Belirli bir vektöre dik bir düzlemin denklemi. Düz

Bu makale, üç boyutlu uzayda belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için denklemin nasıl oluşturulacağı hakkında bir fikir vermektedir. Tipik problemlerin çözümü örneğini kullanarak verilen algoritmayı analiz edelim.

Belirli bir çizgiye dik olarak uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma

İçinde üç boyutlu bir uzay ve O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilsin. M1 noktası (x 1, y 1, z 1), a doğrusu ve M1 noktasından a doğrusuna dik geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye başlamadan önce, 10-11. sınıflar için müfredattaki geometri teoremini hatırlayalım:

Tanım 1

Üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan, belirli bir düz çizgiye dik olan tek bir düzlem geçer.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağımıza bakalım.

Bir düzlemin normal vektörünün koordinatları kadar, bu düzleme ait bir noktanın koordinatları da biliniyorsa, bu düzlemin genel denklemini yazmak mümkündür.

Problemin koşulları bize α düzleminin geçtiği M1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatlarını verir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek gerekli denklemi yazabileceğiz.

α düzleminin normal vektörü, sıfırdan farklı olduğundan ve a çizgisi üzerinde, α düzlemine dik olduğundan, a çizgisinin herhangi bir yön vektörü olacaktır. Böylece, a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleme problemine dönüştürülür.

Düz çizgi a'nın yön vektörünün koordinatlarının belirlenmesi farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: bu, başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'nın belirtilmesi seçeneğine bağlıdır. Örneğin, eğer problem ifadesindeki düz çizgi a, şu formdaki kanonik denklemlerle veriliyorsa

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

o zaman düz çizginin yön vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz çizgi a'nın iki M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) noktasıyla temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları şu şekilde belirlenecektir: ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Tanım 2

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma algoritması:

A düz çizgisinin yön vektörünün koordinatlarını belirliyoruz: bir → = (a x, a y, a z) ;

α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = a x, B = a y, C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal vektöre sahip düzlemin denklemini yazıyoruz n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 formunda. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir çizgiye dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Düzlemin sonuçta ortaya çıkan genel denklemi şöyledir: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0, parçalar halindeki düzlemin denklemini veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak birkaç örneği çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilmiştir ve bu düzlem O z koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü, k ⇀ = (0, 0, 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle düzlemin normal vektörü (0, 0, 1) koordinatlarına sahiptir. Normal vektörü koordinatları (0, 0, 1) olan belirli bir M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Cevap: z – 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünelim:

Örnek 2

O z çizgisine dik olan bir düzlem, C z + D = 0, C ≠ 0 formundaki tamamlanmamış bir genel düzlem denklemiyle verilecektir. C ve D değerlerini belirleyelim: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. Bu noktanın koordinatlarını C z + D = 0 denkleminde yerine koyarsak şunu elde ederiz: C · 5 + D = 0. Onlar. sayılar, C ve D - D C = 5 ilişkisi ile ilişkilidir. C = 1 alarak D = - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyalım ve O z düz çizgisine dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde edelim.

Şöyle görünecektir: z – 5 = 0.

Cevap: z – 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlemin denklemini yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir doğrunun yön vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği ileri sürülebilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve normal vektörü n → = (- 3, - 7, 2) olan bir düzlemin denklemini yazalım:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Belirli bir doğruya dik koordinatların orijininden geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde ettik.

Cevap:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde iki A (2, - 1, - 2) ve B (3, - 2, 4) noktası vardır. α düzlemi A noktasından A B doğrusuna dik olarak geçer. α düzlemi için segmentler halinde bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

α düzlemi A B doğrusuna diktir, bu durumda A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak tanımlanır:

Bir B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ Bir B → = (1 , - 1 , 6)

Düzlemin genel denklemi şu şekilde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi düzlemin gerekli denklemini parçalar halinde oluşturalım:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Cevap:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve verilen iki düzleme dik bir düzlemin denkleminin yazılması gereken problemlerin de mevcut olduğu unutulmamalıdır. Genel olarak bu problemin çözümü, belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmaktır, çünkü kesişen iki düzlem düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 5

Dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde bir M 1 (2, 0, - 5) noktası vardır. a düz çizgisi boyunca kesişen 3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z – 1 = 0 iki düzlemin denklemleri de verilmiştir. M1 noktasından a düz çizgisine dik geçen bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. Hem n → (1, 0, 2) düzleminin normal vektörü n 1 → (3, 2, 0)'e hem de x + 2 z - düzleminin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir. 1 = 0 düzlem.

Daha sonra, yönlendirici vektör α → a doğrusu olarak, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ben → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Böylece n → = (4, - 6, - 2) vektörü a doğrusuna dik olan düzlemin normal vektörü olacaktır. Düzlemin gerekli denklemini yazalım:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Genel Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün.

Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

(
) = 0

Böylece,

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi:

İki noktası ve düzleme eşdoğrusal bir vektörü verilen bir düzlemin denklemi.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) noktaları ve vektörü verilsin
.

Verilen M 1 ve M 2 noktalarından ve vektöre paralel rastgele bir M (x, y, z) noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturalım .

Vektörler
ve vektör
eş düzlemli olmalıdır, yani

(
) = 0

Düzlem denklemi:

Bir nokta ve iki vektör kullanılarak bir düzlemin denklemi,

düzlemle eşdoğrusaldır.

İki vektör verilsin
Ve
, eşdoğrusal düzlemler. Daha sonra düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için vektörler
eş düzlemli olmalıdır.

Düzlem denklemi:

Bir düzlemin noktaya ve normal vektöre göre denklemi .

Teorem. Uzayda bir M noktası verilirse 0 (X 0 , sen 0 , z 0 ), daha sonra M noktasından geçen düzlemin denklemi 0 normal vektöre dik (A, B, C) şu forma sahiptir:

A(X – X 0 ) + B(sen – sen 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Kanıt. Düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için bir vektör oluştururuz. Çünkü vektör normal vektör ise düzleme diktir ve dolayısıyla vektöre diktir
. Daha sonra skaler çarpım

= 0

Böylece düzlemin denklemini elde ederiz

Teorem kanıtlandı.

Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Genel denklemde Ax + Bi + Cz + D = 0 ise her iki tarafı da (-D)'ye böleriz

,

değiştirme
, düzlemin denklemini segmentler halinde elde ederiz:

a, b, c sayıları sırasıyla düzlemin x, y, z eksenleriyle kesişme noktalarıdır.

Vektör formunda bir düzlemin denklemi.

Nerede

- geçerli noktanın yarıçap vektörü M(x, y, z),

Orijinden bir düzleme dik doğrultuda düşen bir birim vektör.

,  ve  bu vektörün x, y, z eksenleriyle oluşturduğu açılardır.

p bu dikin uzunluğudur.

Koordinatlarda bu denklem şöyle görünür:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Rastgele bir M 0 (x 0, y 0, z 0) noktasından Ax+By+Cz+D=0 düzlemine olan mesafe:

Örnek. P(4; -3; 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Yani A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, formülü kullanıyoruz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Örnek.İki P(2; 0; -1) noktasından geçen bir düzlemin denklemini bulun ve

Q(1; -1; 3) 3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine dik.

3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine normal vektör
İstenilen düzleme paralel.

Şunu elde ederiz:

Örnek. A(2, -1, 4) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun ve

B(3, 2, -1) düzleme dik X + en + 2z – 3 = 0.

Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: A X+B sen+C z+ D = 0, bu düzleme normal vektör (A, B, C). Vektör
(1, 3, -5) düzlemine aittir. Bize verilen istenilen düzleme dik olan düzlem normal bir vektöre sahiptir (1, 1, 2). Çünkü A ve B noktaları her iki düzleme de aittir ve düzlemler karşılıklı olarak diktir, bu durumda

Yani normal vektör (11, -7, -2). Çünkü A noktası istenen düzleme aitse, koordinatları bu düzlemin denklemini karşılamalıdır, yani. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Toplamda uçağın denklemini elde ederiz: 11 X - 7sen – 2z – 21 = 0.

Örnek. P(4, -3, 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Normal vektörün koordinatlarını bulma
= (4, -3, 12). Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: 4 X – 3sen + 12z+ D = 0. D katsayısını bulmak için P noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarız:

16 + 9 + 144 + Ç = 0

Toplamda gerekli denklemi elde ederiz: 4 X – 3sen + 12z – 169 = 0

Örnek. Piramidin köşelerinin koordinatları verilmiştir: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 kenarının uzunluğunu bulun.

A 1 A 2 ve A 1 A 4 kenarları arasındaki açıyı bulun.

A 1 A 4 kenarı ile A 1 A 2 A 3 yüzü arasındaki açıyı bulun.

İlk önce A 1 A 2 A 3 yüzüne normal vektörü buluyoruz vektörlerin çapraz çarpımı olarak
Ve
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektör ile vektör arasındaki açıyı bulalım
.

-4 – 4 = -8.

Vektör ile düzlem arasında istenen açı   = 90 0 - 'ye eşit olacaktır.

A 1 A 2 A 3 yüzünün alanını bulun.

Piramidin hacmini bulun.

A 1 A 2 A 3 düzleminin denklemini bulun.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi için formülü kullanalım.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Bilgisayar sürümünü kullanırken “ Yüksek matematik kursu Yukarıdaki örneği piramidin köşelerinin herhangi bir koordinatı için çözecek bir program çalıştırabilirsiniz.

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın:

Açılan program penceresinde piramidin köşelerinin koordinatlarını girin ve Enter tuşuna basın. Bu sayede tüm karar noktaları tek tek elde edilebilmektedir.

Not: Programı çalıştırmak için, MapleV Sürüm 4'ten başlayarak herhangi bir sürümdeki Maple programının ( Waterloo Maple Inc.) bilgisayarınıza kurulu olması gerekir.

Bir düzlemin genel denklemini elde etmek için belirli bir noktadan geçen düzlemi analiz edelim.

Uzayda zaten bildiğimiz üç koordinat ekseni olsun - Öküz, oy Ve Oz. Kağıdı düz kalacak şekilde tutun. Düzlem, sayfanın kendisi ve her yöne devamı olacaktır.

İzin vermek P uzayda rastgele düzlem. Kendisine dik olan her vektöre denir. normal vektör bu uçağa. Doğal olarak sıfır olmayan bir vektörden bahsediyoruz.

Düzlemdeki herhangi bir nokta biliniyorsa P ve buna normal bir vektör varsa, bu iki koşulla uzaydaki düzlem tamamen tanımlanır(belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik tek bir düzlem çizebilirsiniz). Düzlemin genel denklemi şöyle olacaktır:

Yani düzlemin denklemini tanımlayan koşullar şunlardır. Kendine gelmek için düzlem denklemi yukarıdaki forma sahip olarak uçağa binin P keyfi nokta M değişken koordinatlarla X, sen, z. Bu nokta yalnızca şu durumlarda düzleme aittir: vektör vektöre dik(Şekil 1). Bunun için vektörlerin diklik şartına göre bu vektörlerin skaler çarpımının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani

Vektör koşulla belirtilir. Formülü kullanarak vektörün koordinatlarını buluyoruz :

.

Şimdi vektör formülünün skaler çarpımını kullanarak , skaler çarpımı koordinat biçiminde ifade ederiz:

noktadan beri M(x; y; z) düzlemde keyfi olarak seçilirse, son denklem düzlemde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanır. P. Bir nokta için N, belirli bir düzlemde yatmamak, yani. eşitlik (1) ihlal edilmiştir.

Örnek 1. Bir noktadan geçen ve vektöre dik olan bir düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm. Formül (1)'i kullanalım ve tekrar bakalım:

Bu formüldeki sayılar A , B Ve C vektör koordinatları ve sayılar X0 , sen0 Ve z0 - noktanın koordinatları.

Hesaplamalar çok basit: Bu sayıları formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Çarpılması gereken her şeyi çarpıyoruz ve sadece sayıları (harf içermeyen) ekliyoruz. Sonuç:

.

Bu örnekte düzlemin gerekli denkleminin, değişken koordinatlara göre birinci dereceden genel bir denklemle ifade edildiği ortaya çıktı. x, y, z düzlemin keyfi noktası.

Yani, formun bir denklemi

isminde genel düzlem denklemi .

Örnek 2. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde denklemle verilen bir düzlem oluşturun .

Çözüm. Bir düzlem oluşturmak için, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan herhangi üç noktasından (örneğin düzlemin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları) bilinmesi gerekli ve yeterlidir.

Bu noktalar nasıl bulunur? Eksenle kesişme noktasını bulmak için Oz, problem tanımında verilen denklemde X ve Y'nin yerine sıfırları koymanız gerekir: X = sen= 0. Bu nedenle alıyoruz z= 6. Böylece verilen düzlem eksenle kesişir Oz noktada A(0; 0; 6) .

Aynı şekilde düzlemin eksenle kesişme noktasını da buluyoruz oy. Şu tarihte: X = z= 0 elde ederiz sen= −3, yani nokta B(0; −3; 0) .

Ve son olarak düzlemimizin eksenle kesişme noktasını buluyoruz Öküz. Şu tarihte: sen = z= 0 elde ederiz X= 2, yani bir nokta C(2; 0; 0) . Çözümümüzde elde edilen üç noktaya dayanarak A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) ve C(2; 0; 0) verilen düzlemi oluşturun.

Şimdi düşünelim genel düzlem denkleminin özel durumları. Bunlar, denklem (2)'nin belirli katsayılarının sıfır olduğu durumlardır.

1. Ne zaman d= 0 denklem noktanın koordinatları olduğundan orijinden geçen bir düzlemi tanımlar 0 (0; 0; 0) bu denklemi karşılar.

2. Ne zaman bir= 0 denklem eksene paralel bir düzlemi tanımlar Öküz, bu düzlemin normal vektörü eksene dik olduğundan Öküz(eksen üzerine izdüşümü Öküz sıfıra eşit). Benzer şekilde, ne zaman B= 0 düzlem eksene paralel oy, ve ne zaman C= 0 düzlem eksene paralel Oz.

3. Ne zaman bir=D= 0 denklemi eksenden geçen bir düzlemi tanımlar Öküz eksene paralel olduğundan Öküz (bir=d= 0). Benzer şekilde düzlem eksenden geçer oy ve eksenden geçen düzlem Oz.

4. Ne zaman A=B= 0 denklemi koordinat düzlemine paralel bir düzlemi tanımlar xOy eksenlere paralel olduğundan Öküz (A= 0) ve oy (B= 0). Benzer şekilde düzlem düzleme paraleldir yOz ve uçak uçaktır xOz.

5. Ne zaman A=B=D= 0 denklemi (veya z = 0) koordinat düzlemini tanımlar xOy düzleme paralel olduğundan xOy (A=B= 0) ve orijinden geçer ( d= 0). Aynı şekilde Denk. y = Uzayda 0 koordinat düzlemini tanımlar xOz ve denklem x = 0 - koordinat düzlemi yOz.

Örnek 3. Düzlemin denklemini oluşturun P, eksenden geçen oy ve dönem.

Çözüm. Yani düzlem eksenden geçer oy. Bu nedenle denkleminde sen= 0 ve bu denklem şu şekildedir: Katsayıları belirlemek için A Ve C noktanın düzleme ait olmasından yararlanalım P .

Bu nedenle, koordinatları arasında, daha önce türettiğimiz () düzlem denklemine ikame edilebilecek olanlar vardır. Noktanın koordinatlarına tekrar bakalım:

M0 (2; −4; 3) .

Aralarında X = 2 , z= 3 . Bunları genel denklemde yerine koyarız ve özel durumumuz için denklemi elde ederiz:

2A + 3C = 0 .

2'den ayrıl A denklemin sol tarafında 3'ü hareket ettirin C sağ tarafa ve alıyoruz

A = −1,5C .

Bulunan değerin değiştirilmesi A denklemde şunu elde ederiz

veya .

Örnek koşulda gerekli olan denklem budur.

Düzlem denklem problemini kendiniz çözün ve sonra çözüme bakın

Örnek 4. Düzlem(ler) denklem tarafından verilmişse, koordinat eksenlerine veya koordinat düzlemlerine göre bir düzlem (veya birden fazla varsa düzlemler) tanımlayın.

Testler sırasında ortaya çıkan tipik problemlerin çözümleri “Düzlemdeki problemler: paralellik, diklik, üç düzlemin bir noktada kesişimi” ders kitabında bulunmaktadır.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Daha önce de belirtildiği gibi, bir düzlem oluşturmak için bir nokta ve normal vektöre ek olarak gerekli ve yeterli koşul, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadır.

Aynı doğru üzerinde olmayan üç farklı nokta verilsin. Belirtilen üç nokta aynı çizgide bulunmadığından, vektörler eşdoğrusal değildir ve bu nedenle düzlemdeki herhangi bir nokta, noktalarla aynı düzlemde yer alır ve ancak ve ancak vektörler , ve eş düzlemli, yani o zaman ve yalnızca ne zaman bu vektörlerin karışık çarpımı sıfıra eşittir.

Koordinatlardaki karışık çarpım ifadesini kullanarak düzlemin denklemini elde ederiz.

(3)

Determinant ortaya çıktıktan sonra, bu denklem (2) formunun bir denklemi haline gelir, yani Düzlemin genel denklemi.

Örnek 5. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazınız:

ve eğer varsa bir doğrunun genel denkleminin özel bir durumunu belirleyin.

Çözüm. Formül (3)'e göre elimizde:

Normal düzlem denklemi. Noktadan düzleme uzaklık

Bir düzlemin normal denklemi, şu şekilde yazılmış denklemidir: