श्रोडिंगर समीकरण गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण है। स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण

कणों के तरंग गुणों के बारे में डी ब्रोगली के विचार के विकास में, 1926 में श्रोडिंगर ने समीकरण प्राप्त किया

104. (20)

जहाँ m कण का द्रव्यमान है, काल्पनिक इकाई है, U कण की स्थितिज ऊर्जा है, D लाप्लास संचालिका है [देखें (1.10)]।

श्रोडिंगर समीकरण को हल करने से हमें कण के तरंग फ़ंक्शन Y(x, y, z, t) को खोजने की अनुमति मिलती है, जो कण की माइक्रोस्टेट और इसकी तरंग गुणों का वर्णन करता है।

यदि बाह्य बलों का क्षेत्र समय में स्थिर (अर्थात् स्थिर) है, तो U स्पष्ट रूप से t पर निर्भर नहीं है। इस मामले में, समीकरण (20) का समाधान दो कारकों में विभाजित हो जाता है

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)

स्थिर मामले में, श्रोडिंगर समीकरण का रूप है

(22)

जहाँ E, U कुल और स्थितिज ऊर्जा हैं, m कण का द्रव्यमान है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐतिहासिक रूप से "वेव फ़ंक्शन" नाम इस तथ्य के कारण उत्पन्न हुआ कि समीकरण (20) या (22), जो इस फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, तरंग समीकरणों के प्रकार से संबंधित है।

104. हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसे "परमाणु" (He +, Li 2+, आदि) सबसे सरल क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के रूप में: क्वांटम अवस्थाएँ, तरंग फ़ंक्शन के रेडियल और कोणीय घटक, कक्षीय समरूपता।

अपने शोध के आधार पर, रदरफोर्ड ने 1911 में परमाणु ऊर्जा का प्रस्ताव रखा (ग्रहीय)परमाणु मॉडल. इस मॉडल के अनुसार, इलेक्ट्रॉन 10 -10 मीटर के क्रम के रैखिक आयाम वाले क्षेत्र में, बंद कक्षाओं में सकारात्मक नाभिक के चारों ओर घूमते हैं, जिससे परमाणु का इलेक्ट्रॉन आवरण बनता है ज़ी(ज़ेड--आवर्त प्रणाली में किसी तत्व की क्रम संख्या, इ -.प्राथमिक आवेश), आकार 10 -15 - 10 -14 मीटर, द्रव्यमान, लगभग एक परमाणु के द्रव्यमान के बराबर। चूँकि परमाणु तटस्थ होते हैं, नाभिक का आवेश इलेक्ट्रॉनों के कुल आवेश के बराबर होता है, अर्थात इसे नाभिक के चारों ओर घूमना चाहिए जेडइलेक्ट्रॉन.

हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसी प्रणालियाँ- ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें आवेश Ze और एक इलेक्ट्रॉन (उदाहरण के लिए, He +, Li 2+ आयन) वाला एक नाभिक होता है।

हाइड्रोजन परमाणु (साथ ही हाइड्रोजन जैसी प्रणालियों: हीलियम आयन He +, दोगुना आयनित लिथियम Li + +, आदि) के लिए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर की समस्या को हल करने से नाभिक के कूलम्ब क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन गति की समस्या कम हो जाती है। .

आवेश वाले नाभिक के साथ एक इलेक्ट्रॉन की परस्पर क्रिया की संभावित ऊर्जा ज़ी(हाइड्रोजन परमाणु के लिए जेड=1),

कहाँ आर– इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच की दूरी. ग्राफ़िक रूप से कार्य करें यू(आर) को चित्र में एक बोल्ड वक्र के रूप में दिखाया गया है। 6, घटने पर असीमित रूप से घट रहा है (निरपेक्ष मूल्य में वृद्धि)। आर, यानी, जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के पास पहुंचता है।

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थिति को तरंग फ़ंक्शन Ψ द्वारा वर्णित किया गया है, जो मूल्य (1) को ध्यान में रखते हुए स्थिर श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करता है: "

, (2)

कहाँ एम– इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान, इएक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा है।

यह वीडीपीए के हाइड्रोजन जैसे परमाणु के इलेक्ट्रॉन के लिए तथाकथित स्थिर श्रोडिंगर समीकरण है।

1. ऊर्जा.विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, यह साबित होता है कि प्रकार (2) के समीकरणों में ऐसे समाधान होते हैं जो तरंग फ़ंक्शन Ψ की विशिष्टता, परिमितता और निरंतरता की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, केवल ऊर्जा के eigenvalues ​​​​के लिए

(एन= 1, 2, 3,…), (3)

यानी नकारात्मक ऊर्जा मूल्यों के एक अलग सेट के लिए।

इस प्रकार, जैसा कि असीम रूप से ऊंची "दीवारों" वाले "संभावित कुएं" के मामले में, हाइड्रोजन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल करने से असतत ऊर्जा स्तर की उपस्थिति होती है। संभावित मान इ 1 , इ 2 , इ 3, ... चित्र में दिखाया गया है। 6 क्षैतिज रेखाओं के रूप में। निम्नतम स्तर इ 1, न्यूनतम संभव ऊर्जा के अनुरूप, - बुनियादी,अन्य ( ई एन >ई 1 , एन = 2, 3,…) – उत्साहित. पर इ < 0 движение электрона является संबंधितयह एक अतिशयोक्तिपूर्ण "संभावित कुएं" के अंदर स्थित है। चित्र से पता चलता है कि जैसे-जैसे मूल क्वांटम संख्या बढ़ती है पीऊर्जा स्तर एक-दूसरे के करीब और एक-दूसरे पर स्थित होते हैं p=∞ E ∞ = 0. पर इ> 0 इलेक्ट्रॉन गति है मुक्त;सातत्य क्षेत्र ई >0(चित्र 6 में छायांकित) से मेल खाता है आयनित परमाणु.हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा है

ई मैं = - ई 1 = मुझे 4 / (8एच 2 ε 0 2) = 13.55 ईवी।

2. क्वांटम संख्याएँ।क्वांटम यांत्रिकी में यह सिद्ध है कि श्रोडिंगर समीकरण (2) आइजनफंक्शन से संतुष्ट है , तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा निर्धारित: मुख्य पी,कक्षा का एलऔर चुंबकीय एम एल .

मुख्य क्वांटम संख्या n, (3) के अनुसार, परमाणु में इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तर को निर्धारित करती है और एक से शुरू करके कोई भी पूर्णांक मान ले सकती है:

डी ब्रोगली तरंगों (§216 देखें) और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध (§215 देखें) की सांख्यिकीय व्याख्या से यह निष्कर्ष निकला कि क्वांटम यांत्रिकी में गति का समीकरण, जो विभिन्न बल क्षेत्रों में माइक्रोपार्टिकल्स की गति का वर्णन करता है, एक समीकरण होना चाहिए जिससे प्रेक्षित मान कणों के प्रयोगात्मक तरंग गुणों का अनुसरण करेंगे। गवर्निंग समीकरण तरंग फ़ंक्शन  के सापेक्ष एक समीकरण होना चाहिए (एक्स, वाई,जेड, टी),चूँकि यह बिल्कुल यही है, या, अधिक सटीक रूप से, मात्रा || 2, समय के क्षण में एक कण के मौजूद होने की संभावना निर्धारित करता है टीआयतन dV में, अर्थात् निर्देशांक वाले क्षेत्र में एक्सऔर एक्स+डीएक्स, वाईऔर y+dy, zऔर z+dz. चूँकि आवश्यक समीकरण में कणों के तरंग गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, ऐसा होना ही चाहिए तरंग समीकरण,विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वर्णन करने वाले समीकरण के समान। गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण 1926 में ई. श्रोडिंगर द्वारा तैयार किया गया था। श्रोडिंगर समीकरण, भौतिकी के सभी बुनियादी समीकरणों की तरह (उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी में न्यूटन के समीकरण और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरण), व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि प्रतिपादित है। इस समीकरण की सत्यता की पुष्टि इसकी सहायता से प्राप्त परिणामों के अनुभव के साथ समझौते से होती है, जो बदले में इसे प्रकृति के नियम का चरित्र प्रदान करती है। श्रोडिंगर समीकरण का रूप है

कहां एच =एच/(2 ), एम - कण द्रव्यमान -

लाप्लास ऑपरेटर (= डी 2  / डीएक्स 2 +डी 2  / डीय 2

+डी 2 / डीजेड 2), मैं- काल्पनिक इकाई, यू(एक्स, वाई,जेड, टी)

बल क्षेत्र में एक कण का संभावित कार्य जिसमें यह चलता है

 (एक्स, वाई,जेड, टी)- कण का वांछित तरंग कार्य।

समीकरण (217.1) किसी भी कण (0 के बराबर स्पिन के साथ; §225 देखें) के लिए मान्य है जो कम गति (प्रकाश की गति की तुलना में) पर चल रहा है, अर्थात, गति v पर<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные डी/ डीएक्स, डी/ डीहाँ, डी/ डीजेड, डी/ डीयह निरंतर होना चाहिए;

3) फ़ंक्शन || 2 पूर्णांक होना चाहिए; सरलतम मामलों में यह स्थिति संभावनाओं को सामान्य करने की स्थिति (216.3) तक कम हो जाती है।

श्रोडिंगर समीकरण पर पहुंचने के लिए, एक स्वतंत्र रूप से घूमने वाले कण पर विचार करें, जो डी ब्रोगली के विचार के अनुसार, एक समतल तरंग से जुड़ा है। सरलता के लिए, हम एक-आयामी मामले पर विचार करते हैं। एक अक्ष के अनुदिश प्रसारित समतल तरंग का समीकरण एक्स,प्रपत्र है (§ 154 देखें)

 (x,t)=Acos( टी-केएक्स),या एक जटिल रिकॉर्ड में

 (एक्स,टी)=एई आई ( टी-केएक्स) .

इसलिए, समतल डी ब्रोगली तरंग का रूप है

 =ऐ-(i/h)(Et-px) (217.2)

(यह ध्यान में रखा जाता है कि =E/h, के=पी/एच).क्वांटम यांत्रिकी में, घातांक को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, लेकिन चूंकि इसका केवल भौतिक अर्थ होता है |  | 2, तो यह (देखें (217.2)) महत्वहीन है। तब

ऊर्जा के बीच संबंध का उपयोग करना इऔर आवेग पी(ई=पी 2 /(2 एम)) और अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना

(217.3) लागू करने पर, हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है

जो मामले के समीकरण (217.1) से मेल खाता है यू=0 (हमने एक मुक्त कण माना)।

यदि कोई कण संभावित ऊर्जा द्वारा विशेषता वाले बल क्षेत्र में चलता है यू,फिर कुल ऊर्जा इगतिज और स्थितिज ऊर्जाओं से मिलकर बनता है। समान तर्क का उपयोग करना और बीच संबंध का उपयोग करना इऔर आरइस मामले के लिए आर 2 /(2 एम)=इ-यू,हम एक समान अवकल समीकरण पर पहुंचते हैं साथ(217.1).

उपरोक्त तर्क को श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए। वे केवल यह बताते हैं कि कोई इस समीकरण तक कैसे पहुंच सकता है। श्रोडिंगर समीकरण की सत्यता का प्रमाण उन निष्कर्षों के अनुभव के साथ सहमति है जिनसे यह निष्कर्ष निकलता है।

समीकरण (217.1) है सामान्य श्रोडिंगर समीकरण.इसे भी कहा जाता है समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण।माइक्रोवर्ल्ड में होने वाली कई भौतिक घटनाओं के लिए, निर्भरता को समाप्त करके समीकरण (217.1) को सरल बनाया जा सकता है। समय से, दूसरे शब्दों में, स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण खोजें - निश्चित ऊर्जा मूल्यों वाली अवस्थाएँ। यह तभी संभव है जब बल क्षेत्र जिसमें कण चलता है, स्थिर है, अर्थात कार्य उ=उ(एक्स, वाई,जेड) यह स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है और संभावित ऊर्जा का अर्थ रखता है। इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को दो कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक केवल निर्देशांक का एक कार्य है, दूसरा केवल समय का, और समय पर निर्भरता गुणक ई - आई द्वारा व्यक्त की जाती है। t = e -i(E/h0t, ताकि

 (एक्स, वाई,जेड, टी)= (एक्स, वाई,z)ई -आई(ई/एच)टी ,

कहाँ इ -कण की कुल ऊर्जा, स्थिर क्षेत्र के मामले में स्थिर। (217.4) को (217.1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहां एक सामान्य कारक द्वारा विभाजित करने के बाद इ -आई(ई/एच)टी और संगत परिवर्तनों से हम फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले समीकरण पर पहुंचते हैं:

समीकरण (217.5) स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है।

इस समीकरण में एक पैरामीटर के रूप में कुल ऊर्जा शामिल है इकण. विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, यह सिद्ध किया गया है कि ऐसे समीकरणों में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, जिनमें से सीमा शर्तों को लागू करके भौतिक अर्थ वाले समाधानों का चयन किया जाता है। श्रोडिंगर समीकरण के लिए, ऐसी स्थितियाँ तरंग कार्यों की नियमितता की शर्तें हैं: तरंग कार्यों को उनके पहले व्युत्पन्न के साथ परिमित, एकल-मूल्यवान और निरंतर होना चाहिए। इस प्रकार, केवल वे समाधान जो नियमित कार्यों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं उनका वास्तविक भौतिक अर्थ होता है  लेकिन पैरामीटर के किसी भी मान के लिए नियमित समाधान नहीं होते हैं ई, एकेवल उनमें से एक निश्चित समूह के लिए, किसी दिए गए कार्य की विशेषता। इन ऊर्जा मूल्यों को कहा जाता है अपना।समाधान जो मेल खाते हैं अपनाऊर्जा मान कहलाते हैं स्वयं के कार्य. eigenvalues इसतत या असतत श्रृंखला बना सकते हैं। पहले मामले में हम बात करते हैं निरंतर,या सतत स्पेक्ट्रमक्षण में - असतत स्पेक्ट्रम के बारे में.

क्वांटम कणों की दोहरी कण-तरंग प्रकृति को एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है।

भौतिकविदों के बीच इतनी आम लोककथा के अनुसार, यह इस प्रकार हुआ: 1926 में, इरविन श्रोडिंगर नामक एक सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी ने ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक वैज्ञानिक संगोष्ठी में बात की थी। उन्होंने हवा में अजीब नए विचारों के बारे में बात की, कि कैसे सूक्ष्म वस्तुएं अक्सर कणों की तुलना में तरंगों की तरह अधिक व्यवहार करती हैं। तभी एक बुजुर्ग शिक्षक ने बोलने के लिए कहा और कहा: “श्रोडिंगर, क्या तुम्हें नहीं दिखता कि यह सब बकवास है? या क्या हम सभी नहीं जानते कि तरंगें तरंग समीकरणों द्वारा वर्णित तरंगें मात्र हैं?” श्रोडिंगर ने इसे व्यक्तिगत अपमान के रूप में लिया और क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे के भीतर कणों का वर्णन करने के लिए एक तरंग समीकरण विकसित करने की योजना बनाई - और इस कार्य को शानदार ढंग से पूरा किया।

यहां एक स्पष्टीकरण देने की जरूरत है. हमारी रोजमर्रा की दुनिया में, ऊर्जा का स्थानांतरण दो तरीकों से होता है: पदार्थ के एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने से (उदाहरण के लिए, एक चलती हुई लोकोमोटिव या हवा) - ऊर्जा के इस हस्तांतरण में कण शामिल होते हैं - या तरंगों द्वारा (उदाहरण के लिए, रेडियो तरंगें) शक्तिशाली ट्रांसमीटरों द्वारा प्रसारित होते हैं और हमारे टेलीविज़न के एंटेना द्वारा पकड़े जाते हैं)। अर्थात्, स्थूल जगत में जहां आप और मैं रहते हैं, सभी ऊर्जा वाहक सख्ती से दो प्रकारों में विभाजित हैं - कणिका (भौतिक कणों से युक्त) या तरंग . इसके अलावा, किसी भी तरंग का वर्णन एक विशेष प्रकार के समीकरणों द्वारा किया जाता है - तरंग समीकरण. बिना किसी अपवाद के, सभी लहरें - समुद्र की लहरें, भूकंपीय चट्टानी लहरें, दूर की आकाशगंगाओं से आने वाली रेडियो तरंगें - एक ही प्रकार के तरंग समीकरणों द्वारा वर्णित हैं। यह स्पष्टीकरण यह स्पष्ट करने के लिए आवश्यक है कि यदि हम संभाव्यता वितरण तरंगों के संदर्भ में उप-परमाणु दुनिया की घटनाओं का प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं ( सेमी।क्वांटम यांत्रिकी), इन तरंगों को संबंधित तरंग समीकरण द्वारा भी वर्णित किया जाना चाहिए।

श्रोडिंगर ने तरंग फ़ंक्शन के शास्त्रीय अंतर समीकरण को संभाव्यता तरंगों की अवधारणा पर लागू किया और प्रसिद्ध समीकरण प्राप्त किया जो उनके नाम पर है। जैसे सामान्य तरंग फ़ंक्शन समीकरण, उदाहरण के लिए, पानी की सतह पर तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, श्रोडिंगर समीकरण अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर एक कण खोजने की संभावना की तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। इस तरंग के शिखर (अधिकतम संभावना के बिंदु) दर्शाते हैं कि अंतरिक्ष में कण के ख़त्म होने की सबसे अधिक संभावना कहाँ है। यद्यपि श्रोडिंगर समीकरण उच्च गणित के क्षेत्र से संबंधित है, आधुनिक भौतिकी को समझने के लिए यह इतना महत्वपूर्ण है कि मैं इसे अभी भी यहां प्रस्तुत करूंगा - इसके सरलतम रूप में (तथाकथित "एक-आयामी स्थिर श्रोडिंगर समीकरण")। उपरोक्त संभाव्यता वितरण तरंग फ़ंक्शन, ग्रीक अक्षर द्वारा दर्शाया गया है ψ ("पीएसआई") निम्नलिखित अंतर समीकरण का समाधान है (यह ठीक है यदि आप इसे नहीं समझते हैं; मुख्य बात यह है कि इसे विश्वास में लें कि यह समीकरण इंगित करता है कि संभावना एक लहर की तरह व्यवहार करती है):

कहाँ एक्स-दूरी, एच -प्लैंक स्थिरांक, और मैं और तुमक्रमशः कण का द्रव्यमान, कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा हैं।

श्रोडिंगर का समीकरण हमें क्वांटम घटनाओं की जो तस्वीर देता है वह यह है कि इलेक्ट्रॉन और अन्य प्राथमिक कण समुद्र की सतह पर लहरों की तरह व्यवहार करते हैं। समय के साथ, तरंग का शिखर (उस स्थान के अनुरूप जहां इलेक्ट्रॉन होने की सबसे अधिक संभावना है) इस तरंग का वर्णन करने वाले समीकरण के अनुसार अंतरिक्ष में चलता है। यानी, जिसे हम परंपरागत रूप से एक कण मानते हैं, वह क्वांटम दुनिया में एक लहर की तरह व्यवहार करता है।

जब श्रोडिंगर ने पहली बार अपने परिणाम प्रकाशित किए, तो सैद्धांतिक भौतिकी की दुनिया में चाय के प्याले में तूफान आ गया। तथ्य यह है कि लगभग उसी समय, श्रोडिंगर के समकालीन, वर्नर हाइजेनबर्ग का काम सामने आया ( सेमी।हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत), जिसमें लेखक ने "मैट्रिक्स यांत्रिकी" की अवधारणा को सामने रखा, जहां क्वांटम यांत्रिकी की समान समस्याओं को एक अलग, गणितीय रूप से अधिक जटिल मैट्रिक्स रूप में हल किया गया था। हंगामा इस तथ्य के कारण हुआ कि वैज्ञानिकों को बस यह डर था कि माइक्रोवर्ल्ड का वर्णन करने के लिए दो समान रूप से ठोस दृष्टिकोण एक-दूसरे का खंडन कर सकते हैं। चिंताएँ व्यर्थ थीं। उसी वर्ष, श्रोडिंगर ने स्वयं दो सिद्धांतों की पूर्ण समानता साबित की - अर्थात, मैट्रिक्स समीकरण तरंग समीकरण से अनुसरण करता है, और इसके विपरीत; परिणाम समान हैं. आज, यह मुख्य रूप से श्रोडिंगर का संस्करण है (जिसे कभी-कभी "तरंग यांत्रिकी" भी कहा जाता है) जिसका उपयोग किया जाता है क्योंकि उसका समीकरण कम बोझिल और सिखाने में आसान है।

हालाँकि, यह कल्पना करना और स्वीकार करना इतना आसान नहीं है कि इलेक्ट्रॉन जैसी कोई चीज़ तरंग की तरह व्यवहार करती है। रोजमर्रा की जिंदगी में हमारा सामना या तो कण या लहर से होता है। गेंद एक कण है, ध्वनि एक लहर है, और बस इतना ही। क्वांटम यांत्रिकी की दुनिया में, सब कुछ इतना सरल नहीं है। वास्तव में - और प्रयोगों ने जल्द ही यह दिखाया - क्वांटम दुनिया में, इकाइयाँ उन वस्तुओं से भिन्न होती हैं जिनसे हम परिचित हैं और उनके अलग-अलग गुण होते हैं। प्रकाश, जिसे हम तरंग समझने के आदी हैं, कभी-कभी एक कण की तरह व्यवहार करता है (जिसे कहा जाता है)। फोटोन), और इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन जैसे कण तरंगों की तरह व्यवहार कर सकते हैं ( सेमी।संपूरकता का सिद्धांत)।

इस समस्या को आमतौर पर कहा जाता है दोहरीया दोहरी कण-तरंग प्रकृतिक्वांटम कण, और यह, जाहिरा तौर पर, उपपरमाण्विक दुनिया की सभी वस्तुओं की विशेषता है ( सेमी।बेल का प्रमेय)। हमें यह समझना चाहिए कि सूक्ष्म जगत में पदार्थ क्या रूप ले सकता है और कैसे व्यवहार कर सकता है, इसके बारे में हमारे सामान्य सहज विचार लागू नहीं होते हैं। यह तथ्य कि जिसे हम कण के रूप में सोचने के आदी हैं, उसकी गति का वर्णन करने के लिए हम तरंग समीकरण का उपयोग करते हैं, इसका स्पष्ट प्रमाण है। जैसा कि प्रस्तावना में बताया गया है, इसमें कोई विशेष विरोधाभास नहीं है। आख़िरकार, हमारे पास यह विश्वास करने के लिए कोई बाध्यकारी कारण नहीं है कि हम स्थूल जगत में जो देखते हैं उसे सूक्ष्म जगत के स्तर पर सटीक रूप से पुन: प्रस्तुत किया जाना चाहिए। फिर भी प्राथमिक कणों की दोहरी प्रकृति कई लोगों के लिए क्वांटम यांत्रिकी के सबसे रहस्यमय और परेशान करने वाले पहलुओं में से एक बनी हुई है, और यह कहना कोई अतिश्योक्ति नहीं होगी कि सभी परेशानियां इरविन श्रोडिंगर के साथ शुरू हुईं।

यह सभी देखें:

इरविन श्रोडिंगर
इरविन श्रोएडिंगर, 1887-1961

ऑस्ट्रियाई सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी। विज्ञान में रुचि रखने वाले एक धनी उद्योगपति के परिवार में वियना में जन्मे; घर पर अच्छी शिक्षा प्राप्त की। वियना विश्वविद्यालय में अध्ययन के दौरान, श्रोडिंगर ने अपने दूसरे वर्ष तक सैद्धांतिक भौतिकी पर व्याख्यान में भाग नहीं लिया, लेकिन उन्होंने इस विशेषता में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध का बचाव किया। प्रथम विश्व युद्ध के दौरान उन्होंने तोपखाने की टुकड़ियों में एक अधिकारी के रूप में कार्य किया, लेकिन फिर भी उन्हें अल्बर्ट आइंस्टीन के नए लेखों का अध्ययन करने का समय मिला।

युद्ध के बाद, कई विश्वविद्यालयों में पद बदलने के बाद, श्रोडिंगर ज्यूरिख में बस गए। वहां उन्होंने तरंग यांत्रिकी का अपना सिद्धांत विकसित किया, जो आज भी सभी आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी का मूल आधार है। 1927 में, उन्होंने बर्लिन विश्वविद्यालय में सैद्धांतिक भौतिकी विभाग के प्रमुख का पद संभाला और इस पद पर मैक्स प्लैंक की जगह ली। लगातार फासीवाद-विरोधी, श्रोडिंगर 1933 में ग्रेट ब्रिटेन चले गए, ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में प्रोफेसर बने और उसी वर्ष भौतिकी में नोबेल पुरस्कार प्राप्त किया।

हालाँकि, होमसिकनेस ने श्रोडिंगर को 1936 में ऑस्ट्रिया के ग्राज़ शहर लौटने के लिए मजबूर किया, जहाँ उन्होंने स्थानीय विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया। मार्च 1938 में ऑस्ट्रिया के एंस्क्लस के बाद, श्रोडिंगर को बिना किसी चेतावनी के निकाल दिया गया और वह जल्दबाजी में ऑक्सफोर्ड लौट आए, अपने साथ केवल न्यूनतम निजी सामान ले गए। इसके बाद वस्तुतः घटनाओं की एक जासूसी श्रृंखला शुरू हुई। आयरलैंड के प्रधान मंत्री इमोन डी वलेरा कभी ऑक्सफोर्ड में गणित के प्रोफेसर थे। महान वैज्ञानिक को अपनी मातृभूमि में लाने की इच्छा रखते हुए, डी वलेरा ने विशेष रूप से उनके लिए डबलिन में मौलिक अनुसंधान संस्थान के निर्माण का आदेश दिया। जब संस्थान का निर्माण किया जा रहा था, श्रोडिंगर ने गेन्ट (बेल्जियम) में व्याख्यान का एक कोर्स देने का निमंत्रण स्वीकार कर लिया। जब 1939 में द्वितीय विश्व युद्ध छिड़ गया और बेल्जियम पर नाज़ी सैनिकों का कब्ज़ा हो गया, तो श्रोडिंगर ने अप्रत्याशित रूप से खुद को दुश्मन के शिविर में आश्चर्यचकित पाया। तभी डी वलेरा उनके बचाव में आए, और वैज्ञानिक को भरोसेमंदता का एक पत्र प्रदान किया, जिसके अनुसार श्रोडिंगर आयरलैंड की यात्रा करने में सक्षम थे। ऑस्ट्रियाई 1956 तक डबलिन में रहे, जिसके बाद वह विशेष रूप से उनके लिए बनाए गए विभाग का नेतृत्व करने के लिए अपनी मातृभूमि वियना लौट आए।

1944 में श्रोडिंगर ने एक पुस्तक प्रकाशित की "जिंदगी क्या है?", जिसने वैज्ञानिकों की एक पूरी पीढ़ी के विश्वदृष्टिकोण को आकार दिया, और उन्हें अपनी उपलब्धियों के सैन्य अनुप्रयोग से बेदाग विज्ञान के रूप में भविष्य की भौतिकी की दृष्टि से प्रेरित किया। उसी पुस्तक में, वैज्ञानिक ने जीवन के अणुओं में छिपे एक आनुवंशिक कोड के अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी।

श्रोडिंगर समीकरण एक समीकरण है जो हैमिल्टनियन क्वांटम सिस्टम में तरंग फ़ंक्शन द्वारा दिए गए शुद्ध राज्य के स्थान और समय में परिवर्तन का वर्णन करता है।

क्वांटम भौतिकी में, एक जटिल-मूल्य फ़ंक्शन पेश किया जाता है जो किसी वस्तु की शुद्ध स्थिति का वर्णन करता है, जिसे तरंग फ़ंक्शन कहा जाता है। शुद्ध अवस्था में हैमिल्टनियन प्रणाली का व्यवहार पूरी तरह से तरंग फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है। मान लीजिए तरंग फ़ंक्शन एन-आयामी अंतरिक्ष में दिया गया है, तो निर्देशांक के साथ प्रत्येक बिंदु पर, समय के एक निश्चित क्षण में इसका रूप होगा। इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण को इस रूप में लिखा जाएगा: बिंदु पर कण के बाहरी संभावित ऊर्जा कहां है।

काम का अंत -

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परमाणु, क्वांटम और परमाणु भौतिकी के मूल सिद्धांत

डी ब्रोगली की परिकल्पना और बोह्र के अभिधारणाओं के साथ इसका संबंध श्रोडिंगर समीकरण का भौतिक अर्थ.. थर्मोन्यूक्लियर प्रतिक्रियाएं.. थर्मोन्यूक्लियर प्रतिक्रियाएं. बहुत उच्च तापमान पर होने वाले हल्के परमाणु नाभिकों के बीच परमाणु प्रतिक्रियाएं..

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परमाणु स्पेक्ट्रा में नियमितताएँ. रिडबर्ग स्थिरांक
परमाणु स्पेक्ट्रा, ऑप्टिकल स्पेक्ट्रा, जो मुक्त या कमजोर रूप से बंधे परमाणुओं द्वारा प्रकाश (विद्युत चुम्बकीय तरंगों) के उत्सर्जन या अवशोषण से उत्पन्न होता है; ऐसे स्पेक्ट्रा, विशेष रूप से, मोनोएट के पास होते हैं

परमाणु संरचना के मॉडल. रदरफोर्ड मॉडल
परमाणु किसी रासायनिक तत्व का सबसे छोटा रासायनिक रूप से अविभाज्य भाग है, जो उसके गुणों का वाहक होता है। एक परमाणु में एक परमाणु नाभिक और आसपास के इलेक्ट्रॉन बादल होते हैं। परमाणु का नाभिक होता है

बोह्र की अभिधारणाएँ. हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसे आयनों की संरचना का प्राथमिक सिद्धांत (बोह्र के अनुसार)
बोह्र के अभिधारणाएं, हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसे आयनों के लाइन स्पेक्ट्रम के पैटर्न और क्वांटम प्रकृति की व्याख्या करने के लिए 1913 में नील्स बोह्र द्वारा तैयार की गई बुनियादी धारणाएं हैं।

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध. क्वांटम यांत्रिकी में गति का विवरण
हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत एक मौलिक असमानता (अनिश्चितता संबंध) है जो क्वांटम प्रणाली की विशेषताओं की एक जोड़ी के एक साथ निर्धारण की सटीकता पर सीमा निर्धारित करता है

तरंग फलन के गुण. परिमाणीकरण
वेव फ़ंक्शन (स्टेट फ़ंक्शन, पीएसआई फ़ंक्शन) एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की शुद्ध स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गुणांक है

क्वांटम संख्याएं। घुमाना
क्वांटम संख्या किसी सूक्ष्म वस्तु (प्राथमिक कण, नाभिक, परमाणु, आदि) के किसी भी परिमाणित चर का संख्यात्मक मान है, जो कण की स्थिति को दर्शाता है। क्वांटम घंटे निर्दिष्ट करना

परमाणु नाभिक के लक्षण
परमाणु नाभिक एक परमाणु का केंद्रीय भाग है, जिसमें इसका अधिकांश द्रव्यमान केंद्रित होता है, और जिसकी संरचना उस रासायनिक तत्व को निर्धारित करती है जिससे परमाणु संबंधित है। परमाणु भौतिक प्रकृति

रेडियोधर्मिता
रेडियोधर्मिता परमाणु नाभिक की संपत्ति है जो प्राथमिक कणों या परमाणु टुकड़ों को उत्सर्जित करके अपनी संरचना (चार्ज जेड, द्रव्यमान संख्या ए) को स्वचालित रूप से बदलती है। संगत घटना

परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रियाएं
परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया एकल परमाणु प्रतिक्रियाओं का एक क्रम है, जिनमें से प्रत्येक एक कण के कारण होता है जो अनुक्रम में पिछले चरण में प्रतिक्रिया उत्पाद के रूप में दिखाई देता है। श्रृंखला का एक उदाहरण

प्राथमिक कण और उनके गुण। प्राथमिक कणों की व्यवस्था
प्राथमिक कण एक सामूहिक शब्द है जो उप-परमाणु पैमाने पर सूक्ष्म वस्तुओं को संदर्भित करता है जिन्हें उनके घटक भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। गुण: 1.दावे की सभी ई. एच-वस्तुएँ

मौलिक अंतःक्रियाएँ और उनकी विशेषताएँ
मौलिक अंतःक्रियाएं प्राथमिक कणों और उनसे बने पिंडों के बीच गुणात्मक रूप से भिन्न प्रकार की अंतःक्रियाएं हैं। आज, चार मूलभूत सिद्धांतों का अस्तित्व विश्वसनीय रूप से ज्ञात है

परिचय

यह ज्ञात है कि क्वांटम यांत्रिकी का पाठ्यक्रम समझना सबसे कठिन है। यह नए और "असामान्य" गणितीय तंत्र के कारण नहीं है, बल्कि मुख्य रूप से शास्त्रीय भौतिकी के दृष्टिकोण से क्रांतिकारी को समझने की कठिनाई, क्वांटम यांत्रिकी के अंतर्निहित विचारों और परिणामों की व्याख्या करने की जटिलता के कारण है।

क्वांटम यांत्रिकी पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में, सामग्री की प्रस्तुति, एक नियम के रूप में, स्थिर श्रोडिंगर समीकरणों के समाधान के विश्लेषण पर आधारित होती है। हालाँकि, स्थिर दृष्टिकोण किसी को क्वांटम यांत्रिक समस्या को हल करने के परिणामों की समान शास्त्रीय परिणामों के साथ सीधे तुलना करने की अनुमति नहीं देता है। इसके अलावा, क्वांटम यांत्रिकी के दौरान अध्ययन की गई कई प्रक्रियाएं (जैसे कि संभावित अवरोध के माध्यम से एक कण का गुजरना, अर्ध-स्थिर अवस्था का क्षय, आदि) सिद्धांत रूप से गैर-स्थिर प्रकृति की हैं और इसलिए, हो सकती हैं गैर-स्थिर समीकरण श्रोडिंगर के समाधान के आधार पर ही पूर्ण रूप से समझा जा सकता है। चूँकि विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य समस्याओं की संख्या कम है, क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन की प्रक्रिया में कंप्यूटर का उपयोग विशेष रूप से प्रासंगिक है।

श्रोडिंगर समीकरण और इसके समाधान का भौतिक अर्थ

श्रोडिंगर तरंग समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी के मूल समीकरणों में से एक श्रोडिंगर समीकरण है, जो समय के साथ क्वांटम प्रणालियों की स्थिति में परिवर्तन को निर्धारित करता है। यह फॉर्म में लिखा है

जहां एच सिस्टम का हैमिल्टनियन ऑपरेटर है, अगर यह समय पर निर्भर नहीं है तो ऊर्जा ऑपरेटर के साथ मेल खाता है। ऑपरेटर का प्रकार सिस्टम के गुणों द्वारा निर्धारित होता है। संभावित क्षेत्र U(r) में एक द्रव्यमान कण की गैर-सापेक्षिक गति के लिए, ऑपरेटर वास्तविक है और कण की गतिज और संभावित ऊर्जा के ऑपरेटरों के योग द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि कोई कण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में गति करता है, तो हैमिल्टनियन ऑपरेटर जटिल होगा।

यद्यपि समीकरण (1.1) समय में प्रथम-क्रम समीकरण है, एक काल्पनिक इकाई की उपस्थिति के कारण इसके आवधिक समाधान भी हैं। इसलिए, श्रोडिंगर समीकरण (1.1) को अक्सर श्रोडिंगर तरंग समीकरण कहा जाता है, और इसके समाधान को समय-निर्भर तरंग फ़ंक्शन कहा जाता है। ऑपरेटर एच के ज्ञात रूप के साथ समीकरण (1.1) किसी को बाद के समय में तरंग फ़ंक्शन का मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है, यदि यह मान प्रारंभिक समय में ज्ञात हो। इस प्रकार, श्रोडिंगर तरंग समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कार्य-कारण के सिद्धांत को व्यक्त करता है।

श्रोडिंगर तरंग समीकरण निम्नलिखित औपचारिक विचारों के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में यह ज्ञात है कि यदि ऊर्जा को निर्देशांक और गति के एक फलन के रूप में दिया जाता है

फिर एक्शन फ़ंक्शन एस के लिए शास्त्रीय हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में संक्रमण

औपचारिक परिवर्तन द्वारा (1.3) से प्राप्त किया जा सकता है

उसी प्रकार, औपचारिक परिवर्तन द्वारा (1.3) से संचालिका समीकरण में जाने पर (1.3) से समीकरण (1.1) प्राप्त होता है

यदि (1.3) में निर्देशांक और संवेग के उत्पाद शामिल नहीं हैं, या उनके उत्पाद शामिल हैं, जो ऑपरेटरों (1.4) के पास जाने के बाद, एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। इस परिवर्तन के बाद परिणामी ऑपरेटर समानता के दाएं और बाएं पक्षों के ऑपरेटरों के फ़ंक्शन पर कार्रवाई के परिणामों को बराबर करते हुए, हम तरंग समीकरण (1.1) पर पहुंचते हैं। हालाँकि, इन औपचारिक परिवर्तनों को श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए। श्रोडिंगर समीकरण प्रयोगात्मक डेटा का एक सामान्यीकरण है। यह क्वांटम यांत्रिकी में व्युत्पन्न नहीं है, जैसे मैक्सवेल के समीकरण इलेक्ट्रोडायनामिक्स में व्युत्पन्न नहीं हैं, शास्त्रीय यांत्रिकी में कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत (या न्यूटन के समीकरण)।

यह सत्यापित करना आसान है कि समीकरण (1.1) तरंग फ़ंक्शन के लिए संतुष्ट है

एक निश्चित संवेग मान वाले कण की मुक्त गति का वर्णन करना। सामान्य स्थिति में, समीकरण (1.1) की वैधता इस समीकरण का उपयोग करके प्राप्त सभी निष्कर्षों के अनुभव के साथ सहमति से सिद्ध होती है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण (1.1) महत्वपूर्ण समानता को दर्शाता है

यह दर्शाता है कि तरंग फ़ंक्शन का सामान्यीकरण समय के साथ बना रहता है। आइए बाईं ओर (1.1) को फ़ंक्शन * से गुणा करें, एक समीकरण कॉम्प्लेक्स को फ़ंक्शन द्वारा (1.1) से संयुग्मित करें और पहले परिणामी समीकरण से दूसरे को घटाएं; तब हम पाते हैं

इस संबंध को चर के सभी मूल्यों पर एकीकृत करने और ऑपरेटर की स्व-संयुक्तता को ध्यान में रखते हुए, हम (1.5) प्राप्त करते हैं।

यदि हम संभावित क्षेत्र में एक कण की गति के लिए हैमिल्टनियन ऑपरेटर (1.2) की स्पष्ट अभिव्यक्ति को संबंध (1.6) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम अंतर समीकरण (निरंतरता समीकरण) पर पहुंचते हैं।

संभाव्यता घनत्व और वेक्टर कहां है

संभाव्यता वर्तमान घनत्व वेक्टर कहा जा सकता है।

जटिल तरंग फ़ंक्शन को हमेशा इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

समय और निर्देशांक के वास्तविक कार्य कहां और कहां हैं। इस प्रकार, संभाव्यता घनत्व

और संभाव्यता वर्तमान घनत्व

(1.9) से यह पता चलता है कि उन सभी कार्यों के लिए j = 0 जिनके लिए फ़ंक्शन Φ निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है। विशेष रूप से, सभी वास्तविक कार्यों के लिए j= 0।

सामान्य स्थिति में श्रोडिंगर समीकरण (1.1) के समाधान जटिल कार्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं। जटिल फ़ंक्शंस का उपयोग करना काफी सुविधाजनक है, हालाँकि आवश्यक नहीं है। एक जटिल फ़ंक्शन के बजाय, सिस्टम की स्थिति को दो वास्तविक फ़ंक्शंस द्वारा और दो संबंधित समीकरणों को संतुष्ट करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि ऑपरेटर एच वास्तविक है, तो फ़ंक्शन को (1.1) में प्रतिस्थापित करके और वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करके, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

इस मामले में, संभाव्यता घनत्व और संभाव्यता वर्तमान घनत्व रूप लेगा

तरंग आवेग निरूपण में कार्य करती है।

तरंग फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण क्वांटम अवस्था में गति के वितरण की विशेषता बताता है। कर्नेल के रूप में फूरियर रूपांतरण के साथ क्षमता के लिए एक अभिन्न समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

समाधान। कार्यों और के बीच दो परस्पर विपरीत संबंध हैं।

यदि संबंध (2.1) का उपयोग परिभाषा के रूप में किया जाता है और उस पर एक ऑपरेशन लागू किया जाता है, तो 3-आयामी-फ़ंक्शन की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए,

परिणामस्वरूप, जैसा कि देखना आसान है, हमें व्युत्क्रम संबंध (2.2) मिलता है। संबंध (2.8) निकालने में नीचे समान विचारों का उपयोग किया गया है।

फिर हमारे पास मौजूद क्षमता के फूरियर रूपांतरण के लिए

यह मानते हुए कि तरंग फलन श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करता है

यहां क्रमशः और के स्थान पर व्यंजक (2.1) और (2.3) रखने पर हमें प्राप्त होता है

दोहरे समाकलन में, हम एक चर पर एकीकरण से एक चर पर एकीकरण की ओर बढ़ते हैं, और फिर हम इस नए चर को फिर से निरूपित करते हैं। इंटीग्रल ओवर किसी भी मूल्य के लिए केवल उस स्थिति में गायब हो जाता है जब इंटीग्रैंड स्वयं शून्य के बराबर होता है, लेकिन तब

यह कर्नेल के रूप में क्षमता के फूरियर रूपांतरण के साथ वांछित अभिन्न समीकरण है। बेशक, अभिन्न समीकरण (2.6) केवल इस शर्त के तहत प्राप्त किया जा सकता है कि क्षमता का फूरियर रूपांतरण (2.4) मौजूद है; इसके लिए, उदाहरण के लिए, बड़ी दूरी पर क्षमता कम से कम कम होनी चाहिए।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सामान्यीकरण की स्थिति से

समानता आती है

इसे फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति (2.1) को (2.7) में प्रतिस्थापित करके दिखाया जा सकता है:

यदि हम पहले यहां एकीकरण करते हैं, तो हम आसानी से संबंध (2.8) प्राप्त कर सकते हैं।