이 보장되지 않습니다. 역정리의 조건은 증명된 직접정리의 결론이기 때문에 주어진 것으로 받아들여지지 않습니다. 그 정확성은 직접 정리의 증명으로 확인됩니다. 직접 정리와 역 정리의 조건에 대한 이러한 본질적인 논리적 차이는 어떤 정리가 모순에 의한 논리적 방법으로 증명될 ​​수 있고 증명될 수 없는지에 대한 문제에서 결정적인 것으로 밝혀졌습니다.

일반적인 수학적 방법을 사용하여 증명할 수 있지만 어려운 직접 정리가 있다고 가정해 보겠습니다. 이를 일반적으로 간략하게 정리하면 다음과 같습니다. ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 . 상징 ㅏ 증명 없이 받아들여진 정리의 주어진 조건을 의미합니다. 상징 이자형 중요한 것은 증명해야 할 정리의 결론입니다.

직접정리를 모순으로 증명하겠습니다. 논리적방법. 논리적 방법은 다음과 같은 정리를 증명하는 데 사용됩니다. 수학적이지 않음조건 및 논리적상태. 정리의 수학적 조건이 성립하면 얻을 수 있다. ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 , 정반대의 조건으로 보완 ~에서 ㅏ하지마 이자형 .

결과는 두 부분을 포함하는 새로운 정리의 논리적 모순 조건이었습니다. ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 그리고 ~에서 ㅏ하지마 이자형 . 새로운 정리의 결과 조건은 배제된 가운데의 논리적 법칙에 해당하고 모순에 의한 정리의 증명에 해당합니다.

법칙에 따르면, 모순되는 조건의 한 부분은 거짓이고, 다른 부분은 참이며, 세 번째 부분은 제외됩니다. 모순에 의한 증명은 정리 조건의 두 부분 중 어느 부분이 거짓인지를 정확하게 입증하는 임무와 목적을 가지고 있습니다. 조건의 거짓 부분이 판별되면 나머지 부분은 참 부분으로 판별되고 세 번째 부분은 제외됩니다.

수학 용어 설명 사전에 따르면, “증거는 어떤 진술(판단, 진술, 정리)의 진실 또는 거짓이 확립되는 추론입니다.”. 증거 모순으로그것이 확립되는 동안 추론이 있습니다 허위(불합리)에서 비롯된 결론 거짓증명할 정리의 조건.

주어진: ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형그리고로부터 ㅏ하지마 이자형 .

입증하다: ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 .

증거: 정리의 논리적 조건에는 해결이 필요한 모순이 포함되어 있습니다. 조건의 모순은 증명과 그 결과에서 해결되어야 합니다. 완벽하고 오류 없는 추론으로 결과는 거짓임이 밝혀졌습니다. 논리적으로 올바른 추론에서 잘못된 결론이 나오는 이유는 모순된 조건일 수 있습니다. ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 그리고 ~에서 ㅏ하지마 이자형 .

이 경우 조건의 한 부분이 거짓이고 다른 부분이 참이라는 점에는 의심의 여지가 없습니다. 조건의 두 부분은 모두 동일한 기원을 가지며 데이터로 허용되고 가정되고 동일하게 가능하며 동일하게 허용됩니다. 논리적 추론 과정에서 조건의 한 부분을 다른 부분과 구별할 수 있는 단일 논리적 특징이 발견되지 않았습니다. . 그러므로 그 정도는 그럴 수도 있다. ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 그리고 아마도 ~에서 ㅏ하지마 이자형 . 성명 ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 아마도 거짓, 다음 진술 ~에서 ㅏ하지마 이자형 사실일 것이다. 성명 ~에서 ㅏ하지마 이자형 거짓일 수도 있고, 그러면 그 진술은 ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 사실일 것이다.

따라서 직접정리를 모순으로 증명하는 것은 불가능하다.

이제 우리는 일반적인 수학적 방법을 사용하여 이와 동일한 직접 정리를 증명할 것입니다.

주어진: ㅏ .

입증하다: ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 .

증거.

1. 에서 ㅏ~해야 한다 비

2. 에서 비~해야 한다 안에 (이전에 입증된 정리에 따라)).

3. 에서 안에~해야 한다 G (이전에 입증된 정리에 따르면)

4. 에서 G~해야 한다 디 (이전에 입증된 정리에 따르면)

5. 에서 디~해야 한다 이자형 (이전에 입증된 정리에 따르면)

전이성의 법칙에 기초하여, ~에서 ㅏ~해야 한다 이자형 . 직접 정리는 일반적인 방법으로 증명됩니다.

입증된 직접 정리가 올바른 역정리를 갖는다고 가정합니다. ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ .

평소의 방법으로 증명해보자 매우 정확한방법. 역정리의 증명은 수학적 연산의 알고리즘으로서 기호 형태로 표현될 수 있습니다.

주어진: 이자형

입증하다: ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ .

증거.

1. 에서 이자형~해야 한다 디

2. 에서 디~해야 한다 G (이전에 입증된 역정리에 따름)

3. 에서 G~해야 한다 안에 (이전에 입증된 역정리에 따름)

4. 에서 안에하지마 비 (역의 정리는 참이 아닙니다). 그렇기 때문에 ~에서 비하지마 ㅏ .

이 상황에서 역정리의 수학적 증명을 계속하는 것은 의미가 없습니다. 상황의 이유는 논리적입니다. 잘못된 역정리는 어떤 것으로도 대체될 수 없습니다. 그러므로 일반적인 수학적 방법을 사용하여 이 역정리를 증명하는 것은 불가능합니다. 모든 희망은 모순을 통해 이 역정리를 증명하는 것입니다.

모순으로 증명하려면 수학적 조건을 논리적 모순 조건으로 대체해야 하며, 그 의미에는 거짓과 참이라는 두 부분이 포함됩니다.

역정리상태: ~에서 이자형하지마 ㅏ . 그녀의 상태 이자형 , 결론은 다음과 같습니다 ㅏ 는 일반적인 수학적 방법을 사용하여 직접 정리를 증명한 결과입니다. 이 조건은 유지되어야 하며 문으로 보완되어야 합니다. ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ . 덧셈의 ​​결과로 우리는 새로운 역정리의 모순된 조건을 얻습니다: ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ 그리고 ~에서 이자형하지마 ㅏ . 이를 바탕으로 논리적으로모순된 조건에서 역의 정리는 올바른 식으로 증명될 ​​수 있습니다. 논리적추론 만하고, 논리적모순에 의한 방법. 모순에 의한 증명에서 모든 수학적 행동과 연산은 논리적인 행동과 연산에 종속되므로 계산되지 않습니다.

모순된 진술의 첫 번째 부분에서 ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ 상태 이자형 직접정리의 증명으로 증명되었다. 두 번째 부분에서는 ~에서 이자형하지마 ㅏ 상태 이자형 증거 없이 가정되고 받아들여졌습니다. 그 중 하나는 거짓이고, 다른 하나는 사실입니다. 어느 것이 거짓인지 증명해야 합니다.

우리는 그것을 정확함을 통해 증명합니다. 논리적추론하고 그 결과가 거짓되고 터무니없는 결론이라는 것을 발견합니다. 잘못된 논리적 결론의 이유는 거짓과 참이라는 두 부분을 포함하는 정리의 모순된 논리적 조건 때문입니다. 거짓 부분은 진술만 가능합니다. ~에서 이자형하지마 ㅏ , 여기서 이자형 증거 없이 받아들여졌습니다. 이것이 다른 것과 다른 점이다 이자형 진술 ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ , 이는 직접정리의 증명으로 증명된다.

따라서 다음 진술은 사실입니다. ~에서 이자형~해야 한다 ㅏ , 이는 입증이 필요한 것이었습니다.

결론: 논리적 방법으로는 역정리만이 모순에 의해 증명되는데, 이는 수학적 방법으로 증명되고 수학적 방법으로 증명할 수 없는 직접정리를 갖는다.

얻은 결론은 페르마의 정리에 대한 모순을 증명하는 방법과 관련하여 매우 중요합니다. 그것을 증명하려는 시도의 압도적 다수는 일반적인 수학적 방법이 아니라 모순에 의한 논리적 증명 방법에 기초합니다. 와일즈의 페르마의 마지막 정리 증명도 예외는 아닙니다.

드미트리 아브라로프(Dmitry Abrarov)는 "페르마의 정리: 와일즈 증명의 현상"이라는 기사에서 페르마의 마지막 정리에 대한 와일즈의 증명에 대한 논평을 게재했습니다. Abrarov에 따르면 Wiles는 페르마 방정식의 잠재적 해법과 관련된 독일 수학자 게르하르트 프레이(b. 1944)의 놀라운 발견의 도움으로 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 , 또 다른 완전히 다른 방정식을 사용합니다. 이 새로운 방정식은 특수 곡선(프레이의 타원 곡선이라고 함)으로 제공됩니다. 프레이 곡선은 매우 간단한 방정식으로 제공됩니다.
.

“모든 결정을 비교한 사람은 프레이였습니다. (a, b, c)페르마의 방정식, 즉 관계를 만족하는 수 a n + b n = c n, 위의 곡선. 이 경우 페르마의 마지막 정리가 따르게 됩니다.”(인용: Abrarov D. “페르마의 정리: 와일즈의 증명 현상”)

즉, 게르하르트 프레이(Gerhard Frey)는 페르마의 마지막 정리의 방정식을 제안했습니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 에는 양의 정수로 된 해가 있습니다. Frey의 가정에 따르면 이러한 동일한 해는 그의 방정식에 대한 해입니다.
y 2 + x (x - an) (y + b n) = 0 , 이는 타원 곡선으로 제공됩니다.

Andrew Wiles는 Frey의 이 놀라운 발견을 받아들였고, 그 도움으로 매우 정확한방법을 통해 이 발견, 즉 프레이 타원 곡선이 존재하지 않음이 입증되었습니다. 그러므로 존재하지 않는 타원곡선에 의해 주어지는 방정식과 그 해는 존재하지 않는다. 그러므로 와일즈는 페르마의 마지막 정리와 페르마의 정리 자체의 방정식이 없다는 결론을 받아들여야 했다. 그러나 그는 페르마의 마지막 정리 방정식이 양의 정수에서는 해를 갖지 않는다는 보다 온건한 결론을 받아들였습니다.

반박할 수 없는 사실은 Wiles가 페르마의 정리가 말한 것과 정확히 반대되는 의미의 가정을 받아들였다는 것입니다. 와일즈는 페르마의 마지막 정리를 모순으로 증명해야 합니다. 그의 예를 따라 이 예에서 어떤 결과가 나오는지 살펴보겠습니다.

페르마의 마지막 정리는 방정식이 다음과 같다고 말합니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 , 양의 정수로 된 해가 없습니다.

모순에 의한 증명의 논리적인 방법에 따르면, 이 진술은 유지되고 증명 없이 주어진 것으로 받아들여진 다음 반대 진술로 보완됩니다: 방정식 xn + yn = zn , 어디 n > 2 에는 양의 정수로 된 해가 있습니다.

추정 진술도 증거 없이 주어진 것으로 받아들여집니다. 논리의 기본 법칙의 관점에서 고려되는 두 진술은 모두 동일하게 유효하고 동일하게 유효하며 동일하게 가능합니다. 올바른 추론을 통해 어느 것이 거짓인지 판단한 다음 다른 진술이 참이라고 판단하는 것이 필요합니다.

올바른 추론은 거짓되고 터무니없는 결론으로 ​​끝나며, 이에 대한 논리적 이유는 정반대의 의미의 두 부분을 포함하는 정리의 모순된 조건만이 입증될 수 있습니다. 그것은 모순에 의한 증명의 결과인 터무니없는 결론의 논리적 이유였다.

그러나 논리적으로 올바른 추론 과정에서 어떤 특정 진술이 거짓인지 확인할 수 있는 단 하나의 표시도 발견되지 않았습니다. 그것은 다음과 같은 진술일 수 있습니다: 방정식 xn + yn = zn , 어디 n > 2 에는 양의 정수로 된 해가 있습니다. 같은 기준으로 다음과 같은 진술이 될 수 있습니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 , 양의 정수로 된 해가 없습니다.

추론의 결과, 결론은 단 하나뿐입니다. 페르마의 마지막 정리는 모순으로 증명될 ​​수 없다.

만약 페르마의 마지막 정리가 일반적인 수학적 방법으로 증명된 직접정리를 갖는 역정리라면 그것은 전혀 다른 문제가 될 것입니다. 이 경우 모순을 통해 증명할 수 있다. 그리고 그것은 직접정리이므로 그 증명은 모순에 의한 증명의 논리적인 방법이 아닌 일반적인 수학적 방법에 기초해야 한다.

D. Abrarov에 따르면, 현대 러시아 수학자 중 가장 유명한 학자 V. I. Arnold는 Wiles의 증명에 "적극적으로 회의적"으로 반응했습니다. 학자는 다음과 같이 말했습니다. "이것은 실제 수학이 아닙니다. 실제 수학은 기하학적이며 물리학과 강한 연관성을 가지고 있습니다."(인용문: Abrarov D. "Fermat's Theorem: the 현상 of Wiles'proofs." 학자의 진술은 수학의 본질을 표현합니다. 페르마의 마지막 정리에 대한 와일즈의 비수학적 증명.

모순적으로 페르마의 마지막 정리 방정식에 해가 없거나 해가 있음을 증명하는 것은 불가능합니다. Wiles의 실수는 수학적 실수가 아니라 논리적입니다. 즉, 모순에 의한 증명을 사용하는 것이 의미가 없고 페르마의 정리가 증명되지 않는 경우입니다.

페르마의 마지막 정리는 다음과 같은 경우 일반적인 수학적 방법을 사용해도 증명할 수 없습니다. xn + yn = zn , 어디 n > 2 , 양의 정수에는 해가 없으며, 증명이 필요한 경우: 방정식 xn + yn = zn , 어디 n > 2 , 양의 정수로 된 해가 없습니다. 이 형식에는 정리가 없지만 의미가 없는 동어반복이 있습니다.

메모.내 BTF 증명은 포럼 중 하나에서 논의되었습니다. 정수론 전문가인 Trotil 참가자 중 한 명은 "Mirgorodsky가 한 일에 대한 간략한 설명"이라는 제목으로 다음과 같은 권위 있는 진술을 했습니다. 나는 그것을 그대로 인용한다:

« ㅏ. 그는 만약에 z 2 = x 2 + y , 저것 z n > x n + y n . 이것은 잘 알려져 있고 아주 명백한 사실입니다.

안에. 그는 피타고라스식과 비피타고라스식의 두 트리플을 선택하고 간단한 검색을 통해 특정 트리플 계열(78개 및 210개)에 대해 BTF가 만족된다는 것을 보여주었습니다.

와 함께. 그리고 저자는 다음과 같은 사실을 생략했습니다. < 나중에는 그렇게 될 수도 있다. = , 뿐만 아니라 > . 간단한 반례 - 전환 n=1 V n=2 피타고라스 삼중에서.

디. 이 점은 BTF 증명에 중요한 기여를 하지 않습니다. 결론: BTF는 입증되지 않았습니다.”

나는 그의 결론을 하나씩 고려할 것입니다.

ㅏ.이는 피타고라스 수의 삼중 무한 집합 전체에 대한 BTF를 증명합니다. 내가 믿는 것처럼 그것은 내가 발견한 것이 아니라 재발견된 기하학적 방법에 의해 증명되었습니다. 그리고 내가 믿는 것처럼 그것은 P. Fermat 자신에 의해 발견되었습니다. 페르마는 다음과 같이 썼을 때 이 점을 염두에 두고 있었을 것입니다.

"나는 이것에 대한 정말 놀라운 증거를 발견했지만 이 분야는 너무 좁습니다." 나의 이러한 가정은 페르마가 책의 여백에 쓴 디오판토스 문제에서 피타고라스 수의 삼중항인 디오판토스 방정식의 해법에 대해 이야기하고 있다는 사실에 근거합니다.

무한한 피타고라스 삼중항 집합은 디오파테스 방정식의 해이며, 반대로 페르마의 정리에서는 어떤 해도 페르마의 정리 방정식의 해가 될 수 없습니다. 그리고 페르마의 정말 놀라운 증명은 이 사실과 직접적으로 연관되어 있습니다. 페르마는 나중에 자신의 정리를 모든 자연수의 집합으로 확장할 수 있었습니다. 모든 자연수 집합에서 BTF는 "예외적으로 아름다운 정리 집합"에 속하지 않습니다. 이것은 증명할 수도 반증할 수도 없는 나의 가정이다. 수락하거나 거부할 수 있습니다.

안에.이 시점에서 나는 임의로 취한 피타고라스 삼중의 계열과 임의로 취한 비피타고라스의 BTF 수의 계열이 모두 만족된다는 것을 증명합니다. 이것은 BTF 증명에서 필요하지만 불충분하고 중간 연결입니다. . 내가 취한 피타고라스 수의 삼중 계열과 비피타고라스 수의 삼중 계열에 대해 취한 예는 유사한 다른 예의 존재를 전제하고 배제하지 않는 구체적인 예의 의미를 갖습니다.

제가 "간단한 검색을 통해 특정 세 쌍(78개 및 210개 조각)에 대해 BTF가 만족한다는 것을 보여주었습니다(그리고 그에 대해서만)." Trotil의 진술은 근거가 없습니다. 그는 내가 피타고라스 삼중과 비피타고라스 삼중의 다른 예를 취하여 하나와 다른 삼중의 구체적이고 명확한 족을 얻을 수 있다는 사실을 반박할 수 없습니다.

내가 어떤 세 쌍의 쌍을 선택하든 문제 해결에 대한 적합성을 확인하는 것은 "간단한 열거" 방법을 통해서만 수행할 수 있다고 생각합니다. 다른 방법도 모르고 필요하지도 않습니다. Trotil이 그것을 좋아하지 않았다면 그는 자신이 하지 않는 다른 방법을 제안했어야 했습니다. 아무런 보답도 하지 않고 대체 불가능한 '단순 과잉살인'을 비난하는 것은 옳지 않다.

와 함께.= 사이를 생략했습니다< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), 학위 n > 2 — 전체정수. 불평등 간의 평등으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다. 필수적인방정식 (1)의 고려 정수가 아닌 학위 값의 경우 n > 2 . 트로틸, 계산 의무적 인불평등 간의 평등을 고려하면 실제로 고려됩니다. 필요한 BTF 증명에서 방정식 (1)을 고려하면 완전하지 않다정도 값 n > 2 . 나는 이것을 스스로 해냈고 다음과 같은 방정식 (1)을 찾았습니다. 완전하지 않다정도 값 n > 2 세 개의 숫자로 구성된 솔루션이 있습니다. z, (z-1), (z-1) 정수가 아닌 지수의 경우.

2보다 큰 정수 n의 경우 방정식 x n + y n = z n에는 자연수에서 0이 아닌 해가 없습니다.

아마 학창시절을 기억하실 겁니다. 피타고라스의 정리: 직각삼각형의 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 각 변의 길이가 3:4:5 비율인 고전적인 직각삼각형을 기억하실 수도 있습니다. 이에 대한 피타고라스 정리는 다음과 같습니다.

이것은 0이 아닌 정수로 일반화된 피타고라스 방정식을 푸는 예입니다. N= 2. 페르마의 마지막 정리("페르마의 마지막 정리" 및 "페르마의 마지막 정리"라고도 함)는 다음 값에 대해 다음과 같은 진술입니다. N> 형식의 방정식 2개 xn + 응 = zn자연수에는 0이 아닌 해가 없습니다.

페르마의 마지막 정리의 역사는 수학자뿐만 아니라 매우 흥미롭고 유익합니다. 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 다양한 수학 분야의 발전에 기여했지만 그의 과학적 유산의 주요 부분은 사후에만 출판되었습니다. 사실 페르마에게 수학은 직업이 아니라 취미였습니다. 그는 당시의 주요 수학자들과 연락을 주고받았지만 자신의 연구 결과를 출판하려고 노력하지는 않았습니다. 페르마의 과학 저술은 주로 개인적인 서신과 단편적인 메모의 형태로 발견되며, 종종 다양한 책의 여백에 기록됩니다. 그것은 디오판토스의 고대 그리스 『산술』 제2권의 여백에 있다. - 메모 역자) 수학자가 죽은 직후 후손들은 유명한 정리의 공식화와 추신을 발견했습니다.

« 나는 이것에 대한 정말 훌륭한 증거를 찾았지만 이 분야는 너무 좁습니다.».

안타깝게도 페르마는 자신이 발견한 “기적의 증거”를 기록하려고 애쓰지 않았으며, 후손들은 3세기가 넘도록 그것을 찾지 못했습니다. 놀라운 진술을 많이 포함하고 있는 페르마의 모든 과학적 유산 중에서 고집스럽게 풀기를 거부한 것은 대정리였습니다.

페르마의 마지막 정리를 증명하려고 노력한 사람은 누구나 헛된 일입니다! 또 다른 위대한 프랑스 수학자 르네 데카르트(1596~1650)는 페르마를 '허풍쟁이'라고 불렀고, 영국 수학자 존 월리스(1616~1703)는 그를 '망할 프랑스인'이라고 불렀다. 그러나 페르마 자신은 이 사건에 대한 자신의 정리에 대한 증거를 여전히 남겼습니다. N= 4. 다음에 대한 증거 포함 N= 3은 18세기 스위스계 러시아 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~83)에 의해 풀렸지만 그 이후에는 다음의 증거를 찾을 수 없었습니다. N> 4, 잃어버린 증거의 열쇠를 찾으려면 페르마의 집을 수색하자고 농담으로 제안했습니다. 19세기에는 정수론의 새로운 방법으로 200 이내의 많은 정수에 대한 명제를 증명할 수 있었지만 이번에도 전부는 아닙니다.

1908년에는 이 문제를 해결하기 위해 100,000 독일 마르크의 상금이 제정되었습니다. 상금은 전설에 따르면 자살하려고했지만 페르마의 마지막 정리에 너무 매료되어 죽음에 대한 마음을 바꾼 독일 산업가 Paul Wolfskehl이 물려 받았습니다. 기계를 추가한 다음 컴퓨터를 추가하는 시대가 도래하면서 가치 막대가 N제2차 세계대전이 시작되면서 617명, 1954년 4001명, 1976년 125,000명으로 점점 더 높아지기 시작했습니다. 20세기 말, 로스앨러모스(미국 뉴멕시코)에 있는 군사 연구소의 가장 강력한 컴퓨터는 페르마의 문제를 백그라운드에서 해결하도록 프로그래밍되었습니다(개인용 컴퓨터의 화면 보호기 모드와 유사). 따라서, 엄청나게 큰 값에 대해 정리가 참이라는 것을 보여주는 것이 가능했습니다. x, y, z그리고 N, 그러나 이는 다음 값 중 하나이므로 엄격한 증거가 될 수 없습니다. N또는 자연수의 삼중항은 정리 전체를 반증할 수 있습니다.

마침내 1994년 프린스턴에서 근무하던 영국 수학자 앤드류 존 와일스(1953~)가 페르마의 마지막 정리에 대한 증명을 발표했는데, 이 정리는 약간의 수정을 거쳐 포괄적인 것으로 간주되었습니다. 이 증명은 100페이지가 넘는 저널 페이지를 차지했으며 페르마 시대에는 개발되지 않았던 현대 고등 수학 장치의 사용을 기반으로 했습니다. 그렇다면 페르마가 책 여백에 증거를 찾았다는 메시지를 남긴 것은 무슨 뜻일까요? 이 주제에 대해 나와 대화를 나눈 대부분의 수학자들은 수세기에 걸쳐 페르마의 마지막 정리에 대한 잘못된 증명이 너무 많았고 아마도 페르마 자신도 비슷한 증명을 찾았지만 오류를 인식하지 못했다고 지적했습니다. 그 안에. 그러나 아직 누구도 발견하지 못한 페르마의 마지막 정리에 대한 짧고 명쾌한 증거가 아직 남아 있을 가능성이 있습니다. 단 한 가지만 확실하게 말할 수 있습니다. 오늘날 우리는 그 정리가 참이라는 것을 확실히 알고 있습니다. 내 생각에 대부분의 수학자들은 자신의 증명에 대해 다음과 같이 언급한 Andrew Wiles의 말에 전적으로 동의할 것입니다. "이제 마침내 내 마음은 평화로워졌습니다."

수년 전 나는 타슈켄트로부터 31번지 Kommunisticheskaya Street에 살았던 청소년기의 손글씨로 판단되는 편지를 받았습니다. 그 사람은 다음과 같이 결심했습니다. 페르마의 정리를 증명한 대가로 적어도 500루블은 필요합니다. 나중에 무료로 증명해 드리고 싶지만 지금은 돈이 필요합니다..."

놀라운 역설: 페르마가 누구인지, 그가 언제 살았는지, 무엇을 했는지 아는 사람은 거의 없습니다. 그의 위대한 정리를 가장 일반적인 용어로 설명할 수 있는 사람은 훨씬 더 적습니다. 그러나 전 세계 수학자들이 300년 넘게 고군분투해 왔지만 증명할 수 없는 일종의 페르마 정리가 있다는 것을 누구나 알고 있습니다!

야심가들이 많은데, 남들이 할 수 없는 일이 있다는 의식 자체가 그들의 야망을 더욱 자극한다. 따라서 대정리의 수천(!)개의 증거가 전 세계의 학원, 과학 연구소, 심지어 신문 편집실에 오고 있으며 이는 유사과학 아마추어 활동에 대한 전례가 없고 결코 깨지지 않는 기록입니다. "Fermatists"라는 용어도 있습니다. 즉, 자신의 작업을 평가하라는 요구로 전문 수학자들을 완전히 괴롭힌 대 정리 증명에 집착하는 사람들입니다. 독일의 유명한 수학자 에드문트 란다우(Edmund Landau)는 표준을 만들어서 "페르마의 정리 증명 페이지에 오류가 있습니다..."라고 대답했고, 그의 대학원생들은 페이지 번호를 적었습니다. 그리고 1994년 여름, 전 세계의 신문들은 완전히 놀라운 사실을 보도했습니다. 바로 대정리(Great Theorem)가 증명되었다는 것입니다!

그렇다면 페르마는 누구이며, 문제는 무엇이며, 과연 해결되었는가? 피에르 페르마(Pierre Fermat)는 1601년 부유하고 존경받는 태너 가문에서 태어났습니다. 그는 고향인 보몬트(Beaumont)에서 두 번째 영사로 일했습니다. 피에르는 처음에는 프란체스코 수도회에서 공부한 후 툴루즈의 법학부에서 법률 업무를 수행했습니다. 그러나 Fermat의 관심 범위는 법학을 훨씬 뛰어 넘었습니다. 그는 특히 고전 문헌학에 관심이 많았으며 고대 작가의 텍스트에 대한 그의 논평이 알려져 있습니다. 그리고 나의 두 번째 열정은 수학입니다.

수년이 지난 후에도 17세기에는 수학자라는 직업이 없었습니다. 따라서 당시의 모든 위대한 수학자들은 "시간제" 수학자였습니다. Rene Descartes는 군대에서 복무했고 François Viète는 변호사였으며 Francesco Cavalieri는 수도사였습니다. 당시에는 과학 저널이 없었고, 고전 과학자 피에르 페르마(Pierre Fermat)는 평생 동안 단 하나의 과학 작품도 출판하지 않았습니다. 자신에게 흥미로운 다양한 문제를 해결하고 이에 대해 서로에게 편지를 쓰고 때로는 (페르마와 데카르트처럼) 논쟁을 벌였지만 대부분 같은 생각을 유지하는 상당히 좁은 범위의 "아마추어"가있었습니다. 그들은 새로운 수학의 창시자가 되었고, 빛나는 씨앗을 뿌리는 사람이 되었으며, 그로부터 현대 수학 지식의 강력한 나무가 자라기 시작하여 힘을 얻고 가지가 나기 시작했습니다.

그래서 페르마는 같은 "아마추어"였습니다. 그가 34년 동안 살았던 툴루즈에서는 우선 그를 수사실의 고문이자 경험 많은 변호사로 모두가 알고 있었습니다. 30세에 결혼해 3남 2녀를 두었고, 가끔 출장을 갔는데, 그 중 한 사람이 63세의 나이로 갑자기 세상을 떠났다. 모두! 삼총사와 동시대 인물인 이 남자의 삶은 놀라울 정도로 평범하고 모험이 전혀 없습니다. 그의 위대한 정리와 함께 모험이 시작되었습니다. 페르마의 수학적 유산 전체에 대해 이야기하지 말자. 대중적으로 이야기하는 것도 어렵다. 내 말을 믿으십시오. 이 유산은 위대하고 다양합니다. 대정리(Great Theorem)가 그의 연구의 정점이라는 주장은 매우 논란의 여지가 많습니다. 단지 대정리의 운명은 놀라울 정도로 흥미롭고, 수학의 신비에 대해 잘 모르는 사람들의 광대한 세계는 항상 정리 자체가 아니라 그 주변의 모든 것에 관심을 가져왔습니다...

이 전체 이야기의 뿌리는 페르마가 사랑했던 고대에서 찾아야 합니다. 3세기경 알렉산드리아에는 그리스 수학자 디오판토스가 살았는데, 그는 고정관념에서 벗어나 생각을 표현한 독창적인 과학자였다. 페르마가 20세가 되던 해에 그의 작품의 새로운 번역본이 출판되었습니다. Fermat는 Diophantus에 매우 관심이 많았으며 이 작품은 그의 참고서였습니다. 여백에 페르마는 자신의 대정리를 적었는데, 가장 단순한 현대식 형태는 다음과 같습니다: 방정식 Xn + Yn = Zn은 n - 2보다 큰 정수에 대한 해를 갖지 않습니다. (n = 2의 경우 해는 명백합니다. : 32 + 42 = 52 ). 거기에서 페르마는 디오판토스 책의 여백에 이렇게 덧붙입니다. “나는 정말 놀라운 증거를 발견했지만 여백이 너무 좁아서 증거를 찾을 수 없습니다.”

언뜻 보기에는 간단한 일이지만, 다른 수학자들이 이 '간단한' 정리를 증명하기 시작했을 때, 100년 동안 누구도 성공하지 못했습니다. 마지막으로, 위대한 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 n = 4에 대해 이를 증명했고, 그로부터 20(!)년 후 n = 3에 대해 증명했습니다. 그리고 다시 작업이 수년 동안 중단되었습니다. 다음 승리는 독일인 Peter Dirichlet(1805-1859)과 프랑스인 Andrien Legendre(1752-1833)의 것이었습니다. 그들은 Fermat가 n = 5에 대해 옳았다는 것을 인정했습니다. 그런 다음 프랑스인 Gabriel Lamé(1795-1870)도 같은 일을 했습니다. n = 7. 마지막으로 지난 세기 중반 독일의 에른스트 쿠머(1810-1893)는 100보다 작거나 같은 모든 n 값에 대한 대정리를 증명했습니다. 게다가 그는 페르마가 제시한 방법을 사용하여 이를 증명했습니다. 알 수 없었기 때문에 대정리를 둘러싼 미스터리의 감각이 더욱 높아졌습니다.

따라서 그들은 페르마의 정리를 "하나씩" 증명했지만 "완전히" 성공한 사람은 아무도 없다는 것이 밝혀졌습니다. 증명에 대한 새로운 시도는 n 값의 정량적 증가로만 이어졌습니다. 많은 작업을 통해 임의로 많은 수의 n에 대한 대정리를 증명하는 것이 가능하다는 것을 모두가 이해했지만 Fermat는 어떤 것에 대해서도 이야기했습니다. 2보다 큰 값! 문제의 전체적인 의미가 집중된 것은 "원하는만큼"과 "아무거나"의 차이에 있습니다.

그러나 Fermg의 정리를 증명하려는 시도는 복잡한 수수께끼를 푸는 일종의 수학적 게임이 아니라는 점에 유의해야 합니다. 이러한 증명 과정에서 새로운 수학적 지평이 열리고 문제가 발생하여 해결되어 수학 트리의 새로운 가지가 되었습니다. 독일의 위대한 수학자 다비드 힐베르트(1862-1943)는 대정리를 “특별하고 사소해 보이는 문제가 과학에 미칠 수 있는 자극적인 영향”의 예로 인용했습니다. 페르마의 정리를 연구한 동일한 Kummer는 정수론, 대수학 및 함수 이론의 기초를 형성하는 정리를 직접 증명했습니다. 따라서 대정리를 증명하는 것은 스포츠가 아니라 실제 과학입니다.

시간이 흐르고 전자 제품은 전문적인 "fsrmatntsts"의 도움을 받았습니다. 전자 두뇌는 새로운 방법을 생각해내지 못했지만 빠르게 해냈습니다. 80년대 초, 페르마의 정리는 5500 이하의 n에 대해 컴퓨터의 도움으로 입증되었습니다. 점차적으로 이 수치는 100,000으로 증가했지만 모든 사람들은 그러한 "축적"이 순수한 기술의 문제라는 것을 이해했습니다. 마음이나 마음에는 아무 것도 없습니다. 그들은 대 정리의 요새를 정면으로 차지할 수 없었고 해결 방법을 찾기 시작했습니다.

80년대 중반, 젊은 비수학자 G. Filytings는 소위 "Mordell 추측"을 증명했는데, 이는 또한 61년 동안 어떤 수학자의 "손에 들어오지 않았습니다". 이제 말하자면 "측면 공격"을 통해 페르마의 정리가 풀릴 수 있다는 희망이 생겼습니다. 그러나 그때는 아무 일도 일어나지 않았습니다. 1986년 독일 수학자 게르하르트 프레이(Gerhard Frey)는 Essence에서 새로운 증명 방법을 제안했습니다. 나는 그것을 엄격하게 설명하지는 않지만 수학적으로는 아니지만 보편적인 인간 언어로 다음과 같이 들립니다. 다른 정리의 증명이 간접적이고 어떤 방식으로 변형된 증명이라고 확신한다면 페르마의 정리, 그러므로 우리는 대정리를 증명할 것입니다. 1년 후, 버클리 출신의 미국 케네스 리벳(Kenneth Ribet)은 프레이가 옳았으며 실제로 한 가지 증거가 다른 증거로 축소될 수 있음을 보여주었습니다. 세계 여러 나라의 많은 수학자들이 이 길을 따랐습니다. Viktor Aleksandrovich Kolyvanov는 대정리를 증명하기 위해 많은 노력을 기울였습니다. 300년 된 난공불락의 성벽이 흔들리기 시작했다. 수학자들은 그것이 오래 지속되지 않을 것이라는 것을 깨달았습니다.

1993년 여름, 고대 케임브리지의 아이작 뉴턴 수리과학연구소에 세계에서 가장 저명한 수학자 75명이 모여 자신들의 문제를 논의했습니다. 그 중에는 정수론 분야의 주요 전문가인 미국 프린스턴 대학의 앤드루 와일스 교수도 있었습니다. 그가 수년 동안 대정리를 연구해 왔다는 사실은 모두가 알고 있었습니다. Wiles는 세 가지 보고서를 제출했고 마지막 보고서인 1993년 6월 23일 마지막 보고서에서 이사회에서 돌아서며 미소를 지으며 말했습니다.

- 계속 안 할 것 같아요...

처음에는 침묵이 흘렀고, 그다음에는 엄청난 박수가 터져 나왔습니다. 홀에 앉아 있는 사람들은 페르마의 마지막 정리가 증명되었다는 사실을 이해할 만큼 충분한 자격을 갖추고 있었습니다! 어쨌든 참석한 사람들 중 누구도 제시된 증거에서 오류를 발견하지 못했습니다. Newton Institute의 Peter Goddard 부소장은 기자들에게 다음과 같이 말했습니다.

“대부분의 전문가들은 자신의 삶이 끝날 때까지 그 답을 알 수 없을 것이라고 생각했습니다.” 이것은 우리 세기 수학의 가장 위대한 업적 중 하나입니다.

몇 달이 지났지만 아무런 논평이나 반박도 이루어지지 않았습니다. 사실, Wiles는 자신의 증거를 발표하지 않았지만 소위 그의 작업 인쇄물을 매우 좁은 동료들에게만 보냈습니다. 이는 당연히 수학자들이 이러한 과학적 감각에 대해 논평하는 것을 방해하며 저는 학자 Ludwig Dmitrievich Faddeev를 이해합니다. 누가 말했어:

“증거를 직접 눈으로 봤을 때 센세이션이 일어났다고 할 수 있어요.”

Faddeev는 Wiles의 승리 가능성이 매우 높다고 믿습니다.

“예를 들어 정수론 분야의 유명한 전문가인 아버지는 정리가 증명될 것이라고 확신했지만 초보적인 수단으로는 증명되지 않았습니다.”라고 그는 덧붙였습니다.

또 다른 학자인 빅토르 파블로비치 마슬로프(Viktor Pavlovich Maslov)는 이 소식에 회의적이었고, 대정리의 증명은 전혀 긴급한 수학적 문제가 아니라고 믿습니다. 과학적 관심 측면에서 응용 수학 협의회 의장인 마슬로프는 "유제론자"와는 거리가 멀고, 대정리의 완전한 해법은 단지 스포츠적인 관심에 불과하다고 말하면 그를 이해할 수 있습니다. 그러나 나는 모든 과학에서 관련성이라는 개념이 가변적이라는 점을 감히 지적합니다. 90년 전, 러더퍼드는 아마도 다음과 같은 말을 들었을 것입니다. "그래, 방사성 붕괴 이론... 그럼 그게 무슨 소용이 있지?.."

대정리의 증명에 대한 연구는 이미 수학에 많은 것을 제공했으며, 우리는 이것이 더 많은 것을 제공할 것으로 기대합니다.

"Wiles가 한 일은 수학자들을 다른 분야로 발전시킬 것입니다"라고 Peter Goddard는 말했습니다. — 오히려 사고의 방향 중 하나를 닫는 것이 아니라 대답이 필요한 새로운 질문을 제기합니다...

모스크바 주립대학교 미하일 일리치 젤리킨 교수는 현재 상황을 이렇게 설명했습니다.

누구도 Wiles의 작업에서 어떤 실수도 본 적이 없습니다. 그러나 이 연구가 과학적 사실이 되기 위해서는 몇몇 저명한 수학자들이 독립적으로 이 증명을 반복하고 그 정확성을 확인하는 것이 필요합니다. 이는 수학 대중이 와일즈의 연구를 이해하는 데 없어서는 안 될 조건입니다.

얼마나 걸릴까요?

저는 정수론 분야의 주요 전문가 중 한 명인 물리 및 수학 과학 박사 Alexey Nikolaevich Parshin에게 이 질문을 했습니다.

— Andrew Wiles에게는 아직 시간이 많이 남아 있습니다.

사실은 1907년 9월 13일, 대다수의 수학자 들과는 달리 부자였던 독일 수학자 P. 볼프스켈(P. Wolfskel)이 향후 100년 안에 대정리를 증명할 사람에게 10만 마르크를 물려주었다는 것입니다. 세기 초에 유증된 금액에 대한 이자는 유명한 괴테헨트 대학교의 재무부에 전달되었습니다. 이 돈으로 주요 수학자들을 초청하여 강의를 하고 과학 연구를 수행했습니다. 당시 수상위원회 위원장은 이미 언급된 데이비드 길버트(David Gilbert)였습니다. 그는 정말로 보너스를 지불하고 싶지 않았습니다.

위대한 수학자는 “다행히도 이 일을 할 수 있는 수학자는 나 외에는 없는 것 같지만 나는 우리를 위해 황금알을 낳는 거위를 감히 죽이지 못할 것”이라고 말했다.

볼프스켈이 지정한 2007년까지 몇 년이 남았는데, 내가 보기엔 '힐베르트의 닭'에 심각한 위험이 닥쳐오고 있는 것 같다. 하지만 실제로 보너스에 관한 것은 아닙니다. 그것은 사고에 대한 호기심과 인간의 인내의 문제입니다. 그들은 300년 넘게 싸웠지만 여전히 그것을 증명했습니다!

그리고 더. 나에게 있어서 이 전체 이야기에서 가장 흥미로운 점은 페르마 자신이 자신의 대정리를 어떻게 증명했는가이다. 결국, 오늘날의 모든 수학적 트릭은 그에게 알려지지 않았습니다. 그리고 그는 그것을 전혀 증명 했습니까? 결국, 그가 증명한 것처럼 보이는 버전이 있지만, 그 자신이 오류를 발견했기 때문에 다른 수학자에게 증명을 보내지 않았고, 디오판토스 책의 여백에 있는 항목에 줄을 그어 지우는 것을 잊어버렸습니다. 그러므로 대정리의 증명은 분명히 이루어진 것 같지만, 페르마 정리의 비밀은 여전히 ​​남아 있고, 우리가 그것을 밝힐 가능성은 거의 없습니다...

당시 페르마는 틀렸을지 모르지만 다음과 같이 썼을 때는 틀리지 않았습니다. “아마 후손들은 고대인들이 모든 것을 알지 못했다는 사실을 그들에게 보여준 나에게 감사할 것입니다. 그의 아들들에게 횃불을..."

페르마의 마지막 정리에 대해 들어본 적이 없는 사람은 세상에 많지 않습니다. 아마도 이것이 널리 알려지고 진정한 전설이 된 유일한 수학 문제일 것입니다. 이는 많은 책과 영화에서 언급되며, 거의 모든 언급의 주요 맥락은 정리 증명이 불가능하다는 것입니다.

예, 이 정리는 매우 잘 알려져 있으며 어떤 의미에서는 아마추어 및 전문 수학자들이 숭배하는 "우상"이 되었습니다. 그러나 그 증명이 발견되었다는 사실을 아는 사람은 거의 없으며 이러한 일은 1995년에 일어났습니다. 하지만 가장 먼저 해야 할 일이 있습니다.

따라서 뛰어난 프랑스 수학자 피에르 페르마(Pierre Fermat)가 1637년에 공식화한 페르마의 마지막 정리(종종 페르마의 마지막 정리라고도 함)는 본질적으로 매우 간단하며 중등 교육을 받은 사람이라면 누구나 이해할 수 있습니다. a의 n + b의 n = c의 n 거듭제곱 공식은 n > 2에 대한 자연적인(즉, 분수가 아닌) 해를 갖지 않는다고 말합니다. 모든 것이 간단하고 명확해 보이지만 최고의 수학자들과 일반 아마추어들은 350년 넘게 해결책을 찾기 위해 애썼습니다.

그녀는 왜 그렇게 유명합니까? 이제 우리는 알아낼 것입니다 ...

입증된, 입증되지 않은, 아직 입증되지 않은 정리가 많이 있습니까? 여기서 요점은 페르마의 마지막 정리가 공식의 단순성과 증명의 복잡성 사이의 가장 큰 대조를 나타낸다는 것입니다. 페르마의 마지막 정리는 믿을 수 없을 만큼 어려운 문제이고, 그 공식은 고등학교 5학년이면 누구나 이해할 수 있지만, 모든 전문 수학자도 그 증명을 이해할 수는 없습니다. 물리학, 화학, 생물학, 수학에서 그렇게 간단하게 공식화할 수 있었지만 오랫동안 해결되지 않은 문제는 하나도 없습니다. 2. 무엇으로 구성되어 있나요?

피타고라스 바지부터 시작해 보겠습니다. 언뜻 보면 표현이 정말 간단합니다. 우리가 어린 시절부터 알고 있듯이 "피타고라스 바지는 모든 면에서 동일합니다." 문제는 모두가 알고 있는 수학적 명제인 피타고라스 정리에 기반을 두고 있기 때문에 매우 간단해 보입니다. 직각삼각형에서 빗변으로 만든 정사각형은 다리로 만든 정사각형의 합과 같습니다.

기원전 5세기. 피타고라스는 피타고라스 형제단을 창설했습니다. 피타고라스학파는 무엇보다도 x²+y²=z² 등식을 만족하는 정수 삼중항을 연구했습니다. 그들은 피타고라스 삼중항이 무한히 많다는 것을 증명하고 그것을 찾는 일반 공식을 얻었습니다. 그들은 아마도 C나 그 이상의 학위를 찾으려고 노력했을 것입니다. 이것이 효과가 없다고 확신한 피타고라스 학파는 쓸모없는 시도를 포기했습니다. 형제단의 구성원은 수학자보다는 철학자와 심미주의자였습니다.

즉, x²+y²=z² 등식을 완벽하게 만족하는 숫자 집합을 선택하는 것은 쉽습니다.

3, 4, 5부터 시작하여 실제로 중학생은 9 + 16 = 25라는 것을 이해합니다.

아니면 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. 좋습니다.

그래서 그들은 그렇지 않다는 것이 밝혀졌습니다. 이것이 트릭이 시작되는 곳입니다. 무언가의 존재가 아니라 그 반대의 부재를 증명하는 것이 어렵기 때문에 단순성이 분명합니다. 해결책이 있다는 것을 증명해야 할 때, 이 해결책을 간단하게 제시할 수 있고 제시해야 합니다.

부재를 증명하는 것이 더 어렵습니다. 예를 들어 누군가 다음과 같이 말합니다. 이러한 방정식에는 해결책이 없습니다. 그를 웅덩이에 넣어? 쉬움: 쾅 - 그리고 여기 해결책이 있습니다! (해결책 제공). 그리고 그게 바로 상대가 패배한 것입니다. 부재를 증명하는 방법은 무엇입니까?

"그런 해결책을 찾지 못했습니다"라고 말하시겠습니까? 아니면 표정이 좋지 않았나요? 만약 그것들이 아주 크고 아주 커서 초강력 컴퓨터라도 아직 힘이 부족할 정도로만 존재한다면 어떻게 될까요? 이것이 어려운 일입니다.

이는 다음과 같이 시각적으로 표시될 수 있습니다. 적절한 크기의 두 개의 정사각형을 가져와서 단위 정사각형으로 분해하면 이 단위 정사각형 묶음에서 세 번째 정사각형을 얻습니다(그림 2).


하지만 3차원(그림 3)에도 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 작동하지 않습니다. 큐브가 충분하지 않거나 여분의 큐브가 남아 있습니다.

그러나 17세기 프랑스 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 일반 방정식 xn + yn = zn을 열정적으로 연구했습니다. 그리고 마지막으로 저는 n>2에 대해서는 정수 해가 없다는 결론을 내렸습니다. 페르마의 증명은 회복 불가능하게 사라졌습니다. 원고가 불타고 있습니다! 남은 것은 디오판투스의 산술에서 그가 한 말뿐이다. “나는 이 명제에 대한 정말 놀라운 증거를 찾았지만 여백이 너무 좁아서 그것을 담을 수 없습니다.”

실제로 증명이 없는 정리를 가설이라고 합니다. 하지만 페르마는 절대 실수하지 않는 것으로 유명합니다. 진술에 대한 증거를 남기지 않았음에도 나중에 확인됐다. 게다가 페르마는 n=4에 대한 자신의 논제를 증명했습니다. 따라서 프랑스 수학자의 가설은 페르마의 마지막 정리로 역사에 남았습니다.

페르마 이후 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 같은 위대한 사람들은 증명을 찾기 위해 노력했습니다(1770년에 그는 n = 3에 대한 해를 제안했습니다).

Adrien Legendre와 Johann Dirichlet(이 과학자들은 1825년에 n = 5에 대한 증거를 공동으로 발견함), Gabriel Lamé(n = 7에 대한 증거를 발견함) 및 기타 많은 사람들이 있었습니다. 지난 세기 80년대 중반에 이르러 과학계가 페르마의 마지막 정리의 최종 해법을 향해 나아가고 있다는 것이 분명해졌습니다. 그러나 1993년이 되어서야 수학자들은 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 3세기의 서사시를 보고 믿었습니다. 페르마의 마지막 정리는 사실상 끝났습니다.

단순한 n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...에 대해서만 페르마의 정리를 증명하는 것으로 충분하다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 합성 n의 경우 증명은 유효합니다. 하지만 소수는 무한히 많다.

1825년에 여성 수학자 소피 제르맹(Sophie Germain)의 방법을 사용하여 디리클레(Dirichlet)와 르장드르(Legendre)가 독립적으로 n=5의 정리를 증명했습니다. 1839년에 프랑스인 Gabriel Lame은 동일한 방법을 사용하여 n=7에 대한 정리가 참임을 보여주었습니다. 점차적으로 정리는 100 미만의 거의 모든 n에 대해 입증되었습니다.

마지막으로, 독일의 수학자 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)는 훌륭한 연구를 통해 19세기 수학 방법으로는 일반적으로 정리를 증명할 수 없다는 점을 보여주었습니다. 페르마의 정리 증명을 위해 1847년에 설립된 프랑스 과학 아카데미의 상은 아직 수상되지 않았습니다.

1907년, 독일의 부유한 사업가 폴 볼프스켈은 짝사랑 때문에 자살을 결심했습니다. 진정한 독일인처럼 그는 자살 날짜와 시간을 정확히 자정으로 정했습니다. 마지막 날 그는 유언장을 작성하고 친구와 친척들에게 편지를 썼습니다. 자정 이전에 모든 일이 끝났습니다. Paul은 수학에 관심이 있었다고 말해야합니다. 더 이상 할 일이 없던 그는 도서관에 가서 Kummer의 유명한 기사를 읽기 시작했습니다. 갑자기 Kummer가 자신의 추론에 실수를 한 것처럼 보였습니다. Wolfskel은 손에 연필을 들고 기사의 이 부분을 분석하기 시작했습니다. 자정이 지나 아침이 왔습니다. 증명의 공백이 메워졌습니다. 그리고 자살의 이유는 이제 완전히 우스꽝스러워 보였습니다. 바울은 고별 편지를 찢어 버리고 유언장을 다시 썼습니다.

그는 곧 자연사했습니다. 상속인들은 매우 놀랐습니다. 100,000마르크(현재 1,000,000파운드 이상)가 괴팅겐 왕립과학협회의 계좌로 이체되었으며, 같은 해 볼프스켈 상 경쟁을 발표했습니다. 페르마의 정리를 증명한 사람에게는 10만점이 수여되었습니다. 이 정리를 반박한 대가로 페니히는 한 푼도 받지 못했습니다...

대부분의 전문 수학자들은 페르마의 마지막 정리에 대한 증거를 찾는 것을 절망적인 작업으로 간주했으며 그러한 쓸모없는 작업에 시간을 낭비하는 것을 단호히 거부했습니다. 그러나 아마추어들은 폭발적이었습니다. 발표가 있은 지 몇 주 후, 괴팅겐 대학교에는 수많은 "증거"가 쏟아졌습니다. 전송된 증거를 분석하는 책임을 맡은 E.M. Landau 교수는 학생들에게 카드를 배포했습니다.

에게. . . . . . . .

페르마의 마지막 정리를 증명한 원고를 보내주셔서 감사합니다. 첫 번째 오류는 페이지...라인...에 있습니다. 이로 인해 전체 증거의 타당성이 상실됩니다.
E. M. 랜도 교수

1963년에 폴 코헨은 괴델의 발견에 의존하여 힐베르트의 23가지 문제 중 하나인 연속체 가설의 해결 불가능성을 증명했습니다. 페르마의 마지막 정리도 결정 불가능하다면 어떨까요?! 그러나 진정한 대정리 광신자들은 전혀 실망하지 않았습니다. 컴퓨터의 출현은 갑자기 수학자에게 새로운 증명 방법을 제공했습니다. 제2차 세계대전 후, 프로그래머와 수학자 팀은 n의 최대 500, 그 다음에는 최대 1,000, 나중에는 최대 10,000까지의 모든 값에 대해 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다.

1980년대에는 사무엘 바그스태프(Samuel Wagstaff)가 그 한계를 25,000으로 올렸고, 1990년대에는 수학자들이 페르마의 마지막 정리가 n이 400만까지인 모든 값에 대해 참이라고 선언했습니다. 하지만 무한대에서 1조조라도 빼면 작아지지 않습니다. 수학자들은 통계를 믿지 않습니다. 대정리를 증명한다는 것은 무한대로 가는 모든 n에 대해 그것을 증명한다는 것을 의미했습니다.

1954년에 두 명의 젊은 일본 수학자 친구가 모듈형 형태를 연구하기 시작했습니다. 이러한 형식은 각각 고유한 계열이 있는 일련의 숫자를 생성합니다. 우연히 Taniyama는 이 계열을 타원 방정식으로 생성된 계열과 비교했습니다. 일치했어요! 그러나 모듈러 형태는 기하학적 객체이고 타원 방정식은 대수적입니다. 이렇게 서로 다른 개체 사이에는 연결이 발견되지 않았습니다.

그러나 신중한 테스트를 거친 후 친구들은 가설을 제시했습니다. 모든 타원 방정식에는 모듈러 형식의 쌍이 있고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 수학 전체 방향의 기초가 된 것은 바로 이 가설이었지만, 타니야마-시무라 가설이 증명되기 전까지는 건물 전체가 언제라도 무너질 수 있었습니다.

1984년에 게르하르트 프레이(Gerhard Frey)는 페르마 방정식의 해가 존재한다면 타원 방정식에 포함될 수 있음을 보여주었습니다. 2년 후 Ken Ribet 교수는 이 가상 방정식이 모듈식 세계에서는 대응될 수 없음을 증명했습니다. 이제부터 페르마의 마지막 정리는 타니야마-시무라의 추측과 불가분의 관계가 되었습니다. 모든 타원 곡선이 모듈러임을 입증한 후, 페르마 방정식의 해를 구할 수 있는 타원 방정식은 없으며 페르마의 마지막 정리가 즉시 증명될 것이라고 결론을 내렸습니다. 그러나 30년 동안 다니야마-시무라 가설을 증명하는 것은 불가능했고, 성공할 희망도 점점 줄어들었습니다.

1963년, 겨우 열 살이었을 때 Andrew Wiles는 이미 수학에 매료되었습니다. 그는 대정리를 배웠을 때 그것을 포기할 수 없다는 것을 깨달았습니다. 남학생, 학생, 대학원생으로서 그는 이 임무를 위해 준비했습니다.

Ken Ribet의 발견에 대해 알게 된 Wiles는 Taniyama-Shimura 가설을 증명하는 데 뛰어 들었습니다. 그는 완전한 고립과 비밀 속에서 일하기로 결정했습니다. “페르마의 마지막 정리와 관련된 모든 것이 너무 많은 관심을 불러일으킨다는 것을 깨달았습니다. 관중이 너무 많아 목표 달성을 방해하는 것은 분명합니다.” 7년간의 노력이 결실을 맺고 Wiles는 마침내 Taniyama-Shimura 추측의 증명을 완성했습니다.

1993년에 영국의 수학자 앤드루 와일즈(Andrew Wiles)는 페르마의 마지막 정리에 대한 자신의 증거를 세상에 발표했습니다. (와일즈는 케임브리지에 있는 아이작 뉴턴 경 연구소에서 열린 회의에서 그의 놀라운 논문을 읽었습니다.) 이 작업은 7년 이상 지속되었습니다.

언론에서 과대광고가 계속되는 동안 증거를 검증하기 위한 진지한 작업이 시작되었습니다. 증거가 엄격하고 정확하다고 간주되기 전에 모든 증거를 주의 깊게 조사해야 합니다. Wiles는 평론가들의 승인을 얻을 수 있기를 바라며 평론가들의 피드백을 기다리며 불안한 여름을 보냈습니다. 8월 말 전문가들은 이 판결의 근거가 불충분하다고 판단했다.

이 결정에는 일반적으로 정확하지만 심각한 오류가 포함되어 있는 것으로 밝혀졌습니다. Wiles는 포기하지 않고 유명한 정수론 전문가 Richard Taylor의 도움을 요청했으며 이미 1994년에 정리에 대한 수정되고 확장된 증거를 발표했습니다. 가장 놀라운 점은 이 작품이 수학저널 '수학연대기'에서 무려 130(!) 페이지를 차지했다는 점이다. 그러나 이야기는 거기서 끝나지 않았습니다. 최종 지점은 수학적 관점에서 최종적이고 "이상적인" 증명 버전이 출판된 다음 해인 1995년에만 도달했습니다.

"...그녀의 생일 축하 만찬이 시작된 지 30분 후에 나는 Nadya에게 완전한 증거 원고를 선물했습니다"(Andrew Wales). 제가 아직 수학자들은 이상한 사람들이라고 말하지 않았나요?

이번에는 증거에 대해 의심의 여지가 없었습니다. 두 개의 기사가 가장 신중한 분석을 거쳐 1995년 5월 Annals of Mathematics에 게재되었습니다.

그 이후로 많은 시간이 흘렀지만 사회에서는 아직도 페르마의 마지막 정리가 풀리지 않는다는 의견이 남아있다. 그러나 발견된 증거를 아는 사람들조차도 계속해서 이 방향으로 작업하고 있습니다. 대정리에서 130페이지의 해법이 필요하다는 사실에 만족하는 사람은 거의 없습니다!

따라서 이제 많은 수학자(전문 과학자가 아닌 대부분 아마추어)의 노력이 간단하고 간결한 증거를 찾는 데 투입되지만 이 길은 아마도 아무데도 이어지지 않을 것입니다...

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