Εξίσωση επιπέδου κάθετου σε δεδομένο διάνυσμα. Ευθεία

Αυτό το άρθρο δίνει μια ιδέα για το πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε τρισδιάστατο χώρο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Ας αναλύσουμε τον δεδομένο αλγόριθμο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης τυπικών προβλημάτων.

Εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο στο χώρο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία

Έστω ένας τρισδιάστατος χώρος και ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z. Δίνονται επίσης το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1), η ευθεία a και το επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στην ευθεία a. Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου α.

Πριν ξεκινήσουμε την επίλυση αυτού του προβλήματος, ας θυμηθούμε το θεώρημα της γεωμετρίας από το αναλυτικό πρόγραμμα για τους βαθμούς 10-11, το οποίο λέει:

Ορισμός 1

Μέσα από ένα δεδομένο σημείο του τρισδιάστατου χώρου διέρχεται ένα μόνο επίπεδο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Ας δούμε τώρα πώς να βρούμε την εξίσωση αυτού του απλού επιπέδου που διέρχεται από το σημείο εκκίνησης και είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία.

Είναι δυνατόν να γράψουμε τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει σε αυτό το επίπεδο, καθώς και οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου.

Οι συνθήκες του προβλήματος μας δίνουν τις συντεταγμένες x 1, y 1, z 1 του σημείου M 1 από το οποίο διέρχεται το επίπεδο α. Αν προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α, τότε θα μπορέσουμε να γράψουμε την απαιτούμενη εξίσωση.

Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α, εφόσον είναι μη μηδενικό και βρίσκεται στην ευθεία a, κάθετη στο επίπεδο α, θα είναι οποιοδήποτε διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας α. Έτσι, το πρόβλημα της εύρεσης των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α μετατρέπεται στο πρόβλημα του προσδιορισμού των συντεταγμένων του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α.

Ο προσδιορισμός των συντεταγμένων του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής a μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικές μεθόδους: εξαρτάται από την επιλογή καθορισμού της ευθείας γραμμής a στις αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, αν η ευθεία γραμμή a στη δήλωση προβλήματος δίνεται από κανονικές εξισώσεις της μορφής

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ή παραμετρικές εξισώσεις της μορφής:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας θα έχει συντεταγμένες a x, a y και a z. Στην περίπτωση που η ευθεία α αντιπροσωπεύεται από δύο σημεία M 2 (x 2, y 2, z 2) και M 3 (x 3, y 3, z 3), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης θα καθοριστούν ως ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Ορισμός 2

Αλγόριθμος για την εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία:

Καθορίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας α: a → = (a x, a y, a z) ;

Ορίζουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α ως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α:

n → = (A , B , C) , όπου A = a x, B = a y, C = a z;

Γράφουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) και έχει κανονικό διάνυσμα n → = (A, B, C) με τη μορφή A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Αυτή θα είναι η απαιτούμενη εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο του χώρου και είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Η γενική εξίσωση του επιπέδου που προκύπτει είναι: Το A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 καθιστά δυνατή τη λήψη της εξίσωσης του επιπέδου σε τμήματα ή της κανονικής εξίσωσης του επιπέδου.

Ας λύσουμε πολλά παραδείγματα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που λήφθηκε παραπάνω.

Παράδειγμα 1

Δίνεται ένα σημείο M 1 (3, - 4, 5), από το οποίο διέρχεται το επίπεδο και το επίπεδο αυτό είναι κάθετο στην ευθεία συντεταγμένων O z.

Λύση

το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής συντεταγμένων O z θα είναι το διάνυσμα συντεταγμένων k ⇀ = (0, 0, 1). Επομένως, το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου έχει συντεταγμένες (0, 0, 1). Ας γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 1 (3, - 4, 5), το κανονικό διάνυσμα του οποίου έχει συντεταγμένες (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Απάντηση: z – 5 = 0 .

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα 2

Ένα επίπεδο που είναι κάθετο στην ευθεία O z θα δοθεί από μια ημιτελή γενική εξίσωση επιπέδου της μορφής C z + D = 0, C ≠ 0. Ας προσδιορίσουμε τις τιμές των C και D: αυτές στις οποίες το επίπεδο διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο. Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στην εξίσωση C z + D = 0, παίρνουμε: C · 5 + D = 0. Εκείνοι. Οι αριθμοί, C και D σχετίζονται με τη σχέση - D C = 5. Λαμβάνοντας C = 1, παίρνουμε D = - 5.

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση C z + D = 0 και πάρουμε την απαιτούμενη εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου στην ευθεία O z και που διέρχεται από το σημείο M 1 (3, - 4, 5).

Θα μοιάζει με: z – 5 = 0.

Απάντηση: z – 5 = 0 .

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή και είναι κάθετο στην ευθεία x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Λύση

Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας δεδομένης ευθείας μπορεί να ληφθεί ως το κανονικό διάνυσμα n → ενός δεδομένου επιπέδου. Έτσι: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Ας γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από το σημείο O (0, 0, 0) και έχει κανονικό διάνυσμα n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Έχουμε λάβει την απαιτούμενη εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων κάθετων σε μια δεδομένη ευθεία.

Απάντηση:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Παράδειγμα 4

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z δίνεται σε τρισδιάστατο χώρο, σε αυτό υπάρχουν δύο σημεία A (2, - 1, - 2) και B (3, - 2, 4). Το επίπεδο α διέρχεται από το σημείο Α που είναι κάθετο στην ευθεία Α Β. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για το επίπεδο α σε τμήματα.

Λύση

Το επίπεδο α είναι κάθετο στην ευθεία A B, τότε το διάνυσμα A B → θα είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α. Οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος ορίζονται ως η διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων B (3, - 2, 4) και A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Η γενική εξίσωση του επιπέδου θα γραφεί ως εξής:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Τώρα ας συνθέσουμε την απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Απάντηση:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι υπάρχουν προβλήματα των οποίων η απαίτηση είναι να γραφεί μια εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετο σε δύο δεδομένα επίπεδα. Γενικά, η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η κατασκευή μιας εξίσωσης για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία, επειδή δύο τεμνόμενα επίπεδα ορίζουν μια ευθεία γραμμή.

Παράδειγμα 5

Δίνεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, σε αυτό υπάρχει ένα σημείο M 1 (2, 0, - 5). Δίνονται επίσης οι εξισώσεις δύο επιπέδων 3 x + 2 y + 1 = 0 και x + 2 z – 1 = 0, που τέμνονται κατά μήκος της ευθείας α. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στην ευθεία α.

Λύση

Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Είναι κάθετο τόσο στο κανονικό διάνυσμα n 1 → (3, 2, 0) του επιπέδου n → (1, 0, 2) όσο και στο κανονικό διάνυσμα 3 x + 2 y + 1 = 0 του x + 2 z - 1 = 0 επίπεδο.

Στη συνέχεια, ως κατευθυντικό διάνυσμα α → ευθεία a, παίρνουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων n 1 → και n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Έτσι, το διάνυσμα n → = (4, - 6, - 2) θα είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου που είναι κάθετο στην ευθεία a. Ας γράψουμε την απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Απάντηση: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Για να τραβηχτεί ένα μόνο επίπεδο διαμέσου οποιωνδήποτε τριών σημείων στο χώρο, είναι απαραίτητο αυτά τα σημεία να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Θεωρήστε τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) στο γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Για να βρίσκεται ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία M 1, M 2, M 3, είναι απαραίτητο τα διανύσματα να είναι συνεπίπεδα.

(
) = 0

Ετσι,

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Εξίσωση ενός επιπέδου με δύο σημεία και ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το επίπεδο.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) και το διάνυσμα
.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M 1 και M 2 και ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y, z) παράλληλο στο διάνυσμα .

Διανύσματα
και διάνυσμα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη, δηλ.

(
) = 0

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί ένα σημείο και δύο διανύσματα,

ευθύγραμμο προς το επίπεδο.

Έστω δύο διανύσματα
Και
, συγγραμμικά επίπεδα. Στη συνέχεια, για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, τα διανύσματα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη.

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου προς σημείο και κανονικό διάνυσμα .

Θεώρημα. Αν στο διάστημα δίνεται σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 ), τότε η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 κάθετο στο κανονικό διάνυσμα (ΕΝΑ, σι, ντο) έχει τη μορφή:

ΕΝΑ(Χ – Χ 0 ) + σι(y – y 0 ) + ντο(z – z 0 ) = 0.

Απόδειξη. Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, συνθέτουμε ένα διάνυσμα. Επειδή διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα, τότε είναι κάθετο στο επίπεδο και, επομένως, κάθετο στο διάνυσμα
. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο

= 0

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση Ax + Bi + Cz + D = 0 διαιρούμε και τις δύο πλευρές με (-D)

,

αντικαθιστώντας
, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα:

Οι αριθμοί a, b, c είναι τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z, αντίστοιχα.

Εξίσωση επιπέδου σε διανυσματική μορφή.

Οπου

- διάνυσμα ακτίνας του τρέχοντος σημείου M(x, y, z),

Ένα μοναδιαίο διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση μιας κάθετης πέσει σε ένα επίπεδο από την αρχή.

,  και  είναι οι γωνίες που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με τους άξονες x, y, z.

p είναι το μήκος αυτής της καθέτου.

Σε συντεταγμένες, αυτή η εξίσωση μοιάζει με:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Απόσταση από ένα σημείο σε ένα αεροπλάνο.

Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M 0 (x 0, y 0, z 0) στο επίπεδο Ax+By+Cz+D=0 είναι:

Παράδειγμα.Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4; -3; 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Άρα Α = 4/13; Β = -3/13; C = 12/13, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από δύο σημεία P(2; 0; -1) και

Q(1; -1; 3) κάθετο στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0.

Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0
παράλληλα με το επιθυμητό επίπεδο.

Παίρνουμε:

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Α(2, -1, 4) και

B(3, 2, -1) κάθετα στο επίπεδο Χ + στο + 2z – 3 = 0.

Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: Α Χ+Β y+C z+ D = 0, κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο (Α, Β, Γ). Διάνυσμα
(1, 3, -5) ανήκει στο επίπεδο. Το επίπεδο που μας δίνεται, κάθετο στο επιθυμητό, ​​έχει κανονικό διάνυσμα (1, 1, 2). Επειδή Τα σημεία Α και Β ανήκουν και στα δύο επίπεδα, και τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα, λοιπόν

Άρα το κανονικό διάνυσμα (11, -7, -2). Επειδή Το σημείο Α ανήκει στο επιθυμητό επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση αυτού του επιπέδου, δηλ. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Συνολικά, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: 11 Χ - 7y – 2z – 21 = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4, -3, 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος
= (4, -3, 12). Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: 4 Χ – 3y + 12z+ D = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή D, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου P στην εξίσωση:

16 + 9 + 144 + D = 0

Συνολικά, παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση: 4 Χ – 3y + 12z – 169 = 0

Παράδειγμα.Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Βρείτε το μήκος της ακμής A 1 A 2.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ακμών A 1 A 2 και A 1 A 4.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ακμής A 1 A 4 και της όψης A 1 A 2 A 3.

Πρώτα βρίσκουμε το κανονικό διάνυσμα στο πρόσωπο A 1 A 2 A 3 ως διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων
Και
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Ας βρούμε τη γωνία μεταξύ του κανονικού και του διανύσματος
.

-4 – 4 = -8.

Η επιθυμητή γωνία  μεταξύ του διανύσματος και του επιπέδου θα είναι ίση με  = 90 0 - .

Βρείτε την περιοχή του προσώπου A 1 A 2 A 3.

Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου A 1 A 2 A 3.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Όταν χρησιμοποιείτε την έκδοση υπολογιστή " Ανώτερο μάθημα μαθηματικών” μπορείτε να εκτελέσετε ένα πρόγραμμα που θα λύσει το παραπάνω παράδειγμα για τυχόν συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας.

Για να ξεκινήσετε το πρόγραμμα, κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο:

Στο παράθυρο του προγράμματος που ανοίγει, πληκτρολογήστε τις συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας και πατήστε Enter. Με αυτόν τον τρόπο, όλα τα σημεία απόφασης μπορούν να ληφθούν ένα προς ένα.

Σημείωση: Για να εκτελέσετε το πρόγραμμα, το πρόγραμμα Maple ( Waterloo Maple Inc.) οποιασδήποτε έκδοσης, ξεκινώντας από το MapleV Release 4, πρέπει να είναι εγκατεστημένο στον υπολογιστή σας.

Για να λάβουμε τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου, ας αναλύσουμε το επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.

Ας υπάρχουν τρεις άξονες συντεταγμένων ήδη γνωστοί σε εμάς στο διάστημα - Βόδι, OyΚαι Οζ. Κρατήστε το φύλλο χαρτιού έτσι ώστε να παραμείνει επίπεδο. Το αεροπλάνο θα είναι το ίδιο το φύλλο και η συνέχειά του προς όλες τις κατευθύνσεις.

Αφήνω Παυθαίρετο επίπεδο στο διάστημα. Κάθε διάνυσμα κάθετο σε αυτό ονομάζεται κανονικό διάνυσμα σε αυτό το αεροπλάνο. Φυσικά, μιλάμε για μη μηδενικό διάνυσμα.

Εάν είναι γνωστό κάποιο σημείο του αεροπλάνου Πκαι κάποιο κανονικό διάνυσμα σε αυτό, τότε με αυτές τις δύο συνθήκες το επίπεδο στο χώρο ορίζεται πλήρως(μέσω ενός δεδομένου σημείου μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο δεδομένο διάνυσμα). Η γενική εξίσωση του επιπέδου θα είναι:

Άρα, οι συνθήκες που ορίζουν την εξίσωση του επιπέδου είναι. Για να αποκτήσεις τον εαυτό σου επίπεδο εξίσωση, έχοντας την παραπάνω μορφή, ανεβείτε στο αεροπλάνο Παυθαίρετος σημείο Μ με μεταβλητές συντεταγμένες Χ, y, z. Αυτό το σημείο ανήκει στο επίπεδο μόνο αν διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα(Εικ. 1). Για αυτό, σύμφωνα με την συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο και αρκετό το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή

Το διάνυσμα καθορίζεται από συνθήκη. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο :

.

Τώρα, χρησιμοποιώντας τον τύπο βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων , εκφράζουμε το βαθμωτό γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή:

Από το σημείο M(x; y; z)επιλέγεται αυθαίρετα στο επίπεδο, τότε η τελευταία εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στο επίπεδο Π. Για ένα σημείο Ν, όχι ξαπλωμένος σε ένα δεδομένο αεροπλάνο, δηλ. παραβιάζεται η ισότητα (1).

Παράδειγμα 1.Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο και είναι κάθετο στο διάνυσμα.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) και ας τον δούμε ξανά:

Σε αυτόν τον τύπο οι αριθμοί ΕΝΑ , σιΚαι ντοδιανυσματικές συντεταγμένες και αριθμούς Χ0 , y0 Και z0 - συντεταγμένες του σημείου.

Οι υπολογισμοί είναι πολύ απλοί: αντικαθιστούμε αυτούς τους αριθμούς στον τύπο και παίρνουμε

Πολλαπλασιάζουμε όλα όσα πρέπει να πολλαπλασιαστούν και προσθέτουμε μόνο αριθμούς (που δεν έχουν γράμματα). Αποτέλεσμα:

.

Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου σε αυτό το παράδειγμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται με μια γενική εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς τις μεταβλητές συντεταγμένες x, y, zαυθαίρετο σημείο του αεροπλάνου.

Άρα, μια εξίσωση της μορφής

που ονομάζεται εξίσωση γενικού επιπέδου .

Παράδειγμα 2.Κατασκευάστε σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ένα επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση .

Λύση. Για την κατασκευή ενός επιπέδου, είναι απαραίτητο και αρκετό να γνωρίζουμε οποιαδήποτε τρία σημεία του που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, για παράδειγμα, τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες συντεταγμένων.

Πώς να βρείτε αυτά τα σημεία; Να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Οζ, πρέπει να αντικαταστήσετε με μηδενικά το X και το Y στην εξίσωση που δίνεται στη δήλωση προβλήματος: Χ = y= 0 . Επομένως παίρνουμε z= 6. Έτσι, το δεδομένο επίπεδο τέμνει τον άξονα Οζστο σημείο ΕΝΑ(0; 0; 6) .

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε το σημείο τομής του επιπέδου με τον άξονα Oy. Στο Χ = z= 0 παίρνουμε y= −3, δηλαδή το σημείο σι(0; −3; 0) .

Και τέλος, βρίσκουμε το σημείο τομής του επιπέδου μας με τον άξονα Βόδι. Στο y = z= 0 παίρνουμε Χ= 2, δηλαδή ένα σημείο ντο(2; 0; 0) . Με βάση τα τρία σημεία που λήφθηκαν στη λύση μας ΕΝΑ(0; 0; 6) , σι(0; −3; 0) και ντο(2; 0; 0) κατασκευάστε το δεδομένο επίπεδο.

Ας εξετάσουμε τώρα ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης γενικού επιπέδου. Είναι περιπτώσεις όπου ορισμένοι συντελεστές της εξίσωσης (2) γίνονται μηδέν.

1. Πότε D= 0 εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή, αφού οι συντεταγμένες του σημείου 0 (0; 0; 0) ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.

2. Πότε Α= 0 εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα Βόδι, αφού το κανονικό διάνυσμα αυτού του επιπέδου είναι κάθετο στον άξονα Βόδι(η προβολή του στον άξονα Βόδιίσο με μηδέν). Ομοίως, όταν Β= 0 αεροπλάνο παράλληλα με τον άξονα Oy, και πότε C= 0 αεροπλάνο παράλληλα με τον άξονα Οζ.

3. Πότε A=D=Η εξίσωση 0 ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα Βόδι, αφού είναι παράλληλο προς τον άξονα Βόδι (Α=D= 0). Ομοίως, το επίπεδο διέρχεται από τον άξονα Oy, και το επίπεδο διαμέσου του άξονα Οζ.

4. Πότε Α=Β=Η εξίσωση 0 ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων xOy, αφού είναι παράλληλη με τους άξονες Βόδι (ΕΝΑ= 0) και Oy (σι= 0). Ομοίως, το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο yOz, και το αεροπλάνο είναι το αεροπλάνο xOz.

5. Πότε Α=Β=Δ= 0 εξίσωση (ή z = 0) ορίζει το επίπεδο συντεταγμένων xOy, αφού είναι παράλληλο με το επίπεδο xOy (Α=Β= 0) και διέρχεται από την αρχή ( D= 0). Ομοίως, η εξ. y =Το 0 στο διάστημα ορίζει το επίπεδο συντεταγμένων xOz, και την εξίσωση x = 0 - επίπεδο συντεταγμένων yOz.

Παράδειγμα 3.Δημιουργήστε μια εξίσωση του επιπέδου Π, περνώντας από τον άξονα Oyκαι περίοδος.

Λύση. Έτσι το αεροπλάνο διέρχεται από τον άξονα Oy. Επομένως, στην εξίσωσή της y= 0 και αυτή η εξίσωση έχει τη μορφή . Για τον προσδιορισμό των συντελεστών ΕΝΑΚαι ντοας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το σημείο ανήκει στο επίπεδο Π .

Επομένως, μεταξύ των συντεταγμένων του υπάρχουν εκείνες που μπορούν να αντικατασταθούν στην εξίσωση επιπέδου που έχουμε ήδη εξαγάγει (). Ας δούμε ξανά τις συντεταγμένες του σημείου:

Μ0 (2; −4; 3) .

Ανάμεσα τους Χ = 2 , z= 3. Τα αντικαθιστούμε στη γενική εξίσωση και παίρνουμε την εξίσωση για τη συγκεκριμένη περίπτωσή μας:

2ΕΝΑ + 3ντο = 0 .

Αφήστε 2 ΕΝΑστην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μετακινήστε το 3 ντοστη δεξιά πλευρά και φτάνουμε

ΕΝΑ = −1,5ντο .

Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε ΕΝΑστην εξίσωση, παίρνουμε

ή .

Αυτή είναι η εξίσωση που απαιτείται στη συνθήκη του παραδείγματος.

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα της εξίσωσης επιπέδου και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 4.Ορίστε ένα επίπεδο (ή επίπεδα, εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα) ως προς τους άξονες συντεταγμένων ή τα επίπεδα συντεταγμένων, εάν το επίπεδο ή τα επίπεδα δίνονται από την εξίσωση.

Λύσεις σε τυπικά προβλήματα που εμφανίζονται κατά τη διάρκεια των δοκιμών βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο «Προβλήματα σε επίπεδο: παραλληλισμός, καθετότητα, τομή τριών επιπέδων σε ένα σημείο».

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία

Όπως ήδη αναφέρθηκε, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την κατασκευή ενός επιπέδου, εκτός από ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα, είναι και τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Αφήστε τρία διαφορετικά σημεία , και , που δεν βρίσκονται στην ίδια γραμμή, να δοθούν. Εφόσον τα υποδεικνυόμενα τρία σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, και επομένως οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία, και εάν και μόνο εάν τα διανύσματα , και ομοεπίπεδη, δηλ. τότε και μόνο όταν μικτό προϊόν αυτών των φορέωνισούται με μηδέν.

Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το μικτό γινόμενο σε συντεταγμένες, λαμβάνουμε την εξίσωση του επιπέδου

(3)

Αφού αποκαλυφθεί η ορίζουσα, αυτή η εξίσωση γίνεται εξίσωση της μορφής (2), δηλ. γενική εξίσωση του αεροπλάνου.

Παράδειγμα 5.Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία:

και να προσδιορίσετε μια ειδική περίπτωση της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας, εάν εμφανίζεται.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:

Εξίσωση κανονικού επιπέδου. Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο

Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωσή του, γραμμένη με τη μορφή