Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i odwrotnie, zasady, przykłady
W suchym języku matematycznym ułamek to liczba przedstawiana jako część jedności. Ułamki zwykłe są szeroko stosowane w życiu człowieka: ułamkami zwykłymi określamy proporcje w przepisach kulinarnych, podajemy wyniki dziesiętne w konkursach, czy wykorzystujemy je do obliczania rabatów w sklepach.
Reprezentacja ułamków
Istnieją co najmniej dwie formy zapisu jednej liczby ułamkowej: w postaci dziesiętnej lub w postaci ułamka zwykłego. W formie dziesiętnej liczby wyglądają jak 0,5; 0,25 lub 1,375. Dowolną z tych wartości możemy przedstawić jako ułamek zwykły:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
A jeśli łatwo przeliczymy 0,5 i 0,25 z ułamka zwykłego na dziesiętny i odwrotnie, to w przypadku liczby 1,375 nie wszystko jest oczywiste. Jak szybko zamienić dowolną liczbę dziesiętną na ułamek zwykły? Istnieją trzy proste sposoby.
Pozbycie się przecinka
Najprostszy algorytm polega na mnożeniu liczby przez 10, aż przecinek zniknie z licznika. Transformacja ta przebiega w trzech etapach:
Krok 1: Na początek liczbę dziesiętną zapisujemy jako ułamek zwykły „liczba/1”, czyli otrzymujemy 0,5/1; 0,25/1 i 1,375/1.
Krok 2: Następnie pomnóż licznik i mianownik nowych ułamków, aż przecinek zniknie z liczników:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Krok 3: Powstałe frakcje redukujemy do postaci strawnej:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Liczbę 1,375 trzeba było trzykrotnie pomnożyć przez 10, co nie jest już zbyt wygodne, ale co musimy zrobić, jeśli chcemy przeliczyć liczbę 0,000625? W tej sytuacji stosujemy następującą metodę przeliczania ułamków zwykłych.
Jeszcze łatwiejsze pozbycie się przecinków
Pierwsza metoda szczegółowo opisuje algorytm „usuwania” przecinka z ułamka dziesiętnego, ale możemy uprościć ten proces. Ponownie wykonujemy trzy kroki.
Krok 1: Liczymy, ile cyfr jest po przecinku. Na przykład liczba 1,375 ma trzy takie cyfry, a 0,000625 ma sześć. Oznaczymy tę wielkość literą n.
Krok 2: Teraz wystarczy przedstawić ułamek w postaci C/10 n, gdzie C to cyfry znaczące ułamka (bez zer, jeśli występują), a n to liczba cyfr po przecinku. Np:
- dla liczby 1,375 C = 1375, n = 3, ułamek końcowy według wzoru 1375/10 3 = 1375/1000;
- dla liczby 0,000625 C = 625, n = 6, ułamek końcowy według wzoru 625/10 6 = 625/1000000.
Zasadniczo 10n to jedynka z n zerami, więc nie musisz zawracać sobie głowy podnoszeniem dziesiątek do potęgi - wystarczy 1 z n zerami. Następnie wskazane jest zmniejszenie ułamka tak bogatego w zera.
Krok 3: Zmniejszamy zera i otrzymujemy wynik końcowy:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Ułamek 11/8 jest ułamkiem niewłaściwym, ponieważ jego licznik jest większy od mianownika, co oznacza, że możemy wyodrębnić całą część. W tej sytuacji odejmujemy całą część 8/8 od 11/8 i otrzymujemy resztę 3/8, dlatego ułamek wygląda jak 1 i 3/8.
Konwersja ze słuchu
Dla tych, którzy potrafią poprawnie czytać ułamki dziesiętne, najłatwiejszym sposobem ich przeliczenia jest słuch. Jeśli odczytasz 0,025 nie jako „zero, zero, dwadzieścia pięć”, ale jako „25 tysięcznych”, wtedy nie będziesz miał problemu z konwersją ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Zatem prawidłowe odczytanie liczby dziesiętnej pozwala natychmiast zapisać ją jako ułamek zwykły i w razie potrzeby zmniejszyć.
Przykłady użycia ułamków zwykłych w życiu codziennym
Na pierwszy rzut oka ułamki zwykłe praktycznie nie są używane w życiu codziennym ani w pracy i trudno sobie wyobrazić sytuację, gdy trzeba zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły poza zadaniami szkolnymi. Spójrzmy na kilka przykładów.
Stanowisko
Pracujesz więc w sklepie ze słodyczami i sprzedajesz chałwę na wagę. Aby ułatwić sprzedaż produktu, chałwę dzieli się na kilogramowe brykiety, ale niewielu kupujących jest skłonnych kupić cały kilogram. Dlatego za każdym razem musisz podzielić smakołyk na kawałki. A jeśli następny kupujący poprosi Cię o 0,4 kg chałwy, bez problemu sprzedasz mu potrzebną porcję.
0,4 = 4/10 = 2/5
Życie
Na przykład musisz przygotować 12% roztwór, aby pomalować model w żądanym odcieniu. Aby to zrobić, musisz wymieszać farbę i rozpuszczalnik, ale jak to zrobić poprawnie? 12% to ułamek dziesiętny 0,12. Zamień liczbę na ułamek zwykły i otrzymaj:
0,12 = 12/100 = 3/25
Znajomość frakcji pomoże Ci prawidłowo wymieszać składniki i uzyskać pożądany kolor.
Wniosek
Ułamki zwykłe są powszechnie używane w życiu codziennym, więc jeśli często musisz zamieniać ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe, warto skorzystać z kalkulatora internetowego, który może natychmiast uzyskać wynik w postaci ułamka zredukowanego.
Ułamki
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
W szkole średniej ułamki nie są zbyt uciążliwe. Obecnie. Dopóki nie natkniesz się na potęgi z wymiernymi wykładnikami i logarytmami. I tam... Naciskasz i naciskasz kalkulator, a pojawia się pełny wyświetlacz niektórych liczb. Trzeba myśleć głową jak w trzeciej klasie.
W końcu wymyślmy ułamki! No, ile można się w nich pogubić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, jakie są rodzaje ułamków?
Rodzaje ułamków. Transformacje.
Istnieją trzy rodzaje ułamków.
1. Ułamki zwykłe , Na przykład:
Czasami zamiast poziomej linii wstawia się ukośnik: 1/2, 3/4, 19/5, cóż, i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Wybierany jest najwyższy numer licznik ułamka, niżej - mianownik. Jeżeli ciągle mylicie te nazwy (zdarza się...), powiedzcie sobie zdanie: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - spójrz zzzzz uh!” Słuchaj, wszystko zostanie zzzz zapamiętane.)
Kreska, pozioma lub nachylona, oznacza dział od góry (licznik) do dołu (mianownik). To wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwóch kropek.
Jeżeli możliwy jest całkowity podział, należy tego dokonać. Zatem zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Te. 32 dzieli się po prostu przez 8.
32/8 = 32: 8 = 4
O ułamku „4/1” nawet nie mówię. Co również jest po prostu „4”. A jeśli nie jest to całkowicie podzielne, zostawiamy to jako ułamek. Czasami trzeba wykonać operację odwrotną. Zamień liczbę całkowitą na ułamek. Ale o tym później.
2. Dziesiętne , Na przykład:
W tej formie będziesz musiał zapisać odpowiedzi na zadania „B”.
3. Liczby mieszane , Na przykład:
Liczby mieszane praktycznie nie są używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Ale na pewno musisz to umieć! Inaczej natkniesz się na taki numer w problemie i zamarzniesz... Znikąd. Ale będziemy pamiętać tę procedurę! Trochę niżej.
Najbardziej wszechstronny ułamki zwykłe. Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli ułamek zawiera wszelkiego rodzaju logarytmy, sinusy i inne litery, niczego to nie zmienia. W tym sensie, że wszystko działania z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od działań ze zwykłymi ułamkami!
Główna właściwość ułamka.
Więc chodźmy! Na początek cię zaskoczę. Cała gama przekształceń ułamkowych zapewniana jest przez jedną właściwość! Tak to się nazywa główna właściwość ułamka. Pamiętać: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Te:
Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż zrobi ci się smutno na twarzy. Nie pozwól, aby sinusy i logarytmy Cię zmyliły, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejsze jest, aby zrozumieć, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.
Czy tego potrzebujemy, tych wszystkich przemian? I jak! Teraz przekonasz się sam. Na początek skorzystajmy z podstawowej właściwości ułamka dla ułamki redukujące. Wydawałoby się, że to elementarna rzecz. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę i gotowe! Nie da się popełnić błędu! Ale... człowiek jest istotą twórczą. Wszędzie możesz popełnić błąd! Zwłaszcza jeśli musisz zmniejszyć nie ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z różnymi rodzajami liter.
Jak poprawnie i szybko redukować ułamki bez wykonywania dodatkowej pracy, można przeczytać w specjalnym rozdziale 555.
Zwykły uczeń nie zawraca sobie głowy dzieleniem licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko, co jest takie samo powyżej i poniżej! Tu właśnie czai się typowy błąd, pomyłka, jeśli można tak powiedzieć.
Na przykład musisz uprościć wyrażenie:
Tu nie ma o czym myśleć, przekreśl literę „a” na górze i „2” na dole! Otrzymujemy:
Wszystko jest poprawne. Ale tak naprawdę podzieliliście się Wszystko licznik i Wszystko mianownikiem jest „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do po prostu przekreślania, możesz w pośpiechu skreślić „a” w wyrażeniu
i zdobądź to jeszcze raz
Co byłoby kategoryczną nieprawdą. Ponieważ tutaj Wszystko licznik na „a” już jest nie udostępniony! Ułamka tego nie można zmniejszyć. Swoją drogą taka obniżka to... hmm... poważne wyzwanie dla nauczyciela. Tego się nie wybacza! Pamiętasz? Redukując, musisz dzielić Wszystko licznik i Wszystko mianownik!
Zmniejszanie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostaniesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. Jak mogę teraz kontynuować z nią współpracę? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, podnieś do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, to ostrożnie skróć go o pięć, a potem o kolejne pięć, a nawet… krótko mówiąc, w trakcie skracania. Zdobądźmy 3/8! Dużo ładniej, prawda?
Główna właściwość ułamka pozwala na konwersję zwykłych ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie bez kalkulatora! To ważne dla ujednoliconego egzaminu państwowego, prawda?
Jak zamienić ułamki jednego typu na inny.
W przypadku ułamków dziesiętnych wszystko jest proste. Jak się słyszy, tak jest napisane! Powiedzmy 0,25. To jest zero przecinek dwadzieścia pięć setnych. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszamy (dzielimy licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. To się zdarza i nic nie zostaje zredukowane. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, tj. 3/10.
A co jeśli liczby całkowite nie są zerem? W porządku. Zapisujemy cały ułamek bez przecinków w liczniku i mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To jest trzy przecinek siedemnaście setnych. W liczniku piszemy 317, a w mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest redukowane, to znaczy wszystko. To jest odpowiedź. Podstawowy Watsonie! Z tego wszystkiego, co zostało powiedziane, użyteczny wniosek: każdy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek zwykły .
Ale niektórzy ludzie nie mogą dokonać odwrotnej konwersji ze zwykłego na dziesiętny bez kalkulatora. I jest to konieczne! Jak zapiszesz odpowiedź na egzaminie Unified State Exam!? Przeczytaj uważnie i opanuj ten proces.
Jaka jest cecha ułamka dziesiętnego? Jej mianownik to Zawsze kosztuje 10, 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli twój ułamek zwykły ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A co by było, gdyby odpowiedź na zadanie z sekcji „B” okazała się 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Wymagane są ułamki dziesiętne...
Zapamiętajmy główna właściwość ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Swoją drogą, cokolwiek! Oprócz zera, oczywiście. Wykorzystajmy więc tę właściwość na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2, aby uzyskać liczbę 10, 100 lub 1000 (oczywiście im mniej, tym lepiej...)? Oczywiście o 5. Możesz pomnożyć mianownik (tzn nas konieczne) przez 5. Ale wtedy licznik należy również pomnożyć przez 5. To już jest matematykażąda! Otrzymujemy 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To wszystko.
Jednak spotykają się różne mianowniki. Spotkasz się na przykład z ułamkiem 3/16. Spróbuj dowiedzieć się, przez co pomnożyć 16, aby otrzymać 100 lub 1000... Czy to nie działa? Wtedy wystarczy po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora trzeba będzie dzielić narożnikiem na kartce papieru, jak uczono w szkole podstawowej. Otrzymujemy 0,1875.
Są też bardzo złe mianowniki. Na przykład nie ma możliwości zamiany ułamka 1/3 na dobry ułamek dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333... Oznacza to, że 1/3 to dokładny ułamek dziesiętny nie tłumaczy. To samo co 1/7, 5/6 i tak dalej. Jest ich wiele, nieprzetłumaczalnych. To prowadzi nas do kolejnego przydatnego wniosku. Nie każdy ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny !
Nawiasem mówiąc, jest to przydatna informacja do samodzielnego testowania. W części „B” należy wpisać ułamek dziesiętny w swojej odpowiedzi. I masz na przykład 4/3. Ułamek ten nie jest konwertowany na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć i sprawdź rozwiązanie.
Więc wymyśliliśmy ułamki zwykłe i dziesiętne. Pozostaje tylko zająć się liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i go zapytać. Ale szóstoklasista nie zawsze będzie pod ręką... Musisz to zrobić sam. To nie jest trudne. Musisz pomnożyć mianownik części ułamkowej przez część całkowitą i dodać licznik części ułamkowej. Będzie to licznik ułamka zwykłego. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości wszystko jest proste. Spójrzmy na przykład.
Załóżmy, że przestraszyłeś się, widząc liczbę związaną z problemem:
Myślimy, że spokojnie, bez paniki. Cała część to 1. Jednostka. Część ułamkowa to 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej wynosi 7. Mianownik ten będzie mianownikiem ułamka zwykłego. Liczymy licznik. Mnożymy 7 przez 1 (część całkowitą) i dodajemy 3 (licznik części ułamkowej). Otrzymujemy 10. Będzie to licznik ułamka zwykłego. To wszystko. W zapisie matematycznym wygląda to jeszcze prościej:
Czy to jasne? Zatem zapewnij sobie sukces! Zamień na ułamki zwykłe. Powinieneś dostać 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.
W szkole średniej rzadko wymagana jest operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną. Cóż, jeśli tak... A jeśli nie jesteś w szkole średniej, możesz zapoznać się ze specjalną sekcją 555. Przy okazji dowiesz się tam również o ułamkach niewłaściwych.
No cóż, to praktycznie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś Jak przenieść je z jednego typu na drugi. Pozostaje pytanie: Po co Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?
Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zmieszamy ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane, wszystko zamienimy na ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić. Cóż, jeśli jest napisane coś w rodzaju 0,8 + 0,3, to liczymy to w ten sposób, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !
Jeśli zadaniem są same ułamki dziesiętne, ale... jakieś złe, przejdź do zwykłych i spróbuj! Słuchaj, wszystko się ułoży. Na przykład będziesz musiał podnieść do kwadratu liczbę 0,125. To nie jest takie proste, jeśli nie przyzwyczaiłeś się do korzystania z kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także pomyśleć o tym, gdzie wstawić przecinek! Na pewno nie będzie to działać w Twojej głowie! A co jeśli przejdziemy do ułamka zwykłego?
0,125 = 125/1000. Zmniejszamy go o 5 (to na początek). Dostajemy 25/200. Znowu o 5. Dostajemy 5/40. Och, wciąż się kurczy! Powrót do 5! Dostajemy 1/8. Możemy to łatwo wyrównać (w naszych umysłach!) i uzyskać 1/64. Wszystko!
Podsumujmy tę lekcję.
1. Istnieją trzy rodzaje ułamków. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.
2. Liczby dziesiętne i mieszane Zawsze można zamienić na ułamki zwykłe. Przeniesienie zwrotne nie zawsze dostępny.
3. Wybór rodzaju ułamków do pracy z zadaniem zależy od samego zadania. Jeśli w jednym zadaniu występują różne rodzaje ułamków, najbardziej niezawodną rzeczą jest przejście na ułamki zwykłe.
Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw zamień te ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Powinieneś otrzymać takie odpowiedzi (w bałaganie!):
Skończmy tutaj. Podczas tej lekcji odświeżyliśmy naszą pamięć o kluczowych kwestiach dotyczących ułamków zwykłych. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie o tym zapomniał, albo jeszcze tego nie opanował... Wtedy można przejść do specjalnego Sekcji 555. Wszystkie podstawy są tam szczegółowo omówione. Wielu nagle rozumieć wszystko zaczynają się. I rozwiązują ułamki na bieżąco).
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).
Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatnia składowa, która nie podlega zwykłemu podziałowi, to reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.
Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.
Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest ilorazem częściowym, r jest resztą.
Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.
Ponieważ licznik ułamka jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.
Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać w postaci ułamka zwykłego \(\frac(m)(n)\), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Następujące zasady są prawdziwe:
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.
Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.
Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\duży \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.
Dwie ostatnie transformacje nazywane są redukując ułamek.
Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, których licznik jest mniejszy od mianownika, nazywane są poprawne ułamki.
Jak wiadomo, o każdym ułamku zwykłym, właściwym i niewłaściwym, można pomyśleć jako wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od języka potocznego, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.
Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to taka ułamki nazywane są mieszanymi.
Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.
Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.
Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach jest łatwe. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jeśli chcesz dodać ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.
Dodawanie frakcji mieszanych
Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.
Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego podkreślił całą część.
Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)
Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.
Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, ułamek mieszany - jako ułamek niewłaściwy.
Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.
W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Podział ułamków
Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).
Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.
Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).
Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)
Jest jasne, że iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.
Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Używając liter, regułę dzielenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jeśli dzielna lub dzielnik jest liczbą naturalną lub ułamkiem mieszanym, to aby zastosować regułę dzielenia ułamków, należy ją najpierw przedstawić jako ułamek niewłaściwy.
Powiedzieliśmy już, że istnieją ułamki zwykły I dziesiętny. W tym momencie dowiedzieliśmy się trochę o ułamkach zwykłych. Dowiedzieliśmy się, że istnieją ułamki regularne i niewłaściwe. Dowiedzieliśmy się również, że ułamki zwykłe można zmniejszać, dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Dowiedzieliśmy się również, że istnieją tak zwane liczby mieszane, które składają się z liczby całkowitej i części ułamkowej.
Nie zbadaliśmy jeszcze w pełni ułamków zwykłych. Istnieje wiele subtelności i szczegółów, o których należy porozmawiać, ale dzisiaj zaczniemy się uczyć dziesiętny ułamki zwykłe, ponieważ często trzeba łączyć ułamki zwykłe i dziesiętne. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemów należy używać obu rodzajów ułamków.
Ta lekcja może wydawać się skomplikowana i zagmatwana. To całkiem normalne. Tego rodzaju lekcje wymagają studiowania, a nie powierzchownego przeglądania.
Treść lekcjiWyrażanie wielkości w formie ułamkowej
Czasami wygodnie jest pokazać coś w formie ułamkowej. Na przykład jedna dziesiąta decymetra jest zapisana w następujący sposób:
Wyrażenie to oznacza, że jeden decymetr podzielono na dziesięć równych części i z tych dziesięciu części wzięto jedną część. A jedna część na dziesięć w tym przypadku jest równa jednemu centymetrowi:
Rozważ następujący przykład. Pokaż 6 cm i kolejne 3 mm w centymetrach w formie ułamkowej.
Musisz więc pokazać 6 cm i 3 mm w centymetrach, ale w formie ułamkowej. Mamy już 6 całych centymetrów:
Ale pozostały jeszcze 3 milimetry. Jak pokazać te 3 milimetry i w centymetrach? Na ratunek przychodzą frakcje. Jeden centymetr to dziesięć milimetrów. Trzy milimetry to trzy części na dziesięć. A trzy części z dziesięciu są zapisane jako cm
Wyrażenie cm oznacza, że jeden centymetr podzielono na dziesięć równych części i z tych dziesięciu części wzięto trzy części.
W rezultacie mamy sześć pełnych centymetrów i trzy dziesiąte centymetra:
W tym przypadku 6 pokazuje liczbę pełnych centymetrów, a ułamek pokazuje liczbę ułamkowych centymetrów. Ułamek ten odczytuje się jako „sześć przecinek trzy centymetry”.
Ułamki zwykłe, których mianownik zawiera liczby 10, 100, 1000, można zapisać bez mianownika. Najpierw napisz całą część, a następnie licznik części ułamkowej. Część całkowitą oddziela się od licznika części ułamkowej przecinkiem.
Na przykład napiszmy to bez mianownika. Najpierw zapisujemy całą część. Cała część to 6
Całość jest nagrana. Zaraz po napisaniu całej części stawiamy przecinek:
A teraz zapisujemy licznik części ułamkowej. W liczbie mieszanej licznikiem części ułamkowej jest liczba 3. Trójkę po przecinku piszemy:
Dowolna liczba przedstawiona w tej formie nazywana jest dziesiętny.
Dlatego możesz pokazać 6 cm i kolejne 3 mm w centymetrach, używając ułamka dziesiętnego:
6,3cm
Będzie to wyglądać tak:
W rzeczywistości ułamki dziesiętne to to samo, co zwykłe ułamki zwykłe i liczby mieszane. Osobliwością takich ułamków jest to, że w mianowniku ich części ułamkowej znajdują się liczby 10, 100, 1000 lub 10000.
Podobnie jak liczba mieszana, ułamek dziesiętny składa się z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład w liczbie mieszanej część całkowita wynosi 6, a część ułamkowa to .
W ułamku dziesiętnym 6,3 częścią całkowitą jest liczba 6, a częścią ułamkową jest licznik ułamka, czyli liczba 3.
Zdarza się również, że ułamki zwykłe w mianowniku, w których liczby 10, 100, 1000 są podane bez części całkowitej. Na przykład podaje się ułamek bez części całkowitej. Aby zapisać taki ułamek jako ułamek dziesiętny, należy najpierw wpisać 0, następnie postawić przecinek i wpisać licznik ułamka. Ułamek zwykły bez mianownika zapisuje się następująco:
Czyta się jak „zero przecinek pięć”.
Zamiana liczb mieszanych na dziesiętne
Kiedy piszemy liczby mieszane bez mianownika, w ten sposób konwertujemy je na ułamki dziesiętne. Konwertując ułamki zwykłe na dziesiętne, musisz wiedzieć kilka rzeczy, o których teraz porozmawiamy.
Po zapisaniu całej części należy policzyć liczbę zer w mianowniku części ułamkowej, ponieważ liczba zer części ułamkowej i liczba cyfr po przecinku w ułamku dziesiętnym musi być równa To samo. Co to znaczy? Rozważ następujący przykład:
Najpierw
I możesz od razu zapisać licznik części ułamkowej i ułamek dziesiętny jest gotowy, ale zdecydowanie musisz policzyć liczbę zer w mianowniku części ułamkowej.
Zatem liczymy liczbę zer w części ułamkowej liczby mieszanej. W mianowniku części ułamkowej jest jedno zero. Oznacza to, że w ułamku dziesiętnym po przecinku będzie jedna cyfra i cyfra ta będzie licznikiem części ułamkowej liczby mieszanej, czyli liczbą 2
Zatem po przeliczeniu na ułamek dziesiętny liczba mieszana staje się 3,2.
Ten ułamek dziesiętny brzmi następująco:
„Trzy punkty dwa”
„Dziesiątki”, ponieważ liczba 10 należy do części ułamkowej liczby mieszanej.
Przykład 2. Zamień liczbę mieszaną na dziesiętną.
Zapisz całą część i wstaw przecinek:
I można od razu zapisać licznik części ułamkowej i otrzymać ułamek dziesiętny 5,3, ale zasada mówi, że po przecinku powinno być tyle cyfr, ile jest zer w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej. I widzimy, że mianownik części ułamkowej ma dwa zera. Oznacza to, że nasz ułamek dziesiętny musi mieć dwie cyfry po przecinku, a nie jedną.
W takich przypadkach licznik części ułamkowej należy nieco zmodyfikować: dodać zero przed licznikiem, czyli przed liczbą 3
Teraz możesz zamienić tę liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny. Zapisz całą część i wstaw przecinek:
I zapisz licznik części ułamkowej:
Ułamek dziesiętny 5,03 odczytuje się w następujący sposób:
„Pięć punkt trzy”
„Setki”, ponieważ w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej znajduje się liczba 100.
Przykład 3. Zamień liczbę mieszaną na dziesiętną.
Z poprzednich przykładów dowiedzieliśmy się, że aby pomyślnie zamienić liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny, liczba cyfr w liczniku ułamka i liczba zer w mianowniku ułamka muszą być takie same.
Przed zamianą liczby mieszanej na ułamek dziesiętny należy nieco zmodyfikować jej część ułamkową, a mianowicie upewnić się, że liczba cyfr w liczniku części ułamkowej i liczba zer w mianowniku części ułamkowej są równe To samo.
Przede wszystkim patrzymy na liczbę zer w mianowniku części ułamkowej. Widzimy, że są trzy zera:
Naszym zadaniem jest uporządkowanie trzech cyfr w liczniku części ułamkowej. Mamy już jedną cyfrę - jest to liczba 2. Pozostaje dodać jeszcze dwie cyfry. Będą to dwa zera. Dodaj je przed liczbą 2. W rezultacie liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku będą takie same:
Teraz możesz zacząć konwertować tę liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny. Najpierw zapisujemy całą część i stawiamy przecinek:
i natychmiast zapisz licznik części ułamkowej
3,002
Widzimy, że liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej są takie same.
Ułamek dziesiętny 3,002 odczytuje się w następujący sposób:
„Trzy i pół tysięczne”
„Tysięczne”, ponieważ w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej znajduje się liczba 1000.
Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne
Ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 lub 10000 można również konwertować na ułamki dziesiętne. Ponieważ ułamek zwykły nie ma części całkowitej, najpierw wpisz 0, następnie wstaw przecinek i zapisz licznik części ułamkowej.
Tutaj również liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku muszą być takie same. Dlatego należy zachować ostrożność.
Przykład 1.
Brakuje całej części, dlatego najpierw wpisujemy 0 i stawiamy przecinek:
Teraz patrzymy na liczbę zer w mianowniku. Widzimy, że jest jedno zero. A licznik ma jedną cyfrę. Oznacza to, że możesz bezpiecznie kontynuować ułamek dziesiętny, wpisując cyfrę 5 po przecinku
W powstałym ułamku dziesiętnym 0,5 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.
Ułamek dziesiętny 0,5 odczytuje się w następujący sposób:
„Piąty punkt zerowy”
Przykład 2. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny.
Brakuje całej części. Najpierw piszemy 0 i stawiamy przecinek:
Teraz patrzymy na liczbę zer w mianowniku. Widzimy, że są dwa zera. A licznik ma tylko jedną cyfrę. Aby liczba cyfr i liczba zer były takie same, dodaj jedno zero w liczniku przed liczbą 2. Wtedy ułamek przyjmie postać . Teraz liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Możesz więc kontynuować ułamek dziesiętny:
W powstałym ułamku dziesiętnym 0,02 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.
Ułamek dziesiętny 0,02 odczytuje się w następujący sposób:
„Przecinek zerowy dwa.”
Przykład 3. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny.
Wpisz 0 i wstaw przecinek:
Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku ułamka. Widzimy, że jest pięć zer, a licznik ma tylko jedną cyfrę. Aby liczba zer w mianowniku była taka sama, jak liczba cyfr w liczniku, należy dodać cztery zera w liczniku przed liczbą 5:
Teraz liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Możemy więc kontynuować ułamek dziesiętny. Wpisz licznik ułamka zwykłego po przecinku
W powstałym ułamku dziesiętnym 0,00005 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.
Ułamek dziesiętny 0,00005 odczytuje się w następujący sposób:
„Przecinek zerowy pięćset tysięcznych.”
Zamiana ułamków niewłaściwych na dziesiętne
Ułamek niewłaściwy to ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika. Istnieją ułamki niewłaściwe, których mianownikiem są liczby 10, 100, 1000 lub 10000. Takie ułamki można zamienić na ułamki dziesiętne. Ale przed zamianą na ułamek dziesiętny takie ułamki należy rozdzielić na część całkowitą.
Przykład 1.
Ułamek jest ułamkiem niewłaściwym. Aby zamienić taki ułamek na ułamek dziesiętny, należy najpierw zaznaczyć całą jego część. Przypomnijmy sobie jak wyodrębnić całą część ułamków niewłaściwych. Jeśli zapomniałeś, radzimy wrócić do niego i przestudiować go.
Podkreślmy więc całą część w ułamku niewłaściwym. Przypomnijmy, że ułamek oznacza dzielenie - w tym przypadku dzielenie liczby 112 przez liczbę 10
Spójrzmy na ten obrazek i złóżmy nową liczbę mieszaną, jak zestaw konstrukcyjny dla dzieci. Liczba 11 będzie częścią całkowitą, liczba 2 będzie licznikiem części ułamkowej, a liczba 10 będzie mianownikiem części ułamkowej.
Mamy liczbę mieszaną. Zamieńmy to na ułamek dziesiętny. I już wiemy, jak zamienić takie liczby na ułamki dziesiętne. Najpierw zapisz całą część i wstaw przecinek:
Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku części ułamkowej. Widzimy, że jest jedno zero. A licznik części ułamkowej ma jedną cyfrę. Oznacza to, że liczba zer w mianowniku części ułamkowej i liczba cyfr w liczniku części ułamkowej są takie same. Daje nam to możliwość natychmiastowego zapisania licznika części ułamkowej po przecinku:
W powstałym ułamku dziesiętnym 11,2 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.
Oznacza to, że po przeliczeniu na ułamek dziesiętny ułamek niewłaściwy otrzymuje wartość 11,2.
Ułamek dziesiętny 11,2 odczytuje się w następujący sposób:
„Jedenaście punkt dwa”.
Przykład 2. Zamień ułamek niewłaściwy na dziesiętny.
Jest to ułamek niewłaściwy, ponieważ licznik jest większy od mianownika. Można go jednak przekonwertować na ułamek dziesiętny, ponieważ w mianowniku znajduje się liczba 100.
Najpierw wybierzmy całą część tego ułamka. Aby to zrobić, podziel 450 przez 100 narożnikiem:
Zbierzmy nową liczbę mieszaną - otrzymamy . Wiemy już, jak zamienić liczby mieszane na ułamki dziesiętne.
Zapisz całą część i wstaw przecinek:
Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku części ułamkowej i liczbę cyfr w liczniku części ułamkowej. Widzimy, że liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Daje nam to możliwość natychmiastowego zapisania licznika części ułamkowej po przecinku:
W powstałym ułamku dziesiętnym 4,50 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.
Oznacza to, że po przeliczeniu na ułamek dziesiętny ułamek niewłaściwy otrzymuje wartość 4,50.
Podczas rozwiązywania problemów, jeśli na końcu ułamka dziesiętnego znajdują się zera, można je odrzucić. W naszej odpowiedzi usuńmy także zero. Wtedy otrzymamy 4,5
To jedna z interesujących rzeczy związanych z ułamkami dziesiętnymi. Polega to na tym, że zera znajdujące się na końcu ułamka nie nadają temu ułamkowi żadnej wagi. Innymi słowy, miejsca po przecinku 4,50 i 4,5 są równe. Postawmy między nimi znak równości:
4,50 = 4,5
Powstaje pytanie: dlaczego tak się dzieje? W końcu 4,50 i 4,5 wyglądają jak różne ułamki. Cały sekret tkwi w podstawowej właściwości ułamków, którą badaliśmy wcześniej. Spróbujemy udowodnić, dlaczego ułamki dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe, ale po przestudiowaniu następnego tematu, który nazywa się „przeliczaniem ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną”.
Konwersja ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną
Dowolny ułamek dziesiętny można zamienić z powrotem na liczbę mieszaną. Aby to zrobić, wystarczy umieć czytać ułamki dziesiętne. Na przykład przekonwertujmy 6,3 na liczbę mieszaną. 6,3 to sześć i trzy punkty. Najpierw zapisujemy sześć liczb całkowitych:
i obok trzech dziesiątych:
Przykład 2. Zamień liczbę dziesiętną 3,002 na liczbę mieszaną
3,002 to trzy całe i dwie tysięczne. Najpierw zapisujemy trzy liczby całkowite
a obok piszemy dwie tysięczne:
Przykład 3. Zamień liczbę dziesiętną 4,50 na liczbę mieszaną
4,50 to cztery i pół pięćdziesiąt. Zapisz cztery liczby całkowite
i następne pięćdziesiąt setnych:
Przy okazji przypomnijmy sobie ostatni przykład z poprzedniego tematu. Powiedzieliśmy, że liczby dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe. Powiedzieliśmy również, że zero można odrzucić. Spróbujmy udowodnić, że ułamki dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe. Aby to zrobić, zamieniamy oba ułamki dziesiętne na liczby mieszane.
Po przeliczeniu na liczbę mieszaną liczba dziesiętna 4,50 staje się , a liczba dziesiętna 4,5
Mamy dwie liczby mieszane i . Zamieńmy te liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:
Teraz mamy dwa ułamki i . Czas przypomnieć sobie podstawową własność ułamka, która mówi, że gdy mnożymy (lub dzielimy) licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, wartość ułamka się nie zmienia.
Podzielmy pierwszy ułamek przez 10
Mamy i to jest drugi ułamek. Oznacza to, że oba są sobie równe i mają tę samą wartość:
Spróbuj użyć kalkulatora, aby podzielić najpierw 450 przez 100, a następnie 45 przez 10. To będzie zabawne.
Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły
Każdy ułamek dziesiętny można zamienić z powrotem na ułamek zwykły. Aby to zrobić, wystarczy umieć czytać ułamki dziesiętne. Na przykład zamieńmy 0,3 na ułamek zwykły. 0,3 to zero przecinek trzy. Najpierw zapisujemy zero liczb całkowitych:
i obok trzech dziesiątych 0. Tradycyjnie nie zapisuje się zera, więc ostateczną odpowiedzią nie będzie 0, ale po prostu .
Przykład 2. Zamień ułamek dziesiętny 0,02 na ułamek zwykły.
0,02 to zero przecinek dwa. Nie zapisujemy zera, więc od razu zapisujemy dwie setne
Przykład 3. Zamień 0,00005 na ułamek
0,00005 to zero przecinek pięć. Nie zapisujemy zera, więc od razu zapisujemy pięćset tysięcznych
Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny
Załóżmy, że chcemy zamienić ułamek 11/4 na dziesiętny. Najłatwiej to zrobić w następujący sposób:
|
2∙2∙5∙5 |
Udało nam się, bo w tym przypadku rozkład mianownika na czynniki pierwsze składa się tylko z dwójek. Uzupełniliśmy to rozwinięcie o dwie kolejne piątki, wykorzystaliśmy fakt, że 10 = 2∙5 i otrzymaliśmy ułamek dziesiętny. Takie postępowanie jest oczywiście możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład mianownika na czynniki pierwsze zawiera tylko dwójki i piątki. Jeżeli w rozwinięciu mianownika występuje jakakolwiek inna liczba pierwsza, wówczas takiego ułamka nie można zamienić na ułamek dziesiętny. Niemniej jednak spróbujemy to zrobić, ale tylko w inny sposób, z którym zapoznamy się na przykładzie tego samego ułamka 11/4. Podzielmy 11 przez 4 za pomocą „rogu”:
W linii odpowiedzi otrzymaliśmy całą część (2), mamy też resztę (3). Poprzednio w tym miejscu kończyliśmy dzielenie, ale teraz wiemy, że po prawej stronie dzielnej (11) możemy dodać przecinek i kilka zer, co teraz zrobimy w myślach. Po przecinku następuje miejsce dziesiętne. Zero pojawiające się przy dywidendzie tej cyfry zostanie dodane do powstałej reszty (3):
Teraz podział może trwać dalej, jakby nic się nie stało. Pamiętaj tylko, aby w wierszu odpowiedzi po całej części postawić przecinek:
Teraz do reszty (2), która jest na miejscu setnym dzielnej, dodajemy zero i kończymy dzielenie:
W rezultacie otrzymujemy, jak poprzednio,
Spróbujmy teraz obliczyć dokładnie w ten sam sposób, ile wynosi ułamek 27/11:
W linii odpowiedzi otrzymaliśmy liczbę 2,45, a w pozostałej linii liczbę 5. Ale z taką pozostałością spotkaliśmy się już wcześniej. Dlatego od razu możemy powiedzieć, że jeśli będziemy kontynuować dzielenie „rogiem”, to następną liczbą w linii odpowiedzi będzie 4, potem pojawi się liczba 5, potem znowu 4 i znowu 5 i tak dalej, w nieskończoność :
27 / 11 = 2,454545454545...
Dostaliśmy tzw okresowy ułamek dziesiętny z kropką 45. Dla takich ułamków stosuje się bardziej zwarty zapis, w którym kropkę zapisuje się tylko raz, ale jest ona ujęta w nawiasy:
2,454545454545... = 2,(45).
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli podzielimy jedną liczbę naturalną przez drugą z „rożkiem”, zapisując odpowiedź w postaci ułamka dziesiętnego, to możliwe są tylko dwa wyniki: (1) albo wcześniej, albo później w pozostałej linii otrzymamy zero , (2) albo będzie tam taka reszta, z którą już się spotkaliśmy (zbiór możliwych reszt jest ograniczony, gdyż wszystkie są oczywiście mniejsze od dzielnika). W pierwszym przypadku wynikiem dzielenia jest ułamek dziesiętny skończony, w drugim przypadku ułamek okresowy.
Zamień okresowy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły
Otrzymamy dodatni okresowy ułamek dziesiętny z zerową częścią całkowitą, na przykład:
A = 0,2(45).
Jak zamienić ten ułamek z powrotem na ułamek zwykły?
Pomnóżmy to przez 10 k, Gdzie k to liczba cyfr między przecinkiem dziesiętnym a nawiasem otwierającym, wskazująca początek kropki. W tym przypadku k= 1 i 10 k = 10:
A∙ 10 k = 2,(45).
Pomnóż wynik przez 10 N, Gdzie N- „długość” kropki, czyli liczba cyfr ujętych w nawiasy. W tym przypadku N= 2 i 10 N = 100:
A∙ 10 k ∙ 10 N = 245,(45).
Teraz obliczmy różnicę
A∙ 10 k ∙ 10 N − A∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Ponieważ części ułamkowe odejmowania i odejmowania są takie same, to część ułamkowa różnicy jest równa zeru i dochodzimy do prostego równania dla A:
A∙ 10 k ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.
Równanie to rozwiązuje się za pomocą następujących przekształceń:
A∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
A∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Celowo nie kończymy jeszcze obliczeń, aby było wyraźnie widoczne, jak można ten wynik od razu zapisać, pomijając argumenty pośrednie. Minuenda w liczniku (245) jest częścią ułamkową liczby
A = 0,2(45)
jeśli usuniesz nawiasy z jej wpisu. Odejmowanie w liczniku (2) jest nieokresową częścią liczby A, znajdujący się pomiędzy przecinkiem a nawiasem otwierającym. Pierwszym czynnikiem w mianowniku (10) jest jednostka, której przypisuje się tyle zer, ile jest cyfr w części nieokresowej ( k). Drugim dzielnikiem mianownika (99) jest tyle dziewiątek, ile jest cyfr w okresie ( N).
Teraz możemy zakończyć nasze obliczenia:
Tutaj licznik zawiera kropkę, a mianownik zawiera tyle dziewiątek, ile jest cyfr w tym okresie. Po zmniejszeniu o 9 powstały ułamek jest równy
W ten sam sposób,