Η συνάρτηση θα είναι περιοδική; Πώς να προσδιορίσετε την περιοδικότητα μιας συνάρτησης
Παράρτημα Νο. 7
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα
Γυμνάσιο Νο 3
Δάσκαλος
Κορότκοβα
Asya Edikovna
Κουργκανίνσκ
2008
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Εισαγωγή……………………………………………………………… 2-3
Περιοδικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους……………. 4-6
Προβλήματα…………………………………………………………………… 7-14
Εισαγωγή
Ας σημειώσουμε ότι τα προβλήματα περιοδικότητας στην εκπαιδευτική και μεθοδολογική βιβλιογραφία δεν έχουν εύκολη μοίρα. Αυτό εξηγείται από μια περίεργη παράδοση να επιτρέπεται κάποια αμέλεια στον καθορισμό περιοδικών συναρτήσεων, που οδηγούν σε αμφιλεγόμενες αποφάσεις και προκαλούν επεισόδια στις εξετάσεις.
Για παράδειγμα, στο βιβλίο «Επεξηγητικό Λεξικό Μαθηματικών Όρων» - M, 1965, δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: «μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση
y = f(x), για τον οποίο υπάρχει ένας αριθμός t > 0, ο οποίος για όλα τα x και x+t από το πεδίο ορισμού f(x + t) = f(x).
Ας δώσουμε ένα αντί-παράδειγμα που δείχνει την ανακρίβεια αυτού του ορισμού. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η συνάρτηση θα είναι περιοδική με περίοδο t = 2π
σ(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 με περιορισμένο πεδίο ορισμού, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη γενικά αποδεκτή άποψη για τις περιοδικές συναρτήσεις.
Πολλά από τα νεότερα εναλλακτικά σχολικά εγχειρίδια αντιμετωπίζουν παρόμοια προβλήματα.
Στο εγχειρίδιο του A.N. Kolmogorov δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: «Μιλώντας για την περιοδικότητα μιας συνάρτησης f, πιστεύεται ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός T ≠ 0 ώστε το πεδίο ορισμού D (f), μαζί με κάθε σημείο x, περιέχει επίσης σημεία που λαμβάνονται από το x με παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα Ox (δεξιά και αριστερά) σε απόσταση T. Η συνάρτηση f ονομάζεταιπεριοδικός με περίοδο T ≠ 0, εάν για οποιοδήποτε πεδίο ορισμού οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία x, x – T, x + T είναι ίσες, δηλ. f (x + T) = f (x) = f (x – T).» Περαιτέρω στο σχολικό βιβλίο γράφει: «Επειδή το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και το Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x για οποιοδήποτε x, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι η περίοδος μιας συνάρτησης με περίοδο 2π."
Σε αυτό το παράδειγμα, για κάποιο λόγο, δεν ελέγχεται η απαιτούμενη συνθήκη στον ορισμό:
Sin (x – 2π) = Sin x. Τι συμβαίνει? Το γεγονός είναι ότι αυτή η συνθήκη στον ορισμό είναι περιττή. Πράγματι, αν T > 0 είναι η περίοδος της συνάρτησης f(x), τότε το T θα είναι και η περίοδος αυτής της συνάρτησης.
Θα ήθελα να δώσω έναν ακόμη ορισμό από το εγχειρίδιο του M.I. Bashmakov «Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης τάξεις 10-11». «Η συνάρτηση y = f(x) ονομάζεται περιοδική αν υπάρχει ένας αριθμός T ≠ 0 τέτοιος ώστε η ισότητα
f (x + T) = f (x) ισχύει πανομοιότυπα για όλες τις τιμές του x."
Ο παραπάνω ορισμός δεν λέει τίποτα για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αν και σημαίνει x στο πεδίο ορισμού, όχι οποιοδήποτε πραγματικό x. Με αυτόν τον ορισμό, η συνάρτηση y = Sin (√x) μπορεί να είναι περιοδική 2 , ορίζεται μόνο για x ≥ 0, το οποίο είναι λάθος.
Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση υπάρχουν εργασίες για περιοδικότητα. Σε ένα επιστημονικό περιοδικό, ως εκπαιδευτικό σεμινάριο για το τμήμα Γ της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, δόθηκε μια λύση στο πρόβλημα: «είναι η συνάρτηση y (x) = Sin 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) περιοδικό;»
Η λύση δείχνει ότι y (x – π) = y (x) στην απάντηση υπάρχει μια επιπλέον εγγραφή
«T = π» (εξάλλου δεν τίθεται το ζήτημα της εύρεσης της μικρότερης θετικής περιόδου). Είναι πραγματικά απαραίτητο να πραγματοποιηθεί σύνθετη τριγωνομετρική εκπαίδευση για την επίλυση αυτού του προβλήματος; Άλλωστε, εδώ μπορείτε να εστιάσετε στην έννοια της περιοδικότητας, ως βασική στην κατάσταση του προβλήματος.
Λύση.
στ 1 (x) = Sin x – περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = 2π
στ 2 (x) = Cos x είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T = 2π, τότε 2π είναι η περίοδος για τις συναρτήσεις f 3 (x) = Sin (2 + x) και f 4 (x) = Cos (2 + x), (αυτό προκύπτει από τον ορισμό της περιοδικότητας)
στ 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, η περίοδός του είναι οποιοσδήποτε αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του 2π.
Επειδή το άθροισμα και το γινόμενο των περιοδικών συναρτήσεων με κοινή περίοδο Τ είναι επίσης Τ-περιοδικό, τότε αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική.
Ελπίζω ότι το υλικό που παρουσιάζεται σε αυτήν την εργασία θα βοηθήσει στην προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στην επίλυση προβλημάτων περιοδικότητας.
Περιοδικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους
Ορισμός: μια συνάρτηση f(t) ονομάζεται περιοδική εάν για οποιοδήποτε t από το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης Dφά υπάρχει ένας αριθμός ω ≠ 0 τέτοιος ώστε:
1) αριθμοί (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Αν ο αριθμός ω = περίοδος της συνάρτησης f (t), τότε ο αριθμός kω, όπου k = ±1, ±2, ±3, ... είναι επίσης περίοδοι της συνάρτησης f(t).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ f (t) = Sin t. Ο αριθμός T = 2π είναι η μικρότερη θετική περίοδος αυτής της συνάρτησης. Αφήστε τον Τ 1 = 4π. Ας δείξουμε ότι ο Τ 1 είναι και η περίοδος αυτής της λειτουργίας.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Τ 1 λοιπόν – περίοδος της συνάρτησης f (t) = Sin t.
2. Αν η συνάρτηση f(t) – ω είναι περιοδική συνάρτηση, τότε περιοδικές είναι και οι συναρτήσεις f (аt), όπου α є R, και f (t + с), όπου το σ είναι αυθαίρετη σταθερά.
Ας βρούμε την περίοδο της συνάρτησης f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), δηλ. f (аt) = f (α(t + ω/α).
Επομένως, η περίοδος της συνάρτησης f(аt) – ω 1 = ω/α.
Παράδειγμα 1. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης y = Sin t/2.
Παράδειγμα 2. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης y = Sin (t + π/3).
Έστω f(t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + π/3).
Τότε η συνάρτηση f(t) = Sin t θα πάρει την ίδια τιμή 0 σε t = t 0 + π/3.
Εκείνοι. όλες οι τιμές που παίρνει η συνάρτηση y λαμβάνονται επίσης από τη συνάρτηση f(t). Αν το t ερμηνεύεται ως χρόνος, τότε κάθε τιμή του y 0 συνάρτηση y = Sin (t + π/3) γίνεται αποδεκτή π/3 χρονικές μονάδες νωρίτερα από τη συνάρτηση f(t) που «μετατοπίστηκε» προς τα αριστερά κατά π/3. Προφανώς, η περίοδος της συνάρτησης δεν θα αλλάξει λόγω αυτού, δηλ. Τ y = T 1.
3. Αν η F(x) είναι κάποια συνάρτηση, και η f(t) είναι μια περιοδική συνάρτηση, και τέτοια ώστε η f(t) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(x) – Dφά , τότε η συνάρτηση F(f (t)) είναι περιοδική συνάρτηση.
Έστω F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) για οποιοδήποτε t є Dφά.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εξετάστε τη συνάρτηση για περιοδικότητα: F(x) = ℓ sinx.
Τομέας αυτής της συνάρτησης Δφά συμπίπτει με το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. f (x) = Sin x.
Το σύνολο τιμών για αυτή τη συνάρτηση είναι [-1; 1]. Επειδή τμήμα [-1; 1] ανήκει στο Δφά , τότε η συνάρτηση F(x) είναι περιοδική.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – περίοδος αυτής της συνάρτησης.
4. Αν οι συναρτήσεις f 1 (t) και f 2 (t) περιοδικό, αντίστοιχα, με τελείες ω 1 και ω 2 και ω 1 /ω 2 = r, όπου r είναι ρητός αριθμός, τότε οι συναρτήσεις
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) και f 1 (t) f 2 (t) είναι περιοδικές (Γ 1 και C 2 είναι σταθερές).
Σημείωση: 1) Αν r = ω 1 /ω 2 = p/q, επειδή Ο r είναι ένας ρητός αριθμός, λοιπόν
ω 1 q = ω 2 p = ω, όπου το ω είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του ω 1 και ω 2 (NOC).
Θεωρήστε τη συνάρτηση C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Πράγματι, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - περίοδος αυτής της λειτουργίας
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – περίοδος συνάρτησης f 1 (t) f 2 (t), επειδή
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Ορισμός: Έστω f 1 Τα (t) και f (t) είναι περιοδικές συναρτήσεις με τελείες ω, αντίστοιχα 1 και ω 2 , τότε δύο περίοδοι λέγονται ανάλογες ανω 1 /ω 2 = Το r είναι ρητός αριθμός.
3) Αν οι περίοδοι ω 1 και ω 2 δεν είναι συγκρίσιμες, τότε οι συναρτήσεις f 1 (t) + f 2 (t) και
f 1 (t) f 2 (t) δεν είναι περιοδικές. Δηλαδή αν στ 1 (t) και f 2 (t) είναι διαφορετικά από ένα σταθερό, περιοδικό, συνεχές, οι περίοδοι τους δεν είναι ανάλογες, τότε f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) δεν είναι περιοδικές.
4) Έστω f(t) = C, όπου C είναι αυθαίρετη σταθερά. Αυτή η λειτουργία είναι περιοδική. Η περίοδός του είναι οποιοσδήποτε ρητός αριθμός, που σημαίνει ότι δεν έχει τη μικρότερη θετική περίοδο.
5) Η δήλωση ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό συναρτήσεων.
Παράδειγμα 1. Διερευνήστε την περιοδικότητα της συνάρτησης
F(x) = Sin x + Cos x.
Λύση. Έστω f 1 (x) = Sin x, τότε ω 1 = 2πk, όπου k є Z.
Τ 1 = 2π – η μικρότερη θετική περίοδος.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Αναλογία T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – ρητός αριθμός, δηλ. περίοδοι συναρτήσεων στ 1 (x) και f 2 (x) είναι ανάλογες. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική. Ας βρούμε την περίοδο του. Εξ ορισμού περιοδικής συνάρτησης έχουμε
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, επομένως,
Sin Т/2 = 0, μετά Τ = 2πk.
Επειδή (х ± 2πk) є D f , όπου f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), τότε η συνάρτηση f(x) είναι περιοδική με τη μικρότερη θετική περίοδο 2π.
Παράδειγμα 2. Είναι η συνάρτηση f(x) = Cos 2x · Sin x περιοδική, ποια είναι η περίοδος της;
Λύση. Έστω f 1 (x) = Cos 2x, τότε T 1 = 2π: 2 = π (βλ. 2)
Έστω f 2 (x) = Sin x, μετά T 2 = 2π. Επειδή Το π/2π = ½ είναι ρητός αριθμός, τότε αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική. Η περίοδος του T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Άρα, αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π.
5. Έστω συνεχής και περιοδική η συνάρτηση f(t), που δεν είναι ταυτόσημη με σταθερά, τότε έχει τη μικρότερη θετική περίοδο ω. 0 , οποιαδήποτε άλλη περίοδος του ω του έχει τη μορφή: ω= kω 0, όπου k є Z.
Σημείωση: 1) Δύο προϋποθέσεις είναι πολύ σημαντικές σε αυτήν την ιδιοκτησία:
Η f(t) είναι συνεχής, f(t) ≠ C, όπου C είναι σταθερά.
2) Η αντίθετη πρόταση δεν ισχύει. Δηλαδή, αν όλες οι περίοδοι είναι συγκρίσιμες, τότε δεν συνεπάγεται ότι υπάρχει η μικρότερη θετική περίοδος. Εκείνοι. μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να μην έχει τη μικρότερη θετική περίοδο.
Παράδειγμα 1. f(t) = C, περιοδικό. Η περίοδός του είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός· δεν υπάρχει μικρότερη περίοδος.
Παράδειγμα 2. Συνάρτηση Dirichlet:
D(x) =
Κάθε ρητός αριθμός είναι η περίοδός του· δεν υπάρχει η μικρότερη θετική περίοδος.
6. Αν η f(t) είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση και το ω 0 είναι η μικρότερη θετική περίοδος του, τότε η συνάρτηση f(αt + β) έχει τη μικρότερη θετική περίοδο ω 0 //α/. Η δήλωση αυτή προκύπτει από την παράγραφο 2.
Παράδειγμα 1. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης y = Sin (2x – 5).
Λύση. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)).
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Sin x, πρώτα «συμπιέζοντας» δύο φορές και μετά «μετατοπίζοντας» προς τα δεξιά κατά 2,5. «Η μετατόπιση δεν επηρεάζει την περιοδικότητα, T = π είναι η περίοδος αυτής της συνάρτησης.
Είναι εύκολο να λάβετε την περίοδο αυτής της συνάρτησης χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του βήματος 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Αν η f(t) – ω είναι περιοδική συνάρτηση, και έχει συνεχή παράγωγο f"(t), τότε η f"(t) είναι επίσης περιοδική συνάρτηση, Τ = ω
Παράδειγμα 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Η παράγωγός του f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Παράδειγμα 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Το παράγωγό του
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.
Παράδειγμα 3. f(t) =tg t, η περίοδος του T = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 Το t είναι επίσης περιοδικό από την ιδιότητα του βήματος 7 και έχει περίοδο T = πk. Η μικρότερη θετική του περίοδος είναι Τ = π.
ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ.
№ 1
Είναι περιοδική η συνάρτηση f(t) = Sin t + Sin πt;
Λύση. Για σύγκριση, λύνουμε αυτό το πρόβλημα με δύο τρόπους.
Πρώτον, εξ ορισμού μιας περιοδικής συνάρτησης. Ας υποθέσουμε ότι η f(t) είναι περιοδική, τότε για οποιοδήποτε t є Dστ έχουμε:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Επειδή αυτό ισχύει για κάθε t є Dφά , τότε ιδίως για τ 0 , στο οποίο η αριστερή πλευρά της τελευταίας ισότητας γίνεται μηδέν.
Τότε έχουμε: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Ας επιλύσουμε σε σχέση με το T.
Sin Т/2 = 0 στο Т = 2 πk, όπου k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Ας επιλύσουμε σε σχέση με το T.
Sin πΤ/2 = 0, τότε Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, όπου n є Z.
Επειδή έχουμε ταυτότητα, τότε 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, που δεν μπορεί να είναι, γιατί Το π είναι ένας άρρητος αριθμός και το n/k είναι ένας ρητός αριθμός. Δηλαδή, η υπόθεση μας ότι η συνάρτηση f(t) είναι περιοδική ήταν λανθασμένη.
Δεύτερον, η λύση είναι πολύ πιο απλή εάν χρησιμοποιήσετε τις παραπάνω ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων:
Έστω f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Στη συνέχεια, T 1 / T 2 = 2π/2 = το π είναι παράλογος αριθμός, δηλ. περιόδους Τ 1, Τ 2 δεν είναι ανάλογες, που σημαίνει ότι η f(t) δεν είναι περιοδική.
Απάντηση: όχι.
№ 2
Δείξτε ότι αν ο α είναι άρρητος αριθμός, τότε η συνάρτηση
F(t) = Cos t + Cos αt
δεν είναι περιοδική.
Λύση. Έστω f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Τότε οι περίοδοι τους είναι αντίστοιχα Τ 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - οι μικρότερες θετικές περίοδοι. Ας βρούμε, Τ 1 /Τ 2 = 2π/α//2π = /α/ είναι άρρητος αριθμός. Έτσι ο Τ 1 και Τ 2 είναι ασύγκριτα, και η συνάρτηση
Η f(t) δεν είναι περιοδική.
№ 3
Να βρείτε τη μικρότερη θετική περίοδο της συνάρτησης f(t) = Sin 5t.
Λύση. Σύμφωνα με το ακίνητο 2 έχουμε:
f(t) – περιοδική; Τ = 2π/5.
Απάντηση: 2π/5.
№ 4
Είναι η συνάρτηση F(x) = arccos x + arcsin x περιοδική;
Λύση. Ας εξετάσουμε αυτή τη λειτουργία
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
εκείνοι. Η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση (βλ. ιδιότητα της παραγράφου 5, παράδειγμα 1.).
Απάντηση: ναι.
№ 5
Είναι η συνάρτηση περιοδική;
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5;
λύση. Έστω f 1 (x) = Sin 2x, τότε T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, τότε T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, ιδιαίτερα ο Τ 3 μπορούμε να υποθέσουμε ίσο με Τ 1 ή Τ 2 . Τότε η περίοδος αυτής της συνάρτησης T = LCM (π, π/2) = π. Δηλαδή, η f(x) είναι περιοδική με περίοδο T = π.
Απάντηση: ναι.
№ 6
Είναι η συνάρτηση f(x) = x – E(x) περιοδική, όπου η E(x) είναι μια συνάρτηση που εκχωρεί το όρισμα x στον μικρότερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον δεδομένο.
Λύση. Συχνά η συνάρτηση f(x) συμβολίζεται με (x) – το κλασματικό μέρος του αριθμού x, δηλ.
F(x) = (x) = x – E(x).
Έστω η f(x) περιοδική συνάρτηση, δηλ. υπάρχει ένας αριθμός T > 0 τέτοιος ώστε x – E(x) = x + T – E(x + T). Ας γράψουμε αυτή την ισότητα
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – αληθεύει για οποιοδήποτε x από τον τομέα Dφά, με την προϋπόθεση ότι T ≠ 0 και T є Z. Το μικρότερο θετικό από αυτά είναι T = 1, δηλ. T =1 τέτοιο ώστε
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Επιπλέον, (x ± Tk) є D f, όπου k є Z.
Απάντηση: αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική.
№ 7
Είναι η συνάρτηση f(x) = Sin x περιοδική; 2 .
Λύση. Ας υποθέσουμε ότι f(x) = Sin x 2 περιοδική λειτουργία. Τότε, με τον ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης, υπάρχει ένας αριθμός T ≠ 0 τέτοιος ώστε: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 για οποιοδήποτε x є D f.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, τότε
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 ή Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0.
Εξετάστε την πρώτη εξίσωση:
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:
Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
T = √x 2 - 2πk – x. (2)
Από τις εκφράσεις (1) και (2) είναι σαφές ότι οι τιμές που βρέθηκαν του T εξαρτώνται από το x, δηλ. δεν υπάρχει Τ>0 τέτοιο ώστε
Sin x 2 = Sin (x+T) 2
Για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης. Η f(x) δεν είναι περιοδική.
Απάντηση: όχι
№ 8
Εξετάστε τη συνάρτηση f(x) = Cos για περιοδικότητα 2 x.
Λύση. Ας αναπαραστήσουμε την f(x) χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Έστω f 1 (x) = ½, τότε T 1 – μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. φά 2 (x) = ½ Cos 2x είναι μια περιοδική συνάρτηση, επειδή γινόμενο δύο περιοδικών συναρτήσεων που έχουν κοινή περίοδο Τ 2 = π. Τότε η μικρότερη θετική περίοδος αυτής της συνάρτησης
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Άρα, συνάρτηση f(x) = Cos 2 x – π – περιοδική.
Απάντηση: Το π είναι περιοδικό.
№ 9
Μπορεί το πεδίο ορισμού μιας περιοδικής συνάρτησης να είναι:
Α) ημιγραμμή [a, ∞),
Β) τμήμα;
Λύση. Οχι επειδή
Α) εξ ορισμού μιας περιοδικής συνάρτησης, αν x є D f, τότε και x ± ω
Πρέπει να ανήκει στον τομέα της συνάρτησης. Έστω x = a, λοιπόν
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
Β) έστω x = 1, μετά x 1 = (1 + Τ) є .
№ 10
Μπορεί μια περιοδική συνάρτηση να είναι:
Α) αυστηρά μονότονο.
Β) ακόμη και
Γ) ούτε καν;
Λύση. α) Έστω η f(x) περιοδική συνάρτηση, δηλ. υπάρχει Т≠0 τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων Dστ γιατί
(x ±T) є D f και f (x±T) = f(x).
Ας διορθώσουμε οποιοδήποτε x 0 є D f , επειδή Η f(x) είναι περιοδική, τότε (x 0 +T) є D f και f(x 0) = f(x 0 +T).
Ας υποθέσουμε ότι η f(x) είναι αυστηρά μονότονη και σε ολόκληρο τον τομέα του ορισμού Dφά , για παράδειγμα, αυξάνεται. Στη συνέχεια, εξ ορισμού μιας αύξουσας συνάρτησης για οποιοδήποτε x 1 και x 2 από το πεδίο ορισμού Δφά από την ανισότητα x 1 2 προκύπτει ότι f(x 1) 2 ). Ειδικότερα, από τη συνθήκη x 0 0 + T, προκύπτει ότι
F(x 0) 0 +T), το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση.
Αυτό σημαίνει ότι μια περιοδική συνάρτηση δεν μπορεί να είναι αυστηρά μονότονη.
β) Ναι, μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια. Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση.
0 αν το x είναι ρητός αριθμός.
D(x) =
1 αν το x είναι άρρητος αριθμός.
D(x) = D(-x), το πεδίο ορισμού της συνάρτησης D(x) είναι συμμετρικό.
Η συνάρτηση Direchlet D(x) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Αυτή η λειτουργία δεν είναι ομοιόμορφη.
γ) Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να είναι περιττή.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
Η f(x) είναι μια περιττή περιοδική συνάρτηση.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – περιττό και περιοδικό.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
Η f(x) δεν είναι περιττή.
f(x) = tan x – περιττή περιοδική συνάρτηση.
Απάντηση: όχι? Ναί; Ναί.
№ 11
Πόσα μηδενικά μπορεί να έχει μια περιοδική συνάρτηση σε:
1) ; 2) σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, αν η περίοδος της συνάρτησης είναι ίση με T;
Λύση: 1. α) Στο τμήμα [a, b], μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να μην έχει μηδενικά, για παράδειγμα, f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.
β) Στο διάστημα [a, b], μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να έχει άπειρο αριθμό μηδενικών, για παράδειγμα, η συνάρτηση Direchlet
0 αν το x είναι ρητός αριθμός,
D(x) =
1 αν το x είναι άρρητος αριθμός.
γ) Στο διάστημα [a, b], μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να έχει πεπερασμένο αριθμό μηδενικών. Ας βρούμε αυτόν τον αριθμό.
Έστω T η περίοδος της συνάρτησης. Ας υποδηλώσουμε
Χ 0 = (min x є(a,b), έτσι ώστε f(x) = 0).
Τότε ο αριθμός των μηδενικών στο τμήμα [a, b]: N = 1 + E (c-x 0 /Τ).
Παράδειγμα 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – περιοδική συνάρτηση με περίοδο T = π; Χ 0 = -π/2; τότε ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Παράδειγμα 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – περιοδική συνάρτηση, T + 1,
x 0 = -2. Τότε ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Παράδειγμα 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], Τ 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Τότε ο αριθμός των μηδενικών αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. α) Ένας άπειρος αριθμός μηδενικών, γιατί Χ 0 є D f και f(x 0 ) = 0, μετά για όλους τους αριθμούς
Х 0 +Тk, όπου k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, και σημεία της μορφής x 0 ± Tk είναι ένα άπειρο σύνολο.
β) δεν έχουν μηδενικά. αν η f(x) είναι περιοδική και για οποιαδήποτε
x є D f συνάρτηση f(x) >0 ή f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Μπορεί το άθροισμα των μη περιοδικών συναρτήσεων να είναι περιοδικό;
Λύση. Ναι ίσως. Για παράδειγμα:
- στ 1 (x) = x – μη περιοδική, f 2 (x) = E(x) – μη περιοδική
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – περιοδικό.
- στ 1 (x) = x – μη περιοδική, f(x) = Sin x + x – μη περιοδική
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – περιοδικό.
Απάντηση: ναι.
№ 13
Η συνάρτηση f(x) και φ(x) είναι περιοδικές με περιόδους T 1 και Τ 2 αντίστοιχα. Είναι το προϊόν τους πάντα περιοδική συνάρτηση;
Λύση. Όχι, μόνο όταν ο Τ 1 και Τ 2 – είναι ανάλογες. Για παράδειγμα,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; μετά T 1 / T 2 = 2π/2 = το π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι η f(x) δεν είναι περιοδική.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Έστω f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, που σημαίνει ότι η f(x) δεν είναι περιοδική.
Απάντηση: Όχι.
Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα
Ποιες από τις συναρτήσεις είναι περιοδικές, βρείτε την περίοδο;
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, αν n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Έστω f(x) – T περιοδική συνάρτηση. Ποιες από τις συναρτήσεις είναι περιοδικές (βρες το Τ);
- φ(x) = f(x + λ) – περιοδικό, γιατί η "μετατόπιση" κατά μήκος του άξονα Ox δεν επηρεάζει το ω. η περίοδος του ω = Τ.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – περιοδική συνάρτηση με περίοδο ω = T.
- φ(х) = f(kh) – περιοδική συνάρτηση με περίοδο ω = Т/k.
- Το φ(x) = f(ax + b) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο ω = T/a.
- Το φ(x) = f(√x) δεν είναι περιοδικό, γιατί τομέας ορισμού του Δφ = (x/x ≥ 0), και μια περιοδική συνάρτηση δεν μπορεί να έχει πεδίο οριζόμενο από ημιάξονα.
- Το φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) είναι περιοδική συνάρτηση, επειδή
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = a f 2 (x) + σε f(x) + c.
Έστω φ 1 (x) = a f 2 (χ) – περιοδικός, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = σε f(x) – περιοδικό, ω 2 = Τ/Τ = Τ;
φ 3 (x) = σ – περιοδικός, ω 3 - οποιοσδήποτε αριθμός.
τότε το ω = LCM(T/2; T) = T, το φ(x) είναι περιοδικό.
Διαφορετικά, επειδή ο τομέας ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή και μετά το σύνολο τιμών της συνάρτησης f – E f є D φ , που σημαίνει τη συνάρτηση
Το φ(x) είναι περιοδικό και το ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – περιοδική με περίοδο ω = T, γιατί για οποιοδήποτε x, η συνάρτηση f(x) παίρνει τις τιμές f(x) ≥ 0, δηλ. το σύνολο των τιμών του Ε f є D φ , όπου
Dφ – πεδίο ορισμού της συνάρτησης φ(z) = √z.
№ 15
Είναι η συνάρτηση f(x) = x 2 περιοδικά;
Λύση. Θεωρήστε x ≥ 0, τότε για την f(x) υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση √x, που σημαίνει ότι σε αυτό το διάστημα η f(x) είναι μια μονότονη συνάρτηση, τότε δεν μπορεί να είναι περιοδική (βλ. Αρ. 10).
№ 16
Δίνεται πολυώνυμο P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
Είναι το P(x) περιοδική συνάρτηση;
Λύση. 1. Αν η ταυτότητα είναι ίση με μια σταθερά, τότε το P(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση, δηλ. αν ένα i = 0, όπου i ≥ 1.
2. Έστω P(x) ≠ с, όπου σ είναι κάποια σταθερά. Ας υποθέσουμε ότι η P(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και έστω ότι η P(x) έχει πραγματικές ρίζες, τότε από τότε Το P(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση, τότε πρέπει να υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από αυτούς. Και σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, ο αριθμός τους k είναι τέτοιος ώστε k ≤ n. Αυτό σημαίνει ότι η P(x) δεν είναι περιοδική συνάρτηση.
3. Έστω P(x) ένα πανομοιότυπο μη μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ας πούμε ότι η P(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση. Ας εισάγουμε το πολυώνυμο q(x) = a 0 , το q(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση. Θεωρήστε τη διαφορά P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +a n x n.
Επειδή Στην αριστερή πλευρά της ισότητας υπάρχει μια περιοδική συνάρτηση, τότε η συνάρτηση στη δεξιά πλευρά είναι επίσης περιοδική και έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα, x = 0. Επειδή Εάν η συνάρτηση είναι περιοδική, τότε πρέπει να υπάρχει άπειρος αριθμός μηδενικών. Έχουμε μια αντίφαση.
Το P(x) δεν είναι περιοδική συνάρτηση.
№ 17
Δίνεται συνάρτηση f(t) – T – περιοδική. Είναι η συνάρτηση fέως (t), όπου
k є Z, μια περιοδική συνάρτηση, πώς σχετίζονται οι περίοδοι τους;
Λύση. Θα πραγματοποιήσουμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής συνάρτησης. Αφήνω
f 1 = f(t), μετά f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 είναι μια περιοδική συνάρτηση σύμφωνα με την ιδιότητα του βήματος 4.
………………………………………………………………………….
Έστω f k-1 = f k-1 (t) – η περιοδική συνάρτηση και η περίοδος Τκ-1 συγκρίσιμο με την περίοδο Τ. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με f(t), προκύπτει f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k Το (t) είναι μια περιοδική συνάρτηση σύμφωνα με την ιδιότητα του βήματος 4. ω ≤ Τ.
№ 18
Έστω f(x) μια αυθαίρετη συνάρτηση που ορίζεται στο .Είναι η συνάρτηση f((x)) περιοδική;
Απάντηση: ναι, γιατί το σύνολο των τιμών της συνάρτησης (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x), τότε από την ιδιότητα του στοιχείου 3 η f((x)) είναι μια περιοδική συνάρτηση, η περίοδος της ω = T = 1 .
№ 19
Η F(x) είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση που ορίζεται στο [-1; 1], η συνάρτηση f(sinx) είναι περιοδική;
Απάντηση: ναι, η περίοδός του είναι ω = Т = 2π (απόδειξη παρόμοια με το Νο 18).
Μελετώντας φυσικά φαινόμενα και λύνοντας τεχνικά προβλήματα, συναντάμε περιοδικές διεργασίες που μπορούν να περιγραφούν από συναρτήσεις ειδικού τύπου.
Μια συνάρτηση y = f(x) με πεδίο ορισμού D ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός T > 0 τέτοιος ώστε να πληρούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες:
1) τα σημεία x + T, x − T ανήκουν στο πεδίο ορισμού D για οποιοδήποτε x ∈ D;
2) για κάθε x από το D ισχύει η ακόλουθη σχέση:
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης f(x). Με άλλα λόγια, μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές επαναλαμβάνονται μετά από ένα ορισμένο διάστημα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = sin x είναι περιοδική (Εικ. 1) με περίοδο 2π.
Σημειώστε ότι εάν ο αριθμός T είναι η περίοδος της συνάρτησης f(x), τότε ο αριθμός 2T θα είναι επίσης η περίοδός της, καθώς και 3T, και 4T, κ.λπ., δηλαδή, μια περιοδική συνάρτηση έχει άπειρες διαφορετικές περιόδους. Αν ανάμεσά τους υπάρχει η μικρότερη (όχι ίση με μηδέν), τότε όλες οι άλλες περίοδοι της συνάρτησης είναι πολλαπλάσια αυτού του αριθμού. Σημειώστε ότι δεν έχει κάθε περιοδική συνάρτηση τόσο μικρότερη θετική περίοδο. για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=1 δεν έχει τέτοια περίοδο. Είναι επίσης σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι, για παράδειγμα, το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων που έχουν την ίδια μικρότερη θετική περίοδο T 0 δεν έχει απαραίτητα την ίδια θετική περίοδο. Έτσι, το άθροισμα των συναρτήσεων f(x) = sin x και g(x) = −sin x δεν έχει καθόλου τη μικρότερη θετική περίοδο και το άθροισμα των συναρτήσεων f(x) = sin x + sin 2x και g(x) = −sin x, του οποίου οι μικρότερες περίοδοι είναι ίσες με 2π, έχει τη μικρότερη θετική περίοδο ίση με π.
Εάν ο λόγος των περιόδων δύο συναρτήσεων f(x) και g(x) είναι ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα και το γινόμενο αυτών των συναρτήσεων θα είναι επίσης περιοδικές συναρτήσεις. Αν ο λόγος των περιόδων των παντού καθορισμένων και συνεχών συναρτήσεων f και g είναι ένας άρρητος αριθμός, τότε οι συναρτήσεις f + g και fg θα είναι ήδη μη περιοδικές συναρτήσεις. Έτσι, για παράδειγμα, οι συναρτήσεις cos x sin √2 x και cosj √2 x + sin x είναι μη περιοδικές, αν και οι συναρτήσεις sin x και cos x είναι περιοδικές με περίοδο 2π, οι συναρτήσεις sin √2 x και cos Τα √2 x είναι περιοδικά με περίοδο √2 π .
Σημειώστε ότι αν η f(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η μιγαδική συνάρτηση (αν, φυσικά, έχει νόημα) F(f(x)) είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση και ο αριθμός T θα χρησιμεύσει ως περίοδος. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις y = sin 2 x, y = √(cos x) (Εικ. 2.3) είναι περιοδικές συναρτήσεις (εδώ: F 1 (z) = z 2 και F 2 (z) = √z). Ωστόσο, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι εάν η συνάρτηση f(x) έχει τη μικρότερη θετική περίοδο T 0, τότε η συνάρτηση F(f(x)) θα έχει επίσης την ίδια μικρότερη θετική περίοδο. για παράδειγμα, η συνάρτηση y = sin 2 x έχει τη μικρότερη θετική περίοδο, 2 φορές μικρότερη από τη συνάρτηση f(x) = sin x (Εικ. 2).
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι εάν μια συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο T, ορίζεται και διαφοροποιείται σε κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας, τότε η συνάρτηση f"(x) (παράγωγος) είναι επίσης περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, αλλά η αντιπαράγωγος Η συνάρτηση F(x) (βλ. Ολοκληρωτικός λογισμός) για τη f(x) θα είναι περιοδική συνάρτηση μόνο αν
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Επανάληψη των τιμών του σε κάποιο κανονικό διάστημα ορίσματος, δηλαδή μη αλλαγή της τιμής του κατά την προσθήκη κάποιου σταθερού μη μηδενικού αριθμού στο όρισμα ( περίοδοςσυναρτήσεις) σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
Πιο τυπικά μιλώντας, η συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με τελεία T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), εάν για κάθε σημείο x (\displaystyle x)από το πεδίο ορισμού του σημείου x + T (\displaystyle x+T)Και x − T (\displaystyle x-T)ανήκουν επίσης στον τομέα ορισμού του, και γι' αυτούς ισχύει η ισότητα f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\style display f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Με βάση τον ορισμό, η ισότητα ισχύει και για μια περιοδική συνάρτηση f (x) = f (x + n T) (\style display f(x)=f(x+nT)), Οπου n (\displaystyle n)- οποιοδήποτε ακέραιο.
Ωστόσο, εάν ένα σύνολο περιόδων ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))υπάρχει μια μικρότερη τιμή, τότε καλείται κύρια (ή κύρια) περίοδοςλειτουργίες.
Παραδείγματα
Sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)
- Η συνάρτηση Dirichlet είναι περιοδική· η περίοδός της είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός ρητός αριθμός. Επίσης δεν έχει κύρια περίοδο.
Μερικά χαρακτηριστικά των περιοδικών συναρτήσεων
Και T 2 (\displaystyle T_(2))(ωστόσο, αυτός ο αριθμός θα είναι απλώς τελεία). Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = sin (2 x) − sin (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))η κύρια περίοδος είναι 2 π (\displaystyle 2\pi), στη λειτουργία g (x) = sin (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))η περίοδος είναι ίση με 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3)και το άθροισμά τους f (x) + g (x) = sin (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))η κύρια περίοδος είναι προφανώς ίση με π (\displaystyle \pi ).- Το άθροισμα δύο συναρτήσεων με ασύμμετρες περιόδους δεν είναι πάντα μη περιοδική συνάρτηση.
Σε κανονικές σχολικές εργασίες αποδεικνύουν περιοδικότηταμιας ή της άλλης συνάρτησης συνήθως δεν είναι δύσκολη: έτσι, για να βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ είναι περιοδική, αρκεί απλώς να σημειώσετε ότι το γινόμενο $T=4\times7\ φορές το 2\pi$ είναι η περίοδός του: αν προσθέσουμε τον αριθμό T στο x, τότε αυτό το γινόμενο θα "τρώει" και τους δύο παρονομαστές και κάτω από το ημιτονικό μόνο τα ακέραια πολλαπλάσια των $2\pi$ θα είναι περιττά, τα οποία θα είναι " φαγωμένος» από το ίδιο το ημίτονο.
Αλλά απόδειξη μη περιοδικότηταςμιας ή άλλης συνάρτησης άμεσα εξ ορισμού μπορεί να μην είναι καθόλου απλή. Έτσι, για να αποδείξετε τη μη περιοδικότητα της συνάρτησης $y=\sin x^2$ που εξετάστηκε παραπάνω, μπορείτε να γράψετε την ισότητα $sin(x+T)^2=\sin x^2$, αλλά να μην λύσετε αυτή την τριγωνομετρική εξίσωση από συνήθεια, αλλά μαντέψτε και αντικαταστήστε την σε αυτήν x=0, μετά από την οποία θα συμβούν σχεδόν αυτόματα τα εξής: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, όπου k είναι κάποιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 0, δηλ. $T=\sqrt (k\pi)$, και αν τώρα υποθέσουμε ότι θα αντικαταστήσουμε το $x=\sqrt (\pi)$ σε αυτό, αποδεικνύεται ότι $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, από όπου $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, και έτσι ο αριθμός p είναι η ρίζα της εξίσωσης $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, δηλ. είναι αλγεβρικό, το οποίο δεν είναι αληθές: το $\pi$ είναι, ως γνωστόν, υπερβατικό, δηλ. δεν είναι η ρίζα οποιασδήποτε αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ωστόσο, στο μέλλον θα λάβουμε μια πολύ πιο απλή απόδειξη αυτής της δήλωσης - αλλά με τη βοήθεια μαθηματικής ανάλυσης.
Όταν αποδεικνύεται η μη περιοδικότητα των συναρτήσεων, συχνά βοηθά ένα στοιχειώδες λογικό τέχνασμα: εάν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν κάποια ιδιότητα, αλλά μια δεδομένη συνάρτηση δεν την έχει, τότε φυσικά δεν είναι περιοδική. Έτσι, μια περιοδική συνάρτηση παίρνει οποιαδήποτε τιμή άπειρες φορές, και επομένως, για παράδειγμα, η συνάρτηση $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ δεν είναι περιοδική, αφού η τιμή είναι 7 δέχεται μόνο σε δύο σημεία. Συχνά, για να αποδειχθεί η μη περιοδικότητα, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν τα χαρακτηριστικά του τομέα ορισμού, και για να βρείτε την επιθυμητή ιδιότητα των περιοδικών συναρτήσεων μερικές φορές πρέπει να δείξετε λίγη φαντασία.
Ας σημειώσουμε επίσης ότι πολύ συχνά όταν ρωτιέται κανείς τι είναι μια μη περιοδική συνάρτηση, ακούει μια απάντηση στο ύφος που μιλήσαμε σε σχέση με άρτιες και περιττές συναρτήσεις, είναι όταν $f(x+T)\neq f(x)$, το οποίο, φυσικά, είναι απαράδεκτο.
Και η σωστή απάντηση εξαρτάται από τον συγκεκριμένο ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και, με βάση τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, μπορούμε, φυσικά, να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι μη περιοδική εάν δεν έχει μία μόνο περίοδο, αλλά αυτό θα είναι ένας «κακός» ορισμός που δεν δίνει κατεύθυνση στοιχεία μη περιοδικότητας. Και αν το αποκρυπτογραφήσουμε περαιτέρω, περιγράφοντας τι σημαίνει η πρόταση "η συνάρτηση f δεν έχει μία μόνο τελεία" ή, το ίδιο, "κανένας αριθμός $T \neq 0$ δεν είναι περίοδος της συνάρτησης f", τότε παίρνουμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι περιοδική αν και μόνο αν για κάθε $T \neq 0$ υπάρχει ένας αριθμός $x\στο D(f)$ τέτοιο ώστε είτε τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $x+T$ και $ Το x-T$ δεν ανήκει στο D(f), ή στο $f(x+T)\neq f(x)$.
Μπορείτε να το πείτε με άλλο τρόπο: "Υπάρχει ένας αριθμός $x\στο D(f)$ έτσι ώστε η ισότητα $f(x+T) = f(x)$ δεν ισχύει" - αυτή η ισότητα μπορεί να μην ισχύει για δύο λόγοι: ή αυτό δεν έχει νόημα, δηλ. ένα από τα μέρη του είναι απροσδιόριστο ή - διαφορετικά, να είναι λανθασμένο. Για ενδιαφέρον, προσθέτουμε ότι το γλωσσικό αποτέλεσμα για το οποίο μιλήσαμε παραπάνω εκδηλώνεται επίσης εδώ: επειδή η ισότητα «να μην είναι αλήθεια» και «να είναι ψευδής» δεν είναι το ίδιο πράγμα - η ισότητα μπορεί να μην έχει ακόμη νόημα.
Μια λεπτομερής αποσαφήνιση των αιτιών και των συνεπειών αυτού του γλωσσικού αποτελέσματος είναι στην πραγματικότητα αντικείμενο όχι των μαθηματικών, αλλά της θεωρίας της γλώσσας, της γλωσσολογίας ή ακριβέστερα του ειδικού τμήματός της: σημασιολογία - η επιστήμη του νοήματος, όπου, ωστόσο, αυτά Οι ερωτήσεις είναι πολύ περίπλοκες και δεν έχουν ξεκάθαρη λύση. Και τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των σχολικών μαθηματικών, αναγκάζονται να τα βάλουν με αυτές τις δυσκολίες και να ξεπεράσουν γλωσσικά «προβλήματα» - ενώ και επειδή χρησιμοποιούν, μαζί με συμβολική, φυσική γλώσσα.
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης, τάξη 10 (επίπεδο προφίλ) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Δάσκαλος Volkova S.E.
Ορισμός 1 Μια συνάρτηση y = f (x), x ∈ X λέγεται ότι έχει περίοδο T εάν για οποιοδήποτε x ∈ X ισχύει η ισότητα f (x – T) = f (x) = f (x + T). Αν μια συνάρτηση με περίοδο T ορίζεται στο σημείο x, τότε ορίζεται και στα σημεία x + T, x – T. Κάθε συνάρτηση έχει περίοδο ίση με μηδέν στο T = 0, παίρνουμε f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .
Ορισμός 2 Μια συνάρτηση που έχει μη μηδενική περίοδο Τ ονομάζεται περιοδική. Αν μια συνάρτηση y = f (x), x ∈ X έχει περίοδο T, τότε κάθε αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του T (δηλαδή ένας αριθμός της μορφής kT, k ∈ Z) είναι και περίοδος της.
Απόδειξη Έστω 2Τ η περίοδος της συνάρτησης. Τότε f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Ομοίως, αποδεικνύεται ότι f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) κ.λπ. Άρα f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Η μικρότερη περίοδος μεταξύ των θετικών περιόδων μιας περιοδικής συνάρτησης ονομάζεται κύρια περίοδος αυτής της συνάρτησης.
Χαρακτηριστικά της γραφικής παράστασης μιας περιοδικής συνάρτησης Αν T είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης y = f(x), τότε αρκεί: να κατασκευαστεί ένας κλάδος της γραφικής παράστασης σε ένα από τα διαστήματα μήκους T, να πραγματοποιηθεί μια παράλληλη μετάφραση αυτού του κλάδου κατά μήκος του άξονα x κατά ±T, ±2T, ±3T, κ.λπ. Συνήθως επιλέγεται ένα κενό με άκρα σε σημεία
Ιδιότητες περιοδικών συναρτήσεων 1. Αν η f(x) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η συνάρτηση g(x) = A f(kx + b), όπου k > 0, είναι επίσης περιοδική με περίοδο T 1 = T/ κ. 2. Έστω η συνάρτηση f 1 (x) και f 2 (x) να οριστεί σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα και να είναι περιοδική με περιόδους T 1 > 0 και T 2 >0. Τότε, για T 1 /T 2 ∈ Q, η συνάρτηση f(x) = f(x) + f 2 (x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών T 1 και T 2.
Παραδείγματα 1. Η περιοδική συνάρτηση y = f(x) ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Η περίοδος του είναι 3 και f(0) =4. Βρείτε την τιμή της παράστασης 2f(3) – f(-3). Λύση. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στην παράσταση 2f (3) - f(-3) , παίρνουμε 8 - 4 =4 . Απάντηση: 4.
Παραδείγματα 2. Η περιοδική συνάρτηση y = f(x) ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Η περίοδός του είναι 5, και f(-1) = 1. Βρείτε f(-12) αν 2f(3) – 5f(9) = 9. Λύση T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Απάντηση:7.
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης (επίπεδο προφίλ), βαθμός 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης (επίπεδο προφίλ), 10η τάξη. Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς
Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις
Περιοδικός νόμος και περιοδικό σύστημα Δ.Ι. Μεντελέεφ.
Ένα ολοκληρωμένο μάθημα για αυτό το θέμα διεξάγεται με τη μορφή παιχνιδιού, χρησιμοποιώντας στοιχεία τεχνολογίας από παιδαγωγικά εργαστήρια....
Εξωσχολική εκδήλωση "Περιοδικός νόμος και περιοδικό σύστημα χημικών στοιχείων του D.I. Mendeleev"
Μια εξωσχολική δραστηριότητα αποκαλύπτει την ιστορία της δημιουργίας του περιοδικού νόμου και του περιοδικού συστήματος από τον D.I. Μεντελέεφ. Οι πληροφορίες παρουσιάζονται σε ποιητική μορφή, που διευκολύνει τη γρήγορη απομνημόνευση...
Παράρτημα της εξωσχολικής δραστηριότητας "Περιοδικός νόμος και το περιοδικό σύστημα χημικών στοιχείων του D.I. Mendeleev"
Της ανακάλυψης του νόμου προηγήθηκε μακρόχρονη και έντονη επιστημονική εργασία του Δ.Ι. Μεντελέεφ για 15 χρόνια, και η περαιτέρω εμβάθυνσή του δόθηκε άλλα 25 χρόνια....