रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को कैसे हल करें। डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की विधियाँ

मद 5. दो अज्ञात के साथ रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण।

आमतौर पर, एक मनमाना समीकरण (लेकिन, एक नियम के रूप में, अभी भी पूर्णांक गुणांक के साथ) को "डायोफैंटाइन" शीर्षक मिलता है यदि वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि इसे पूर्णांक में हल करने की आवश्यकता है, यानी। इसके सभी समाधान खोजें जो पूर्णांक हैं। अलेक्जेंड्रिया के एक उत्कृष्ट गणितज्ञ डायोफैंटस का नाम यहाँ संयोग से नहीं आया है। डायोफैंटस को तीसरी शताब्दी ईस्वी में पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने में रुचि थी और, यह कहा जाना चाहिए, उसने इसे बहुत सफलतापूर्वक किया।

डायोफैंटस और उसके ऐतिहासिक निशान के बारे में एक विषयांतर।

प्राचीन समाज का तीसरा और अंतिम काल रोमन शासन का काल था। रोम ने 212 में सिरैक्यूज़, 146 में कार्थेज, 146 में ग्रीस, 46 में मेसोपोटामिया, 30 ईसा पूर्व में मिस्र पर विजय प्राप्त की। विशाल क्षेत्रों ने खुद को उपनिवेशों की स्थिति में पाया, लेकिन रोमनों ने उनकी संस्कृति और आर्थिक संरचना को तब तक नहीं छुआ जब तक वे नियमित रूप से करों और कर्तव्यों का भुगतान करते रहे। सदियों से रोमनों द्वारा स्थापित शांति ने, सभी बाद की महान दुनियाओं और रीच के विपरीत, पूरे विजित क्षेत्र को गैर-सैन्य अस्तित्व, व्यापार और सांस्कृतिक आदान-प्रदान की सबसे लंबी अवधि प्रदान की।

अलेक्जेंड्रिया प्राचीन गणित का केंद्र बन गया। मूल शोध किया गया, हालाँकि संकलन, रीटेलिंग और एनोटेशन वैज्ञानिक गतिविधि की मुख्य गतिविधि बन गए। अलेक्जेंड्रियन वैज्ञानिक, यदि आप चाहें, तो विज्ञान को क्रम में रखते हैं, असमान परिणामों को एक पूरे में एकत्रित करते हैं, और प्राचीन गणितज्ञों और खगोलविदों के कई कार्य केवल उनकी गतिविधियों के कारण हमारे पास आए हैं। ग्रीक विज्ञान अभिव्यक्ति के अपने अनाड़ी ज्यामितीय तरीके के साथ, बीजगणितीय संकेतन की व्यवस्थित अस्वीकृति के साथ, लुप्त हो रहा था; अलेक्जेंड्रिया ने बीजगणित और गणना (अनुप्रयुक्त गणित) पूर्व से, बेबीलोन से, मिस्र से सीखी थी।

डायोफैंटस (लगभग 250) का मुख्य कार्य "अंकगणित" है। मूल की केवल छह पुस्तकें ही बची हैं, उनकी कुल संख्या अनुमान का विषय है। हम नहीं जानते कि डायोफैंटस कौन था - यह संभव है कि वह यूनानीकृत बेबीलोनियन था। उनकी पुस्तक ग्रीको-रोमन पुरातनता से बचे सबसे आकर्षक ग्रंथों में से एक है। इसमें पहली बार बीजगणितीय चिह्नों का व्यवस्थित प्रयोग देखने को मिलता है; इसमें अज्ञात, ऋण, व्युत्क्रम तथा घातांक को दर्शाने के लिए विशेष चिह्न होते हैं। मिशिगन विश्वविद्यालय से 1921 में खरीदा गया पेपिरस एन 620, डायोफैंटस के युग का है और स्पष्ट रूप से इसकी पुष्टि करता है। डायोफैंटस द्वारा हल किए गए समीकरणों में हम ऐसे पाते हैं एक्स 2 - 26 य 2 = 1 और एक्स 2 - 30 य 2 = 1, जिसे अब हम "पेल समीकरण" के विशेष मामलों के रूप में जानते हैं, और डायोफैंटस विशेष रूप से पूर्णांकों में उनके समाधानों में रुचि रखता है।

डायोफैंटस की पुस्तक का अप्रत्याशित रूप से पिछली तीन शताब्दियों में गणितीय विज्ञान के विकास पर भी बहुत बड़ा अप्रत्यक्ष प्रभाव पड़ा। तथ्य यह है कि टूलूज़ पियरे फ़र्मेट (1601 - 1665) के वकील ने, डायोफैंटस के अंकगणित का अध्ययन करते हुए, इस पुस्तक के हाशिये में एक प्रसिद्ध टिप्पणी की: "मुझे वास्तव में एक आश्चर्यजनक प्रमाण मिला है कि समीकरण एक्स एन + य एन = जेड एनपर एन > 2, का पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, लेकिन इस पुस्तक के हाशिए इसे यहां फिट करने के लिए बहुत छोटे हैं।" सबसे बेकार गणितीय कथनों में से एक को "फर्मेट का अंतिम प्रमेय" कहा गया और, किसी कारण से, गणितज्ञों के बीच एक वास्तविक हलचल पैदा हुई। और शौकीनों (विशेष रूप से 1908 में उनके प्रमाण के लिए 100,000 जर्मन अंकों के पुरस्कार से सम्मानित होने के बाद) इस बेकार प्रमेय को प्राप्त करने के प्रयासों ने आधुनिक बीजगणित, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत और बीजगणितीय के संपूर्ण वर्गों को जन्म दिया। ज्यामिति, जिसके व्यावहारिक लाभ अब किसी भी संदेह के अधीन नहीं हैं, ऐसा लगता है कि प्रमेय स्वयं 1995 में सफलतापूर्वक सिद्ध हो गया था, पियरे फ़र्मेट, निश्चित रूप से "अंकगणित" के क्षेत्र में उत्साहित हो गए थे, क्योंकि वह शारीरिक रूप से नहीं आ सके थे; ऐसे प्रमाण के साथ, जिसके लिए भारी मात्रा में गणितीय ज्ञान की आवश्यकता थी, फ़र्मेट के महान प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण अभी तक हमारे ग्रह के किसी भी निवासी द्वारा नहीं पाया जा सका है, हालाँकि पिछली तीन शताब्दियों के सर्वश्रेष्ठ दिमागों ने संघर्ष किया है इसे खोजें। हालाँकि, आज तक, मानसिक रूप से बीमार हजारों शौकिया "फर्मेटिस्ट", प्रसिद्धि और पैसे की प्यास में, अपने पत्रों के साथ शैक्षणिक संस्थानों और विश्वविद्यालयों पर बमबारी करते हैं, और लगभग हर साल बीजगणित और असतत गणित विभाग के कर्मचारियों में से एक यूराल स्टेट यूनिवर्सिटी, जहां मैं काम करता हूं, पहले से तैयार फॉर्म पर ऐसे मनोचिकित्सक के साथ राजनयिक पत्राचार करने के लिए मजबूर है:

"प्रिय...................! आपके साक्ष्य में पृष्ठ संख्या......., पंक्ति संख्या में। । ......, एक त्रुटि है...................................... .. .................................."

मान लीजिए हमें एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

कुल्हाड़ी + द्वारा = सी ,

कहाँ ए , बी , सीके बारे में जेड ; एऔर बी- शून्य नहीं.

आइए इस समीकरण को देखकर तर्क करने का प्रयास करें।

होने देना ( ए , बी) = डी. तब ए = ए 1 डी ; बी = बी 1 डीऔर समीकरण इस प्रकार दिखता है:

ए 1 डी एक्स + बी 1 डी वाई = सी, यानी डी (ए 1 एक्स + बी 1 य) = सी .

अब यह हेजहोग के लिए स्पष्ट है कि इस तरह के समीकरण का एक समाधान है (पूर्णांकों का एक जोड़ा)। एक्सऔर य) केवल जब डी | सी. चूँकि मैं वास्तव में इस समीकरण को और हल करना चाहता हूँ, आइए डी | सी. आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें डी, आइए शांत हो जाएं, और आगे भी हम यही मानेंगे कि ( ए , बी) = 1. यह संभव है.

आइए कई मामलों पर विचार करें।

केस 1. चलो सी= 0, समीकरण है कुल्हाड़ी+द्वारा = 0 - " सजातीय रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण।" थोड़े से काम के बाद, हम उसे पाते हैं

एक्स = -

बी ए

य .

क्योंकि एक्सतो, एक पूर्णांक होना चाहिए y = पर, कहाँ टी- मनमाना पूर्णांक (पैरामीटर)। मतलब एक्स = - बीटीऔर सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण के समाधान कुल्हाड़ी + द्वारा = 0 फॉर्म के सभी जोड़े हैं (- बीटी , पर), कहाँ टी= 0; ±1; ±2;... ऐसे सभी युग्मों के समुच्चय को एक रैखिक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है, जबकि इस समुच्चय से किसी विशिष्ट युग्म को एक विशेष समाधान कहा जाता है।

प्रिय पाठकों, क्या यह सच नहीं है कि सभी नाम पहले से ही बहुत परिचित हैं? "सजातीय समीकरण", "सामान्य समाधान" - यह सब हम रैखिक बीजगणित के दौरान और अंतर समीकरणों पर व्याख्यान में पहले ही सुन चुके हैं। अगले मामले का विश्लेषण करते समय, यह सादृश्य वस्तुतः सामने आता है, जो निश्चित रूप से आकस्मिक नहीं है, लेकिन गणित के महाद्वीप पर रैखिकता की महान स्थिति की एकता का अध्ययन इस मामूली पुस्तक के दायरे से परे है।

केस 2. अभी चलो सी № 0. यह मामला निम्नलिखित प्रमेय द्वारा बंद किया गया है।

प्रमेय.होने देना ( ए , बी) = 1, { एक्स 0 , य 0 ) - डायोफैंटाइन समीकरण का एक विशेष समाधान कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. तब इसका सामान्य समाधान सूत्र द्वारा दिया जाता है:

एम एन हे

एक्स = एक्स 0 - बीटी य = य 0 + पर .

इस प्रकार, रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों के सिद्धांत में, एक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय समीकरण के कुछ (किसी भी) विशेष समाधान का योग होता है। यहाँ यह है - रैखिक दुनिया की एकता की अभिव्यक्ति! (एक बार, विभेदक समीकरणों पर एक परीक्षा से पहले, मुझे एक बुरा सपना आया कि सभी रैखिक समाधान स्थानों ने एक-दूसरे के साथ साजिश रची और मांग की कि मैं उनमें एक विशेष समाधान जोड़ूं, क्योंकि वे शून्य वेक्टर को शामिल नहीं करना चाहते थे, लेकिन चाहते थे मैंने रैखिक मैनिफोल्ड्स से इनकार कर दिया, लेकिन अगली सुबह, परीक्षा के दौरान, मुझे एक सजातीय प्रणाली मिली!)

सबूत।तथ्य यह है कि प्रमेय के निर्माण में निर्दिष्ट समानताओं के दाहिने हाथ वास्तव में समाधान हैं, मूल समीकरण में उनके प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित किया जाता है। आइए हम समीकरण का कोई हल दिखाएं कुल्हाड़ी + द्वारा = सीबिल्कुल वही रूप है जो प्रमेय के सूत्रीकरण में दर्शाया गया है। होने देना ( एक्स * , य*) - समीकरण का कुछ समाधान कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. तब कुल्हाड़ी * +द्वारा * =सी, लेकिन कुल्हाड़ी 0 + द्वारा 0 =सी. समान प्रमेयों को सिद्ध करने की लंबी परंपरा का पालन करते हुए, हम पहली समानता से दूसरी घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

ए (एक्स *- एक्स 0) +बी (य *- य 0) = 0

सजातीय समीकरण. इसके बाद, मामले 1 को देखते हुए, जिस पर विचार ऊपर कुछ पंक्तियों में पूरा किया गया था, हम तुरंत सामान्य समाधान लिखते हैं: एक्स *- एक्स 0 = - बीटी , य *- य 0 =पर, जहां से, तुरंत, हाई स्कूल की तीसरी कक्षा के कौशल का उपयोग करके, हमें मिलता है:

एम एन हे

एक्स * = एक्स 0- बीटी , य * = य 0 +पर.

"यह सब, निश्चित रूप से, दिलचस्प है," पाठक कहेंगे, "लेकिन उस विशेष समाधान की तलाश कैसे करें ( एक्स 0 , य 0), जिसके लिए इस बिंदु पर सारा उपद्रव शुरू किया गया था और जैसा कि अब पता चला है, हमें वास्तव में इसकी आवश्यकता है?" उत्तर मूर्खतापूर्ण सरल है। हम इस बात पर सहमत हुए कि ( ए , बी) = 1. इसका मतलब है कि ऐसे हैं यूऔर वीसे जेड, क्या औ + बीवी = 1 (यदि आप इसे भूल गए हैं, तो बिंदु 4 पर लौटें), और ये यूऔर वीहम यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके आसानी से पा सकते हैं। आइए अब समानता को गुणा करें औ + बीवी = 1 प्रति सीऔर हमें मिलता है: ए (यूसी) + बी (कुलपति) = सी, यानी एक्स 0 =यूसी , य 0 = वी.सी. इतना ही!

उदाहरण।आप एक क्रोनोप हैं, जिसका आविष्कार जूलियो कॉर्टज़ार ने "फ्रॉम द लाइफ ऑफ क्रोनोप्स एंड फैम्स" पुस्तक में किया था। आपको नीले फायर गट के लिए दुकान पर भुगतान करना होगा, क्योंकि फार्म में लंबे समय से लाल फायर गट मौजूद है। आपकी जेब में केवल 7 और 12 कोपेक के सिक्के हैं, लेकिन आपको 43 कोपेक का भुगतान करना होगा। यह कैसे करें? हम समीकरण हल करते हैं:

7 एक्स + 12 य = 43

हम यूक्लिडियन एल्गोरिथम सक्षम करते हैं:

12 = 7 1 + 5
7 = 5 1 + 2
5 = 2 2 + 1
2 = 1 2

इसका मतलब यह है कि 7 और 12 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है , और इसकी रैखिक अभिव्यक्ति है:

1 = 5 - 2 2 = 5 - (7 - 5) 2 = (12 - 7) - (7 - (12 - 7) 2) = 12 3 + 7 (- 5),

वे। यू = - 5, वी= 3. विशेष समाधान:

एक्स 0 = यूसी= (- 5) 43 = - 215
य 0 = कुलपति= 3 43 = 129.

तो, तुम्हें खजांची से 215 सात-कोपेक सिक्के लेने होंगे और उसे 129 बारह-कोपेक सिक्के देने होंगे। हालाँकि, अमानवीय डायोफैंटाइन समीकरण का सामान्य समाधान लिखकर प्रक्रिया को सरल बनाया जा सकता है:

एक्स = -215 - 12 टी
य = 129 + 7 टी

और यह देखना आसान है कि कब टी=-18, काफी उचित निकला एक्स = 1, य= 3, इसलिए कैशियर को मारना आवश्यक नहीं है।

एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को हल करने के लिए, आपको चर "x" और "y" के मान खोजने होंगे, जो पूर्णांक हैं। पूर्णांक समाधान सामान्य समाधान की तुलना में अधिक जटिल है और इसके लिए चरणों के एक विशिष्ट सेट की आवश्यकता होती है। सबसे पहले आपको गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) की गणना करने और फिर समाधान खोजने की आवश्यकता है। यदि आपको किसी रैखिक समीकरण का एक पूर्णांक समाधान मिलता है, तो आप अनंत संख्या में अन्य समाधान खोजने के लिए एक सरल पैटर्न लागू कर सकते हैं।

कदम

भाग ---- पहला

समीकरण कैसे लिखें

1. समीकरण को मानक रूप में लिखें।रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसमें चरों के घातांक 1 से अधिक नहीं होते हैं। ऐसे रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पहले इसे मानक रूप में लिखें। रैखिक समीकरण का मानक रूप इस प्रकार दिखता है: A x + B y = C (\displaystyle Ax+By=C), कहाँ ए , बी (\डिस्प्लेस्टाइल ए,बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)- पूर्णांक.

   • यदि समीकरण किसी अन्य रूप में दिया गया है, तो मूल बीजगणित का उपयोग करके इसे मानक रूप में कम करें। उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है 23 x + 4 y − 7 x = − 3 y + 15 (\displaystyle 23x+4y-7x=-3y+15). समान पद दीजिए और समीकरण इस प्रकार लिखिए: 16 x + 7 y = 15 (\displaystyle 16x+7y=15).

2. समीकरण को सरल बनाएं (यदि संभव हो तो)।एक बार जब आप समीकरण को मानक रूप में लिख लें, तो गुणांकों को देखें ए , बी (\डिस्प्लेस्टाइल ए,बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी). यदि इन बाधाओं में GCD है, तो तीनों बाधाओं को इससे विभाजित करें। ऐसे सरलीकृत समीकरण का समाधान मूल समीकरण का भी समाधान होगा।

   • उदाहरण के लिए, यदि तीनों विषमताएं सम हैं, तो उन्हें कम से कम 2 से विभाजित करें। उदाहरण के लिए:
     • 42 x + 36 y = 48 (\displaystyle 42x+36y=48)(सभी पद 2 से विभाज्य हैं)
     • 21 x + 18 y = 24 (\displaystyle 21x+18y=24)(अब सभी पद 3 से विभाज्य हैं)
     • 7 x + 6 y = 8 (\displaystyle 7x+6y=8)(इस समीकरण को अब सरल नहीं बनाया जा सकता)

3. जांचें कि क्या समीकरण हल किया जा सकता है।कुछ मामलों में, आप तुरंत घोषणा कर सकते हैं कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है। यदि गुणांक "सी" गुणांक "ए" और "बी" की जीसीडी से विभाज्य नहीं है, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

   • उदाहरण के लिए, यदि दोनों गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)सम हैं, तो गुणांक सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)सम होना चाहिए. लेकिन अगर सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)अजीब है, तो कोई समाधान नहीं है.
     • समीकरण 2 x + 4 y = 21 (\displaystyle 2x+4y=21)कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं.
     • समीकरण 5 x + 10 y = 17 (\displaystyle 5x+10y=17)कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं क्योंकि समीकरण का बायां पक्ष 5 से विभाज्य है, लेकिन दायां पक्ष 5 से विभाज्य नहीं है।

4. परिणाम का विश्लेषण करें.जब आप गुणांकों की जीसीडी पाते हैं ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), इसकी तुलना गुणांक से करें सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)मूल समीकरण. अगर सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)जीसीडी द्वारा विभाजित ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), समीकरण का एक पूर्णांक समाधान है; अन्यथा समीकरण का कोई हल नहीं है।

   • उदाहरण के लिए, समीकरण हल किया जा सकता है क्योंकि 3, 1 से विभाज्य है (gcd=1)।
   • उदाहरण के लिए, मान लीजिए GCD=5. 3, 5 से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।
   • जैसा कि नीचे दिखाया गया है, यदि किसी समीकरण में एक पूर्णांक समाधान है, तो इसमें अन्य पूर्णांक समाधानों की अनंत संख्या भी होती है।

   भाग 3

   यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके समाधान कैसे खोजें

   1. जीसीडी की गणना के चरणों को क्रमांकित करें।एक रैखिक समीकरण का समाधान खोजने के लिए, आपको प्रतिस्थापन और सरलीकरण प्रक्रिया के आधार के रूप में यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

      • जीसीडी गणना के चरणों को क्रमांकित करके प्रारंभ करें। गणना प्रक्रिया इस प्रकार दिखती है:
        • चरण 1: 87 = (1 * 64) + 23 (\displaystyle (\text(चरण 1)):87=(1*64)+23)
        • चरण 2: 64 = (2 * 23) + 18 (\प्रदर्शन शैली (\पाठ(चरण 2)):64=(2*23)+18)
        • चरण 3: 23 = (1 * 18) + 5 (\displaystyle (\text(चरण 3)):23=(1*18)+5)
        • चरण 4: 18 = (3 * 5) + 3 (\displaystyle (\text(चरण 4)):18=(3*5)+3)
        • चरण 5: 5 = (1 * 3) + 2 (\displaystyle (\text(चरण 5)):5=(1*3)+2)
        • चरण 6: 3 = (1 * 2) + 1 (\displaystyle (\text(चरण 6)):3=(1*2)+1)
        • चरण 7: 2 = (2 * 1) + 0 (\displaystyle (\text(चरण 7)):2=(2*1)+0)

   2. अंतिम चरण में ध्यान दें कि शेष कहाँ है।शेषफल को अलग करने के लिए इस चरण के समीकरण को फिर से लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, शेषफल के साथ अंतिम चरण चरण 6 है। शेष 1 है। चरण 6 के समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखें:
        • 1 = 3 − (1 * 2) (\displaystyle 1=3-(1*2))

   3. पिछले चरण के शेष को अलग करें.यह प्रक्रिया चरण-दर-चरण "आगे बढ़ना" है। हर बार आप पिछले चरण के समीकरण में शेषफल को अलग कर देंगे।

      • चरण 5 से समीकरण के शेष भाग को अलग करें:
        • 2 = 5 − (1 * 3) (\displaystyle 2=5-(1*3))या 2 = 5 − 3 (\displaystyle 2=5-3)

   4. बदलें और सरल करें.ध्यान दें कि चरण 6 के समीकरण में संख्या 2 है, लेकिन चरण 5 के समीकरण में संख्या 2 पृथक है। इसलिए, चरण 6 के समीकरण में "2" के बजाय, चरण 5 की अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:

      • 1 = 3 − 2 (\displaystyle 1=3-2)(चरण 6 समीकरण)
      • 1 = 3 − (5 − 3) (\displaystyle 1=3-(5-3))(2 के स्थान पर हमने अभिव्यक्ति प्रतिस्थापित की)
      • 1 = 3 − 5 + 3 (\displaystyle 1=3-5+3)(खुले कोष्ठक)
      • 1 = 2 (3) - 5 (\displaystyle 1=2(3)-5)(सरलीकृत)

   5. प्रतिस्थापन और सरलीकरण प्रक्रिया को दोहराएँ.यूक्लिडियन एल्गोरिथम के माध्यम से उल्टे क्रम में आगे बढ़ते हुए वर्णित प्रक्रिया को दोहराएं। हर बार आप पिछले चरण के समीकरण को फिर से लिखेंगे और इसे प्राप्त अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।

      • चर्चा किया गया अंतिम चरण चरण 5 था। इसलिए चरण 4 पर जाएं और उस चरण के समीकरण में शेष को अलग करें:
        • 3 = 18 - (3 * 5) (\displaystyle 3=18-(3*5))
      • अंतिम समीकरण में "3" के स्थान पर इस अभिव्यक्ति को रखें:
        • 1 = 2 (18 − 3 ∗ 5) − 5 (\displaystyle 1=2(18-3*5)-5)
        • 1 = 2 (18) - 6 (5) - 5 (\displaystyle 1=2(18)-6(5)-5)

   6. प्रतिस्थापन एवं सरलीकरण प्रक्रिया जारी रखें.यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाएगी जब तक आप यूक्लिडियन एल्गोरिदम के प्रारंभिक चरण तक नहीं पहुंच जाते। प्रक्रिया का लक्ष्य हल किए जाने वाले मूल समीकरण के गुणांक 87 और 64 के साथ एक समीकरण लिखना है। हमारे उदाहरण में:

      • 1 = 2 (18) - 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
      • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(चरण 3 से अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया)
        • 1 = 2 (18) − 7 (23) + 7 (18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23)+7(18))
        • 1 = 9 (18) - 7 (23) (\displaystyle 1=9(18)-7(23))
      • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(चरण 2 से अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया)
        • 1 = 9 (64) - 18 (23) - 7 (23) (\displaystyle 1=9(64)-18(23)-7(23))
        • 1 = 9 (64) - 25 (23) (\displaystyle 1=9(64)-25(23))
      • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(चरण 1 से अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित)
        • 1 = 9 (64) - 25 (87) + 25 (64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87)+25(64))
        • 1 = 34 (64) - 25 (87) (\displaystyle 1=34(64)-25(87))

   7. परिणामी समीकरण को मूल गुणांकों के अनुसार फिर से लिखें।जब आप यूक्लिडियन एल्गोरिदम के पहले चरण पर लौटते हैं, तो आप देखेंगे कि परिणामी समीकरण में मूल समीकरण के दो गुणांक शामिल हैं। समीकरण को फिर से लिखें ताकि उसके पदों का क्रम मूल समीकरण के गुणांकों से मेल खाए।

      • हमारे उदाहरण में, मूल समीकरण 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3). इसलिए, परिणामी समीकरण को फिर से लिखें ताकि गुणांक सुसंगत हों। गुणांक "64" पर विशेष ध्यान दें। मूल समीकरण में यह गुणांक ऋणात्मक है, लेकिन यूक्लिडियन एल्गोरिथम में यह धनात्मक है। इसलिए, कारक 34 को नकारात्मक बनाया जाना चाहिए। अंतिम समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:
        • 87 (− 25) − 64 (− 34) = 1 (\displaystyle 87(-25)-64(-34)=1)

नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान

माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 1

Pavlovo.

अनुसंधान कार्य

डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

विभाग: भौतिकी और गणित

अनुभाग: गणित

पुरा होना:

कक्षा 8ए का छात्र ट्रुखिन निकोले (14 वर्ष)

वैज्ञानिक पर्यवेक्षक:

गणित शिक्षक

लेफ़ानोवा एन.ए.

सेंट पीटर्सबर्ग

2013

विषयसूची

मैं परिचय…………………………………………………………………………3

द्वितीय साहित्य समीक्षा…………………………………………………………5

III मुख्य भाग……………………………………………………………………6

चतुर्थ निष्कर्ष…………………………………………………………………………15

वी सन्दर्भ……………………………………………………16

VI परिशिष्ट…………………………………………………………………………..17

परिचय।

2011-2012 में, मैंने इस विषय पर शोध कार्य किया: "प्राचीन ग्रीस और भारत में समीकरणों को हल करना।" इस पर काम करते समय, मैं अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस और मुहम्मद अल-ख्वारिज्मी के कार्यों से परिचित हुआ। अपने पिछले काम में, मैंने दो अज्ञातों के साथ प्रथम-डिग्री समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों पर ध्यान दिया, और कुछ प्राचीन समस्याओं से परिचित हुआ जो दो अज्ञातों के साथ प्रथम-डिग्री समीकरणों को हल करने में मदद करती हैं।

ईरान में "ज्ञान के घर" के सदस्य, खोरेज़म के मूसा के पुत्र मुहम्मद बेन मौसा अल-खोरज़मी या मैगोमेद ने हमारे कालक्रम में 820 के आसपास एक पुस्तक लिखी, जहां उन्होंने सिखाया कि अंकगणित के सरल और जटिल प्रश्नों को कैसे हल किया जाए। लोगों को विरासत का बंटवारा करते समय, वसीयत बनाते समय, संपत्ति का बंटवारा करते समय और अदालती मामलों में, व्यापार में, सभी प्रकार के लेनदेन में इसकी आवश्यकता होती है। अल-खोरेज़मी नाम "बीजगणित", "अरबी अंक", "एल्गोरिदम" की अवधारणाओं से जुड़ा है। उन्होंने बीजगणित को ज्यामिति से अलग किया और इस्लामी मध्य युग के गणित में महान योगदान दिया। मुहम्मद अल-खोरेज़मी को उनके जीवन के दौरान और उनकी मृत्यु के बाद भी जाना और सम्मान दिया गया था।

लेकिन मैं डायोफैंटस के बारे में और जानना चाहता था। और इस वर्ष मेरे शोध का विषय: " डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की विधियाँ"

अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस सबसे मौलिक प्राचीन यूनानी गणितज्ञों में से एक हैं, जिनके कार्य बीजगणित और संख्या सिद्धांत के लिए बहुत महत्वपूर्ण थे। डायोफैंटस की कृतियों में सबसे महत्वपूर्ण अंकगणित है, जिसकी 13 पुस्तकें हैं, जिनमें से केवल 6 ही आज तक बची हैं। बची हुई पुस्तकों में 189 समस्याओं का समाधान मौजूद है। पहली पुस्तक उन समस्याओं को प्रस्तुत करती है जो पहली और दूसरी डिग्री के कुछ समीकरणों को जन्म देती हैं। शेष पांच पुस्तकों में अधिकतर अनिर्धारित समीकरण हैं (जिन समीकरणों में एक से अधिक अज्ञात होते हैं उन्हें अनिर्धारित कहा जाता है)। इन पुस्तकों में अभी तक अनिश्चित समीकरणों का कोई व्यवस्थित सिद्धांत नहीं है, समाधान के तरीके हर मामले में अलग-अलग होते हैं। डायोफैंटस एक समाधान, पूर्ण या आंशिक, से तब तक संतुष्ट रहता है जब तक वह सकारात्मक है। हालाँकि, अनिश्चित समीकरणों को हल करने की विधियाँ गणित में डायोफैंटस का मुख्य योगदान हैं। डायोफैंटस के प्रतीकवाद में अज्ञात के लिए केवल एक संकेत था। अनिश्चित समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने कई अज्ञात के रूप में मनमानी संख्याओं का उपयोग किया, जिसके स्थान पर किसी अन्य को लिया जा सकता था, जिससे उनके समाधान की व्यापकता बरकरार रही।

मेरे काम का उद्देश्य:

1.डायोफैंटाइन समीकरणों से परिचित होना जारी रखें।

2. डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करते समय गणना और फैलाव (पीसने) के तरीकों की जांच करें।

3. कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए डायोफैंटाइन समीकरणों का उपयोग करने की संभावना की जांच करें।

द्वितीय. साहित्य की समीक्षा।

काम लिखते समय मैंने निम्नलिखित साहित्य का उपयोग किया:

मैंने डायोफैंटस और अल-खोरेज़मी के बारे में जानकारी का उपयोग किया।

यह पुस्तक अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए डायोफैंटस के तरीकों के लिए समर्पित है। यह स्वयं डायोफैंटस के जीवन के बारे में बताता है। मैंने इस जानकारी का उपयोग अपने काम में किया।

पुस्तक प्राचीन काल से बीजगणित के इतिहास के बारे में बताती है। मैंने प्राचीन काल से समीकरणों के सिद्धांत के बारे में जानकारी का उपयोग किया है।

इस पुस्तक में गणित की बुनियादी अवधारणाओं और उसके अनुप्रयोगों पर समर्पित लगभग 200 लेख हैं। मैंने "बीजगणित", "समीकरण", "डायोफैंटाइन समीकरण" लेखों से सामग्री का उपयोग किया

व्यावहारिक उपयोग के लिए समस्याओं के पाठ पुस्तक से लिए गए हैं।

इस विषय पर मैंने साइट का उपयोग किया:

http :// आरयू . विकिपीडिया . संगठन (अल-खोरज़मी और डायोफैंटस के बारे में जानकारी। डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के तरीकों पर)।

मुख्य भाग

आजकल, जिसने भी गणित का अध्ययन किया है उसने डायोफैंटाइन समीकरणों के बारे में सुना है। पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरण, पूर्णांक (कम अक्सर तर्कसंगत) संख्याओं के सेट में हल करने योग्य, गणित के इतिहास में डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में दर्ज हुए . डिग्री 1 और 2 के डायोफैंटाइन समीकरणों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। मेरे काम की सामग्री में ऐसी समस्याएं शामिल हैं जो दो अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण को हल करने तक सीमित हैं

(1)

आइए समस्या पर विचार करें.

कार्य 1. एक पिंजरा है एक्स तीतर और परखरगोश. यदि पैरों की कुल संख्या 62 है तो एक पिंजरे में कितने तीतर और खरगोश हैं?

पैरों की कुल संख्या समीकरण 2x+4y=62 (2) का उपयोग करके लिखी जा सकती है

यह समानता, जिसे मैंने समस्या की स्थितियों के अनुसार संकलित किया है, दो चर वाला समीकरण कहलाती है। इस समीकरण को रैखिक समीकरण कहा जाता है. विभिन्न समस्याओं को हल करने में रैखिक समीकरण महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। मैं आपको इस अवधारणा से जुड़े मुख्य प्रावधानों की याद दिला दूं।

दो चर वाला एक रैखिक समीकरण ax +by =c के रूप का एक समीकरण है, जहां x और y चर हैं, a, b और c कुछ संख्याएं हैं।

समीकरण (2) से स्पष्ट रूप से मान निर्धारित करें एक्स और ययह वर्जित है। भले ही हम खुद को केवल चर के प्राकृतिक मूल्यों तक ही सीमित रखें, ऐसे मामले भी हो सकते हैं: 1 और 15, 3 और 14, 5 और 13, आदि।

संख्याओं की एक जोड़ी ( ए, बी) को दो चर वाले समीकरण का समाधान कहा जाता है यदि, x को a से और y को b से प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक सच्ची समानता प्राप्त होती है।

दो चर वाला प्रत्येक समीकरण इसके समाधानों के एक सेट से मेल खाता है, यानी, संख्याओं के सभी जोड़े (ए, बी) से युक्त एक सेट, जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक वास्तविक समानता प्राप्त होती है। इस मामले में, बेशक, यदि सेट एक्स और वाई पहले से निर्दिष्ट हैं, जो अज्ञात x और y ले सकता है, तो आपको केवल ऐसे जोड़े लेने की जरूरत है (ए, बी), जिसके लिए a, X से संबंधित है और b, Y से संबंधित है।

कुछ संख्याएँ ( ए, बी) इसे समतल पर निर्देशांक वाले बिंदु M द्वारा दर्शाया जा सकता है एऔर बी, एम= एम(ए, बी)। दो अज्ञात वाले समीकरण के समाधान के सेट के सभी बिंदुओं की छवियों पर विचार करने पर, हमें विमान का एक निश्चित उपसमुच्चय प्राप्त होता है। इसे समीकरण का ग्राफ कहा जाता है .

यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण को रेखांकन करके जिसमें कम से कम एक गुणांक शून्य नहीं है, एक सीधी रेखा है. इस समीकरण का ग्राफ बनाने के लिए, निर्देशांक के साथ दो बिंदु लेना और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना पर्याप्त है। मैंने अपने पिछले कार्य में ग्राफ़िकल समाधान पद्धति का उपयोग किया था।

दो चर वाले दो समीकरण जिनका समाधान समान हो, समतुल्य कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण x+2y=5 और 3x+6y=15 समतुल्य हैं - संख्याओं का कोई भी जोड़ा जो इनमें से एक समीकरण को संतुष्ट करता है वह दूसरे को भी संतुष्ट करता है।

दो चर वाले समीकरणों में एक चर वाले समीकरण के समान गुण होते हैं:

1) यदि आप किसी समीकरण में किसी पद को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते हैं, उसका चिह्न बदलते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलेगा;

2) यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।

डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं:

गणना विधि

यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करना

निरंतर भिन्न का उपयोग करना

बिखेरने (पीसने) की विधि

पास्कल प्रोग्रामिंग भाषा में प्रोग्रामिंग करके

अपने काम में, मैंने तरीकों की खोज की - विकल्पों की गणना और फैलाव (पीसना)

विकल्पों की गणना करने की विधि पर विचार करते समय, समीकरण के संभावित समाधानों की संख्या को ध्यान में रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, इस विधि का उपयोग निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है:

कार्य 2. एंड्री गर्मियों में एक कैफे में काम करता है। हर घंटे के लिए उसे 10 रूबल का भुगतान किया जाता है। और वे 2 रूबल की गणना करते हैं। हर टूटी हुई प्लेट के लिए. पिछले हफ्ते उन्होंने 180 रूबल कमाए। निर्धारित करें कि उसने कितने घंटे काम किया और उसने कितनी प्लेटें तोड़ीं, यदि यह ज्ञात हो कि वह प्रतिदिन 3 घंटे से अधिक काम नहीं करता है।

समाधान।

होने देना एक्सफिर वह सप्ताह में कुल घंटे काम करता था 10xआर। उसे भुगतान किया गया था, लेकिन उसने इसे तोड़ दिया परप्लेटें, और उससे कटौती की गई 2यूआर। हमारे पास समीकरण है 10x – 2y =180, और एक्स 21 से कम या उसके बराबर। हमें मिलता है: 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

क्योंकि एक्स तो फिर एक पूर्णांक पर 5 से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए ताकि दाहिना भाग एक पूर्णांक बन जाए। चार संभावित मामले हैं

y=0, x=18, यानी समाधान जोड़ी है - (18, 0);

y=5, x=19, (19,5);

y=10, x=20, (20, 10);

y=15, x=21, (21, 15).

मैंने विकल्पों की गणना की विधि का उपयोग करके इस समस्या को हल किया। उत्तर में चार संभावित विकल्प हैं। मैंने इस तरह से कई और समस्याओं को हल करने का प्रयास किया।

समस्या 3. 23 रूबल का योग दो रूबल और पांच रूबल के सिक्कों से बनता है। इनमें से कितने सिक्के दो-रूबल के हैं?

समाधान।

होने देना एक्स - दो रूबल के सिक्कों की संख्या, य -पांच रूबल के सिक्कों की संख्या. आइए समीकरण बनाएं और हल करें: 2x+5y=23; 2x=23–5y; x = (23 – 5y):2; x =(22+1 – 5y):2, हम 22 पदों को पदों से और (1 – 5y) को 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है: x = 11 + (1 – 5y):2.

क्योंकि एक्स और य समस्या की स्थितियों के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ, तो समीकरण का बायाँ भाग एक प्राकृतिक संख्या है, जिसका अर्थ है कि दायाँ पक्ष भी एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। इसके अलावा, दाईं ओर एक प्राकृतिक संख्या प्राप्त करने के लिए, अभिव्यक्ति (1 - 5y) को 2 से पूरी तरह से विभाज्य होना चाहिए। आइए विकल्पों की गणना करें।

y =1, x=9, यानी, 9 दो रूबल के सिक्के हो सकते हैं;

y=2, जबकि व्यंजक (1 – 5y) 2 से विभाज्य नहीं है;

y=3, x=4, यानी, 4 दो रूबल के सिक्के हो सकते हैं;

जब y, 4 से बड़ा या उसके बराबर है, तो x एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

इस प्रकार, समस्या का उत्तर इस प्रकार है: सिक्कों में 9 या 4 दो रूबल के सिक्के हैं।

कार्य 4. शेहेरज़ादे महान शासक को अपनी कहानियाँ सुनाती है। कुल मिलाकर उसे 1001 कहानियाँ सुनानी होंगी। शेहरज़ादे को अपनी सारी कहानियाँ बताने में कितनी रातें लगेंगी? एक्स रातों को वह 3 परीकथाएँ सुनाएँगी, और शेष कहानियाँ 5 प्रति परनाइट्स

समाधान।

कहानीकार को x + y की आवश्यकता होगी नाइट्स , जहां x और y - समीकरण की प्राकृतिक जड़ें 3x+5y=1001

x = (1001 – 5y):3; क्योंकि एक्सएक प्राकृतिक संख्या है, तो समानता के दाईं ओर एक प्राकृतिक संख्या भी होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्ति (1001 - 5y) 3 से समान रूप से विभाज्य होनी चाहिए।

आइए विकल्पों पर गौर करें।

y=1, 1001 – 5y=1001-5= 996, 996 को 3 से विभाजित किया जाता है, इसलिए x=332; निर्णय (332;1);

y=2, 1001-10=991, 991 3 से विभाज्य नहीं है;

y=3, 1001 – 15 = 986; 986, 3 से विभाज्य नहीं है;

y = 4, 1001 – 20 = 981, 981 को 3 से विभाजित किया जाता है, इसलिए x = 327, समाधान (327;4), आदि।

इस समस्या में संभावित जड़ों के 67 जोड़े हैं; मैंने इस समस्या के सभी समाधान नहीं दिखाए, क्योंकि इसमें बहुत समय लगता है।

समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सी (1) उपरोक्त समस्याओं में, मैंने उन्हें विकल्प गिनाकर हल किया। मैंने स्वयं महसूस किया कि इस समस्या को हल करने के लिए विकल्पों की गणना करने की विधि हमेशा प्रभावी नहीं होती है, क्योंकि समीकरण के सभी समाधान खोजने में काफी समय लगता है। और, मेरी राय में, यह वर्तमान में अप्रासंगिक है।

इसलिए, मैंने स्कैटरिंग (पीसने) विधि का उपयोग करके शेहेरज़ादे समस्या को हल किया।

स्कैटरिंग विधि पूर्णांक संख्याओं में, पूर्णांक गुणांक वाले अपरिभाषित प्रथम-डिग्री समीकरणों को हल करने की एक सामान्य विधि है।

तो, आइए प्रकीर्णन विधि का उपयोग करके शेहेरज़ादे के बारे में समस्या का समाधान करें:

आइए समीकरण 3x + 5y = 1001 की ओर मुड़ें।

आइए इसे अलग तरीके से फिर से लिखें: 3x = 1001- 5y; 3x= 1001 - 2y - 3y;

एक्स = - वाई +
और निरूपित करें एक्स एल= वाई + एक्स

परिणामस्वरूप, समीकरण 3x का रूप ले लेगा 1 = 1001 – 2у या

आप = – एक्स एल
.

यदि हम फिर से प्रतिस्थापन y 1 = y + x 1 करते हैं, तो हम समीकरण पर पहुंचते हैं

x 1 + 2у 1 = 1001। ध्यान दें कि अज्ञात के लिए गुणांक कम हो गए हैं - छोटे हो गए हैं।

यहां x 1 का गुणांक 1 के बराबर है, और इसलिए किसी भी पूर्णांक y 1 = t के लिए, संख्या x 1 भी एक पूर्णांक है। मूल चर को t के रूप में व्यक्त करना बाकी है:

x 1 = 1001 – 2 t, इसलिए, y = - 1001 + 3 t, और x = 2002 - 5 t। तो, हमें पूर्णांक समाधानों का एक अनंत अनुक्रम (2002 - 5 t, - 1001 + 3 t) मिलता है . चरों के मान ज्ञात करने के सूत्रों की उपस्थिति पहले प्राप्त समाधानों से भिन्न है, लेकिन समस्या की स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, जड़ें समान हैं। इस प्रकार, युग्म (332;1) t =334 पर प्राप्त होता है।

मेरी राय में, यह विधि न केवल अधिक सुविधाजनक है (इसमें क्रियाओं का एक एल्गोरिदम है), बल्कि दिलचस्प भी है। यह ज्ञात है कि यह विधिवी शुरुआत में पहली बार इस्तेमाल किया गयाछठीवी भारतीय गणितज्ञआर्यभट्ट.

पिछले वर्ष मैंने ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित फैलाव विधियों का उपयोग करके प्राचीन भारतीय समस्या का समाधान दिखाया था। निर्णय तर्कहीन था.

इसे नीचे प्रस्तुत किया गया है:

"दो पूर्णांक ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि पहले के गुणनफल के बीच 19 और दूसरे के 8 के गुणनफल के बीच का अंतर 13 है।"

समस्या के लिए समीकरणों के सभी पूर्णांक समाधान खोजने की आवश्यकता है।

समाधान:

(1) 19एक्स – 8य = 13

मैं व्यक्त करता हूँ य- सबसे छोटे निरपेक्ष मान गुणांक के साथ अज्ञात एक्स, मुझे समझ आ गया:

(2) य = (19एक्स – 13)/8

अब हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि पूर्णांक मान किस पर हैं एक्स संगत मान य पूर्णांक भी हैं. मैं समीकरण (2) को इस प्रकार फिर से लिखूंगा:

(3) य = 2एक्स + (3एक्स – 13)/8

(3) से यह पता चलता है कि एक पूर्णांक x के लिए y पूर्णांक मान तभी लेता है जब अभिव्यक्ति (3) एक्समान लीजिए -13)/8 एक पूर्णांक है य 1 . विश्वास

(4) (3एक्स - 13)/8 = य 1 ,

प्रश्न दो अज्ञात x और के साथ पूर्णांक समीकरण (4) में हल करने तक सीमित हो जाता है य 1 ; इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(5) 3एक्स – 8य 1 = 13.

इस समीकरण का मूल (1) की तुलना में यह लाभ है कि 3 - अज्ञात के लिए गुणांक के निरपेक्ष मानों में से सबसे छोटा - (1) से कम है, अर्थात। 8. यह इस तथ्य के कारण प्राप्त हुआ कि x (19) के गुणांक को 8 से विभाजन के शेष भाग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।

इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए, हम (5) से प्राप्त करते हैं:

(6) एक्स= (8 वर्ष) 1 +13)/3 = 2य 1 + (2य 1 + 13)/3.

तो, पूर्णांक y 1 के साथ अज्ञात x तभी पूर्णांक मान लेता है जब (2 य 1 मान लीजिए + 13)/3 एक पूर्णांक है य 2 :

(7) (2य 1 + 1)/3 = य 2 ,

या

(8) 3य 2 – 2 य 1 = 13.

(9) य 1 = (3य 2 - 13)/2 = य 2 + (य 2 - 13)/2

विश्वास

(10) (य 2 - 13)/2 = य 3 ,

मुझे समझ आ गया

(11) य 2 – 2 य 3 = 13.

यह सभी अनिश्चित समीकरणों में सबसे सरल है, क्योंकि इनमें से एक गुणांक 1 के बराबर है।

(11) से मुझे मिलता है:

(12) य 2 = 2य 3 + 13.

इससे पता चलता है कि y 2, y 3 के किसी भी पूर्णांक मान के लिए पूर्णांक मान लेता है। समानता (6), (9), (12), (3) से क्रमिक प्रतिस्थापन द्वारा समीकरण (1) के अज्ञात x और y के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ पाई जा सकती हैं:

एक्स= 2य 1 +य 2 = 2(य 2 +य 3 ) + य 2 = 3y 2 + 2 य 3 = 3(2य 2 + 13) + 2य 3 = 8य 3 + 39;

पर= 2एक्स + य 1 = 2(8य 3 + 39) + य 2 + य 3 = 19य 3 +91.

इस प्रकार, सूत्र

एक्स = 8 य 3 + 39,

y=19 य 3 + 91.

पर आप 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, ... समीकरण (1) के सभी पूर्णांक समाधान दें।

निम्न तालिका ऐसे समाधानों के उदाहरण प्रदान करती है।

तालिका नंबर एक।

y3

एक्स

य

आइए इस समस्या को तर्कसंगत रूप से हल करें। समाधान एक विशिष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

कार्य 5.

दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि पहली संख्या 19 और दूसरी संख्या 8 के गुणनफल के बीच का अंतर 13 है।

समाधान। आपको समीकरण 19x - 8y = 13 को हल करना होगा

आइए इसे अलग तरीके से फिर से लिखें: 8y =19x –13; 8y =16x +3x –13; y = 2x +

और निरूपित करें y 1 = y - 2x.

परिणामस्वरूप, समीकरण 8y 1 = 3x - 13 या x = 2y 1 का रूप ले लेगा
.

यदि हम पुनः प्रतिस्थापन x 1 = x - 2y 1 करते हैं, तो हम समीकरण पर पहुँचते हैं

3एक्स एल - 2यू 1 = 13.

अज्ञात के गुणांक कम हो गए हैं - छोटे हो गए हैं। आगे पीसना: y 1 = x l +
, तो हमें y 2 =y 1 – x 1 प्राप्त होता है।

परिणामस्वरूप, अंतिम समीकरण x 1 - 2y 2: = 13 के रूप में बदल जाता है। यहां x 1 के लिए गुणांक 1 के बराबर है, और इसलिए, किसी भी पूर्णांक y 2 = t के लिए, संख्या x 1 भी एक है पूर्णांक

मूल चर को t के रूप में व्यक्त करना बाकी है:

पहले हम x 1 = 2t +13, y 1 = 3t +13 व्यक्त करते हैं; और फिर x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

तो, हमें एक अनंत अनुक्रम (39 + 8) मिलता हैटी, 91 + 19 टी) पूर्णांक समाधान. समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सी (1) उपरोक्त समस्याओं में मैंने उन्हें बिखरने (पीसने) विधि का उपयोग करके हल किया।

चतुर्थ. निष्कर्ष।

उन्हें हल करने के लिए डायोफैंटाइन समीकरणों का अध्ययन करते समय, मैंने विकल्पों की गणना और फैलाव (पीसने) के तरीकों का इस्तेमाल किया। इन तरीकों का उपयोग करके मैंने आधुनिक और प्राचीन दोनों समस्याओं का समाधान किया। मेरे काम की सामग्री में ऐसे कार्य शामिल थे जो दो चर ax+b y=c (1) के साथ प्रथम डिग्री समीकरणों को हल करने तक सीमित थे।

अपने काम के दौरान, मैं निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचा:

क्रूर बल विधि के लिए काफी समय की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि यह बहुत सुविधाजनक और तर्कसंगत नहीं है।

मेरी राय में, बिखरने की विधि अधिक तर्कसंगत है। जब मैंने इस पद्धति का उपयोग करके एक प्राचीन भारतीय समस्या को हल किया, तो मुझे एहसास हुआ कि इसे हल करने के लिए एक निश्चित एल्गोरिदम था। स्कूल में जो ज्ञान मुझे मिला वही मेरे लिए काफी था। मुझे विश्वास हो गया कि गणित के विकास के साथ-साथ प्री-फ़ैंट समीकरणों को हल करने के तरीकों में लगातार सुधार हो रहा है।

अगले वर्ष मैं डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन जारी रखना चाहता हूं।

वी संदर्भ

जी. आई. ग्लेज़र "स्कूल में गणित का इतिहास" एम.: एड. "ज्ञानोदय" 1964 376s.

आई. जी. बश्माकोवा "डायोफैंटस और डायोफैंटाइन समीकरण" एम.: एड। "विज्ञान" 1972 68s.

वी. ए. निकिफोरोव्स्की "समीकरणों की दुनिया में" एम.: एड. "विज्ञान" 1987 176s.

ए. पी. सविन "एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश" एम.: एड। "शिक्षाशास्त्र" 1985

जी. एम. वोज़्न्याक, वी. एफ. गुसेव "एप्लाइड प्रॉब्लम्स ऑन एक्स्ट्रेमा" एम.: एड। "ज्ञानोदय" 1985 144s.

http :// आरयू . विकिपीडिया . संगठन

VI. आवेदन पत्र।

फार्म को 167 मीटर लंबी जल आपूर्ति प्रणाली स्थापित करने की आवश्यकता है। पाइप 5 मीटर और 7 मीटर की लंबाई में उपलब्ध हैं। कम से कम संख्या में कनेक्शन बनाने के लिए इनमें से कितने और अन्य पाइपों का उपयोग किया जाना चाहिए (पाइपों को न काटें)?

यह ध्यान में रखते हुए कि एक और दूसरे दोनों पाइपों की संख्या भिन्न हो सकती है, 7-मीटर पाइपों की संख्या को निरूपित किया जाता है x.5– मीटर – के माध्यम से पर

फिर 7x 7 मीटर पाइप की लंबाई है, 5y 5 मीटर पाइप की लंबाई है।

यहाँ से हमें अनिश्चित समीकरण मिलता है:

7x+5y=167

उदाहरण के लिए, चर को व्यक्त करके परचर के माध्यम से एक्स, हम पाते हैं:

पाशविक बल विधि का उपयोग करके मानों के संगत जोड़े ढूंढना आसान है एक्सऔर पर, जो समीकरण 7x+5y=167 को संतुष्ट करता है

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

इन समाधानों में से, सबसे अधिक लाभदायक अंतिम समाधान है, अर्थात x = 21; y=4.

संख्याओं और जन्म तिथियों का अनुमान लगाने की कई प्राचीन विधियाँ डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने पर आधारित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, वार्ताकार की जन्म तिथि (महीना और दिन) का अनुमान लगाने के लिए, उससे दो उत्पादों को जोड़ने से प्राप्त राशि के बारे में पूछना पर्याप्त है: तिथि संख्या (एक्स ) 12 और महीने की संख्या से (पर ) 31 पर.

2. माना कि प्रश्न में उत्पादों का योग 330 के बराबर है। जन्म तिथि ज्ञात करें।

आइए एक अनिश्चित समीकरण को हल करें

12 एक्स + 31 पर = 330.

प्रकीर्णन विधि का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

एक्स = 43 – 31 पर 4 ,

पर = 6 – 12 पर 4 .

सीमाओं के कारण, यह कहना आसान है कि एकमात्र समाधान यही है

पर 4 = 1, एक्स = 12, पर = 6.

तो, जन्म तिथि: 6वें महीने का 12वाँ दिन, यानी। 12 जून.

डायोफैंटाइन समीकरण

डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की विधियाँ

सबसे अधिक अध्ययन पहली और दूसरी डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरणों का किया गया है। आइए पहले प्रथम डिग्री के समीकरणों पर विचार करें। चूँकि एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करना दिलचस्प नहीं है, हम दो अज्ञात के साथ समीकरणों की ओर मुड़ते हैं। हम इन समीकरणों को हल करने के लिए दो तरीकों पर विचार करेंगे।

ऐसे समीकरणों को हल करने का पहला तरीका यूक्लिडियन एल्गोरिथम है। शेषफल के साथ विभाजन की प्रक्रिया का उपयोग करके, इन संख्याओं का गुणनखंड किए बिना, प्राकृतिक संख्याओं ए और बी का सबसे बड़ा विभाजक खोजना संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको इनमें से बड़ी संख्या को छोटी से विभाजित करना होगा, फिर छोटी संख्या को पहले भाग के शेषफल से, फिर पहले भाग के शेष को दूसरे भाग के शेष से विभाजित करना होगा, और इस प्रक्रिया को जारी रखना होगा। जब तक कि विभाजन शेषफल के बिना न हो जाए। अंतिम गैर-शून्य शेषफल वांछित gcd(a,b) है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आइए हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला के रूप में वर्णित प्रक्रिया की कल्पना करें: यदि a>b, तो

यहां r1,….,rn सकारात्मक शेषफल हैं, जो बढ़ती संख्या के साथ घटते जाते हैं। पहली समानता से यह पता चलता है कि संख्याओं a और b का सामान्य भाजक r1 को विभाजित करता है और b और r1 का सामान्य भाजक a को विभाजित करता है, इसलिए gcd (a,b) = gcd (r1,r2)=….= gcd (rn -1, आरएन) = जीसीडी (आरएन,0)= आरएन। आइए हम फिर से सिस्टम (1) की ओर मुड़ें, शेष आर1 को ए और बी के संदर्भ में व्यक्त करते हुए, हमें आर1 = ए - बीक्यू0 प्राप्त होता है। इसे दूसरी समानता में प्रतिस्थापित करने पर, हम r2=b(1+q0q1)-aq1 पाते हैं। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंतिम आरएन = एए + बीबी सहित सभी शेषफलों को ए और बी के संदर्भ में व्यक्त करने में सक्षम होंगे। परिणामस्वरूप, हमने निम्नलिखित प्रस्ताव को सिद्ध कर दिया है: यदि d प्राकृतिक संख्याओं a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, तो ऐसे पूर्णांक A और B हैं कि d = एए + बीबी। ध्यान दें कि गुणांक ए और बी के अलग-अलग चिह्न हैं; यदि GCD(a,b)=1, तो Aa+Bb=1. संख्या ए और बी कैसे खोजें, यह यूक्लिड एल्गोरिथम से देखा जा सकता है।

आइए अब हम दो अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए आगे बढ़ें। ऐसा लग रहा है:

दो संभावित मामले हैं: या तो c, d= gcd(a,b) से विभाज्य है, या नहीं। पहले मामले में, आप दोनों पक्षों को d से विभाजित कर सकते हैं और समीकरण a1x+b1y=c1 को पूर्णांकों में हल करने की समस्या को कम कर सकते हैं, जिसके गुणांक a1=a/d और b1=b/d सहअभाज्य हैं। दूसरे मामले में, समीकरण में पूर्णांक समाधान नहीं हैं: किसी भी पूर्णांक x और y के लिए, संख्या ax+by, d से विभाज्य है और इसलिए संख्या c के बराबर नहीं हो सकती है, जो कि d से विभाज्य नहीं है। इसलिए, हम स्वयं को उस स्थिति तक सीमित कर सकते हैं जब समीकरण (2) में गुणांक सहअभाज्य हों। पिछले प्रस्ताव के आधार पर, ऐसे पूर्णांक x0 और y0 हैं कि ax0+by0=1, जिसमें से जोड़ी (cx0,cy0) समीकरण (2) को संतुष्ट करती है, इसके साथ समीकरण (2) एक अनंत सेट से संतुष्ट होती है पूर्णांकों के जोड़े (x,y), जिन्हें सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है

x=cx0+bt,y=cy0-at. (3)

यहाँ t कोई पूर्णांक है। यह दिखाना आसान है कि समीकरण ax+by=c का कोई अन्य पूर्णांक समाधान नहीं है। प्रपत्र (3) में लिखे गए समाधान को समीकरण (2) का सामान्य समाधान कहा जाता है। t के स्थान पर एक विशिष्ट पूर्णांक रखने पर हमें उसका विशेष हल प्राप्त होता है। आइए, उदाहरण के लिए, समीकरण 2x+5y=17 का पूर्णांक समाधान खोजें जिसका हम पहले ही सामना कर चुके हैं। यूक्लिडियन एल्गोरिदम को संख्या 2 और 5 पर लागू करने पर, हमें 2*3-5=1 मिलता है। इसका मतलब यह है कि जोड़ी cx0=3*17,cy0=-1*17 समीकरण 2x+5y=17 को संतुष्ट करती है। इसलिए, मूल समीकरण का सामान्य समाधान x=51+5t, y=-17-2t है, जहां t कोई पूर्णांक मान लेता है। जाहिर है, गैर-नकारात्मक समाधान उन टी से मेल खाते हैं जिनके लिए असमानताएं संतुष्ट हैं

यहाँ से हम पाते हैं - 51 ?टी? - 17 . ये असमानताएँ संख्याओं -10, -9 से संतुष्ट होती हैं। 52

संगत आंशिक समाधान जोड़े (1,3), (6,1) के रूप में लिखे जाएंगे।

आइए पक्षियों के बारे में प्राचीन चीनी समस्याओं में से एक को हल करने के लिए उसी विधि को लागू करें।

समस्या: यदि आपको कुल मिलाकर 100 पक्षी खरीदने की आवश्यकता है, तो आप 100 सिक्कों से कितने मुर्गे, मुर्गियाँ और मुर्गियाँ खरीद सकते हैं, और एक मुर्गे की कीमत 5 सिक्के, एक मुर्गी की कीमत 4, और 4 मुर्गियों की कीमत 1 सिक्का है?

इस समस्या को हल करने के लिए, आइए मुर्गों की आवश्यक संख्या को x से, मुर्गियों को y से और मुर्गियों को 4z से निरूपित करें (शर्त से यह स्पष्ट है कि मुर्गियों की संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए)। आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

जिसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में हल किया जाना चाहिए। सिस्टम के पहले समीकरण को 4 से गुणा करके, और दूसरे को (-- 1) से गुणा करके और परिणाम जोड़कर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं - x+15z=300 पूर्णांक समाधान के साथ x= - 300+ 15t, z = टी। इन मानों को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें y = 400 -- 19t प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पूर्णांक समाधानों का रूप x = --300+15t, y = 400--19t, z = t है। समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि

20?t?21 1/19 कहाँ से आता है, अर्थात। t = 20 या t = 21. तो, 100 सिक्कों से आप 20 मुर्गियाँ और 80 मुर्गियाँ, या 15 मुर्गे, 1 मुर्गी और 84 मुर्गियाँ खरीद सकते हैं

पहली डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की दूसरी विधि पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई विधि से बहुत अलग नहीं है, लेकिन यह एक और दिलचस्प गणितीय अवधारणा से जुड़ी है। हम निरंतर या निरंतर भिन्नों के बारे में बात कर रहे हैं। उन्हें निर्धारित करने के लिए, हम फिर से यूक्लिडियन एल्गोरिथम की ओर मुड़ते हैं। सिस्टम की पहली समानता (1) से यह पता चलता है कि भिन्न a/b को एक पूर्णांक भाग और एक उचित भिन्न के योग के रूप में लिखा जा सकता है: a/b=q0+r1/b। लेकिन r1/b=1/b, और उसी प्रणाली की दूसरी समानता के आधार पर हमारे पास b/r1=q1+r2/r1 है। इसका मतलब है a/b=q0+1/q1+r2/r1. आगे हमें a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2 मिलता है। आइए इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक हम हर qn तक नहीं पहुंच जाते। परिणामस्वरूप, हम सामान्य भिन्न a/b को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करेंगे: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn। यूलर ने इस प्रकार के भिन्नों को जारी रखा। लगभग उसी समय, जर्मनी में एक और शब्द सामने आया - निरंतर अंश। अतः इन भिन्नों के लिए दोनों नाम सुरक्षित रखे गए। उदाहरण के तौर पर, आइए अंश 40/3t को एक श्रृंखला अंश के रूप में कल्पना करें: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/ 9/4= 1+1/3+1/2+1/4.

निरंतर भिन्नों में निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यदि वास्तविक संख्या a को निरंतर भिन्न के रूप में लिखा जाता है, तो उपयुक्त भिन्न Pk/Qk उन सभी भिन्नों के बीच संख्या a का सर्वोत्तम सन्निकटन देता है जिनके हर Qk से अधिक नहीं होते हैं। वर्गमूलों के मानों के सर्वोत्तम सन्निकटन की खोज की प्रक्रिया में ही इतालवी गणितज्ञ पिएत्रो एंटोनियो कैटाल्डी (1552-1626) 1623 में निरंतर भिन्नों तक पहुंचे, यहीं से उनका अध्ययन शुरू हुआ। अंत में, आइए निरंतर भिन्नों पर लौटें और उदाहरण के लिए, दशमलव की तुलना में उनके फायदे और नुकसान पर ध्यान दें। सुविधा इस तथ्य में निहित है कि उनके गुण किसी संख्या प्रणाली से संबद्ध नहीं हैं। इस कारण से, सैद्धांतिक अध्ययनों में निरंतर भिन्नों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जाता है। लेकिन उन्हें व्यापक व्यावहारिक उपयोग नहीं मिला है, क्योंकि उनके लिए अंकगणितीय संचालन करने के लिए कोई सुविधाजनक नियम नहीं हैं जो दशमलव अंशों के लिए उपलब्ध हैं।

आइए डायोफैंटाइन समीकरणों पर विचार करें और उन्हें हल करें।

1 समीकरण 3x+5y=7 को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,

y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,

y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,

x=7-5(-1+3t)/3=4-5t

(टी-कोई संख्या)।

2 समीकरण 6xІ+5yІ=74 को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

6xI-24=50-5yI, या 6(xI-4)=5(10-yI), जिसमें से xI-4=5u, यानी। 4+5u?0, आप कहाँ से?-4/5.

वैसे ही:

10-yІ=6u, अर्थात्। 10-6यू?0, यू?5/3.

पूर्णांक u असमानता को संतुष्ट करता है

4/5?u?5/3, अर्थात्। यू=0 और यू=1.

जब u=0, हमें 10=yІ मिलता है, जहां y एक पूर्णांक नहीं है, जो गलत है। माना u=1, फिर xI=9, yI=4.

उत्तर: (x1=3, (x2=3, (x3=-3, (x4=-3,

(y1=2, (y2=-2, (y3=2, (y4=-2)।

3 समीकरण xі+yі-3xy=2 को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

यदि x और y दोनों विषम हैं या उनमें से एक विषम है, तो समीकरण का बायाँ भाग एक विषम संख्या है और दायाँ भाग एक सम संख्या है। यदि x=2m और y=2n, तो 8mі+8nі-12mn=2, अर्थात 2(2mі+2nі-3mn)=1, जो किसी भी पूर्णांक m और n के लिए असंभव है।

4 सिद्ध करें कि समीकरण 2xІ+5yІ=7 का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

सबूत।

समीकरण दर्शाता है कि y एक विषम संख्या होनी चाहिए। y=2z+1 रखने पर, हमें 2xI-20zI-20z-5=7, या xI-10zI-10z=6 मिलता है, जिसका अर्थ है कि x एक सम संख्या है। आइए x=2u रखें। फिर 2uІ-5z(z=1)=3, जो असंभव है, क्योंकि z(z+1) एक सम संख्या है।

5 साबित करें कि a के किसी भी सकारात्मक पूर्णांक मान के लिए, समीकरण xI+yI=ai पूर्णांकों में हल करने योग्य है।

सबूत।

आइए x+y=aI, x-y=a, जहां से x=a(a+1)/2 और y=a(a-1)/2 रखें। चूँकि a के किसी भी पूर्णांक मान के लिए, इनमें से प्रत्येक भिन्न के अंश में एक सम और एक विषम संख्या का गुणनफल होता है, इस तरह से परिभाषित x और y पूर्ण संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 समीकरण (x+1)(xІ+10=yі) को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

हम तुरंत देखते हैं कि संख्याओं के जोड़े (0;1) और (-1;0) समीकरण के समाधान हैं। चूँकि, कोई अन्य समाधान नहीं है

क्सी<(x+1)(xІ+1)<(x+1)(x+1)І=(x+1) і, то (x+1)(xІ+1)?yі

किसी पूर्णांक y के लिए नहीं (क्रमिक पूर्णांकों के घनों के बीच स्थित)।

10 और द्विघात समीकरणों को हल करने का दूसरा तरीका

1. विधि: समीकरण के बायीं ओर का गुणनखंड करना। 2. विधि: पूर्ण वर्ग निष्कर्षण विधि. 3. विधि: सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। 4. विधि: द्विघात समीकरण का ग्राफ़िक समाधान...

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणकीय... को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

डायोफैंटाइन समीकरण

डायोफैंटाइन के अंकगणित की समस्याओं को समीकरणों की सहायता से हल किया जाता है; समीकरणों को हल करने की समस्याएं अंकगणित की तुलना में बीजगणित से अधिक संबंधित हैं। फिर हम यह क्यों कहते हैं कि ये समीकरण अंकगणित हैं? बात यह है कि...

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण

डायोफैंटोस गणित के इतिहास में सबसे मनोरंजक रहस्यों में से एक प्रस्तुत करता है। हम नहीं जानते कि डायोफैंटस कौन था, उसके जीवन के सटीक वर्ष क्या थे, हम उसके पूर्ववर्तियों को नहीं जानते जिन्होंने उसके जैसे ही क्षेत्र में काम किया होगा...

तार्किक समस्याएँ और उन्हें हल करने की विधियाँ

रडार ट्रैकिंग सिस्टम का गणितीय मॉडल

उत्पादन में हमेशा एक समस्या रही है, जिसका सार सिस्टम को कुछ प्रारंभिक चरण की स्थिति से कुछ पूर्व निर्धारित अंतिम स्थिति में स्थानांतरित करना था। इसके अलावा, संक्रमण सटीकता अधिकतम होनी चाहिए...

गणितीय समीकरण और समस्या समाधान में उनका उपयोग

एक अज्ञात के साथ एक समीकरण ए (एक्स) = बी (एक्स) के रूप का एक अंकन है - अज्ञात एक्स के लिए एक अभिव्यक्ति। संख्याओं, अंकगणितीय परिचालनों के प्रतीकों और फ़ंक्शन प्रतीकों के अलावा, इन अभिव्यक्तियों में अन्य अक्षर भी शामिल हो सकते हैं जो चर को दर्शाते हैं...

प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को शब्द समस्याओं को हल करना सिखाने की पद्धतिगत विशेषताएं

किसी समस्या को हल करने का अर्थ है, समस्या में मौजूद संख्याओं, मात्राओं और संबंधों के साथ कार्यों और संचालन के तार्किक रूप से सही अनुक्रम के माध्यम से, स्पष्ट या अप्रत्यक्ष रूप से, समस्या की आवश्यकता को पूरा करना (इसके प्रश्न का उत्तर देना)...

डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए संख्या ज्यामिति विधियाँ

लैग्रेंज का चार वर्ग प्रमेय. प्रमेय: किसी भी प्राकृतिक संख्या को चार वर्ग पूर्णांकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (*) यह स्पष्ट है कि यह केवल वर्ग-मुक्त संख्याओं के लिए प्रतिनिधित्व (*) के अस्तित्व को साबित करने के लिए पर्याप्त है...

गणित में समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके

गणित में प्रवेश प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे कठिन समस्याओं में से वे समस्याएँ हैं जिनका समाधान फॉर्म या जहाँ, --- कुछ फ़ंक्शन और... के कार्यात्मक समीकरणों पर विचार करने पर निर्भर करता है।

समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके

किसी फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करने के अलावा समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अन्य गैर-मानक तरीके भी हैं। यह अध्याय समाधान के अतिरिक्त तरीकों के लिए समर्पित है...

परिचय…………………………………………………………………………………………………………1-2

1. डायोफैंटस और उसके कार्य………………………………………………………………………………3-4

2. डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान………………………………………………..4-7

2.1. एक अज्ञात के साथ डायोफैंटाइन समीकरण…………………………..4-5

2.2. x2 + y2 = z2………….5-6 के रूप की दूसरी डिग्री के अनिश्चित समीकरण

2.3. समस्या समाधान के उदाहरण……………………………………………………………………7

3. मेरा शोध……………………………………………………………………8-11

4. डायोफैंटस की "बहुभुज संख्याओं" के बारे में…………………………………………11-14

5. निष्कर्ष……………………………………………………………………..15

6. सन्दर्भों की सूची………………………………………………16

परिचय।

ज्यादा इतिहास नहीं. अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के जीवन के विवरण के बारे में लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है। डायोफैंटस हाइप्सिकल्स को उद्धृत करता है - दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व, अलेक्जेंड्रिया के थियोन डायोफैंटस के बारे में लिखते हैं - लगभग 350 ईस्वी, यह माना जा सकता है कि उनका जीवन इसी काल की सीमाओं के भीतर हुआ था। डायोफैंटस के जीवन के समय का संभावित स्पष्टीकरण इस तथ्य पर आधारित है कि उनका "अंकगणित" "सबसे सम्मानित डायोनिसियस" को समर्पित है। ऐसा माना जाता है कि यह डायोनिसियस कोई और नहीं बल्कि अलेक्जेंड्रिया के बिशप डायोनिसियस हैं, जो तीसरी शताब्दी ईस्वी के मध्य में रहते थे। डायोफैंटस का निवास स्थान सर्वविदित है - यह प्रसिद्ध अलेक्जेंड्रिया है। हेलेनिस्टिक दुनिया के वैज्ञानिक विचार का केंद्र। पैलेटिन एंथोलॉजी में एक एपिग्राम-कार्य शामिल है:

डायोफैंटस की राख कब्र में पड़ी है; उस पर आश्चर्य करो - और पत्थर।

मृतक की उम्र उसकी बुद्धिमान कला से पता चलेगी।

देवताओं की इच्छा से, उन्होंने अपने जीवन का छठा हिस्सा एक बच्चे के रूप में जीया।

और मैं साढ़े पांच बजे अपने गालों पर फुंसी के साथ मिला।

अभी सात ही बजे हैं. उन्होंने अपनी गर्लफ्रेंड से सगाई कर ली है.

उसके साथ पाँच वर्ष बिताने के बाद ऋषि को एक पुत्र हुआ;

उनका प्रिय पुत्र अपने पिता की आधी आयु तक ही जीवित रहा।

उन्हें उनके पिता से उनकी प्रारंभिक कब्र द्वारा छीन लिया गया था।

दो वर्ष में दो बार माता-पिता ने भारी दुःख मनाया,

यहाँ मैंने अपने दुःखी जीवन की सीमा देखी।

(अनुवाद)

समीकरणों को हल करने के आधुनिक तरीकों का उपयोग करके, यह गणना करना संभव है कि डायोफैंटस कितने वर्षों तक जीवित रहा।

माना कि डायोफैंटस x वर्ष जीवित है। आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

आइए भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए समीकरण को 84 से गुणा करें:

इस प्रकार, डायोफैंटस 84 वर्ष जीवित रहे। *(एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। संकलित - मॉस्को: शिक्षाशास्त्र, 1989)

डायोफैंटाइन समीकरणों का अध्ययन करते समय, आमतौर पर निम्नलिखित प्रश्न पूछे जाते हैं:

1. क्या समीकरण में पूर्णांक समाधान हैं;

2. इसके पूर्णांक समाधानों का एक सीमित या अनंत सेट;

3. पूर्णांकों के समुच्चय पर समीकरण को हल करें, अर्थात उसके सभी पूर्णांक समाधान ज्ञात करें

4. धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर समीकरण को हल करें;

इसलिए, तथ्यों के आधार पर पहले प्रस्तुत "डायोफैंटाइन समीकरण" का पता लगाना मेरे लिए दिलचस्प लगता है।

इसलिए मेरे काम का उद्देश्य है:

किसी अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने के विकल्पों का अन्वेषण करें;

दो अज्ञात वाले समीकरणों के प्रकारों का अन्वेषण करें;

समस्याओं को हल करने में परिणामों के सामान्य पैटर्न खोजें।

अध्ययन की प्रासंगिकता समीकरणों को हल करने की कठिनाइयों और "डायोफैंटाइन समीकरण" बनाने की समस्याओं के कारण है।

इस कार्य में प्रस्तुत सामग्री ओलंपियाड समस्याओं और परीक्षा पत्रों के अध्ययन पर आधारित है।

मैं. डायोफैंटस और उनके कार्य

तेरह पुस्तकों में डायोफैंटस का मुख्य कार्य "अंकगणित" है। दुर्भाग्य से, तेरह में से केवल पहली छह पुस्तकें ही आज तक बची हैं। डायोफैंटस द्वारा "अंकगणित" कुल 189 समस्याओं का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक का एक समाधान या समाधान के कई तरीके और आवश्यक स्पष्टीकरण प्रदान किए जाते हैं। अतः प्रथम दृष्टया ऐसा लगता है कि यह कोई सैद्धान्तिक कार्य नहीं है। हालाँकि, सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि समस्याओं को सावधानीपूर्वक चुना गया है और वे बहुत विशिष्ट, कड़ाई से सोचे गए तरीकों को चित्रित करने का काम करती हैं। जैसा कि प्राचीन काल में प्रथागत था, विधियों को सामान्य रूप में तैयार नहीं किया जाता है, बल्कि समान समस्याओं को हल करने के लिए दोहराया जाता है। "अंकगणित" की मुख्य समस्या अनिश्चित समीकरणों का सकारात्मक तर्कसंगत समाधान खोजना है। डायोफैंटस द्वारा परिमेय संख्याओं की व्याख्या प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही की जाती है, जो प्राचीन गणितज्ञों के लिए विशिष्ट नहीं है। सबसे पहले, डायोफैंटस दो अज्ञात में दूसरे क्रम के समीकरणों की प्रणालियों की जांच करता है। यदि कोई समाधान पहले से ही ज्ञात है तो यह अन्य समाधान खोजने के लिए एक विधि निर्दिष्ट करता है। फिर वह उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए समान तरीकों को लागू करता है। 10वीं शताब्दी में, "अंकगणित" का अरबी में अनुवाद किया गया, जिसके बाद इस्लामी देशों के गणितज्ञों, अबू कामिल और अन्य ने डायोफैंटस के कुछ शोध को जारी रखा। यूरोप में अंकगणित में रुचि तब बढ़ी जब राफेल बोम्बेली ने वेटिकन लाइब्रेरी में इस कार्य की खोज की और अपने बीजगणित (1572) में इसकी 143 समस्याओं को प्रकाशित किया। 1621 में, "अंकगणित" का एक क्लासिक, पूरी तरह से टिप्पणी किया गया लैटिन अनुवाद सामने आया, जिसे बैचेट डी मेज़िरियाक ने बनाया था। डायोफैंटस के तरीकों का फ्रांकोइस विएते और पियरे फ़र्मेट पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा, हालांकि, आधुनिक समय में, अनिश्चित समीकरणों को आमतौर पर पूर्ण संख्याओं में हल किया जाता है, न कि तर्कसंगत संख्याओं में, जैसा कि डायोफैंटस ने किया था। डायोफैंटस के अन्य कार्य भी ज्ञात हैं। "बहुभुज संख्याओं पर" ग्रंथ पूरी तरह से संरक्षित नहीं किया गया है। बचे हुए भाग में, ज्यामितीय बीजगणित विधियों का उपयोग करके कई सहायक प्रमेय प्राप्त किए गए हैं। डायोफैंटस के कार्यों "सतहों के माप पर" और "गुणन पर" से केवल टुकड़े भी संरक्षित किए गए हैं। डायोफैंटस की पुस्तक "पोरिज्म्स" अंकगणित में प्रयुक्त कुछ प्रमेयों से ही ज्ञात होती है।* (पेरेलमैन गणित। - मॉस्को, 1962)

निष्कर्ष: उपरोक्त सामग्री के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस एक समाधान पर नहीं रुकता, वह हाथ में आए कार्य में दूसरे और बाद के समाधानों की खोज करने का प्रयास करता है।

2. डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान।

2.1. एक अज्ञात के साथ डायोफैंटाइन समीकरण।

कहाँ - पूर्णांक.

प्रमेय.यदि पूर्णांक गुणांक वाले किसी समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह मूल संख्या का विभाजक (समीकरण का मुक्त पद) है। इस प्रकार, पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण के पूर्णांक मूल ज्ञात करते समय, केवल मुक्त पद के विभाजकों का परीक्षण करना पर्याप्त है।*(प्रारंभिक संख्या सिद्धांत के लिए निमंत्रण। , .)

समस्या 1

समाधान।समीकरण के मुक्त पद में निम्नलिखित विभाजक हैं https://pandia.ru/text/78/308/images/image009_5.gif" width="92 ऊंचाई=23" ऊंचाई="23">.

समस्या 2. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें

2x4 + 7x3 - 12x2 - 38x + 21 = 0.

समाधान. समीकरण के मुक्त पद में निम्नलिखित भाजक हैं

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके हम आश्वस्त हैं कि केवल इस सेट से

संख्या -3 इसका पूर्णांक मूल है।

उत्तर:एक्स=-3.

2.2. अनिश्चित समीकरणद्वितीयफॉर्म की -वीं डिग्रीएक्स2 + य2 = जेड2

अनिश्चितकालीन समीकरणों के लिए एक और विशेष समस्या है - अब दूसरी डिग्री की, जो प्राचीन मिस्र में डायोफैंटस से लगभग दो हजार साल पहले उत्पन्न हुई थी।

यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ संख्या 3, 4 और 5 के समानुपाती हों, तो यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। इस तथ्य का उपयोग जमीन पर समकोण बनाने के लिए किया गया था। उन्होंने इसे काफी सरलता से किया। रस्सी पर गांठें एक-दूसरे से समान दूरी पर बांधी गईं (चित्र 1)

चावल। 1.

बिंदु C पर जहां एक समकोण बनाना आवश्यक था, उन्होंने एक खूंटी में हथौड़ा मारा, बिल्डरों द्वारा आवश्यक दिशा में रस्सी खींची, बिंदु B (CB = 4) पर एक खूंटी में हथौड़ा मारा और रस्सी खींची ताकि AC = 3 और AB = 5. इन भुजाओं की लंबाई वाला एक त्रिभुज मिस्र कहलाता है। हम, निश्चित रूप से, समझते हैं कि इस तरह के निर्माण की अचूकता प्रमेय के विपरीत से पाइथागोरस प्रमेय तक चलती है। वास्तव में,

पूर्णांकों में 32 + 42 = 52..gif" width="85 ऊंचाई=24" ऊंचाई="24"> काफी सरल निकला। आइए प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों को एक पंक्ति में लिखें, उन्हें एक दूसरे से अलग करें अल्पविराम। प्रत्येक अल्पविराम के नीचे, लगातार वर्गों के बीच अंतर लिखें:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … .

अब ध्यान दें! क्या निचली रेखा पर भी वर्ग संख्याएँ हैं? खाओ! उनमें से पहला है 9 = 32, इसके ऊपर 16 = 42 और 25 = 52, परिचित त्रिक 3, 4, 5।

निचली पंक्ति में अगला वर्ग संख्या 25 है, यह 144 और 169 से मेल खाता है, यहां से हमें 5, 12, 13, आदि ज्ञात दूसरा त्रिक मिलता है। यहां से हमें निम्नलिखित प्रमेय तैयार करने का अधिकार है: प्रत्येक विषम संख्या दो लगातार वर्गों का अंतर है। ऐसी पंक्तियाँ लिखना काफी उबाऊ और समय लेने वाला काम है। सूत्रों का उपयोग करके, संख्याओं के ऐसे त्रिगुणों को खोजना आसान और तेज़ दोनों है। आइए जांचें कि यदि यह एक विषम संख्या है, तो। आइए यह भी जांचें कि इस मामले में समानता DIV_ADBLOCK443"> है

यदि https://pandia.ru/text/78/308/images/image019_2.gif" width=”88” ऊंचाई=”41 src=”>.gif” width=”37” ऊंचाई=”18 src=”> .gif" width=”100” ऊंचाई=”42 src=”> - दूसरा तीन, आदि. * (बश्माकोवा, और डायोफैंटाइन समीकरण - एम.: “नौका”, 1972)

2.3. समस्या समाधान के उदाहरण.

समस्या 1.समीकरण को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं के सभी जोड़े खोजें

समाधान।आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें और इस रूप का एक समीकरण लिखें: https://pandia.ru/text/78/308/images/image026_0.gif" width="63" ऊंचाई="21">, हमें मिलता है समीकरणों की दो प्रणालियाँ, जिन्हें हल करके हम आवश्यक संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं:

पहले सिस्टम में एक समाधान है https://pandia.ru/text/78/308/images/image030_0.gif' width='91' ऊंचाई='21'>.

उत्तर: .

समस्या 2. उस समीकरण को सिद्ध करें

पूर्ण समाधान नहीं है.

समाधान।आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें और इस समीकरण को इस रूप में लिखें। केस 1..जीआईएफ" चौड़ाई = "57" ऊंचाई = "24 एसआरसी = ">, लेकिन यह संख्या पूर्णांक नहीं है। इसका मतलब है कि जब y = 0 इस समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है। केस 2। मान लीजिए, फिर सभी पांच समीकरण के बाईं ओर के कारक भिन्न हैं। दूसरी ओर, संख्या 33 को चार अलग-अलग कारकों (33=1·3·11 या 33=-1·3·(-) के अधिकतम उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। 11)·1, आदि) इस समीकरण में भी पूर्णांक समाधान नहीं हैं। * (प्रारंभिक बीजगणित का नोवोसेलोव पाठ्यक्रम। - एम: सोवियत विज्ञान, 1956) यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि समीकरणों के समाधान प्राकृतिक संख्याएँ खोजने तक सीमित हैं "पायथागॉरियन ट्रिपल" का उपयोग करना;

3. मेरा शोध.

1. जिसके लिए सभी प्राकृत संख्याएँ ज्ञात कीजिएसमीकरण3x + 5y = sइसका समाधान गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में है।

यह स्पष्ट है कि c = 3.5, 6, 8, 9 के लिए समीकरण 3x + 5 y = c का समाधान गैर-ऋणात्मक संख्याओं x और y में है, लेकिन c = 1, 2, 4, 7 के लिए समीकरण में कोई समाधान नहीं है ऐसे समाधान. यह भी ध्यान दें कि यदि Зn + 5т = с, (n, m Є N), तो 3(n +1) + 5т = с + 3, इसलिए, चूँकि 3*1 + 5*1 = 8, तो समीकरण Зх + 5y = c के साथ c = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14, 17, 20, 23,... का एक हल है। इसी प्रकार, चूँकि 3*3 = 9 और 5*2 = 10, तो c = 9, 9 + 3 = 12, 15, 18,... के लिए और c = 10, 13, 16, 19,... के लिए समीकरण 3x + 5 y = c का हल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में है। लेकिन अनुक्रम 8 + 3t, ​​9 + 3t, ​​10 + 3t, ​​जहां t = 0.1, 2, 3,... में 7 से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं। इस प्रकार, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए c > 1 , समीकरण 3x + 5 y = c का समाधान गैर-ऋणात्मक पूर्णांक x और y में है। आइए मैं आपको समस्या को हल करने का एक और तरीका बताता हूं। यह विधि पहले दी गई विधि से कम परिष्कृत है, लेकिन अधिक सार्वभौमिक है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि पहले हम सूत्र (1) का उपयोग करके समीकरण के सभी पूर्णांक समाधान ढूंढते हैं, और फिर, x और y की गैर-नकारात्मकता के कारण, हम पूर्णांक पैरामीटर t पर कुछ प्रतिबंध प्राप्त करते हैं। तो, 3*2 ​+ 5*(-1) = 1 से यह इस प्रकार है, 3*(2c) + 5*(-c) = c, यानी x0=2c और y0=-c। जहाँ से, सूत्र (1) के अनुसार हमें x = 2c-5t, y = - c + 3t प्राप्त होता है। इसके बाद, शर्तों 2c-5t≥0 और - с+ 3t≥0 से हम t Є प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, समस्या को हल करने के लिए, हमें c के सभी प्राकृतिक मानों को इंगित करने की आवश्यकता है जिसके लिए खंड में कम से कम एक पूर्णांक है। यह स्पष्ट है कि यदि खंड की लंबाई

2c/5 – c/3 = c/15 कम से कम एक है, तो इसमें एक पूर्णांक होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि c ≥15 के लिए समीकरण 3x + 5y = c गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में हल करने योग्य है। ऐसे मामले जहां 1≤с≤14 को सरल खोज द्वारा आसानी से जांचा जा सकता है। आइए इसे Є (3;5;6;8;9;10;11;12;13;14) के साथ खोजें। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है: c Є (3;5;6) U (z Є Z │ z≥8 )।

2. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

5 को "शेष" से -4 से विभाजित करें, , मूल समीकरण को रूप में बदलें

https://pandia.ru/text/78/308/images/image041.gif" width='140' ऊंचाई='21 src='> को प्रतिस्थापित करना, इसलिए

DIV_ADBLOCK445">

2x+y+7(3x-2y+z)=5 कहां है? अब u= 3x-2y+z रखने पर, हमें समीकरण मिलता है: 2x+y+7u=5.

इस प्रकार, हम अंततः प्राप्त करते हैं: Y = 5-2x-7u, z = 10-7x-13u, जहां पैरामीटर x, और Є Z कल्पित डायोफैंटाइन समीकरण का सामान्य समाधान देते हैं। यह "न्यूनतम गुणांक" विधि ax+by=c रूप के डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए भी लागू है।

4. एक प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 3 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है और 5 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है।

आइए आवश्यक संख्या को x से निरूपित करें। यदि हम x को 3 से विभाजित करने के भागफल को y से और 5 से विभाजित करने वाले भागफल को z से निरूपित करते हैं, तो शेषफल के साथ विभाजन पर प्रमेय द्वारा हमें x=3y+2, x=5z+3 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमें समीकरण 5z-3у+1=0 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करने की आवश्यकता है। इस समीकरण को हल करने के लिए पहले वर्णित एल्गोरिदम को लागू करने पर, हम z=1+3t, y= 2+5t (t Є Z) प्राप्त करते हैं और इसलिए, x=5z+3=5(2+3t)+3= 8+15t . चूँकि x, शर्त के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए, उत्तर में पैरामीटर t को केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान लेना चाहिए, अर्थात X = 8 + 15t, t Є Z।

5. फेल्ट-टिप पेन 7 रूबल के लिए और पेंसिल 4 रूबल के लिए, कुल 53 रूबल के लिए खरीदे गए थे। आपने कितने मार्कर और पेंसिलें खरीदीं?

मान लीजिए x मार्करों की संख्या है, y पेंसिलों की संख्या है, तो शर्त 7x+ 4y=53 के अनुसार। इस रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण का एक विशेष समाधान है: x=7, y=1. तब इसके सामान्य समाधान का रूप होता है: x= 7-4t, y= 1+7t, t Є Z. हालाँकि, चूंकि शर्त x> 0, y>0 के अनुसार, पैरामीटर t का मान केवल t= हो सकता है 0 और t= 1. t=0 पर हमें x=7, y=1 मिलता है, और t=1 पर हमें मिलता है: x=3, y=8। इस प्रकार, दो समाधान हैं, यानी, 53 रूबल की राशि में फेल्ट-टिप पेन और पेंसिल खरीदने के लिए दो संभावित विकल्प हैं।

6. दो प्राकृत संख्याओं का अंतर 66 है और उनका LCM 360 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि a और b को प्राकृतिक संख्याएँ दी गई हैं, तो, शर्त के अनुसार, हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है: चूँकि

ए| 360, बी | 360, फिर 360 = a*n, 360 = b*t, जहाँ n, m Є N. यहाँ से हमें मिलता है

https://pandia.ru/text/78/308/images/image045.gif" width=”27” ऊंचाई=”15”>.gif” width=”31” ऊंचाई=41 src=”>, और, इन अभिव्यक्तियों को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, एक सामान्य हर की ओर अग्रसर होने पर, हमारे पास 60m-60n=11mn होता है, जहां से हम पाते हैं

चूँकि m>0 और n एक प्राकृत संख्या है, और n 0, फिर खोजने पर हमें n=4, n=5, फिर m=15, m=60 मिलता है, जिसका मतलब है https://pandia.ru/text/78/308/images/image054.gif" width='31 " ऊँचाई = "41 src = ">.gif" चौड़ाई = "31" ऊँचाई = "41 src = ">.gif" चौड़ाई = "31" ऊँचाई = "41 src = ">.gif" चौड़ाई = "31" ऊँचाई = "41 स्रोत = "> = 6. इस प्रकार, हम पाते हैं कि संख्याओं के दो जोड़े समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं:

a=90, b=24 और a=72, b=6। *(स्कूल में फोर्कोव ओलंपियाड। - मॉस्को: आइरिस - प्रेस, 2003)

निष्कर्ष: डायोफैंटाइन समीकरणों पर मेरे शोध के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि उन्हें हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।

4. डायोफैंटस की "बहुभुज संख्या" पर

प्रत्येक संख्या एक से शुरू होकर, तीन से शुरू होकर, पहली होती है, जिसे बहुभुज कहा जाता है और इसमें उतने ही कोण होते हैं जितनी इसमें इकाइयाँ होती हैं, और इसकी भुजा एक के बाद आने वाली संख्या होगी, यानी 2. फिर 3 एक त्रिभुज होगा, 4 - एक चतुर्भुज, 5 - एक पंचकोण, आदि। वर्गों के बारे में यह सर्वविदित है कि वे एक निश्चित संख्या को उसी से गुणा करने पर प्राप्त होते हैं। यह भी सिद्ध है कि प्रत्येक बहुभुज को उसके कोणों की संख्या के आधार पर एक संख्या से गुणा किया जाता है और उसके कोणों की संख्या के आधार पर एक निश्चित संख्या के वर्ग में जोड़ा जाता है, जिसे एक निश्चित वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि तीन संख्याओं का अंतर समान है, तो सबसे बड़ी और मध्य वाली संख्याओं का गुणनफल, आठ बार लेने पर, सबसे छोटी संख्याओं के वर्ग में जोड़ने पर, एक वर्ग होगा, जिसकी भुजाएँ सबसे बड़ी और दो मध्य संख्याओं के योग के बराबर होती हैं।

वास्तव में, मान लीजिए कि तीन संख्याएँ AB, B D और VD में समान अंतर हैं; आपको यह सिद्ध करना होगा कि 8АВ*ВГ, (AB2 के साथ जोड़ने पर, एक वर्ग बनता है, जिसकी भुजा AB और 2ВГ के योग के बराबर होती है।

आइए 8AB*VG को 8VG2 और 8AG*VG में विघटित करें।) फिर हम उल्लिखित प्रत्येक को आधे में विभाजित करते हैं, हमें 4AV*VG, 4VG2 और 4AG*VG, यानी 4VG*GD मिलता है, क्योंकि AG GD के बराबर है; DV2 के साथ आपको AB2 मिलता है। उत्पादों में से दूसरा 4AG-GV, DV2 में जोड़ा गया, B A2 देता है। अब यह पता लगाना बाकी है कि AB2, 4AB*VG और 4VG2 के साथ मिलकर एक वर्ग कैसे बनेगा। यदि हम AE को ВГ के बराबर सेट करते हैं, तो 4АВ*ВГ 4ВА*АЭ में बदल जाएगा, जिसे 4ГВ2 के साथ या 4АЭ2 के साथ जोड़ने पर, 4ВЭ*ЭА (ВА*АЭ + АЭ2 = АЭ*(АЭ + АВ) के बराबर हो जाता है) = ВЭ* EA.), और यह, AB2 में जोड़ने पर, BE और EA के योग के वर्ग के बराबर हो जाएगा, एक सीधी रेखा (4BE-EA + AB2 = (BE + EA)2.) के रूप में। लेकिन BE और EA का योग AB और 2AE के योग के बराबर है, यानी 2ВГ। क्यू.ई.डी. यदि समान अंतर वाली कोई भी संख्या दी गई है, तो सबसे बड़ी और सबसे छोटी के बीच का अंतर दी गई संख्याओं की संख्या को एक से गुणा करने पर प्राप्त संख्याओं के बीच के अंतर के बराबर होता है। मान लीजिए कि कोई भी संख्या एबी, वीजी, वीडी, बीई समान अंतर के साथ दी गई है, तो यह दिखाना आवश्यक है कि इनके बीच का अंतर क्या है?

एबी और बीई एबी और वीजी के बीच के अंतर के बराबर है, जिसे एबी, वीजी, वीडी, बीई की संख्या से गुणा करके एक से घटाया जाता है।

दरअसल, चूंकि यह माना जाता है कि एबी, वीजी, वीडी, बीई में आपस में समान अंतर हैं, इसका मतलब है कि एजी, जीडी, डीई एक दूसरे के बराबर होंगे। इसलिए, ईए एजी, जीडी, डीयू की संख्या से गुणा किए गए एजी के बराबर है; एजी, जीडी, डीई की राशि एबी, वीजी, वीडी, बीई की राशि से एक कम होगी; इस प्रकार, EA कई बार AG का गुणज है, जो AB, VG, V D, BE की संख्या से एक कम है। और AE सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं के बीच के अंतर को दर्शाता है, और AG उनका एक सामान्य अंतर है। सरल शब्दों में त्रिभुजाकार, चतुर्भुजाकार, पंचकोणीय आदि होते हैं।

त्रिकोणीय संख्याएँ

https://pandia.ru/text/78/308/images/image064.gif" alt='\frac(n(n+1))(2)" width="73" height="42"> !}

गुण:

· दो लगातार त्रिकोणीय संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग (वर्ग संख्या) देता है।

अनुक्रम के एक तत्व की समता 4 की अवधि के साथ बदलती है: विषम, विषम, सम, सम।

वर्ग संख्या

वर्ग संख्याएँ दो समान प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल होती हैं, अर्थात वे पूर्ण वर्ग होती हैं:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n²।

पंचकोणीय संख्याएँ

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ..., *(अंकगणित और बहुभुज संख्याओं पर एक पुस्तक। प्राचीन ग्रीक से अनुवाद)

निष्कर्ष: ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करते हुए, डायोफैंटस ने बहुभुज संख्याओं के अनुक्रम के लिए सूत्र निकाले, जो गणितज्ञों के लिए रुचिकर है।

5। उपसंहार।

अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस, समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ "पायथागॉरियन ट्रिपलेट" का उपयोग करके समाधान को सरल से जटिल तक कम करना चाहते हैं।

अपने काम के अंतिम भाग में, मैं विशेष रूप से इस बात पर जोर देना चाहता था कि डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए समर्पित विशेष साहित्य का अध्ययन करके, मैंने अपने गणितीय कौशल का विस्तार किया और स्वयं डायोफैंटस, उनके अनुयायियों के साथ-साथ उनके वैज्ञानिक कार्यों के प्रभाव के बारे में अतिरिक्त ज्ञान प्राप्त किया। वैज्ञानिक गणितीय सोच का और विकास। यह डायोफैंटस की विधियों के लिए धन्यवाद था कि आर्किमिडीज़ की विधियाँ स्वयं सुलझ गईं। और यदि आर्किमिडीज़ की एकीकरण विधियों का इतिहास मूल रूप से न्यूटन और लीबनिज़ द्वारा अभिन्न और विभेदक कैलकुलस के निर्माण के साथ समाप्त होता है, तो डायोफैंटस की विधियों का इतिहास अगले कई सौ वर्षों तक फैला हुआ है, जो बीजीय कार्यों और बीजगणित के सिद्धांत के विकास के साथ जुड़ा हुआ है। ज्यामिति. डायोफैंटस के विचारों के विकास का पता हेनरी पोंकारे और आंद्रे वेइल के कार्यों से लगाया जा सकता है। यह डायोफैंटस ही था जिसने हमारे लिए अंकगणित और बीजगणित की दुनिया खोली। इसलिए, डायोफैंटाइन विश्लेषण का इतिहास मुझे विशेष रूप से दिलचस्प लगा।

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची.

1. अंकगणित और बहुभुज संख्याओं के बारे में एक पुस्तक। प्राचीन यूनानी से अनुवाद

2. बश्माकोव, और डायोफैंटाइन समीकरण - एम.: "नौका", 1972।

3. शहर और क्षेत्रीय ओलंपियाड के लिए असाइनमेंट।

4. प्रारंभिक बीजगणित में नए बसने वाले पाठ्यक्रम। - एम: सोवियत विज्ञान, 1956

5. पेरेलमैन गणित। - मॉस्को, 1962

6. प्रारंभिक संख्या सिद्धांत के लिए निमंत्रण. , .

7. स्कूल में फोर्कोव ओलंपियाड। - मॉस्को: आइरिस-प्रेस, 2003।

8. चेरकासोव। गहन परीक्षा तैयारी पाठ्यक्रम - एम.: रॉल्फ। 2000.

9. एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। संकलित - मॉस्को: शिक्षाशास्त्र, 1989।