Ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar. Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM)

Məktəblilərə riyaziyyatdan çoxlu tapşırıqlar verilir. Onların arasında çox vaxt aşağıdakı formalaşdırma ilə bağlı problemlər var: iki məna var. Verilmiş ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunu necə tapmaq olar? Əldə edilmiş bacarıqlar müxtəlif məxrəcli kəsrlərlə işləmək üçün istifadə edildiyi üçün bu cür tapşırıqları yerinə yetirməyi bacarmaq lazımdır. Bu yazıda LOC və əsas anlayışları necə tapacağımıza baxacağıq.

LCM-ni necə tapmaq sualına cavab tapmazdan əvvəl çoxlu termini müəyyənləşdirməlisiniz. Çox vaxt bu anlayışın ifadəsi belə səslənir: müəyyən bir dəyərin çoxluğu A-ya qalıqsız bölünəcək təbii bir ədəddir. və s., tələb olunan həddə qədər.

Bu halda, müəyyən bir dəyər üçün bölənlərin sayı məhdudlaşdırıla bilər, lakin çarpanları sonsuz dərəcədə çoxdur. Təbii dəyərlər üçün də eyni dəyər var. Bu, onlara qalıq olmadan bölünən bir göstəricidir. Müəyyən göstəricilər üçün ən kiçik dəyər anlayışını başa düşdükdən sonra onu necə tapmağa keçək.

MOK-un tapılması

İki və ya daha çox eksponentin ən kiçik qatı bütün göstərilən ədədlərə tam bölünən ən kiçik natural ədəddir.

Belə bir dəyəri tapmağın bir neçə yolu var, aşağıdakı üsulları nəzərdən keçirin:

1. Rəqəmlər kiçikdirsə, ona bölünənlərin hamısını bir xəttə yazın. Onlar arasında ortaq bir şey tapana qədər bunu etməyə davam edin. Yazıda onlar K hərfi ilə qeyd olunur. Məsələn, 4 və 3 üçün ən kiçik çoxluq 12-dir.
2. Əgər bunlar böyükdürsə və ya 3 və ya daha çox dəyərin qatını tapmaq lazımdırsa, o zaman nömrələri əsas amillərə parçalayan başqa bir texnikadan istifadə etməlisiniz. Əvvəlcə sadalanan ən böyüyünü, sonra bütün digərlərini yerləşdirin. Onların hər birinin öz çarpanları var. Nümunə olaraq 20 (2*2*5) və 50-ni (5*5*2) parçalayaq. Daha kiçik olan üçün amillərin altını çəkin və onları ən böyüyə əlavə edin. Nəticə 100 olacaq ki, bu da yuxarıdakı rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu olacaq.
3. 3 ədədi (16, 24 və 36) taparkən prinsiplər digər ikisi ilə eynidir. Onların hər birini genişləndirək: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. 16 rəqəminin genişlənməsindən yalnız iki ikisi ən böyüyünün genişlənməsinə daxil edilmədi Biz onları əlavə edirik və 144-ü alırıq, bu, əvvəllər göstərilən ədədi dəyərlər üçün ən kiçik nəticədir.

İndi iki, üç və ya daha çox dəyər üçün ən kiçik dəyəri tapmaq üçün ümumi texnikanın nə olduğunu bilirik. Bununla belə, özəl üsullar da var, əvvəlkilər kömək etmədikdə NOC-u axtarmağa kömək edir.

GCD və NOC-u necə tapmaq olar.

Şəxsi tapmaq üsulları

Hər hansı bir riyazi bölmədə olduğu kimi, xüsusi vəziyyətlərdə kömək edən LCM tapmaq üçün xüsusi hallar var:

• ədədlərdən biri digərlərinə qalıqsız bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik qatı ona bərabərdir (60 və 15-in LCM-i 15-dir);
• nisbətən sadə ədədlərin ümumi sadə amilləri yoxdur. Onların ən kiçik dəyəri bu ədədlərin hasilinə bərabərdir. Beləliklə, 7 və 8 rəqəmləri üçün 56 olacaq;
• eyni qayda digər hallar, o cümlədən xüsusi ədəbiyyatda oxuna bilən xüsusi hallar üçün də işləyir. Buraya ayrı-ayrı məqalələrin və hətta namizədlik dissertasiyalarının mövzusu olan mürəkkəb ədədlərin parçalanması halları da daxil edilməlidir.

Xüsusi hallar standart nümunələrdən daha az yayılmışdır. Ancaq onların sayəsində müxtəlif mürəkkəblik dərəcələrinin fraksiyaları ilə işləməyi öyrənə bilərsiniz. Bu xüsusilə fraksiyalar üçün doğrudur, qeyri-bərabər məxrəclərin olduğu yerdə.

Bəzi nümunələr

Ən az çoxluğu tapmaq prinsipini başa düşməyə kömək edəcək bir neçə nümunəyə baxaq:

1. LOC-u tapın (35; 40). Əvvəlcə 35 = 5 * 7, sonra 40 = 5 * 8 parçalayırıq. Ən kiçik ədədə 8 əlavə edin və LOC 280 əldə edin.
2. MOK (45; 54). Onların hər birini parçalayırıq: 45 = 3*3*5 və 54 = 3*3*6. 6 rəqəmini 45-ə əlavə edirik. LCM-i 270-ə bərabər alırıq.
3. Yaxşı, son nümunə. 5 və 4 var. Onların sadə çarpanları yoxdur, ona görə də bu halda ən kiçik ümumi çoxluq onların hasili olacaq, bu da 20-yə bərabərdir.

Nümunələr sayəsində MOK-un necə yerləşdiyini, nüansların nə olduğunu və bu cür manipulyasiyaların mənasının nə olduğunu başa düşə bilərsiniz.

NOC tapmaq ilkin göründüyündən daha asandır. Bunu etmək üçün həm sadə genişlənmə, həm də sadə dəyərlərin bir-birinə vurulması istifadə olunur. Riyaziyyatın bu bölməsi ilə işləmək bacarığı riyazi mövzuların, xüsusən də müxtəlif mürəkkəblik dərəcələrinin fraksiyalarının daha da öyrənilməsinə kömək edir.

Müxtəlif üsullardan istifadə edərək vaxtaşırı nümunələri həll etməyi unutmayın, bu sizin məntiqi aparatınızı inkişaf etdirir və çoxlu terminləri yadda saxlamağa imkan verir. Belə bir eksponenti necə tapacağınızı öyrənin və qalan riyaziyyat bölmələrində yaxşı nəticə əldə edə biləcəksiniz. Riyaziyyat öyrənmək xoşbəxt!

Video

Bu video sizə ən az ümumi çoxluğu necə tapmağı başa düşməyə və yadda saxlamağa kömək edəcək.

Tərif. a və b ədədlərinin qalıqsız bölündüyü ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən (GCD) bu nömrələr.

24 və 35 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapaq.
24-ün bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-in bölənləri isə 1, 5, 7, 35 rəqəmləridir.
Görürük ki, 24 və 35 ədədlərinin yalnız bir ümumi bölən var - 1 ədədi. Belə ədədlər adlanır. qarşılıqlı əsas.

Tərif. Natural ədədlər deyilir qarşılıqlı əsas, əgər onların ən böyük ortaq bölməsi (GCD) 1 olarsa.

Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD) verilmiş ədədlərin bütün bölənlərini yazmadan tapmaq olar.

48 və 36 nömrələrini çarparaq alırıq:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu nömrələrdən birincisinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən ikinci nömrənin genişlənməsinə daxil olmayanları (yəni iki iki) kəsirik.
Qalan amillər 2 * 2 * 3-dür. Onların hasili 12-ə bərabərdir. Bu ədəd 48 və 36 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Üç və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq bölməsi də tapılır.

Tapmaq ən böyük ortaq bölən

2) bu rəqəmlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən digər rəqəmlərin genişlənməsinə daxil olmayanları kəsin;
3) qalan amillərin hasilini tapın.

Əgər bütün verilmiş ədədlər onlardan birinə bölünürsə, bu ədəddir ən böyük ortaq bölən verilmiş nömrələr.
Məsələn, 15, 45, 75 və 180 ədədlərinin ən böyük ortaq bölməsi 15 rəqəmidir, çünki bütün digər ədədlər ona bölünür: 45, 75 və 180.

Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM)

Tərif. Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM) a və b natural ədədləri həm a, həm də b-nin qatı olan ən kiçik natural ədəddir. 75 və 60 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını (LCM) bu ədədlərin qatlarını ard-arda yazmadan tapmaq olar. Bunun üçün 75 və 60-ı əsas amillərə ayıraq: 75 = 3 * 5 * 5 və 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu ədədlərdən birincisinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazaq və onlara ikinci ədədin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 faktorlarını əlavə edək (yəni amilləri birləşdiririk).
Biz beş amil alırıq 2 * 2 * 3 * 5 * 5, məhsulu 300. Bu rəqəm 75 və 60 ədədlərinin ən kiçik ümumi qatıdır.

Onlar həmçinin üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapırlar.

Kimə ən kiçik ümumi çoxluğu tapın bir neçə natural ədədə ehtiyacınız var:
1) onları əsas amillərə aid etmək;
2) ədədlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazın;
3) onlara qalan ədədlərin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə edin;
4) yaranan amillərin hasilini tapın.

Qeyd edək ki, bu ədədlərdən biri bütün digər ədədlərə bölünürsə, bu ədəd bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatıdır.
Məsələn, 12, 15, 20 və 60 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatı 60-dır, çünki o, həmin ədədlərin hamısına bölünür.

Pifaqor (e.ə. VI əsr) və onun tələbələri ədədlərin bölünməsi məsələsini araşdırdılar. Bütün bölənlərin cəminə bərabər olan ədədi (ədədin özü olmadan) mükəmməl ədəd adlandırdılar. Məsələn, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) rəqəmləri mükəmməldir. Növbəti mükəmməl rəqəmlər 496, 8128, 33,550,336-dır. Pifaqorlular yalnız ilk üç mükəmməl rəqəmi bilirdilər. Dördüncü - 8128 - 1-ci əsrdə məlum oldu. n. e. Beşincisi - 33.550.336 - XV əsrdə tapılıb. 1983-cü ilə qədər 27 mükəmməl rəqəm artıq məlum idi. Lakin elm adamları hələ də tək mükəmməl ədədlərin olub-olmadığını və ya ən böyük mükəmməl ədədin olub olmadığını bilmirlər.
Qədim riyaziyyatçıların sadə ədədlərə marağı onunla bağlıdır ki, istənilən ədəd sadədir və ya sadə ədədlərin hasili kimi göstərilə bilər, yəni sadə ədədlər qalan natural ədədlərin tikildiyi kərpic kimidir.
Yəqin ki, təbii ədədlər seriyasındakı sadə ədədlərin qeyri-bərabər şəkildə baş verdiyini görmüsünüz - seriyanın bəzi hissələrində daha çox, digərlərində isə daha azdır. Ancaq ədədlər seriyası boyunca nə qədər irəliləsək, sadə ədədlər bir o qədər az olur. Sual yaranır: sonuncu (ən böyük) sadə ədəd varmı? Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid (e.ə. III əsr) iki min il ərzində riyaziyyatın əsas dərsliyi olan “Elementlər” kitabında sonsuz sayda sadə ədədlərin olduğunu, yəni hər sadə ədədin arxasında daha da böyük bir sadə ədədin olduğunu sübut etmişdir. nömrə.
Sadə ədədləri tapmaq üçün eyni dövrün başqa bir yunan riyaziyyatçısı Eratosthenes bu üsulla çıxış etdi. O, 1-dən hansısa ədədə qədər bütün rəqəmləri yazdı, sonra nə sadə, nə də mürəkkəb ədəd olmayan birinin üstündən xətt çəkdi, sonra 2-dən sonra gələn bütün rəqəmləri (2-nin, yəni 4-ün qatları olan ədədlərin) birinin üstündən xətt çəkdi. 6, 8 və s.). 2-dən sonra qalan ilk ədəd 3 idi. Sonra ikidən sonra 3-dən sonra gələn bütün rəqəmlər (3-ün qatları olan, yəni 6, 9, 12 və s.) üzərindən xətt çəkildi. sonunda yalnız sadə ədədlər çarpazsız qaldı.

Aşağıda təqdim olunan material LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə adlı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və biz misalların həllinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. Birincisi, bu nömrələrin GCD-dən istifadə edərək iki ədədin LCM-nin necə hesablandığını göstərəcəyik. Sonra, ədədləri əsas amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa baxacağıq. Bundan sonra biz üç və ya daha çox ədədin LCM-nin tapılmasına, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması

Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə bizə məlum olan ən böyük ümumi bölən vasitəsilə iki müsbət tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir. Müvafiq düstur belədir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Verilmiş düsturdan istifadə edərək LCM-nin tapılması nümunələrinə baxaq.

Misal.

126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.

Həll.

Bu misalda a=126 , b=70 . Düsturla ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Yəni əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturdan istifadə edərək bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.

Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(126, 70) tapaq: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, buna görə də GCD(126, 70)=14.

İndi tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Cavab:

LCM(126, 70)=630 .

Misal.

LCM(68, 34) nəyə bərabərdir?

Həll.

Çünki 68 34-ə bölünür, onda GCD(68, 34)=34. İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Cavab:

LCM(68, 34)=68.

Qeyd edək ki, əvvəlki nümunə a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a sayı b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a-dır.

Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Əgər verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərindən məhsul tərtib etsəniz və sonra verilmiş ədədlərin parçalanmasında mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu məhsuldan xaric etsəniz, nəticədə alınan məhsul verilmiş ədədlərin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır. .

LCM-i tapmaq üçün göstərilən qayda bərabərlikdən irəli gəlir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, GCD(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (ədədlərin əsas amillərə genişlənməsindən istifadə edərək GCD-nin tapılması bölməsində təsvir edildiyi kimi).

Bir misal verək. Bilək ki, 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. Bu genişlənmələrin bütün amillərindən hasilini tərtib edək: 2·3·3·5·5·5·7 . İndi bu məhsuldan həm 75 rəqəminin parçalanmasında, həm də 210 rəqəminin parçalanmasında mövcud olan bütün amilləri istisna edirik (bu amillər 3 və 5-dir), onda məhsul 2·3·5·5·7 formasını alacaq. . Bu məhsulun dəyəri 75 və 210-un ən kiçik ümumi qatına bərabərdir, yəni NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Misal.

441 və 700 ədədlərini sadə çarpanlara ayırın və bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.

Həll.

441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq:

441=3·3·7·7 və 700=2·2·5·5·7 alırıq.

İndi bu ədədlərin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərdən hasil yaradaq: 2·2·3·3·5·7·7·7. Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız belə bir amil var - bu 7 rəqəmidir): 2·2·3·3·5·5·7·7. Beləliklə, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Cavab:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ədədlərin əsas amillərə bölünməsindən istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli formalaşdırıla bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsinin çatışmayan amilləri a ədədinin genişlənməsinin amillərinə əlavə edilərsə, nəticədə alınan məhsulun dəyəri a və b ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabər olacaqdır..

Məsələn, eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə parçalanmaları aşağıdakı kimidir: 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 faktorlarına 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, qiyməti 2·3·5·5·7 hasilini alırıq. LCM-ə bərabərdir(75, 210).

Misal.

84 və 648-in ən kiçik ortaq qatını tapın.

Həll.

Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmalarını alırıq. Onlar 84=2·2·3·7 və 648=2·2·2·3·3·3·3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edərək 2 2 2 3 3 3 3 3 7 hasilini alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648-in arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4,536-dır.

Cavab:

LCM(84,648)=4,536 .

Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması

Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmağa imkan verən müvafiq teoremi xatırlayaq.

Teorem.

a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ardıcıllıqla hesablanmaqla bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k tapılır. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını tapmaq nümunəsindən istifadə edərək bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.

Misal.

Dörd ədədin LCM-ni tapın 140, 9, 54 və 250.

Həll.

Bu misalda a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Əvvəlcə tapırıq m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(140, 9) təyin edirik, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, buna görə də GCD(140, 9)=1 , haradan GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Yəni m 2 =1 260.

İndi tapırıq m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Onu GCD(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq, onu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edirik: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Onda gcd(1,260, 54)=18, ondan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yəni m 3 =3 780.

Qalan tək şey tapmaqdır m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3,780, 250) tapırıq: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Beləliklə, GCM(3,780, 250)=10, buradan GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yəni m 4 =94.500.

Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.

Cavab:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Bir çox hallarda verilmiş ədədlərin sadə faktorlara bölünməsindən istifadə etməklə üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi qatını tapmaq rahatdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib edilir: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci nömrənin genişlənməsindən bütün amillərə, genişlənməsindən çatışmayan amillərə əlavə olunur. nəticədə çıxan amillərə üçüncü ədəd əlavə edilir və s.

Baş faktorlara ayırma üsulu ilə ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsinə baxaq.

Misal.

Beş ədəd 84, 6, 48, 7, 143-ün ən kiçik ortaq qatını tapın.

Həll.

Əvvəlcə bu ədədlərin sadə amillərə parçalanmasını alırıq: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 sadə ədəddir, üst-üstə düşür onun əsas amillərə parçalanması ilə) və 143=11·13.

Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin parçalanmasında çatışmayan amillər yoxdur, çünki həm 2, həm də 3 ilk 84 rəqəminin parçalanmasında artıq mövcuddur. Sonra, 2, 2, 3 və 7 amillərinə üçüncü 48 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 faktorlarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu çoxluğa çarpanları əlavə etməyə ehtiyac olmayacaq, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillərinə 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2·2·2·2·3·7·11·13 hasilini alırıq ki, bu da 48,048-ə bərabərdir.

“Çoxsaylı ədədlər” mövzusu orta məktəbin V sinfində öyrənilir. Onun məqsədi yazılı və şifahi riyazi hesablama bacarıqlarını təkmilləşdirməkdir. Bu dərsdə yeni anlayışlar təqdim olunur - "çox ədədlər" və "bölənlər", natural ədədin bölənlərini və qatlarını tapmaq texnikası və müxtəlif üsullarla LCM tapmaq bacarığı.

Bu mövzu çox vacibdir. Onun biliklərini kəsrlərlə misalların həlli zamanı tətbiq etmək olar. Bunun üçün ən kiçik ortaq çoxluğu (LCM) hesablayaraq ortaq məxrəci tapmaq lazımdır.

A-nın qatı A-ya qalıqsız bölünən tam ədəddir.

Hər natural ədədin sonsuz sayda qatları var. Özü də ən kiçik hesab olunur. Çoxluq ədədin özündən kiçik ola bilməz.

125 rəqəminin 5 rəqəminin qatı olduğunu sübut etməlisiniz.Bunun üçün birinci rəqəmi ikinciyə bölmək lazımdır. 125 5-ə qalıqsız bölünürsə, cavab bəlidir.

Bu üsul kiçik nömrələr üçün tətbiq olunur.

LOC hesablanarkən xüsusi hallar var.

1. Əgər onlardan birinin (80) digərinə (20) bölündüyü 2 ədədin (məsələn, 80 və 20) ortaq qatını tapmaq lazımdırsa, bu ədəd (80) bunların ən kiçik qatıdır. iki rəqəm.

LCM(80, 20) = 80.

2. Əgər ikisinin ortaq böləni yoxdursa, onda deyə bilərik ki, onların LCM bu iki ədədin hasilidir.

LCM(6, 7) = 42.

Son nümunəyə baxaq. 42-yə münasibətdə 6 və 7 bölənlərdir. Onlar ədədin qatını qalıqsız bölürlər.

Bu misalda 6 və 7 qoşalaşmış amillərdir. Onların hasilatı ən çox sayda (42) bərabərdir.

Ədəd yalnız özünə və ya 1-ə bölünürsə (3:1=3; 3:3=1) sadə adlanır. Qalanları kompozit adlanır.

Başqa bir misal, 9-un 42-yə bölən olub-olmadığını müəyyən etməkdən ibarətdir.

42:9=4 (qalan 6)

Cavab: 9 42-yə bölən deyil, çünki cavabın qalığı var.

Bölən çoxluqdan onunla fərqlənir ki, bölən natural ədədlərin bölündüyü ədəddir və çoxluğun özü də bu ədədə bölünür.

Ədədlərin ən böyük ortaq böləni a Və b, onların ən kiçik çoxluğuna vurulduqda, ədədlərin öz hasilini verəcəkdir a Və b.

Məhz: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Daha mürəkkəb ədədlər üçün ümumi çarpanlar aşağıdakı şəkildə tapılır.

Məsələn, 168, 180, 3024 üçün LCM-i tapın.

Bu ədədləri əsas amillərə ayırırıq və onları güclərin hasili kimi yazırıq:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Onlayn kalkulyator iki və ya hər hansı digər sayda ədədlər üçün ən böyük ümumi bölən və ən kiçik ümumi çoxluğu tez tapmağa imkan verir.

GCD və LCM tapmaq üçün kalkulyator

GCD və LOC tapın

Tapılan GCD və LOC: 5806

Kalkulyatordan necə istifadə etmək olar

• Giriş sahəsinə nömrələri daxil edin
• Yanlış simvollar daxil etsəniz, giriş sahəsi qırmızı rənglə vurğulanacaq
• "GCD və LCM tap" düyməsini basın

Nömrələri necə daxil etmək olar

• Rəqəmlər boşluq, nöqtə və ya vergüllə ayrılaraq daxil edilir
• Daxil edilmiş nömrələrin uzunluğu məhdud deyil, buna görə də uzun ədədlərin GCD və LCM-lərini tapmaq çətin deyil

GCD və NOC nədir?

Ən böyük ortaq bölən bir neçə ədəd bütün orijinal ədədlərin qalıqsız bölündüyü ən böyük təbii tam ədəddir. Ən böyük ortaq bölən kimi qısaldılır GCD.
Ən kiçik ümumi çoxluq bir neçə ədəd ilkin ədədlərin hər birinə qalıqsız bölünən ən kiçik ədəddir. Ən kiçik ümumi çoxluq kimi qısaldılır NOC.

Bir ədədin başqa bir ədədə qalıqsız bölündüyünü necə yoxlamaq olar?

Bir ədədin digərinə qalıqsız bölünüb bölünmədiyini öyrənmək üçün ədədlərin bölünməsinin bəzi xassələrindən istifadə etmək olar. Sonra onları birləşdirərək bəzilərinin bölünmə qabiliyyətini və birləşmələrini yoxlaya bilərsiniz.

Ədədlərin bölünməsinin bəzi əlamətləri

1. Ədədin 2-yə bölünmə testi
Ədədin ikiyə bölünüb-bölünmədiyini (cüt olub-olmadığını) müəyyən etmək üçün bu ədədin sonuncu rəqəminə baxmaq kifayətdir: əgər o, 0, 2, 4, 6 və ya 8-ə bərabərdirsə, o zaman ədəd cütdür, bu o deməkdir ki, 2-yə bölünür.
Misal: 34938 ədədinin 2-yə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edin.
Həll: son rəqəmə baxın: 8 ədədin ikiyə bölünməsi deməkdir.

2. Ədədin 3-ə bölünmə testi
Rəqəmlərinin cəmi üçə bölünən bir ədəd 3-ə bölünür. Beləliklə, bir ədədin 3-ə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən etmək üçün rəqəmlərin cəmini hesablamaq və onun 3-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaq lazımdır. Rəqəmlərin cəmi çox böyük olsa belə, eyni prosesi yenidən təkrarlaya bilərsiniz.
Misal: 34938 rəqəminin 3-ə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edin.
Həll: Rəqəmlərin cəmini hesablayırıq: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3-ə bölünür, yəni ədəd üçə bölünür.

3. Ədədin 5-ə bölünmə testi
Son rəqəmi sıfır və ya beş olduqda ədəd 5-ə bölünür.
Misal: 34938 rəqəminin 5-ə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edin.
Həll: son rəqəmə baxın: 8 rəqəmin beşə bölünmədiyini bildirir.

4. Ədədin 9-a bölünmə testi
Bu işarə üçə bölünmə əlamətinə çox bənzəyir: rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünən ədəd 9-a bölünür.
Misal: 34938 rəqəminin 9-a bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edin.
Həll: Rəqəmlərin cəmini hesablayırıq: 3+4+9+3+8 = 27. 27 9-a bölünür, yəni ədəd doqquza bölünür.

İki ədədin GCD və LCM-ni necə tapmaq olar

İki ədədin gcd-ni necə tapmaq olar

İki ədədin ən böyük ortaq bölənini hesablamağın ən asan yolu həmin ədədlərin bütün mümkün bölənlərini tapmaq və ən böyüyünü seçməkdir.

GCD-nin tapılması nümunəsindən istifadə edərək bu metodu nəzərdən keçirək(28, 36):

1. Hər iki ədədi hesablayırıq: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Ümumi amilləri tapırıq, yəni hər iki ədəddə olanlar: 1, 2 və 2.
3. Bu amillərin məhsulunu hesablayırıq: 1 2 2 = 4 - bu, 28 və 36 ədədlərinin ən böyük ümumi bölənidir.

İki ədədin LCM-ni necə tapmaq olar

İki ədədin ən kiçik qatını tapmaq üçün ən çox yayılmış iki üsul var. Birinci üsul ondan ibarətdir ki, siz iki ədədin ilk qatlarını yaza bilərsiniz və sonra onların arasında hər iki ədəd üçün ümumi və eyni zamanda ən kiçik olanı seçə bilərsiniz. İkincisi isə bu ədədlərin gcd-sini tapmaqdır. Yalnız onu nəzərdən keçirək.

LCM-i hesablamaq üçün orijinal ədədlərin məhsulunu hesablamaq və sonra onu əvvəllər tapılmış GCD-yə bölmək lazımdır. Eyni 28 və 36 nömrələri üçün LCM-i tapaq:

1. 28 və 36 ədədlərinin hasilini tapın: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), artıq məlum olduğu kimi, 4-ə bərabərdir
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Bir neçə nömrə üçün GCD və LCM tapılır

Ən böyük ortaq bölən yalnız iki deyil, bir neçə ədəd üçün tapıla bilər. Bunun üçün ən böyük ortaq bölən üçün tapılacaq ədədlər sadə amillərə parçalanır, sonra bu ədədlərin ümumi sadə çarpanlarının hasili tapılır. Siz həmçinin bir neçə ədədin gcd-sini tapmaq üçün aşağıdakı əlaqədən istifadə edə bilərsiniz: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Oxşar əlaqə ən az ümumi çoxluğa aiddir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Misal: 12, 32 və 36 nömrələri üçün GCD və LCM tapın.

1. Əvvəlcə ədədləri çarpazlara ayıraq: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ümumi amilləri tapaq: 1, 2 və 2.
3. Onların məhsulu GCD verəcək: 1·2·2 = 4
4. İndi LCM-i tapaq: bunu etmək üçün əvvəlcə LCM-i (12, 32) tapaq: 12·32 / 4 = 96 .
5. Hər üç ədədin LCM-ni tapmaq üçün GCD(96, 36) tapmaq lazımdır: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.