Wykresy funkcji liniowych z modułem. Wykresy funkcji liniowych z modułami

Wstęp……………………………………………………………. 3

I. Wykres funkcji kwadratowej zawierającej zmienną
pod znakiem wartości bezwzględnej
1.1. Podstawowe definicje i właściwości……………………… 4
1.2. Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej zawierającej
zmienna pod znakiem modułu…………………………… 5
II. Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej zawierającej
zmienna pod znakiem modułu w programie
Microsoft Excel……………………………………………………………………. 12
Wniosek…………………………………………………. …. 15
Wykaz wykorzystanej literatury…………………...…….. 16

Wstęp

Musiałem dzielić swój czas pomiędzy politykę i równania. Jednak moim zdaniem równania są o wiele ważniejsze, bo polityka istnieje tylko na chwilę, a równania będą istnieć na zawsze.

A. Einsteina.

Kiedy znak modułu uwzględni się w „standardowych” równaniach prostych, paraboli i hiperboli, ich wykresy stają się niezwykłe, a nawet piękne. Aby nauczyć się budować takie wykresy, trzeba opanować techniki konstruowania podstawowych figur, a także dobrze znać i rozumieć definicję modułu liczby. Na szkolnym kursie matematyki wykresy z modułem nie są omawiane wystarczająco dogłębnie, dlatego też zapragnąłem poszerzyć swoją wiedzę na ten temat i przeprowadzić własne badania.
Celem pracy jest rozważenie konstrukcji wykresu funkcji kwadratowej zawierającej zmienną pod znakiem modułu.
Przedmiot badań: wykres funkcji kwadratowej.
Przedmiot badań: zmiany wykresu funkcji kwadratowej w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej.
Zadania:
1) Przestudiuj literaturę na temat właściwości wartości bezwzględnej i funkcji kwadratowej.
2) Zbadaj zmiany na wykresie funkcji kwadratowej w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej.
3) Naucz się sporządzać wykresy równań za pomocą różnych programów graficznych, w tym Microsoft Excel.
Metody badawcze:
1) teoretyczny (logiczny etap poznania);
2) empiryczny (badanie, eksperyment);
3) modelowanie.
Praktyczne znaczenie mojej pracy to:
1) w wykorzystaniu zdobytej wiedzy na ten temat, a także pogłębieniu jej i zastosowaniu do innych funkcji i równań;
2) w wykorzystaniu umiejętności badawczych w dalszej działalności edukacyjnej.

I. Wykres funkcji kwadratowej zawierającej zmienną pod znakiem wartości bezwzględnej

1.1. Podstawowe definicje i właściwości.

Funkcja jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja jest zależnością zmiennej y od zmiennej x w taki sposób, że każda wartość zmiennej x odpowiada pojedynczej wartości zmiennej y.
Metody określania funkcji:
1) metoda analityczna (funkcję określa się za pomocą wzoru matematycznego);
2) metoda tabelaryczna (funkcję określa się za pomocą tabeli);
3) metoda opisowa (funkcję określa opis słowny);
4) metoda graficzna (funkcja jest określona za pomocą wykresu).
Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartości argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.
Funkcję określoną wzorem y=ax2+inx+c, gdzie x i y są zmiennymi, a parametry a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, gdzie 0, nazywa się kwadratową.
Wykres funkcji y=ax2+inx+c jest parabolą; oś symetrii paraboli y=ax2+inx+c jest linią prostą, dla a>0 „gałęzie” paraboli skierowane są w górę, dla a<0 – вниз.
Aby wykreślić funkcję kwadratową, potrzebujesz:
1) znajdź współrzędne wierzchołka paraboli i zaznacz je w płaszczyźnie współrzędnych;
2) skonstruuj jeszcze kilka punktów należących do paraboli;
3) połącz zaznaczone punkty gładką linią.
Współrzędne wierzchołka paraboli określają wzory:
, .

Wartością bezwzględną liczby dodatniej jest sama liczba dodatnia; wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba dodatnia znajdująca się naprzeciw niej. Przyjmuje się, że wartość bezwzględna zera wynosi zero, tj.

.
Nieruchomości:
1) Wartość bezwzględna sumy liczb nie jest większa niż suma wartości bezwzględnych jej wyrazów, tj.
|a+b| |a|+|b|
2) Wartość bezwzględna różnicy między dwiema liczbami jest nie mniejsza niż różnica wartości bezwzględnych tych liczb, tj.
|a-c| |a|-|b| lub |a-c| |v|-|a|
3) Wartość bezwzględna iloczynu jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych czynników, tj.
|a w|=|a| |w|
4) Wartość bezwzględna ilorazu jest równa ilorazowi podzielenia wartości bezwzględnych dywidendy i dzielnika, tj.

5) Wartość bezwzględna stopnia o dodatnim wykładniku całkowitym jest równa temu samemu stopniowi wartości bezwzględnej podstawy, tj.
|аn|=|a|n.

1.2. Wykreślanie wykresu funkcji kwadratowej zawierającej zmienną pod znakiem modułu.

…Informacje matematyczne można umiejętnie i pożytecznie wykorzystać tylko wtedy, gdy zostaną twórczo opanowane, tak aby uczeń sam zobaczył, jak mógłby do tego dojść samodzielnie.
JAKIŚ. Kołmogorow.

Aby skonstruować wykresy funkcji zawierających znak modułu, tak jak przy rozwiązywaniu równań, najpierw znajdź pierwiastki wyrażeń pod znakiem modułu. W rezultacie oś Wółu jest podzielona na przedziały. Znaki modułu usuwamy, przyjmując każde wyrażenie w każdym przedziale z określonym znakiem, który znajdujemy za pomocą metody przedziałowej.
W każdym przedziale otrzymuje się funkcję bez znaku modułu. Budujemy wykres każdej funkcji w każdym przedziale.

W najprostszym przypadku, gdy pod znakiem modułu znajduje się tylko jedno wyrażenie i nie ma innych wyrazów bez znaku modułu, można wykreślić wykres funkcji pomijając znak modułu, a następnie wyświetlić część wykresu znajdującą się w obszarze ujemne wartości y względem osi Wół.

Pokażmy na przykładach kilka technik konstruowania wykresów funkcji za pomocą modułów.

Przykład 1.
Najpierw skonstruujmy parabolę y = x2 – 6x +5. Aby otrzymać z niego wykres funkcji y = |x2 - 6x + 5|, należy zastąpić każdy punkt paraboli rzędną ujemną punktem o tej samej odciętej, ale o przeciwnej (dodatniej) rzędnej. Innymi słowy, część paraboli znajdującą się poniżej osi Wółu należy zastąpić linią symetryczną do niej względem osi Wółu (ryc. 1).

Przykład 2.
Rozważmy wykres funkcji y = |x|2– 6x +5.
Ponieważ |x| jest kwadratowana, to niezależnie od znaku liczby x po podniesieniu do kwadratu będzie ona dodatnia. Wynika z tego, że wykres funkcji y =|x|2 - 6x +5 będzie identyczny z wykresem funkcji y = x2 - 6x +5, tj. wykres funkcji, która nie zawiera znaku wartości bezwzględnej (rys. 2).

Ryc.2
Przykład 3.
Rozważmy wykres funkcji y = x2 – 6|x| +5.
Korzystając z definicji modułu liczby, zastępujemy wzór
y = x2 – 6|x| +5
Teraz mamy do czynienia ze znanym odcinkowym przypisaniem zależności. Graf zbudujemy w następujący sposób:
1) skonstruuj parabolę y = x2 - 6x +5 i zakreśl jej część, która odpowiada nieujemnym wartościom x, tj. część znajdująca się na prawo od osi Oy.
2) w tej samej płaszczyźnie współrzędnych skonstruuj parabolę y = x2 +6x +5 i zakreśl jej część, która odpowiada ujemnym wartościom x, tj. część znajdująca się na lewo od osi Oy. Zakreślone kółkami części paraboli tworzą razem wykres funkcji y = x2 - 6|x| +5 (ryc. 3).

Przykład 4.
Rozważmy wykres funkcji y = |x|2 - 6|x|+5.
Ponieważ wykres równania y = |x|2 – 6x +5 jest taki sam jak wykres funkcji bez znaku modułu (rozważany w przykładzie 2), wynika z tego, że wykres funkcji y = |x|2 – 6|x| +5 jest identyczne z wykresem funkcji y = x2 – 6|x| +5, rozważane w przykładzie 3 (ryc. 3).

Przykład 5.
Aby to zrobić, zbudujmy wykres funkcji y = x2 - 6x. Aby otrzymać z niej wykres funkcji y = |x2 - 6x|, należy zastąpić każdy punkt paraboli rzędną ujemną punktem o tej samej odciętej, ale o przeciwnej (dodatniej) rzędnej. Innymi słowy, część paraboli znajdującą się poniżej osi x należy zastąpić linią symetryczną do niej względem osi x. Ponieważ musimy wykreślić funkcję y = |x2 - 6x| +5, to wykres rozważanej przez nas funkcji y = |x2 - 6x| wystarczy przesunąć go w górę wzdłuż osi Y o 5 jednostek (ryc. 4).

Przykład 6.

Zbudujmy wykres funkcji y = x2 - |6x+5|. W tym celu skorzystamy ze znanej funkcji fragmentarycznej. Znajdźmy miejsca zerowe funkcji

y = 6x +5
6x + 5 = 0 w.
Rozważmy dwa przypadki:
1) Jeżeli, to równanie będzie miało postać y = x2 – 6x -5. Skonstruujmy tę parabolę i zakreślmy część, w której.
2) Jeżeli, to równanie przyjmuje postać y = x2+ 6x +5. Ustawmy tę parabolę i zakreślmy jej część znajdującą się na lewo od punktu o współrzędnych (ryc. 5).

Przykład 7 .
Aby to zrobić, narysujemy funkcję y =x2- 6|x| +5. Zbudowaliśmy ten wykres w przykładzie 3. Ponieważ nasza funkcja jest całkowicie pod znakiem modułu, aby zbudować wykres funkcji y = |x2 – 6|x| +5|, należy zastąpić każdy punkt na wykresie funkcji y = x2 – 6|x|+5 rzędną ujemną punktem o tej samej odciętej, ale o rzędnej przeciwnej (dodatniej), tj. część paraboli znajdującą się poniżej osi Wółu należy zastąpić linią symetryczną do niej względem osi Wółu (ryc. 6).


Ryc.6
Przykład 8.
Rozważmy skonstruowanie wykresów postaci = f (x).
Biorąc pod uwagę, że we wzorze = f (x), f (x) i bazując na definicji modułu =
Przepiszmy wzór = f (x) w postaci y = f (x), gdzie f (x).
Na tej podstawie formułujemy algorytm regułowy.
Aby skonstruować wykresy postaci = f (x), wystarczy skonstruować wykres funkcji y = f (x) dla tych x z dziedziny definicji, dla których f (x) , i odzwierciedlić otrzymaną część funkcji wykres symetrycznie względem osi odciętej.
Zatem wykres zależności = f (x) składa się z wykresów dwóch funkcji: y = f (x) i y = - f (x).
Zbudujmy wykres funkcji.

Dalsze wstawianie zdjęć i wzorów jest technicznie niemożliwe
Ryc.7

Przykład 9.
Rozważmy skonstruowanie wykresów postaci
Dokonując znanych już przekształceń grafów, skonstruujemy najpierw graf y = │f (x)│, a następnie zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek
Algorytm konstrukcji:
1) Budujemy wykres funkcji.
2) Część wykresu wyświetlamy symetrycznie względem osi Wółu.
3) Powstały wykres wyświetlany jest symetrycznie względem osi Ox (ryc. 8).
Ryc.8

Wnioski:
1. Wykres funkcji y = │f (x)│ można otrzymać z wykresu y = f (x), pozostawiając na miejscu część, w której f (x) i symetrycznie odzwierciedlając drugą część względem osi Wółu, gdzie f (x )< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. Wykres funkcji y = f (│x│) pokrywa się z wykresem funkcji y = f (x) na zbiorze nieujemnych wartości argumentu i jest do niego symetryczny względem Oś Oy na zbiorze ujemnych wartości argumentu.
3. Wykres funkcji = f (x) można otrzymać konstruując wykres funkcji y = f (x) dla tych x z dziedziny definicji, dla których f (x) i odzwierciedlając otrzymaną część funkcji wykres symetrycznie względem osi x.
4. Wykres funkcji można otrzymać wykreślając wykres funkcji
y = f (x) i symetryczne wyświetlanie części wykresu względem osi Wół. Wynikowy wykres jest wyświetlany symetrycznie względem osi Ox.

II. Wykreślanie wykresu funkcji kwadratowej zawierającej zmienną pod znakiem modułu w programie Microsoft Excel.

Przykład 1.
Zbudujmy wykres funkcji y = |x2 – 6x +5|.

Przykład 2.
Zbudujmy wykres funkcji y = x2 – 6|x| +5.

Przykład 3.
Zbudujmy wykres funkcji y = |x2 – 6x| +5.

Przykład 4.
Zbudujmy wykres funkcji y = x2 - |6x+5|.

Przykład 5.
Narysujmy funkcję y = |x2 – 6|x| +5|.

Przykład 6.
Zbudujmy wykres funkcji.

Przykład 7.
Zbudujmy wykres funkcji.

Wniosek

Wiedza jest wiedzą tylko wtedy, gdy zdobywa się ją wysiłkiem myśli, a nie pamięci.
L. N. Tołstoj.

Wierzymy, że w tej pracy badawczej cel został osiągnięty, gdyż wszystkie zadania zostały rozwiązane.
Zbadaliśmy konstrukcję wykresu funkcji kwadratowej zawierającej zmienną pod znakiem wartości bezwzględnej oraz zbadaliśmy zmiany wykresu funkcji kwadratowej w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej. Opanowaliśmy techniki konstruowania wykresów funkcji postaci: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Aby napisać tę pracę naukową
1) studiowano literaturę dotyczącą własności wartości bezwzględnej i funkcji kwadratowej;
2) badano i analizowano zmiany podczas konstruowania wykresu funkcji kwadratowej, w której znak modułu zawiera różne zmienne;
3) wykresy równań skonstruowano przy użyciu programów graficznych Graph Master v 1.1, Microsoft Excel i innych;
Pisząc pracę korzystaliśmy z literatury edukacyjnej, zasobów Internetu, a także pracowaliśmy w programach takich jak Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel.
Tematyka badań okazała się bardzo różnorodna, wymagająca zupełnie nowych umiejętności zarówno na etapie badań, jak i podczas pisania i projektowania pracy.
To praktyczne doświadczenie w pracy z programami do konstruowania wykresów, do pisania wzorów matematycznych, a także nabyte umiejętności badawcze wykorzystamy w dalszych działaniach edukacyjnych, m.in. przy badaniu innych funkcji i równań z modułem, przy konstruowaniu wykresów tych funkcji .

Wykaz używanej literatury

1.Matematyka. Algebra. Funkcje. Analiza danych. Klasa 9: M.: Podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje / G.V. Dorofeev, S.B. Suvorova, E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva; wyd. G. V. Dorofeeva. – wyd. 5, stereotyp. – M.: Drop, 2004. – 352 s.: il.
2. Kurs matematyki wyższej dla szkół technicznych. I. F. Suworow, Moskwa – 1967.
3. Matematyka. Algebra i funkcje elementarne. M. I. Abramowicz, M. T. Starodubcew.
4. A.G. Mordkovich Książka dla nauczycieli. Rozmowy z nauczycielami. Moskwa – „Onyks XXI wieku”, „Pokój i edukacja”, 2005
5. Przedmiot do wyboru. Poznaj moduł! Algebra. 8-9 klas./ komp. Baukova T.T. – Wołgograd: ITD „Koryfeusz” – 96 s.

Zasoby internetowe

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Znak modułu jest prawdopodobnie jednym z najciekawszych zjawisk w matematyce. W związku z tym wiele uczniów ma pytanie, jak zbudować wykresy funkcji zawierających moduł. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo.

1. Wykreślanie wykresów funkcji zawierających moduł

Przykład 1.

Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 8|x| + 12.

Rozwiązanie.

Określmy parzystość funkcji. Wartość y(-x) jest taka sama jak wartość y(x), więc ta funkcja jest parzysta. Wtedy jego wykres jest symetryczny względem osi Oy. Wykreślamy funkcję y = x 2 – 8x + 12 dla x ≥ 0 i symetrycznie wyświetlamy wykres względem Oy dla ujemnego x (ryc. 1).

Przykład 2.

Poniższy wykres wygląda jak y = |x 2 – 8x + 12|.

– Jaki jest zakres wartości proponowanej funkcji? (y ≥ 0).

– Jak umiejscowiony jest harmonogram? (Powyżej lub dotykającej osi X).

Oznacza to, że wykres funkcji otrzymuje się w następujący sposób: narysuj wykres funkcji y = x 2 – 8x + 12, część wykresu leżącą nad osią Ox pozostaw bez zmian, a część wykresu leżącą pod osią odciętych jest wyświetlana symetrycznie względem osi Wół (ryc. 2).

Przykład 3.

Aby wykreślić funkcję y = |x 2 – 8|x| + 12| wykonaj kombinację przekształceń:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Odpowiedź: Rysunek 3.

Rozważane przekształcenia obowiązują dla wszystkich typów funkcji. Zróbmy tabelę:

2. Wykreślanie wykresów funkcji zawierających we wzorze „moduły zagnieżdżone”.

Zapoznaliśmy się już z przykładami funkcji kwadratowej zawierającej moduł, a także z ogólnymi zasadami konstruowania wykresów funkcji postaci y = f(|x|), y = |f(x)| i y = |f(|x|)|. Przekształcenia te pomogą nam przy rozważaniu poniższego przykładu.

Przykład 4.

Rozważmy funkcję w postaci y = |2 – |1 – |x|||. Wyrażenie funkcji zawiera „moduły zagnieżdżone”.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy z metody przekształceń geometrycznych.

Zapiszmy łańcuch kolejnych transformacji i wykonaj odpowiedni rysunek (ryc. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Rozważmy przypadki, gdy symetria i przekształcenia równoległe nie są główną techniką podczas konstruowania grafów.

Przykład 5.

Skonstruuj wykres funkcji w postaci y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

Rozwiązanie.

Przed skonstruowaniem wykresu przekształcamy wzór definiujący funkcję i uzyskujemy kolejne analityczne przypisanie funkcji (ryc. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Rozwińmy moduł w mianowniku:

Dla x > -2, y = x – 2 i dla x< -2, y = -(x – 2).

Dziedzina D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Zakres wartości E(y) = (-4; +∞).

Punkty, w których wykres przecina oś współrzędnych: (0; -2) i (2; 0).

Funkcja maleje dla wszystkich x z przedziału (-∞; -2), dla x rośnie od -2 do +∞.

Tutaj musieliśmy ujawnić znak modułu i wykreślić funkcję dla każdego przypadku.

Przykład 6.

Rozważmy funkcję y = |x + 1| – |x – 2|.

Rozwiązanie.

Rozwijając znak modułu, należy wziąć pod uwagę każdą możliwą kombinację znaków wyrażeń submodularnych.

Istnieją cztery możliwe przypadki:

(x + 1 – x + 2 = 3, dla x ≥ -1 i x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, przy x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, dla x ≥ -1 i x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, przy x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Wtedy oryginalna funkcja będzie wyglądać następująco:

(3, dla x ≥ 2;

y = (-3, przy x< -1;

(2x – 1, gdzie -1 ≤ x< 2.

Otrzymaliśmy funkcję zadaną fragmentarycznie, której wykres pokazano na rysunku 6.

3. Algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci

y = za 1 |x – x 1 | + za 2 |x – x 2 | + … + za n |x – x n | + topór + b.

W poprzednim przykładzie dość łatwo było ujawnić znaki modułu. Jeśli sum modułów jest więcej, problematyczne jest uwzględnienie wszystkich możliwych kombinacji znaków wyrażeń submodularnych. Jak w takim przypadku skonstruować wykres funkcji?

Zauważ, że wykres jest linią przerywaną, której wierzchołki w punktach mają odcięte -1 i 2. Przy x = -1 i x = 2 wyrażenia submodularne są równe zero. W praktyce zbliżyliśmy się do zasady konstruowania takich grafów:

Wykres funkcji postaci y = a 1 |x – x 1 | + za 2 |x – x 2 | + … + za n |x – x n | + ax + b to linia przerywana z nieskończonymi skrajnymi łączami. Aby skonstruować taką linię łamaną, wystarczy znać wszystkie jej wierzchołki (odcięte wierzchołków są zerami wyrażeń submodularnych) i jeden punkt kontrolny na lewym i prawym ogniwie nieskończonym.

Zadanie.

Naszkicuj funkcję y = |x| + |x – 1| + |x + 1| i znajdź jego najmniejszą wartość.

Rozwiązanie:

Zera wyrażeń submodularnych: 0; -1; 1. Wierzchołki linii łamanej (0; 2); (-13); (13). Punkt kontrolny po prawej (2; 6), po lewej stronie (-2; 6). Budujemy wykres (ryc. 7). min f(x) = 2.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak wykreślić funkcję z modułem?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Rysowanie wykresów funkcji zawierających znak modułu.

Mam nadzieję, że dokładnie przestudiowałeś akapit 23 i rozumiesz, czym różni się funkcja widoku od funkcji. Przyjrzyjmy się teraz jeszcze kilku przykładom, które powinny pomóc podczas tworzenia wykresów.

Przykład 1. Wykres funkcji

Mamy funkcję postaci , gdzie .

1. Najpierw zbudujmy wykres funkcji submodularnej, czyli funkcji . Aby to zrobić, wybierz część całkowitą tego ułamka. Przypomnę, że można to zrobić na dwa sposoby: dzieląc licznik przez mianownik „w kolumnie” lub zapisując licznik tak, aby zawierał wyrażenie będące wielokrotnością mianownika. Wybierzmy całą część za pomocą drugiej metody.

Oznacza to, że funkcja submodularna ma postać . Oznacza to, że jej wykres jest hiperbolą postaci , przesuniętą o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w górę.

Zbudujmy ten wykres.

2. Aby otrzymać wykres żądanej funkcji, należy pozostawić część skonstruowanego wykresu funkcji powyżej osi Ox bez zmian, a część wykresu poniżej osi Ox wyświetlić symetrycznie w górnej półpłaszczyźnie. Dokonajmy tych przekształceń.

Harmonogram został utworzony.

Odciętą punktu przecięcia wykresu z osią Wół można obliczyć rozwiązując równanie

y = 0, tj. Rozumiemy to.

Teraz za pomocą wykresu możesz określić wszystkie właściwości funkcji, znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji w przedziale oraz rozwiązać problemy z parametrem.

Możesz na przykład odpowiedzieć na następujące pytanie. „Przy jakich wartościach parametru A czy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Narysujmy linie proste y =A przy różnych wartościach parametrów A. (Cienkie czerwone proste linie na poniższym obrazku)

Jasne jest, że jeśli A<0 , to wykres skonstruowanej funkcji i prosta nie mają punktów wspólnych, co oznacza, że ​​równanie nie ma jednego rozwiązania.

Jeśli 0< A<3 Lub a>3, potem prosto y =A i skonstruowany wykres mają dwa punkty wspólne, czyli równanie ma dwa rozwiązania.

Jeśli a = 0 Lub a = 3, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, ponieważ dla tych wartości A linia prosta i wykres funkcji mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Przykład 2. Wykres funkcji

Rozwiązanie

Najpierw skonstruujmy wykres funkcji dla nieujemnych wartości x. Jeśli , to i wtedy nasza funkcja przybiera formę , a pożądana funkcja jest funkcją formy .

Wykres funkcji to gałąź paraboli „skierowana” w lewo, przesunięta o 4 jednostki Prawidłowy. (Ponieważ możemy sobie wyobrazić ).

Narysujmy tę funkcję

i rozważymy tylko tę część, która znajduje się na prawo od osi Oy. Resztę usuniemy.

Należy pamiętać, że obliczyliśmy wartość rzędnej punktu wykresu leżącego na osi rzędnych. Aby to zrobić, wystarczy obliczyć wartość funkcji przy x = 0. W naszym przypadku przy x = 0 dostał y=2.

Teraz narysujmy funkcję w X< 0 . W tym celu skonstruujemy linię symetryczną do tej, którą już zbudowaliśmy względem osi Oy.

W ten sposób wykreśliliśmy żądaną funkcję.

Przykład 3. Wykres funkcji

To nie jest już łatwe zadanie. Widzimy, że istnieją oba typy funkcji z modułem: i , oraz . Będziemy budować w kolejności:

Najpierw zbudujmy wykres funkcji bez wszystkich modułów: Następnie dodamy moduł do każdego argumentu. Otrzymujemy funkcję postaci tj. Aby skonstruować taki wykres należy zastosować symetrię względem osi Oy. Dodajmy także moduł zewnętrzny. W końcu otrzymujemy pożądaną funkcję. Ponieważ funkcję tę otrzymaliśmy z poprzedniej za pomocą zewnętrznego modułu, mamy funkcję postaci , co oznacza, że ​​konieczne jest zastosowanie symetrii względem Ox.

Teraz więcej szczegółów.

Jest to ułamkowa funkcja liniowa; aby skonstruować wykres, należy wybrać całą część i właśnie to zrobimy.

Oznacza to, że wykres tej funkcji jest hiperbolą postaci przesuniętą o 2 w prawo i 4 w dół.

Obliczmy współrzędne punktów przecięcia z osiami współrzędnych.

y = 0 przy x = 0, co oznacza, że ​​wykres przejdzie przez początek układu współrzędnych.

2. Teraz zbudujmy wykres funkcji.

Aby to zrobić, na oryginalnym wykresie usuń najpierw tę jego część, która znajduje się na lewo od osi Oy:

, a następnie wyświetl go symetrycznie względem osi Oy. Należy pamiętać, że asymptoty są również wyświetlane symetrycznie!

Zbudujmy teraz końcowy wykres funkcji: . W tym celu część poprzedniego wykresu leżącą nad osią Ox pozostawimy bez zmian i symetrycznie wyświetlimy to, co znajduje się poniżej osi Ox, w górnej półpłaszczyźnie. Ponownie, nie zapominaj, że asymptoty są wyświetlane wraz z wykresem!

Harmonogram został utworzony.

Przykład 4: Korzystając z różnych przekształceń wykresu, wykreśl funkcję

Coś całkowicie pokręconego i skomplikowanego! Mnóstwo modułów! Ale kwadrat X nie ma modułu!!! Nie da się tego zbudować!

Przeciętny uczeń ósmej klasy, który nie jest zaznajomiony z techniką sporządzania wykresów, może myśleć w ten lub podobny sposób.

Ale nie my! Ponieważ znamy RÓŻNE sposoby przekształcania wykresów funkcji, a także znamy różne właściwości modułu.

Zacznijmy więc po kolei.

Pierwszym problemem jest brak modułu X do kwadratu. Bez problemu. Wiemy to. Cienki. Oznacza to, że naszą funkcję można zapisać jako . To już jest lepsze, bo wygląda na .

Dalej. Funkcja ma moduł zewnętrzny, więc wygląda na to, że będziesz musiał skorzystać z reguł tworzenia wykresu funkcji. Zobaczmy zatem, czym jest wyrażenie submodularne. To jest funkcja formy . Gdyby nie -2, to funkcja ponownie zawierałaby moduł zewnętrzny i wiemy jak tę funkcję wykreślić za pomocą symetrii. Tak! Ale jeśli go zbudujemy, to przesuwając go o 2 jednostki w dół, otrzymamy to, czego szukamy!

Zatem coś zaczyna się pojawiać. Spróbujmy stworzyć algorytm konstruowania wykresu.

1.

5. I w końcu . Odwzorujmy wszystko, co leży poniżej osi Wołu symetrycznie na górnej półpłaszczyźnie.

Brawo! Harmonogram jest gotowy!

Powodzenia w trudnym zadaniu tworzenia wykresów!

Transkrypcja

1 Regionalna konferencja naukowo-praktyczna prac edukacyjnych i badawczych uczniów klas 6-11 „Zastosowania i podstawowe zagadnienia matematyki” Metodologiczne aspekty studiowania matematyki Budowa wykresów funkcji zawierających moduł Gabova Angela Yurievna, 10. klasa, MOBU „Gimnazjum 3 ” Kudymkar, Pikuleva Nadieżda Iwanowna, nauczyciel matematyki w miejskiej placówce oświatowej „Gimnazjum 3”, Kudymkar Perm, 2016

2 Spis treści: Wprowadzenie...3 strony I. Część główna...6 stron 1.1Tło historyczne..6 stron 2.Podstawowe definicje i własności funkcji strona 2.1 Funkcja kwadratowa...7 stron 2.2 Funkcja liniowa... .8 s. 2.3 Funkcja ułamkowo-wymierna 8 s. 3. Algorytmy konstruowania wykresów o module 9 s. 3.1 Wyznaczanie modułu 9 s. 3.2 Algorytm konstruowania wykresów funkcji liniowych o module...9 s. 3.3 Konstruowanie wykresów funkcji zawierające we wzorze „moduły zagnieżdżone” 10 s. 3.4 Algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 s. 3.5 Algorytm konstruowania wykresów funkcji kwadratowej funkcja o module.14 s. 3.6 Algorytm wykreślający ułamkową funkcję wymierną o module. 15 s. 4. Zmiany wykresu funkcji kwadratowej w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej..17p. II. Zakończenie...26 s. III. Spis literatury i źródeł...27 s. IV. Dodatek….28 s. 2

3 Wprowadzenie Konstruowanie wykresów funkcji to jeden z najciekawszych tematów matematyki szkolnej. Największy matematyk naszych czasów, Izrael Moiseevich Gelfand, napisał: „Proces konstruowania wykresów to sposób przekształcania formuł i opisów w obrazy geometryczne. Dzięki temu wykresowi możesz zobaczyć formuły i funkcje oraz zobaczyć, jak te funkcje się zmieniają. Na przykład, jeśli zostanie napisane y =x 2, natychmiast zobaczysz parabolę; jeśli y = x 2-4, widzisz parabolę obniżoną o cztery jednostki; jeśli y = -(x 2 4), to poprzednia parabola jest odwrócona. Ta umiejętność natychmiastowego zobaczenia wzoru i jego interpretacji geometrycznej jest ważna nie tylko w nauce matematyki, ale także innych przedmiotów. To umiejętność, która zostaje z tobą na całe życie, tak jak jazda na rowerze, pisanie na klawiaturze czy prowadzenie samochodu”. Podstawy rozwiązywania równań modułowych zdobywano w klasach 6-7. Wybrałem ten konkretny temat, ponieważ uważam, że wymaga on głębszych i dokładniejszych badań. Chcę zdobyć większą wiedzę na temat modułu liczb, różnych sposobów konstruowania wykresów zawierających znak wartości bezwzględnej. Kiedy znak modułu uwzględni się w „standardowych” równaniach prostych, paraboli i hiperboli, ich wykresy stają się niezwykłe, a nawet piękne. Aby nauczyć się budować takie wykresy, trzeba opanować techniki konstruowania podstawowych figur, a także dobrze znać i rozumieć definicję modułu liczby. Na szkolnym kursie matematyki wykresy z modułem nie są omawiane wystarczająco dogłębnie, dlatego też zapragnąłem poszerzyć swoją wiedzę na ten temat i przeprowadzić własne badania. Nie znając definicji modułu, nie da się skonstruować nawet najprostszego wykresu zawierającego wartość bezwzględną. Cechą charakterystyczną wykresów funkcji zawierających wyrażenia ze znakiem modułu jest liczba 3

4 to obecność załamań w tych punktach, w których wyrażenie pod znakiem modułu zmienia znak. Cel pracy: rozważenie konstrukcji wykresu funkcji liniowych, kwadratowych i ułamkowo wymiernych zawierających zmienną pod znakiem modułu. Cele: 1) Zapoznanie się z literaturą dotyczącą własności wartości bezwzględnej funkcji wymiernych liniowych, kwadratowych i ułamkowych. 2) Zbadaj zmiany wykresów funkcji w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej. 3) Naucz się sporządzać wykresy równań. Przedmiot badań: wykresy funkcji liniowych, kwadratowych i ułamkowo wymiernych. Przedmiot badań: zmiany wykresu funkcji liniowych, kwadratowych i ułamkowo wymiernych w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej. Praktyczne znaczenie mojej pracy polega na: 1) wykorzystaniu zdobytej wiedzy na ten temat, a także jej pogłębieniu i zastosowaniu do innych funkcji i równań; 2) w wykorzystaniu umiejętności badawczych w dalszej działalności edukacyjnej. Trafność: Zadania graficzne są tradycyjnie jednym z najtrudniejszych tematów w matematyce. Nasi absolwenci stają przed problemem pozytywnego zdania Egzaminu Państwowego i Jednolitego Egzaminu Państwowego. Problem badawczy: konstruowanie wykresów funkcji zawierających znak modułu z drugiej części GIA. Hipoteza badawcza: zastosowanie metodologii rozwiązywania zadań w drugiej części GIA, opracowanej na podstawie ogólnych metod konstruowania wykresów funkcji zawierających znak modułu, umożliwi studentom rozwiązanie tych zadań 4

5 świadomie wybrać najbardziej racjonalną metodę rozwiązania, zastosować różne metody rozwiązania i pomyślniej zdać Egzamin Państwowy. Metody badawcze zastosowane w pracy: 1. Analiza literatury matematycznej i zasobów Internetu na ten temat. 2. Reprodukcja reprodukcyjna badanego materiału. 3. Działalność poznawcza i poszukiwawcza. 4.Analiza i porównywanie danych w poszukiwaniu rozwiązań problemów. 5. Stawianie hipotez i ich weryfikacja. 6. Porównanie i uogólnienie faktów matematycznych. 7. Analiza uzyskanych wyników. Przy pisaniu tej pracy korzystano z następujących źródeł: zasoby Internetu, testy OGE, literatura matematyczna. 5

6 I. Część główna 1.1 Tło historyczne. W pierwszej połowie XVII wieku zaczęła pojawiać się koncepcja funkcji jako zależności jednej zmiennej od drugiej. Tak więc francuscy matematycy Pierre Fermat () i Rene Descartes () wyobrażali sobie funkcję jako zależność rzędnej punktu na krzywej od jego odciętej. A angielski naukowiec Izaak Newton () rozumiał funkcję jako współrzędną poruszającego się punktu zmieniającą się w zależności od czasu. Termin „funkcja” (od łacińskiego wykonanie funkcji, realizacja) został po raz pierwszy wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza(). Powiązał funkcję z obrazem geometrycznym (wykresem funkcji). Następnie szwajcarski matematyk Johann Bernoulli() i członek petersburskiej Akademii Nauk, słynny XVIII-wieczny matematyk Leonard Euler(), uznali tę funkcję za wyrażenie analityczne. Euler ogólnie rozumie funkcję jako zależność jednej zmiennej od drugiej. Słowo „moduł” pochodzi od łacińskiego słowa „modulus”, co oznacza „mierzyć”. Jest to słowo wieloznaczne (homonim), które ma wiele znaczeń i jest stosowane nie tylko w matematyce, ale także w architekturze, fizyce, technologii, programowaniu i innych naukach ścisłych. W architekturze jest to początkowa jednostka miary ustalona dla danej budowli architektonicznej i używana do wyrażania wielokrotnych stosunków jej elementów składowych. W technologii jest to termin używany w różnych dziedzinach techniki, który nie ma uniwersalnego znaczenia i służy do oznaczania różnych współczynników i wielkości, na przykład modułu sprzęgania, modułu sprężystości itp. 6

7 Moduł objętościowy (w fizyce) to stosunek naprężenia normalnego w materiale do wydłużenia względnego. 2. Podstawowe definicje i własności funkcji Funkcja jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja jest zależnością zmiennej y od zmiennej x w taki sposób, że każda wartość zmiennej x odpowiada pojedynczej wartości zmiennej y. Metody wyznaczania funkcji: 1) metoda analityczna (funkcję wyznacza się za pomocą wzoru matematycznego); 2) metoda tabelaryczna (funkcję określa się za pomocą tabeli); 3) metoda opisowa (funkcję określa opis słowny); 4) metoda graficzna (funkcja jest określona za pomocą wykresu). Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartości argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji. 2.1 Funkcja kwadratowa Funkcję określoną wzorem y = ax 2 + in + c, gdzie x i y są zmiennymi, a parametry a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a a = 0, nazywa się kwadratową. Wykres funkcji y=ax 2 +in+c jest parabolą; oś symetrii paraboli y=ax 2 +in+c jest linią prostą, dla a>0 „gałęzie” paraboli skierowane są w górę, dla a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (dla funkcji jednej zmiennej). Główna właściwość funkcji liniowych: przyrost funkcji jest proporcjonalny do przyrostu argumentu. Oznacza to, że funkcja jest uogólnieniem bezpośredniej proporcjonalności. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą i stąd wzięła się jej nazwa. Dotyczy to funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej. 1) Gdy linia prosta tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi odciętej. 2) Gdy linia prosta tworzy kąt rozwarty z dodatnim kierunkiem osi x. 3) jest wskaźnikiem rzędnej punktu przecięcia linii z osią rzędnych. 4) Kiedy linia prosta przechodzi przez początek. , 2.3 Funkcja ułamkowo-wymierna to ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami. Ma postać gdzie, wielomiany w dowolnej liczbie zmiennych. Szczególnym przypadkiem są funkcje wymierne jednej zmiennej:, gdzie i są wielomianami. 1) Każde wyrażenie, które można uzyskać ze zmiennych za pomocą czterech operacji arytmetycznych, jest funkcją wymierną. 8

9 2) Zbiór funkcji wymiernych jest domknięty w ramach operacji arytmetycznych i operacji składania. 3) Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych - wykorzystuje się to w całkowaniu analitycznym.. , 3. Algorytmy konstruowania wykresów z modułem 3.1 Definicja modułu Moduł liczby rzeczywistej a jest samą liczbą a, jeśli jest ona nieujemna, a liczba przeciwna a, jeśli a jest ujemna. a = 3.2 Algorytm konstruowania wykresu funkcji liniowej z modułem Aby skonstruować wykresy funkcji y = x trzeba wiedzieć, że dla dodatniego x mamy x = x. Oznacza to, że dla dodatnich wartości argumentu wykres y= x pokrywa się z wykresem y=x, czyli ta część wykresu jest półprostą wychodzącą ze początku pod kątem 45 stopni do osi odciętej . O godzinie x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Aby skonstruować, bierzemy punkty (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Zbudujmy teraz wykres y= x-1. Jeżeli A jest punktem na wykresie y= x o współrzędnych (a; a), to punkt na wykresie y= x-1 o tej samej wartości rzędnej Y będzie będzie punktem A1(a+1; a). Ten punkt drugiego wykresu można uzyskać z punktu A(a; a) pierwszego wykresu, przesuwając równolegle do osi Ox w prawo. Oznacza to, że cały wykres funkcji y= x-1 otrzymujemy z wykresu funkcji y= x poprzez przesunięcie równolegle do osi Ox w prawo o 1. Skonstruujmy wykresy: y= x-1 Aby skonstruować , zbierz punkty (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Konstruowanie wykresów funkcji zawierających we wzorze „moduły zagnieżdżone” Rozważmy algorytm konstrukcji na konkretnym przykładzie Zbuduj wykres funkcji: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Zbuduj wykres funkcji. 2. Wyświetlamy wykres dolnej półpłaszczyzny w górę symetrycznie względem osi OX i uzyskujemy wykres funkcji. jedenaście

12 3. Wyświetlamy wykres funkcji w dół symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji. 4. Wyświetlamy wykres funkcji w dół symetrycznie względem osi OX i uzyskujemy wykres funkcji 5. Wyświetlamy wykres funkcji względem osi OX i uzyskujemy wykres. 12

13 6. W rezultacie wykres funkcji wygląda następująco 3.4. Algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. W poprzednim przykładzie dość łatwo było ujawnić znaki modułu. Jeśli sum modułów jest więcej, problematyczne jest uwzględnienie wszystkich możliwych kombinacji znaków wyrażeń submodularnych. Jak w takim przypadku skonstruować wykres funkcji? Zauważ, że wykres jest linią przerywaną, której wierzchołki w punktach mają odcięte -1 i 2. Przy x = -1 i x = 2 wyrażenia submodularne są równe zero. W praktyce zbliżyliśmy się do zasady konstruowania takich wykresów: Wykres funkcji postaci y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b jest linią łamaną o nieskończonych ogniwach skrajnych. Aby skonstruować taką linię łamaną, wystarczy znać wszystkie jej wierzchołki (odcięte wierzchołków są zerami wyrażeń submodularnych) i jeden punkt kontrolny na lewym i prawym ogniwie nieskończonym. 13

14 Problem. Narysuj wykres funkcji y = x + x 1 + x + 1 i znajdź jej najmniejszą wartość. Rozwiązanie: 1. Zera wyrażeń submodularnych: 0; -1; Wierzchołki polilinii (0; 2); (-13); (1; 3) (podstawiamy do równania zera wyrażeń submodularnych) 3 Punkt kontrolny po prawej (2; 6), po lewej stronie (-2; 6). Budujemy wykres (ryc. 7), najmniejszą wartością funkcji jest Algorytm konstruowania wykresu funkcji kwadratowej za pomocą modułu Tworzenie algorytmów konwersji wykresów funkcji. 1. Wykreślenie wykresu funkcji y= f(x). Z definicji modułu funkcja ta jest podzielona na zbiór dwóch funkcji. Zatem wykres funkcji y= f(x) składa się z dwóch wykresów: y= f(x) w prawej półpłaszczyźnie, y= f(-x) w lewej półpłaszczyźnie. Na tej podstawie można sformułować regułę (algorytm). Wykres funkcji y= f(x) otrzymujemy z wykresu funkcji y= f(x) w następujący sposób: przy x 0 wykres zostaje zachowany, a przy x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Aby zbudować wykres funkcji y= f(x) należy najpierw zbudować wykres funkcji y= f(x) dla x> 0, potem dla x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Aby uzyskać taki wykres wystarczy przesunąć otrzymany wcześniej wykres o trzy jednostki w prawo. Zauważmy, że gdyby w mianowniku ułamka znajdowało się wyrażenie x + 3, to przesunęlibyśmy wykres w lewo: Teraz musimy pomnożyć wszystkie rzędne przez dwa, aby otrzymać wykres funkcji. Na koniec przesuwamy wykres w górę o dwie jednostki: Ostatnią rzeczą, którą musimy zrobić, to wykreślić wykres danej funkcji, jeśli jest ona ujęta pod znakiem modułu. Aby to zrobić, odbijamy symetrycznie w górę całą część wykresu, której współrzędne są ujemne (tę część, która leży poniżej osi x): Rys. 4 16

17 4.Zmiany wykresu funkcji kwadratowej w zależności od położenia znaku wartości bezwzględnej. Skonstruuj wykres funkcji y = x 2 - x -3 1) Ponieważ x = x przy x 0, wymagany wykres pokrywa się z parabolą y = 0,25 x 2 - x - 3. Jeśli x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Dlatego kończę konstrukcję dla x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Ryc. 4 Wykres funkcji y = f (x) pokrywa się z wykresem funkcji y = f (x) na zbiorze nieujemnych wartości argumentu i jest do niego symetryczny względem osi OU na zbiorze ujemnych wartości argumentu. Dowód: Jeśli x 0, to f (x) = f (x), tj. na zbiorze nieujemnych wartości argumentu wykresy funkcji y = f (x) i y = f (x) pokrywają się. Ponieważ y = f (x) jest funkcją parzystą, jej wykres jest symetryczny względem wzmacniacza operacyjnego. Zatem wykres funkcji y = f (x) można otrzymać z wykresu funkcji y = f (x) w następujący sposób: 1. skonstruować wykres funkcji y = f (x) dla x>0; 2. Dla x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Dla x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Jeśli x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 i symetrycznie odbita część y = f(x) przy y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, wówczas f (x) = f (x), co oznacza, że ​​w tej części wykres funkcji y = f (x) pokrywa się z wykresem samej funkcji y = f (x). Jeśli f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Rys.5 Wniosek: Aby zbudować wykres funkcji y= f(x) 1. Zbuduj wykres funkcji y=f(x) ; 2. W obszarach, gdzie wykres leży w dolnej półpłaszczyźnie, tj. gdzie f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Prace badawcze nad konstrukcją wykresów funkcji y = f (x) Korzystając z definicji wartości bezwzględnej i omówionych wcześniej przykładów, skonstruujemy wykresy funkcji: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 i wyciągnij wnioski. Aby zbudować wykres funkcji y = f (x) należy: 1. Zbudować wykres funkcji y = f (x) dla x>0. 2. Skonstruuj drugą część wykresu, tj. odzwierciedl skonstruowany wykres symetrycznie względem wzmacniacza operacyjnego, ponieważ Ta funkcja jest parzysta. 3. Przekształć fragmenty powstałego wykresu znajdujące się w dolnej półpłaszczyźnie na górną półpłaszczyznę symetrycznie do osi OX. Skonstruuj wykres funkcji y = 2 x - 3 (1. metoda wyznaczania modułu) 1. Skonstruuj y = 2 x - 3, dla 2 x - 3 > 0, x >1,5 tj. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, dla x>0 b) dla x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) dla x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Konstruujemy linię prostą, symetryczną do tej zbudowanej względem osi wzmacniacza operacyjnego. 3) Wyświetlam fragmenty wykresu położone w dolnej półpłaszczyźnie symetrycznie względem osi OX. Porównując oba wykresy, widzimy, że są takie same. 21

22 Przykłady problemów Przykład 1. Rozważmy wykres funkcji y = x 2 6x +5. Ponieważ x jest kwadratem, niezależnie od znaku liczby x, po podniesieniu do kwadratu będzie ona dodatnia. Wynika z tego, że wykres funkcji y = x 2-6x +5 będzie identyczny z wykresem funkcji y = x 2-6x +5, tj. wykres funkcji, która nie zawiera znaku wartości bezwzględnej (rys. 2). Ryc.2 Przykład 2. Rozważmy wykres funkcji y = x 2 6 x +5. Korzystając z definicji modułu liczby, zastępujemy wzór y = x 2 6 x +5 Teraz mamy do czynienia ze znanym nam przypisaniem zależności fragmentarycznej. Zbudujemy wykres w następujący sposób: 1) zbuduj parabolę y = x 2-6x +5 i zakreśl część, która wynosi 22

23 odpowiada nieujemnym wartościom x, tj. część znajdująca się na prawo od osi Oy. 2) w tej samej płaszczyźnie współrzędnych skonstruuj parabolę y = x 2 +6x +5 i zakreśl część odpowiadającą ujemnym wartościom x, tj. część znajdująca się na lewo od osi Oy. Zakreślone kółkami części paraboli tworzą razem wykres funkcji y = x 2-6 x +5 (ryc. 3). Rys.3 Przykład 3. Rozważmy wykres funkcji y = x 2-6 x +5. Ponieważ wykres równania y = x 2 6x +5 jest taki sam jak wykres funkcji bez znaku modułu (omówione w przykładzie 2), wynika z tego, że wykres funkcji y = x 2 6 x +5 jest identyczny do wykresu funkcji y = x 2 6 x +5 , rozważanej w przykładzie 2 (ryc. 3). Przykład 4. Zbudujmy wykres funkcji y = x 2 6x +5. Aby to zrobić, zbudujmy wykres funkcji y = x 2-6x. Aby otrzymać z niej wykres funkcji y = x 2-6x, należy zastąpić każdy punkt paraboli rzędną ujemną punktem o tej samej odciętej, ale o przeciwnej (dodatniej) rzędnej. Innymi słowy, część paraboli znajdującą się poniżej osi x należy zastąpić linią symetryczną do niej względem osi x. Ponieważ musimy zbudować wykres funkcji y = x 2-6x +5, następnie wykres funkcji, którą rozważaliśmy y = x 2-6x, wystarczy podnieść wzdłuż osi y o 5 jednostek w górę (ryc. 4 ). 23

24 Rys.4 Przykład 5. Zbudujmy wykres funkcji y = x 2-6x+5. W tym celu skorzystamy ze znanej funkcji fragmentarycznej. Znajdźmy zera funkcji y = 6x +5 6x + 5 = 0 w. Rozważmy dwa przypadki: 1) Jeżeli, to równanie przyjmie postać y = x 2 6x -5. Skonstruujmy tę parabolę i zakreślmy część, w której. 2) Jeśli, to równanie przyjmuje postać y = x 2 + 6x +5. Ustawmy tę parabolę i zakreślmy jej część znajdującą się na lewo od punktu o współrzędnych (ryc. 5). 24

25 Ryc.5 Przykład6. Zbudujmy wykres funkcji y = x 2 6 x +5. Aby to zrobić, zbudujemy wykres funkcji y = x 2-6 x +5. Zbudowaliśmy ten wykres w przykładzie 3. Ponieważ nasza funkcja jest całkowicie pod znakiem modułu, aby zbudować wykres funkcji y = x 2 6 x +5, potrzebujemy każdego punktu wykresu funkcji y = x 2 6 x + 5 o rzędnej ujemnej należy zastąpić punktem o tej samej odciętej, ale o rzędnej przeciwnej (dodatniej), tj. część paraboli znajdującą się poniżej osi Wółu należy zastąpić linią symetryczną do niej względem osi Wółu (ryc. 6). Ryc.6 25

26 II Zakończenie „Informację matematyczną można wykorzystać umiejętnie i pożytecznie tylko wtedy, gdy zostanie twórczo opanowana, tak aby uczeń sam zobaczył, jak mógłby do niej dojść samodzielnie”. JAKIŚ. Kołmogorow. Problemy te cieszą się dużym zainteresowaniem uczniów klas dziewiątych, ponieważ są bardzo częste na testach OGE. Umiejętność konstruowania wykresów danych funkcji pozwoli Ci zdać egzamin z większym sukcesem. Francuscy matematycy Pierre Fermat () i Rene Descartes () wyobrażali sobie funkcję jako zależność rzędnej punktu na krzywej od jego odciętej. A angielski naukowiec Izaak Newton () rozumiał funkcję jako współrzędną poruszającego się punktu zmieniającą się w zależności od czasu. 26

27 III Spis literatury i źródeł 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór problemów algebry dla klas 8-9: Podręcznik. podręcznik dla uczniów szkół. i zajęcia zaawansowane badane Matematyka, wyd. 2. M.: Oświecenie, Dorofeev G.V. Matematyka. Algebra. Funkcje. Analiza danych. 9. klasa: m34 Edukacyjna. na studia ogólnokształcące. założenie 2. wyd., stereotyp. M.: Drop, Solomonik V.S. Zbiór pytań i problemów matematycznych M.: „Szkoła wyższa”, Yashchenko I.V. GIA. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: O opcjach.m.: „Edukacja Narodowa”, s. 30-40. 5. Jaszczenko I.V. OGE. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: O opcjach.m.: „Edukacja Narodowa”, s. 30-40. 6. Jaszczenko I.V. OGE. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: O opcjach m.: „Edukacja narodowa”, z

28 Załącznik 28

29 Przykład 1. Wykres funkcji y = x 2 8 x Rozwiązanie. Określmy parzystość funkcji. Wartość y(-x) jest taka sama jak wartość y(x), więc ta funkcja jest parzysta. Wtedy jego wykres jest symetryczny względem osi Oy. Wykreślamy funkcję y = x 2 8x + 12 dla x 0 i symetrycznie wyświetlamy wykres względem Oy dla ujemnego x (ryc. 1). Przykład 2. Poniższy wykres postaci y = x 2 8x Oznacza to, że wykres funkcji otrzymujemy w następujący sposób: zbuduj wykres funkcji y = x 2 8x + 12, zostaw część wykresu leżącą powyżej oś Wół pozostaje bez zmian oraz część wykresu leżąca pod osią odciętych i jest wyświetlana symetrycznie względem osi Wół (ryc. 2). Przykład 3. Aby wykreślić wykres funkcji y = x 2 8 x + 12, przeprowadza się kombinację przekształceń: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Odpowiedź: Rysunek 3. Przykład 4 Wyrażenie pod znakiem modułu, zmienia znak w punkcie x=2/3. O godzinie x<2/3 функция запишется так: 29

30 Dla x>2/3 funkcję zapiszemy następująco: Czyli punkt x=2/3 dzieli naszą płaszczyznę współrzędnych na dwa obszary, w jednym (po prawej) budujemy funkcję, a w drugim (po lewej) budujemy wykres funkcji: Przykład 5 Dalej Wykres również jest zepsuty, ale ma dwa punkty przerwania, ponieważ pod znakami modułu zawiera dwa wyrażenia: Zobaczmy, w jakich punktach wyrażenia submodułowe zmieniają znak: ustaw znaki wyrażeń submodularnych na osi współrzędnych: 30

31 Rozwijamy moduły na pierwszym przedziale: Na drugim przedziale: Na trzecim przedziale: Zatem na przedziale (- ; 1,5] mamy wykres zapisany pierwszym równaniem, na przedziale wykres zapisany drugim równaniem i na interwale)