Rastgele değişken x'in dağılım yoğunluğu verilmiştir. Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

………………………………………………………

Аn - X rastgele değişkeni An değerini almıştır.

A1 A2 olaylarının toplamının olduğu açıktır. , An güvenilir bir olaydır, çünkü rastgele değişkenin x1, x2, xn değerlerinden en az birini alması gerekir.

Bu nedenle P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Ayrıca A1, A2, ., An olayları tutarsızdır çünkü tek bir deney sırasında bir rastgele değişken x1, x2, ., xn değerlerinden yalnızca birini alabilir. Uyumsuz olaylar için toplama teoremini kullanarak şunu elde ederiz:

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

yani p1+p2+ . +pn = 1 veya kısaca

Bu nedenle X rastgele değişkeninin dağılım yasasını veren Tablo 1'in ikinci satırında yer alan tüm sayıların toplamının bire eşit olması gerekir.

ÖRNEK 1. Rastgele değişken X, zar atıldığında elde edilen puanların sayısı olsun. Dağıtım yasasını bulun (tablo biçiminde).

Rastgele değişken X değerleri alır

x1=1, x2=2, … , x6=6

olasılıklarla

р1= р2 = … = р6 =

Dağıtım kanunu tablo tarafından verilmektedir:

Tablo 2

ÖRNEK 2. Binom dağılımı. Bir rastgele değişken X'i ele alalım - her birinde A'nın p olasılığıyla meydana geldiği bir dizi bağımsız deneyde A olayının meydana gelme sayısı.

Rastgele değişken X açıkça aşağıdaki değerlerden birini alabilir:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Rastgele değişken X'in k'ye eşit bir değer alması olayının olasılığı Bernoulli formülü ile belirlenir:

Рn(k)= burada q=1- р.

Bir rastgele değişkenin bu dağılımına binom dağılımı veya Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli dağılımı tamamen iki parametreyle belirlenir: tüm deneylerin sayısı n ve her bir deneyde bir olayın meydana gelme olasılığı p.

Binom dağılımının koşulu şu şekildedir:

Bu eşitliğin geçerliliğini kanıtlamak için özdeşlik yeterlidir.

(q+px)n=

x=1 koy.

ÖRNEK 3. Poisson Dağılımı. Bu formun olasılık dağılımının adıdır:

R(k)= .

Tek bir (pozitif) parametre a tarafından belirlenir. ξ, Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişken ise, o zaman karşılık gelen parametre a, bu rastgele değişkenin ortalama değeridir:

a=Mξ=, burada M matematiksel beklentidir.

Rastgele değişken:

ÖRNEK 4.Üstel dağılım.

Zaman rastgele bir değişkense, bunu τ ile gösterelim, öyle ki

nerede 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Rasgele değişken t'nin ortalama değeri:

Dağıtım yoğunluğu şu şekildedir:

4) Normal dağılım

Bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler olsun ve Terimler yeterince küçükse ve n sayısı yeterince büyükse, n à ∞ için Mξ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi ve Dξ=M(ξ–Mξ)2'ye eşit olan Dξ varyansı öyledir ki Mξ~a, Dξ ~σ2 ise

- normal veya Gauss dağılımı

.

5) Geometrik dağılım. İlk “başarı”nın başlangıcından önceki deneme sayısını ξ ile gösterelim. Her testin bir birim zaman sürdüğünü varsayarsak, ξ'yı ilk "başarıya" kadar bekleme süresi olarak düşünebiliriz. Dağıtım şuna benzer:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrik dağılım.

Aralarında n'nin "özel nesneler" olduğu N nesne vardır. Tüm nesneler arasından k-nesneler rastgele seçilir. Seçilen nesneler arasında eşit r - “özel nesneler” bulunma olasılığını bulun. Dağıtım şuna benzer:

7) Pascal dağılımı.

X, r'inci “başarı”nın gelişinden önceki “başarısızlıkların” toplam sayısı olsun. Dağıtım şuna benziyor:

Dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

Eş olasılık dağılımı, rastgele değişken x'in aralıktaki herhangi bir değeri eşit olasılıkla alabileceğini ima eder. Dağıtım yoğunluğu şu şekilde hesaplanır:

Dağıtım yoğunluk grafikleri ve dağıtım fonksiyonu aşağıda sunulmuştur.

“Beyaz gürültü” kavramını açıklamadan önce bir takım tanımlar vermek gerekmektedir.

Rastgele bir fonksiyon, argümanın her sabit değeri için rastgele bir değişken olan, rastgele olmayan bir t argümanının bir fonksiyonudur. Örneğin, U rastgele bir değişkense, X(t)=t2U fonksiyonu rastgeledir.

Bir rastgele fonksiyonun kesiti, rastgele fonksiyonun argümanının sabit bir değerine karşılık gelen bir rastgele değişkendir. Dolayısıyla bir rastgele fonksiyon, t parametresine bağlı olarak bir dizi rastgele değişken (X(t)) olarak düşünülebilir.

Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , herhangi bir sınırlı veya sınırsız aralıktan herhangi bir değer alabiliyorsa. Sürekli bir rastgele değişken için olası tüm değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkili aralıklarını belirleriz.

Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri şunları içerir: belirli bir boyuta göre taşlanan bir parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin uçuş menzili, vb.

Sürekli rastgele değişkenler için fonksiyon F(X), Farklı ayrık rastgele değişkenler, hiçbir yerde sıçrama yoksa, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığı sıfırdır.

Bu, sürekli bir rastgele değişken için değerleri arasındaki olasılık dağılımından bahsetmenin hiçbir anlamı olmadığı anlamına gelir: her birinin olasılığı sıfırdır. Ancak bir anlamda sürekli bir rastgele değişkenin değerleri arasında “daha ​​fazla ve daha az olası” olanlar vardır. Örneğin, pratikte her iki değer de ortaya çıkabilse de, rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin boyu - 170 cm - 220 cm'den daha muhtemel olduğundan neredeyse hiç kimse şüphe duymaz.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Yalnızca sürekli rastgele değişkenler için anlamlı olan bir dağılım yasası olarak dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılmıştır. Sürekli bir rastgele değişken ve kesikli bir rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak yaklaşalım.

Yani, bir rastgele değişkenin (hem kesikli hem de sürekli) dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu Rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen fonksiyona denir. X sınır değerinden küçük veya ona eşit X.

Değer noktalarındaki ayrık bir rastgele değişken için X1 , X 2 , ..., X Ben,... olasılık kitleleri yoğunlaşmıştır P1 , P 2 , ..., P Ben,... ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin bireysel noktalarda yoğunlaşmadığını, apsis ekseni boyunca sürekli olarak "yayıldığını" hayal edelim. Ah bazı düzensiz yoğunluklarla. Rasgele bir değişkenin herhangi bir alana düşme olasılığı Δ X bölüm başına kütle ve o bölümdeki ortalama yoğunluk, kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağıtım yoğunluğu.

Olasılık yoğunluğu F(X Sürekli bir rastgele değişkenin ) dağılım fonksiyonunun türevidir:

.

Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabilirsiniz [ A; B]:

sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır A; B], olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir Aönce B:

.

Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilecek sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :

.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).

Bir eğri ile sınırlanmış bir şeklin alanı (şekilde gölgeli), noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B x eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını grafiksel olarak görüntüler X aralığındadır Aönce B.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağıtımın varlığı dışında değeri sıfırdır

Dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım fonksiyonunun yanı sıra F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonundan farklı olarak evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rastgele değişkenler için mevcuttur.

Uygulamada sürekli bir rastgele değişkenin en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

Dağıtım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) sonlu bir aralıkta sürekli rastgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alırsa bu dağılıma tekdüze denir .

Dağılım yoğunluk fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yoğunlaşır ve merkezden uzaklaşıldığında ortalamadan daha farklı olanlar toplanır (fonksiyon grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .

Örnek 1. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bilinmektedir:

İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Bir fonksiyonun grafiği F(X) - parabol:

Bir fonksiyonun grafiği F(X) - dümdüz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

Katsayıyı hesapla C. İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ila 5 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:

Dolayısıyla sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

İntegral alarak fonksiyonu buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 . 0 ise< X < 10 , то

.

X> 10, o zaman F(X) = 1 .

Dolayısıyla olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şu şekildedir:

Bir fonksiyonun grafiği F(X) :

Bir fonksiyonun grafiği F(X) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilir ve . Katsayıyı bul A sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından herhangi bir değeri alacaktır X.

Çözüm. Koşullu olarak eşitliğe ulaşırız

Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,

.

Şimdi sürekli bir rastgele değişkenin olasılığını buluyoruz X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alacaktır:

Şimdi bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X Yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi .

1. Egzersiz. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
Bulmak:
a) parametre A;
b) dağılım fonksiyonu F(x);
c) rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı;
d) matematiksel beklenti MX ve varyans DX.
f(x) ve F(x) fonksiyonlarının grafiğini çizin.

Görev 2. İntegral fonksiyonu tarafından verilen X rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Görev 3. Dağılım fonksiyonu verildiğinde X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Görev 4. Bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu şu şekilde verilir: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A katsayısını, F(x) dağılım fonksiyonunu, matematiksel beklentiyi ve varyansı ve ayrıca rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Görev. Bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilmiştir:

a ve b parametrelerini belirleyin, f(x) olasılık yoğunluğu, matematiksel beklenti ve varyans ile rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığı için bir ifade bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Dağılım fonksiyonunun türevi olarak dağılım yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
F'=f(x)=a
A parametresini bulacağımızı bilerek:

veya 3a=1, dolayısıyla a = 1/3
b parametresini aşağıdaki özelliklerden buluyoruz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 dolayısıyla b = -1/3
Bu nedenle dağılım fonksiyonu şu şekildedir: F(x) = (x-1)/3

Beklenen değer.


Dağılım.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Rastgele değişkenin aralıkta değer alma olasılığını bulalım.
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Örnek No.1. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu f(x) verilmiştir. Gerekli:

1. A katsayısını belirleyin.
2. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.
3. F(x) ve f(x) grafiklerini şematik olarak oluşturun.
4. X'in matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
5. X'in (2;3) aralığından değer alma olasılığını bulun.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Çözüm:

Rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f(x) ile belirtilir:

Koşuldan A parametresini bulalım:



veya
14/3*A-1 = 0
Nerede,
bir = 3/14

Dağıtım fonksiyonu formül kullanılarak bulunabilir.

RASTGELE DEĞİŞKENLER

Örnek 2.1. Rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen

Test sonucunda olasılığı bulun X(2.5; 3.6) aralığında yer alan değerleri alacaktır.

Çözüm: X(2,5; 3,6) aralığında iki şekilde belirlenebilir:

Örnek 2.2. Hangi parametre değerlerinde A Ve İÇİNDE işlev F(X) = A + Be - x rastgele bir değişkenin negatif olmayan değerleri için bir dağılım fonksiyonu olabilir X.

Çözüm: Rastgele değişkenin tüm olası değerleri olduğundan X aralığına aitse, fonksiyonun bir dağıtım fonksiyonu olması için X, özelliğin karşılanması gerekir:

.

Cevap: .

Örnek 2.3. Rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir

Dört bağımsız test sonucunda değerin çıkma olasılığını bulun. X tam 3 katı (0.25;0.75) aralığına ait bir değer alacaktır.

Çözüm: Bir değere ulaşma olasılığı X(0,25;0,75) aralığında aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Örnek 2.4. Topun tek atışta sepete çarpma olasılığı 0,3'tür. Üç atışla isabet sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Rastgele değer X– üç atışta sepetteki isabet sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. X

X:

Örnek 2.5.İki atıcının her biri hedefe bir atış yapar. İlk atıcının vurma olasılığı 0,5, ikincisi ise 0,4'tür. Bir hedefe isabet edenlerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulalım X– hedefteki isabet sayısı. Olay sırasıyla hedefi vuran ilk atıcı olsun, hedefi vuran ikinci atıcı olsun ve ıskalamaları olsun.

SV'nin olasılık dağılımı yasasını oluşturalım X:

Örnek 2.6. Birbirinden bağımsız çalışan üç eleman test edilir. Elemanların hatasız çalışma süresi (saat cinsinden) bir dağıtım yoğunluğu fonksiyonuna sahiptir: birincisi için: F 1 (T) =1-e- 0,1 T, Ikinci için: F 2 (T) = 1-e- 0,2 Tüçüncüsü için: F 3 (T) =1-e- 0,3 T. 0 ila 5 saat arasındaki zaman aralığında yalnızca bir elemanın arızalanma olasılığını bulun; yalnızca iki öğe başarısız olacaktır; üç unsurun tümü başarısız olacaktır.

Çözüm: Olasılık üreten fonksiyonun tanımını kullanalım:

Bağımsız denemelerde olasılık, ilkinde bir olayın meydana gelme olasılığı A eşittir , ikinci vb. olayda A tam olarak bir kez ortaya çıkar, bu da üretici fonksiyonun genişleme katsayısına eşittir. 0 ila 5 saat arasındaki zaman aralığında sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü elemanın arızalanma ve arızalanmama olasılıklarını bulalım:

Bir üreten fonksiyon oluşturalım:

Katsayı olayın gerçekleşme olasılığına eşittir A tam olarak üç kez ortaya çıkacak, yani her üç unsurun da arızalanma olasılığı; at katsayısı tam olarak iki elemanın arızalanma olasılığına eşittir; at katsayısı yalnızca bir elemanın arızalanma olasılığına eşittir.

Örnek 2.7. Olasılık yoğunluğu göz önüne alındığında F(X)rastgele değişken X:

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

.

Böylece dağıtım fonksiyonu şuna benzer:

Örnek 2.8. Cihaz birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bir deneydeki başarısız elemanların sayısı için bir dağılım kanunu çizin.

Çözüm: Rastgele değer X– bir deneyde başarısız olan elementlerin sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. X Bu değerleri alırsak Bernoulli formülünü kullanarak şunu buluruz:

Böylece, rastgele bir değişkenin aşağıdaki olasılık dağılımı yasasını elde ederiz. X:

Örnek 2.9. 6 parçadan oluşan bir grupta 4 standart parça bulunmaktadır. Rastgele 3 parça seçildi. Seçilenler arasında standart parçaların sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilenler arasında standart parça sayısı – 1, 2, 3 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- bir partideki standart parçaların sayısı;

– seçilen parçaların sayısı;

-- Seçilenler arasında standart parçaların sayısı.

.

.

.

Örnek 2.10. Rastgele değişkenin bir dağılım yoğunluğu vardır

ve bilinmiyor, ancak , a ve . Bul ve.

Çözüm: Bu durumda rastgele değişken X aralığında üçgen bir dağılıma (Simpson dağılımı) sahiptir [ a, b] Sayısal özellikler X:

Buradan, . Bu sistemi çözerek iki çift değer elde ederiz: . Sorunun koşullarına göre nihayet elimizde: .

Cevap: .

Örnek 2.11. Ortalama olarak sözleşmelerin %10'unda sigorta şirketi, sigorta konusu olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasındaki bu tür sözleşmelerin sayısının matematiksel beklentisini ve dağılımını hesaplayın.

Çözüm: Matematiksel beklenti ve varyans aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

.

SV'nin olası değerleri (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşme sayısı (dört üzerinden): 0, 1, 2, 3, 4.

Sigorta tutarlarının ödendiği farklı sayıda sözleşmenin (dört üzerinden) olasılığını hesaplamak için Bernoulli formülünü kullanıyoruz:

.

IC dağıtım serisi (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşmelerin sayısı) şu şekildedir:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Cevap: , .

Örnek 2.12. Beş gülden ikisi beyazdır. Aynı anda alınan iki beyaz gül arasındaki beyaz güllerin sayısını ifade eden bir rastgele değişkenin dağılım yasasını çizin.

Çözüm:İki gülden oluşan bir seçimde ya hiç beyaz gül olmayabilir ya da bir ya da iki beyaz gül bulunabilir. Bu nedenle rastgele değişken Xşu değerleri alabilir: 0, 1, 2. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

Nerede -- gül sayısı;

-- beyaz gül sayısı;

– aynı anda alınan gül sayısı;

-- Alınanlar arasında beyaz güllerin sayısı.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.13. Birleştirilmiş 15 üniteden 6'sı ek yağlama gerektirir. Toplam sayıdan rastgele seçilen beş ünite arasından ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı için bir dağıtım kanunu çizin.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilen beş ünite arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

Nerede -- birleştirilmiş birimlerin sayısı;

-- ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı;

– seçilen birimlerin sayısı;

-- Seçilenler arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı.

.

.

.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.14. Onarım için alınan 10 saatten 7'si mekanizmanın genel temizliğini gerektiriyor. Saatler onarım türüne göre sıralanmamıştır. Temizlenmesi gereken saatleri bulmak isteyen usta, onları tek tek inceler ve bu tür saatleri bulunca daha fazla incelemeyi bırakır. İzlenen saat sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilen beş ünite arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı – şu değerleri alabilir: 1, 2, 3, 4. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Şimdi miktarın sayısal özelliklerini hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.15. Abone, ihtiyaç duyduğu telefon numarasının son rakamını unutmuş ancak bunun tek rakamlı olduğunu hatırlamaktadır. Son rakamı rastgele çevirdiğinde ve daha sonra aranan rakamı çevirmezse, istenen numaraya ulaşmadan önce bir telefon numarasını kaç kez çevirdiğine ilişkin matematiksel beklentiyi ve varyansı bulun.

Çözüm: Rastgele değişken şu değerleri alabilir: . Abone ileride çevrilen rakamı çevirmediği için bu değerlerin olasılıkları eşittir.

Rastgele bir değişkenin dağılım serisini derleyelim:

	0,2

Çevirme denemesi sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.16. Serideki her cihaz için güvenilirlik testleri sırasında arıza olasılığı eşittir: P. Test edildikleri takdirde başarısız olan cihaz sayısına ilişkin matematiksel beklentiyi belirleyin N cihazlar.

Çözüm: Ayrık rastgele değişken X, arızalı cihazların sayısıdır. N Her birinde başarısızlık olasılığının eşit olduğu bağımsız testler P, binom kanununa göre dağıtılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.17. Ayrık rassal değişken X 3 olası değer alır: olasılıkla; olasılıkla ve olasılıkla. M( olduğunu bilerek bulun ve X) = 8.

Çözüm: Matematiksel beklentinin tanımlarını ve ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını kullanıyoruz:

Bulduk: .

Örnek 2.18. Teknik kontrol departmanı ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Ürünün standart olma ihtimali 0,9'dur. Her partide 5 ürün bulunmaktadır. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 50 partinin muayeneye tabi olması durumunda, her biri tam olarak 4 standart ürün içeren parti sayısı.

Çözüm: Bu durumda yapılan tüm deneyler bağımsızdır ve her partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılıkları aynıdır, dolayısıyla matematiksel beklenti aşağıdaki formülle belirlenebilir:

,

partilerin sayısı nerede;

Bir partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı.

Bernoulli formülünü kullanarak olasılığı buluyoruz:

Cevap: .

Örnek 2.19. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X– olayın gerçekleşme sayısı Aİki bağımsız denemede, bu denemelerde bir olayın meydana gelme olasılıkları aynı ise ve biliniyorsa M(X) = 0,9.

Çözüm: Sorun iki şekilde çözülebilir.

1) SV'nin olası değerleri X: 0, 1, 2. Bernoulli formülünü kullanarak bu olayların olasılıklarını belirliyoruz:

, , .

Daha sonra dağıtım kanunu Xşu forma sahiptir:

Matematiksel beklentinin tanımından olasılığı belirleriz:

SV'nin dağılımını bulalım X:

.

2) Formülü kullanabilirsiniz:

.

Cevap: .

Örnek 2.20. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'e eşittir. Test sonucunda olasılığını bulun X(15; 25) aralığındaki değeri alacaktır.

Çözüm: Normal bir rastgele değişkene ulaşma olasılığı X ile arasındaki bölüm Laplace fonksiyonu aracılığıyla ifade edilir:

Örnek 2.21. Verilen fonksiyon:

Hangi parametre değerinde C bu fonksiyon bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğudur X? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

Çözüm: Bir fonksiyonun bazı rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu olabilmesi için negatif olmaması ve şu özelliği karşılaması gerekir:

.

Buradan:

Matematiksel beklentiyi aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayalım:

.

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı hesaplayalım:

T eşittir P. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak gerekir.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası - her birinde olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı, binom olarak adlandırılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede A olayının meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

.

Örnek 2.25. Hedefe üç bağımsız atış yapılır. Her atışta isabet olasılığı 0,25'tir. Üç atışla isabet sayısının standart sapmasını belirleyin.

Çözüm:Üç bağımsız deneme gerçekleştirildiğinden ve her denemede A olayının (bir isabet) meydana gelme olasılığı aynı olduğundan, ayrık rastgele değişken X'in (hedefteki isabet sayısı) şu şekilde dağıtıldığını varsayacağız: binom kanunu.

Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir olayın bir denemede meydana gelme ve gelmeme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.26. Bir sigorta şirketini 10 dakikada ziyaret eden ortalama müşteri sayısı üçtür. Önümüzdeki 5 dakika içinde en az bir müşterinin gelme olasılığını bulun.

5 dakikada gelen ortalama müşteri sayısı: . .

Örnek 2.29.İşlemci kuyruğundaki bir uygulamanın bekleme süresi, ortalama değeri 20 saniye olan üstel dağılım yasasına uyar. Bir sonraki (rastgele) isteğin işlemcide 35 saniyeden fazla bekleme olasılığını bulun.

Çözüm: Bu örnekte matematiksel beklenti ve başarısızlık oranı eşittir.

O zaman istenilen olasılık:

Örnek 2.30. 15 öğrenciden oluşan bir grup, her birinde 10 koltuk bulunan 20 sıradan oluşan bir salonda toplantı yapıyor. Her öğrenci salonda rastgele bir yer alır. Sıranın yedinci sırasında en fazla üç kişinin bulunma olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 2.31.

O halde klasik olasılık tanımına göre:

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart olmayan parçaların sayısı;

– seçilen parçaların sayısı;

-- Seçilenler arasında standart olmayan parçaların sayısı.

O zaman rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır.

Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken denir:

Sonsuz bir değerler kümesi durumunda, (4.4)'ün sağ tarafında bir seri vardır ve biz yalnızca bu serinin mutlak yakınsak olduğu X değerlerini dikkate alacağız.

M(X) bir rastgele değişkenin ortalama beklenen değerini temsil eder. Aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) M(C)=C, burada C=sabit

2) M (CX)=CM (X) (4,5)

3) Herhangi bir X ve Y için M (X+Y)=M(X)+M(Y).

4) M (XY)=M (X)M(Y), eğer X ve Y bağımsızsa.

Rastgele bir değişkenin değerlerinin ortalama değeri etrafındaki saçılma derecesini tahmin etmek M(X)= A kavramlar tanıtıldı farklılıklarD(X) ve ortalama kare (standart) sapma. Varyans kare farkın matematiksel beklentisi denir (X-), onlar. :

D(X)=M(X- ) 2 = p ben ,

Nerede =M(X); varyansın karekökü olarak tanımlanır, yani .

Varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

(4.6)

Dispersiyon ve standart sapmanın özellikleri:

1) D(C)=0, burada C=sabit

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

X ve Y bağımsız ise.

Niceliklerin boyutu, X rastgele değişkeninin boyutuyla çakışır ve D(X) boyutu, X rastgele değişkeninin boyutunun karesine eşittir.

4.3. Rastgele değişkenler üzerinde matematiksel işlemler.

Rastgele değişken X'in olasılıklı değerler almasına ve rastgele değişken Y'nin olasılıklı değerler almasına izin verin. Rastgele değişken X ile sabit değer K'nın çarpımı, rastgele değişkenle aynı olasılıklara sahip yeni bir rastgele değişkendir. değişken X, rastgele değişken X'in K değerlerine göre ürünlere eşit değerler alır. Sonuç olarak, dağılım yasası Tablo 4.2 şeklindedir:

Tablo 4.2

			...
			...

Kare rastgele değişken X, yani , X rastgele değişkeni ile aynı olasılıklara sahip, değerlerinin karelerine eşit değerler alan yeni bir rastgele değişkendir.

Toplam rastgele değişkenler X ve Y, rastgele değişken X'in değeri alma olasılığını ve Y'nin değer olduğunu ifade eden olasılıklarla formun tüm değerlerini alan yeni bir rastgele değişkendir, yani

(4.8)

X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, o zaman:

X ve Y rastgele değişkenlerinin farkı ve çarpımı benzer şekilde belirlenir.

Fark rastgele değişkenler X ve Y - bu, formun tüm değerlerini alan yeni bir rastgele değişkendir ve iş- formun tüm değerleri, formül (4.8) ile belirlenen olasılıklara sahip ve eğer X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, o zaman formül (4.9) ile belirlenir.

4.4. Bernoulli ve Poisson dağılımları.

Aşağıdaki koşulları karşılayan n adet özdeş tekrarlanan deneme dizisini düşünün:

1. Her testin başarı ve başarısızlık adı verilen iki sonucu vardır.

Bu iki sonuç birbiriyle bağdaşmayan ve zıt olaylardır.

2. Başarı olasılığı, p ile gösterilir, denemeden denemeye sabit kalır. Başarısızlık olasılığı q ile gösterilir.

3. N sayıda testin tümü bağımsızdır. Bu, tekrarlanan n denemeden herhangi birinde bir olayın meydana gelme olasılığının diğer denemelerin sonuçlarına bağlı olmadığı anlamına gelir.

Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı eşit olan n bağımsız tekrarlanan denemede, olayın tam olarak m kez (herhangi bir sırayla) meydana gelme olasılığı şuna eşittir:

(4.10)

(4.10) ifadesine Bernoulli formülü denir.

Olayın gerçekleşme olasılıkları:

a) m kereden az,

b) m kereden fazla,

c) en az m kere,

d) m kereden fazla olmamak üzere - aşağıdaki formüllere göre bulunur:

Binom, ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasasıdır - her birinde olayın meydana gelme olasılığı p'ye eşit olan, n bağımsız denemede bir olayın meydana gelme sayısı; X = 0,1,2,..., m,...,n olası değerlerinin olasılıkları Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır (Tablo 4.3).

Tablo 4.3

Başarı sayısı X=m				...	M	...	N
Olasılık P				...		...

Formül (4.10)'un sağ tarafı binom açılımının genel terimini temsil ettiğinden bu dağılım yasasına denir. binom. Binom yasasına göre dağıtılan bir X rastgele değişkeni için elimizde.