Przykładami są najprostsze równania irracjonalne. Metody rozwiązywania równań niewymiernych

Metody rozwiązywania równań niewymiernych.

Wstępne przygotowanie do lekcji: Uczniowie powinni potrafić rozwiązywać równania irracjonalne na różne sposoby.

Na trzy tygodnie przed tą lekcją uczniowie otrzymują zadanie domowe nr 1: rozwiązać różne równania irracjonalne. (Uczniowie samodzielnie znajdują 6 różnych irracjonalnych równań i rozwiązują je w parach.)

Na tydzień przed tą lekcją uczniowie otrzymują pracę domową nr 2, którą wykonują samodzielnie.

1. Rozwiąż równanieróżne sposoby.

2. Oceń zalety i wady każdej metody.

3. Zapisz ustalenia w formie tabeli.

№ p/s	Sposób	Zalety	Wady

Cele Lekcji:

Edukacyjny:uogólnienie wiedzy studentów na ten temat, demonstracja różnych metod rozwiązywania równań niewymiernych, umiejętność podejścia studentów do rozwiązywania równań z perspektywy badawczej.

Edukacyjny:kształtowanie samodzielności, umiejętności słuchania innych i komunikowania się w grupie, zwiększanie zainteresowania tematem.

Rozwojowy:rozwój logicznego myślenia, kultury algorytmicznej, umiejętności samokształcenia, samoorganizacji, pracy w parach przy odrabianiu zadań domowych, umiejętności analizowania, porównywania, uogólniania i wyciągania wniosków.

Sprzęt: komputer, projektor, ekran, stół „Zasady rozwiązywania równań niewymiernych”, plakat z cytatem M.V. Łomonosow „Matematyki należy uczyć tylko wtedy, bo to porządkuje umysł” – kard.

Zasady rozwiązywania równań niewymiernych.

Typ lekcji: lekcja-seminarium (praca w grupach 5-6 osobowych, każda grupa musi mieć silnych uczniów).

Podczas zajęć

I . Organizowanie czasu

(Komunikacja tematu i celów lekcji)

II . Prezentacja pracy badawczej „Metody rozwiązywania równań niewymiernych”

(Pracę prezentuje uczeń, który ją wykonał.)

III . Analiza metod rozwiązywania zadań domowych

(Jeden uczeń z każdej grupy zapisuje na tablicy proponowane przez siebie metody rozwiązania. Każda grupa analizuje jedną z metod rozwiązania, ocenia zalety i wady oraz wyciąga wnioski. Uczniowie w grupach dodają w razie potrzeby. Analiza i wnioski grupy są oceniane. Odpowiedzi muszą być jasne i pełne.)

Pierwsza metoda: podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi i sprawdzenie.

Rozwiązanie.

Podnieśmy jeszcze raz obie strony równania:

Stąd

Badanie:

1. Jeślix=42 wtedy, co oznacza liczbę42 nie jest pierwiastkiem równania.

2. Jeślix=2, zatem, co oznacza liczbę2 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź:2.

№ p/s	Sposób	Zalety	Wady
	Podnoszenie obu stron równania do tej samej potęgi	1. Rozumiem. 2 dostępne.	1. Nagranie ustne. 2. Trudna weryfikacja.

Wniosek. Przy rozwiązywaniu równań irracjonalnych poprzez podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi konieczne jest prowadzenie zapisu ustnego, dzięki czemu rozwiązanie będzie zrozumiałe i dostępne. Obowiązkowa weryfikacja jest jednak czasami skomplikowana i czasochłonna. Metodę tę można zastosować do rozwiązywania prostych równań niewymiernych zawierających 1-2 rodniki.

Metoda druga: przekształcenia równoważne.

Rozwiązanie:Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:

Odpowiedź:2.

№ p/s	Sposób	Zalety	Wady
	Transformacje równoważne	1. Brak opisu słownego. 2. Brak weryfikacji. 3. Przejrzysty zapis logiczny. 4. Sekwencja przejść równoważnych.	1. Uciążliwe nagrywanie. 2. Można popełnić błąd łącząc znaki układu i zbioru.

Wniosek. Rozwiązując równania niewymierne metodą przejść równoważnych, trzeba wyraźnie wiedzieć, kiedy postawić znak układu, a kiedy znak agregatu. Uciążliwość zapisu oraz różne kombinacje symboli systemowych i kombinacji często prowadzą do błędów. Jednak sekwencja przejść równoważnych, czytelny zapis logiczny bez słownego opisu, który nie wymaga weryfikacji, to niepodważalne zalety tej metody.

Trzecia metoda: funkcjonalno-graficzna.

Rozwiązanie.

Spójrzmy na funkcjeI.

1. Funkcjastateczny; rośnie, ponieważ wykładnik jest liczbą dodatnią (nie całkowitą).

D(F).

Stwórzmy tabelę wartościXIF( X).

	1,5		3,5
k(x)

2. Funkcjastateczny; maleje.

Znajdźmy dziedzinę definicji funkcjiD( G).

Stwórzmy tabelę wartościXIG( X).

g(x)

Skonstruujmy te wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych.

Wykresy funkcji przecinają się w punkcie odciętejPonieważ funkcjonowaćF( X) rośnie i funkcjaG( X) maleje, wówczas równanie będzie miało tylko jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: 2.

№p/s	Sposób	Zalety	Wady
	Funkcjonalno-graficzna	1. Widoczność. 2. Nie ma potrzeby wykonywania skomplikowanych przekształceń algebraicznych i monitorowania ODZ. 3. Pozwala znaleźć liczbę rozwiązań.	1. nagranie ustne. 2. Nie zawsze można znaleźć dokładną odpowiedź, a jeśli odpowiedź jest dokładna, konieczna jest weryfikacja.

Wniosek. Metoda funkcjonalno-graficzna ma charakter wizualny i pozwala znaleźć liczbę rozwiązań, ale lepiej jest z niej skorzystać, gdy można łatwo zbudować wykresy rozważanych funkcji i uzyskać dokładną odpowiedź. Jeśli odpowiedź jest przybliżona, lepiej zastosować inną metodę.

Metoda czwarta: wprowadzenie nowej zmiennej.

Rozwiązanie.Wprowadźmy nowe zmienne, oznaczająceOtrzymujemy pierwsze równanie układu

Utwórzmy drugie równanie układu.

Dla zmiennej:

Dla zmiennej

Dlatego

Otrzymujemy układ dwóch równań wymiernych w odniesieniu doI

Wracając do zmiennej, otrzymujemy

Wprowadzenie nowej zmiennej

Uproszczenie - otrzymanie układu równań niezawierającego pierwiastków

1. Konieczność śledzenia DID nowych zmiennych

2. Konieczność powrotu do pierwotnej zmiennej

Wniosek. Metodę tę najlepiej stosować w przypadku równań irracjonalnych zawierających pierwiastki o różnym stopniu lub identycznych wielomianów pod znakiem pierwiastka i za znakiem pierwiastka, lub wyrażeń odwrotnych pod znakiem pierwiastka.

- Tak więc, chłopaki, dla każdego irracjonalnego równania musisz wybrać najwygodniejszy sposób jego rozwiązania: zrozumiały. Przystępny, logicznie i kompetentnie zaprojektowany. Podnieś rękę, który z Was woli:

1) sposób podniesienia obu stron równania do tej samej potęgi wraz z weryfikacją;

2) metodę przekształceń zastępczych;

3) metoda funkcjonalno-graficzna;

4) sposób wprowadzenia nowej zmiennej.

IV . Część praktyczna

(Praca w grupach. Każda grupa uczniów otrzymuje kartkę z równaniem i rozwiązuje je w zeszytach. W tym momencie jeden przedstawiciel grupy rozwiązuje przykład na tablicy. Uczniowie z każdej grupy rozwiązują ten sam przykład jako członkowie swoją grupę i monitoruje poprawność wykonania zadań na tablicy. Jeżeli osoba odpowiadająca na tablicy popełnia błędy, to ten, kto je zauważa, podnosi rękę i pomaga je poprawić. Podczas lekcji każdy uczeń oprócz rozwiązanego przykładu przez swoją grupę, musi zapisać w zeszycie inne zaproponowane grupom i rozwiązać je w domu.)

Grupa 1.

Grupa 2.

Grupa 3.

V . Niezależna praca

(W grupach najpierw odbywa się dyskusja, a następnie uczniowie przystępują do realizacji zadania. Na ekranie wyświetlane jest prawidłowe rozwiązanie, przygotowane przez nauczyciela.)

VI . Podsumowanie lekcji

Teraz już wiesz, że rozwiązywanie irracjonalnych równań wymaga dobrej wiedzy teoretycznej, umiejętności zastosowania ich w praktyce, uwagi, ciężkiej pracy i inteligencji.

Praca domowa

Rozwiąż równania podane grupom podczas lekcji.

Równania zawierające nieznaną wielkość pod znakiem pierwiastka nazywane są niewymiernymi. Są to na przykład równania

W wielu przypadkach, stosując potęgowanie obu stron równania raz lub wielokrotnie, można zredukować równanie irracjonalne do równania algebraicznego tego czy innego stopnia (co jest konsekwencją pierwotnego równania). Ponieważ przy podnoszeniu równania do potęgi mogą pojawić się rozwiązania obce, zatem po rozwiązaniu równania algebraicznego, do którego sprowadziliśmy to równanie irracjonalne, powinniśmy sprawdzić znalezione pierwiastki, podstawiając je do pierwotnego równania i zachować tylko te, które je spełniają i odrzuć resztę - obce.

Rozwiązując równania irracjonalne, ograniczamy się tylko do ich rzeczywistych pierwiastków; wszystkie pierwiastki stopnia parzystego w pisaniu równań są rozumiane w sensie arytmetycznym.

Spójrzmy na kilka typowych przykładów równań irracjonalnych.

A. Równania zawierające niewiadomą pod pierwiastkiem kwadratowym. Jeżeli dane równanie zawiera tylko jeden pierwiastek kwadratowy, pod którego znakiem znajduje się niewiadoma, to pierwiastek ten należy wyizolować, czyli umieścić w jednej części równania, a wszystkie pozostałe wyrazy przenieść do innej części. Po podniesieniu obu stron równania do kwadratu uwolnimy się od irracjonalności i otrzymamy równanie algebraiczne dla

Przykład 1. Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie. Izolujemy pierwiastek po lewej stronie równania;

Podnosimy otrzymaną równość do kwadratu:

Znajdujemy pierwiastki tego równania:

Kontrola pokazuje, że spełnia on jedynie pierwotne równanie.

Jeśli równanie zawiera dwa lub więcej pierwiastków zawierających x, wówczas podnoszenie do kwadratu należy powtórzyć kilka razy.

Przykład 2. Rozwiąż następujące równania:

Rozwiązanie, a) Podnosimy obie strony równania do kwadratu:

Izolujemy korzeń:

Ponownie podwyższamy powstałe równanie:

Po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie kwadratowe:

rozwiążmy to:

Podstawiając pierwotne równanie, jesteśmy przekonani, że istnieje jego pierwiastek, ale jest on dla niego pierwiastkiem obcym.

b) Przykład można rozwiązać tą samą metodą, co przykład a). Korzystając jednak z faktu, że prawa strona tego równania nie zawiera niewiadomej wielkości, postąpimy inaczej. Pomnóżmy równanie przez sprzężenie wyrażenia po jego lewej stronie; dostajemy

Po prawej stronie znajduje się iloczyn sumy i różnicy, tj. różnica kwadratów. Stąd

Po lewej stronie równania znajdowała się suma pierwiastków kwadratowych; po lewej stronie otrzymanego teraz równania znajduje się różnica tych samych pierwiastków. Zapiszmy to i wynikające z niego równania:

Biorąc sumę tych równań, otrzymujemy

Podstawmy ostatnie równanie do kwadratu i po uproszczeniu otrzymamy

Stąd znajdziemy. Sprawdzając, jesteśmy przekonani, że pierwiastkiem tego równania jest tylko liczba. Przykład 3: Rozwiąż równanie

Tutaj już pod pierwiastkiem mamy trójmiany kwadratowe.

Rozwiązanie. Mnożymy równanie przez sprzężenie wyrażenia po jego lewej stronie:

Odejmij od tego ostatnie równanie:

Podnieśmy to równanie do kwadratu:

Z ostatniego równania znajdujemy . Sprawdzając, jesteśmy przekonani, że pierwiastkiem tego równania jest tylko liczba x = 1.

B. Równania zawierające pierwiastki trzeciego stopnia. Układy równań niewymiernych. Ograniczmy się do pojedynczych przykładów takich równań i układów.

Przykład 4: Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. Pokażemy dwa sposoby rozwiązania równania (70.1). Pierwszy sposób. Rozłóżmy obie strony tego równania w kostkę (patrz wzór (20.8)):

(tutaj zastąpiliśmy sumę pierwiastków sześciennych liczbą 4, korzystając z równania).

Więc mamy

tj. po uproszczeniu,

skąd Oba pierwiastki spełniają pierwotne równanie.

Drugi sposób. Włóżmy

Równanie (70.1) zostanie zapisane w postaci . Poza tym jasne jest, że. Z równania (70.1) przeszliśmy do układu

Dzieląc pierwsze równanie układu przez wyraz przez drugie, znajdujemy

Pierwsza część materiału w tym artykule tworzy ideę równań irracjonalnych. Po przestudiowaniu tego będziesz w stanie łatwo odróżnić równania irracjonalne od równań innych typów. W drugiej części szczegółowo omówiono główne metody rozwiązywania równań niewymiernych i przedstawiono szczegółowe rozwiązania ogromnej liczby typowych przykładów. Jeśli opanujesz te informacje, prawie na pewno poradzisz sobie z niemal każdym irracjonalnym równaniem ze szkolnych zajęć z matematyki. Powodzenia w zdobywaniu wiedzy!

Co to są równania irracjonalne?

Najpierw wyjaśnijmy, czym są równania irracjonalne. W tym celu odpowiednie definicje znajdziemy w podręcznikach rekomendowanych przez Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacja Rosyjska.

Szczegółową rozmowę na temat równań niewymiernych i ich rozwiązywania prowadzi się na lekcjach algebry, a analizę rozpoczyna się w szkole średniej. Niektórzy autorzy wprowadzają jednak równania tego typu wcześniej. Na przykład ci, którzy uczą się, korzystając z podręczników Mordkovicha A.G., dowiadują się o równaniach irracjonalnych już w ósmej klasie: podręcznik stwierdza, że

Istnieją również przykłady równań irracjonalnych, , , i tak dalej. Oczywiście każde z powyższych równań zawiera zmienną x pod pierwiastkiem kwadratowym, co oznacza, że ​​zgodnie z powyższą definicją równania te są niewymierne. Tutaj od razu omawiamy jedną z głównych metod ich rozwiązania -. Ale o metodach rozwiązywania porozmawiamy nieco niżej, ale na razie podamy definicje równań irracjonalnych z innych podręczników.

W podręcznikach A. N. Kołmogorowa i Yu. M. Kolyagina.

Definicja

irracjonalny to równania, w których zmienna jest zawarta pod znakiem pierwiastka.

Zwróćmy uwagę na zasadniczą różnicę między tą definicją a poprzednią: mówi po prostu pierwiastek, a nie pierwiastek kwadratowy, czyli nie jest określony stopień pierwiastka, pod którym zmienna się znajduje. Oznacza to, że pierwiastek może być nie tylko kwadratowy, ale także trzeci, czwarty itd. stopni. Zatem ostatnia definicja określa szerszy zestaw równań.

Naturalnie pojawia się pytanie: dlaczego w szkole średniej zaczynamy stosować tę szerszą definicję równań irracjonalnych? Wszystko jest zrozumiałe i proste: kiedy w ósmej klasie zapoznajemy się z równaniami niewymiernymi, doskonale znamy tylko pierwiastek kwadratowy, nie wiemy jeszcze o pierwiastkach sześciennych, pierwiastkach czwartej i wyższych potęg. A w liceum pojęcie pierwiastka jest uogólnione, uczymy się o , a gdy mówimy o równaniach niewymiernych, nie ograniczamy się już do pierwiastka kwadratowego, ale mamy na myśli pierwiastek dowolnego stopnia.

Dla jasności zademonstrujemy kilka przykładów równań irracjonalnych. - tutaj zmienna x znajduje się pod pierwiastkiem sześcianu, więc to równanie jest niewymierne. Inny przykład: - tutaj zmienna x jest pod znakiem zarówno pierwiastka kwadratowego, jak i czwartego pierwiastka, czyli jest to również równanie niewymierne. Oto kilka innych przykładów irracjonalnych równań o bardziej złożonej formie: i .

Powyższe definicje pozwalają zauważyć, że w zapisie dowolnego równania irracjonalnego znajdują się znaki pierwiastków. Oczywiste jest również, że jeśli nie ma śladów korzeni, równanie nie jest irracjonalne. Jednak nie wszystkie równania zawierające znaki pierwiastkowe są irracjonalne. Rzeczywiście, w równaniu irracjonalnym pod pierwiastkiem musi znajdować się zmienna; jeśli pod pierwiastkiem nie ma zmiennej, równanie nie jest irracjonalne. Jako ilustrację podajemy przykłady równań, które zawierają pierwiastki, ale nie są irracjonalne. Równania I nie są wymierne, gdyż pod pierwiastkiem nie zawierają zmiennych - pod pierwiastkami są liczby, ale pod pierwiastkami nie ma zmiennych, więc te równania nie są irracjonalne.

Warto wspomnieć o liczbie zmiennych, które mogą brać udział w pisaniu równań niewymiernych. Wszystkie powyższe równania irracjonalne zawierają jedną zmienną x, to znaczy są równaniami z jedną zmienną. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, abyśmy rozważali irracjonalne równania z dwójką, trójką itd. zmienne. Podajmy przykład irracjonalnego równania z dwiema zmiennymi i z trzema zmiennymi.

Pamiętaj, że w szkole musisz pracować głównie z niewymiernymi równaniami z jedną zmienną. Równania irracjonalne z kilkoma zmiennymi są znacznie mniej powszechne. Można je znaleźć w kompozycji, jak na przykład w zadaniu „rozwiąż układ równań „lub, powiedzmy, w algebraicznym opisie obiektów geometrycznych, więc równaniu odpowiada półkole ze środkiem w początku, promień 3 jednostek, leżący w górnej półpłaszczyźnie.

Niektóre zbiory problemów przygotowujących do egzaminu państwowego Unified w sekcji „Równania niewymierne” zawierają zadania, w których zmienna znajduje się nie tylko pod znakiem pierwiastka, ale także pod znakiem innej funkcji, na przykład modułu, logarytmu itp. . Oto przykład , wzięte z książki, ale tutaj - ze zbioru. W pierwszym przykładzie zmienna x znajduje się pod znakiem logarytmicznym, a logarytm również znajduje się pod znakiem pierwiastka, czyli mamy, że tak powiem, irracjonalne równanie logarytmiczne (lub logarytmiczne irracjonalne). W drugim przykładzie zmienna znajduje się pod znakiem modułu, a moduł również pod znakiem pierwiastka; za twoją zgodą nazwiemy to równaniem niewymiernym z modułem.

Czy równania tego typu należy uważać za irracjonalne? Dobre pytanie. Wydaje się, że pod znakiem pierwiastka znajduje się zmienna, ale mylące jest to, że nie występuje ona w „czystej postaci”, ale pod znakiem jednej lub więcej funkcji. Innymi słowy, wydaje się, że nie ma sprzeczności z tym, jak zdefiniowaliśmy powyższe równania irracjonalne, ale istnieje pewien stopień niepewności wynikający z obecności innych funkcji. Z naszego punktu widzenia nie należy fanatycznie nazywać rzeczy po imieniu. W praktyce wystarczy po prostu powiedzieć „równanie” bez określania, jakiego rodzaju jest to równanie. A wszystkie te dodatki są „irracjonalne”, „logarytmiczne” itp. służą przede wszystkim wygodzie prezentacji i grupowania materiału.

W świetle informacji zawartych w ostatnim akapicie interesująca jest definicja równań niewymiernych podana w podręczniku autorstwa A. G. Mordkovicha dla klasy 11

Definicja

Irracjonalny to równania, w których zmienna jest zawarta pod znakiem pierwiastka lub pod znakiem podniesienia do potęgi ułamkowej.

Tutaj oprócz równań ze zmienną pod znakiem pierwiastka, za irracjonalne uważa się również równania ze zmiennymi pod znakiem podniesienia do potęgi ułamkowej. Na przykład zgodnie z tą definicją równanie uznane za irracjonalne. Dlaczego nagle? Przyzwyczailiśmy się już do pierwiastków w równaniach irracjonalnych, ale tutaj nie jest to pierwiastek, ale stopień, a czy raczej nazwałbyś to równanie na przykład równaniem potęgowym, a nie irracjonalnym? Wszystko jest proste: wyznacza się to poprzez pierwiastki, a na zmienną x dla danego równania (pod warunkiem, że x 2 +2·x≥0) można przepisać pierwiastkiem jako , a ostatnia równość to znane irracjonalne równanie ze zmienną pod znakiem pierwiastka. A metody rozwiązywania równań ze zmiennymi w podstawie potęg ułamkowych są absolutnie takie same, jak metody rozwiązywania równań niewymiernych (zostaną omówione w następnym akapicie). Wygodnie jest więc nazwać je irracjonalnymi i rozważyć w tym świetle. Ale bądźmy ze sobą szczerzy: początkowo mamy równanie , ale nie , a język nie jest zbyt skłonny do nazywania pierwotnego równania irracjonalnym ze względu na brak pierwiastka w zapisie. Ta sama technika pozwala uniknąć takich kontrowersyjnych kwestii terminologicznych: równanie można nazwać po prostu równaniem bez żadnych szczegółowych wyjaśnień.

Najprostsze równania niewymierne

Warto wspomnieć o tzw najprostsze równania irracjonalne. Powiedzmy od razu, że termin ten nie pojawia się w głównych podręcznikach algebry i analizy elementarnej, ale czasami można go znaleźć w książkach problemowych i podręcznikach szkoleniowych, jak na przykład w. Nie należy tego uważać za ogólnie przyjęte, ale nie zaszkodzi wiedzieć, co zwykle rozumie się przez najprostsze równania irracjonalne. Jest to zwykle nazwa nadawana irracjonalnym równaniom postaci , gdzie f(x) i g(x) to pewne . W tym świetle najprostsze irracjonalne równanie można nazwać na przykład równaniem lub .

Jak wytłumaczyć pojawienie się takiej nazwy, jak „najprostsze równania irracjonalne”? Na przykład dlatego, że rozwiązywanie równań irracjonalnych często wymaga ich wstępnej redukcji do postaci i dalsze stosowanie dowolnych metod rozwiązań standardowych. Równania irracjonalne w tej formie nazywane są najprostszymi.

Podstawowe metody rozwiązywania równań niewymiernych

Z definicji korzenia

Jedna z metod rozwiązywania równań irracjonalnych opiera się na. Za jego pomocą zwykle rozwiązuje się irracjonalne równania najprostszej postaci , gdzie f(x) i g(x) są pewnymi wyrażeniami wymiernymi (definicję najprostszych równań niewymiernych podaliśmy w). Równania irracjonalne postaci rozwiązuje się w podobny sposób , ale w którym f(x) i/lub g(x) są wyrażeniami innymi niż wymierne. Jednak w wielu przypadkach wygodniej jest rozwiązać takie równania innymi metodami, co zostanie omówione w kolejnych akapitach.

Dla wygody prezentacji materiału rozdzielamy równania niewymierne z wykładnikami parzystymi, czyli równania , 2·k=2, 4, 6, … , z równań z wykładnikami pierwiastkowymi nieparzystymi , 2·k+1=3, 5, 7, … Nakreślmy od razu podejścia do ich rozwiązania:

Powyższe podejścia wynikają bezpośrednio z I .

Więc, metoda rozwiązywania równań niewymiernych z definicji korzenia jest następująca:

Z definicji pierwiastka najwygodniej jest rozwiązywać najprostsze równania niewymierne z liczbami po prawej stronie, czyli równania postaci , gdzie C jest pewną liczbą. Gdy po prawej stronie równania znajduje się liczba, to nawet jeśli wykładnik pierwiastkowy jest parzysty, nie ma potrzeby odchodzenia do systemu: jeśli C jest liczbą nieujemną, to z definicji pierwiastek parzysty stopnia, a jeśli C jest liczbą ujemną, to od razu możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków. Przecież z definicji pierwiastek stopnia parzystego jest liczbą nieujemną, co oznacza, że ​​równanie nie zamień się w prawdziwą równość liczbową dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennej x.

Przejdźmy do rozwiązywania typowych przykładów.

Przejdziemy od prostego do złożonego. Zacznijmy od rozwiązania najprostszego równania niewymiernego, po lewej stronie którego znajduje się pierwiastek stopnia parzystego, a po prawej stronie liczba dodatnia, czyli rozwiązując równanie postaci , gdzie C jest liczbą dodatnią numer. Wyznaczenie pierwiastka pozwala przejść od rozwiązania danego równania niewymiernego do rozwiązania prostszego równania bez pierwiastków С 2·k =f(x) .

Najprostsze równania irracjonalne z zerem po prawej stronie rozwiązuje się w podobny sposób, definiując pierwiastek.

Zatrzymajmy się osobno na równaniach niewymiernych, po lewej stronie których znajduje się pierwiastek stopnia parzystego ze zmienną pod jej znakiem, a po prawej stronie liczba ujemna. Równania takie nie mają rozwiązań na zbiorze liczb rzeczywistych (o pierwiastkach zespolonych porozmawiamy po zapoznaniu się z nimi Liczby zespolone). To całkiem oczywiste: pierwiastek parzysty jest z definicji liczbą nieujemną, co oznacza, że ​​nie może być równy liczbie ujemnej.

Lewe strony niewymiernych równań z poprzednich przykładów były pierwiastkami parzystych potęg, a prawe stronami były liczbami. Rozważmy teraz przykłady ze zmiennymi po prawej stronie, to znaczy rozwiążemy irracjonalne równania postaci . Aby je rozwiązać, określając root, dokonuje się przejścia do systemu , które ma ten sam zestaw rozwiązań co równanie pierwotne.

Należy pamiętać, że system , do którego rozwiązania sprowadza się rozwiązanie pierwotnego równania niewymiernego , zaleca się rozwiązanie nie mechaniczne, ale, jeśli to możliwe, racjonalne. Oczywiste jest, że jest to raczej pytanie z tematu „ rozwiązanie systemowe„, ale mimo to podajemy trzy często spotykane sytuacje wraz z przykładami je ilustrującymi:

1. Przykładowo, jeżeli jego pierwsze równanie g 2·k (x)=f(x) nie ma rozwiązań, to nie ma sensu rozwiązywać nierówności g(x)≥0, gdyż z braku rozwiązań równania można stwierdzić, że system nie ma rozwiązań.

1. Podobnie, jeśli nierówność g(x)≥0 nie ma rozwiązań, to nie jest konieczne rozwiązywanie równania g 2·k (x)=f(x), gdyż nawet bez tego widać, że w tym przypadku układ nie ma rozwiązań.

1. Dość często nierówność g(x)≥0 w ogóle nie jest rozwiązywana, a jedynie sprawdzane, który z pierwiastków równania g 2·k (x)=f(x) ją spełnia. Zbiór wszystkich spełniających nierówność jest rozwiązaniem układu, czyli jest także rozwiązaniem odpowiadającego mu pierwotnego równania niewymiernego.

Dość już o równaniach z parzystymi wykładnikami pierwiastków. Czas zwrócić uwagę na irracjonalne równania z pierwiastkami nieparzystych potęg formy . Jak już powiedzieliśmy, aby je rozwiązać, przechodzimy do równania równoważnego , które można rozwiązać dowolnymi dostępnymi metodami.

Na zakończenie tej kwestii wspomnijmy sprawdzanie rozwiązań. Metoda rozwiązywania równań niewymiernych poprzez wyznaczanie pierwiastka gwarantuje równoważność przejść. Oznacza to, że nie jest konieczne sprawdzanie znalezionych rozwiązań. Punkt ten można przypisać zaletom tej metody rozwiązywania równań irracjonalnych, ponieważ w większości innych metod weryfikacja jest obowiązkowym etapem rozwiązania, który umożliwia odcięcie obcych pierwiastków. Należy jednak pamiętać, że sprawdzanie poprzez podstawienie znalezionych rozwiązań do pierwotnego równania nigdy nie jest zbyteczne: nagle wkradł się błąd obliczeniowy.

Zauważamy również, że kwestia sprawdzania i odfiltrowywania obcych pierwiastków jest bardzo ważna przy rozwiązywaniu równań irracjonalnych, dlatego powrócimy do niej w jednym z kolejnych akapitów tego artykułu.

Metoda podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi

Dalsza prezentacja zakłada, że ​​czytelnik ma pojęcie o równaniach równoważnych i równaniach następczych.

Metoda podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi opiera się na następującym stwierdzeniu:

Oświadczenie

Podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi parzystej daje równanie następstwa, a podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi nieparzystej daje równanie równoważne.

Dowód

Udowodnijmy to dla równań z jedną zmienną. W przypadku równań z kilkoma zmiennymi zasady dowodu są takie same.

Niech A(x)=B(x) będzie równaniem pierwotnym, a x 0 jego pierwiastkiem. Ponieważ x 0 jest pierwiastkiem tego równania, to A(x 0)=B(x 0) – prawdziwa równość liczbowa. Znamy tę właściwość równości liczbowych: mnożenie wyrazów przez wyrazy prawdziwych równości liczbowych daje prawdziwą równość liczbową. Pomnóżmy wyraz przez wyraz 2·k, gdzie k jest liczbą naturalną, z prawidłowych równości numerycznych A(x 0)=B(x 0), to da nam poprawną równość liczbową A 2·k (x 0)= B 2·k (x 0) . A wynikająca z tego równość oznacza, że ​​x 0 jest pierwiastkiem równania A 2·k (x)=B 2·k (x), które otrzymujemy z pierwotnego równania podnosząc obie strony do tej samej parzystej potęgi naturalnej 2·k .

Aby uzasadnić możliwość istnienia pierwiastka równania A 2·k (x)=B 2·k (x) , który nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania A(x)=B(x) , należy wystarczy podać przykład. Rozważmy irracjonalne równanie i równanie , który otrzymuje się z oryginału przez podniesienie obu części do kwadratu. Łatwo sprawdzić, że zero jest pierwiastkiem równania , Naprawdę, , że to samo 4=4 jest prawdziwą równością. Ale jednocześnie zero jest obcym pierwiastkiem równania , gdyż po podstawieniu zera otrzymujemy równość , co jest tym samym, co 2=−2 , co jest niepoprawne. Dowodzi to, że równanie otrzymane z pierwotnego przez podniesienie obu stron do tej samej parzystej potęgi może mieć pierwiastki obce pierwotnemu równaniu.

Udowodniono, że podniesienie obu stron równania do tej samej, parzystej potęgi naturalnej prowadzi do równania następstwa.

Pozostaje udowodnić, że podniesienie obu stron równania do tej samej nieparzystej potęgi naturalnej daje równanie równoważne.

Pokażmy, że każdy pierwiastek równania jest pierwiastkiem równania otrzymanego z oryginału przez podniesienie obu jego części do potęgi nieparzystej i odwrotnie, że każdy pierwiastek równania otrzymanego z oryginału przez podniesienie obu jego części do potęgi nieparzystej moc jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Załóżmy, że mamy równanie A(x)=B(x). Niech x 0 będzie jego pierwiastkiem. Wtedy równość liczbowa A(x 0)=B(x 0) jest prawdziwa. Badając właściwości prawdziwych równości liczbowych, dowiedzieliśmy się, że prawdziwe równości liczbowe można pomnożyć wyraz po wyrazie. Mnożąc wyraz przez wyraz 2·k+1, gdzie k jest liczbą naturalną, prawidłowe równości liczbowe A(x 0)=B(x 0) otrzymujemy poprawną równość liczbową A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , co oznacza, że ​​x 0 jest pierwiastkiem równania A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Teraz z powrotem. Niech x 0 będzie pierwiastkiem równania A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Oznacza to, że równość liczbowa A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) jest poprawna. Ze względu na istnienie pierwiastka nieparzystego dowolnej liczby rzeczywistej i jego niepowtarzalność, równość również będzie prawdziwa. To z kolei wynika z tożsamości , gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą wynikającą z własności pierwiastków i potęg, można zapisać jako A(x 0)=B(x 0) . Oznacza to, że x 0 jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x) .

Udowodniono, że podniesienie obu stron irracjonalnego równania do potęgi nieparzystej daje równanie równoważne.

Sprawdzone stwierdzenie uzupełnia znany nam arsenał służący do rozwiązywania równań kolejną transformacją równań - podniesieniem obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej. Podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi nieparzystej jest transformacją prowadzącą do równania wynikowego, a podniesienie jej do potęgi parzystej jest transformacją równoważną. Na tej transformacji opiera się metoda podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi.

Podnoszenie obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej służy głównie do rozwiązywania równań niewymiernych, ponieważ w niektórych przypadkach ta transformacja pozwala pozbyć się znaków pierwiastków. Na przykład podniesienie obu stron równania do potęgi n daje równanie , które można później przekształcić w równanie f(x)=g n (x) , które nie zawiera już pierwiastka po lewej stronie. Powyższy przykład ilustruje istota metody podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi: stosując odpowiednią transformację otrzymaj prostsze równanie, które nie ma pierwiastków w zapisie i poprzez jego rozwiązanie uzyskaj rozwiązanie pierwotnego równania niewymiernego.

Teraz możemy przejść bezpośrednio do opisu sposobu podniesienia obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej. Zacznijmy od algorytmu rozwiązywania tą metodą najprostszych równań niewymiernych z wykładnikami parzystymi, czyli równań postaci , gdzie k jest liczbą naturalną, f(x) i g(x) są wyrażeniami wymiernymi. Algorytm rozwiązywania najprostszych równań irracjonalnych z wykładnikami pierwiastkowymi nieparzystymi, czyli równaniami postaci , podamy to trochę później. Pójdźmy jeszcze dalej: rozszerzmy metodę podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi na bardziej złożone równania irracjonalne zawierające pierwiastki pod znakami pierwiastków, kilka znaków pierwiastków itp.

metoda podniesienia obu stron równania do tej samej potęgi:

Z powyższych informacji jasno wynika, że ​​po pierwszym kroku algorytmu otrzymamy równanie, którego pierwiastki zawierają wszystkie pierwiastki pierwotnego równania, ale które może mieć również pierwiastki obce pierwotnemu równaniu. Dlatego algorytm zawiera klauzulę dotyczącą odfiltrowywania obcych pierwiastków.

Przyjrzyjmy się zastosowaniu podanego algorytmu do rozwiązywania równań niewymiernych na przykładach.

Zacznijmy od rozwiązania prostego i dość typowego równania irracjonalnego, którego podniesienie do kwadratu obu stron prowadzi do równania kwadratowego, które nie ma pierwiastków.

Oto przykład, w którym wszystkie pierwiastki równania otrzymanego z pierwotnego równania irracjonalnego przez podniesienie obu stron do kwadratu okazują się obce pierwotnemu równaniu. Wniosek: nie ma korzeni.

Następny przykład jest nieco bardziej skomplikowany. Jego rozwiązanie, w przeciwieństwie do dwóch poprzednich, wymaga podniesienia obu części nie do kwadratu, ale do potęgi szóstej, a to nie będzie już prowadzić do równania liniowego lub kwadratowego, ale do równania sześciennego. Tutaj sprawdzenie pokaże nam, że wszystkie trzy pierwiastki będą pierwiastkami podanego na początku równania niewymiernego.

A tutaj pójdziemy jeszcze dalej. Aby pozbyć się pierwiastka, będziesz musiał podnieść obie strony irracjonalnego równania do czwartej potęgi, co z kolei doprowadzi do równania czwartej potęgi. Sprawdzenie wykaże, że tylko jeden z czterech potencjalnych pierwiastków będzie pożądanym pierwiastkiem równania irracjonalnego, a reszta będzie obca.

Ostatnie trzy przykłady ilustrują następujące stwierdzenie: jeśli podniesienie obu stron równania irracjonalnego do tej samej potęgi parzystej daje równanie mające pierwiastki, to ich późniejsza weryfikacja może wykazać, że

• albo wszystkie są obcymi pierwiastkami pierwotnego równania i nie ma ono pierwiastków,
• albo w ogóle nie ma między nimi obcych pierwiastków i wszystkie są pierwiastkami pierwotnego równania,
• lub tylko niektórzy z nich są outsiderami.

Nadszedł czas, aby przejść do rozwiązywania najprostszych równań niewymiernych z wykładnikiem pierwiastkowym nieparzystym, czyli równań postaci . Zapiszmy odpowiedni algorytm.

Algorytm rozwiązywania równań niewymiernych metoda podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi nieparzystej:

• Obie strony irracjonalnego równania są podniesione do tej samej potęgi nieparzystej 2·k+1.
• Powstałe równanie zostało rozwiązane. Jego rozwiązanie jest rozwiązaniem pierwotnego równania.

Uwaga: powyższy algorytm, w przeciwieństwie do algorytmu rozwiązywania najprostszych równań niewymiernych z wykładnikiem parzystym, nie zawiera klauzuli dotyczącej eliminacji pierwiastków obcych. Pokazaliśmy powyżej, że podniesienie obu stron równania do potęgi nieparzystej jest równoważną transformacją równania, co oznacza, że ​​taka transformacja nie prowadzi do pojawienia się obcych pierwiastków, więc nie ma potrzeby ich filtrowania.

Zatem rozwiązywanie irracjonalnych równań poprzez podniesienie obu stron do tej samej nieparzystej potęgi można przeprowadzić bez eliminowania osób z zewnątrz. Jednocześnie nie zapominaj, że przy podnoszeniu do równej potęgi wymagana jest weryfikacja.

Znajomość tego faktu pozwala nam zgodnie z prawem uniknąć odsiewania obcych pierwiastków przy rozwiązywaniu irracjonalnego równania . Co więcej, w tym przypadku kontrola wiąże się z „nieprzyjemnymi” obliczeniami. I tak nie będzie żadnych obcych pierwiastków, ponieważ zostanie podniesiony do nieparzystej potęgi, a mianowicie do sześcianu, co jest równoważną transformacją. Oczywiste jest, że kontrolę można przeprowadzić, ale bardziej w celu samokontroli, w celu dalszej weryfikacji poprawności znalezionego rozwiązania.

Podsumujmy wyniki pośrednie. W tym miejscu po pierwsze, rozszerzyliśmy znany już arsenał rozwiązywania różnych równań o kolejną transformację, która polega na podniesieniu obu stron równania do tej samej potęgi. Po podniesieniu do równej potęgi transformacja ta może być nierówna, a podczas jej stosowania należy sprawdzić, czy odfiltrowano obce pierwiastki. Podniesiona do potęgi nieparzystej określona transformacja jest równoważna i nie jest konieczne odfiltrowywanie obcych pierwiastków. Po drugie, nauczyliśmy się wykorzystywać tę transformację do rozwiązywania najprostszych irracjonalnych równań postaci , gdzie n jest wykładnikiem pierwiastkowym, f(x) i g(x) są wyrażeniami wymiernymi.

Czas teraz przyjrzeć się podniesieniu obu stron równania do tej samej potęgi z ogólnej perspektywy. Pozwoli nam to rozszerzyć opartą na niej metodę rozwiązywania równań irracjonalnych z najprostszych równań irracjonalnych na równania irracjonalne typu bardziej złożonego. Zróbmy to.

Tak naprawdę przy rozwiązywaniu równań poprzez podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi stosuje się znane nam już ogólne podejście: pierwotne równanie poprzez pewne przekształcenia przekształca się w prostsze równanie, przekształca się je w jeszcze prostsze jeden i tak dalej, aż do równań, które możemy rozwiązać. Jest oczywiste, że jeśli w ciągu takich przekształceń uciekamy się do podniesienia obu stron równania do tej samej potęgi, to możemy powiedzieć, że postępujemy w ten sam sposób, podnosząc obie strony równania do tej samej potęgi. Pozostaje tylko dowiedzieć się, jakie przekształcenia i w jakiej kolejności należy przeprowadzić, aby rozwiązać równania irracjonalne, podnosząc obie strony równania do tej samej potęgi.

Oto ogólne podejście do rozwiązywania równań irracjonalnych poprzez podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi:

• Najpierw musisz przejść od pierwotnego irracjonalnego równania do prostszego równania, co zwykle można osiągnąć poprzez cykliczne wykonywanie trzech następujących czynności:
  • Izolacja rodnika (lub podobne techniki, np. izolacja iloczynu rodników, izolacja ułamka, którego licznik i/lub mianownik jest pierwiastkiem, co pozwala po późniejszym podniesieniu obu stron równania do potęgi pozbyć się korzenia).
  • Uproszczenie postaci równania.
• Po drugie, musisz rozwiązać powstałe równanie.
• Wreszcie, jeśli podczas rozwiązania nastąpiły przejścia do równań następstwowych (w szczególności jeśli obie strony równania zostały podniesione do parzystej potęgi), wówczas należy wyeliminować zewnętrzne pierwiastki.

Wykorzystajmy zdobytą wiedzę w praktyce.

Rozwiążmy przykład, w którym samotność pierwiastka sprowadza irracjonalne równanie do jego najprostszej postaci, po czym pozostaje tylko podnieść obie strony do kwadratu, rozwiązać powstałe równanie i pozbyć się obcych pierwiastków za pomocą czeku.

Poniższe irracjonalne równanie można rozwiązać, oddzielając ułamek z pierwiastkiem w mianowniku, co można wyeliminować przez późniejsze podniesienie obu stron równania do kwadratu. A potem wszystko jest proste: powstałe równanie ułamkowo-racjonalne zostaje rozwiązane i sprawdzane jest, aby wykluczyć zewnętrzne pierwiastki z wprowadzenia odpowiedzi.

Równania irracjonalne zawierające dwa pierwiastki są dość typowe. Zwykle udaje się je rozwiązać, podnosząc obie strony równania do tej samej potęgi. Jeżeli pierwiastki mają ten sam stopień, a poza nimi nie ma innych członów, to aby pozbyć się rodników wystarczy wyizolować pierwiastek i raz wykonać potęgowanie, jak w poniższym przykładzie.

A oto przykład, w którym są też dwa pierwiastki, poza nimi też nie ma terminów, ale stopnie pierwiastków są różne. W takim przypadku po wyizolowaniu rodnika wskazane jest podniesienie obu stron równania do potęgi eliminującej oba rodniki na raz. Stopień taki służy na przykład jako wskaźnik korzeni. W naszym przypadku stopnie pierwiastków wynoszą 2 i 3, LCM(2, 3) = 6, zatem podniesiemy obie strony do potęgi szóstej. Zauważ, że możemy również działać standardową ścieżką, ale w tym przypadku będziemy musieli dwukrotnie podnieść obie części do potęgi: najpierw do drugiej, potem do trzeciej. Pokażemy oba rozwiązania.

W bardziej skomplikowanych przypadkach, rozwiązując równania irracjonalne, podnosząc obie strony równania do tej samej potęgi, należy uciekać się do zwiększania potęgi dwukrotnie, rzadziej - trzykrotnie, a jeszcze rzadziej - więcej razy. Pierwsze irracjonalne równanie, ilustrujące to, co zostało powiedziane, zawiera dwa pierwiastki i jeszcze jeden człon.

Rozwiązanie następującego irracjonalnego równania wymaga również dwóch kolejnych potęgowań. Jeśli nie zapomnisz o wyizolowaniu rodników, wystarczą dwa potęgowania, aby pozbyć się trzech rodników obecnych w jego zapisie.

Metoda podniesienia obu stron równania irracjonalnego do tej samej potęgi pozwala poradzić sobie z równaniami irracjonalnymi, w których pod pierwiastkiem znajduje się inny pierwiastek. Oto rozwiązanie typowego przykładu.

Na koniec, zanim przejdziemy do analizy poniższych metod rozwiązywania równań niewymiernych, należy zwrócić uwagę na fakt, że podniesienie obu stron równania niewymiernego do tej samej potęgi może w wyniku dalszych przekształceń dać równanie, które ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Równanie mające nieskończenie wiele pierwiastków otrzymuje się na przykład przez podniesienie do kwadratu obu stron równania niewymiernego i późniejsze uproszczenie postaci otrzymanego równania. Jednakże z oczywistych względów nie jesteśmy w stanie przeprowadzić kontroli podmiany. W takich przypadkach należy albo zastosować inne metody weryfikacji, o których będziemy mówić, albo porzucić metodę podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi na rzecz innej metody rozwiązania, na przykład na rzecz metody to zakłada.

Zbadaliśmy rozwiązania najbardziej typowych równań irracjonalnych, podnosząc obie strony równania do tej samej potęgi. Badane podejście ogólne umożliwia radzenie sobie z innymi równaniami irracjonalnymi, jeśli ta metoda rozwiązywania w ogóle jest dla nich odpowiednia.

Rozwiązywanie równań niewymiernych poprzez wprowadzenie nowej zmiennej

Istnieć ogólne metody rozwiązywania równań. Umożliwiają rozwiązywanie równań różnych typów. W szczególności do rozwiązywania równań niewymiernych stosuje się metody ogólne. W tym akapicie przyjrzymy się jednej z powszechnych metod - metoda wprowadzania nowej zmiennej, a raczej jego zastosowanie w rozwiązywaniu irracjonalnych równań. Istotę i szczegóły samej metody przedstawiono w artykule, do którego link podano w zdaniu poprzednim. Tutaj skupimy się na części praktycznej, czyli przeanalizujemy rozwiązania standardowych równań niewymiernych poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.

Poniższe akapity tego artykułu poświęcone są rozwiązywaniu równań irracjonalnych za pomocą innych ogólnych metod.

Najpierw dajemy algorytm rozwiązywania równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Niezwłocznie udzielimy niezbędnych wyjaśnień. Zatem algorytm:

A teraz obiecane wyjaśnienia.

Drugi, trzeci i czwarty krok algorytmu mają charakter czysto techniczny i często nie są trudne. A głównym zainteresowaniem jest pierwszy krok - wprowadzenie nowej zmiennej. Rzecz w tym, że często nie jest oczywiste, jak wprowadzić nową zmienną, a w wielu przypadkach konieczne jest przeprowadzenie pewnych przekształceń równania, aby wyrażenie g(x) było wygodne do zastąpienia przez t do pojawić się. Inaczej mówiąc, wprowadzenie nowej zmiennej jest często procesem twórczym, a przez to złożonym. Następnie postaramy się poruszyć najbardziej podstawowe i typowe przykłady, które wyjaśniają, jak wprowadzić nową zmienną przy rozwiązywaniu równań niewymiernych.

Będziemy przestrzegać następującej kolejności prezentacji:

Zacznijmy więc od najprostszych przypadków wprowadzenia nowej zmiennej przy rozwiązywaniu irracjonalnych równań.

Rozwiążmy irracjonalne równanie , który cytowaliśmy już jako przykład tuż powyżej. Oczywiście w tym przypadku możliwa jest wymiana. Doprowadzi nas to do równania wymiernego, które jak się okazuje ma dwa pierwiastki, które po odwróceniu dają zbiór dwóch prostych równań niewymiernych, których rozwiązanie nie jest trudne. Dla porównania pokażemy rozwiązanie alternatywne, przeprowadzając przekształcenia, które doprowadzą do najprostszego równania niewymiernego.

W poniższym irracjonalnym równaniu oczywista jest także możliwość wprowadzenia nowej zmiennej. Ale jest niezwykłe, że rozwiązując go, nie musimy wracać do pierwotnej zmiennej. Faktem jest, że równanie otrzymane po wprowadzeniu zmiennej nie ma rozwiązań, co oznacza, że ​​równanie pierwotne nie ma rozwiązań.

Równanie irracjonalne , podobnie jak poprzednie, można wygodnie rozwiązać wprowadzając nową zmienną. Co więcej, podobnie jak poprzednie, nie ma rozwiązań. Ale brak pierwiastków określa się w inny sposób: tutaj równanie otrzymane po wprowadzeniu zmiennej ma rozwiązanie, ale układ równań zapisany podczas odwrotnego podstawienia nie ma rozwiązania, więc pierwotne równanie również nie ma rozwiązania. Przeanalizujmy rozwiązanie tego równania.

Uzupełnijmy serię przykładów, w których zamiana jest oczywista, pozornie złożonym irracjonalnym równaniem zawierającym pierwiastek pod pierwiastkiem w zapisie. Wprowadzenie nowej zmiennej często sprawia, że ​​struktura równania staje się bardziej przejrzysta, co jest szczególnie prawdziwe w tym przykładzie. Rzeczywiście, jeśli się zgodzimy , wówczas pierwotne równanie irracjonalne zostaje przekształcone w prostsze równanie irracjonalne , które można rozwiązać na przykład podnosząc obie strony równania do kwadratu. Rozwiązanie przedstawiamy wprowadzając nową zmienną, a dla porównania pokażemy również rozwiązanie podnosząc obie strony równania do kwadratu.

Rekordy wszystkich poprzednich przykładów zawierały kilka identycznych wyrażeń, które przyjęliśmy jako nową zmienną. Wszystko było proste i oczywiste: widzimy odpowiednie identyczne wyrażenia i zamiast tego wprowadzamy nową zmienną, co daje prostsze równanie z nową zmienną. Teraz pójdziemy trochę dalej - dowiemy się, jak rozwiązać równania niewymierne, w których wyrażenie nadające się do podstawienia nie jest tak oczywiste, ale jest dość łatwo widoczne i wyraźnie podkreślone za pomocą prostych przekształceń.

Rozważmy podstawowe techniki, które pozwalają jawnie wybrać wyrażenie wygodne do wprowadzenia nowej zmiennej. Pierwszym z nich jest to. Zilustrujmy to, co zostało powiedziane.

Oczywiście w irracjonalnym równaniu aby wprowadzić nową zmienną wystarczy przyjąć x 2 +x=t. Czy można wprowadzić do równania także nową zmienną? ? Możliwość ta jest widoczna, bo to oczywiste . Ostatnia równość pozwala na przeprowadzenie równoważnej transformacji równania, polegającej na zastąpieniu wyrażenia identycznie równym wyrażeniem, które nie zmienia ODZ, co umożliwia przejście od równania pierwotnego do równania równoważnego i już to zdecyduj. Pokażmy pełne rozwiązanie równania niewymiernego poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.

Co jeszcze oprócz wyjęcia wspólnego czynnika z nawiasu pozwala nam jednoznacznie zidentyfikować w równaniu irracjonalnym wyrażenie wygodne do wprowadzenia nowej zmiennej? W niektórych przypadkach jest to , i . Spójrzmy na typowe przykłady.

Jak wprowadzilibyśmy nową zmienną przy rozwiązywaniu irracjonalnego równania ? Oczywiście, że zgodzilibyśmy się. A co jeśli zadaniem byłoby rozwiązanie irracjonalnego równania? czy można wprowadzić nową zmienną, np. ? Jawnie - nie widać, ale taka możliwość jest widoczna, gdyż na ODZ zmiennej x dla tego równania, ze względu na definicję pierwiastka i własności pierwiastków, obowiązuje równość, co pozwala nam przejść do równoważne równanie .

Pozwólmy sobie na małe uogólnienie na podstawie poprzedniego przykładu. W przypadkach, gdy wskaźnik jednego pierwiastka jest wielokrotnością wskaźnika drugiego (k·n i k), zwykle uciekają się do równości i wprowadź nową zmienną jako . W ten sposób postępowaliśmy, rozwiązując równanie . Nieco dalej porozmawiamy o tym, jak rozwiązywać irracjonalne równania z nierównymi i niewielokrotnymi wykładnikami pierwiastkowymi.

Warto zatrzymać się na chwilę nad wprowadzeniem nowej zmiennej w równaniach irracjonalnych, które zawierają pierwiastek, a także wyrażenie pierwiastkowe i/lub jego stopień. W takich przypadkach oczywiste jest, że jako nową zmienną należy przyjąć pierwiastek. Na przykład przy rozwiązywaniu równania zaakceptowalibyśmy z definicji pierwiastka przekształciłoby pierwotne równanie do postaci , a po wprowadzeniu nowej zmiennej otrzymalibyśmy równanie kwadratowe 2·t 2 +3·t−2=0.

W nieco bardziej złożonych przypadkach może być wymagana jeszcze jedna dodatkowa transformacja równania w celu wyodrębnienia wyrażenia, które pokrywa się z pierwiastkiem. Wyjaśnijmy to. Jak wprowadzić nową zmienną do równania ? Oczywiście wyrażenie x 2 +5 pokrywa się z wyrażeniem pierwiastkowym, zatem zgodnie z informacją z poprzedniego akapitu, bazując na definicji pierwiastka, moglibyśmy przejść do równania równoważnego i wprowadziłby nową zmienną jako . Jak wprowadzilibyśmy nową zmienną, gdybyśmy nie mieli do czynienia z równaniem i z równaniem ? Tak, również. Tyle że najpierw musielibyśmy przedstawić x 2 +1 jako x 2 +5−4, aby wyraźnie podkreślić radykalne wyrażenie x 2 +5. Oznacza to, że wychodzilibyśmy z irracjonalnego równania przekazane do równoważnego równania , a następnie do równania , po czym moglibyśmy łatwo wprowadzić nową zmienną.

W takich przypadkach istnieje inne, bardziej uniwersalne podejście do wprowadzenia nowej zmiennej: weź pierwiastek jako nową zmienną i na podstawie tej równości wyraź pozostałe stare zmienne poprzez nową. Dla równania zaakceptowalibyśmy , z tej równości wyrazilibyśmy x 2 do t jako t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 = t 2 −5 ), skąd x 2 +1=t 2 −4 . Pozwala nam to przejść do równania z nową zmienną t 2 −4+3·t=0. Aby przećwiczyć nasze umiejętności, rozwiążemy typowe irracjonalne równanie.

Wprowadzenie nowej zmiennej w takich przykładach może spowodować pojawienie się wyrażeń pod znakami pierwiastków będących pełnymi kwadratami. Na przykład, jeśli weźmiemy irracjonalne równanie, doprowadzi to do równania, w którym pierwszym wyrażeniem radykalnym jest kwadrat dwumianu liniowego t-2, a drugim wyrażeniem radykalnym jest kwadrat dwumianu liniowego t-3. I z takich równań najlepiej przejść do równań z modułami: , , . Wynika to z faktu, że takie równania mogą mieć nieskończoną liczbę pierwiastków, natomiast rozwiązanie ich przez podniesienie do kwadratu obu stron równania nie pozwoli na sprawdzenie przez podstawienie, a rozwiązanie przez wyznaczenie pierwiastka doprowadzi do konieczności rozwiązania nierówności irracjonalnej . Rozwiązanie takiego przykładu pokażemy poniżej w sekcji przejścia od równania niewymiernego do równania z modułem.

Kiedy jeszcze dość łatwo jest dostrzec możliwość wprowadzenia nowej zmiennej? Gdy równanie zawiera ułamki „odwrócone” i (za twoją zgodą będziemy je nazywać wzajemnie odwrotnymi przez analogię do ). Jak rozwiązać racjonalne równanie z takimi ułamkami? Przyjęlibyśmy jeden z tych ułamków jako nową zmienną t, podczas gdy drugi ułamek zostałby wyrażony poprzez nową zmienną jako 1/t. W równaniach irracjonalnych wprowadzenie nowej zmiennej w ten sposób nie jest do końca praktyczne, ponieważ aby dalej pozbyć się pierwiastków, najprawdopodobniej będziesz musiał wprowadzić inną zmienną. Lepiej od razu przyjąć pierwiastek ułamka jako nową zmienną. Cóż, w takim razie przekształć oryginalne równanie, używając jednej z równości I , co pozwoli Ci przejść do równania z nową zmienną. Spójrzmy na przykład.

Nie zapomnij o znanych już opcjach wymiany. Przykładowo w zapisie równania niewymiernego może pojawić się wyrażenie x+1/x i x 2 +1/x 2, co nasuwa myśl o możliwości wprowadzenia nowej zmiennej x+1/x=t. Ta myśl nie pojawia się przypadkowo, ponieważ już to zrobiliśmy, kiedy zdecydowaliśmy równania odwrotne. O tym sposobie wprowadzania nowej zmiennej, podobnie jak o innych znanych nam już metodach, należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań niewymiernych, a także równań innego typu.

Przechodzimy do bardziej złożonych równań niewymiernych, w których trudniej jest znaleźć wyrażenie nadające się do wprowadzenia nowej zmiennej. Zacznijmy od równań, w których wyrażenia pierwiastkowe są takie same, ale w przeciwieństwie do przypadku omówionego powyżej, większy wykładnik jednego pierwiastka nie jest całkowicie podzielony przez mniejszy wykładnik drugiego pierwiastka. Zastanówmy się, jak wybrać odpowiednie wyrażenie do wprowadzenia nowej zmiennej w takich przypadkach.

Gdy wyrażenia pierwiastkowe są takie same i większy wykładnik jednego pierwiastka k 1 nie jest całkowicie podzielony przez mniejszy wykładnik drugiego pierwiastka k 2 , pierwiastek stopnia LCM (k 1 , k 2) można przyjąć jako nowa zmienna, gdzie LCM wynosi . Na przykład w równaniu irracjonalnym pierwiastki są równe 2 i 3, trzy nie jest wielokrotnością dwóch, LCM(3, 2) = 6, więc nową zmienną można wprowadzić jako . Co więcej, definicja pierwiastka, a także właściwości pierwiastków, pozwalają na przekształcenie pierwotnego równania w celu jawnego wybrania wyrażenia, a następnie zastąpienia go nową zmienną. Przedstawiamy kompletne i szczegółowe rozwiązanie tego równania.

Stosując podobne zasady, wprowadza się nową zmienną w przypadkach, gdy wyrażenia pod pierwiastkami różnią się stopniami. Przykładowo, jeśli w równaniu niewymiernym zmienna zawarta jest tylko pod pierwiastkami, a same pierwiastki mają postać i , to należy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność pierwiastków LCM(3, 4) = 12 i przyjąć . Ponadto, zgodnie z właściwościami korzeni i mocy, korzenie należy przekształcić jako I odpowiednio, co umożliwi wprowadzenie nowej zmiennej.

Podobnie można postępować w równaniach niewymiernych, w których pod pierwiastkami o różnych wykładnikach znajdują się ułamki wzajemnie odwrotne i . Oznacza to, że zaleca się przyjęcie pierwiastka ze wskaźnikiem równym LCM wskaźników pierwiastkowych jako nowej zmiennej. Cóż, przejdźmy do równania z nową zmienną, co pozwala nam na dokonanie równości I , definicja pierwiastka, a także właściwości pierwiastków i potęgi. Spójrzmy na przykład.

Porozmawiajmy teraz o równaniach, w których możliwość wprowadzenia nowej zmiennej można jedynie podejrzewać, a które w przypadku powodzenia otwierają się dopiero po dość poważnych przekształceniach. Przykładowo dopiero po serii nie tak oczywistych przekształceń równanie irracjonalne zostaje doprowadzone do postaci , co otwiera drogę do podstawienia . Podajmy rozwiązanie tego przykładu.

Na koniec dodajmy trochę egzotyki. Czasami irracjonalne równanie można rozwiązać, wprowadzając więcej niż jedną zmienną. Takie podejście do rozwiązywania równań zaproponowano w podręczniku. Tam należy rozwiązać irracjonalne równanie proponuje się wprowadzenie dwóch zmiennych . Podręcznik podaje krótkie rozwiązanie, przywróćmy szczegóły.

Rozwiązywanie równań niewymiernych metodą faktoryzacji

Oprócz metody wprowadzania nowej zmiennej do rozwiązywania równań niewymiernych stosuje się inne ogólne metody, w szczególności metoda faktoryzacji. W artykule pod linkiem wskazanym w zdaniu poprzednim szczegółowo omówiono, kiedy stosuje się metodę faktoryzacji, na czym polega jej istota i na czym polega. Tutaj bardziej interesuje nas nie sama metoda, ale jej zastosowanie w rozwiązywaniu irracjonalnych równań. Dlatego przedstawimy materiał w następujący sposób: krótko przypomnimy główne założenia metody, po czym szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania charakterystycznych równań niewymiernych metodą faktoryzacji.

Metodę faktoryzacji stosuje się do rozwiązywania równań, w których po lewej stronie znajduje się iloczyn, a po prawej zera, czyli do rozwiązywania równań postaci fa 1 (x) fa 2 (x) fa n (x)=0, gdzie f 1, f 2, …, f n to niektóre funkcje. Istotą metody jest zastąpienie równania fa 1 (x) fa 2 (x) fa n (x)=0 na zmiennej x dla pierwotnego równania.

Pierwsza część ostatniego zdania o przejściu do zbioru wynika z faktu znanego ze szkoły podstawowej: iloczyn kilku liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z liczb jest równa zero. Obecność drugiej części dotyczącej ODZ tłumaczy się faktem przejścia z równania fa 1 (x) fa 2 (x) fa n (x)=0 do układu równań f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 mogą być nierówne i prowadzić do pojawienia się obcych korzeni, które w tym przypadku można wyeliminować, biorąc pod uwagę ODZ. Warto zauważyć, że odsiewanie obcych pierwiastków, jeśli jest to wygodne, można przeprowadzić nie tylko za pomocą ODZ, ale także na inne sposoby, na przykład sprawdzając, podstawiając znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Zatem, aby rozwiązać równanie fa 1 (x) fa 2 (x) fa n (x)=0 konieczne jest stosowanie metody faktoryzacji, w tym irracjonalnej

• Przejdź do układu równań f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Rozwiąż złożony zbiór,
• Jeśli zbiór rozwiązań nie ma, to wnioskuj, że pierwotne równanie nie ma pierwiastków. Jeśli są korzenie, usuń obce korzenie.

Przejdźmy do części praktycznej.

Lewe strony typowych równań niewymiernych rozwiązywanych za pomocą rozkładu na czynniki są iloczynami kilku wyrażeń algebraicznych, zwykle dwumianów liniowych i trójmianów kwadratowych, oraz kilku pierwiastków z wyrażeniami algebraicznymi pod nimi. Po prawej stronie znajdują się zera. Równania takie idealnie nadają się do zdobycia wstępnych umiejętności ich rozwiązywania. Zaczniemy od rozwiązania podobnego równania. W ten sposób postaramy się osiągnąć dwa cele:

• uwzględnić wszystkie etapy algorytmu metody faktoryzacji przy rozwiązywaniu równania niewymiernego,
• przypomnij sobie trzy główne sposoby odsiewania obcych pierwiastków (za pomocą ODZ, warunków ODZ i bezpośrednio podstawiając rozwiązania do pierwotnego równania).

Poniższe równanie irracjonalne jest typowe w tym sensie, że przy rozwiązywaniu go metodą faktoryzacji wygodnie jest odfiltrować obce pierwiastki zgodnie z warunkami ODZ, a nie według ODZ w postaci zbioru liczbowego, ponieważ trudno jest uzyskać ODZ w postaci współczynnika liczbowego. Trudność polega na tym, że jednym z warunków definiujących DL jest irracjonalna nierówność . Takie podejście do odsiewania obcych pierwiastków pozwala obejść się bez ich rozwiązywania, a ponadto czasami na kursach szkolnych matematycy w ogóle nie uczą się o rozwiązywaniu irracjonalnych nierówności.

Dobrze jest, gdy równanie ma iloczyn po lewej stronie i zero po prawej. W takim przypadku możesz od razu przejść do układu równań, rozwiązać go, znaleźć i odrzucić pierwiastki obce pierwotnemu równaniu, co da pożądane rozwiązanie. Ale częściej równania mają inną formę. Jeżeli jednocześnie istnieje możliwość przekształcenia ich do postaci odpowiedniej do zastosowania metody faktoryzacji, to dlaczego nie spróbować przeprowadzić odpowiednich przekształceń. Na przykład, aby otrzymać iloczyn po lewej stronie poniższego równania irracjonalnego, wystarczy skorzystać z różnicy kwadratów.

Istnieje inna klasa równań, które zwykle rozwiązuje się poprzez faktoryzację. Zawiera równania, których obie strony są iloczynami posiadającymi ten sam współczynnik w postaci wyrażenia ze zmienną. Jest to na przykład równanie irracjonalne . Możesz podzielić obie strony równania przez ten sam współczynnik, ale nie zapomnij osobno sprawdzić wartości, które powodują zniknięcie tych wyrażeń, w przeciwnym razie możesz stracić rozwiązania, ponieważ dzieląc obie strony równania przez to samo wyrażenie może być transformacją nierówną. Bardziej niezawodne jest zastosowanie metody faktoryzacji, co pozwala zagwarantować, że pierwiastki nie zostaną utracone podczas dalszego prawidłowego rozwiązania. Oczywiste jest, że aby to zrobić, najpierw musisz uzyskać iloczyn po lewej stronie równania i zero po prawej stronie. To proste: wystarczy przenieść wyrażenie z prawej strony na lewą, zmieniając jego znak i wyjąć wspólny czynnik z nawiasów. Pokażmy pełne rozwiązanie podobnego, ale nieco bardziej złożonego równania irracjonalnego.

Przydatne jest rozpoczęcie rozwiązywania dowolnego równania (podobnie jak rozwiązywania wielu innych problemów) od znalezienia ODZ, zwłaszcza jeśli ODZ jest łatwe do znalezienia. Podajmy kilka najbardziej oczywistych argumentów przemawiających za tą tezą.

Zatem otrzymawszy zadanie rozwiązania równania, nie powinieneś spieszyć się z przekształceniami i obliczeniami bez oglądania się za siebie, może po prostu spójrz na ODZ? Wyraźnie pokazuje to następujące irracjonalne równanie.

Funkcjonalna metoda graficzna

Funkcjonalna metoda graficzna to kolejna ogólna metoda rozwiązywania równań. Jak każda metoda ogólna, pozwala rozwiązywać równania różnego typu, w szczególności można ją stosować do rozwiązywania równań niewymiernych. To właśnie zastosowanie metody funkcjonalno-graficznej interesuje nas najbardziej w ramach niniejszego artykułu.

Metoda funkcjonalno-graficzna obejmuje funkcje, ich właściwości i wykresy w procesie rozwiązywania równań. To bardzo potężne narzędzie. I jak każde potężne narzędzie, zwykle się po nie sięga, gdy prostsze narzędzia są bezsilne.

Istnieją trzy główne kierunki funkcjonalno-graficznej metody rozwiązywania równań:

• Pierwszym z nich jest wykorzystanie wykresów funkcyjnych. Kierunek ten nazywany jest metodą graficzną.
• Drugim jest wykorzystanie właściwości funkcji rosnących i malejących.
• Trzecim jest wykorzystanie właściwości ograniczonych funkcji. Prawdopodobnie przez metodę oceny, o której ostatnio głośno, rozumie się ten kierunek metody funkcjonalno-graficznej.

Te trzy kierunki pozwalają poradzić sobie z zdecydowaną większością równań irracjonalnych, dla których na ogół nadaje się metoda funkcjonalno-graficzna. W podanej kolejności – użycie wykresów, zastosowanie rosnąco-malejącego, wykorzystanie własności funkcji ograniczonych – przeanalizujemy rozwiązania na najbardziej typowych przykładach.

Metoda graficzna

Zacznijmy więc od graficznej metody rozwiązywania równań niewymiernych.

Zgodnie z metodą graficzną potrzebujesz:

• najpierw w jednym układzie współrzędnych skonstruuj wykresy funkcji f i g odpowiadające lewej i prawej stronie rozwiązywanego równania,
• po drugie, na podstawie ich względnego położenia, wyciągnij wnioski dotyczące pierwiastków równania:
  • jeżeli wykresy funkcji nie przecinają się, to równanie nie ma rozwiązań,
  • Jeżeli wykresy funkcji mają punkty przecięcia, to pierwiastkami równania są odcięte tych punktów.

Rozwiązywanie równań irracjonalnych za pomocą ODZ

Bardzo często częścią procesu rozwiązywania równań jest. Powody zmuszające do poszukiwania ODZ mogą być różne: konieczne jest przeprowadzenie przekształceń równania, a jak wiadomo dokonuje się ich na ODZ, wybrany sposób rozwiązania polega na znalezieniu ODZ, sprawdzeniu za pomocą ODZ itp. A w niektórych przypadkach ODZ działa nie tylko jako narzędzie pomocnicze lub kontrolne, ale także pozwala uzyskać rozwiązanie równania. Mamy tu na myśli dwie sytuacje: gdy ODZ jest zbiorem pustym i gdy ODZ jest skończonym zbiorem liczb.

Oczywiste jest, że jeśli ODZ równania, w szczególności irracjonalnego, jest zbiorem pustym, to równanie nie ma rozwiązań. Zatem ODZ zmiennej x dla następującego irracjonalnego równania jest zbiorem pustym, co oznacza, że ​​równanie nie ma rozwiązań.

Gdy ODZ zmiennej dla równania jest skończonym zbiorem liczb, to sprawdzając sekwencyjnie przez podstawienie tych liczb, można otrzymać rozwiązanie równania. Rozważmy na przykład irracjonalne równanie, dla którego ODZ składa się z dwóch liczb, a podstawienie pokazuje, że tylko jedna z nich jest pierwiastkiem równania, z czego wnioskujemy, że pierwiastek ten jest jedynym rozwiązaniem równania.

Rozwiązywanie równań niewymiernych postaci „ułamek równa się zero”

Każdy równanie postaci „ułamek równa się zero”, w szczególności irracjonalne, na ODZ zmiennej x dla tego równania jest równoważne równaniu f(x)=0. Z tego stwierdzenia wynikają dwa podejścia do rozwiązywania równań tego typu:

Oczywiste jest, że lepiej zastosować pierwsze podejście do rozwiązania równania, gdy łatwiej jest znaleźć ODZ, niż rozwiązać równanie f(x)=0. W takim przypadku ODZ może okazać się pustym zbiorem lub składać się z kilku liczb, w takich przypadkach będzie można obejść się bez rozwiązania równania f(x) = 0 (patrz). Rozwiążmy typowe irracjonalne równanie.

Drugie podejście do rozwiązania równania jest preferowane, gdy rozwiązanie równania f(x) = 0 jest dość łatwe. Po rozwiązaniu równania f(x)=0 pozostaje jedynie sprawdzić znalezione pierwiastki, co zwykle przeprowadza się na jeden z poniższych sposobów:

• poprzez podstawienie do mianownika pierwotnego równania, znalezione pierwiastki, które zamieniają mianownik na zero lub do wyrażenia bez znaczenia, nie są pierwiastkami, a znalezione pierwiastki, które zamieniają mianownik na liczbę niezerową, są pierwiastkami pierwotnego równania .
• bezpośrednio z ODZ (gdy ODZ znajduje się dość łatwo, natomiast pierwsze i drugie podejście do rozwiązywania równań niewymiernych w postaci „ułamek równa się zero” są praktycznie równoważne), znalezione pierwiastki należące do ODZ są pierwiastkami pierwotnego równania, a te, które nie należą, nie są.
• lub poprzez warunki ODZ (często łatwo jest zapisać warunki definiujące ODZ, ale użycie ich do znalezienia ODZ w postaci zbioru numerycznego jest trudne), te znalezionych pierwiastków, które spełniają wszystkie warunki ODZ są pierwiastkami pierwotnego równania, reszta nie.

Równania irracjonalne sprowadzające się do równości liczbowych

Przejdź do modułów

Jeśli w zapisie irracjonalnego równania pod znakiem pierwiastka parzystego stopnia występuje stopień jakiegoś wyrażenia z wykładnikiem równym wykładnikowi pierwiastka, wówczas możesz przejść do modułu. Przekształcenie to odbywa się na podstawie jednego ze wzorów, gdzie 2·m jest liczbą parzystą, a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Warto zauważyć, że transformacja ta jest równoważną transformacją równania. Rzeczywiście przy takiej transformacji pierwiastek zostaje zastąpiony identycznie równym modułem, podczas gdy ODZ się nie zmienia.

Rozważmy charakterystyczne równanie niewymierne, które można rozwiązać przechodząc do modułu.

Czy zawsze, jeśli to możliwe, warto przejść na moduły? W zdecydowanej większości przypadków takie przejście jest uzasadnione. Wyjątkiem są przypadki, gdy jest oczywiste, że alternatywne metody rozwiązywania irracjonalnego równania wymagają stosunkowo mniej pracy. Weźmy irracjonalne równanie, które można rozwiązać poprzez przejście do modułów i innymi metodami, na przykład podnosząc obie strony równania do kwadratu lub wyznaczając pierwiastek, i zobaczmy, które rozwiązanie będzie najprostsze i najbardziej zwięzłe.

W rozwiązanym przykładzie rozwiązanie polegające na wyznaczeniu pierwiastka wygląda korzystniej: jest krótsze i prostsze zarówno od rozwiązania poprzez przejście do modułu, jak i rozwiązania przez podniesienie do kwadratu obu stron równania. Czy mogliśmy o tym wiedzieć przed rozwiązaniem równania wszystkimi trzema metodami? Nie oszukujmy się, nie było to oczywiste. Jeśli więc rozważasz kilka metod rozwiązania i nie jest od razu jasne, która z nich jest preferowana, powinieneś spróbować znaleźć rozwiązanie za pomocą dowolnej z nich. Jeśli to się sprawdzi, to dobrze. Jeśli wybrana metoda nie daje rezultatów lub rozwiązanie okazuje się bardzo trudne, warto spróbować innej metody.

Na koniec tego punktu powróćmy do irracjonalnego równania. W poprzednim akapicie już to rozwiązaliśmy i widzieliśmy, że próba rozwiązania poprzez wyodrębnienie pierwiastka i podniesienie do kwadratu obu stron równania doprowadziła do równości liczbowej 0=0 i niemożności wyciągnięcia wniosku o pierwiastkach. Rozwiązaniem problemu określenia pierwiastka było rozwiązanie irracjonalnej nierówności, co samo w sobie jest dość trudne. Dobrą metodą rozwiązania tego irracjonalnego równania jest skorzystanie z modułów. Podajmy szczegółowe rozwiązanie.

Transformacja równań niewymiernych

Rozwiązanie równań irracjonalnych prawie nigdy nie jest zakończone bez ich przekształcenia. Zanim zaczniemy studiować równania irracjonalne, znamy już równoważne transformacje równań. Rozwiązując równania irracjonalne, stosuje się je w taki sam sposób, jak przy rozwiązywaniu wcześniej badanych typów równań. Widziałeś przykłady takich przekształceń irracjonalnych równań w poprzednich akapitach i, jak widzisz, zostały one dostrzeżone całkiem naturalnie, ponieważ są nam znane. Powyżej dowiedzieliśmy się także o nowej dla nas transformacji - podniesieniu obu stron równania do tej samej potęgi, co jest typowe dla równań niewymiernych; w ogólnym przypadku nie jest to równoważne. Warto szczegółowo omówić wszystkie te przekształcenia, aby poznać wszystkie subtelne punkty pojawiające się podczas ich realizacji i uniknąć błędów.

Przeanalizujemy przekształcenia równań niewymiernych w następującej kolejności:

1. Zastępowanie wyrażeń identycznie równymi wyrażeniami, które nie zmieniają ODZ.
2. Dodawanie tej samej liczby do obu stron równania lub odejmowanie tej samej liczby od obu stron równania.
3. Dodanie tego samego wyrażenia, które nie zmienia wartości właściwości, do obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia, które nie zmienia wartości właściwości, od obu stron równania.
4. Przenoszenie wyrazów z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku.
5. Mnożenie i dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera.
6. Mnożenie i dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, które nie zmienia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej i nie sprowadza na niej zera.
7. Podnoszenie obu stron równania do tej samej potęgi.

Tak więc zakres pytań jest zarysowany. Zacznijmy je rozumieć od przykładów.

Pierwszą transformacją, która nas interesuje, jest zastąpienie wyrażeń w równaniu identycznymi wyrażeniami. Wiemy, że jest to równoważne, jeżeli VA dla równania otrzymanego w wyniku transformacji jest taka sama jak VA dla równania pierwotnego. Z tego jasno wynika, że ​​istnieją dwie główne przyczyny występowania błędów podczas przeprowadzania tej transformacji: pierwsza to zmiana OD, która następuje w wyniku transformacji, druga to zastąpienie wyrażenia wyrażeniem to nie jest mu dokładnie równe. Rozpatrzmy te aspekty szczegółowo i po kolei, biorąc pod uwagę przykłady typowych przekształceń tego typu.

Na początek omówmy typowe przekształcenia równań, które polegają na zastąpieniu wyrażenia identycznie równym wyrażeniem, które jest zawsze równoważne. Oto odpowiednia lista.

• Zmiana układu terminów i czynników. Transformację tę można przeprowadzić zarówno po lewej, jak i prawej stronie równania niewymiernego. Można go zastosować np. do grupowania, a następnie redukcji podobnych wyrazów w celu uproszczenia postaci równania. Przestawianie terminów lub czynników jest oczywiście równoważną transformacją równania. Jest to zrozumiałe: wyrażenie oryginalne i wyrażenie z przestawionymi terminami lub czynnikami są identycznie równe (o ile oczywiście przegrupowanie zostanie przeprowadzone poprawnie) i oczywiste jest, że taka transformacja nie zmienia ODZ. Podajmy przykład. Po lewej stronie niewymiernego równania w iloczynie x·3·x możesz zamienić pierwszy i drugi współczynnik x i 3, co później pozwoli ci przedstawić wielomian pod pierwiastkiem w postaci standardowej. A po prawej stronie równania w sumie 4+x+5 możesz zamienić wyrazy 4 i x, co w przyszłości umożliwi dodanie liczb 4 i 5. Po tych przekształceniach równanie irracjonalne przybierze postać , otrzymane równanie jest równoważne pierwotnemu.
• Rozwijanie nawiasów. Równoważność tej transformacji równań jest oczywista: wyrażenia przed i po otwarciu nawiasów są jednakowo równe i mają ten sam zakres dopuszczalnych wartości. Weźmy na przykład irracjonalne równanie . Jego rozwiązanie wymaga otwarcia nawiasów. Otwierając nawiasy po lewej stronie równania, a także po prawej stronie równania, dochodzimy do równania równoważnego.
• Grupowanie terminów i/lub czynników. Ta transformacja równania zasadniczo oznacza zastąpienie dowolnego wyrażenia będącego częścią równania identycznie równym wyrażeniem z pogrupowanymi terminami lub czynnikami. Oczywiście nie zmienia to ODZ. Oznacza to, że wskazana transformacja równania jest równoważna. Dla ilustracji weźmy irracjonalne równanie. Zmiana układu terminów (mówiliśmy o tym dwa akapity powyżej) i grupowanie terminów pozwala nam przejść do równoważnego równania. Cel takiego grupowania terminów jest wyraźnie widoczny – przeprowadzenie kolejnej transformacji równoważnej, która umożliwi wprowadzenie nowej zmiennej.
• Ujmując w nawias wspólny czynnik. Jest oczywiste, że wyrażenia przed wyjęciem wspólnego czynnika z nawiasów i po wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów są identyczne. Jasne jest również, że usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów nie zmienia VA. Dlatego usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów w wyrażeniu będącym częścią równania jest równoważną transformacją równania. Transformację tę stosuje się na przykład do przedstawienia lewej strony równania jako iloczynu w celu rozwiązania go przez faktoryzację. Oto konkretny przykład. Rozważmy irracjonalne równanie. Lewą stronę tego równania można przedstawić jako iloczyn; w tym celu należy wyjąć wspólny czynnik z nawiasów. W wyniku tej transformacji otrzymamy równanie niewymierne , równoważny pierwotnemu, który można rozwiązać poprzez faktoryzację.
• Zastępowanie wyrażeń liczbowych ich wartościami. Wiadomo, że jeśli w równaniu znajduje się określone wyrażenie liczbowe i zastąpimy to wyrażenie liczbowe jego wartością (poprawnie obliczoną), to takie podstawienie będzie równoważne. Rzeczywiście, w istocie wyrażenie zostaje zastąpione identycznie równym wyrażeniem, a jednocześnie ODZ równania się nie zmienia. Zatem zastępując irracjonalne równanie sumując dwie liczby -3 i 1 oraz wartość tej sumy, która jest równa -2, otrzymujemy równoważne równanie niewymierne. Podobnie można przeprowadzić równoważną transformację równania irracjonalnego , wykonując operacje na liczbach pod znakiem pierwiastka (1+2=3 i ), ta transformacja doprowadzi nas do równoważnego równania .
• Wykonywanie działań na jednomianach i wielomianach występujących w zapisie równania niewymiernego. Oczywiste jest, że prawidłowe wdrożenie tych działań doprowadzi do równoważnego równania. Rzeczywiście, w tym przypadku wyrażenie zostanie zastąpione identycznym wyrażeniem, a OD nie ulegnie zmianie. Na przykład w irracjonalnym równaniu możesz dodać jednomiany x 2 i 3 x 2 i przejść do równoważnego równania . Inny przykład: odejmowanie wielomianów po lewej stronie równania niewymiernego jest równoważną transformacją prowadzącą do równoważnego równania .

Kontynuujemy rozważania nad transformacjami równań, które polegają na zastąpieniu wyrażeń identycznie równymi wyrażeniami. Takie przekształcenia mogą być również nierówne, ponieważ mogą zmienić ODZ. W szczególności może nastąpić rozbudowa ODZ. Może się to zdarzyć przy redukcji podobnych wyrazów, przy redukcji ułamków, przy zastępowaniu iloczynu kilkoma współczynnikami zerowymi lub ułamka licznikiem równym zero przez zero i najczęściej przy stosowaniu wzorów odpowiadających właściwościom pierwiastków. Nawiasem mówiąc, nieostrożne wykorzystanie właściwości korzeni może również prowadzić do zwężenia ODZ. A jeśli przy rozwiązywaniu równań dopuszczalne są przekształcenia rozszerzające ODZ (mogą powodować pojawienie się obcych pierwiastków, które są w określony sposób eliminowane), to należy zrezygnować z przekształceń zawężających ODZ, gdyż mogą powodować utratę pierwiastków. Zatrzymajmy się nad tymi punktami.

Pierwsze irracjonalne równanie to . Jego rozwiązanie rozpoczyna się od przekształcenia równania do postaci w oparciu o jedną z właściwości stopni. Ta transformacja jest równoważna, ponieważ wyrażenie zostaje zastąpione identycznie równym wyrażeniem, a ODZ się nie zmienia. Ale kolejne przejście do równania, przeprowadzone na podstawie definicji pierwiastka, może już być nierówną transformacją równania, ponieważ przy takiej transformacji ODZ jest rozszerzany. Pokażmy pełne rozwiązanie tego równania.

Drugie równanie niewymierne, dobrze nadające się do zilustrowania, że ​​przekształcenia równań niewymiernych z wykorzystaniem właściwości pierwiastków i definicji pierwiastka mogą być nierówne, ma postać . Dobrze, jeśli nie pozwolisz sobie na rozpoczęcie takiego rozwiązania

Lub tak

Zacznijmy od pierwszego przypadku. Pierwsza transformacja to przejście od pierwotnego równania irracjonalnego do równania polega na zastąpieniu wyrażenia x+3 wyrażeniem . Wyrażenia te są jednakowo równe. Ale przy takim zastąpieniu ODZ zawęża się od zbioru (−∞, −3)∪[−1, +∞) do zbioru [−1, +∞) . I zgodziliśmy się porzucić reformy zawężające DLZ, ponieważ mogą prowadzić do utraty korzeni.

Co jest nie tak w drugim przypadku? Rozbudowa ODZ w okresie ostatniego przejścia z do liczby -3? Nie tylko to. Wielkim niepokojem jest pierwsze przejście od pierwotnego irracjonalnego równania do równania . Istotą tego przejścia jest zastąpienie wyrażenia x+3 wyrażeniem . Ale te wyrażenia nie są jednakowo równe: dla x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , z czego to wynika .

Jak więc rozwiązać to irracjonalne równanie ? Tutaj najlepiej od razu wprowadzić nową zmienną , w tym przypadku (x+3)·(x+1)=t 2. Podajmy szczegółowe rozwiązanie.

Podsumujmy pierwsze z przekształceń analizowanych równań - zastąpienie wyrażenia będącego częścią równania wyrażeniem z nim identycznym. Każdorazowo przy jego realizacji muszą zostać spełnione dwa warunki: po pierwsze, aby wyrażenie zostało zastąpione przez wyrażenie o jednakowej wartości, oraz po drugie, aby nie nastąpiło zawężenie ODZ. Jeżeli takie podstawienie nie powoduje zmiany ODZ, to wynikiem przekształcenia będzie równanie równoważne. Jeśli podczas takiej wymiany ODZ rozszerzy się, mogą pojawić się obce korzenie i należy zachować ostrożność, aby je odfiltrować.

Przejdźmy do drugiego przekształcenia listy - dodania tej samej liczby do obu stron równania i odjęcia tej samej liczby od obu stron równania. Jest to równoważna transformacja równania. Zwykle się do tego uciekamy, gdy po lewej i prawej stronie równania znajdują się identyczne liczby, a odjęcie tych liczb od obu stron równania pozwala nam w przyszłości się ich pozbyć. Na przykład po lewej i prawej stronie irracjonalnego równania istnieje termin 3. Odjęcie trójki od obu stron równania daje równanie, które po wykonaniu manipulacji liczbami przyjmuje postać i dalej uproszczone do . Z wyniku wynika, że ​​omawiana transformacja ma coś wspólnego z przeniesieniem wyrazu z jednej części równania do drugiej o przeciwnym znaku, ale o tym przekształceniu nieco później. Istnieją inne przykłady wykorzystania tej transformacji. Na przykład w irracjonalnym równaniu konieczne jest dodanie liczby 3 do obu stron, aby zorganizować idealny kwadrat po lewej stronie równania i dalej przekształcić równanie w celu wprowadzenia nowej zmiennej.

Uogólnieniem omawianej właśnie transformacji jest dodawanie obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron równania. Ta transformacja równań jest równoważna, gdy ODZ się nie zmienia. Transformację tę przeprowadza się głównie w celu późniejszego pozbycia się identycznych wyrazów, które znajdują się jednocześnie po lewej i prawej stronie równania. Podajmy przykład. Załóżmy, że mamy równanie niewymierne. Jest oczywiste, że istnieje wyraz zarówno po lewej, jak i prawej stronie równania. Rozsądnie jest odjąć to wyrażenie od obu stron równania: . W naszym przypadku takie przejście nie powoduje zmiany ODZ, więc dokonana transformacja jest równoważna. Odbywa się to w celu dalszego przejścia do prostszego irracjonalnego równania.

Następną transformacją równań, którą poruszymy w tym akapicie, jest przeniesienie wyrazów z jednej części równania do drugiej o przeciwnym znaku. Ta transformacja równania jest zawsze równoważna. Zakres jego zastosowania jest dość szeroki. Za jego pomocą można np. wyodrębnić pierwiastek lub zebrać wyrazy podobne w jednej części równania, aby móc je następnie zredukować i tym samym uprościć postać równania. Podajmy przykład. Aby rozwiązać irracjonalne równanie możesz przenieść wyrazy -1 na prawą stronę, zmieniając ich znak, da to równoważne równanie , które można dalej rozwiązać, na przykład podnosząc obie strony równania do kwadratu.

Idziemy dalej ścieżką rozważań o przekształceniach równań polegających na pomnożeniu lub podzieleniu obu stron równania przez tę samą liczbę, różną od zera. Transformacja ta jest równoważną transformacją równania. Mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę służy głównie do przejścia od ułamków do liczb całkowitych. Na przykład tak, że w równaniu irracjonalnym aby pozbyć się ułamków, należy pomnożyć obie części przez 8, co daje równoważne równanie , co dalej sprowadza się do postaci . Podziału obu stron równania dokonuje się głównie w celu redukcji współczynników liczbowych. Na przykład obie strony irracjonalnego równania Wskazane jest dzielenie przez współczynniki liczbowe 18 i 12, czyli przez 6, taki podział daje równoważne równanie , od którego możemy później przejść do równania , który ma mniejsze, ale także całkowite współczynniki.

Następną transformacją równania jest pomnożenie i podzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie. Transformacja ta jest równoważna, gdy wyrażenie, za pomocą którego wykonywane jest mnożenie lub dzielenie, nie zmienia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej i nie sprowadza się do niej do zera. Zazwyczaj mnożenie obu stron równania przez to samo wyrażenie jest podobne do mnożenia obu stron równania przez tę samą liczbę. Najczęściej stosuje się tę transformację, aby pozbyć się ułamków poprzez dalsze przekształcenia. Pokażmy to na przykładzie.

Nie będziemy ignorować równań irracjonalnych, aby je rozwiązać, musimy podzielić obie strony równania przez to samo wyrażenie. Nieco wyżej zauważyliśmy, że taki podział jest równoważną transformacją, jeśli nie wpływa na ODZ i to wyrażenie na ODZ nie zanika. Czasem jednak podziału trzeba dokonać poprzez wyrażenie, które w ODZ znika. Jest to całkiem możliwe, jeśli jednocześnie osobno sprawdzisz zera tego wyrażenia, aby zobaczyć, czy są wśród nich jakieś pierwiastki rozwiązywanego równania, w przeciwnym razie pierwiastki te mogą zostać utracone podczas takiego dzielenia.

Ostatnią transformacją równań niewymiernych, o której porozmawiamy w tym akapicie, jest podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi. Transformację tę można nazwać typową dla równań irracjonalnych, ponieważ praktycznie nie jest stosowana przy rozwiązywaniu równań innych typów. Wspominaliśmy już o tej transformacji w bieżącym artykule, kiedy badaliśmy . Przykładów tej transformacji też jest wiele. Nie będziemy się tu powtarzać, ale przypomnijmy, że w ogólnym przypadku ta transformacja nie jest równoważna. Może to prowadzić do pojawienia się obcych korzeni. Dlatego jeśli podczas procesu rozwiązywania zwróciliśmy się do tej transformacji, wówczas znalezione korzenie należy sprawdzić pod kątem obecności obcych korzeni.

O utracie korzeni

Co może powodować utratę pierwiastków podczas rozwiązywania równania? Główną przyczyną utraty pierwiastków jest transformacja równania, która zawęża OD. Aby zrozumieć ten punkt, spójrzmy na przykład.

Weźmy irracjonalne równanie , które już rozwiązaliśmy w bieżącym artykule. Rozwiązywanie go rozpoczęliśmy od ostrzeżenia przed dokonywaniem kolejnych przekształceń równania

Pierwszą transformacją jest przejście z równania do równania – zawęża ODZ. Rzeczywiście, ODZ dla pierwotnego równania wynosi (−∞, −3)∪[−1, +∞) , a dla otrzymanego równania wynosi [−1, +∞) . Pociąga to za sobą wyłączenie z rozważań przedziału (−∞, −3) i w konsekwencji utratę wszystkich pierwiastków równania z tego przedziału. W naszym przypadku podczas przeprowadzania tej transformacji wszystkie pierwiastki równania zostaną utracone, z czego są dwa i .

Jeśli więc przekształcenie równania doprowadzi do zawężenia OD, to wszystkie pierwiastki równania znajdujące się w części, do której nastąpiło zawężenie, zostaną utracone. Dlatego wzywamy, aby nie uciekać się do reform zawężających DZ. Jednakże jest jedno zastrzeżenie.

Klauzula ta dotyczy przekształceń, w których ODZ jest zawężana o jedną lub więcej liczb. Najbardziej typową transformacją, w której z ODZ wypada kilka pojedynczych liczb, jest dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie. Oczywiste jest, że podczas przeprowadzania takiej transformacji mogą zostać utracone tylko pierwiastki znajdujące się w tym skończonym zbiorze liczb, które wypadają przy zawężaniu ODZ. Jeśli więc osobno sprawdzisz wszystkie liczby w tym zbiorze, czy są wśród nich pierwiastki rozwiązywanego równania, na przykład przez podstawienie, i uwzględnisz znalezione pierwiastki w odpowiedzi, to będziesz mógł wtedy przeprowadzić zamierzoną transformację bez obawy o utratę korzeni. Zilustrujmy to przykładem.

Rozważmy irracjonalne równanie, które również zostało już rozwiązane w poprzednim akapicie. Aby rozwiązać to równanie poprzez wprowadzenie nowej zmiennej, warto najpierw podzielić obie strony równania przez 1+x. Przy takim podziale liczba -1 wypada z ODZ. Podstawienie tej wartości do pierwotnego równania daje niepoprawną równość liczbową (), co oznacza, że ​​-1 nie jest pierwiastkiem równania. Po takim sprawdzeniu można bezpiecznie przeprowadzić zamierzony podział bez obawy o utratę roota.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że najczęściej przy rozwiązywaniu równań niewymiernych dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, a także przekształcenia oparte na właściwościach pierwiastków, prowadzą do zawężenia OD. Dlatego należy zachować szczególną ostrożność podczas przeprowadzania takich przekształceń i nie dopuścić do utraty korzeni.

O korzeniach obcych i metodach ich odsiewania

Rozwiązanie przeważającej liczby równań odbywa się poprzez transformację równań. Pewne przekształcenia mogą prowadzić do równań wynikowych, a wśród rozwiązań równania wtórnego mogą znajdować się pierwiastki obce pierwotnemu równaniu. Obce pierwiastki nie są pierwiastkami pierwotnego równania, dlatego nie powinny pojawiać się w odpowiedzi. Innymi słowy, należy je wyeliminować.

Jeśli więc w łańcuchu przekształceń rozwiązywanego równania znajduje się co najmniej jedno równanie następstwowe, należy zadbać o wykrycie i odfiltrowanie obcych pierwiastków.

Metody wykrywania i przesiewania obcych korzeni zależą od przyczyn powodujących ich potencjalne pojawienie się. Istnieją dwie przyczyny możliwego pojawienia się obcych pierwiastków podczas rozwiązywania irracjonalnych równań: pierwsza to rozwinięcie ODZ w wyniku przekształcenia równania, druga to podniesienie obu stron równania do parzystej potęgi. Spójrzmy na odpowiednie metody.

Zacznijmy od metod odsiewania obcych korzeni, gdy przyczyną ich możliwego pojawienia się jest jedynie ekspansja ODZ. W takim przypadku odsiewanie obcych korzeni odbywa się na jeden z trzech następujących sposobów:

• Według OZ. W tym celu znajduje się ODZ zmiennej dla pierwotnego równania i sprawdza się przynależność znalezionych pierwiastków. Pierwiastki należące do ODZ są pierwiastkami pierwotnego równania, a te, które nie należą do ODZ, są pierwiastkami obcymi pierwotnego równania.
• Przez warunki ODZ. Zapisuje się warunki określające ODZ zmiennej dla pierwotnego równania i po kolei podstawiamy znalezione pierwiastki. Pierwiastki, które spełniają wszystkie warunki, są pierwiastkami, a te, które nie spełniają przynajmniej jednego warunku, są pierwiastkami obcymi pierwotnego równania.
• Poprzez podstawienie do pierwotnego równania (lub do dowolnego równoważnego równania). Znalezione pierwiastki podstawiamy kolejno do pierwotnego równania, pierwiastkami są te z nich, po których podstawieniu równanie zamienia się w poprawną równość liczbową, a te z nich, po podstawieniu których otrzymuje się wyrażenie bez sensu , są obcymi pierwiastkami pierwotnego równania.

Rozwiązując poniższe irracjonalne równanie, odfiltrujmy obce pierwiastki za pomocą każdej ze wskazanych metod, aby uzyskać ogólne pojęcie o każdym z nich.

Oczywiste jest, że nie będziemy za każdym razem identyfikować i usuwać obcych korzeni wszystkimi znanymi metodami. Aby pozbyć się obcych korzeni, w każdym konkretnym przypadku wybierzemy najbardziej odpowiednią metodę. Na przykład w poniższym przykładzie najwygodniej jest odfiltrować obce pierwiastki poprzez warunki ODZ, ponieważ w tych warunkach trudno jest znaleźć ODZ w postaci zbioru liczbowego.

Porozmawiajmy teraz o odsiewaniu obcych pierwiastków, gdy rozwiązywanie irracjonalnego równania odbywa się poprzez podniesienie obu stron równania do parzystej potęgi. Tutaj przesiewanie przez ODZ lub warunki ODZ już nie pomoże, ponieważ nie pozwoli nam wyeliminować obcych pierwiastków, które powstają z innego powodu - z powodu podniesienia obu stron równania do tej samej parzystej potęgi. Dlaczego obce pierwiastki pojawiają się, gdy obie strony równania są podniesione do tej samej parzystej potęgi? Pojawienie się obcych pierwiastków w tym przypadku wynika z faktu, że podniesienie obu części błędnej równości liczbowej do tej samej potęgi parzystej może dać poprawną równość liczbową. Na przykład niepoprawna równość liczbowa 3=−3 po podniesieniu obu stron do kwadratu staje się poprawną równością liczbową 3 2 =(−3) 2, czyli tyle samo, co 9=9.

Ustaliliśmy przyczyny pojawienia się obcych pierwiastków podczas podnoszenia obu stron równania do tej samej potęgi. Pozostaje wskazać, jak w tym przypadku eliminowane są obce korzenie. Przesiewanie przeprowadza się głównie poprzez podstawienie znalezionych pierwiastków potencjalnych do pierwotnego równania lub dowolnego równania mu równoważnego. Pokażmy to na przykładzie.

Warto jednak pamiętać o jeszcze jednej metodzie, która pozwala wyeliminować obce pierwiastki w przypadkach, gdy obie strony irracjonalnego równania z samotnym rodnikiem podnosi się do tej samej parzystej potęgi. Podczas rozwiązywania niewymiernych równań , gdzie 2·k jest liczbą parzystą, podnosząc obie strony równań do tej samej potęgi, można wyeliminować niepotrzebne pierwiastki, spełniając warunek g(x)≥0 (to znaczy faktycznie rozwiązując irracjonalne równanie poprzez określenie źródło). Ta metoda często przychodzi na ratunek, gdy odfiltrowanie obcych pierwiastków poprzez podstawienie okazuje się wymagać skomplikowanych obliczeń. Poniższy przykład jest dobrą ilustracją tego.

Literatura

1. Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. Klasa 11. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
4. Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010.- 368 s.: il.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Matematyka. Podwyższony poziom Unified State Exam-2012 (C1, C3). Testy tematyczne. Równania, nierówności, układy / pod red. F. F. Łysenki, S. Yu. Kulabukhova. - Rostów nad Donem: Legion-M, 2011. - 112 s. - (Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Absolwent 2004. Matematyka. Zbiór problemów przygotowujących do egzaminu Unified State Exam. Część 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Równanie niewymierne to dowolne równanie zawierające funkcję pod znakiem pierwiastka. Na przykład:

Takie równania są zawsze rozwiązywane w 3 krokach:

1. Odizoluj korzeń. Innymi słowy, jeśli na lewo od znaku równości oprócz pierwiastka znajdują się inne liczby lub funkcje, to wszystko należy przesunąć w prawo, zmieniając znak. W takim przypadku po lewej stronie powinien pozostać tylko pierwiastek - bez żadnych współczynników.
2. 2. Podnieś obie strony równania do kwadratu. Jednocześnie pamiętamy, że zakres wartości pierwiastka to wszystkie liczby nieujemne. Dlatego funkcja po prawej stronie irracjonalne równanie musi być również nieujemna: g(x) ≥ 0.
3. Trzeci krok logicznie wynika z drugiego: musisz przeprowadzić kontrolę. Faktem jest, że w drugim kroku moglibyśmy mieć dodatkowe korzenie. A żeby je odciąć, należy podstawić powstałe liczby kandydujące do pierwotnego równania i sprawdzić: czy rzeczywiście otrzymano poprawną równość liczbową?

Rozwiązywanie równania niewymiernego

Przyjrzyjmy się naszemu irracjonalnemu równaniu podanemu na samym początku lekcji. Tutaj pierwiastek jest już izolowany: na lewo od znaku równości nie ma nic oprócz korzenia. Kwadrat po obu stronach:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x ) 2
2x 2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x 2
x 2 - 4x - 12 = 0

Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe poprzez dyskryminator:

re = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Pozostaje tylko zastąpić te liczby pierwotnym równaniem, tj. wykonać kontrolę. Ale nawet tutaj możesz postąpić właściwie, aby uprościć ostateczną decyzję.

Jak uprościć rozwiązanie

Zastanówmy się: po co w ogóle sprawdzamy na końcu rozwiązywania irracjonalnego równania? Chcemy mieć pewność, że gdy podstawimy nasze pierwiastki, po prawej stronie znaku równości będzie liczba nieujemna. Przecież wiemy już na pewno, że po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy (dlatego nasze równanie nazywa się niewymiernym) z definicji nie może być mniejszy od zera.

Dlatego jedyne, co musimy sprawdzić, to to, że funkcja g (x) = 5 − x, która znajduje się na prawo od znaku równości, jest nieujemna:

g(x) ≥ 0

Podstawiamy nasze pierwiastki do tej funkcji i otrzymujemy:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Z uzyskanych wartości wynika, że ​​pierwiastek x 1 = 6 nam nie odpowiada, ponieważ podstawiając prawą stronę pierwotnego równania otrzymujemy liczbę ujemną. Ale pierwiastek x 2 = −2 jest dla nas całkiem odpowiedni, ponieważ:

1. Pierwiastek ten jest rozwiązaniem równania kwadratowego uzyskanego przez podniesienie obu stron irracjonalne równanie w kwadrat.
2. Podstawiając pierwiastek x 2 = −2, prawa strona pierwotnego równania irracjonalnego zamienia się w liczbę dodatnią, tj. zakres wartości pierwiastka arytmetycznego nie jest naruszony.

Oto cały algorytm! Jak widać, rozwiązywanie równań z pierwiastkami nie jest takie trudne. Najważniejsze, aby nie zapomnieć sprawdzić otrzymanych korzeni, w przeciwnym razie istnieje bardzo duże prawdopodobieństwo otrzymania niepotrzebnych odpowiedzi.