Loqarifmik eynilik düsturları. Natural loqarifm, ln x funksiyası

\(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)

Gəlin bunu daha sadə izah edək. Məsələn, \(\log_(2)(8)\) \(8\) almaq üçün \(2\) qaldırılmalı olan gücə bərabərdir. Buradan aydın olur ki, \(\log_(2)(8)=3\).

Nümunələr:		\(\log_(5)(25)=2\)		çünki \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		çünki \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		çünki \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Loqarifmin arqumenti və əsası

İstənilən loqarifm aşağıdakı “anatomiyaya” malikdir:

Loqarifmin arqumenti adətən onun səviyyəsində yazılır, baza isə loqarifm işarəsinə yaxın olan alt işarədə yazılır. Və bu giriş belə oxunur: “iyirmi beşdən beşə əsaslanan loqarifm”.

Loqarifmi necə hesablamaq olar?

Loqarifmi hesablamaq üçün suala cavab verməlisiniz: arqument almaq üçün baza hansı gücə qaldırılmalıdır?

Misal üçün, loqarifmi hesablayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) almaq üçün \(4\) hansı gücə yüksəldilməlidir? Aydındır ki, ikincisi. Buna görə də:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) almaq üçün \(\sqrt(5)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Hansı güc istənilən nömrəni bir edir? Sıfır, əlbəttə!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) əldə etmək üçün \(\sqrt(7)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Birincisi, birinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) əldə etmək üçün \(3\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Biz bilirik ki, bu kəsr qüvvədir, yəni kvadrat kök \(\frac(1)(2)\) -in gücüdür.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Misal : Loqarifmi hesablayın \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Həll :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Loqarifmin qiymətini tapmalıyıq, onu x kimi işarə edək. İndi loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Sol sağ ox\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) və \(8\) nə birləşdirir? İki, çünki hər iki ədəd iki ilə təmsil oluna bilər: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Solda dərəcənin xüsusiyyətlərindən istifadə edirik: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) və \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Əsaslar bərabərdir, biz göstəricilərin bərabərliyinə keçirik
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Tənliyin hər iki tərəfini \(\frac(2)(5)\) ilə vurun
		Nəticədə kök loqarifmin dəyəridir

Cavab verin : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Loqarifm niyə icad edildi?

Bunu başa düşmək üçün tənliyi həll edək: \(3^(x)=9\). Bərabərliyin işləməsi üçün sadəcə \(x\) ilə uyğunlaşdırın. Əlbəttə, \(x=2\).

İndi tənliyi həll edin: \(3^(x)=8\).X nəyə bərabərdir? Məsələ bundadır.

Ən ağıllılar deyəcəklər: “X ikidən bir az azdır”. Bu nömrəni tam olaraq necə yazmaq olar? Bu suala cavab vermək üçün loqarifm icad edilmişdir. Onun sayəsində burada cavab \(x=\log_(3)(8)\) kimi yazıla bilər.

Vurğulamaq istəyirəm ki, \(\log_(3)(8)\), bəyənin istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Bəli, qeyri-adi görünür, amma qısadır. Çünki onu onluq kimi yazmaq istəsək, belə görünərdi: \(1.892789260714.....\)

Misal : \(4^(5x-4)=10\) tənliyini həll edin

Həll :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) və \(10\) eyni bazaya gətirilə bilməz. Bu, loqarifm olmadan edə bilməyəcəyiniz deməkdir. Loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Gəlin tənliyi elə çevirək ki, X solda olsun
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bizdən əvvəl. Gəlin \(4\) sağa doğru hərəkət edək. Və loqarifmdən qorxmayın, ona adi bir ədəd kimi yanaşın.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Tənliyi 5-ə bölün
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Bu bizim kökümüzdür. Bəli, qeyri-adi görünür, amma cavabı seçmirlər.

Cavab verin : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Onluq və natural loqarifmlər

Loqarifmin tərifində deyildiyi kimi, onun əsası bir \((a>0, a\neq1)\) istisna olmaqla istənilən müsbət ədəd ola bilər. Bütün mümkün əsaslar arasında o qədər tez-tez baş verən ikisi var ki, onlarla loqarifmlər üçün xüsusi qısa notasiya icad edilmişdir:

Natural loqarifm: bazası Eyler ədədi \(e\) (təxminən \(2,7182818…\)-ə bərabərdir) və loqarifmi \(\ln(a)\) kimi yazılmış loqarifmdir.

Yəni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) ilə eynidir

Onluq Loqarifm: Əsası 10 olan loqarifma \(\lg(a)\) yazılır.

Yəni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) ilə eynidir, burada \(a\) bəzi ədəddir.

Əsas loqarifmik eynilik

Loqarifmlər çoxlu xüsusiyyətlərə malikdir. Onlardan biri “Basic Logarifmic Identity” adlanır və belə görünür:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Bu xüsusiyyət birbaşa tərifdən irəli gəlir. Gəlin bu formulun necə yarandığını görək.

Loqarifmin tərifinin qısa qeydini xatırlayaq:

əgər \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

Yəni \(b\) \(\log_(a)(c)\) ilə eynidir. O zaman \(a^(b)=c\) düsturunda \(b\) yerinə \(\log_(a)(c)\) yaza bilərik. Məlum oldu ki, \(a^(\log_(a)(c))=c\) - əsas loqarifmik eynilik.

Loqarifmlərin digər xassələrini tapa bilərsiniz. Onların köməyi ilə birbaşa hesablanması çətin olan loqarifmlərlə ifadələrin dəyərlərini sadələşdirə və hesablaya bilərsiniz.

Misal : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadəsinin qiymətini tapın

Həll :

Cavab verin : \(25\)

Bir ədədi loqarifm kimi necə yazmaq olar?

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Əksi də doğrudur: istənilən ədədi loqarifm kimi yazmaq olar. Məsələn, \(\log_(2)(4)\) ikiyə bərabər olduğunu bilirik. Sonra iki əvəzinə \(\log_(2)(4)\) yaza bilərsiniz.

Lakin \(\log_(3)(9)\) da \(2\) bərabərdir, yəni \(2=\log_(3)(9)\) da yaza bilərik. Eyni şəkildə \(\log_(5)(25)\) və \(\log_(9)(81)\) ilə və s. Yəni belə çıxır

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Beləliklə, əgər ehtiyacımız varsa, ikisini hər hansı bir baza ilə loqarifm kimi yaza bilərik (istər tənlikdə, istər ifadədə, istərsə də bərabərsizlikdə) - sadəcə olaraq arqument kimi bazanın kvadratını yazırıq.

Üçlü ilə eynidir – o, \(\log_(2)(8)\) və ya \(\log_(3)(27)\) və ya \(\log_(4)() kimi yazıla bilər. 64) \)... Burada kubda əsası arqument kimi yazırıq:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Və dördü ilə:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Və mənfi biri ilə:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Və üçdə biri ilə:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

İstənilən ədəd \(a\) əsası \(b\) olan loqarifm kimi təqdim edilə bilər: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Misal : İfadənin mənasını tapın \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Həll :

Cavab verin : \(1\)

Natural loqarifmin əsas xassələri, qrafiki, təyin olunma oblastı, qiymətlər çoxluğu, əsas düsturlar, törəmə, inteqral, dərəcə sıralarının genişləndirilməsi və ln x funksiyasının kompleks ədədlərdən istifadə etməklə təsviri verilmişdir.

Tərif

Təbii loqarifm y = funksiyasıdır ln x, eksponensialın tərsi, x = e y və e ədədinin əsasının loqarifmidir: ln x = log e x.

Təbii loqarifm riyaziyyatda geniş istifadə olunur, çünki onun törəməsi ən sadə formaya malikdir: (ln x)' = 1/ x.

əsasında təriflər, natural loqarifmin əsası ədəddir e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = funksiyasının qrafiki ln x.

Natural loqarifmin qrafiki (y = funksiyaları ln x) eksponensial qrafikdən y = x düz xəttinə nisbətən güzgü əksi ilə alınır.

Təbii loqarifm x dəyişəninin müsbət qiymətləri üçün müəyyən edilir. Tərif sahəsində monoton olaraq artır.

x-də → 0 natural loqarifmin həddi mənfi sonsuzluqdur (-∞).

x → + ∞ olduğu üçün natural loqarifmin həddi üstəgəl sonsuzluqdur (+ ∞). Böyük x üçün loqarifm olduqca yavaş artır. Müsbət göstəricisi a olan istənilən güc funksiyası x a loqarifmadan daha sürətli böyüyür.

Natural loqarifmin xassələri

Tərif sahəsi, qiymətlər toplusu, ekstremal, artım, azalma

Təbii loqarifm monoton artan funksiyadır, ona görə də ekstremum yoxdur. Təbii loqarifmin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir.

ln x dəyərləri

ln 1 = 0

Təbii loqarifmlər üçün əsas düsturlar

Tərs funksiyanın tərifindən irəli gələn düsturlar:

Loqarifmlərin əsas xassəsi və onun nəticələri

Baza dəyişdirmə düsturu

İstənilən loqarifm əsas əvəz düsturundan istifadə edərək natural loqarifmlərlə ifadə edilə bilər:

Bu düsturların sübutları “Loqarifm” bölməsində verilmişdir.

Tərs funksiya

Təbii loqarifmin tərsi eksponentdir.

Əgər, onda

Əgər, onda.

Törəmə ln x

Təbii loqarifmin törəməsi:
.
X modulunun natural loqarifminin törəməsi:
.
n-ci dərəcəli törəmə:
.
Düsturların alınması > > >

İnteqral

İnteqral hissələr üzrə inteqrasiya yolu ilə hesablanır:
.
Belə ki,

Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr

z kompleks dəyişəninin funksiyasını nəzərdən keçirək:
.
Kompleks dəyişəni ifadə edək z modul vasitəsilə r və mübahisə φ :
.
Loqarifmin xassələrindən istifadə edərək, əldə edirik:
.
Və ya
.
φ arqumenti unikal şəkildə müəyyən edilməyib. qoysan
, burada n tam ədəddir,
fərqli n üçün eyni ədəd olacaq.

Buna görə də, mürəkkəb dəyişənin funksiyası kimi natural loqarifm tək qiymətli funksiya deyil.

Güc seriyasının genişləndirilməsi

Genişlənmə baş verdikdə:

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

1.1. Tam ədəd üçün eksponentin təyini

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N dəfə

1.2. Sıfır dərəcə.

Tərifə görə, hər hansı bir ədədin sıfır qüvvəsinin 1 olduğu ümumiyyətlə qəbul edilir:

1.3. Mənfi dərəcə.

X -N = 1/X N

1.4. Fraksiya gücü, kök.

X 1/N = X-in N kökü.

Məsələn: X 1/2 = √X.

1.5. Güclərin əlavə edilməsi üçün düstur.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Çıxılmaların düsturları.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Gücləri çoxaltmaq üçün düstur.

X N*M = (X N) M

1.8. Kəsiri gücə çatdırmaq üçün düstur.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Nömrə e.

e ədədinin dəyəri aşağıdakı həddə bərabərdir:

E = lim(1+1/N), N → ∞ kimi.

17 rəqəm dəqiqliyi ilə e rəqəmi 2,71828182845904512-dir.

3. Eyler bərabərliyi.

Bu bərabərlik riyaziyyatda xüsusi rol oynayan beş ədədi birləşdirir: 0, 1, e, pi, xəyali vahid.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponensial funksiya exp(x)

exp(x) = e x

5. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Eksponensial funksiyanın əlamətdar xüsusiyyəti var: funksiyanın törəməsi eksponensial funksiyanın özünə bərabərdir:

(exp(x))" = exp(x)

6. Loqarifm.

6.1. Loqarifm funksiyasının tərifi

Əgər x = b y olarsa, loqarifm funksiyadır

Y = Log b(x).

Loqarifm ədədin hansı gücə qaldırılmalı olduğunu göstərir - verilmiş ədədi (X) əldə etmək üçün (b) loqarifmin əsasını. Loqarifm funksiyası sıfırdan böyük X üçün müəyyən edilir.

Məsələn: Log 10 (100) = 2.

6.2. Ondalıq loqarifm

Bu 10-cu bazanın loqarifmidir:

Y = Giriş 10 (x) .

Log(x) ilə işarələnir: Log(x) = Log 10 (x).

Onluq loqarifmin istifadəsinə misal desibeldir.

6.3. desibel

Maddə ayrıca Desibel səhifəsində vurğulanır

6.4. İkili loqarifm

Bu 2-ci əsas loqarifmdir:

Y = Giriş 2 (x).

Lg(x) ilə işarələnir: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Təbii loqarifm

Bu e əsasının loqarifmidir:

Y = Log e (x) .

Ln(x) ilə işarələnir: Ln(x) = Log e (X)
Natural loqarifm exp(X) eksponensial funksiyasının tərs funksiyasıdır.

6.6. Xarakterik nöqtələr

Loqa(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Məhsulun loqarifm düsturu

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Hissənin loqarifmi üçün düstur

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Güc düsturunun loqarifmi

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Fərqli əsaslı loqarifmə çevirmək üçün düstur

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Misal:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Həyatda faydalı olan düsturlar

Tez-tez həcmi sahəyə və ya uzunluğa çevirmək və tərs problem - sahəni həcmə çevirmək problemləri var. Məsələn, lövhələr kublar (kubmetr) ilə satılır və müəyyən bir həcmdə olan lövhələrlə nə qədər divar sahəsinin örtülə biləcəyini hesablamalıyıq, lövhələrin hesablanmasına baxın, bir kubda neçə lövhə var. Və ya divarın ölçüləri məlumdursa, kərpic sayını hesablamaq lazımdır, kərpic hesablanmasına baxın.

Mənbəyə aktiv keçidin quraşdırılması şərti ilə sayt materiallarından istifadə etməyə icazə verilir.

Bu gün haqqında danışacağıq loqarifmik düsturlar və göstərici verəcəyik həll nümunələri.

Onlar özləri loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll etmək üçün loqarifmik düsturları tətbiq etməzdən əvvəl sizə bütün xüsusiyyətləri xatırladaq:

İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstərəcəyik loqarifmlərin həlli nümunələri.

Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.

Loqarifm a bazası üçün müsbət b ədədi (log a b ilə işarələnir) b > 0, a > 0 və 1 ilə b almaq üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir.

Tərifə əsasən, log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.

Loqarifmlər, misallar:

log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8

log 7 49 = 2, çünki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5

Ondalıq loqarifm- bu, adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.

log 10 100 = 2, çünki 10 2 = 100

Təbii loqarifm- həm də adi loqarifm, loqarifm, lakin e əsası ilə (e = 2,71828... - irrasional ədəd). ln kimi qeyd olunur.

Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini əzbərləmək məqsədəuyğundur, çünki sonradan loqarifmlər, loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklərin həlli zamanı onlara ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.

• Əsas loqarifmik eynilik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Loqarifmik ədədin gücü və loqarifmin əsasının xassələri

  log a b m = mloq a b loqarifmik ədədinin göstəricisi

  Loqarifmin əsasının göstəricisi log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Yeni bir təmələ keçid
  log a b = log c b/log c a,

  c = b olarsa, log b b = 1 alırıq

  sonra log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüyünüz kimi, loqarifmlər üçün düsturlar göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrinə baxaraq, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Məqalədə loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrinə daha ətraflı baxacağıq: "". Qaçırmayın!

Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.

Qeyd: seçim olaraq fərqli bir təhsil sinfi almaq və xaricdə təhsil almaq qərarına gəldik.

Ədədin loqarifmi N əsasən A eksponent adlanır X , siz qurmaq lazımdır A nömrəni almaq üçün N

Bir şərtlə ki
,
,

Loqarifmin tərifindən belə nəticə çıxır
, yəni.
- bu bərabərlik əsas loqarifmik eynilikdir.

10-cu bazaya qədər olan loqarifmlərə onluq loqarifmlər deyilir. Əvəzinə
yaz
.

Baza loqarifmlər e təbii adlanır və təyin olunur
.

Loqarifmlərin əsas xassələri.

İstənilən əsas üçün vahidin loqarifmi sıfıra bərabərdir.

Məhsulun loqarifmi amillərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

3) Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir

Amil
loqarifmlərdən bazaya keçid modulu adlanır a bazasında loqarifmlərə b .

2-5 xassələrindən istifadə edərək, çox vaxt mürəkkəb ifadənin loqarifmini loqarifmlər üzərində sadə hesab əməliyyatlarının nəticəsinə endirmək mümkündür.

Misal üçün,

Loqarifmin belə çevrilmələrinə loqarifmlər deyilir. Loqarifmə tərs çevrilmələrə potensiasiya deyilir.

Fəsil 2. Ali riyaziyyatın elementləri.

1. Limitlər

Funksiya limiti
kimi, sonlu A ədədidir xx 0 əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər biri üçün
, belə bir nömrə var
ki, tezliklə
, Bu
.

Həddi olan funksiya ondan sonsuz kiçik məbləğlə fərqlənir:
, harada- b.m.v., yəni.
.

Misal. Funksiyanı nəzərdən keçirin
.

Çalışarkən
, funksiyası y sıfıra meyllidir:

1.1. Limitlər haqqında əsas teoremlər.

Sabit dəyərin həddi bu sabit qiymətə bərabərdir

.

Sonlu sayda funksiyaların cəminin (fərqinin) həddi bu funksiyaların hədlərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

Sonlu sayda funksiyaların hasilinin həddi bu funksiyaların hədlərinin hasilinə bərabərdir.

Məxrəcin həddi sıfır deyilsə, iki funksiyanın bölünməsinin həddi bu funksiyaların hədlərinin bölünməsinə bərabərdir.

Möhtəşəm Limitlər

,
, Harada

1.2. Limitlərin hesablanması nümunələri

Ancaq bütün limitlər o qədər də asan hesablanmır. Daha tez-tez limitin hesablanması növün qeyri-müəyyənliyini aşkar etməyə gəlir: və ya .

.

2. Funksiyanın törəməsi

Bir funksiyamız olsun
, seqmentdə davamlı
.

Arqument müəyyən artım əldə etdi
. Sonra funksiya bir artım alacaq
.

Arqument dəyəri funksiya dəyərinə uyğundur
.

Arqument dəyəri
funksiya dəyərinə uyğundur.

Beləliklə, .

Bu nisbətin həddini -də tapaq
. Əgər bu hədd varsa, o zaman verilmiş funksiyanın törəməsi adlanır.

Tərif 3 Verilmiş funksiyanın törəməsi
arqumentlə arqumentin artımı ixtiyari olaraq sıfıra meyl etdikdə, funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır.

Funksiya törəməsi
aşağıdakı kimi təyin edilə bilər:

; ; ; .

Tərif 4 Funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatı adlanır fərqləndirmə.

2.1. Törəmənin mexaniki mənası.

Bəzi sərt cismin və ya maddi nöqtənin düzxətli hərəkətini nəzərdən keçirək.

Zamanın bir nöqtəsində icazə verin hərəkət nöqtəsi
məsafədə idi başlanğıc mövqeyindən
.

Bir müddət sonra
uzaqlaşdı
. Münasibət =- maddi nöqtənin orta sürəti
. Bunu nəzərə alaraq bu nisbətin həddini tapaq
.

Nəticə etibarilə, maddi nöqtənin ani hərəkət sürətinin müəyyən edilməsi yolun zamana görə törəməsinin tapılmasına qədər azalır.

2.2. Törəmənin həndəsi qiyməti

Qrafik olaraq təyin edilmiş bir funksiyaya sahib olaq
.

düyü. 1. Törəmənin həndəsi mənası

Əgər
, sonra işarə edin
, nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edəcək
.

Beləliklə
, yəni. arqumentin verilmiş dəyəri üçün törəmənin dəyəri oxun müsbət istiqaməti ilə verilmiş nöqtədə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə ədədi olaraq bərabərdir.
.

2.3. Əsas fərqləndirmə düsturlarının cədvəli.

Güc funksiyası

Eksponensial funksiya

Loqarifmik funksiya

Triqonometrik funksiya

Tərs triqonometrik funksiya

2.4. Fərqləndirmə qaydaları.

törəməsi

Funksiyaların cəminin (fərqinin) törəməsi

İki funksiyanın hasilinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

2.5. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Funksiya verilsin
formada təmsil oluna bilsin

Və
, burada dəyişən o zaman ara arqumentdir

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi verilmiş funksiyanın ara arqumentə görə törəməsinin və x-ə münasibətdə ara arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Misal 1.

Misal 2.

3. Diferensial funksiya.

Var olsun
, müəyyən intervalda diferensiallana bilir
gidelim saat bu funksiyanın törəməsi var

,

sonra yaza bilərik

(1),

Harada - sonsuz kiçik miqdar,

nə vaxtdan

Bütün bərabərlik şərtlərinin (1) çarpılması
bizdə:

Harada
- b.m.v. daha yüksək sifariş.

Böyüklük
funksiyanın diferensialı adlanır
və təyin edilir

.

3.1. Diferensialın həndəsi qiyməti.

Funksiya verilsin
.

Şəkil 2. Diferensialın həndəsi mənası.

.

Aydındır ki, funksiyanın diferensialı
verilmiş nöqtədə tangensin ordinatının artımına bərabərdir.

3.2. Müxtəlif sifarişli törəmələr və diferensiallar.

Varsa
, Sonra
birinci törəmə adlanır.

Birinci törəmənin törəməsi ikinci dərəcəli törəmə adlanır və yazılır
.

Funksiyanın n-ci sırasının törəməsi
(n-1)-ci dərəcəli törəmə adlanır və yazılır:

.

Funksiya diferensialının diferensialına ikinci diferensial və ya ikinci dərəcəli diferensial deyilir.

.

.

3.3 Diferensiasiyadan istifadə etməklə bioloji məsələlərin həlli.

Tapşırıq 1. Tədqiqatlar mikroorqanizmlərin koloniyasının böyüməsinin qanuna tabe olduğunu göstərdi
, Harada N - mikroorqanizmlərin sayı (minlərlə), t - vaxt (günlər).

b) Bu dövrdə koloniyanın əhalisi artacaq, yoxsa azalacaq?

Cavab verin. Koloniyanın ölçüsü artacaq.

Tapşırıq 2. Göldəki su patogen bakteriyaların tərkibinə nəzarət etmək üçün vaxtaşırı sınaqdan keçirilir. vasitəsilə t testdən gün sonra bakteriyaların konsentrasiyası nisbətlə müəyyən edilir

.

Göldə bakteriyaların minimum konsentrasiyası nə vaxt olacaq və orada üzmək mümkün olacaqmı?

Həlli: Funksiya törəməsi sıfır olduqda max və ya minə çatır.

,

6 gün ərzində maksimum və ya min olacağını müəyyən edək. Bunun üçün ikinci törəməni götürək.

Cavab: 6 gündən sonra bakteriyaların minimum konsentrasiyası olacaq.