Wzór na znalezienie ciągu arytmetycznego. Postępy arytmetyczne i geometryczne

Koncepcja ciągu liczbowego zakłada, że każdej liczbie naturalnej odpowiada pewna wartość rzeczywista. Taka seria liczb może być dowolna lub mieć określone właściwości - progresję. W tym drugim przypadku każdy kolejny element (element) ciągu można obliczyć na podstawie poprzedniego.

Postęp arytmetyczny to ciąg wartości liczbowych, w którym sąsiadujące z nim elementy różnią się od siebie tą samą liczbą (wszystkie elementy szeregu, począwszy od drugiego, mają podobną właściwość). Liczba ta – różnica między wyrazem poprzednim i kolejnym – jest stała i nazywana jest różnicą progresji.

Różnica w postępie: definicja

Rozważmy ciąg składający się z j wartości A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j należy do zbioru liczb naturalnych N. Arytmetyka progresja według definicji to ciąg, w którym a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = re. Wartość d jest pożądaną różnicą tego postępu.

d = a(j) – a(j-1).

Atrakcja:

Postęp rosnący, w którym to przypadku d > 0. Przykład: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Postęp malejący, następnie d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresja różnicowa i jej elementy arbitralne

Jeżeli znane są 2 dowolne wyrazy ciągu (i-ty, k-ty), to różnicę dla danego ciągu można wyznaczyć na podstawie zależności:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, co oznacza d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Różnica w progresji i jej pierwszym terminie

To wyrażenie pomoże określić nieznaną wartość tylko w przypadkach, gdy znany jest numer elementu sekwencji.

Różnica progresji i jej suma

Suma progresji jest sumą jej warunków. Aby obliczyć całkowitą wartość jego pierwszych j elementów, należy skorzystać z odpowiedniego wzoru:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale ponieważ a(j) = a(1) + d(j – 1), wtedy S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a ust. 1 + d(– 1))/2)*j.

Pierwszy poziom

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:

Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę - sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

poprzedni termin progresji to:
kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się bliżej wyróżnionym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.

Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraźmy sobie na przykład starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowę piramidy... Zdjęcie przedstawia jedną jej stronę.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.

Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W w tym przypadku Postęp wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).
Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:
Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:
Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:
Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

- ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:

, gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz jest o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź:
Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:
Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź:
Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą, co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Biorąc pod uwagę kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny definiują następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia, podany jest nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Po obliczeniu sześciu potrzebnych nam elementów znajdujemy ich sumę.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Znaleziono wymaganą kwotę.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tzw. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od razu”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. Naszą progresję wyznacza wzór n-tego wyrazu w zależności od jego liczby (więcej szczegółów w artykule). Obliczmy pierwszy element, zastępując jedynką \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – całkowita liczba elementów.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz chciałbym podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Obliczmy...
\(n>65 333…\)		...i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? To proste - aby otrzymać sumę od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\)-tej do \(42\)-tej, a następnie odjąć z niego suma od pierwszej do (25) (patrz rysunek).
	Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu dodajemy czwórkę do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\) elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.

Niektórzy traktują słowo „postęp” z ostrożnością, jako bardzo złożone pojęcie z dziedzin matematyki wyższej. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca taksometru (o ile jeszcze istnieją). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.

Matematyczny ciąg liczb

Sekwencję liczbową nazywa się zwykle serią liczb, z których każda ma swój własny numer.

a 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;

oraz 2 jest drugim wyrazem ciągu;

a 7 jest siódmym elementem ciągu;

oraz n oznacza n-ty element ciągu;

Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw liczb i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego wyrazu jest powiązana z jego liczbą porządkową za pomocą dającej się jasno sformułować matematycznie zależności. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest jakąś funkcją n.

a jest wartością elementu ciągu liczbowego;

n to numer seryjny;

f(n) jest funkcją, gdzie argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.

Definicja

Postęp arytmetyczny nazywa się zwykle ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;

a n+1 - wzór na następną liczbę;

d - różnica (pewna liczba).

Łatwo ustalić, że jeśli różnica będzie dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.

Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywa się „rosnącą”.

W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Określona wartość elementu członkowskiego

Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnego dowolnego wyrazu n ciągu arytmetycznego. Można to zrobić, obliczając sekwencyjnie wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, zaczynając od pierwszego do żądanego. Jednak ta ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego wyrazu. Tradycyjne obliczenia zajmą dużo czasu. Jednakże konkretny postęp arytmetyczny można badać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego można wyznaczyć jako sumę pierwszego wyrazu ciągu z różnicą postępu, pomnożoną przez liczbę żądanego wyrazu, pomniejszoną przez jeden.

Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.

Przykład obliczenia wartości danego wyrazu

Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego.

Warunek: istnieje postęp arytmetyczny z parametrami:

Pierwszy wyraz ciągu to 3;

Różnica w szeregach liczbowych wynosi 1,2.

Zadanie: musisz znaleźć wartość 214 wyrazów

Rozwiązanie: aby określić wartość danego wyrazu, korzystamy ze wzoru:

a(n) = a1 + d(n-1)

Podstawiając dane ze sformułowania problemu do wyrażenia, mamy:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpowiedź: 214. wyraz ciągu jest równy 258,6.

Zalety tej metody obliczeń są oczywiste – całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.

Suma danej liczby wyrazów

Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym konieczne jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Aby to zrobić, nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego terminu, a następnie ich dodawania. Metodę tę można zastosować, jeśli liczba wyrazów, których sumę należy znaleźć, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego wyrazu pomnożonej przez liczbę wyrazu n i podzielonej przez dwa. Jeżeli we wzorze wartość n-tego wyrazu zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:

Przykład obliczeń

Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;

Różnica wynosi 0,5.

Zadanie wymaga wyznaczenia sumy wyrazów szeregu od 56 do 101.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na określenie wielkości progresji:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 wyrazów progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Zatem suma postępu arytmetycznego w tym przykładzie wynosi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego

Na koniec artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w pierwszym akapicie – taksometru (licznik taksówki). Rozważmy ten przykład.

Wejście na taksówkę (co obejmuje 3 km przejazdu) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr płatny jest według stawki 22 rubli/km. Odległość do pokonania wynosi 30 km. Oblicz koszt podróży.

1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analizowanie szeregu liczb arytmetycznych.

Numer członkowski – liczba przejechanych kilometrów (minus pierwsze trzy).

Wartość elementu jest sumą.

Pierwszy człon tego problemu będzie równy 1 = 50 rubli.

Różnica w progresji d = 22 r.

interesująca nas liczba to wartość (27+1)-tego wyrazu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27. kilometra wynosi 27,999... = 28 km.

za 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących określone ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od gwiazdy. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystyce i innych stosowanych obszarach matematyki.

Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny

Postęp geometryczny charakteryzuje się większym tempem zmian w porównaniu z postępem arytmetycznym. To nie przypadek, że w polityce, socjologii i medycynie, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się konkretnego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, mówi się, że proces ten rozwija się w postępie geometrycznym.

N-ty wyraz szeregu liczb geometrycznych różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez jakąś stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy wyraz wynosi 1, mianownik jest odpowiednio równy 2, a następnie:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - wartość bieżącego wyrazu postępu geometrycznego;

b n+1 - wzór na kolejny wyraz ciągu geometrycznego;

q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).

Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to postęp geometryczny przedstawia nieco inny obraz:

Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego wyrazu. Dowolny n-ty wyraz postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonej o jeden:

Przykład. Mamy postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3, a mianownik postępu jest równy 1,5. Znajdźmy piąty wyraz progresji

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Sumę danej liczby wyrazów oblicza się również za pomocą specjalnego wzoru. Suma n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego wyrazu postępu i jego mianownika a pierwszym wyrazem postępu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:

Jeżeli b n zastąpimy wzorem omówionym powyżej, wartość sumy pierwszych n wyrazów rozpatrywanego szeregu liczbowego będzie miała postać:

Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest ustawiony na 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Pierwszy poziom

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:

Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Niech więc:

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

poprzedni termin progresji to:
kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

Szkolenie

Zadania:

Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).
Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:
Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:
Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:
Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

- ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:

, gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz jest o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź:
Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:
Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź:
Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Wzór na znalezienie ciągu arytmetycznego. Postępy arytmetyczne i geometryczne

Różnica w postępie: definicja

Progresja różnicowa i jej elementy arbitralne

Różnica w progresji i jej pierwszym terminie

Różnica progresji i jej suma

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Właściwość postępu arytmetycznego

Szkolenie

Podsumujmy to

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

formuła n-tego terminu

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

Własność członków ciągu arytmetycznego

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu; \(n\) – numer wymaganego elementu; \(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Matematyczny ciąg liczb

Definicja

Określona wartość elementu członkowskiego

Przykład obliczenia wartości danego wyrazu

Suma danej liczby wyrazów

Przykład obliczeń

Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego

Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Właściwość postępu arytmetycznego

Szkolenie

Podsumujmy to

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

formuła n-tego terminu

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

Własność członków ciągu arytmetycznego

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Najnowszy

Musisz to wiedzieć

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).