Fermat'ın son teoreminin tarihçesi. Felix Kirsanov
Fermat'ın Son Teoremi Singh Simon
"Fermat'ın Son Teoremi kanıtlandı mı?"
Bu, Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamaya yönelik yalnızca ilk adımdı, ancak Wiles'ın stratejisi, yayımlanmayı hak eden parlak bir matematiksel atılımdı. Ancak Wiles'ın kendi kendine empoze ettiği sessizlik yemini nedeniyle, sonucunu dünyanın geri kalanına anlatamadı ve başka kimin eşit derecede önemli bir atılım yapabileceği hakkında hiçbir fikri yoktu.
Wiles, potansiyel rakiplere karşı felsefi tavrını şöyle hatırlıyor: “Kimse bir şeyi kanıtlamak için yıllarını harcamak ve bir başkasının kanıtı birkaç hafta önce bulmayı başardığını keşfetmek istemez. Ancak işin tuhafı, özünde çözümsüz olduğu düşünülen bir sorunu çözmeye çalıştığım için rakiplerden pek korkmuyordum. Sadece benim ya da bir başkasının kanıta yol açacak bir fikir bulacağını beklemiyordum.”
8 Mart 1988'de Wiles, gazetelerin ön sayfalarında "Fermat'ın Son Teoremi Kanıtlandı" yazan büyük harflerle yazılmış manşetleri görünce şok oldu. Washington Post ve New York Times, Tokyo Metropolitan Üniversitesi'nden otuz sekiz yaşındaki Yoichi Miyaoka'nın dünyanın en zorlu matematik problemini çözdüğünü bildirdi. Miyaoka henüz kanıtını yayınlamadı ancak Bonn'daki Max Planck Matematik Enstitüsü'ndeki bir seminerde ilerlemesini özetledi. Miyaoka'nın konuşmasında hazır bulunan Don Tsagir, matematik camiasının iyimserliğini şu sözlerle dile getirdi: “Miyaoka'nın sunduğu kanıt son derece ilginç ve bazı matematikçiler bunun doğru olma ihtimalinin yüksek olduğuna inanıyor. Henüz tam olarak emin değiliz ancak şu ana kadar kanıtlar oldukça cesaret verici görünüyor."
Bonn'daki bir seminerde konuşan Miyaoka, tamamen farklı, cebirsel-geometrik bir bakış açısıyla ele aldığı problemin çözümüne yönelik yaklaşımından bahsetti. Geçtiğimiz yıllarda geometriciler matematiksel nesnelere, özellikle de yüzeylerin özelliklerine ilişkin derin ve incelikli bir anlayışa ulaştılar. 70'li yıllarda Rus matematikçi S. Arakelov cebirsel geometri problemleri ile sayılar teorisi problemleri arasında paralellikler kurmaya çalıştı. Bu, Langlands programının parçalarından biriydi ve matematikçiler sayı teorisindeki çözülmemiş problemlerin, yine çözülmeden kalan geometrideki karşılık gelen problemler incelenerek çözülebileceğini umuyorlardı. Bu program paralellik felsefesi olarak biliniyordu. Sayılar teorisindeki problemleri çözmeye çalışan cebirsel geometricilere "aritmetik cebirsel geometriciler" adı verildi. 1983 yılında Princeton İleri Araştırmalar Enstitüsü'nden Gerd Faltings'in Fermat teoreminin anlaşılmasına önemli katkılarda bulunmasıyla ilk önemli zaferlerini müjdelediler. Hatırlayın ki Fermat'a göre denklem
en N 2'den büyük sayıların tamsayılarda çözümü yoktur. Faltings, farklı değerlerle ilişkili geometrik yüzeyleri inceleyerek Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamada ilerleme kaydettiğine karar verdi. N. Çeşitli değerler için Fermat denklemleriyle ilgili yüzeyler N, birbirinden farklıdır, ancak ortak bir özelliği vardır - hepsinin açık delikleri veya basitçe söylemek gerekirse delikleri vardır. Bu yüzeyler tıpkı modüler şekillerin grafikleri gibi dört boyutludur. Şekil 2'de iki yüzeyin iki boyutlu kesitleri gösterilmektedir. 23. Fermat denklemiyle ilişkili yüzeyler benzer görünmektedir. Değer ne kadar yüksek olursa N denklemde karşılık gelen yüzeyde o kadar çok delik vardır.
Pirinç. 23. Bu iki yüzey Mathematica bilgisayar programı kullanılarak elde edilmiştir. Her biri denklemi sağlayan noktaların yerini temsil eder xn + e-n = zn(soldaki yüzey için N=3, sağdaki yüzey için N=5). Değişkenler X Ve sen burada karmaşık kabul ediliyor
Faltings, bu tür yüzeylerin her zaman birden fazla deliğe sahip olması nedeniyle ilgili Fermat denkleminin yalnızca sonlu bir tamsayı çözüm kümesine sahip olabileceğini kanıtlamayı başardı. Çözümlerin sayısı, Fermat'ın varsaydığı gibi sıfırdan bir milyona veya bir milyara kadar herhangi bir şey olabilir. Böylece Faltings, Fermat'ın Son Teoremini kanıtlayamadı, ancak en azından Fermat denkleminin sonsuz sayıda çözüme sahip olma olasılığını reddetmeyi başardı.
Beş yıl sonra Miyaoka bunu bir adım daha ileri taşıdığını bildirdi. O zamanlar yirmili yaşlarının başındaydı. Miyaoka bazı eşitsizliklere ilişkin bir hipotez formüle etti. Onun geometrik varsayımını kanıtlamanın, Fermat denkleminin çözüm sayısının yalnızca sonlu değil, aynı zamanda sıfıra eşit olduğunu da kanıtlamak anlamına geleceği açıkça ortaya çıktı. Miyaoka'nın yaklaşımı Wiles'ınkine benziyordu; çünkü her ikisi de Fermat'ın Son Teoremini matematiğin başka bir dalındaki temel bir hipotezle ilişkilendirerek kanıtlamaya çalıştılar. Miyaoka için bu cebirsel geometriydi; Wiles için ise ispata giden yol eliptik eğriler ve modüler formlardan geçiyordu. Miyaoka kendi varsayımının ve dolayısıyla Fermat'ın Son Teoreminin tam bir kanıtına sahip olduğunu iddia ettiğinde, Wiles hâlâ Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamakta zorlanıyordu.
Miyaoka, Bonn'daki konuşmasından iki hafta sonra ispatının özünü oluşturan beş sayfalık hesaplamaları yayınladı ve kapsamlı bir inceleme başladı. Dünyanın her yerindeki sayı teorisyenleri ve cebirsel geometri uzmanları satır satır çalışarak hesaplamalar yayınladılar. Birkaç gün sonra matematikçiler kanıtta endişe yaratmadan duramayacak bir çelişki keşfettiler. Miyaoka'nın çalışmasının bir kısmı, sayılar teorisinden bir ifadeye yol açtı; bu ifade, cebirsel geometri diline çevrildiğinde, birkaç yıl önce elde edilen sonuçla çelişen bir ifade üretti. Ve bu, Miyaoka'nın tüm kanıtını mutlaka geçersiz kılmasa da, keşfedilen çelişki, sayılar teorisi ile geometri arasındaki paralellik felsefesine uymuyordu.
İki hafta sonra, Miyaoke'nin önünü açan Gerd Faltings, bariz paralellik ihlalinin kesin nedenini, yani mantıktaki bir boşluğu keşfettiğini açıkladı. Japon matematikçi bir geometri uzmanıydı ve fikirlerini daha az bilinen sayı teorisi alanına çevirirken pek titiz değildi. Sayı teorisyenlerinden oluşan bir ordu, Miyaoka'nın kanıtındaki boşluğu kapatmak için çılgınca çaba harcadı, ancak boşuna. Miyaoka'nın, Fermat'ın Son Teoreminin tam bir kanıtına sahip olduğunu iddia etmesinden iki ay sonra, matematik camiası oybirliğiyle bir sonuca vardı: Miyaoka'nın kanıtı başarısız olmaya mahkumdu.
Daha önceki başarısız ispatlarda olduğu gibi Miyaoka pek çok ilginç sonuç elde edebildi. Kanıtının bazı parçaları, geometrinin sayılar teorisine çok ustaca uygulanması nedeniyle dikkate değerdi ve sonraki yıllarda diğer matematikçiler bunları bazı teoremleri kanıtlamak için kullandılar, ancak hiç kimse Fermat'ın Son Teoremini bu şekilde kanıtlamayı başaramadı.
Fermat'nın Son Teoremine duyulan öfke kısa sürede dindi ve gazeteler üç yüz yıllık bilmecenin hâlâ çözülmeden kaldığını belirten kısa duyurular yayınladı. New York'un Sekizinci Cadde metro istasyonunun duvarında, şüphesiz Fermat'ın Son Teoremi ile ilgili basında çıkan haberlerden esinlenen aşağıdaki yazı vardı: "Ek. xn + ay = zn hiçbir çözümü yok. Bu gerçeğin gerçekten muhteşem bir kanıtını buldum ama trenim geldiği için buraya yazamıyorum.”
Onuncu Bölüm Timsah Çiftliği Eski John'un arabasıyla, arka koltuklarda oturarak pitoresk bir yolda gidiyorlardı. Direksiyonda parlak gömlekli, kafası tuhaf bir şekilde kısa kesilmiş siyah bir sürücü vardı. Tıraş edilmiş kafatasının üzerinde tel gibi sert siyah saç çalıları duruyordu, mantık
Yarışa hazırlanıyorum. Alaska, Linda Pletner'ın Iditarod Çiftliği, Alaska'da her yıl düzenlenen kızak köpeği yarışıdır. Rotanın uzunluğu 1150 mil (1800 km)'dir. Bu dünyanın en uzun kızak köpeği yarışıdır. Başlangıç (tören) - 4 Mart 2000, Anchorage'dan. Başlangıç
Keçi çiftliği Yaz aylarında köyde çok iş oluyor. Khomutets köyünü ziyaret ettiğimizde orada saman hasat ediliyordu ve taze kesilmiş bitkilerden gelen kokulu dalgalar etraftaki her şeye nüfuz etmiş gibiydi. Otların olgunlaşmaması için zamanında biçilmesi gerekiyor, o zaman değerli ve besleyici olan her şey korunacak. onların içinde. Bu
Yaz çiftliği Bir saman, elde tutulan yıldırım gibi, çimenlerin içine cam; Çitin üzerinde imza atan bir başkası, at yalakındaki yeşil bardak su ile ateş yaktı. Mavi alacakaranlıkta Dokuz ördek paralel çizgiler ruhuyla bir tekerlek izi boyunca sallanarak dolaşıyor. Burada tavuk tek başına hiçbir şeye bakmıyor
Yıkık çiftlik Sakin güneş, koyu kırmızı bir çiçek gibi, Yere çöktü, gün batımına doğru büyüdü, Ama gecenin perdesi atıl güçte Bakışlardan rahatsız olan dünyayı çekti. Çatısız çiftlikte sessizlik hüküm sürüyordu, Sanki birisi saçını yolmuştu, Kaktüs için kavga ediyorlardı.
Çiftlik mi çiftlik mi? 13 Şubat 1958'de tüm merkezi Moskova ve ardından bölgesel gazeteler, Ukrayna Komünist Partisi Merkez Komitesi'nin "Zaporozhye bölgesindeki kollektif çiftçilerden inek satın alınmasındaki hata hakkında" kararını yayınladı. Hatta bölgenin tamamından değil, iki ilçesinden bahsediyorduk: Primorsky
Fermat'ın Problemi 1963 yılında, henüz on yaşındayken, Andrew Wiles matematiğe çoktan hayran kalmıştı. “Okulda problem çözmeyi severdim, onları eve götürürdüm ve her problemden yenilerini çıkarırdım. Ama şimdiye kadar karşılaştığım en iyi sorun yerel bir
Pisagor teoreminden Fermat'ın Son Teoremine Pisagor teoremi ve sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü E.T. Bell'in "Büyük Sorun"u - Andrew Wiles'ın dikkatini çeken kütüphane kitabının aynısı. Her ne kadar Pisagorcular neredeyse tamamlanmış olsa da
Fermat'ın Son Teoreminin ispatından sonra matematik Garip bir şekilde, Wiles'ın raporuyla ilgili karışık duyguları vardı: “Konuşma fırsatı çok iyi seçilmişti, ama dersin kendisi bende karışık duygular uyandırdı. Kanıt üzerinde çalışıyorum
63. Bölüm Yaşlı McLennon'un Çiftliği New York'a döndükten yaklaşık bir buçuk ay sonra, bir Kasım akşamı, Lennon'ların dairesinde telefon çaldı. Yoko, Yoko Ono'ya, Porto Riko aksanıyla konuşan bir erkek sesiyle cevap verdi.
Pontryagin teoremi Konservatuarla aynı dönemde babam Moskova Devlet Üniversitesi'nde mekanik ve matematik okudu. Başarıyla mezun oldu ve hatta bir süre meslek seçiminde tereddüt etti. Babamın sınıf arkadaşlarından birinin matematiksel zihniyetinden yararlanarak müzikoloji kazandı.
Teorem Dini bir derneğin papaz seçme hakkına ilişkin teoremin kanıtlanması gerekir. Şöyle yazıyor: "Ortodoks topluluğu... topluluk tarafından seçilen ve piskoposluk piskoposunun onayını alan bir rahibin ruhani liderliği altında yaratılmıştır."
I. Çiftlik (“Burada, tavuk pisliklerinden...”) Burada, tavuk pisliklerinden Kurtuluşlardan biri süpürgedir. Aşk - hangisi? - Beni tavuk kümesine götürdü. Tahılı gagalayan tavuklar gıdaklıyor, horozlar önemli adımlarla yürüyor. Ve boyutu ve sansürü olmadan Şiirler zihinde bestelenir. Provençal bir öğleden sonra hakkında
İskenderiyeli Diophantus'un “Aritmetiği”ni okuyan ve sorunları üzerinde düşünen Pierre Fermat, düşüncelerinin sonuçlarını kısa yorumlar şeklinde kitabın kenarlarına yazma alışkanlığına sahipti. Kitabın kenarlarında yer alan Diophantus'un sekizinci sorununa karşı Fermat şunları yazdı: " Aksine, ne bir küpü iki küpe, ne de bir biquadratı iki biquadrata ve genel olarak bir kareden büyük hiçbir kuvveti aynı üslü iki güce ayırmak imkansızdır. Bunun gerçekten harika bir kanıtını keşfettim ama bu alanlar bunun için çok dar.» / E.T Bell "Matematiğin Yaratıcıları". M., 1979, s.69/. Fermat teoreminin matematikle ilgilenen her lise öğrencisinin anlayabileceği temel bir kanıtını dikkatinize sunuyorum.
Fermat'ın Diophantus problemine ilişkin yorumunu, Fermat'ın denklem biçimindeki son teoreminin modern formülasyonuyla karşılaştıralım.
« Denklem
x n + y n = z n(burada n ikiden büyük bir tam sayıdır)
pozitif tam sayılarda çözüm yoktur»
Yorum, yüklemin özneyle mantıksal bağlantısına benzer şekilde görevle mantıksal bir bağlantı içindedir. Diophantus'un probleminde ileri sürülen şey, tam tersine Fermat'nın yorumunda ileri sürülmektedir.
Fermat'ın yorumu şu şekilde yorumlanabilir: Eğer üç bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklemin tüm Pisagor sayıları üçlüleri kümesinde sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman tam tersine, kuvveti kareden büyük olan üç bilinmeyenli bir denklem ortaya çıkar.
Diophantus'un problemi ile bağlantısının denkleminde en ufak bir ipucu bile yok. İfadesi kanıt gerektiriyor ama pozitif tamsayılarda çözümünün olmadığı sonucunu çıkaracak bir koşul yok.
Bildiğim denklemi kanıtlama seçenekleri aşağıdaki algoritmaya indirgeniyor.
- Fermat teoreminin denklemi, geçerliliği ispat yoluyla doğrulanan sonuç olarak alınır.
- Aynı denklem denir orijinal ispatının devam etmesi gereken denklem.
Sonuç olarak bir totoloji oluştu: “ Bir denklemin pozitif tam sayılarda çözümü yoksa pozitif tam sayılarda da çözümü yoktur“Totolojinin ispatı açıkça yanlıştır ve hiçbir manadan yoksundur. Ancak çelişkilerle kanıtlanmıştır.
- Kanıtlanması gereken denklemde ifade edilenin tam tersi bir varsayımda bulunulur. Orijinal denklemle çelişmemesi gerekiyor ama öyle. Kanıt olmadan kabul edileni ispatlamanın, kanıtlanması gerekeni kanıt olmadan kabul etmenin hiçbir anlamı yoktur.
- Kabul edilen varsayıma dayanarak, orijinal denklemle çeliştiğini ve yanlış olduğunu kanıtlamak için kesinlikle doğru matematiksel işlemler ve eylemler gerçekleştirilir.
Dolayısıyla Fermat'ın Son Teoreminin denklemini ispatlamak, 370 yıldır uzmanlar ve matematik meraklıları için gerçekleştirilemez bir hayal olarak kaldı.
Denklemi teoremin sonucu olarak, Diophantus'un sekizinci problemi ve denklemini ise teoremin koşulu olarak aldım.
"Eğer denklem x 2 + y 2 = z 2
(1) Pisagor sayılarının tüm üçlüleri kümesinde sonsuz sayıda çözüme sahiptir, o zaman tam tersi, denklem x n + y n = z n
, Nerede n > 2
(2)’nin pozitif tamsayılar kümesinde hiçbir çözümü yoktur.”
Kanıt.
A) Herkes denklem (1)'in Pisagor sayılarının tüm üçlüleri kümesinde sonsuz sayıda çözüme sahip olduğunu bilir. Denklem (1)'in çözümü olan Pisagor sayılarının tek bir üçlüsünün bile denklem (2)'nin çözümü olmadığını kanıtlayalım.
Eşitliğin tersine çevrilebilirliği yasasına dayanarak denklemin (1) taraflarını değiştiririz. Pisagor sayıları (z, x, y) bir dik üçgenin kenarlarının uzunlukları ve kareleri olarak yorumlanabilir (x 2 , y 2 , z 2) hipotenüsü ve bacakları üzerine inşa edilen karelerin alanı olarak yorumlanabilir.
Denklemin (1) karelerinin alanlarını keyfi bir yükseklikle çarpalım H :
z 2 sa = x 2 sa + y 2 sa (3)
Denklem (3), bir paralelyüzün hacminin iki paralelyüzün hacimlerinin toplamına eşitliği olarak yorumlanabilir.
Üç paralel yüzün yüksekliğine izin verin h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Küpün hacmi iki paralel yüzlü iki hacme ayrıştırılmıştır. Küpün hacmini değiştirmeden bırakacağız ve ilk paralel yüzün yüksekliğini azaltacağız X ve ikinci paralel yüzün yüksekliğini azaltın sen . Bir küpün hacmi iki küpün hacimlerinin toplamından daha büyüktür:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Pisagor sayılarının üçlü kümesinde ( x, y, z ) n=3 (2) numaralı denklemin herhangi bir çözümü olamaz. Sonuç olarak, Pisagor sayılarının tüm üçlülerinden oluşan bir kümede bir küpü iki küpe ayırmak imkansızdır.
Denklem (3)'te üç paralelyüzün yüksekliği olsun h =z2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Bir paralel yüzün hacmi, iki paralel yüzün hacimlerinin toplamına ayrıştırılır.
Denklemin (6) sol tarafını değiştirmeden bırakıyoruz. Sağ tarafında yükseklik z2
azaltmak X
ilk dönemde ve öncesinde 2'de
ikinci dönemde.
Denklem (6) eşitsizliğe dönüştü:
Paralel borunun hacmi, iki paralel borunun iki hacmine ayrıştırılır.
Denklemin (8) sol tarafını değiştirmeden bırakıyoruz.
Sağ tarafta yükseklik zn-2
azaltmak xn-2
ilk dönemde ve azaltmak y n-2
ikinci dönemde. Denklem (8) eşitsizlik haline gelir:
| z n > x n + y n | (9) |
Pisagor sayılarının üçlü kümesinde denklem (2)'nin tek bir çözümü olamaz.
Sonuç olarak, Pisagor sayılarının tüm üçlüleri kümesinde her şey için n > 2 Denklemin (2) hiçbir çözümü yoktur.
"Gerçekten mucizevi bir kanıt" elde edildi, ancak yalnızca üçüzler için Pisagor sayıları. Bu kanıt eksikliği ve P. Fermat'ın onu reddetmesinin nedeni.
B) Denklem (2)'nin, Pisagor sayıların rastgele bir üçlüsünün bir ailesini temsil eden Pisagor olmayan sayıların üçlü kümesi üzerinde hiçbir çözümü olmadığını kanıtlayalım. z = 13, x = 12, y = 5 ve pozitif tam sayıların keyfi bir üçlüsünden oluşan bir aile z = 21, x = 19, y = 16
Her iki üçlü sayı da ailelerinin üyeleridir:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Aile üyelerinin sayısı (10) ve (11), 13'e 12 ve 21'e 20'nin çarpımının yarısına, yani 78 ve 210'a eşittir.
Her aile üyesi (10) şunları içerir: z = 13 ve değişkenler X Ve en 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Ailenin her üyesi (11) şunları içerir: z = 21 ve değişkenler X Ve en tam sayı değerleri alan 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Değişkenler art arda azalır 1 .
(10) ve (11) dizisinin üçlü sayıları, üçüncü dereceden bir eşitsizlik dizisi olarak temsil edilebilir:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
ve dördüncü dereceden eşitsizlikler şeklinde:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Her eşitsizliğin doğruluğu, sayıların üçüncü ve dördüncü kuvvetlerine yükseltilerek doğrulanır.
Daha büyük sayıdaki bir küp, daha küçük sayıdaki iki küpe ayrıştırılamaz. İki küçük sayının küplerinin toplamından ya küçüktür ya da büyüktür.
Daha büyük bir sayının iki karelisi, daha küçük sayıların iki karelisine ayrıştırılamaz. Küçük sayıların çift karelerinin toplamından ya küçüktür ya da büyüktür.
Üs arttıkça soldaki aşırı eşitsizlik dışındaki tüm eşitsizlikler aynı anlama gelir:
Hepsi aynı anlama gelir: Büyük sayının kuvveti, aynı üslü küçük iki sayının kuvvetlerinin toplamından daha büyüktür:
| 13n > 12n + 12n; 13n > 12n + 11n;…; 13 n > 7 n + 4 n;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21n > 20n + 20n; 21n > 20n + 19n;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Dizilerin sol uç terimi (12) (13) en zayıf eşitsizliği temsil eder. Doğruluğu, (12) dizisinin sonraki tüm eşitsizliklerinin doğruluğunu belirler. n > 8 ve sıra (13)'te n > 14 .
Aralarında eşitlik olamaz. Pozitif tam sayıların (21,19,16) rastgele bir üçlüsü, Fermat'ın son teoreminin (2) denkleminin çözümü değildir. Eğer pozitif tamsayılardan oluşan rastgele bir üçlü denklemin çözümü değilse, o zaman denklemin pozitif tamsayılar kümesinde hiçbir çözümü yoktur ve bunun kanıtlanması gerekir.
İLE) Fermat'ın Diophantus'un sorununa ilişkin yorumu, ayrıştırmanın imkansız olduğunu belirtiyor " genel olarak kareden büyük kuvvet yoktur, aynı üste sahip iki kuvvet».
Öpücük kareden büyük bir derece aynı üsle iki dereceye ayrıştırılamaz. Öpücük yok kareden daha büyük bir derece aynı üslü iki kuvvete ayrıştırılabilir.
Pozitif tam sayıların herhangi bir rastgele üçlüsü (z, x, y) Her bir üyesi sabit sayıda kişiden oluşan bir aileye ait olabilir. z ve iki sayı daha küçük z . Ailenin her üyesi bir eşitsizlik biçiminde temsil edilebilir ve sonuçta ortaya çıkan tüm eşitsizlikler, bir eşitsizlikler dizisi biçiminde temsil edilebilir:
| zn< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n | (14) |
Eşitsizlikler dizisi (14), sol tarafın sağ taraftan küçük olduğu eşitsizliklerle başlar ve sağ tarafın sol taraftan küçük olduğu eşitsizliklerle biter. Artan üs ile n > 2 (14) dizisinin sağ tarafındaki eşitsizliklerin sayısı artar. Üs ile n = k Dizinin sol tarafındaki tüm eşitsizlikler anlam değiştirir ve dizinin eşitsizliklerinin sağ tarafındaki eşitsizliklerin anlamını alırlar (14). Tüm eşitsizliklerin üssünün arttırılması sonucunda sol tarafın sağ taraftan daha büyük olduğu ortaya çıkar:
| zk > (z-1)k + (z-1)k ; zk > (z-1)k + (z-2)k ;…; zk > 2k + 1k; zk > 1k + 1k | (15) |
Üssün daha da artmasıyla n>k eşitsizliklerin hiçbiri anlamını değiştirip eşitliğe dönüşmüyor. Bu temelde, keyfi olarak seçilmiş herhangi bir pozitif tamsayı üçlüsünün (z, x, y) en n > 2 , z > x , z > y
Keyfi olarak seçilmiş bir pozitif tam sayı üçlüsünde z keyfi olarak büyük bir doğal sayı olabilir. Büyük olmayan tüm doğal sayılar için z Fermat'ın Son Teoremi kanıtlandı.
D) Sayı ne kadar büyük olursa olsun z Doğal sayı dizisinde, önünde büyük fakat sonlu bir tamsayı kümesi vardır ve ondan sonra da sonsuz bir tamsayı kümesi vardır.
Sonsuz doğal sayılar kümesinin tamamının büyük olduğunu kanıtlayalım. z , Fermat'ın Son Teoremi denkleminin çözümü olmayan sayıların üçlülerini oluşturur; örneğin, pozitif tam sayıların rastgele bir üçlüsü (z + 1, x ,y) , burada z + 1 > x Ve z + 1 > y üssün tüm değerleri için n > 2 Fermat'ın son teoreminin denkleminin çözümü değildir.
Rastgele seçilmiş pozitif tam sayılar üçlüsü (z + 1, x, y) Her bir üyesi sabit bir sayıdan oluşan üçlü sayılardan oluşan bir aileye ait olabilir. z+1 ve iki sayı X Ve en farklı değerler alan, daha küçük z+1 . Ailenin üyeleri, sabit sol tarafın sağ taraftan küçük veya büyük olduğu eşitsizlikler biçiminde temsil edilebilir. Eşitsizlikler bir eşitsizlik dizisi şeklinde sıralanabilir:
Üssün daha da artmasıyla n>k sonsuza kadar (17) dizisinin eşitsizliklerinden hiçbiri anlamını değiştirmez ve eşitliğe dönüşmez. Sıra (16)'da, keyfi olarak seçilmiş pozitif tamsayılar üçlüsünden oluşan eşitsizlik (z + 1, x, y) , formda sağ tarafta yer alabilir (z + 1) n > x n + y n veya formda sol tarafta olun (z+1)n< x n + y n .
Her durumda, pozitif tam sayıların üçlüsü (z + 1, x, y) en n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y (16) dizisi bir eşitsizliği temsil eder ve bir eşitliği temsil edemez, yani Fermat'ın son teoreminin denkleminin çözümünü temsil edemez.
Sol taraftaki son eşitsizlik ile sağ taraftaki ilk eşitsizliğin zıt anlamdaki eşitsizlikler olduğu güç eşitsizlikleri (16) dizisinin kökenini anlamak kolay ve basittir. Tam tersine, tüm eşitsizliklerin aynı anlama geldiği bir eşitsizlikler dizisinden (17) bir eşitsizlikler dizisinin (16) nasıl oluştuğunu okul çocukları, lise öğrencileri ve lise öğrencileri için anlamak kolay ve zor değildir. .
Sıra (16)'da eşitsizliklerin tamsayı derecesi 1 birim artırıldığında sol taraftaki son eşitsizlik sağ taraftaki ters anlamdaki ilk eşitsizliğe dönüşür. Böylece dizinin sol tarafındaki eşitsizliklerin sayısı azalırken, sağ taraftaki eşitsizliklerin sayısı artar. Zıt anlamlı son ve birinci güç eşitsizlikleri arasında zorunlu olarak bir güç eşitliği vardır. Ardışık iki doğal sayı arasında yalnızca tam sayı olmayan sayılar bulunduğundan derecesi tam sayı olamaz. Teoremin koşullarına göre tam sayı olmayan derecedeki bir kuvvet eşitliği, denklem (1)'in çözümü olarak kabul edilemez.
Sırayla (16) dereceyi 1 birim artırmaya devam edersek, sol tarafın son eşitsizliği sağ tarafın zıt anlamının ilk eşitsizliğine dönüşecektir. Sonuç olarak, sol tarafta hiçbir eşitsizlik kalmayacak ve yalnızca sağ tarafta eşitsizlikler kalacak ve bu da artan güç eşitsizlikleri dizisi olacaktır (17). Tamsayı kuvvetlerinin 1 birim daha artması, yalnızca kuvvet eşitsizliklerini güçlendirir ve tamsayı kuvvetlerinde eşitlik olasılığını kategorik olarak dışlar.
Sonuç olarak, genel olarak, kuvvet eşitsizlikleri dizisinin (17) bir doğal sayısının (z+1) hiçbir tam sayı kuvveti aynı üslü iki tam sayı kuvvetine ayrıştırılamaz. Bu nedenle denklem (1)'in sonsuz doğal sayılar kümesi üzerinde çözümü yoktur ve bunun kanıtlanması gerekir.
Sonuç olarak Fermat'ın son teoremi bütünüyle kanıtlanmıştır:
- tüm üçüzler için A) bölümünde (z, x, y) Pisagor sayıları (Fermat'ın keşfi gerçekten harika bir kanıttır),
- herhangi bir üçlü ailenin tüm üyeleri için B) bölümünde (z, x, y) Pisagor sayıları,
- sayıların tüm üçlüleri için C) bölümünde (z, x, y) , büyük sayılar değil z
- sayıların tüm üçlüleri için D) bölümünde (z, x, y) doğal sayı dizisi.
|
Yapılan değişiklikler 09/05/2010 |
Hangi teoremler çelişkiyle kanıtlanabilir ve kanıtlanamaz?
Matematiksel terimlerin açıklayıcı sözlüğü, bir teoremin tersi olan bir teoremin çelişkili kanıtını tanımlar.
“Çelişki yoluyla kanıt, teoremin kendisini değil eşdeğer (eşdeğer) teoremini kanıtlamayı içeren bir teoremi (önermeyi) kanıtlama yöntemidir. Çelişki yoluyla kanıt, doğrudan teoremin kanıtlanmasının zor olduğu, ancak zıt teoremin kanıtlanmasının daha kolay olduğu durumlarda kullanılır. Çelişki yoluyla ispatta, teoremin sonucunun yerini onun olumsuzlaması alır ve akıl yürütme yoluyla koşulların olumsuzlamasına varılır, yani. bir çelişkiye, tersine (verilenin tam tersi; saçmalığa bu indirgeme teoremi kanıtlıyor."
Çelişki ispatı matematikte sıklıkla kullanılır. Çelişki yoluyla kanıt, A ve A (A'nın olumsuzlanması) olmak üzere iki ifadeden (ifadelerden) birinin doğru, diğerinin yanlış olması gerçeğinden oluşan ortanın hariç tutulması yasasına dayanır./Açıklayıcı Matematik Terimleri Sözlüğü: Öğretmenler İçin Bir El Kitabı/O. V. Manturov [vb.]; tarafından düzenlendi V. A. Ditkina.- M.: Eğitim, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.
Çelişki yoluyla ispat yönteminin matematikte kullanılmasına rağmen matematiksel bir yöntem olmadığını, mantıksal bir yöntem olduğunu ve mantığa ait olduğunu açıkça beyan etmek daha doğru olmaz. Çelişki yoluyla kanıtın "doğrudan bir teoremi kanıtlamanın zor olduğu durumlarda kullanıldığını" söylemek kabul edilebilir mi, halbuki aslında sadece ve sadece ikamesi olmadığında kullanılır.
Doğrudan ve ters teoremlerin birbirleriyle ilişkilerinin karakterizasyonu da özel ilgiyi hak ediyor. “Belirli bir teoremin (veya belirli bir teoremin) tersi teorem, koşulun sonuç olduğu ve sonucun verilen teoremin koşulu olduğu bir teoremdir. Ters teoremle ilişkili olarak bu teoreme doğrudan teorem (orijinal) denir. Aynı zamanda, ters teoremin tersi teoremi verilen teorem olacaktır; bu nedenle, doğrudan ve ters teoremlere karşılıklı olarak ters denir. Doğrudan (verilen) teorem doğruysa, ters teorem her zaman doğru değildir. Örneğin, bir dörtgen bir eşkenar dörtgen ise, köşegenleri karşılıklı olarak diktir (direkt teorem). Eğer bir dörtgende köşegenler karşılıklı olarak dikse, bu durumda dörtgen bir eşkenar dörtgendir; bu yanlıştır, yani ters teorem yanlıştır.”/Açıklayıcı Matematik Terimleri Sözlüğü: Öğretmenler İçin Bir El Kitabı/O. V. Manturov [vb.]; tarafından düzenlendi V. A. Ditkina.- M.: Eğitim, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.
Direkt ve ters teoremler arasındaki ilişkinin bu özelliği, direkt teoremin koşulunun kanıt olmadan verili olarak kabul edilmesini hesaba katmaz, dolayısıyla doğruluğu garanti edilmez. Ters teoremin koşulu kanıtlanmış direkt teoremin sonucu olduğundan verili olarak kabul edilmez. Doğruluğu direkt teoremin ispatıyla doğrulanır. Doğrudan ve ters teoremlerin koşullarındaki bu temel mantıksal fark, hangi teoremlerin çelişki yoluyla mantıksal yöntemle kanıtlanabileceği ve kanıtlanamayacağı sorusunda belirleyici olduğu ortaya çıkar.
Aklımızda, alışılagelmiş matematiksel yöntemle kanıtlanabilen ancak zor olan doğrudan bir teoremin olduğunu varsayalım. Bunu genel ve kısaca şu şekilde formüle edelim: itibaren A meli e . Sembol A kanıt olmadan kabul edilen teoremin verilen koşulunun anlamını taşır. Sembol e önemli olan kanıtlanması gereken teoremin sonucudur.
Doğrudan teoremi çelişkiyle kanıtlayacağız, mantıklı yöntem. Mantıksal yöntem, bir teoremi kanıtlamak için kullanılır. matematiksel değil durumu ve mantıklı durum. Teoremin matematiksel koşulu ise elde edilebilir. itibaren A meli e , tam tersi koşulu ekleyin itibaren A bunu yapma e .
Sonuç, yeni teoremin iki bölümden oluşan mantıksal çelişkili bir koşuluydu: itibaren A meli e Ve itibaren A bunu yapma e . Yeni teoremin ortaya çıkan koşulu, ortanın hariç tutulması mantıksal yasasına karşılık gelir ve teoremin çelişki yoluyla ispatına karşılık gelir.
Kanuna göre çelişkili koşulun bir kısmı yanlış, bir kısmı doğru, üçüncü kısmı hariç tutuluyor. Çelişki yoluyla ispat, teoremin koşulunun iki kısmından tam olarak hangi kısmının yanlış olduğunu belirleme görevi ve amacına sahiptir. Koşulun yanlış kısmı belirlendikten sonra diğer kısmın doğru olduğu tespit edilir ve üçüncü kısım hariç tutulur.
Matematiksel terimlerin açıklayıcı sözlüğüne göre, “Kanıt, herhangi bir ifadenin (yargı, ifade, teorem) doğruluğunun veya yanlışlığının belirlendiği akıl yürütmedir”. Kanıt çelişkili olarak kurulduğu sırada bir akıl yürütme var sahtelik sonucun (saçmalığı) YANLIŞ Teoremin kanıtlanması gereken koşulları.
Verilen: itibaren A meli e ve itibaren A bunu yapma e .
Kanıtlamak: itibaren A meli e .
Kanıt: Teoremin mantıksal koşulu, çözülmesini gerektiren bir çelişki içerir. Koşulun çelişkisi, çözümünü kanıtta ve onun sonucunda bulmalıdır. Kusursuz ve hatasız akıl yürütmeyle sonuç yanlış çıkar. Mantıksal olarak doğru akıl yürütmede yanlış bir sonucun nedeni yalnızca çelişkili bir durum olabilir: itibaren A meli e Ve itibaren A bunu yapma e .
Bu durumda koşulun bir kısmının yanlış, diğer kısmının ise doğru olduğuna dair hiçbir şüphe yoktur. Durumun her iki kısmı da aynı kökene sahiptir, veri olarak kabul edilir, eşit derecede mümkün, eşit derecede kabul edilebilir olarak kabul edilir, vb. Mantıksal akıl yürütme sırasında, koşulun bir kısmını diğerinden ayırt edecek tek bir mantıksal özellik keşfedilmedi. . Bu nedenle aynı ölçüde olabilir itibaren A meli e ve belki itibaren A bunu yapma e . İfade itibaren A meli e Belki YANLIŞ, ardından açıklama itibaren A bunu yapma e doğru olacak. İfade itibaren A bunu yapma e yanlış olabilir, o zaman ifade itibaren A meli e doğru olacak.
Sonuç olarak doğrudan bir teoremi çelişki yoluyla kanıtlamak imkansızdır.
Şimdi aynı doğrudan teoremi olağan matematiksel yöntemi kullanarak kanıtlayacağız.
Verilen: A .
Kanıtlamak: itibaren A meli e .
Kanıt.
1. İtibaren A meli B
2. İtibaren B meli İÇİNDE (daha önce kanıtlanmış teoreme göre)).
3. İtibaren İÇİNDE meli G (daha önce kanıtlanmış teoreme göre).
4. İtibaren G meli D (daha önce kanıtlanmış teoreme göre).
5. İtibaren D meli e (daha önce kanıtlanmış teoreme göre).
Geçişlilik yasasına göre, itibaren A meli e . Doğrudan teorem olağan yöntemle kanıtlanır.
Kanıtlanmış doğrudan teoremin doğru bir ters teoremine sahip olmasına izin verin: itibaren e meli A .
Hadi bunu her zamanki gibi kanıtlayalım matematiksel yöntem. Ters teoremin kanıtı, matematiksel işlemlerin bir algoritması olarak sembolik biçimde ifade edilebilir.
Verilen: e
Kanıtlamak: itibaren e meli A .
Kanıt.
1. İtibaren e meli D
2. İtibaren D meli G (daha önce kanıtlanmış ters teoreme göre).
3. İtibaren G meli İÇİNDE (daha önce kanıtlanmış ters teoreme göre).
4. İtibaren İÇİNDE bunu yapma B (Ters teorem doğru değil). Bu yüzden itibaren B bunu yapma A .
Bu durumda ters teoremin matematiksel ispatına devam etmenin bir anlamı yoktur. Durumun nedeni mantıklı. Yanlış bir converse teoremi hiçbir şeyle değiştirilemez. Bu nedenle, bu ters teoremi alışılagelmiş matematiksel yöntemle kanıtlamak imkansızdır. Tüm umut bu ters teoremi çelişkiyle kanıtlamaktır.
Bunu çelişkiyle kanıtlamak için, matematiksel koşulunu, anlamı bakımından iki parçayı (yanlış ve doğru) içeren mantıksal çelişkili bir koşulla değiştirmek gerekir.
Converse teoremişunu belirtir: itibaren e bunu yapma A . Onun durumu e buradan şu sonuç çıkıyor A , doğrudan teoremin olağan matematiksel yöntem kullanılarak kanıtlanmasının sonucudur. Bu durum korunmalı ve beyanla desteklenmelidir. itibaren e meli A . Toplama sonucunda yeni ters teoremin çelişkili durumunu elde ederiz: itibaren e meli A Ve itibaren e bunu yapma A . Buna dayanarak mantıksal olarakçelişkili koşulda, ters teorem doğru denklemle kanıtlanabilir mantıklı yalnızca ve yalnızca akıl yürütme, mantıklıçelişkili bir yöntem. Çelişki yoluyla ispatta, herhangi bir matematiksel eylem ve işlem mantıksal olanlara tabidir ve bu nedenle sayılmaz.
Çelişkili açıklamanın ilk bölümünde itibaren e meli A durum e direkt teoremin ispatı ile kanıtlanmıştır. İkinci bölümde itibaren e bunu yapma A durum e kanıt olmadan varsayıldı ve kabul edildi. Bunlardan biri yanlış, diğeri doğrudur. Hangisinin yanlış olduğunu kanıtlamanız gerekiyor.
Bunu doğru şekilde kanıtlıyoruz mantıklı akıl yürütür ve sonucunun yanlış, saçma bir sonuç olduğunu keşfeder. Yanlış mantıksal sonucun nedeni, teoremin, yanlış ve doğru olmak üzere iki parça içeren çelişkili mantıksal durumudur. Yanlış kısım yalnızca bir ifade olabilir itibaren e bunu yapma A , hangisinde e kanıt olmadan kabul edildi. Onu farklı kılan da bu e ifadeler itibaren e meli A doğrudan teoremin ispatı ile kanıtlanmıştır.
Bu nedenle ifade doğrudur: itibaren e meli A Kanıtlanması gereken şey buydu.
Çözüm: Mantıksal yöntemle, matematiksel yöntemle kanıtlanmış doğrudan teoremi olan ve matematiksel yöntemle kanıtlanamayan yalnızca ters teorem çelişkiyle kanıtlanır.
Elde edilen sonuç, Fermat'ın büyük teoremiyle çelişerek ispat yöntemi açısından olağanüstü bir önem kazanıyor. Bunu kanıtlamaya yönelik girişimlerin ezici çoğunluğu, olağan matematiksel yönteme değil, çelişki yoluyla mantıksal kanıtlama yöntemine dayanmaktadır. Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremine ilişkin kanıtı bir istisna değildir.
Dmitry Abrarov, "Fermat Teoremi: Wiles Kanıtları Olgusu" başlıklı makalesinde, Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremine ilişkin kanıtı üzerine bir yorum yayınladı. Abrarov'a göre Wiles, Fermat denkleminin potansiyel çözümünü ilişkilendiren Alman matematikçi Gerhard Frey'in (d. 1944) dikkate değer bir keşfinin yardımıyla Fermat'ın son teoremini kanıtlıyor. x n + y n = z n
, Nerede n > 2
tamamen farklı başka bir denklemle. Bu yeni denklem özel bir eğri (Frey'in eliptik eğrisi adı verilen) ile verilmektedir. Frey eğrisi çok basit bir denklemle verilir:
.
“Her kararı karşılaştıran Frey'di (a, b, c) Fermat denklemi, yani ilişkiyi karşılayan sayılar a n + b n = c n, yukarıdaki eğri. Bu durumda Fermat'nın son teoremi geçerli olacaktır."(Alıntı: Abrarov D. “Fermat Teoremi: Wiles kanıtlarının fenomeni”)
Başka bir deyişle Gerhard Frey, Fermat'ın Son Teoreminin denkleminin x n + y n = z n
, Nerede n > 2
, pozitif tam sayılarda çözümlere sahiptir. Frey'in varsayımına göre bu aynı çözümler denkleminin çözümleridir.
y 2 + x (x - bir n) (y + b n) = 0
eliptik eğrisi tarafından verilir.
Andrew Wiles, Frey'in bu dikkate değer keşfini kabul etti ve onun yardımıyla, matematiksel yöntemi bu bulgunun, yani Frey eliptik eğrisinin var olmadığını kanıtladı. Dolayısıyla var olmayan bir eliptik eğri tarafından verilen bir denklem ve çözümleri yoktur. Dolayısıyla Wiles, Fermat'ın son teoreminin ve Fermat teoreminin denkleminin olmadığı sonucunu kabul etmeliydi. Ancak Fermat'ın Son Teoremi denkleminin pozitif tamsayılarda çözümü olmadığı şeklindeki daha mütevazı bir sonucu kabul ediyor.
Reddedilemez bir gerçek, Wiles'ın, Fermat'ın büyük teoreminin ifade ettiği anlamın tam tersi olan bir varsayımı kabul etmesi olabilir. Bu, Wiles'ı Fermat'nın son teoremini çelişkiyle kanıtlamaya zorluyor. Onun örneğini takip edelim ve bu örnekten ne çıkacağını görelim.
Fermat'ın Son Teoremi denklemin şunu belirtir: x n + y n = z n , Nerede n > 2 pozitif tamsayılarda çözümü yoktur.
Çelişki yoluyla ispatın mantıksal yöntemine göre, bu ifade korunur, kanıt olmadan verilmiş olarak kabul edilir ve ardından karşıt bir ifadeyle tamamlanır: denklem x n + y n = z n , Nerede n > 2 , pozitif tam sayılarda çözümlere sahiptir.
Varsayımsal ifade de kanıt olmadan verilmiş olarak kabul edilir. Mantığın temel yasaları açısından ele alındığında her iki ifade de eşit derecede geçerli, eşit derecede geçerli ve eşit derecede mümkündür. Doğru muhakeme yoluyla hangisinin yanlış olduğunu tespit etmek ve ardından diğer ifadenin doğru olduğunu belirlemek gerekir.
Doğru akıl yürütme, yanlış, saçma bir sonuçla sonuçlanır; bunun mantıksal nedeni yalnızca, doğrudan zıt anlamın iki bölümünü içeren, kanıtlanan teoremin çelişkili koşulu olabilir. Bunlar saçma sonucun mantıksal nedeni, çelişki yoluyla ispatın sonucuydu.
Bununla birlikte, mantıksal olarak doğru akıl yürütme sırasında, hangi ifadenin yanlış olduğunu tespit edebilecek tek bir işaret bile keşfedilmedi. Bir ifade olabilir: denklem x n + y n = z n , Nerede n > 2 , pozitif tam sayılarda çözümlere sahiptir. Aynı temelde aşağıdaki ifade de olabilir: denklem x n + y n = z n , Nerede n > 2 pozitif tamsayılarda çözümü yoktur.
Akıl yürütme sonucunda tek bir sonuç çıkarılabilir: Fermat'ın Son Teoremi çelişkiyle kanıtlanamaz.
Fermat'ın son teoreminin, olağan matematiksel yöntemle kanıtlanmış doğrudan bir teoremi olan ters bir teorem olması tamamen farklı bir konu olurdu. Bu durumda çelişkiyle ispat edilebilir. Ve doğrudan bir teorem olduğundan, kanıtı çelişki yoluyla kanıtlamanın mantıksal yöntemine değil, sıradan matematik yöntemine dayanmalıdır.
D. Abrarov'a göre, modern Rus matematikçilerin en ünlüsü Akademisyen V. I. Arnold, Wiles'ın kanıtına "aktif şüpheci" tepki gösterdi. Akademisyen şunları ifade etti: “Bu gerçek matematik değil - gerçek matematik geometriktir ve fizikle güçlü bağlantıları vardır.” (Alıntı: Abrarov D. “Fermat Teoremi: Wiles'ın kanıtları olgusu.” Wiles'ın Fermat'nın son teoreminin matematiksel olmayan kanıtı.
Çelişkiyle Fermat'ın Son Teoremi denkleminin çözümünün olmadığını ya da çözümlerinin olduğunu kanıtlamak imkansızdır. Wiles'ın hatası matematiksel değil mantıksaldır; kullanımının anlamlı olmadığı ve Fermat'nın büyük teoreminin kanıtlanmadığı çelişki yoluyla kanıtın kullanılması.
Fermat'ın Son Teoremi, aşağıdaki denklemi veriyorsa, olağan matematiksel yöntem kullanılarak bile kanıtlanamaz: x n + y n = z n , Nerede n > 2 , pozitif tamsayılarda çözümü yoktur ve kanıtlanması gerekiyorsa: denklem x n + y n = z n , Nerede n > 2 pozitif tamsayılarda çözümü yoktur. Bu formda bir teorem değil, anlamdan yoksun bir totoloji vardır.
Not. BTF kanıtım forumlardan birinde tartışıldı. Sayı teorisinde uzman olan Trotil katılımcılarından biri, şu yetkili açıklamayı yaptı: "Mirgorodsky'nin yaptıklarının kısa bir yeniden anlatımı." Aynen aktarıyorum:
« A. Eğer bunu kanıtladıysa z 2 = x 2 + y , O z n > x n + y n . Bu çok iyi bilinen ve oldukça açık bir gerçektir.
İÇİNDE. İki üçlüyü aldı - Pisagor ve Pisagor olmayan ve basit bir araştırmayla belirli, belirli bir üçlü ailesi için (78 ve 210 parça) BTF'nin (ve yalnızca bunun için) tatmin olduğunu gösterdi.
İLE. Ve sonra yazar şu gerçeği atladı: < daha sonra ortaya çıkabilir = , sadece > . Basit bir karşı örnek - geçiş n=1 V n=2 Pisagor üçlüsünde.
D. Bu nokta BTF kanıtına önemli bir katkı sağlamamaktadır. Sonuç: BTF kanıtlanmadı.”
Vardığı sonucu nokta nokta ele alacağım.
A. Pisagor sayılarının sonsuz üçlü kümesinin tamamı için BTF'yi kanıtlar. Benim tarafımdan keşfedilmediğine inandığım, ancak yeniden keşfedildiğine inandığım geometrik bir yöntemle kanıtlandı. Ve inanıyorum ki P. Fermat'ın kendisi tarafından keşfedildi. Fermat şunları yazarken aklında bu varmış olabilir:
"Bunun gerçekten harika bir kanıtını keşfettim ama bu alanlar bunun için çok dar." Bu varsayımım, Fermat'ın kitabın kenarlarında yazdığı Diophantine probleminde, Pisagor sayılarının üçlüsü olan Diophantine denkleminin çözümlerinden bahsettiğimiz gerçeğine dayanmaktadır.
Pisagor sayılarının sonsuz üçlü kümesi Diofat denkleminin çözümüdür ve Fermat teoreminde ise tam tersine çözümlerin hiçbiri Fermat teoreminin denkleminin çözümü olamaz. Fermat'ın gerçekten muhteşem kanıtı da bu gerçekle doğrudan bağlantılıdır. Fermat daha sonra teoremini tüm doğal sayılar kümesine genişletebildi. Tüm doğal sayılar kümesinde BTF, "olağanüstü güzel teoremler kümesine" ait değildir. Bu benim varsayımımdır, ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir. Kabul edilebilir veya reddedilebilir.
İÇİNDE. Bu noktada, hem keyfi olarak alınan bir Pisagor sayı üçlüsünün ailesinin hem de keyfi olarak alınmış bir Pisagor olmayan BTF sayı üçlüsünün ailesinin karşılandığını kanıtlıyorum. Bu, BTF kanıtımda gerekli, ancak yetersiz ve ara bir bağlantıdır. . Pisagor sayıların üçlü ailesi ve Pisagor olmayan sayıların üçlü ailesi hakkında aldığım örnekler, benzer diğer örneklerin varlığını varsayan ve bunları dışlamayan spesifik örnekler anlamına sahiptir.
Trotil'in "basit bir araştırmayla, belirli, belirli bir üçüz ailesi için (78 ve 210 parça) BTF'nin (ve yalnızca bunun için) tatmin edildiğini gösterdiğim ifadesi temelsizdir. Bir ve diğer üçlünün belirli bir ailesini elde etmek için Pisagor ve Pisagor olmayan üçlülerin diğer örneklerini de alabileceğim gerçeğini çürütemez.
Hangi üçlü çifti alırsam alayım, onların sorunu çözmeye uygunluklarını kontrol etmek bence sadece "basit numaralandırma" yöntemiyle gerçekleştirilebilir. Başka bir yöntem bilmiyorum ve buna ihtiyacım da yok. Eğer Trotil bundan hoşlanmadıysa o zaman başka bir yöntem önermesi gerekirdi ki kendisi bunu yapmıyor. Karşılığında hiçbir şey teklif etmeden, bu durumda yeri doldurulamaz olan "basit aşırılığı" kınamak yanlıştır.
İLE. Atladım = arası< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), burada derece n > 2 — tüm pozitif sayı. Eşitsizlikler arasındaki eşitlikten şu sonuç çıkıyor zorunlu denklemin dikkate alınması (1) tamsayı olmayan bir derece değeri için n > 2 . Trotil, sayıyor zorunlu eşitsizlikler arasındaki eşitliğin dikkate alınması aslında gerekli BTF kanıtında, denklem (1)'in dikkate alınması bütün değil derece değeri n > 2 . Bunu kendim için yaptım ve denklem (1)'i buldum. bütün değil derece değeri n > 2 üç sayının çözümü vardır: z, (z-1), (z-1) tamsayı olmayan bir üs için.
2'den büyük n tam sayıları için, x n + y n = z n denkleminin doğal sayılarda sıfırdan farklı çözümü yoktur.
Muhtemelen okul günlerinden hatırlıyorsun Pisagor teoremi: Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Kenar uzunlukları 3:4:5 oranında olan klasik dik üçgeni de hatırlarsınız. Bunun için Pisagor teoremi şuna benzer:
Bu, sıfırdan farklı tamsayılarda genelleştirilmiş Pisagor denklemini çözmenin bir örneğidir. N= 2. Fermat'ın Son Teoremi ("Fermat'ın Son Teoremi" ve "Fermat'ın Son Teoremi" olarak da bilinir) değerler için şunu ifade eder: N> 2 formun denklemi xn + e-n = zn doğal sayılarda sıfırdan farklı çözümler yoktur.
Fermat'ın Son Teoreminin tarihi çok ilginç ve öğreticidir ve sadece matematikçiler için değildir. Pierre de Fermat matematiğin çeşitli alanlarının gelişimine katkıda bulundu, ancak bilimsel mirasının büyük kısmı ancak ölümünden sonra yayınlandı. Gerçek şu ki, Fermat için matematik profesyonel bir meslek değil, bir tür hobiydi. Zamanının önde gelen matematikçileriyle yazıştı ancak çalışmasını yayınlamak için çaba göstermedi. Fermat'ın bilimsel yazıları çoğunlukla özel yazışmalar ve parçalı notlar şeklinde bulunur ve çoğunlukla çeşitli kitapların kenarlarında yazılmıştır. Diophantus'un antik Yunan “Aritmetiği” kitabının ikinci cildinin kenarlarındadır. - Not çevirmen) matematikçinin ölümünden kısa bir süre sonra, torunları ünlü teoremin ve dipnotun formülasyonunu keşfettiler:
« Bunun gerçekten harika bir kanıtını buldum ama bu alanlar bunun için çok dar».
Ne yazık ki, görünüşe göre Fermat, bulduğu "mucizevi kanıtı" yazma zahmetine girmedi ve torunları üç yüzyıldan fazla bir süre boyunca başarısız bir şekilde onu aradılar. Fermat'ın pek çok şaşırtıcı ifadeyi içeren dağınık bilimsel mirası arasında, çözülmeyi inatla reddeden şey Büyük Teorem'di.
Fermat'nın Son Teoremini kanıtlamaya çalışan kimse boşuna! Bir başka büyük Fransız matematikçi René Descartes (1596-1650), Fermat'ı "övüngen" olarak adlandırdı ve İngiliz matematikçi John Wallis (1616-1703) onu "lanet bir Fransız" olarak nitelendirdi. Ancak Fermat'ın kendisi hala bu durum için arkasında teoreminin bir kanıtını bıraktı. N= 4. Kanıtlı N= 3, 18. yüzyılın büyük İsviçreli-Rus matematikçisi Leonhard Euler (1707-83) tarafından çözüldü; N> 4, şaka yollu bir şekilde Fermat'ın evinin aranarak kayıp delilin anahtarının bulunmasını önerdi. 19. yüzyılda sayılar teorisindeki yeni yöntemler, 200 içindeki birçok tam sayı için önermenin kanıtlanmasını mümkün kıldı, ancak yine de hepsi için değil.
1908'de bu sorunun çözümü için 100.000 Alman Markı tutarında bir ödül belirlendi. Ödül fonu, efsaneye göre intihar edecek olan ancak Fermat'ın Son Teoremine o kadar kapılmış ki ölme konusundaki fikrini değiştiren Alman sanayici Paul Wolfskehl tarafından miras bırakıldı. Ekleme makinelerinin ve ardından bilgisayarların ortaya çıkışıyla birlikte değer çubuğu N giderek daha da yükselmeye başladı - İkinci Dünya Savaşı'nın başlangıcında 617'ye, 1954'te 4001'e, 1976'da 125.000'e. 20. yüzyılın sonlarında Los Alamos'taki (New Mexico, ABD) askeri laboratuvarlardaki en güçlü bilgisayarlar, Fermat'ın sorununu arka planda çözecek şekilde programlandı (kişisel bir bilgisayarın ekran koruyucu moduna benzer şekilde). Böylece inanılmaz derecede büyük değerler için teoremin doğru olduğunu göstermek mümkün oldu. x, y, z Ve N ancak aşağıdaki değerlerden herhangi biri olduğundan bu kesin bir kanıt olarak kullanılamaz. N veya doğal sayıların üçlüsü teoremi bir bütün olarak çürütebilir.
Son olarak, 1994 yılında Princeton'da çalışan İngiliz matematikçi Andrew John Wiles (d. 1953), Fermat'nın Son Teoreminin bir kanıtını yayınladı; bu kanıt, bazı değişikliklerden sonra kapsamlı kabul edildi. Kanıt, dergi sayfalarından fazlasını kapsıyordu ve Fermat döneminde geliştirilmemiş olan modern yüksek matematik araçlarının kullanımına dayanıyordu. Peki Fermat kitabın kenarlarına kanıtı bulduğunu belirten bir mesaj bırakarak ne demek istedi? Bu konu hakkında konuştuğum matematikçilerin çoğu, Fermat'ın Son Teoreminin yüzyıllar boyunca gereğinden fazla yanlış kanıtının bulunduğunu ve büyük olasılıkla Fermat'ın kendisinin de benzer bir kanıt bulduğunu, ancak hatayı fark edemediğini belirtti. içinde. Ancak Fermat'ın Son Teoreminin henüz kimsenin bulamadığı kısa ve zarif bir kanıtının bulunması da mümkündür. Kesin olarak tek bir şey söylenebilir: Bugün teoremin doğru olduğundan eminiz. Sanırım çoğu matematikçi, onun kanıtı hakkında şunları söyleyen Andrew Wiles'a kayıtsız şartsız katılacaktır: "Şimdi nihayet zihnim huzur içinde."
Yıllar önce Taşkent'ten, o zamanlar Kommunisticheskaya Caddesi 31 numarada yaşayan ergenlik çağındaki bir adam olan Valery Muratov'dan bir mektup aldım. Adam kararlıydı: “Ne kadar ödeyeceksin. Fermat'ın teoremini kanıtlamam en az 500 rubleye mal olur mu? Başka zaman bunu sana bedava kanıtlarım ama şimdi paraya ihtiyacım var..."
İnanılmaz bir paradoks: Fermat'ın kim olduğunu, ne zaman yaşadığını ve ne yaptığını çok az kişi biliyor. Onun büyük teoremini en genel terimlerle bile tanımlayabilen insan sayısı çok daha azdır. Ancak herkes, dünya çapındaki matematikçilerin 300 yıldan fazla bir süredir kanıtı için uğraştığı ancak kanıtlayamadığı bir tür Fermat teoremi olduğunu biliyor!
Pek çok hırslı insan var ve başkalarının yapamayacağı bir şeyin olduğunun bilinci, onların hırslarını daha da artırıyor. Bu nedenle, Büyük Teoremin binlerce (!) kanıtı dünya çapındaki akademilere, bilimsel enstitülere ve hatta gazete yazı işleri ofislerine geldi ve gelmeye devam ediyor - sahte bilimsel amatör faaliyetlerin eşi benzeri görülmemiş ve asla kırılmayan bir rekoru. Hatta bir terim bile var: "Fermatistler", yani Büyük Teoremi kanıtlamaya takıntılı, profesyonel matematikçilere çalışmalarını değerlendirme talepleriyle tamamen eziyet eden insanlar. Hatta ünlü Alman matematikçi Edmund Landau bir standart hazırlamış ve buna göre "Fermat teoreminin ispatında sayfada hata var..." diye cevap vermiş ve yüksek lisans öğrencileri sayfa numarasını yazmışlardır. Ve 1994 yazında dünyanın her yerindeki gazeteler tamamen sansasyonel bir şey bildirdiler: Büyük Teorem kanıtlanmıştı!
Peki Fermat kimdir, sorun nedir ve gerçekten çözüldü mü? Pierre Fermat, 1601 yılında zengin ve saygın bir tabakçının ailesinde doğdu - memleketi Beaumont'ta ikinci konsolos olarak görev yaptı - belediye başkanının asistanı gibi bir şeydi. Pierre önce Fransiskan rahipleriyle çalıştı, ardından Toulouse'daki Hukuk Fakültesi'nde avukatlık yaptı. Ancak Fermat'ın ilgi alanı hukuk biliminin çok ötesine geçti. Özellikle klasik filolojiye ilgi duymuş olup, eski yazarların metinleri üzerine yaptığı şerhler bilinmektedir. İkinci tutkum ise matematik.
17. yüzyılda ve daha sonraki yıllarda böyle bir meslek yoktu: matematikçi. Bu nedenle, o zamanın tüm büyük matematikçileri “yarı zamanlı” matematikçilerdi: Rene Descartes orduda görev yapmıştı, François Viète bir avukattı, Francesco Cavalieri bir keşişti. O zamanlar bilimsel dergiler yoktu ve klasik bilim adamı Pierre Fermat, yaşamı boyunca tek bir bilimsel çalışma yayınlamadı. İlgilerini çeken çeşitli sorunları çözen ve bu konuda birbirlerine mektuplar yazan, bazen tartışan (Fermat ve Descartes gibi), ancak çoğunlukla aynı fikirde kalan oldukça dar bir "amatörler" çevresi vardı. Yeni matematiğin kurucuları oldular, modern matematik bilgisinin kudretli ağacının büyümeye başladığı, güçlenip dallandığı parlak tohumların ekicileri oldular.
Yani Fermat da aynı "amatördü". 34 yıl yaşadığı Toulouse'da herkes onu öncelikle soruşturma odasının danışmanı ve deneyimli bir avukat olarak tanıyordu. 30 yaşında evlendi, üç oğlu ve iki kızı oldu, bazen iş gezilerine çıktı ve bunlardan birinde 63 yaşında aniden öldü. Tüm! Üç Silahşörler'in çağdaşı olan bu adamın hayatı şaşırtıcı derecede olaysız ve maceradan yoksundur. Maceralar Büyük Teoremi ile birlikte geldi. Fermat'ın tüm matematik mirasından bahsetmeyelim ve bunun hakkında popüler bir şekilde konuşmak zor. Benim sözüme güvenin: Bu miras büyük ve çeşitlidir. Büyük Teoremin çalışmalarının zirvesi olduğu iddiası oldukça tartışmalıdır. Sadece Büyük Teoremin akıbeti şaşırtıcı derecede ilginçtir ve matematiğin gizemleri konusunda tecrübesiz olan geniş insan dünyası her zaman teoremin kendisiyle değil, etrafındaki her şeyle ilgilenmiştir...
Tüm bu hikayenin kökleri, Fermat'ın çok sevdiği antik çağda aranmalıdır. 3. yüzyıl civarında, kalıpların dışında düşünen ve düşüncelerini kalıpların dışında ifade eden özgün bir bilim adamı olan Yunan matematikçi Diophantus İskenderiye'de yaşadı. Aritmetik'in 13 cildinden sadece 6'sı bize ulaştı. Fermat 20 yaşına geldiğinde eserlerinin yeni bir çevirisi yayınlandı. Fermat, Diophantus'la çok ilgilendi ve bu eserler onun referans kitabıydı. Fermat, kenar boşluklarına Büyük Teoremini yazdı; bu teorem, en basit modern haliyle şuna benzer: Xn + Yn = Zn denkleminin n - 2'den büyük tamsayılar açısından çözümü yoktur. (n = 2 için çözüm açıktır) : 32 + 42 = 52). Orada, Diophantine cildinin kenar boşluklarına Fermat şunu ekliyor: "Bu gerçekten harika kanıtı keşfettim, ancak bu kenar boşlukları bunun için çok dar."
İlk bakışta bu basit bir şey gibi görünse de diğer matematikçiler bu “basit” teoremi kanıtlamaya başlayınca yüz yıl boyunca kimse başarılı olamadı. Sonunda, büyük Leonhard Euler bunu n = 4 için, ardından 20 (!) yıl sonra - n = 3 için kanıtladı. Ve iş yine uzun yıllar boyunca durdu. Bir sonraki zafer Alman Peter Dirichlet'e (1805-1859) ve Fransız Andrien Legendre'ye (1752-1833) aitti - n = 5 için Fermat'ın haklı olduğunu kabul ettiler. Daha sonra Fransız Gabriel Lamé (1795-1870) de aynısını yaptı. n = 7. Nihayet geçen yüzyılın ortasında Alman Ernst Kummer (1810-1893), n'nin 100'den küçük veya ona eşit tüm değerleri için Büyük Teoremi kanıtladı. Üstelik bunu Fermat'ın önerdiği yöntemleri kullanarak kanıtladı. bilememesi, Büyük Teoremin etrafındaki gizem duygusunu daha da artırdı.
Böylece Fermat'ın teoremini "parça parça" kanıtladıkları ancak hiç kimsenin "bütünüyle" başarılı olmadığı ortaya çıktı. Yeni kanıtlama girişimleri yalnızca n'nin değerlerinde niceliksel bir artışa yol açtı. Herkes, çok fazla çalışmayla Büyük Teoremi keyfi olarak büyük sayıda n için kanıtlamanın mümkün olduğunu anladı, ancak Fermat herhangi birinden bahsediyordu. değeri 2'den büyük! Sorunun tüm anlamı, "istediğiniz kadar" ile "herhangi biri" arasındaki bu farkta yoğunlaşmıştı.
Ancak Fermg teoremini kanıtlama girişimlerinin yalnızca karmaşık bir bilmeceyi çözen bir tür matematik oyunu olmadığını belirtmek gerekir. Bu ispatlar sürecinde yeni matematiksel ufuklar açıldı, problemler ortaya çıktı ve çözüldü, matematik ağacının yeni dalları haline geldi. Büyük Alman matematikçi David Hilbert (1862-1943), Büyük Teoremi "özel ve görünüşte önemsiz bir problemin bilim üzerinde sahip olabileceği teşvik edici etkinin" bir örneği olarak gösterdi. Fermat teoremi üzerinde çalışan aynı Kummer, sayı teorisinin, cebirin ve fonksiyon teorisinin temelini oluşturan teoremleri kendisi kanıtladı. Yani Büyük Teoremi kanıtlamak bir spor değil, gerçek bir bilimdir.
Zaman geçti ve elektronik, profesyonel "fsrmatntstlerin" yardımına geldi. Elektronik beyinler yeni yöntemler bulamadılar ama bunu hızlı bir şekilde yaptılar. 80'li yılların başında, Fermat'ın teoremi bir bilgisayar yardımıyla n'den küçük veya 5500'e eşit olarak kanıtlandı. Yavaş yavaş bu rakam 100.000'e çıktı, ancak herkes böyle bir "birikimin" saf teknoloji meselesi olduğunu anladı. ne akla ne de kalbe hiçbir şey. Büyük Teoremin kalesini doğrudan ele alamadılar ve geçici çözüm manevraları aramaya başladılar.
80'lerin ortalarında, matematikçi olmayan genç G. Filytings, 61 yıl boyunca hiçbir matematikçinin "eline geçmeyen" sözde "Mordell varsayımını" kanıtladı. Fermat'ın teoreminin artık deyim yerindeyse "kanattan saldırarak" çözülebileceği umudu doğdu. Ancak o zaman hiçbir şey olmadı. 1986 yılında Alman matematikçi Gerhard Frey, Essence'de yeni bir ispat yöntemi önerdi. Bunu kesin bir şekilde açıklamayı taahhüt etmiyorum, ancak matematiksel olarak değil, evrensel bir insan dilinde, kulağa şöyle bir şey geliyor: Eğer başka bir teoremin kanıtının dolaylı, bir şekilde dönüştürülmüş bir kanıtı olduğuna ikna olursak. Fermat teoremini öyleyse Büyük Teoremi ispatlayacağız. Bir yıl sonra Berkeley'den Amerikalı Kenneth Ribet, Frey'in haklı olduğunu ve aslında bir kanıtın diğerine indirgenebileceğini gösterdi. Dünyanın farklı ülkelerinde pek çok matematikçi bu yolu izledi. Viktor Aleksandrovich Kolyvanov, Büyük Teoremi kanıtlamak için çok şey yaptı. Zaptedilemez kalenin üç yüz yıllık duvarları sallanmaya başladı. Matematikçiler bunun uzun süre dayanamayacağını anladılar.
1993 yazında, eski Cambridge'de, Isaac Newton Matematik Bilimleri Enstitüsü'nde dünyanın en önde gelen matematikçilerinden 75'i sorunlarını tartışmak için bir araya geldi. Bunların arasında sayılar teorisinde önemli bir uzman olan Princeton Üniversitesi'nden Amerikalı profesör Andrew Wiles da vardı. Herkes onun uzun yıllardır Büyük Teorem üzerinde çalıştığını biliyordu. Wiles üç rapor verdi ve sonuncusunda - 23 Haziran 1993 - en sonunda kuruldan uzaklaşarak bir gülümsemeyle şunları söyledi:
- Sanırım devam etmeyeceğim...
Önce ölüm sessizliği oldu, sonra alkış yağmuru. Salonda oturanlar şunu anlayacak kadar nitelikliydi: Fermat'ın Son Teoremi kanıtlandı! Her durumda, orada bulunanların hiçbiri sunulan delillerde herhangi bir hata bulamadı. Newton Enstitüsü Müdür Yardımcısı Peter Goddard gazetecilere şunları söyledi:
"Çoğu uzman, hayatlarının sonuna kadar cevabı bileceklerini düşünmüyordu." Bu, yüzyılımızın matematiğindeki en büyük başarılarından biridir...
Birkaç ay geçti, hiçbir yorum veya yalanlama yapılmadı. Doğru, Wiles kanıtını yayınlamadı, yalnızca çalışmalarının sözde baskılarını meslektaşlarından oluşan çok dar bir çevreye gönderdi, bu da doğal olarak matematikçilerin bu bilimsel sansasyon hakkında yorum yapmasını engelliyor ve Akademisyen Ludwig Dmitrievich Faddeev'i anlıyorum, Kim dedi:
“Kanıtı kendi gözlerimle gördüğümde bir sansasyon oluştuğunu söyleyebilirim.”
Faddeev, Wiles'ın kazanma ihtimalinin çok yüksek olduğuna inanıyor.
"Sayılar teorisinde tanınmış bir uzman olan babam, örneğin teoremin kanıtlanacağından emindi, ancak temel yöntemlerle değil" diye ekledi.
Akademisyenlerimizden biri olan Viktor Pavlovich Maslov ise bu habere şüpheyle yaklaştı ve Büyük Teoremin ispatının hiç de acil bir matematik problemi olmadığına inanıyor. Uygulamalı Matematik Konseyi Başkanı Maslov, bilimsel ilgileri açısından “Fermatistlerden” uzaktır ve Büyük Teoremin tam çözümünün sadece sportif ilgiye yönelik olduğunu söylediğinde insan onu anlayabilir. Bununla birlikte, herhangi bir bilimde alaka kavramının değişken bir miktar olduğunu belirtmeye cesaret ediyorum. 90 yıl önce Rutherford'a da muhtemelen şöyle söylenmişti: "Peki, radyoaktif bozunma teorisi... Peki ne işe yarar?"
Büyük Teoremin ispatı üzerine yapılan çalışma matematiğe zaten çok şey kattı ve daha fazlasını da vereceğini umabiliriz.
Peter Goddard, "Wiles'ın yaptığı, matematikçileri diğer alanlara ilerletecek" dedi. — Daha ziyade düşünce yönlerinden birini kapatmaz, aksine cevap gerektiren yeni soruları gündeme getirir...
Moskova Devlet Üniversitesi profesörü Mihail İlyiç Zelikin mevcut durumu bana şöyle anlattı:
Kimse Wiles'ın çalışmalarında herhangi bir hata görmüyor. Ancak bu çalışmanın bilimsel bir gerçek haline gelmesi için, birkaç saygın matematikçinin bağımsız olarak bu kanıtı tekrarlaması ve doğruluğunu onaylaması gerekiyor. Bu, matematik camiasının Wiles'ın çalışmalarını anlaması için vazgeçilmez bir koşuldur...
Ne kadar sürer?
Bu soruyu sayı teorisi alanında önde gelen uzmanlarımızdan biri olan Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru Alexey Nikolaevich Parshin'e sordum.
— Andrew Wiles'ın önünde hâlâ çok zaman var...
Gerçek şu ki, matematikçilerin büyük çoğunluğunun aksine zengin bir adam olan Alman matematikçi P. Wolfskel, 13 Eylül 1907'de Büyük Teoremi önümüzdeki 100 yıl içinde kanıtlayacak kişiye 100 bin mark miras bıraktı. Yüzyılın başında, miras bırakılan miktarın faizi ünlü Goethanghent Üniversitesi'nin hazinesine gitti. Bu parayla önde gelen matematikçiler ders vermeye ve bilimsel çalışmalar yapmaya davet edildi. O dönemde ödül komitesinin başkanı daha önce adı geçen David Gilbert'ti. Aslında ikramiyeyi ödemek istemiyordu.
"Neyse ki" demiş büyük matematikçi, "görünüşe göre bu görevi benden başka yapabilecek bir matematikçimiz yok, ama bizim için altın yumurtlayan kazı öldürmeye asla cesaret edemem."
Wolfskehl'in belirlediği son tarih olan 2007'ye birkaç yıl kaldı ve bana öyle geliyor ki, "Hilbert'in tavuğu" üzerinde ciddi bir tehlike beliriyor. Ama bu aslında bonusla ilgili değil. Bu, düşüncenin merakı ve insanın azmi meselesidir. Üç yüz yıldan fazla bir süre boyunca savaştılar ama yine de bunu kanıtladılar!
Ve ilerisi. Benim için tüm bu hikayedeki en ilginç şey şu: Fermat Büyük Teoremini nasıl kanıtladı? Sonuçta günümüzün matematik hilelerinin tümü onun tarafından bilinmiyordu. Peki bunu kanıtladı mı? Sonuçta, bunu kanıtlamış gibi göründüğü bir versiyon var, ancak kendisi bir hata buldu ve bu nedenle kanıtı diğer matematikçilere göndermedi ve Diophantus'un cildinin kenarlarındaki girişin üstünü çizmeyi unuttu. Bu nedenle bana öyle geliyor ki Büyük Teoremin ispatı açıkça gerçekleşti, ancak Fermat teoreminin sırrı hala devam ediyor ve bizim onu açığa çıkarmamız pek mümkün değil...
Fermat o zaman yanılmış olabilir ama şunu yazarken yanılmamıştı: "Belki de gelecek kuşaklar, eskilerin her şeyi bilmediğini onlara gösterdiğim için bana minnettar olacaklar ve bu, benden sonra gelenlerin bilinçlerine nüfuz edebilir. oğullarına meşale..."
Dünyada Fermat'ın Son Teoremini duymamış pek fazla insan yoktur - belki de bu kadar yaygın olarak bilinen ve gerçek bir efsane haline gelen tek matematik problemi budur. Pek çok kitapta ve filmde bahsediliyor ve hemen hemen tüm bahsi geçenlerin ana bağlamı, teoremin kanıtlanmasının imkansızlığıdır.
Evet, bu teorem çok iyi biliniyor ve bir anlamda amatör ve profesyonel matematikçiler tarafından tapılan bir “idol” haline geldi, ancak çok az kişi onun kanıtının bulunduğunu biliyor ve bu 1995 yılında gerçekleşti. Ama önce ilk şeyler.
Dolayısıyla, 1637'de parlak Fransız matematikçi Pierre Fermat tarafından formüle edilen Fermat'ın Son Teoremi (genellikle Fermat'ın son teoremi olarak anılır), özünde çok basit ve orta öğretimi olan herkes için anlaşılabilir. a üzeri n + b üzeri n = c üzeri n formülünün n > 2 için doğal (yani kesirli olmayan) çözümleri olmadığını söylüyor. Her şey basit ve açık görünüyor, ancak en iyi matematikçiler ve sıradan amatörler üç buçuk asırdan fazla bir süre boyunca bir çözüm aramakla uğraştılar.
Neden bu kadar ünlü? Şimdi öğreneceğiz...
Kanıtlanmış, kanıtlanmamış ve henüz kanıtlanmamış çok sayıda teorem var mı? Buradaki önemli nokta, Fermat'ın Son Teoreminin, formülasyonun basitliği ile kanıtın karmaşıklığı arasındaki en büyük zıtlığı temsil etmesidir. Fermat'ın Son Teoremi inanılmaz derecede zor bir problemdir ve formülasyonu lise 5. sınıfa giden herkes tarafından anlaşılabilir ancak her profesyonel matematikçi bile ispatı anlayamaz. Ne fizikte, ne kimyada, ne biyolojide, ne matematikte bu kadar basit formüle edilip bu kadar uzun süre çözülemeyen tek bir problem yoktur. 2. Nelerden oluşur?
Pisagor pantolonuyla başlayalım. İlk bakışta ifadeler oldukça basit. Çocukluğumuzdan beri bildiğimiz gibi, "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir." Sorun çok basit görünüyor çünkü herkesin bildiği matematiksel bir ifadeye dayanıyordu: Pisagor teoremi: Herhangi bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen kare, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir.
MÖ 5. yüzyılda. Pisagor, Pisagor kardeşliğini kurdu. Pisagorcular, diğer şeylerin yanı sıra, x²+y²=z² eşitliğini sağlayan tamsayı üçlüleri üzerinde çalıştılar. Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar ve bunları bulmak için genel formüller elde ettiler. Muhtemelen C ve daha yüksek dereceleri aramaya çalıştılar. Bunun işe yaramayacağına inanan Pisagorcular, yararsız girişimlerinden vazgeçtiler. Kardeşliğin üyeleri matematikçilerden çok filozof ve estetikçilerdi.
Yani, x²+y²=z² eşitliğini tam olarak karşılayan bir sayı kümesini seçmek kolaydır
3, 4, 5'ten başlayarak aslında üçüncü sınıf öğrencisi 9 + 16 = 25 olduğunu anlar.
Veya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Harika.
Yani onların OLMADIĞI ortaya çıkıyor. İşte hile burada başlıyor. Basitlik ortadadır, çünkü bir şeyin varlığını değil, tam tersine yokluğunu kanıtlamak zordur. Bir çözümün olduğunu kanıtlamanız gerektiğinde, bu çözümü basitçe sunabilirsiniz ve sunmalısınız.
Yokluğu kanıtlamak daha zordur: Mesela birisi şöyle diyor: falan denklemin çözümü yok. Onu bir su birikintisine mi koyacaksın? kolay: bam - ve işte çözüm! (çözüm verin). İşte bu kadar, rakip mağlup oldu. Devamsızlık nasıl kanıtlanır?
Şöyle deyin: "Böyle çözümler bulamadım"? Ya da belki iyi görünmüyordun? Ya varlarsa, sadece çok büyüklerse, çok büyüklerse, öyle ki süper güçlü bir bilgisayar bile hala yeterli güce sahip değilse? Zor olan da bu.
Bu görsel olarak şu şekilde gösterilebilir: Uygun boyutlarda iki kare alıp bunları birim karelere ayırırsanız, bu birim kareler demetinden üçüncü bir kare elde edersiniz (Şekil 2): 
Ama aynısını üçüncü boyut için de yapalım (Şekil 3) - işe yaramıyor. Yeterli küp yok veya fazladan küp kaldı:
Ancak 17. yüzyıl matematikçisi Fransız Pierre de Fermat, x n + y n = z n genel denklemini heyecanla inceledi. Ve son olarak şu sonuca vardım: n>2 için tam sayı çözüm yoktur. Fermat'ın kanıtı geri alınamayacak şekilde kayboldu. El yazmaları yanıyor! Geriye kalan tek şey Diophantus'un Aritmetiği'ndeki sözleridir: "Bu önermenin gerçekten şaşırtıcı bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenarlar onu içeremeyecek kadar dar."
Aslında kanıtı olmayan bir teoreme hipotez denir. Ancak Fermat'ın asla hata yapmaması konusunda bir itibarı var. Bir ifadeye dair kanıt bırakmamış olsa bile sonradan doğrulandı. Ayrıca Fermat tezini n=4 için kanıtladı. Böylece Fransız matematikçinin hipotezi Fermat'ın Son Teoremi olarak tarihe geçti.
Fermat'tan sonra Leonhard Euler gibi büyük beyinler bir kanıt arayışı üzerinde çalıştılar (1770'de n = 3 için bir çözüm önerdi),
Adrien Legendre ve Johann Dirichlet (bu bilim adamları 1825'te n = 5'in kanıtını ortaklaşa buldular), Gabriel Lamé (n = 7'nin kanıtını bulan) ve diğerleri. Geçen yüzyılın 80'li yıllarının ortalarına gelindiğinde, bilim dünyasının Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümüne doğru ilerlediği açık hale geldi, ancak matematikçiler yalnızca 1993'te üç yüzyıllık bir kanıt arayışı destanının farkına varıp inandılar. Fermat'ın son teoremi neredeyse bitmişti.
Fermat teoremini yalnızca basit n için kanıtlamanın yeterli olduğu kolayca gösterilir: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Bileşik n için kanıt geçerli kalır. Ama sonsuz sayıda asal sayı var...
1825'te kadın matematikçiler Dirichlet ve Legendre, Sophie Germain'in yöntemini kullanarak bağımsız olarak n=5 teoremini kanıtladılar. 1839'da Fransız Gabriel Lame aynı yöntemi kullanarak teoremin n=7 için doğruluğunu gösterdi. Yavaş yavaş teorem yüzden az olan neredeyse tüm n'ler için kanıtlandı.
Son olarak Alman matematikçi Ernst Kummer harika bir çalışmayla teoremin genel olarak 19. yüzyıl matematik yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Fermat teoreminin ispatı için 1847'de kurulan Fransız Bilimler Akademisi Ödülü verilmedi.
1907'de zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl, karşılıksız aşkı nedeniyle kendi canına kıymaya karar verdi. Gerçek bir Alman gibi intiharın tarihini ve saatini belirledi: tam gece yarısı. Son gün ise bir vasiyetname hazırlayıp arkadaşlarına ve akrabalarına mektuplar yazdı. Olaylar gece yarısından önce sona erdi. Paul'un matematiğe ilgi duyduğu söylenmelidir. Yapacak başka işi olmadığından kütüphaneye gitti ve Kummer'in meşhur makalesini okumaya başladı. Aniden ona Kummer'in muhakemesinde bir hata yapmış gibi geldi. Wolfskel elinde kalemle makalenin bu bölümünü incelemeye başladı. Gece yarısı geçti, sabah geldi. Kanıttaki boşluk doldurulmuştur. Ve intiharın nedeni artık tamamen saçma görünüyordu. Paul veda mektuplarını yırtıp vasiyetini yeniden yazdı.
Kısa süre sonra doğal nedenlerden öldü. Mirasçılar oldukça şaşırdılar: 100.000 mark (mevcut 1.000.000 sterlinden fazla), aynı yıl Wolfskehl Ödülü için bir yarışma ilan eden Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'nin hesabına aktarıldı. Fermat teoremini kanıtlayan kişiye 100.000 puan verildi. Teoremi çürüttüğü için bir pfennig bile verilmedi...
Çoğu profesyonel matematikçi, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını aramanın umutsuz bir görev olduğunu düşündü ve böylesine yararsız bir alıştırmayla zaman kaybetmeyi kararlılıkla reddetti. Ancak amatörler çok eğlendi. Duyurudan birkaç hafta sonra Göttingen Üniversitesi'ni bir “kanıt” çığı vurdu. Sorumluluğu gönderilen kanıtları analiz etmek olan Profesör E.M. Landau, öğrencilerine kartlar dağıttı:
Canım. . . . . . . .
Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını içeren taslağı bana gönderdiğiniz için teşekkür ederim. İlk hata sayfada... satırda... . Bu nedenle tüm kanıt geçerliliğini kaybeder.
Profesör E. M. Landau
1963 yılında Paul Cohen, Gödel'in bulgularına dayanarak Hilbert'in yirmi üç probleminden birinin, süreklilik hipotezinin çözülemezliğini kanıtladı. Ya Fermat'ın Son Teoremi de karar verilemezse?! Ancak gerçek Büyük Teorem fanatikleri hiç de hayal kırıklığına uğramadılar. Bilgisayarların ortaya çıkışı aniden matematikçilere yeni bir ispat yöntemi kazandırdı. İkinci Dünya Savaşı'ndan sonra programcı ve matematikçilerden oluşan ekipler, Fermat'ın Son Teoremini n'nin 500'e, ardından 1.000'e ve daha sonra 10.000'e kadar olan tüm değerleri için kanıtladılar.
1980'lerde Samuel Wagstaff sınırı 25.000'e çıkardı ve 1990'larda matematikçiler Fermat'ın Son Teoreminin n'den 4 milyona kadar tüm değerler için doğru olduğunu ilan ettiler. Ama sonsuzdan bir trilyon trilyon bile çıkarsanız küçülmez. Matematikçiler istatistiklere inanmazlar. Büyük Teoremi kanıtlamak, onu sonsuza giden TÜM n'ler için kanıtlamak anlamına geliyordu.
1954 yılında iki genç Japon matematikçi arkadaş modüler formları araştırmaya başladı. Bu formlar, her biri kendi serisine sahip olan sayı serileri üretir. Şans eseri Taniyama bu serileri eliptik denklemlerin ürettiği serilerle karşılaştırdı. Eşleştiler! Ancak modüler formlar geometrik nesnelerdir ve eliptik denklemler cebirseldir. Bu kadar farklı nesneler arasında hiçbir bağlantı bulunamadı.
Ancak dikkatli testlerden sonra arkadaşlar bir hipotez öne sürdüler: Her eliptik denklemin bir ikizi vardır - modüler bir form ve bunun tersi de geçerlidir. Matematikte bütün bir yönelimin temeli haline gelen şey bu hipotezdi, ancak Taniyama-Shimura hipotezi kanıtlanana kadar tüm bina her an çökebilir.
1984 yılında Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümünün, eğer varsa, bazı eliptik denklemlere dahil edilebileceğini gösterdi. İki yıl sonra Profesör Ken Ribet, bu varsayımsal denklemin modüler dünyada bir karşılığının olamayacağını kanıtladı. Artık Fermat'ın Son Teoremi Taniyama-Shimura varsayımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıydı. Herhangi bir eliptik eğrinin modüler olduğunu kanıtladıktan sonra, Fermat denkleminin çözümü olan bir eliptik denklemin olmadığı ve Fermat'ın Son Teoreminin hemen kanıtlanacağı sonucuna varıyoruz. Ancak otuz yıl boyunca Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamak mümkün olmadı ve başarı umudu giderek azaldı.
1963 yılında, henüz on yaşındayken, Andrew Wiles matematiğe çoktan hayran kalmıştı. Büyük Teoremi öğrendiğinde ondan vazgeçemeyeceğini anladı. Bir okul çocuğu, öğrenci ve yüksek lisans öğrencisi olarak kendisini bu göreve hazırladı.
Ken Ribet'in bulgularını öğrenen Wiles, Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamaya daldı. Tamamen izolasyon ve gizlilik içinde çalışmaya karar verdi. "Fermat'ın Son Teoremi ile ilgisi olan her şeyin çok fazla ilgi uyandırdığını fark ettim... Çok fazla seyirci açıkça hedefe ulaşmayı engelliyor." Yedi yıllık sıkı çalışmanın karşılığını alan Wiles, sonunda Taniyama-Shimura varsayımının kanıtını tamamladı.
1993 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını dünyaya sundu (Wiles, sansasyonel makalesini Cambridge'deki Sir Isaac Newton Enstitüsü'ndeki bir konferansta okudu). Bu çalışma üzerinde yedi yıldan fazla sürdü.
Basında abartı devam ederken kanıtların doğrulanması için ciddi çalışmalar başladı. Kanıtların kesin ve doğru kabul edilebilmesi için her kanıt parçası dikkatlice incelenmelidir. Wiles, onların onayını kazanabileceğini umarak, eleştirmenlerden geri bildirim bekleyerek huzursuz bir yaz geçirdi. Ağustos ayının sonunda uzmanlar, kararın yeterince kanıtlanmadığını tespit etti.
Bu kararın genel olarak doğru olmasına rağmen büyük bir hata içerdiği ortaya çıktı. Wiles pes etmedi, ünlü sayı teorisi uzmanı Richard Taylor'ın yardımını istedi ve 1994'te teoremin düzeltilmiş ve genişletilmiş kanıtını yayınladılar. En şaşırtıcı olanı ise bu çalışmanın Annals of Mathematics adlı matematik dergisinde 130 (!) sayfa kadar yer kaplamasıdır. Ancak hikaye burada da bitmedi - son noktaya ancak bir sonraki yıl, 1995'te, kanıtın matematiksel açıdan son ve "ideal" versiyonunun yayınlanmasıyla ulaşıldı.
“...doğum günü kutlama yemeğinin başlamasından yarım dakika sonra, Nadya'ya tüm kanıtın taslağını sundum” (Andrew Wales). Henüz matematikçilerin tuhaf insanlar olduğunu söylememiş miydim?
Bu sefer deliller konusunda hiçbir şüphe yoktu. İki makale çok dikkatli bir analize tabi tutuldu ve Mayıs 1995'te Annals of Mathematics'te yayınlandı.
O andan bu yana çok zaman geçti ama toplumda hala Fermat'ın Son Teoreminin çözülemez olduğuna dair bir görüş var. Ancak bulunan kanıtı bilenler bile bu yönde çalışmaya devam ediyor - çok azı Büyük Teoremin 130 sayfalık bir çözüm gerektirdiğinden memnun!
Bu nedenle, artık birçok matematikçinin (çoğunlukla amatörler, profesyonel bilim adamları değil) çabaları basit ve özlü bir kanıt arayışına atılıyor, ancak bu yol büyük olasılıkla hiçbir yere varmayacak...
kaynak