Fonksiyon periyodik mi olacak? Bir fonksiyonun periyodikliği nasıl belirlenir
Ek No.7
Belediye eğitim kurumu
3 No'lu Ortaokul
Öğretmen
Korotkova
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
İÇERİK
Giriş……………………………………………………………… 2-3
Periyodik fonksiyonlar ve özellikleri……………. 4-6
Sorunlar…………………………………………………………………… 7-14
giriiş
Eğitimsel ve metodolojik literatürdeki periyodiklik sorunlarının zor bir kaderi olduğunu belirtelim. Bu, tartışmalı kararlara yol açan ve sınavlarda olaylara yol açan periyodik işlevlerin belirlenmesinde belirli ihmallere izin veren garip bir gelenekle açıklanmaktadır.
Örneğin, “Matematik Terimlerinin Açıklayıcı Sözlüğü” - M, 1965 kitabında şu tanım verilmiştir: “periyodik bir fonksiyon bir fonksiyondur
y = f(x), bunun için bir t > 0 sayısı vardır; bu, f(x + t) = f(x) tanım kümesindeki tüm x ve x+t'ler için.
Bu tanımın yanlışlığını gösteren bir karşı örnek verelim. Bu tanıma göre fonksiyon t = 2π periyodunda periyodik olacaktır.
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 Periyodik fonksiyonlarla ilgili genel kabul görmüş bakış açısıyla çelişen sınırlı bir tanım alanına sahiptir.
Yeni alternatif okul ders kitaplarının çoğu benzer sorunlarla karşı karşıyadır.
A.N. Kolmogorov'un ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir: “Bir f fonksiyonunun periyodikliğinden bahsederken, öyle bir T ≠ 0 sayısının olduğuna inanılmaktadır ki, D (f) tanımının alanı, her x noktasıyla birlikte, ayrıca T mesafesinde Ox ekseni boyunca (sağa ve sola) paralel ötelemeyle x'ten elde edilen noktaları da içerir. f fonksiyonuna denir periyodik T ≠ 0 periyodu ile, herhangi bir tanım alanı için bu fonksiyonun x, x – T, x + T noktalarındaki değerleri eşitse, yani. f (x + T) = f (x) = f (x – T).” Ders kitabında ayrıca şöyle yazılmıştır: “Sinüs ve kosinüs tüm sayı doğrusunda tanımlandığından ve Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Herhangi bir x için Cos x, sinüs ve kosinüs periyodu 2π olan bir fonksiyonun periyodudur.”
Bu örnekte bazı nedenlerden dolayı tanımda gerekli koşul kontrol edilmemiştir:
Sin (x – 2π) = Sin x. Sorun ne? Gerçek şu ki, tanımdaki bu koşul gereksizdir. Aslında, eğer T > 0 f(x) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman T de bu fonksiyonun periyodu olacaktır.
M.I. Bashmakov'un "Cebir ve analizin başlangıcı 10-11. Sınıflar" ders kitabından bir tanım daha vermek istiyorum. “Eğer eşitlik sağlanacak şekilde T ≠ 0 sayısı varsa y = f(x) fonksiyonuna periyodik denir.
f(x + T) = f(x), x'in tüm değerleri için aynı şekilde geçerlidir.”
Yukarıdaki tanım, bir fonksiyonun alanı hakkında hiçbir şey söylemez, ancak tanım alanında herhangi bir gerçek x değil, x anlamına gelir. Bu tanım gereği, y = Sin (√x) fonksiyonu periyodik olabilir. 2 , yalnızca x ≥ 0 için tanımlanmış olup bu yanlıştır.
Birleşik Devlet Sınavında periyodiklik görevleri vardır. Bir bilimsel süreli yayın dergisinde, Birleşik Devlet Sınavının C bölümü için bir eğitim oturumu olarak soruna bir çözüm verildi: “y (x) = Sin fonksiyonudur 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periyodik mi?”
Çözüm, y (x – π) = y (x) olduğunu gösteriyor, cevapta fazladan bir giriş var
“T = π” (sonuçta, en küçük pozitif periyodu bulma sorunu gündeme gelmemiştir). Bu sorunu çözmek için karmaşık trigonometri eğitimini yürütmek gerçekten gerekli mi? Sonuçta burada sorunun koşulunun anahtarı olan periyodiklik kavramına odaklanabilirsiniz.
Çözüm.
f1 (x) = Sin x – Т = 2π periyoduna sahip periyodik fonksiyon
f2 (x) = Cos x periyodu T = 2π olan periyodik bir fonksiyondur, bu durumda 2π f fonksiyonlarının periyodudur 3 (x) = Sin (2 + x) ve f 4 (x) = Cos (2 + x), (bu periyodiklik tanımından gelir)
f5 (x) = - 2 Sin 2 = Sabit, periyodu 2π dahil herhangi bir sayıdır.
Çünkü Ortak bir T periyoduna sahip periyodik fonksiyonların toplamı ve çarpımı da T-periyodiktir, bu durumda bu fonksiyon periyodiktir.
Bu çalışmada sunulan materyalin, periyodiklik sorunlarının çözümünde Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya yardımcı olacağını umuyorum.
Periyodik fonksiyonlar ve özellikleri
Tanım: Bir f(t) fonksiyonuna, bu fonksiyonun D tanımının tanım kümesindeki herhangi bir t için periyodik denir. F öyle bir ω ≠ 0 sayısı vardır:
1) sayılar (t ± ω) є D f ;
2) f(t + ω) = f(t).
1. Eğer ω sayısı = f(t) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman kω sayısı, burada k = ±1, ±2, ±3, ... aynı zamanda f(t) fonksiyonunun periyotlarıdır.
ÖRNEK f(t) = Sin t. T = 2π sayısı bu fonksiyonun en küçük pozitif periyodudur. T olsun 1 = 4π. T olduğunu gösterelim 1 aynı zamanda bu fonksiyonun periyodudur.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Yani T 1 – fonksiyonun periyodu f(t) = Sin t.
2. Eğer f(t) – ω fonksiyonu periyodik bir fonksiyon ise, o zaman а є R olan f (аt) ve с'nin keyfi bir sabit olduğu f (t + с) fonksiyonları da periyodiktir.
f(аt) fonksiyonunun periyodunu bulalım.
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а))), yani. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Bu nedenle f(аt) – ω fonksiyonunun periyodu 1 = ω/a.
Örnek 1. y = Sin t/2 fonksiyonunun periyodunu bulun.
Örnek 2. y = Sin (t + π/3) fonksiyonunun periyodunu bulun.
f(t) = Sin t olsun; y 0 = Sin (t 0 + π/3).
O zaman f(t) = Sin t fonksiyonu aynı değeri alacaktır. t = t 0 + π/3'te 0.
Onlar. y fonksiyonunun aldığı tüm değerler f(t) fonksiyonu tarafından da alınır. Eğer t zaman olarak yorumlanırsa, y'nin her değeri 0 y = Sin (t + π/3) fonksiyonu, f(t) fonksiyonundan π/3 zaman birimi daha erken kabul edilir ve π/3 kadar sola kaydırılır. Açıkçası, bundan dolayı fonksiyonun periyodu değişmeyecektir, yani. T y = T 1.
3. F(x) bir fonksiyonsa ve f(t) periyodik bir fonksiyonsa ve f(t), F(x) – D fonksiyonunun tanım bölgesine aitse F ise F(f(t)) fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur.
F(f(t)) = φ olsun.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) herhangi bir t є D için F.
ÖRNEK Fonksiyonu periyodiklik açısından inceleyin: F(x) = ℓ sinx.
Bu fonksiyonun etki alanı D F R gerçel sayılar kümesiyle çakışır. f (x) = Sin x.
Bu fonksiyonun değer kümesi [-1; 1]. Çünkü bölüm [-1; 1] D'ye aittir F ise F(x) fonksiyonu periyodiktir.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – bu fonksiyonun periyodu.
4. f 1 (t) ve f 2 fonksiyonları ise (t) sırasıyla periyodik, ω periyotlu 1 ve ω 2 ve ω 1 /ω 2 = r, burada r bir rasyonel sayıdır, bu durumda işlevler
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) ve f 1 (t) f 2 (t) periyodiktir (C 1 ve C2 sabittir).
Not: 1) Eğer r = ω ise 1 /ω 2 = p/q, çünkü r rasyonel bir sayıdır, o halde
ω 1 q = ω 2 p = ω, burada ω, ω'nin en küçük ortak katıdır 1 ve ω 2 (NOC).
C fonksiyonunu düşünün 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Aslında, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) - bu fonksiyonun periyodu
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (T) .
2) ω – fonksiyon periyodu f 1 (t) f 2 (t), çünkü
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Tanım: f olsun 1 (t) ve f (t) sırasıyla ω periyotlu periyodik fonksiyonlardır 1 ve ω 2 ise iki periyodun orantılı olduğu söylenir.ω 1 /ω 2 = r rasyonel bir sayıdır.
3) Eğer periyotlar ω 1 ve ω 2 ise karşılaştırılabilir değilse, f fonksiyonları 1 (t) + f 2 (t) ve
f 1 (t) f 2 (t) periyodik değildir. Yani eğer f 1 (t) ve f2 (t) sabitten farklı, periyodik, sürekli, periyotları orantılı değil ise f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) periyodik değildir.
4) f(t) = C olsun, burada C keyfi bir sabittir. Bu fonksiyon periyodiktir. Periyodu herhangi bir rasyonel sayıdır, yani en küçük pozitif periyoda sahip değildir.
5) Bu ifade aynı zamanda daha fazla sayıda fonksiyon için de doğrudur.
Örnek 1. Fonksiyonun periyodikliğini araştırın
F(x) = Sin x + Cos x.
Çözüm. f 1 (x) = Sin x olsun, o zaman ω 1 = 2πk, burada k є Z.
T1 = 2π – en küçük pozitif periyot.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Oran T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – rasyonel sayı, yani. fonksiyonların periyotları f 1 (x) ve f2 (x) orantılıdır. Bu, bu fonksiyonun periyodik olduğu anlamına gelir. Periyodunu bulalım. Periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği elimizde
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, dolayısıyla,
Sin Т/2 = 0, sonra Т = 2πk.
Çünkü (х ± 2πk) є D f , burada f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x) ise, f(x) fonksiyonu en küçük pozitif periyodu 2π olan periyodiktir.
Örnek 2. f(x) = Cos 2x · Sin x fonksiyonu periyodik midir, periyodu nedir?
Çözüm. f 1 (x) = Cos 2x olsun, o zaman T 1 = 2π: 2 = π (bkz. 2)
f 2 (x) = Sin x olsun, o zaman T 2 = 2π. Çünkü π/2π = ½ rasyonel bir sayı ise bu fonksiyon periyodiktir. Periyodu T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Yani bu fonksiyon 2π periyoduyla periyodiktir.
5. Bir sabite tam olarak eşit olmayan f(t) fonksiyonunun sürekli ve periyodik olduğunu varsayalım, bu durumda en küçük pozitif periyodu ω olur. 0 , ω'sinin diğer herhangi bir periyodu şu şekildedir: ω= kω 0 , burada k є Z.
Not: 1) Bu özellikte iki şart çok önemlidir:
f(t) süreklidir, f(t) ≠ C, burada C bir sabittir.
2) Aksi ifade doğru değildir. Yani, eğer bütün periyotlar karşılaştırılabilirse, bundan en küçük pozitif periyodun olduğu sonucu çıkmaz. Onlar. periyodik bir fonksiyon en küçük pozitif periyoda sahip olmayabilir.
Örnek 1. f(t) = C, periyodik. Periyodu herhangi bir gerçek sayıdır; en küçük periyot yoktur.
Örnek 2. Dirichlet işlevi:
D(x) =
Herhangi bir rasyonel sayının periyodu vardır; en küçük pozitif periyot yoktur.
6. Eğer f(t) sürekli bir periyodik fonksiyon ise ve ω 0 en küçük pozitif periyodu ise f(αt + β) fonksiyonu en küçük pozitif periyoda ω sahiptir 0 //α/. Bu ifade 2. paragraftan gelmektedir.
Örnek 1. y = Sin (2x – 5) fonksiyonunun periyodunu bulun.
Çözüm. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)).
Y fonksiyonunun grafiği, Sin x fonksiyonunun grafiğinden önce iki kat “sıkıştırılarak”, ardından 2,5 oranında sağa “kaydırılarak” elde edilir. “Kayma periyodikliği etkilemez, T = π bu fonksiyonun periyodudur.
6. adımın özelliğini kullanarak bu fonksiyonun periyodunu elde etmek kolaydır:
Т = 2π/2 = π.
7. Eğer f(t) – ω periyodik bir fonksiyonsa ve f"(t) sürekli türevine sahipse, o zaman f"(t) de periyodik bir fonksiyondur, Т = ω
Örnek 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Türevi f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Örnek 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Türevi
F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.
Örnek 3. f(t) =tg t, periyodu T = πk.
F"(t) = 1/Cos2 t aynı zamanda adım 7'nin özelliği gereği periyodiktir ve T = πk periyoduna sahiptir. En küçük pozitif periyodu T = π'dir.
GÖREVLER.
№ 1
f(t) = Sin t + Sin πt fonksiyonu periyodik midir?
Çözüm. Karşılaştırma için bu sorunu iki şekilde çözüyoruz.
İlk olarak, periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği. f(t)'nin periyodik olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir t є D için elimizde:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Çünkü bu herhangi bir t є D için doğrudur F , o zaman özellikle t için 0 , burada son eşitliğin sol tarafı sıfır olur.
O zaman elimizde: 1) Çünkü 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. T'ye göre çözümleyelim.
T = 2 πk'de Sin Т/2 = 0, burada k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. T'ye göre çözümleyelim.
Sin πТ/2 = 0, bu durumda Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, burada n є Z.
Çünkü bir kimliğimiz varsa, o zaman 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k olamaz, çünkü π irrasyonel bir sayıdır ve n/ k rasyonel bir sayıdır. Yani f(t) fonksiyonunun periyodik olduğu yönündeki varsayımımız yanlıştı.
İkinci olarak, periyodik fonksiyonların yukarıdaki özelliklerini kullanırsanız çözüm çok daha basittir:
f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π olsun; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. O halde T 1 / T 2 = 2π/2 = π irrasyonel bir sayıdır, yani. dönemler T 1, T 2 orantılı değildir, yani f(t) periyodik değildir.
Cevap: hayır.
№ 2
Eğer α irrasyonel bir sayı ise fonksiyonun
F(t) = Cos t + Cos αt
periyodik değildir.
Çözüm. f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt olsun.
Daha sonra periyotları sırasıyla T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - en küçük pozitif periyotlar. Haydi bulalım, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ irrasyonel bir sayıdır. Yani T 1 ve T2 kıyaslanamaz ve işlev
f(t) periyodik değildir.
№ 3
f(t) = Sin 5t fonksiyonunun en küçük pozitif periyodunu bulun.
Çözüm. Özellik öğesi 2'ye göre elimizde:
f(t) – periyodik; T = 2π/5.
Cevap: 2π/5.
№ 4
F(x) = arccos x + arcsin x fonksiyonu periyodik midir?
Çözüm. Bu fonksiyonu ele alalım
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
onlar. F(x) periyodik bir fonksiyondur (bkz. paragraf 5'in özelliği, örnek 1).
Cevap: evet.
№ 5
Fonksiyon periyodik mi?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
çözüm. f 1 (x) = Sin 2x olsun, o zaman T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, bu durumda T 2 = 2π/4 = π/2;
F3(x) = 5, T3 – herhangi bir gerçek sayı, özellikle T 3 T'ye eşit olduğunu varsayabiliriz 1 veya T 2 . O halde bu fonksiyonun periyodu T = LCM (π, π/2) = π. Yani f(x), T = π periyoduyla periyodiktir.
Cevap: evet.
№ 6
f(x) = x – E(x) fonksiyonu periyodik midir, burada E(x), x argümanını verilen sayıyı aşmayan en küçük tamsayıya atayan bir fonksiyondur.
Çözüm. Genellikle f(x) fonksiyonu (x) ile gösterilir - x sayısının kesirli kısmı, yani.
F(x) = (x) = x – E(x).
f(x) periyodik bir fonksiyon olsun; x – E(x) = x + T – E(x + T) olacak şekilde bir T > 0 sayısı vardır. Bu eşitliği yazalım.
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – D alanındaki herhangi bir x için doğru F, şartıyla T ≠ 0 ve T є Z. Bunlardan en küçük pozitif olanı T = 1'dir, yani. T =1 öyle ki
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Ayrıca (x ± Tk) є D f, burada k є Z.
Cevap: Bu fonksiyon periyodiktir.
№ 7
f(x) = Sin x fonksiyonu periyodik midir? 2 .
Çözüm. f(x) = Sin x olduğunu varsayalım. 2 periyodik fonksiyon. O halde, periyodik bir fonksiyonun tanımına göre, şöyle bir T ≠ 0 sayısı vardır: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 herhangi bir x є D f için.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2/2 Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0 ise
Cos x 2 + (x+T) 2/2 = 0 veya Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0.
İlk denklemi düşünün:
Çünkü x 2 + (x+T) 2/2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
İkinci denklemi düşünün:
Sin x 2 -(x+T) 2/2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
Т = √х 2 - 2πk – x. (2)
(1) ve (2) ifadelerinden, T'nin bulunan değerlerinin x'e bağlı olduğu açıktır, yani. öyle bir T>0 yok ki
Sin x 2 = Sin (x+T) 2
Bu fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için. f(x) periyodik değildir.
Cevap: hayır
№ 8
Periyodiklik açısından f(x) = Cos fonksiyonunu inceleyin 2 kere.
Çözüm. f(x)'i çift açılı kosinüs formülünü kullanarak temsil edelim
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
f 1 (x) = ½ olsun, o zaman T 1 – herhangi bir gerçek sayı olabilir; F 2 (x) = ½ Cos 2x periyodik bir fonksiyondur çünkü ortak T periyoduna sahip iki periyodik fonksiyonun çarpımı 2 = π. O zaman bu fonksiyonun en küçük pozitif periyodu
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Yani, f(x) = Cos fonksiyonu 2 x – π – periyodik.
Cevap: π periyodiktir.
№ 9
Periyodik bir fonksiyonun tanım kümesi şu şekilde olabilir mi?
A) yarım çizgi [a, ∞),
B) bölüm?
Çözüm. Hayır çünkü
A) periyodik bir fonksiyonun tanımı gereği, eğer x є D f, o zaman x ± ω da
Fonksiyonun etki alanına ait olmalıdır. x = a olsun, o zaman
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) x = 1 olsun, sonra x 1 = (1 + T)є .
№ 10
Periyodik bir fonksiyon şu şekilde olabilir mi:
A) kesinlikle monoton;
B) çift;
C) bile mi?
Çözüm. a) f(x) periyodik bir fonksiyon olsun; D fonksiyonlarının tanım bölgesinden herhangi bir x için Т≠0 vardır. f neden
(x ±T) є D f ve f (x±T) = f(x).
Herhangi bir x'i düzeltelim 0 є D f , Çünkü f(x) periyodiktir, o halde (x) 0 +T) є D f ve f(x 0) = f(x 0 +T).
F(x)'in kesinlikle monoton olduğunu ve D tanımının tüm alanı boyunca olduğunu varsayalım. F örneğin artar. O zaman herhangi bir x için artan bir fonksiyonun tanımı gereği 1 ve x2 D tanımının alanından F eşitsizlikten x 1 2'den f(x 1) sonucu çıkar 2 ). Özellikle x koşulundan 0 0 + T, bundan şu sonuç çıkıyor
F(x0) 0 +T), bu durumla çelişiyor.
Bu, periyodik bir fonksiyonun kesinlikle monoton olamayacağı anlamına gelir.
b) Evet, periyodik bir fonksiyon çift olabilir. Birkaç örnek verelim.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) çift periyodik bir fonksiyondur.
x rasyonel bir sayı ise 0;
D(x) =
x irrasyonel bir sayı ise 1
D(x) = D(-x), D(x) fonksiyonunun tanım bölgesi simetriktir.
Direchlet fonksiyonu D(x) çift periyodik bir fonksiyondur.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Bu fonksiyon eşit değildir.
c) Periyodik bir fonksiyon tek olabilir.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) tek bir periyodik fonksiyondur.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – tek ve periyodik.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) tek değil.
f(x) = tan x – tek periyodik fonksiyon.
Cevap: hayır; Evet; Evet.
№ 11
Periyodik bir fonksiyonda kaç tane sıfır olabilir:
1) ; 2) tüm sayısal eksende, eğer fonksiyonun periyodu T'ye eşitse?
Çözüm: 1. a) [a, b] doğru parçası üzerinde periyodik bir fonksiyonun sıfırları olmayabilir, örneğin f(x) = C, C≠0; f(x) = Çünkü x + 2.
b) [a, b] aralığında periyodik bir fonksiyon sonsuz sayıda sıfıra sahip olabilir, örneğin Direchlet fonksiyonu
0 eğer x rasyonel bir sayı ise,
D(x) =
x irrasyonel bir sayı ise 1
c) [a, b] aralığında, periyodik bir fonksiyon sonlu sayıda sıfıra sahip olabilir. Bu sayıyı bulalım.
Fonksiyonun periyodu T olsun. Haydi belirtelim
X 0 = (min x є(a,b), öyle ki f(x) = 0).
O zaman [a, b] segmentindeki sıfırların sayısı: N = 1 + E (c-x 0 /T).
Örnek 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – T = π periyoduna sahip periyodik fonksiyon; X 0 = -π/2; daha sonra belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun sıfır sayısı
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Örnek 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – periyodik fonksiyon, T + 1,
x 0 = -2. O halde f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki sıfır sayısı
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Örnek 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
O zaman bu fonksiyonun belirli bir aralıktaki sıfır sayısı
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Sonsuz sayıda sıfır, çünkü X 0 є D f ve f(x 0 ) = 0 ise tüm sayılar için
Х 0 +Тk, burada k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0 ve x formundaki noktalar 0 ± Tk sonsuz bir kümedir;
b) sıfır içermemelidir; eğer f(x) periyodikse ve herhangi biri için
x є D f fonksiyon f(x) >0 veya f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Periyodik olmayan fonksiyonların toplamı periyodik olabilir mi?
Çözüm. Evet belki. Örneğin:
- f1 (x) = x – periyodik olmayan, f 2 (x) = E(x) – periyodik olmayan
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periyodik.
- f1 (x) = x – periyodik değil, f(x) = Sin x + x – periyodik değil
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periyodik.
Cevap: evet.
№ 13
f(x) ve φ(x) fonksiyonu T periyotlu periyodiktir 1 ve T2 sırasıyla. Ürünleri her zaman periyodik bir fonksiyon mudur?
Çözüm. Hayır, yalnızca T olduğunda 1 ve T2 – karşılaştırılabilir. Örneğin,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; sonra T 1 / T 2 = 2π/2 = π irrasyonel bir sayıdır, yani f(x) periyodik değildir.
f(x) = (x) Çünkü x = (x – E(x)) Çünkü x. F olsun 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, bu da f(x)'in periyodik olmadığı anlamına gelir.
Cevap: Hayır.
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
Fonksiyonlardan hangisi periyodiktir, periyodunu bulunuz?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, eğer n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
f(x) – T periyodik bir fonksiyon olsun. Fonksiyonlardan hangileri periyodiktir (T'yi bulun)?
- φ(x) = f(x + λ) – periyodik, çünkü Ox ekseni boyunca “kayma” ω'yı etkilemez; periyodu ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – periyodu ω = T olan periyodik fonksiyon.
- φ(х) = f(kh) – ω = T/k periyoduna sahip periyodik fonksiyon.
- φ(x) = f(ax + b), periyodu ω = T/a olan periyodik bir fonksiyondur.
- φ(x) = f(√x) periyodik değildir çünkü tanım alanı Dφ = (x/x ≥ 0) ve periyodik bir fonksiyonun yarı eksen tarafından tanımlanan bir etki alanı olamaz.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) periyodik bir fonksiyondur, çünkü
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- f(x) + c'de φ(x) = a f 2 (x) +.
φ 1 (x) = a f 2 olsun (x) – periyodik, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = f(x) cinsinden – periyodik, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periyodik, ω 3 – herhangi bir sayı;
bu durumda ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) periyodiktir.
Aksi halde çünkü bu fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamı, ardından f – E fonksiyonunun değerler kümesidir f є D φ , bu fonksiyon anlamına gelir
φ(x) periyodiktir ve ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – ω = T periyoduyla periyodik, çünkü herhangi bir x için f(x) fonksiyonu f(x) ≥ 0 değerlerini alır, yani. onun değer kümesi E f є D φ , burada
Dφ – φ(z) = √z fonksiyonunun tanım alanı.
№ 15
Fonksiyon f(x) = x midir? 2 periyodik?
Çözüm. x ≥ 0 olduğunu düşünürsek, f(x) için ters bir √x fonksiyonu vardır, bu da f(x)'in bu aralıkta monoton bir fonksiyon olduğu ve bu durumda periyodik olamayacağı anlamına gelir (bkz. No. 10).
№ 16
Verilen bir polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
P(x) periyodik bir fonksiyon mudur?
Çözüm. 1. Eğer özdeşlik bir sabite eşitse P(x) periyodik bir fonksiyondur; Eğer bir i = 0, burada i ≥ 1.
2. P(x) ≠ с olsun, burada с bir sabittir. Diyelim ki P(x) periyodik bir fonksiyondur ve P(x)'in gerçel kökleri olsun, o zaman P(x) periyodik bir fonksiyon olduğundan sonsuz sayıda olması gerekir. Cebirin temel teoremine göre sayıları k, k ≤ n olacak şekildedir. Bu, P(x)'in periyodik bir fonksiyon olmadığı anlamına gelir.
3. P(x) sıfırdan farklı bir polinom olsun ve gerçek kökleri yoktur. Diyelim ki P(x) periyodik bir fonksiyondur. q(x) = a polinomunu tanıtalım 0 q(x) periyodik bir fonksiyondur. P(x) - q(x) = a farkını düşünün 1 x 2 + … +a n x n.
Çünkü Eşitliğin sol tarafında bir periyodik fonksiyon var, o halde sağ taraftaki fonksiyon da periyodiktir ve en az bir reel kökü vardır, x = 0. Çünkü Fonksiyon periyodik ise sonsuz sayıda sıfır bulunmalıdır. Bir çelişki yaşadık.
P(x) periyodik bir fonksiyon değildir.
№ 17
f(t) – T – periyodik bir fonksiyon verildiğinde. f fonksiyonu(t)'ye, nereye
k є Z, periyodik bir fonksiyon, periyotları nasıl ilişkilidir?
Çözüm. İspatı matematiksel fonksiyon yöntemini kullanarak gerçekleştireceğiz. İzin vermek
f 1 = f(t), o zaman f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 4. adımın özelliğine göre periyodik bir fonksiyondur.
………………………………………………………………………….
f k-1 = f k-1 olsun (t) – periyodik fonksiyon ve periyodu T k-1 T dönemiyle karşılaştırılabilir. Son eşitliğin her iki tarafını f(t) ile çarparak f elde ederiz k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t), 4. adımın özelliğine göre periyodik bir fonksiyondur. ω ≤ T.
№ 18
f(x) üzerinde tanımlanan keyfi bir fonksiyon olsun. f((x)) fonksiyonu periyodik midir?
Cevap: evet çünkü (x) fonksiyonunun değerler kümesi, f(x) fonksiyonunun tanım alanına aittir, bu durumda 3. maddenin özelliği gereği f((x)) periyodik bir fonksiyondur, periyodu ω = T = 1 .
№ 19
F(x), [-1'de tanımlanan keyfi bir fonksiyondur; 1], f(sinx) fonksiyonu periyodik midir?
Cevap: evet, periyodu ω = Т = 2π'dir (No. 18'e benzer kanıt).
Doğal olayları incelerken ve teknik sorunları çözerken, özel tipte işlevlerle tanımlanabilecek periyodik süreçlerle karşılaşırız.
D tanım kümesine sahip bir y = f(x) fonksiyonuna, aşağıdaki iki koşulu sağlayacak şekilde en az bir T > 0 sayısı varsa periyodik denir:
1) x + T, x − T noktaları herhangi bir x ∈ D için D tanımının alanına aittir;
2) D'den gelen her x için aşağıdaki ilişki geçerlidir:
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
T sayısına f(x) fonksiyonunun periyodu denir. Başka bir deyişle periyodik fonksiyon, değerleri belirli bir aralıktan sonra tekrar eden bir fonksiyondur. Örneğin, y = sin x fonksiyonu 2π periyoduyla periyodiktir (Şekil 1).
Eğer T sayısı f(x) fonksiyonunun periyodu ise, o zaman 2T sayısının da onun periyodu olacağını unutmayın; ayrıca 3T ve 4T vb., yani periyodik bir fonksiyonun sonsuz sayıda farklı periyodu vardır. Aralarında en küçüğü varsa (sıfıra eşit değilse), fonksiyonun diğer tüm periyotları bu sayının katlarıdır. Her periyodik fonksiyonun bu kadar küçük bir pozitif periyoda sahip olmadığını unutmayın; örneğin f(x)=1 fonksiyonunun böyle bir periyodu yoktur. Örneğin, aynı en küçük pozitif periyoda (T0) sahip iki periyodik fonksiyonun toplamının mutlaka aynı pozitif periyoda sahip olmayabileceğini akılda tutmak önemlidir. Dolayısıyla, f(x) = sin x ve g(x) = −sin x fonksiyonlarının toplamı hiçbir şekilde en küçük pozitif periyoda sahip değildir ve f(x) = sin x + sin 2x ve fonksiyonlarının toplamı En küçük periyotları 2π'ye eşit olan g(x) = −sin x, en küçük pozitif periyodu π'ye eşittir.
İki fonksiyonun f(x) ve g(x) periyotlarının oranı rasyonel bir sayı ise bu fonksiyonların toplamı ve çarpımı da periyodik fonksiyonlar olacaktır. Her yerde tanımlı ve sürekli fonksiyonlar f ve g'nin periyotlarının oranı irrasyonel bir sayı ise, o zaman f + g ve fg fonksiyonları zaten periyodik olmayan fonksiyonlar olacaktır. Yani, örneğin, cos x sin √2 x ve cosj √2 x + sin x fonksiyonları periyodik değildir, ancak sin x ve cos x fonksiyonları 2π periyoduyla periyodiktir, sin √2 x ve cos fonksiyonları ise periyodik değildir. √2 x periyodiktir ve √2 π periyoduna sahiptir.
Eğer f(x) periyodu T olan periyodik bir fonksiyon ise, o zaman karmaşık fonksiyon (tabii ki mantıklıysa) F(f(x)) de periyodik bir fonksiyondur ve T sayısı onun işlevi görecektir. dönem. Örneğin, y = sin 2 x, y = √(cos x) (Şekil 2.3) fonksiyonları periyodik fonksiyonlardır (burada: F 1 (z) = z 2 ve F 2 (z) = √z). Bununla birlikte, eğer f(x) fonksiyonu en küçük pozitif periyoda (T 0) sahipse, o zaman F(f(x)) fonksiyonunun da aynı en küçük pozitif periyoda sahip olacağı düşünülmemelidir; örneğin, y = sin 2 x fonksiyonu en küçük pozitif periyoda sahiptir; f(x) = sin x fonksiyonundan 2 kat daha azdır (Şekil 2).
Bir f fonksiyonunun T periyodu ile periyodik olması, gerçel doğrunun her noktasında tanımlı ve türevi olması durumunda, f"(x) fonksiyonunun (türev) aynı zamanda T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon olduğunu, ancak ters türevinin olduğunu göstermek kolaydır. f(x) için F(x) fonksiyonu (bkz. İntegral hesabı), ancak şu durumda periyodik bir fonksiyon olacaktır:
F(T) − F(0) = T ö ∫ f(x) dx = 0.
Değerlerini düzenli bir argüman aralığında tekrarlamak, yani argümana sıfırdan farklı sabit bir sayı eklerken değerini değiştirmemek ( dönem işlevler) tanımın tüm alanı boyunca.
Daha resmi olarak konuşursak, fonksiyona periyotlu periyodik denir. T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), eğer her nokta için x (\displaystyle x) noktanın tanım alanından x + T (\displaystyle x+T) Ve x − T (\displaystyle x-T) aynı zamanda tanım alanına da aittir ve onlar için eşitlik f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Tanıma göre eşitlik periyodik bir fonksiyon için de geçerlidir. f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Nerede n (\displaystyle n)- herhangi bir tamsayı.
Ancak bir dizi dönem varsa ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) en küçük bir değer varsa buna denir ana (veya ana) dönem işlevler.
Örnekler
Günah (x + 2 π) = günah x, çünkü (x + 2 π) = çünkü x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)
- Dirichlet işlevi periyodiktir; periyodu sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayıdır. Ayrıca bir ana dönemi de yoktur.
Periyodik fonksiyonların bazı özellikleri
Ve T 2 (\displaystyle T_(2))(ancak bu sayı yalnızca bir nokta olacaktır). Örneğin, fonksiyon f (x) = günah (2 x) − günah (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) asıl dönem 2 π (\displaystyle 2\pi ), fonksiyonda g (x) = günah (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) periyot eşittir 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3) ve bunların toplamı f (x) + g (x) = günah (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) ana periyot açıkça eşittir π (\displaystyle \pi ).- Periyotları karşılaştırılamayan iki fonksiyonun toplamı her zaman periyodik olmayan bir fonksiyon değildir.
Normal okul görevlerinde periyodikliği kanıtlamak bir veya başka bir fonksiyonun kullanılması genellikle zor değildir: bu nedenle, $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ fonksiyonunun periyodik olduğundan emin olmak için $T=4\times7\ çarpımına dikkat etmek yeterlidir. çarpı 2\pi$ onun dönemidir: T sayısını x'e eklersek, bu çarpım her iki paydayı da "yiyecek" ve sinüs işaretinin altında yalnızca $2\pi$'ın tamsayı katları gereksiz olacaktır, bu " sinüsün kendisi tarafından yemiş.
Ancak periyodik olmamanın kanıtı Tanım gereği bir veya başka bir fonksiyonun doğrudan kullanılması hiç de basit olmayabilir. Dolayısıyla, yukarıda ele alınan $y=\sin x^2$ fonksiyonunun periyodik olmadığını kanıtlamak için $sin(x+T)^2=\sin x^2$ eşitliğini yazabilirsiniz, ancak çözemezsiniz Bu trigonometrik denklemi alışkanlıktan çıkardık, ancak tahmin edin ve onu x=0 ile değiştirin, bundan sonra neredeyse otomatik olarak aşağıdakiler gerçekleşecektir: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, burada k 0'dan büyük bir tamsayı, yani $T=\sqrt (k\pi)$ ve eğer şimdi bunun içine $x=\sqrt (\pi)$ koyacağımızı tahmin edersek, $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( olduğu ortaya çıkar) k\ pi))=0$, dolayısıyla $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$ ve dolayısıyla p sayısı $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$ denkleminin köküdür, yani. cebirseldir ama bu doğru değildir: $\pi$ bildiğimiz gibi aşkındır, yani. tamsayı katsayılı herhangi bir cebirsel denklemin kökü değildir. Ancak gelecekte bu ifadenin çok daha basit bir kanıtını alacağız - ancak bunu matematiksel analizin yardımıyla yapacağız.
Fonksiyonların periyodik olmadığını kanıtlarken, temel bir mantıksal numara genellikle yardımcı olur: tüm periyodik fonksiyonların bir özelliği varsa, ancak belirli bir fonksiyon bu özelliğe sahip değilse, o zaman doğal olarak periyodik değil. Dolayısıyla, periyodik bir fonksiyon herhangi bir değeri sonsuz sayıda alır ve bu nedenle, örneğin $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ fonksiyonu periyodik değildir, çünkü değer 7'dir, yalnızca iki noktada kabul eder. Çoğu zaman, periyodik olmadığını kanıtlamak için, onun özelliklerini kullanmak uygundur. tanım alanı ve periyodik fonksiyonların istenen özelliğini bulmak için bazen biraz hayal gücü göstermeniz gerekir.
Şunu da belirtelim ki, periyodik olmayan bir fonksiyonun ne olduğu sorulduğunda sıklıkla yukarıda bahsettiğimiz tarzda bir cevap duyulur. çift ve tek fonksiyonlar, $f(x+T)\neq f(x)$ olduğunda ki bu elbette kabul edilemez.
Ve doğru cevap, periyodik bir fonksiyonun özel tanımına bağlıdır ve yukarıda verilen tanıma dayanarak, elbette, bir fonksiyonun tek bir periyodu yoksa periyodik olmadığını söyleyebiliriz, ancak bu şöyle olacaktır: yön vermeyen “kötü” bir tanım periyodik olmamanın kanıtı. Ve bunu daha da deşifre edersek, "f fonksiyonunun tek bir periyodu yoktur" cümlesinin ne anlama geldiğini açıklarsak veya aynı şey olur, "hiçbir sayı $T \neq 0$ f fonksiyonunun bir periyodu değildir", o zaman f fonksiyonunun periyodik olmadığını ancak ve ancak her $T \neq 0$ için bir $x\in D(f)$ sayısı varsa, öyle ki $x+T$ ve $ sayılarından en az biri varsa elde ederiz. x-T$, D(f) veya $f(x+T)\neq f(x)$'a ait değildir.
Başka bir şekilde de söyleyebilirsiniz: “D(f)$'da $x\t sayısı var ki $f(x+T) = f(x)$ eşitliği sağlanmıyor” - bu eşitlik iki için geçerli olmayabilir nedenleri: ya da o mantıklı değil, yani parçalarından biri tanımlanmamış veya aksi halde yanlış olabilir. İlginiz için, yukarıda bahsettiğimiz dil etkisinin burada da kendini gösterdiğini ekleyelim: Çünkü “doğru olmamak” ile “yanlış olmak” eşitliği aynı şey değildir; eşitliğin henüz bir anlamı olmayabilir.
Bu dilsel etkinin nedenleri ve sonuçlarının ayrıntılı bir şekilde aydınlatılması aslında matematiğin değil, dil teorisinin, dilbilimin veya daha doğrusu onun özel bölümünün konusu olan anlambilim - anlam bilimidir; ancak bunlar sorular çok karmaşıktır ve kesin bir çözümü yoktur. Ve okul matematiği de dahil olmak üzere matematik, sembolik doğal dili kullanırken ve kullandığı için bu zorluklara katlanmak ve dilsel "sorunların" üstesinden gelmek zorunda kalıyor.
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (profil düzeyi) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Öğretmen Volkova S.E.
Tanım 1 Herhangi bir x ∈ X için f (x – T) = f (x) = f (x + T) eşitliği sağlanıyorsa, bir y = f (x), x ∈ X fonksiyonunun T periyoduna sahip olduğu söylenir. Periyodu T olan bir fonksiyon x noktasında tanımlanmışsa, o zaman x + T, x – T noktalarında da tanımlanır. Herhangi bir fonksiyonun T = 0'da sıfıra eşit bir periyodu vardır, f(x – 0) = f elde ederiz (x) = f(x + 0) .
Tanım 2 Periyodu sıfır olmayan T'ye sahip bir fonksiyona periyodik denir. Eğer bir y = f(x), x ∈ X fonksiyonunun bir T periyodu varsa, o zaman T'nin katı olan herhangi bir sayı (yani, kT, k ∈ Z formundaki bir sayı) aynı zamanda onun periyodudur.
İspat Fonksiyonun periyodu 2T olsun. O halde f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Benzer şekilde f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), vb. olduğu kanıtlanmıştır. Yani f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Periyodik bir fonksiyonun pozitif periyotları arasındaki en küçük periyoda bu fonksiyonun ana periyodu denir.
Periyodik bir fonksiyonun grafiğinin özellikleri Eğer T, y = f(x) fonksiyonunun ana periyodu ise, o zaman aşağıdakiler yeterlidir: T uzunluğundaki aralıklardan birinde grafiğin bir dalını oluşturmak, paralel bir çeviri yapmak bu dalın x ekseni boyunca ±T, ±2T, ±3T vb. Genellikle noktalarda uçları olan bir boşluk seçilir
Periyodik fonksiyonların özellikleri 1. Eğer f(x), T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyonsa, k > 0 olmak üzere, g(x) = A f(kx + b) fonksiyonu da T 1 = T/ periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur. k. 2. f 1 (x) ve f 2 (x) fonksiyonunun tüm sayısal eksende tanımlı olmasına ve T 1 > 0 ve T 2 >0 periyotlarıyla periyodik olmasına izin verin. O halde, T 1 /T 2 ∈ Q için f(x) = f(x) + f 2 (x) fonksiyonu, T periyodu T 1 ve T 2 sayılarının en küçük ortak katına eşit olan periyodik bir fonksiyondur.
Örnekler 1. Periyodik fonksiyon y = f(x) tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Periyodu 3 ve f(0) =4'tür. 2f(3) – f(-3) ifadesinin değerini bulun. Çözüm. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Elde edilen değerleri 2f ifadesinde yerine koymak (3) - f(-3), 8 - 4 =4 elde ederiz. Cevap: 4.
Örnekler 2. Periyodik fonksiyon y = f(x) tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Periyodu 5'tir ve f(-1) = 1. 2f(3) – 5f(9) = 9 ise f(-12)'yi bulun. Çözüm T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Cevap:7.
Kullanılan literatür A.G. Mordkovich, P.V. Cebir ve analizin başlangıcı (profil düzeyi), 10. sınıf A.G. Mordkovich, P.V. Cebir ve analizin başlangıcı (profil düzeyinde), 10. sınıf. Öğretmenler için metodolojik el kitabı
Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar
Periyodik yasa ve periyodik sistem D.I. Mendeleev.
Bu konuyla ilgili kapsamlı bir ders, pedagojik atölyelerdeki teknoloji unsurları kullanılarak oyun şeklinde yürütülmektedir....
Ders dışı etkinlik "D.I. Mendeleev'in periyodik yasası ve kimyasal elementlerin periyodik sistemi"
Müfredat dışı bir etkinlik, periyodik yasanın ve D.I.'nin periyodik sisteminin yaratılış tarihini ortaya çıkarır. Mendeleev. Bilgiler şiirsel bir biçimde sunulur, bu da hızlı ezberlemeyi kolaylaştırır...
Ders dışı aktiviteye ek "Periyodik yasa ve D.I. Mendeleev'in kimyasal elementlerinin periyodik sistemi"
Yasanın keşfinden önce D.I.'nin uzun ve yoğun bilimsel çalışması gerçekleşti. Mendeleev'e 15 yıl görev verildi ve daha da derinleşmesi için 25 yıl daha verildi....