Tam tədqiqat və funksiyaların qurulması nümunələri. Funksiyanı necə yoxlamaq və onun qrafikini çəkmək olar

Artıq bir müddətdir ki, TheBat-ın SSL üçün daxili sertifikat bazası düzgün işləməyi dayandırıb (hansı səbəbdən aydın deyil).

Yazı yoxlanarkən xəta görünür:

Naməlum CA sertifikatı
Server sessiyada kök sertifikat təqdim etmədi və müvafiq kök sertifikatı ünvan kitabçasında tapılmadı.
Bu əlaqə gizli ola bilməz. Zəhmət olmasa
server administratorunuzla əlaqə saxlayın.

Və sizə cavab seçimi təklif olunur - YES / NO. Beləliklə, hər dəfə poçtu sildiyiniz zaman.

Həll

Bu halda, TheBat parametrlərində S/MIME və TLS tətbiq standartını Microsoft CryptoAPI ilə əvəz etməlisiniz!

Bütün faylları bir faylda birləşdirməli olduğum üçün əvvəlcə bütün doc fayllarını bir pdf faylına çevirdim (Acrobat proqramından istifadə edərək), sonra isə onlayn çevirici vasitəsilə fb2-yə köçürdüm. Faylları ayrıca çevirə bilərsiniz. Formatlar tamamilə hər hansı (mənbə) ola bilər - doc, jpg və hətta zip arxivi!

Saytın adı mahiyyətinə uyğun gəlir :) Online Photoshop.

Yeniləmə May 2015

Başqa bir gözəl sayt tapdım! Tamamilə fərdi kolaj yaratmaq üçün daha rahat və funksional! Bu http://www.fotor.com/ru/collage/ saytıdır. Sağlamlığınız üçün həzz alın. Və mən özüm istifadə edəcəm.

Həyatımda elektrik sobasının təmiri probleminə rast gəldim. Mən artıq çox şey etmişəm, çox şey öyrənmişəm, amma nədənsə plitələrlə çox az əlaqəm var idi. Tənzimləyicilər və ocaqlardakı kontaktları dəyişdirmək lazım idi. Sual yarandı - elektrik sobasında brülörün diametrini necə təyin etmək olar?

Cavabın sadə olduğu ortaya çıxdı. Heç bir şey ölçmək lazım deyil, hansı ölçüyə ehtiyacınız olduğunu gözünüzlə asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz.

Ən kiçik ocaq- bu 145 millimetrdir (14,5 santimetr)

Orta ocaq- bu 180 millimetrdir (18 santimetr).

Və nəhayət, ən çox böyük ocaq- bu 225 millimetrdir (22,5 santimetr).

Ölçüsü göz ilə müəyyən etmək və brülörün hansı diametrə ehtiyacı olduğunu başa düşmək kifayətdir. Bunu bilmədiyim zaman bu ölçülərdən narahat idim, necə ölçməli olduğumu, hansı kənarda hərəkət edəcəyimi və s. bilmirdim. İndi mən müdrikəm :) Ümid edirəm sizə də kömək etdim!

Həyatımda belə bir problemlə qarşılaşdım. Düşünürəm ki, tək mən deyiləm.

Bu gün sizi bizimlə bir funksiyanın qrafikini araşdırmağa və qurmağa dəvət edirik. Bu məqaləni diqqətlə öyrəndikdən sonra, bu tip tapşırıqları yerinə yetirmək üçün uzun müddət tərləməli olmayacaqsınız. Bir funksiyanın qrafikini öyrənmək və qurmaq asan deyil, bu, maksimum diqqət və hesablamaların dəqiqliyini tələb edən həcmli bir işdir. Materialı daha asan başa düşmək üçün eyni funksiyanı addım-addım öyrənəcəyik və bütün hərəkətlərimizi və hesablamalarımızı izah edəcəyik. Riyaziyyatın heyrətamiz və füsunkar dünyasına xoş gəlmisiniz! Get!

Domen

Funksiyanı araşdırmaq və qrafikini çəkmək üçün bir neçə tərifi bilməlisiniz. Funksiya riyaziyyatda əsas (əsas) anlayışlardan biridir. Dəyişikliklər zamanı bir neçə dəyişən (iki, üç və ya daha çox) arasında asılılığı əks etdirir. Funksiya həmçinin çoxluqların asılılığını göstərir.

Təsəvvür edin ki, bizdə müəyyən dəyişiklik diapazonuna malik iki dəyişən var. Deməli, ikinci dəyişənin hər bir qiyməti ikincinin bir qiymətinə uyğun gələrsə, y x-in funksiyasıdır. Bu halda y dəyişəni asılı olur və ona funksiya deyilir. X və y dəyişənlərinin içərisində olduğunu söyləmək adətdir. Bu asılılığın daha aydın olması üçün funksiyanın qrafiki qurulur. Bir funksiyanın qrafiki nədir? Bu, koordinat müstəvisində hər bir x dəyərinin bir y dəyərinə uyğun olduğu nöqtələr toplusudur. Qrafiklər müxtəlif ola bilər - düz xətt, hiperbola, parabola, sinus dalğası və s.

Tədqiqat olmadan funksiyanın qrafikini çəkmək mümkün deyil. Bu gün biz tədqiqat aparmağı və funksiyanın qrafikini qurmağı öyrənəcəyik. Tədqiqat zamanı qeydlər aparmaq çox vacibdir. Bu, tapşırığın öhdəsindən gəlməyi xeyli asanlaşdıracaq. Ən əlverişli tədqiqat planı:

  1. Domen.
  2. Davamlılıq.
  3. Cüt və ya tək.
  4. Dövrilik.
  5. Asimptotlar.
  6. Sıfırlar.
  7. Daimilik işarəsi.
  8. Artan və azalan.
  9. İfrat.
  10. Qabarıqlıq və qabarıqlıq.

Birinci nöqtədən başlayaq. Tərif dairəsini, yəni funksiyamızın hansı intervallarda mövcud olduğunu tapaq: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Bizim vəziyyətimizdə funksiya x-in istənilən qiymətləri üçün mövcuddur, yəni tərif sahəsi R-ə bərabərdir. Bunu aşağıdakı xÎR kimi yazmaq olar.

Davamlılıq

İndi kəsilmə funksiyasını araşdıracağıq. Riyaziyyatda “davamlılıq” termini hərəkət qanunlarının öyrənilməsi nəticəsində yaranmışdır. Sonsuz nədir? Məkan, zaman, bəzi asılılıqlar (məsələn, hərəkət məsələlərində S və t dəyişənlərinin asılılığını göstərmək olar), qızdırılan obyektin temperaturu (su, tava, termometr və s.), davamlı xətt (yəni vərəq qələmindən qaldırmadan çəkmək olar).

Qrafik müəyyən nöqtədə qırılmırsa, davamlı hesab olunur. Belə bir qrafikin ən bariz nümunələrindən biri sinusoiddir, onu bu bölmədəki şəkildə görə bilərsiniz. Bir sıra şərtlər yerinə yetirilərsə, funksiya x0 nöqtəsində fasiləsizdir:

  • funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir;
  • bir nöqtədə sağ və sol sərhədlər bərabərdir;
  • limit funksiyanın x0 nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.

Ən azı bir şərt yerinə yetirilmədikdə, funksiyanın uğursuz olduğu deyilir. Və funksiyanın kəsildiyi nöqtələr adətən qırılma nöqtələri adlanır. Qrafik olaraq göstərildikdə “qırılacaq” funksiyaya misal: y=(x+4)/(x-3). Üstəlik, x = 3 nöqtəsində y mövcud deyil (çünki sıfıra bölmək mümkün deyil).

Öyrəndiyimiz funksiyada (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) qrafik davamlı olacağı üçün hər şey sadə oldu.

Hətta, qəribə

İndi funksiyanı paritet üçün yoxlayın. Birincisi, bir az nəzəriyyə. Cüt funksiya x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün (qiymətlər diapazonundan) f(-x)=f(x) şərtini ödəyən funksiyadır. Nümunələr daxildir:

  • modul x (qrafik şəfəq, qrafikin birinci və ikinci rüblərinin bissektrisasına bənzəyir);
  • x kvadratı (parabola);
  • kosinus x (kosinus).

Qeyd edək ki, bu qrafiklərin hamısı y oxuna (yəni y oxuna) görə baxdıqda simmetrikdir.

O zaman tək funksiya nə adlanır? Bunlar şərti ödəyən funksiyalardır: x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün f(-x)=-f(x). Nümunələr:

  • hiperbola;
  • kub parabola;
  • sinusoid;
  • tangens və s.

Nəzərə alın ki, bu funksiyalar nöqtəyə (0:0), yəni mənşəyə görə simmetrikdir. Məqalənin bu bölməsində deyilənlərə əsasən, cüt və tək funksiyanın xassələri olmalıdır: x təriflər çoxluğuna aiddir və -x də.

Paritet üçün funksiyanı araşdıraq. Onun heç bir təsvirə uyğun gəlmədiyini görə bilərik. Buna görə də bizim funksiyamız nə cüt, nə də təkdir.

Asimptotlar

Bir təriflə başlayaq. Asimptot qrafikə mümkün qədər yaxın olan əyridir, yəni müəyyən nöqtədən olan məsafə sıfıra meyllidir. Ümumilikdə üç növ asimptot var:

  • şaquli, yəni y oxuna paralel;
  • üfüqi, yəni x oxuna paralel;
  • meylli.

Birinci növə gəldikdə, bu xətləri bəzi məqamlarda axtarmaq lazımdır:

  • boşluq;
  • tərif sahəsinin sonları.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya fasiləsizdir və təyinetmə sahəsi R-ə bərabərdir. Buna görə də şaquli asimptotlar yoxdur.

Funksiya qrafiki aşağıdakı tələbə cavab verən üfüqi asimptota malikdir: əgər x sonsuzluğa və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə və limit müəyyən ədədə bərabərdirsə (məsələn, a). Bu halda y=a üfüqi asimptotdur. Öyrəndiyimiz funksiyada heç bir üfüqi asimptot yoxdur.

Bir əyri asimptot yalnız iki şərt yerinə yetirildikdə mövcuddur:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Sonra onu aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar: y=kx+b. Yenə bizim vəziyyətimizdə əyri asimptotlar yoxdur.

Funksiya sıfırları

Növbəti addım funksiyanın qrafikini sıfırlar üçün yoxlamaqdır. Onu da qeyd etmək çox vacibdir ki, funksiyanın sıfırlarının tapılması ilə bağlı tapşırıq təkcə funksiyanın qrafikinin öyrənilməsi və qurulması zamanı deyil, həm də müstəqil tapşırıq və bərabərsizliklərin həlli üsulu kimi baş verir. Sizdən qrafikdə funksiyanın sıfırlarını tapmaq və ya riyazi qeydlərdən istifadə etmək tələb oluna bilər.

Bu dəyərləri tapmaq funksiyanın qrafikini daha dəqiq çəkməyə kömək edəcək. Sadə dillə desək, funksiyanın sıfırı y = 0 olan x dəyişəninin qiymətidir. Əgər siz qrafikdə funksiyanın sıfırlarını axtarırsınızsa, onda qrafikin x oxu ilə kəsişdiyi nöqtələrə diqqət yetirməlisiniz.

Funksiyanın sıfırlarını tapmaq üçün aşağıdakı tənliyi həll etmək lazımdır: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Lazımi hesablamaları apardıqdan sonra aşağıdakı cavabı alırıq:

Nişan sabitliyi

Funksiyanın (qrafik) tədqiqi və qurulmasının növbəti mərhələsi sabit işarəli intervalların tapılmasıdır. Bu o deməkdir ki, biz müəyyən etməliyik ki, funksiya hansı intervallarda müsbət qiymət alır, hansı intervallarda isə mənfi qiymət alır. Sonuncu bölmədə tapılan sıfır funksiyalar bizə bunu etməyə kömək edəcək. Beləliklə, bir düz xətt qurmalıyıq (qrafikdən ayrı) və onun boyunca funksiyanın sıfırlarını düzgün ardıcıllıqla kiçikdən böyüyə paylamalıyıq. İndi ortaya çıxan intervallardan hansının “+” işarəsi, hansının isə “-” işarəsi olduğunu müəyyən etməlisiniz.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya intervallarda müsbət qiymət alır:

  • 1-dən 4-ə qədər;
  • 9-dan sonsuza qədər.

Mənfi məna:

  • mənfi sonsuzluqdan 1-ə qədər;
  • 4-dən 9-a qədər.

Bunu müəyyən etmək olduqca asandır. Funksiyaya intervaldan istənilən ədədi əvəz edin və cavabın hansı işarəyə (mənfi və ya artı) malik olduğuna baxın.

Artan və azalan funksiya

Funksiyanı araşdırmaq və qurmaq üçün qrafikin harada artacağını (Oy oxu boyunca yuxarı qalxın) və harada düşəcəyini (y oxu boyunca aşağı sürün) bilməliyik.

Funksiya yalnız x dəyişəninin daha böyük dəyəri y-nin daha böyük dəyərinə uyğun gələrsə artır. Yəni x2 x1-dən, f(x2) isə f(x1)-dən böyükdür. Və biz azalan funksiya ilə tamamilə əks bir fenomen müşahidə edirik (x nə qədər çox olarsa, y o qədər azdır). Artım və azalma intervallarını müəyyən etmək üçün aşağıdakıları tapmaq lazımdır:

  • tərif sahəsi (bizdə artıq var);
  • törəmə (bizim halda: 1/3(3x^2-28x+49);
  • 1/3(3x^2-28x+49)=0 tənliyini həll edin.

Hesablamalardan sonra nəticəni alırıq:

Alırıq: funksiya mənfi sonsuzluqdan 7/3-ə və 7-dən sonsuza qədər olan intervallarda artır və 7/3-dən 7-ə qədər olan intervalda azalır.

İfrat

Tədqiq olunan y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) funksiya davamlıdır və x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün mövcuddur. Ekstremum nöqtəsi verilmiş funksiyanın maksimum və minimumunu göstərir. Bizim vəziyyətimizdə heç biri yoxdur, bu da tikinti işini çox asanlaşdırır. Əks halda, onları törəmə funksiyasından istifadə etməklə də tapmaq olar. Tapıldıqdan sonra onları diaqramda qeyd etməyi unutmayın.

Qabarıqlıq və qabarıqlıq

Biz y(x) funksiyasını daha da tədqiq etməyə davam edirik. İndi onu qabarıqlıq və konkavlik üçün yoxlamaq lazımdır. Bu anlayışların təriflərini başa düşmək olduqca çətindir, nümunələrdən istifadə edərək hər şeyi təhlil etmək daha yaxşıdır. Test üçün: funksiya azalmayan funksiyadırsa, qabarıqdır. Razılaşın, bu anlaşılmazdır!

İkinci dərəcəli funksiyanın törəməsini tapmalıyıq. Alırıq: y=1/3(6x-28). İndi sağ tərəfi sıfıra bərabərləşdirək və tənliyi həll edək. Cavab: x=14/3. Biz əyilmə nöqtəsini, yəni qrafikin qabarıqlıqdan konkavliyə və ya əksinə dəyişdiyi yeri tapdıq. Mənfi sonsuzluqdan 14/3-ə qədər olan intervalda funksiya qabarıq, 14/3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər isə konkav olur. Qrafikdəki əyilmə nöqtəsinin hamar və yumşaq olmasını, kəskin künclərin olmamasını da qeyd etmək çox vacibdir.

Əlavə nöqtələrin müəyyən edilməsi

Bizim vəzifəmiz araşdırmaq və funksiyanın qrafikini qurmaqdır. Biz tədqiqatı başa çatdırdıq, funksiyanın qrafikini qurmaq indi çətin deyil. Bir əyri və ya düz xəttin koordinat müstəvisində daha dəqiq və ətraflı reproduksiyası üçün bir neçə köməkçi nöqtə tapa bilərsiniz. Onları hesablamaq olduqca asandır. Məsələn, x=3 götürürük, yaranan tənliyi həll edirik və y=4-ü tapırıq. Və ya x=5, və y=-5 və s. Tikinti üçün lazım olan qədər əlavə xal götürə bilərsiniz. Onların ən azı 3-5-i tapılır.

Qrafikin çəkilməsi

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y funksiyasını araşdırmalı olduq. Hesablamalar zamanı bütün lazımi işarələr koordinat müstəvisində aparılmışdır. Yalnız bir qrafik qurmaq, yəni bütün nöqtələri birləşdirmək qalır. Nöqtələri birləşdirmək hamar və dəqiq olmalıdır, bu bacarıq məsələsidir - bir az təcrübə və cədvəliniz mükəmməl olacaq.

Təlimatlar

Funksiya sahəsini tapın. Məsələn, x = 0 nöqtəsi istisna olmaqla, sin(x) funksiyası -∞-dən +∞-a qədər olan bütün intervalda, 1/x funksiyası isə -∞-dən +∞-ə qədər müəyyən edilir.

Davamlılıq sahələrini və kəsilmə nöqtələrini müəyyənləşdirin. Tipik olaraq funksiya müəyyən edildiyi bölgədə davamlıdır. Davamsızlıqları aşkar etmək üçün arqumentin tərif dairəsi daxilində təcrid olunmuş nöqtələrə yaxınlaşması zamanı hesablamaq lazımdır. Məsələn, 1/x funksiyası x→0+ olduqda sonsuzluğa, x→0- olduqda isə mənfi sonsuzluğa meyl edir. Bu o deməkdir ki, x = 0 nöqtəsində ikinci növ fasiləsizliyə malikdir.
Əgər kəsilmə nöqtəsindəki məhdudiyyətlər sonludur, lakin bərabər deyilsə, bu, birinci növ fasiləsizlikdir. Əgər onlar bərabərdirsə, onda funksiya təcrid olunmuş nöqtədə müəyyən edilməsə də, fasiləsiz hesab olunur.

Əgər varsa, şaquli asimptotları tapın. Əvvəlki addımdakı hesablamalar burada sizə kömək edəcək, çünki şaquli asimptot demək olar ki, həmişə ikinci növ kəsilmə nöqtəsində yerləşir. Bununla belə, bəzən tərif sahəsindən ayrı-ayrı nöqtələr deyil, nöqtələrin bütün intervalları çıxarılır və sonra şaquli asimptotlar bu intervalların kənarlarında yerləşə bilər.

Funksiyanın xüsusi xassələrə malik olub olmadığını yoxlayın: cüt, tək və dövri.
Funksiya hətta f(x) = f(-x) sahəsində istənilən x üçün belə olacaqdır. Məsələn, cos(x) və x^2 cüt funksiyalardır.

Dövrilik hər hansı x f(x) = f(x + T) üçün dövr adlanan müəyyən T ədədinin olduğunu bildirən xüsusiyyətdir. Məsələn, bütün əsas triqonometrik funksiyalar (sinus, kosinus, tangens) dövri xarakter daşıyır.

Nöqtələri tapın. Bunu etmək üçün, verilmiş funksiyanın törəməsini hesablayın və sıfıra çevrildiyi yerdə x-in qiymətlərini tapın. Məsələn, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 funksiyasının g(x) = 3x^2 + 18x törəməsi var, o, x = 0 və x = -6 olduqda yox olur.

Hansı ekstremum nöqtələrinin maksimum, hansının isə minimum olduğunu müəyyən etmək üçün tapılmış sıfırlarda törəmənin işarələrinin dəyişməsini izləyin. g(x) x = -6 nöqtəsində artıdan işarəni, x = 0 nöqtəsində isə mənfidən artıya geriyə dəyişir. Deməli, f(x) funksiyası birinci nöqtədə minimuma, ikinci nöqtədə isə minimuma malikdir.

Beləliklə, monotonluq bölgələrini də tapdınız: f(x) -∞;-6 intervalında monoton şəkildə artır, -6;0-da monoton şəkildə azalır və 0;+∞-də yenidən artır.

İkinci törəməni tapın. Onun kökləri verilmiş funksiyanın qrafikinin harada qabarıq, harada isə konkav olacağını göstərəcək. Məsələn, f(x) funksiyasının ikinci törəməsi h(x) = 6x + 18 olacaqdır. O, x = -3-də sıfıra enir, işarəni mənfidən artıya dəyişir. Deməli, f(x)-in bu nöqtədən əvvəlki qrafiki qabarıq, ondan sonra isə konkav, bu nöqtənin özü isə əyilmə nöqtəsi olacaqdır.

Funksiya şaquli olanlardan başqa digər asimptotlara da malik ola bilər, ancaq onun təyinetmə sahəsinə . Onları tapmaq üçün x→∞ və ya x→-∞ olduqda f(x) limitini hesablayın. Əgər sonludursa, onda siz üfüqi asimptot tapmısınız.

Maye asimptot kx + b formasının düz xəttidir. k tapmaq üçün f(x)/x limitini x→∞ kimi hesablayın. Eyni x→∞ üçün b - limitini (f(x) – kx) tapmaq üçün.

Tam araşdırma aparın və funksiyanın qrafikini çəkin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funksiyanın əhatə dairəsi. Funksiya kəsr olduğundan məxrəcin sıfırlarını tapmalıyıq.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Yeganə x=1x=1 nöqtəsini funksiyanın təyinetmə sahəsindən çıxarırıq və alırıq:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Kesiklik nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını öyrənək. Gəlin birtərəfli məhdudiyyətlər tapaq:

Sərhədlər sonsuzluğa bərabər olduğundan x=1x=1 nöqtəsi ikinci növ kəsikdir, x=1x=1 düz xətti şaquli asimptotdur.

3) Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edək.

X=0x=0 bərabərləşdirdiyimiz OyOy ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Beləliklə, OyOy oxu ilə kəsişmə nöqtəsi (0;8)(0;8) koordinatlarına malikdir.

y=0y=0 təyin etdiyimiz OxOx absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də OxOx oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Nəzərə alın ki, istənilən xx üçün x2+8>0x2+8>0. Buna görə də x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) üçün y>0y>0 funksiyası (müsbət qiymətlər alır, qrafik x oxundan yuxarıdır), x∈(1;+∞) üçün )x∈(1; +∞) y funksiyası<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksiya nə cüt, nə də tək deyil, çünki:

5) Gəlin funksiyanı dövriliyə görə yoxlayaq. Bu funksiya kəsr rasional funksiya olduğu üçün dövri deyil.

6) Funksiyanı ekstremal və monotonluq üçün araşdıraq. Bunun üçün funksiyanın birinci törəməsini tapırıq:

Birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirək və stasionar nöqtələri tapaq (burada y′=0y′=0):

Üç kritik nöqtə əldə etdik: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Gəlin, funksiyanın bütün tərif sahəsini bu nöqtələrlə intervallara bölək və hər intervalda törəmənin əlamətlərini təyin edək:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) üçün y′ törəməsi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 törəməsi üçün funksiya bu intervallarda artır.

Bu halda x=−2x=−2 lokal minimum nöqtədir (funksiya azalır və sonra artır), x=4x=4 lokal maksimum nöqtədir (funksiya artır və sonra azalır).

Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini tapaq:

Beləliklə, minimum nöqtə (−2;4)(−2;4), maksimum nöqtə (4;−8)(4;−8).

7) Gəlin əyilmə və qabarıqlıq funksiyasını araşdıraq. Funksiyanın ikinci törəməsini tapaq:

İkinci törəməni sıfıra bərabərləşdirək:

Yaranan tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də əyilmə nöqtələri yoxdur. Üstəlik, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ödənildikdə, yəni funksiya konkav olur, x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ ilə təmin edilir<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Funksiyanın sonsuzluqda, yəni -də davranışını araşdıraq.

Sərhədlər sonsuz olduğundan, üfüqi asimptotlar yoxdur.

y=kx+by=kx+b formasının əyri asimptotlarını təyin etməyə çalışaq. Məlum düsturlardan istifadə edərək k,bk,b dəyərlərini hesablayırıq:


Biz tapdıq ki, funksiyanın bir əyri asimptot y=−x−1y=−x−1 var.

9) Əlavə nöqtələr. Qrafiki daha dəqiq qurmaq üçün bəzi digər nöqtələrdə funksiyanın qiymətini hesablayaq.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Alınan məlumatlara əsasən, qrafik quracağıq, onu x=1x=1 (mavi), y=−x−1y=−x−1 (yaşıl) asimptotlarla tamamlayacağıq və xarakterik nöqtələri (ordinata ilə bənövşəyi kəsişmə) qeyd edəcəyik. ox, narıncı ekstremal, qara əlavə nöqtələr):

Tapşırıq 4: Həndəsi, İqtisadi problemlər (nə olduğunu bilmirəm, burada həlli və düsturları olan problemlərin təxmini seçimi var)

Misal 3.23. a

Həll. x Və y y
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S " > 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Misal 3.24.

Həll.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Misal 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyasının ekstremumunu tapın.

Həll. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3) olduğundan x 1 = 2 və x 2 = 3 funksiyasının kritik nöqtələri. Ekstrema yalnız burada ola bilər. bu nöqtələr x 1 = 2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəsini artıdan mənfiyə dəyişdirdiyi kimi, bu nöqtədə x 2 = 3 nöqtəsindən keçəndə törəmə işarəsini mənfidən dəyişir üstəgəl, buna görə də x 2 = 3 nöqtəsində funksiya dəyərlərini hesabladıqdan sonra funksiya minimuma malikdir
x 1 = 2 və x 2 = 3 olduqda, funksiyanın ekstremumunu tapırıq: maksimum f(2) = 14 və minimum f(3) = 13.

Misal 3.23. Daş divarın yanında düzbucaqlı sahə tikmək lazımdır ki, o, üç tərəfdən məftillə hasarlansın, dördüncü tərəfi isə divara bitişik olsun. Bunun üçün var a xətti metr mesh. Sayt hansı aspekt nisbətində ən böyük sahəyə sahib olacaq?

Həll. Platformanın tərəflərini ilə işarə edək x Və y. Saytın sahəsi S = xy-dir. Qoy y- bu divara bitişik tərəfin uzunluğudur. Sonra şərtə görə 2x + y = a bərabərliyi olmalıdır. Buna görə də y = a - 2x və S = x(a - 2x), burada
0 ≤ x ≤ a/2 (padin uzunluğu və eni mənfi ola bilməz). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, haradandır
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S " > 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Misal 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 tutumu olan qapalı silindrik çənin istehsalı tələb olunur. Tankın ölçüləri (radius R və hündürlüyü H) hansı olmalıdır ki, onun istehsalı üçün ən az miqdarda material istifadə olunsun?

Həll. Silindrlərin ümumi səth sahəsi S = 2pR(R+H) təşkil edir. Biz silindrin həcmini bilirik V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Bu S(R) = 2p(R 2 +16/R) deməkdir. Bu funksiyanın törəməsini tapırıq:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). R 3 = 8 üçün S " (R) = 0, buna görə də,
R = 2, H = 16/4 = 4.


Əlaqədar məlumat.