Ekvation för ett plan vinkelrätt mot en given vektor. Rak linje

Den här artikeln ger en uppfattning om hur man skapar en ekvation för ett plan som passerar genom en given punkt i tredimensionellt utrymme vinkelrätt mot en given linje. Låt oss analysera den givna algoritmen med hjälp av exemplet på att lösa typiska problem.

Hitta ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt i rymden vinkelrätt mot en given linje

Låt ett tredimensionellt rum och ett rektangulärt koordinatsystem O x y z ges i det. Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), linje a och plan α som går genom punkt M 1 vinkelrätt mot linje a ges också. Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för planet α.

Innan vi börjar lösa detta problem, låt oss komma ihåg geometrisatsen från kursplanen för årskurs 10-11, som säger:

Definition 1

Genom en given punkt i det tredimensionella rummet passerar ett enda plan vinkelrätt mot en given rät linje.

Låt oss nu titta på hur man hittar ekvationen för detta enda plan som passerar genom startpunkten och vinkelrätt mot den givna linjen.

Det är möjligt att skriva ner den allmänna ekvationen för ett plan om koordinaterna för en punkt som hör till detta plan är kända, liksom koordinaterna för planets normalvektor.

Betingelserna för problemet ger oss koordinaterna x 1, y 1, z 1 för punkten M 1 genom vilken planet α passerar. Om vi ​​bestämmer koordinaterna för normalvektorn för planet α, kommer vi att kunna skriva ner den nödvändiga ekvationen.

Normalvektorn för planet α, eftersom den är icke-noll och ligger på linjen a, vinkelrät mot planet α, kommer att vara vilken riktningsvektor som helst för linjen a. Sålunda omvandlas problemet med att hitta koordinaterna för normalvektorn i planet a till problemet att bestämma koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a.

Att bestämma koordinaterna för riktningsvektorn för rät linje a kan utföras med olika metoder: det beror på möjligheten att specificera rät linje a i de initiala förhållandena. Till exempel, om rät linje a i problemformuleringen ges av kanoniska ekvationer av formen

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

eller parametriska ekvationer av formen:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

då kommer riktningsvektorn för den räta linjen att ha koordinaterna a x, a y och a z. I det fall då den räta linjen a representeras av två punkter M 2 (x 2, y 2, z 2) och M 3 (x 3, y 3, z 3), kommer koordinaterna för riktningsvektorn att bestämmas som ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definition 2

Algoritm för att hitta ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt vinkelrät mot en given linje:

Vi bestämmer koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a: a → = (a x, a y, a z) ;

Vi definierar koordinaterna för normalvektorn för planet α som koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a:

n → = (A, B, C), där A = a x, B = a y, C = a z;

Vi skriver ekvationen för planet som går genom punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) och har en normalvektor n → = (A, B, C) i formen A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Detta kommer att vara den erforderliga ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt i rymden och är vinkelrät mot en given linje.

Den resulterande allmänna ekvationen för planet är: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 gör det möjligt att erhålla ekvationen för planet i segment eller normalekvationen för planet.

Låt oss lösa flera exempel med hjälp av algoritmen ovan.

Exempel 1

En punkt M 1 (3, - 4, 5) ges, genom vilken planet passerar, och detta plan är vinkelrät mot koordinatlinjen O z.

Lösning

riktningsvektorn för koordinatlinjen Oz kommer att vara koordinatvektorn k ⇀ = (0, 0, 1). Därför har planets normalvektor koordinater (0, 0, 1). Låt oss skriva ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt M 1 (3, - 4, 5), vars normalvektor har koordinater (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Svar: z – 5 = 0 .

Låt oss överväga ett annat sätt att lösa detta problem:

Exempel 2

Ett plan som är vinkelrätt mot linjen Oz kommer att ges av en ofullständig generell planekvation av formen C z + D = 0, C ≠ 0. Låt oss bestämma värdena för C och D: de där planet passerar genom en given punkt. Låt oss ersätta koordinaterna för denna punkt i ekvationen C z + D = 0, vi får: C · 5 + D = 0. De där. siffror, C och D är relaterade av relationen - D C = 5. Om vi ​​tar C = 1 får vi D = - 5.

Låt oss ersätta dessa värden i ekvationen C z + D = 0 och få den nödvändiga ekvationen för ett plan vinkelrätt mot den räta linjen O z och som går genom punkten M 1 (3, - 4, 5).

Det kommer att se ut så här: z – 5 = 0.

Svar: z – 5 = 0 .

Exempel 3

Skriv en ekvation för ett plan som går genom origo och vinkelrätt mot linjen x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Lösning

Baserat på problemets förutsättningar kan man hävda att riktningsvektorn för en given rät linje kan tas som normalvektorn n → för ett givet plan. Således: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Låt oss skriva ekvationen för ett plan som går genom punkt O (0, 0, 0) och har en normalvektor n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Vi har erhållit den erforderliga ekvationen för ett plan som går genom origo för koordinater vinkelrätt mot en given linje.

Svar:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Exempel 4

Ett rektangulärt koordinatsystem O x y z ges i tredimensionellt utrymme, i det finns två punkter A (2, - 1, - 2) och B (3, - 2, 4). Planet α går genom punkt A vinkelrätt mot linjen A B. Det är nödvändigt att skapa en ekvation för planet α i segment.

Lösning

Planet α är vinkelrät mot linjen A B, då kommer vektorn A B → att vara normalvektorn för planet α. Koordinaterna för denna vektor definieras som skillnaden mellan motsvarande koordinater för punkterna B (3, - 2, 4) och A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Den allmänna ekvationen för planet kommer att skrivas enligt följande:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Låt oss nu komponera den nödvändiga ekvationen för planet i segment:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Svar:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Det bör också noteras att det finns problem vars krav är att skriva en ekvation för ett plan som passerar genom en given punkt och vinkelrätt mot två givna plan. I allmänhet är lösningen på detta problem att konstruera en ekvation för ett plan som passerar genom en given punkt vinkelrät mot en given linje, eftersom två skärande plan definierar en rät linje.

Exempel 5

Ett rektangulärt koordinatsystem O x y z ges, i det finns en punkt M 1 (2, 0, - 5). Ekvationerna för två plan 3 x + 2 y + 1 = 0 och x + 2 z – 1 = 0, som skär längs den räta linjen a, ges också. Det är nödvändigt att skapa en ekvation för ett plan som går genom punkt M 1 vinkelrätt mot den räta linjen a.

Lösning

Låt oss bestämma koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a. Den är vinkelrät mot både normalvektorn n 1 → (3, 2, 0) i n → (1, 0, 2) planet och normalvektorn 3 x + 2 y + 1 = 0 av x + 2 z - 1 = 0 plan.

Sedan, som den riktande vektorn α → linje a, tar vi vektorprodukten av vektorerna n 1 → och n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Således kommer vektorn n → = (4, - 6, - 2) att vara normalvektorn för planet vinkelrätt mot linjen a. Låt oss skriva ner den nödvändiga ekvationen för planet:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Svar: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

För att ett enda plan ska kunna dras genom tre punkter i rymden är det nödvändigt att dessa punkter inte ligger på samma räta linje.

Betrakta punkterna M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) i det allmänna kartesiska koordinatsystemet.

För att en godtycklig punkt M(x, y, z) ska ligga i samma plan med punkterna M 1, M 2, M 3 är det nödvändigt att vektorerna är i samma plan.

(
) = 0

Således,

Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter:

Ekvation för ett plan givet två punkter och en vektor i linje med planet.

Låt punkterna M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) och vektorn ges
.

Låt oss skapa en ekvation för ett plan som går genom de givna punkterna M 1 och M 2 och en godtycklig punkt M (x, y, z) parallell med vektorn .

Vektorer
och vektor
måste vara i samma plan, dvs.

(
) = 0

Planekvation:

Ekvation av ett plan med en punkt och två vektorer,

i linje med planet.

Låt två vektorer ges
Och
, kolinjära plan. Sedan för en godtycklig punkt M(x, y, z) som hör till planet, vektorerna
måste vara i samma plan.

Planekvation:

Ekvation av ett plan med punkt och normalvektor .

Sats. Om en punkt M ges i rymden 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), sedan ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 vinkelrät mot normalvektorn (A, B, C) har formen:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bevis. För en godtycklig punkt M(x, y, z) som hör till planet, komponerar vi en vektor. Därför att vektor är normalvektorn, då är den vinkelrät mot planet, och därför vinkelrät mot vektorn
. Sedan den skalära produkten

= 0

Således får vi planets ekvation

Teoremet är bevisat.

Ekvation för ett plan i segment.

Om i den allmänna ekvationen Ax + Bi + Cz + D = 0 dividerar vi båda sidor med (-D)

,

byter ut
, får vi ekvationen för planet i segment:

Siffrorna a, b, c är skärningspunkterna för planet med x-, y- och z-axlarna.

Ekvation för ett plan i vektorform.

Var

- radievektor för den aktuella punkten M(x, y, z),

En enhetsvektor som har en vinkelrät riktning som faller på ett plan från origo.

,  och  är vinklarna som bildas av denna vektor med x-, y- och z-axlarna.

p är längden på denna vinkelrät.

I koordinater ser denna ekvation ut så här:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Avstånd från en punkt till ett plan.

Avståndet från en godtycklig punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) till planet Ax+By+Cz+D=0 är:

Exempel. Hitta ekvationen för planet, med vetskap om att punkten P(4; -3; 12) är basen för den vinkelräta som tappas från origo till detta plan.

Så A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, vi använder formeln:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för ett plan som går genom två punkter P(2; 0; -1) och

Q(1; -1; 3) vinkelrätt mot planet 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalvektor till planet 3x + 2y – z + 5 = 0
parallellt med det önskade planet.

Vi får:

Exempel. Hitta ekvationen för planet som går genom punkterna A(2, -1, 4) och

B(3, 2, -1) vinkelrätt mot planet X + på + 2z – 3 = 0.

Den nödvändiga ekvationen för planet har formen: A x+B y+C z+ D = 0, normalvektor till detta plan (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tillhör planet. Planet som ges till oss, vinkelrätt mot det önskade, har en normal vektor (1, 1, 2). Därför att Punkterna A och B hör till båda planen, och planen är alltså inbördes vinkelräta

Alltså normalvektorn (11, -7, -2). Därför att punkt A tillhör det önskade planet, då måste dess koordinater uppfylla ekvationen för detta plan, dvs. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Totalt får vi planets ekvation: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för planet, med vetskap om att punkten P(4, -3, 12) är basen för den vinkelräta som tappas från origo till detta plan.

Hitta koordinaterna för normalvektorn
= (4, -3, 12). Den nödvändiga ekvationen för planet har formen: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. För att hitta koefficienten D, ersätter vi koordinaterna för punkt P i ekvationen:

16 + 9 + 144 + D = 0

Totalt får vi den nödvändiga ekvationen: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exempel. Angivna är koordinaterna för pyramidens hörn A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Hitta längden på kanten A 1 A 2.

Hitta vinkeln mellan kanterna A 1 A 2 och A 1 A 4.

Hitta vinkeln mellan kanten A 1 A 4 och ytan A 1 A 2 A 3.

Först hittar vi normalvektorn till ansiktet A 1 A 2 A 3 som en korsprodukt av vektorer
Och
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Låt oss hitta vinkeln mellan normalvektorn och vektorn
.

-4 – 4 = -8.

Den önskade vinkeln  mellan vektorn och planet kommer att vara lika med  = 90 0 - .

Hitta arean av ansikte A 1 A 2 A 3.

Hitta volymen på pyramiden.

Hitta ekvationen för planet A 1 A 2 A 3.

Låt oss använda formeln för ekvationen för ett plan som passerar genom tre punkter.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

När du använder datorversionen " Högre matematikkurs” du kan köra ett program som löser exemplet ovan för alla koordinater för pyramidens hörn.

För att starta programmet, dubbelklicka på ikonen:

I programfönstret som öppnas anger du koordinaterna för pyramidens hörn och trycker på Enter. På så sätt kan alla beslutspunkter erhållas en efter en.

Obs: För att köra programmet måste Maple-programmet ( Waterloo Maple Inc.) av valfri version, som börjar med MapleV Release 4, vara installerat på din dator.

För att få den allmänna ekvationen för ett plan, låt oss analysera planet som passerar genom en given punkt.

Låt det finnas tre koordinataxlar som vi redan känner till i rymden - Oxe, Oj Och Uns. Håll pappersarket så att det förblir plant. Planet kommer att vara själva arket och dess fortsättning i alla riktningar.

Låta P godtyckligt plan i rymden. Varje vektor som är vinkelrät mot den kallas normal vektor till detta plan. Naturligtvis talar vi om en vektor som inte är noll.

Om någon punkt på planet är känd P och någon normal vektor till den, så är planet i rymden helt definierat genom dessa två förhållanden(genom en given punkt kan du rita ett enda plan vinkelrätt mot den givna vektorn). Den allmänna ekvationen för planet kommer att vara:

Så, villkoren som definierar ekvationen för planet är. För att få dig själv plan ekvation, med ovanstående form, ta på planet P slumpmässig punkt M med variabla koordinater x, y, z. Denna punkt tillhör planet endast om vektor vinkelrätt mot vektorn(Figur 1). För detta, enligt villkoret för vinkelräta vektorer, är det nödvändigt och tillräckligt att skalärprodukten av dessa vektorer är lika med noll, dvs.

Vektorn specificeras av villkor. Vi hittar vektorns koordinater med hjälp av formeln :

.

Använd nu skalärprodukten av vektorers formel , uttrycker vi den skalära produkten i koordinatform:

Sedan poängen M(x; y; z) väljs godtyckligt på planet, så är den sista ekvationen uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på planet P. För en poäng N, inte liggande på ett givet plan, dvs. jämställdhet (1) kränks.

Exempel 1. Skriv en ekvation för ett plan som går genom en punkt och vinkelrätt mot vektorn.

Lösning. Låt oss använda formel (1) och titta på den igen:

I denna formel siffrorna A , B Och C vektorkoordinater och siffror x0 , y0 Och z0 - punktens koordinater.

Beräkningarna är mycket enkla: vi ersätter dessa siffror i formeln och får

Vi multiplicerar allt som ska multipliceras och lägger bara till siffror (som inte har bokstäver). Resultat:

.

Den erforderliga ekvationen för planet i detta exempel visade sig uttryckas av en allmän ekvation av första graden med avseende på variabla koordinater x, y, z någon punkt på planet.

Alltså en formekvation

kallad generell planekvation .

Exempel 2. Konstruera i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem ett plan givet av ekvationen .

Lösning. För att konstruera ett plan är det nödvändigt och tillräckligt att känna till vilka tre av dess punkter som helst som inte ligger på samma räta linje, till exempel skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna.

Hur hittar man dessa punkter? För att hitta skärningspunkten med axeln Uns, måste du ersätta nollor för X och Y i ekvationen i problemsatsen: x = y= 0 . Därför får vi z= 6. Således skär det givna planet axeln Uns vid punkten A(0; 0; 6) .

På samma sätt hittar vi skärningspunkten mellan planet och axeln Oj. På x = z= 0 får vi y= −3, det vill säga punkten B(0; −3; 0) .

Och slutligen hittar vi skärningspunkten för vårt plan med axeln Oxe. På y = z= 0 får vi x= 2, det vill säga en punkt C(2; 0; 0). Baserat på de tre punkter som erhållits i vår lösning A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) och C(2; 0; 0) konstruera det givna planet.

Låt oss nu överväga specialfall av den allmänna planekvationen. Dessa är fall då vissa koefficienter i ekvation (2) blir noll.

1. När D= 0 ekvation definierar ett plan som går genom origo, eftersom punktens koordinater 0 (0; 0; 0) uppfyller denna ekvation.

2. När A= 0 ekvation definierar ett plan parallellt med axeln Oxe, eftersom normalvektorn för detta plan är vinkelrät mot axeln Oxe(dess projektion på axeln Oxe lika med noll). Likaså när B= 0 plan parallellt med axeln Oj, och när C= 0 plan parallellt med axeln Uns.

3. När A=D= 0-ekvationen definierar ett plan som passerar genom axeln Oxe eftersom den är parallell med axeln Oxe (A=D= 0). På samma sätt passerar planet genom axeln Oj, och planet genom axeln Uns.

4. När A=B= 0-ekvationen definierar ett plan parallellt med koordinatplanet xOy, eftersom den är parallell med axlarna Oxe (A= 0) och Oj (B= 0). På samma sätt är planet parallellt med planet yOz, och planet är planet xOz.

5. När A=B=D= 0 ekvation (eller z = 0) definierar koordinatplanet xOy eftersom den är parallell med planet xOy (A=B= 0) och passerar genom origo ( D= 0). Likaså, Eq. y= 0 i rymden definierar koordinatplanet xOz, och ekvationen x = 0 - koordinatplan yOz.

Exempel 3. Skapa en ekvation för planet P, som passerar genom axeln Oj och period.

Lösning. Så planet passerar genom axeln Oj. Därför i hennes ekvation y= 0 och denna ekvation har formen . För att bestämma koefficienterna A Och C låt oss dra fördel av det faktum att punkten tillhör planet P .

Därför finns det bland dess koordinater de som kan ersättas i planekvationen som vi redan har härlett (). Låt oss återigen titta på punktens koordinater:

M0 (2; −4; 3) .

Bland dem x = 2 , z= 3 . Vi sätter in dem i den allmänna ekvationen och får ekvationen för vårt specifika fall:

2A + 3C = 0 .

Lämna 2 A på vänster sida av ekvationen, flytta 3 C till höger sida och vi får

A = −1,5C .

Ersätter det hittade värdet A in i ekvationen får vi

eller .

Detta är ekvationen som krävs i exempelvillkoret.

Lös problemet med planekvationen själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4. Definiera ett plan (eller plan, om fler än ett) med avseende på koordinataxlar eller koordinatplan om planet/planen ges av ekvationen.

Lösningar på typiska problem som uppstår under tester finns i läroboken "Problem på ett plan: parallellitet, vinkelräthet, skärning av tre plan vid en punkt."

Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter

Som redan nämnts är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att konstruera ett plan, förutom en punkt och normalvektorn, också tre punkter som inte ligger på samma linje.

Låt tre olika punkter , och , inte ligga på samma linje, ges. Eftersom de angivna tre punkterna inte ligger på samma linje, är vektorerna inte kolinjära, och därför ligger vilken punkt som helst i planet i samma plan med punkterna, och om och endast om vektorerna , och coplanar, dvs. då och bara när blandad produkt av dessa vektorerär lika med noll.

Med hjälp av uttrycket för den blandade produkten i koordinater får vi planets ekvation

(3)

Efter att ha avslöjat determinanten blir denna ekvation en ekvation av formen (2), dvs. planets allmänna ekvation.

Exempel 5. Skriv en ekvation för ett plan som går genom tre givna punkter som inte ligger på samma räta linje:

och bestäm ett specialfall av den allmänna ekvationen för en linje, om någon.

Lösning. Enligt formel (3) har vi:

Normalplanekvation. Avstånd från punkt till plan

Normalekvationen för ett plan är dess ekvation, skriven i formen