एक काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल बराबर होता है। पिरामिड और काटे गए पिरामिड

आप पिरामिड कैसे बना सकते हैं? एक हवाई जहाज़ पर आरआइए एक बहुभुज बनाएं, उदाहरण के लिए पंचभुज ABCDE। विमान से बाहर आरआइए बिंदु S लें। बिंदु S को खंडों के साथ बहुभुज के सभी बिंदुओं से जोड़ने पर, हमें SABCDE पिरामिड (चित्र) मिलता है।

बिंदु S को कहा जाता है शीर्ष, और बहुभुज ABCDE है आधारयह पिरामिड. इस प्रकार, शीर्ष S और आधार ABCDE वाला एक पिरामिड उन सभी खंडों का मिलन है जहां M ∈ ABCDE है।

त्रिभुज SAB, SBC, SCD, SDE, SEA कहलाते हैं पार्श्व चेहरेपिरामिड, पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ SA, SB, SC, SD, SE - पार्श्व पसलियाँ.

पिरामिड कहलाते हैं त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पी-कोणीयआधार की भुजाओं की संख्या के आधार पर। चित्र में. त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिडों के चित्र दिए गए हैं।

पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले तल को कहा जाता है विकर्ण, और परिणामी अनुभाग है विकर्ण.चित्र में. 186 हेक्सागोनल पिरामिड के विकर्ण खंडों में से एक को छायांकित किया गया है।

पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार तल तक खींचे गए लंबवत खंड को पिरामिड की ऊंचाई कहा जाता है (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं)।

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष इसके केंद्र पर प्रक्षेपित है।

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक सर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। एक नियमित पिरामिड में, सभी पार्श्व किनारे सर्वांगसम होते हैं।

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेमपिरामिड. एक नियमित पिरामिड के सभी एपोथेम सर्वांगसम होते हैं।

यदि हम आधार के किनारे को इस प्रकार नामित करते हैं ए, और एपोटेम के माध्यम से एच, तो पिरामिड के एक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल 1/2 है आह.

पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड और एस पक्ष द्वारा नामित है।

चूँकि एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह होती है एनफिर सर्वांगसम चेहरे

एस ओर = 1/2 आह= पी एच / 2 ,

जहाँ P पिरामिड के आधार की परिधि है। इस तरह,

एस ओर = पी एच / 2

यानी एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस = एस ocn. + एस पक्ष. .

पिरामिड का आयतन उसके आधार क्षेत्र के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है। ऊँचाई H तक:

वी = 1/3 एस मुख्य। एन।

इसकी और कुछ अन्य सूत्रों की व्युत्पत्ति अगले अध्यायों में से एक में दी जाएगी।

आइए अब एक अलग तरीके से पिरामिड बनाएं। मान लीजिए कि एक बहुफलकीय कोण दिया गया है, उदाहरण के लिए, पंचफलकीय, शीर्ष S के साथ (चित्र)।

आइए एक हवाई जहाज़ बनाएं आरताकि यह किसी दिए गए बहुफलकीय कोण के सभी किनारों को विभिन्न बिंदुओं A, B, C, D, E पर प्रतिच्छेद करे (चित्र)। तब SABCDE पिरामिड को एक बहुफलकीय कोण और सीमा के साथ अर्ध-स्थान का प्रतिच्छेदन माना जा सकता है आर, जिसमें शीर्ष S स्थित है।

जाहिर है, पिरामिड के सभी चेहरों की संख्या मनमानी हो सकती है, लेकिन चार से कम नहीं। जब एक त्रिफलकीय कोण एक समतल के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो एक त्रिभुजाकार पिरामिड प्राप्त होता है, जिसकी चार भुजाएँ होती हैं। कभी-कभी किसी त्रिकोणीय पिरामिड को भी कहा जाता है चतुर्पाश्वीय, जिसका अर्थ है चतुष्फलक।

कटा हुआ पिरामिडयदि पिरामिड को आधार के तल के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाए तो इसे प्राप्त किया जा सकता है।

चित्र में. एक चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड की एक छवि दी गई है।

काटे गए पिरामिड भी कहलाते हैं त्रिकोणीय, चतुर्भुज, एन-गोनलआधार की भुजाओं की संख्या के आधार पर। काटे गए पिरामिड के निर्माण से यह पता चलता है कि इसके दो आधार हैं: ऊपरी और निचला। एक काटे गए पिरामिड के आधार दो बहुभुज हैं, जिनकी भुजाएँ जोड़े में समानांतर हैं। काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

ऊंचाईएक छोटा पिरामिड ऊपरी आधार के किसी भी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड है।

नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिडइसे आधार और आधार के समानांतर एक खंड तल के बीच घिरे नियमित पिरामिड का भाग कहा जाता है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (ट्रेपेज़ॉइड) के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे सर्वांगसम होते हैं, सभी पार्श्व फलक सर्वांगसम होते हैं, और सभी एपोथेम सर्वांगसम होते हैं।

यदि सही में काट दिया गया है एन-कोयला पिरामिड के माध्यम से एऔर बी एनऊपरी और निचले आधारों के किनारों की लंबाई और उसके माध्यम से इंगित करें एचएपोथेम की लंबाई है, तो पिरामिड के प्रत्येक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है

1 / 2 (ए + बी एन) एच

पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग को उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कहा जाता है और इसे S भुजा से निर्दिष्ट किया जाता है। . जाहिर है, एक सही काट-छाँट के लिए एन-कोयला पिरामिड

एस ओर = एन 1 / 2 (ए + बी एन) एच.

क्योंकि देहात= पी और नायब एन= पी 1 - तो फिर, काटे गए पिरामिड के आधारों की परिधि

एस ओर = 1/2 (पी + पी 1) एच,

अर्थात्, एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके आधारों और एपोथेम की परिधि के योग के आधे उत्पाद के बराबर है।

पिरामिड के आधार के समानांतर अनुभाग

प्रमेय. यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो:

1) पार्श्व पसलियों और ऊंचाई को आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाएगा;

2) क्रॉस-सेक्शन में आपको आधार के समान बहुभुज मिलेगा;

3) क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र और आधार शीर्ष से उनकी दूरी के वर्ग के रूप में संबंधित हैं।

यह त्रिकोणीय पिरामिड के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

चूँकि समान्तर तलों को एक तीसरा तल समान्तर रेखाओं के अनुदिश काटता है, तो (AB) || (ए 1 बी 1), (बीसी) ||(बी 1 सी 1), (एसी) || (ए 1 सी 1) (अंजीर)।

समानांतर रेखाएं किसी कोण की भुजाओं को आनुपातिक भागों में काटती हैं, और इसलिए

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

इसलिए, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 और

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\दाएं|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 और

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

इस प्रकार,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 के संगत कोण समांतर और समान भुजाओं वाले कोणों की तरह सर्वांगसम हैं। इसीलिए

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संगत भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\दाएं|) $$

इस तरह,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

प्रमेय. यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों को आधारों के समानांतर समतलों द्वारा शीर्ष से समान दूरी पर काटा जाता है, तो खंडों का क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफलों के समानुपाती होता है।

मान लीजिए (चित्र 84) बी और बी 1 दो पिरामिडों के आधारों के क्षेत्रफल हैं, एच उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई है, बीऔर बी 1 - आधारों के समानांतर और समान दूरी पर शीर्षों से हटाए गए विमानों द्वारा अनुभागीय क्षेत्र एच.

पिछले प्रमेय के अनुसार हमारे पास होगा:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: और \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
कहाँ
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: या \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

परिणाम।यदि बी = बी 1, तो बी = बी 1, यानी यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों के आधार समान हों, तो शीर्ष से समान दूरी वाले खंड भी समान होते हैं।

अन्य सामग्री

यह पाठ आपको "पिरामिड" विषय का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। नियमित और छोटा पिरामिड।" इस पाठ में हम नियमित पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे। फिर हम प्रमेय को एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर और प्रमेय को एक नियमित काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह पर सिद्ध करते हैं।

थीम: पिरामिड

पाठ: नियमित और काटे गए पिरामिड

परिभाषा:एक नियमित एन-गोनल पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसके आधार पर एक नियमित एन-गोन होता है, और ऊंचाई इस एन-गोन के केंद्र तक प्रक्षेपित होती है (चित्र 1)।

चावल। 1

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

सबसे पहले, आइए ∆ABC (चित्र 2) पर विचार करें, जिसमें AB=BC=CA (अर्थात्, एक नियमित त्रिभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है)। एक नियमित त्रिभुज में, अंकित और परिचालित वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं और स्वयं त्रिभुज के केंद्र होते हैं। इस मामले में, केंद्र निम्नानुसार पाया जाता है: मध्य एबी - सी 1 ढूंढें, एक खंड सीसी 1 बनाएं, जो मध्यिका, द्विभाजक और ऊंचाई है; इसी तरह, हम AC - B 1 का मध्य ढूंढते हैं और खंड BB 1 खींचते हैं। BB 1 और CC 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु O होगा, जो ∆ABC का केंद्र है।

यदि हम त्रिभुज O के केंद्र को पिरामिड S के शीर्ष से जोड़ते हैं, तो हमें पिरामिड की ऊंचाई SO ⊥ ABC, SO = h प्राप्त होती है।

बिंदु S को बिंदु A, B और C से जोड़ने पर हमें पिरामिड के पार्श्व किनारे मिलते हैं।

हमने एक नियमित त्रिभुजाकार SABC पिरामिड प्राप्त किया है (चित्र 2)।

पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्र इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट घिरे एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड इसे नियमित पिरामिड का वह हिस्सा कहा जाता है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

कारणकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1.एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (परिवृत्त का केंद्र और त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंखंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। किसी समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढेंगे ए 1 ईएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति ए.सी. ए 1 ई= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डी.ईआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ओम– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों के योग और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. एक समतल आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है

इस पाठ में हम एक काटे गए पिरामिड को देखेंगे, एक नियमित काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे, और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।

आइए हम त्रिकोणीय पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके एन-गोनल पिरामिड की अवधारणा को याद करें। त्रिभुज ABC दिया गया है। त्रिभुज के तल के बाहर, एक बिंदु P लिया गया है, जो त्रिभुज के शीर्षों से जुड़ा है। परिणामी बहुफलकीय सतह को पिरामिड कहा जाता है (चित्र 1)।

चावल। 1. त्रिकोणीय पिरामिड

आइए पिरामिड को पिरामिड के आधार के तल के समानांतर एक समतल से काटें। इन तलों के बीच प्राप्त आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है (चित्र 2)।

चावल। 2. कटा हुआ पिरामिड

मुख्य तत्व:

ऊपरी आधार;

एबीसी निचला आधार;

पार्श्व चेहरा;

यदि PH मूल पिरामिड की ऊंचाई है, तो यह काटे गए पिरामिड की ऊंचाई है।

एक काटे गए पिरामिड के गुण उसके निर्माण की विधि से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् आधारों के तलों की समानता से:

काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं। उदाहरण के लिए, किनारे पर विचार करें। इसमें समानांतर विमानों की संपत्ति है (चूंकि विमान समानांतर हैं, वे मूल एवीआर पिरामिड के पार्श्व चेहरे को समानांतर सीधी रेखाओं के साथ काटते हैं), लेकिन साथ ही वे समानांतर नहीं हैं। जाहिर है, चतुर्भुज एक ट्रेपोज़ॉइड है, जैसे कि काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक।

आधारों का अनुपात सभी समलंबों के लिए समान है:

हमारे पास समान समानता गुणांक वाले समान त्रिभुजों के कई जोड़े हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज और RAB समतलों की समानता और समानता गुणांक के कारण समान हैं:

साथ ही, त्रिभुज और आरवीएस समानता गुणांक के समान हैं:

जाहिर है, समान त्रिभुजों के सभी तीन युग्मों के लिए समानता गुणांक समान हैं, इसलिए आधारों का अनुपात सभी समलंबों के लिए समान है।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल के साथ एक नियमित पिरामिड को काटकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 3)।

चावल। 3. नियमित रूप से काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित एन-गॉन है, और इसका शीर्ष इस एन-गॉन के केंद्र (खुदा और परिचालित वृत्त का केंद्र) में प्रक्षेपित होता है।

इस मामले में, पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, और शीर्ष इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित है। परिणामी नियमित चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड ABCD का निचला आधार और ऊपरी आधार है। मूल पिरामिड की ऊंचाई आरओ है, काटे गए पिरामिड की ऊंचाई (चित्र 4) है।

चावल। 4. नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंबवत है।

मूल पिरामिड का एपोथेम RM है (M, AB का मध्य है), काटे गए पिरामिड का एपोथेम है (चित्र 4)।

परिभाषा।

काटे गए पिरामिड का एपोटेम किसी भी पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

यह स्पष्ट है कि काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्बाकार हैं।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधारों और एपोथेम की परिधि के आधे योग के उत्पाद के बराबर है।

प्रमाण (एक नियमित चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड के लिए - चित्र 4):

तो, हमें साबित करना होगा:

यहां पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में पार्श्व फलकों - ट्रेपेज़ॉइड्स के क्षेत्रों का योग शामिल होगा। चूँकि समलंब समान हैं, हमारे पास है:

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के आधे योग का गुणनफल है और ऊँचाई समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है; हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

एन-गोनल पिरामिड के लिए:

जहाँ n पिरामिड के पार्श्व फलकों की संख्या है, a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं, और एपोथेम है।

एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर 3 सेमी और 9 सेमी, ऊंचाई - 4 सेमी. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें.

चावल। 5. समस्या 1 के लिए चित्रण

समाधान। आइए स्थिति को स्पष्ट करें:

द्वारा पूछा गया: , ,

बिंदु O के माध्यम से हम निचले आधार के दोनों किनारों के समानांतर एक सीधी रेखा MN खींचते हैं, और इसी तरह बिंदु के माध्यम से हम एक सीधी रेखा खींचते हैं (चित्र 6)। चूँकि काटे गए पिरामिड के आधार पर वर्ग और निर्माण समानांतर हैं, हमें पार्श्व फलकों के बराबर एक समलम्ब चतुर्भुज प्राप्त होता है। इसके अलावा, इसका किनारा पार्श्व चेहरों के ऊपरी और निचले किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरेगा और काटे गए पिरामिड का एपोथेम होगा।

चावल। 6. अतिरिक्त निर्माण

आइए परिणामी समलम्बाकार (चित्र 6) पर विचार करें। इस समलम्ब चतुर्भुज में ऊपरी आधार, निचला आधार और ऊँचाई ज्ञात होती है। आपको वह पक्ष ढूंढना होगा जो किसी दिए गए काटे गए पिरामिड का एपोथेम है। आइए MN पर लंब बनाएं। बिंदु से हम लंबवत NQ को नीचे करते हैं। हम पाते हैं कि बड़ा आधार तीन सेंटीमीटर () के खंडों में विभाजित है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, इसमें पैर ज्ञात हैं, यह एक मिस्र का त्रिभुज है, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम कर्ण की लंबाई निर्धारित करते हैं: 5 सेमी।

अब पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए सभी तत्व मौजूद हैं:

पिरामिड आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित है। त्रिकोणीय पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके साबित करें कि पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है।

सबूत। आइए स्पष्ट करें:

चावल। 7. समस्या 2 के लिए चित्रण

RABC पिरामिड दिया गया है. पीओ - ​​पिरामिड की ऊंचाई. पिरामिड को एक समतल द्वारा काटा जाता है, एक छोटा पिरामिड प्राप्त होता है, और। बिंदु - काटे गए पिरामिड के आधार के तल के साथ आरओ की ऊंचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु। यह साबित करना आवश्यक है:

समाधान की कुंजी समानांतर विमानों की संपत्ति है। दो समानांतर तल किसी तीसरे तल को इस प्रकार काटते हैं कि प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर हों। यहाँ से: । संगत रेखाओं की समानता से समरूप त्रिभुजों के चार युग्मों की उपस्थिति का पता चलता है:

त्रिभुजों की समानता से संगत भुजाओं की आनुपातिकता का अनुसरण होता है। एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इन त्रिभुजों के समानता गुणांक समान हैं:

क्यू.ई.डी.

आधार की ऊंचाई और भुजा वाला एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड आरएबीसी को आधार एबीसी के समानांतर ऊंचाई पीएच के मध्य से गुजरने वाले एक विमान द्वारा विच्छेदित किया जाता है। परिणामी काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए स्पष्ट करें:

चावल। 8. समस्या 3 के लिए चित्रण

ACB एक नियमित त्रिभुज है, H इस त्रिभुज का केंद्र है (खुदा और परिचालित वृत्तों का केंद्र)। आरएम किसी दिए गए पिरामिड का एपोथेम है। - एक काटे गए पिरामिड का एपोटेम। समानांतर विमानों की संपत्ति के अनुसार (दो समानांतर विमान किसी तीसरे विमान को काटते हैं ताकि चौराहे की रेखाएं समानांतर हों), हमारे पास समान समानता गुणांक वाले समान त्रिकोण के कई जोड़े हैं। विशेष रूप से, हम इस संबंध में रुचि रखते हैं:

आइए एनएम खोजें। यह आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या है; हम संबंधित सूत्र जानते हैं:

अब समकोण त्रिभुज PHM से, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम RM - मूल पिरामिड का एपोथेम पाते हैं:

प्रारंभिक अनुपात से:

अब हम काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सभी तत्वों को जानते हैं:

इसलिए, हम एक काटे गए पिरामिड और एक नियमित काटे गए पिरामिड की अवधारणाओं से परिचित हुए, बुनियादी परिभाषाएँ दीं, गुणों की जांच की, और पार्श्व सतह के क्षेत्र पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगला पाठ समस्या समाधान पर केंद्रित होगा।

संदर्भ

1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों (बुनियादी और विशिष्ट स्तर) के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी.: बीमार।
2. शैरगिन आई. एफ. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / शैरगिन आई.एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पीपी.: बीमार।
3. ई. वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित/ई के गहन और विशेष अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम.: बस्टर्ड, 2008. - 233 पी.: बीमार।

1. Uztest.ru ()।
2. Fmclass.ru ()।
3. Webmath.exponenta.ru ().

गृहकार्य