लघुगणकीय पहचान सूत्र. प्राकृतिक लघुगणक, फलन ln x

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे और अधिक सरलता से समझाएं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिससे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "पच्चीस से आधार पाँच का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? कौन सी शक्ति किसी भी नंबर को एक बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? सबसे पहले, पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, जिसका अर्थ है कि वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करना होगा, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या जोड़ता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता की ओर बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी मूल लघुगणक का मान है

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समीकरण को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\).x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे चतुर लोग कहेंगे: "X दो से थोड़ा कम है।" इस संख्या को वास्तव में कैसे लिखें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), जैसे कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह संक्षिप्त है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर नहीं लाया जा सकता। इसका मतलब है कि आप लघुगणक के बिना काम नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		आइए समीकरण को पलटें ताकि X बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमसे पहले. आइए \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह समझो।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यह हमारी जड़ है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन वे इसका उत्तर नहीं चुनते हैं।

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे आधार हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर की संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह फॉर्मूला कैसे आया।

आइए हम लघुगणक की परिभाषा का एक संक्षिप्त विवरण याद करें:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के अन्य गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हम \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम कहीं भी किसी भी आधार के साथ लघुगणक के रूप में दो लिख सकते हैं (एक समीकरण में भी, एक अभिव्यक्ति में भी, एक असमानता में भी) - हम बस वर्ग आधार को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64)\)... यहां हम आधार को घन में एक तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

प्राकृतिक लघुगणक, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन एलएन एक्स का प्रतिनिधित्व के मूल गुण दिए गए हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

पर आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है ई:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) सीधी रेखा y = x के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब द्वारा घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है। 0 x → पर

प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है।

जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। धनात्मक घातांक वाला कोई भी घात फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा कार्य

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

यदि , तो

यदि, तो.

व्युत्पन्न एलएन एक्स
.
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न
.
अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:

इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक
.
जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें: आइए जटिल चर को व्यक्त करेंजेड मॉड्यूल के माध्यम सेआर φ :
.
और तर्क
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,

यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:
प्रयुक्त साहित्य:

में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

1.1. पूर्णांक घातांक के लिए घातांक का निर्धारण
एक्स 1 = एक्स
एक्स 2 = एक्स * एक्स
…
एक्स 3 = एक्स * एक्स * एक्स

एक्स एन = एक्स * एक्स * … * एक्स - एन बार

परिभाषा के अनुसार, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि किसी भी संख्या की शून्य घात 1 है:

1.3. नकारात्मक डिग्री.

एक्स-एन = 1/एक्स एन

1.4. आंशिक शक्ति, जड़.

एक्स 1/एन = एक्स का एन मूल।

उदाहरण के लिए: X 1/2 = √X.

1.5. शक्तियाँ जोड़ने का सूत्र.

एक्स (एन+एम) = एक्स एन *एक्स एम

1.6.घात घटाने का सूत्र.

एक्स (एन-एम) = एक्स एन /एक्स एम

1.7. शक्तियों को बढ़ाने का सूत्र.

एक्स एन*एम = (एक्स एन) एम

1.8. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाने का सूत्र.

(एक्स/वाई) एन = एक्स एन/वाई एन

2. संख्या ई.

संख्या e का मान निम्नलिखित सीमा के बराबर है:

ई = लिम(1+1/एन), क्योंकि एन → ∞।

17 अंकों की सटीकता के साथ, संख्या ई 2.71828182845904512 है।

3. यूलर की समानता.

यह समानता पाँच संख्याओं को जोड़ती है जो गणित में विशेष भूमिका निभाती हैं: 0, 1, ई, पाई, काल्पनिक इकाई।

ई (आई*पीआई) + 1 = 0

4. घातीय फलन exp(x)

क्स्प(एक्स) = ई एक्स

5. घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

घातांकीय फलन में एक उल्लेखनीय गुण होता है: फलन का व्युत्पन्न घातांकीय फलन के ही बराबर होता है:

(एक्सप(एक्स))" = एक्सप(एक्स)

6. लघुगणक.

6.1. लघुगणक फलन की परिभाषा

यदि x = b y, तो लघुगणक फलन है

Y = लॉग b(x).

लघुगणक दर्शाता है कि एक संख्या - लघुगणक (बी) का आधार - को किसी दी गई संख्या (एक्स) प्राप्त करने के लिए किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। लघुगणक फ़ंक्शन को शून्य से अधिक X के लिए परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए: लॉग 10 (100) = 2।

6.2. दशमलव लघुगणक

यह आधार 10 का लघुगणक है:

Y = लॉग 10 (x) .

लॉग (x) द्वारा निरूपित: लॉग (x) = लॉग 10 (x)।

दशमलव लघुगणक के उपयोग का एक उदाहरण डेसीबल है।

6.3. डेसिबल

आइटम को एक अलग पेज डेसीबल पर हाइलाइट किया गया है

6.4. बाइनरी लघुगणक

यह आधार 2 लघुगणक है:

वाई = लॉग 2 (एक्स)।

Lg(x) द्वारा निरूपित: Lg(x) = लॉग 2 (X)

6.5. प्राकृतिक

यह आधार e का लघुगणक है:

वाई = लॉग ई (एक्स) .

Ln(x) द्वारा निरूपित: Ln(x) = Log e (X)
प्राकृतिक लघुगणक घातीय फलन exp(X) का व्युत्क्रम फलन है।

6.6. विशेषता बिंदु

लोगा(1) = 0
लॉग ए (ए) = 1

6.7. उत्पाद लघुगणक सूत्र

लॉग ए (x*y) = लॉग ए (x)+लॉग ए (y)

6.8. भागफल के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (एक्स/वाई) = लॉग ए (एक्स)-लॉग ए (वाई)

6.9. शक्ति सूत्र का लघुगणक

लॉग ए (x y) = y*लॉग ए (x)

6.10. भिन्न आधार वाले लघुगणक में परिवर्तित करने का सूत्र

लॉग बी (एक्स) = (लॉग ए (एक्स))/लॉग ए (बी)

उदाहरण:

लॉग 2 (8) = लॉग 10 (8)/लॉग 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. जीवन में उपयोगी सूत्र

अक्सर आयतन को क्षेत्रफल या लंबाई में बदलने की समस्या होती है और उलटी समस्या होती है - क्षेत्रफल को आयतन में बदलने की। उदाहरण के लिए, बोर्ड क्यूब्स (घन मीटर) में बेचे जाते हैं, और हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक निश्चित मात्रा में निहित बोर्डों के साथ दीवार का कितना क्षेत्र कवर किया जा सकता है, बोर्डों की गणना देखें, एक क्यूब में कितने बोर्ड हैं। या, यदि दीवार के आयाम ज्ञात हैं, तो आपको ईंटों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, ईंट गणना देखें।

साइट सामग्री का उपयोग करने की अनुमति है बशर्ते कि स्रोत के लिए एक सक्रिय लिंक स्थापित हो।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर हम संकेत देंगे समाधान उदाहरण.

वे स्वयं लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। हल करने के लिए लघुगणकीय सूत्र लागू करने से पहले, आइए हम आपको सभी गुणों की याद दिलाएँ:

अब हम इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर बताएंगे लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a के लिए एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b द्वारा निरूपित) एक घातांक है जिसमें b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए, b > 0, a > 0, और 1 के साथ।

परिभाषा के अनुसार, लॉग ए बी = एक्स, जो ए एक्स = बी के बराबर है, इसलिए लॉग ए ए एक्स = एक्स।

लघुगणक, उदाहरण:

लॉग 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2, क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणक- यह एक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg से दर्शाया जाता है।

लॉग 10 100 = 2, क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- एक साधारण लघुगणक, एक लघुगणक, लेकिन आधार e (e = 2.71828... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में दर्शाया गया।

लघुगणक के सूत्रों या गुणों को याद रखने की सलाह दी जाती है, क्योंकि बाद में लघुगणक, लघुगणक समीकरण और असमानताओं को हल करते समय हमें उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• बुनियादी लघुगणकीय पहचान
  ए लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लॉग 3 8.1 + लॉग 3 10 = लॉग 3 (8.1*10) = लॉग 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लॉग 5 50 /9 लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 50- लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 25 = 9 2 = 81

• लघुगणकीय संख्या की शक्ति और लघुगणक के आधार के गुण

  लघुगणकीय संख्या का घातांक log a b m = mlog a b

  लघुगणक log a n b =1/n*log a b के आधार का घातांक

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन*लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लॉग 4 9 = लॉग 2 2 3 2 = लॉग 2 3

• एक नई नींव में परिवर्तन
  लॉग ए बी = लॉग सी बी/लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें log b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक के सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों को देखने के बाद, हम लघुगणक समीकरणों की ओर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में अधिक विस्तार से लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखेंगे: ""। इसे मत गँवाओ!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख की टिप्पणियों में लिखें।

नोट: हमने एक विकल्प के रूप में एक अलग श्रेणी की शिक्षा प्राप्त करने और विदेश में अध्ययन करने का निर्णय लिया।

किसी संख्या का लघुगणक एन पर आधारित ए प्रतिपादक कहा जाता है एक्स , जिसके लिए आपको निर्माण करने की आवश्यकता है ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

लघुगणक की परिभाषा से यह इस प्रकार है
, यानी
- यह समानता मूल लघुगणकीय पहचान है।

आधार 10 तक के लघुगणक को दशमलव लघुगणक कहा जाता है। के बजाय
लिखना
.

आधार के लिए लघुगणक ई प्राकृतिक कहलाते हैं और निर्दिष्ट होते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

किसी भी आधार के लिए एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

कारक
लघुगणक से आधार तक संक्रमण का मापांक कहा जाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुणों 2-5 का उपयोग करके, लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम के लिए एक जटिल अभिव्यक्ति के लघुगणक को कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के व्युत्क्रम परिवर्तनों को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व.

1. सीमाएँ

समारोह की सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, जैसे xx 0 प्रत्येक के लिए पूर्व निर्धारित
, ऐसी एक संख्या है
जैसे ही
, वह
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है वह उससे एक अनंत राशि से भिन्न होता है:
, कहा पे- बी.एम.वी., यानी।
.

उदाहरण। फ़ंक्शन पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह य शून्य हो जाता है:

1.1. सीमाओं के बारे में बुनियादी प्रमेय.

एक स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

.

कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर होती है।

कार्यों की एक सीमित संख्या के उत्पाद की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

दो फलनों के भागफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य न हो।

अद्भुत सीमाएँ

,
, कहाँ

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालाँकि, सभी सीमाओं की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। अधिक बार, सीमा की गणना करने से प्रकार की अनिश्चितता का पता चलता है: या ।

.

2. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

आइये एक समारोह करें
, खंड पर निरंतर
.

तर्क कुछ बढ़ोतरी हुई
. तब फ़ंक्शन को वृद्धि प्राप्त होगी
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन मान से मेल खाता है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।

इस तरह, ।

आइए इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा 3 किसी दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
तर्क से किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को कहा जाता है, जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
निम्नानुसार नामित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ.

आइए किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधीरेखीय गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
की दूरी पर था आरंभिक स्थिति से
.

कुछ समय के बाद
वह कुछ दूर चली गयी
. नज़रिया =- किसी भौतिक बिंदु की औसत गति
. आइए इसे ध्यान में रखते हुए इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें
.

नतीजतन, किसी भौतिक बिंदु की गति की तात्कालिक गति का निर्धारण समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए कम कर दिया जाता है।

2.2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय मान

आइए हमारे पास ग्राफ़िक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन है
.

चावल। 1. व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ

अगर
, फिर बिंदु
, बिंदु के करीब पहुंचते हुए, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा
.

इस तरह
, यानी तर्क के दिए गए मान के लिए व्युत्पन्न का मान संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण के स्पर्शरेखा के बराबर
.

2.3. बुनियादी विभेदन सूत्रों की तालिका.

शक्ति समारोह

घातांक प्रकार्य

लघुगणकीय कार्य

त्रिकोणमितीय फलन

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

2.4. विभेदीकरण के नियम.

की व्युत्पत्ति

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

2.5. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

फ़ंक्शन दिया जाए
इस प्रकार कि इसे रूप में प्रस्तुत किया जा सके

और
, जहां चर तो यह एक मध्यवर्ती तर्क है

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उदाहरण 1.

उदाहरण 2.

3. विभेदक कार्य.

उसको रहनो दो
, कुछ अंतराल पर भिन्न
और चलो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

,

तो हम लिख सकते हैं

(1),

कहाँ - एक अतिसूक्ष्म मात्रा,

कब से

समानता के सभी पदों को (1) से गुणा करना
हमारे पास है:

कहाँ
- बी.एम.वी. उच्च क्रम।

परिमाण
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और नामित किया गया है

.

3.1. अंतर का ज्यामितीय मान.

फ़ंक्शन दिया जाए
.

अंक 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ.

.

जाहिर है, समारोह का अंतर
किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के व्युत्पन्न और अंतर।

अगर वहाँ होता
, तब
प्रथम व्युत्पन्न कहा जाता है।

पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है
.

फ़ंक्शन के nवें क्रम का व्युत्पन्न
इसे (n-1)वाँ क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है:

.

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं का समाधान करना।

कार्य 1. अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों की कॉलोनी का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी की जनसंख्या बढ़ेगी या घटेगी?

उत्तर। कॉलोनी का आकार बढ़ेगा.

कार्य 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री की निगरानी के लिए झील के पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। के माध्यम से टी परीक्षण के कुछ दिनों बाद, बैक्टीरिया की सांद्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

.

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब होगी और क्या इसमें तैरना संभव होगा?

समाधान: कोई फ़ंक्शन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुंचता है जब उसका व्युत्पन्न शून्य होता है।

,

आइए निर्धारित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। ऐसा करने के लिए, आइए दूसरा व्युत्पन्न लें।

उत्तर: 6 दिनों के बाद बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।