पूर्ण अनुसंधान और कार्यों के निर्माण के उदाहरण। किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें और उसका ग्राफ़ कैसे बनाएं

पिछले कुछ समय से, SSL के लिए अंतर्निहित प्रमाणपत्र डेटाबेस ने TheBat में सही ढंग से काम करना बंद कर दिया है (यह किस कारण से स्पष्ट नहीं है)।

पोस्ट की जांच करते समय, एक त्रुटि दिखाई देती है:

अज्ञात सीए प्रमाणपत्र
सर्वर ने सत्र में रूट प्रमाणपत्र प्रस्तुत नहीं किया और पता पुस्तिका में संबंधित रूट प्रमाणपत्र नहीं मिला।
यह संबंध गुप्त नहीं हो सकता. कृपया
अपने सर्वर व्यवस्थापक से संपर्क करें.

और आपको उत्तरों का विकल्प दिया जाता है - हाँ/नहीं। और इसलिए हर बार जब आप मेल हटाते हैं।

समाधान

इस मामले में, आपको TheBat सेटिंग्स में S/MIME और TLS कार्यान्वयन मानक को Microsoft क्रिप्टोएपीआई से बदलने की आवश्यकता है!

चूँकि मुझे सभी फ़ाइलों को एक में संयोजित करने की आवश्यकता थी, इसलिए मैंने पहले सभी दस्तावेज़ फ़ाइलों को एक एकल पीडीएफ फ़ाइल (एक्रोबैट प्रोग्राम का उपयोग करके) में परिवर्तित किया, और फिर इसे एक ऑनलाइन कनवर्टर के माध्यम से fb2 में स्थानांतरित कर दिया। आप फ़ाइलों को अलग-अलग रूपांतरित भी कर सकते हैं. प्रारूप बिल्कुल कोई भी हो सकता है (स्रोत) - दस्तावेज़, जेपीजी, और यहां तक ​​कि एक ज़िप संग्रह भी!

साइट का नाम सार से मेल खाता है :) ऑनलाइन फोटोशॉप।

अद्यतन मई 2015

मुझे एक और बेहतरीन साइट मिली! पूरी तरह से कस्टम कोलाज बनाने के लिए और भी अधिक सुविधाजनक और कार्यात्मक! यह साइट है http://www.fotor.com/ru/collage/. अपने स्वास्थ्य के लिए इसका आनंद लें। और मैं इसे स्वयं उपयोग करूंगा.

अपने जीवन में मुझे बिजली के स्टोव की मरम्मत की समस्या का सामना करना पड़ा। मैं पहले ही बहुत सी चीजें कर चुका हूं, बहुत कुछ सीख चुका हूं, लेकिन टाइल्स से मेरा कोई लेना-देना नहीं है। नियामकों और बर्नर पर संपर्कों को बदलना आवश्यक था। प्रश्न उठा - इलेक्ट्रिक स्टोव पर बर्नर का व्यास कैसे निर्धारित करें?

उत्तर सरल निकला. आपको कुछ भी मापने की आवश्यकता नहीं है, आप आंखों से आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपको किस आकार की आवश्यकता है।

सबसे छोटा बर्नर- यह 145 मिलीमीटर (14.5 सेंटीमीटर) है

मध्य बर्नर- यह 180 मिलीमीटर (18 सेंटीमीटर) है।

और अंत में, सबसे ज्यादा बड़ा बर्नर- यह 225 मिलीमीटर (22.5 सेंटीमीटर) है।

यह आंख से आकार निर्धारित करने और यह समझने के लिए पर्याप्त है कि आपको किस व्यास के बर्नर की आवश्यकता है। जब मुझे यह नहीं पता था, तो मैं इन आयामों के बारे में चिंतित था, मुझे नहीं पता था कि कैसे मापना है, किस किनारे पर नेविगेट करना है, आदि। अब मैं बुद्धिमान हूं :) मुझे आशा है कि मैंने भी आपकी मदद की है!

अपने जीवन में मुझे ऐसी समस्या का सामना करना पड़ा। मुझे लगता है कि मैं अकेला नहीं हूं.

आज हम आपको हमारे साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखने और बनाने के लिए आमंत्रित करते हैं। इस लेख को ध्यान से पढ़ने के बाद आपको इस प्रकार के कार्य को पूरा करने के लिए ज्यादा देर तक पसीना नहीं बहाना पड़ेगा। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना और उसका अध्ययन करना आसान नहीं है; यह एक बड़ा काम है जिसके लिए अधिकतम ध्यान और गणना की सटीकता की आवश्यकता होती है। सामग्री को समझने में आसान बनाने के लिए, हम उसी फ़ंक्शन का चरण दर चरण अध्ययन करेंगे और अपने सभी कार्यों और गणनाओं को समझाएंगे। गणित की अद्भुत और आकर्षक दुनिया में आपका स्वागत है! चल दर!

परिभाषा का क्षेत्र

किसी फ़ंक्शन का पता लगाने और ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको कई परिभाषाएँ जानने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन गणित में मुख्य (बुनियादी) अवधारणाओं में से एक है। यह परिवर्तनों के दौरान कई चर (दो, तीन या अधिक) के बीच निर्भरता को दर्शाता है। फ़ंक्शन सेट की निर्भरता को भी दर्शाता है।

कल्पना करें कि हमारे पास दो चर हैं जिनमें परिवर्तन की एक निश्चित सीमा है। तो, y, x का एक फ़ंक्शन है, बशर्ते कि दूसरे चर का प्रत्येक मान दूसरे के एक मान से मेल खाता हो। इस मामले में, चर y निर्भर है, और इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहने की प्रथा है कि चर x और y इस निर्भरता की अधिक स्पष्टता के लिए हैं, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया है। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ क्या है? यह निर्देशांक तल पर बिंदुओं का एक सेट है, जहां प्रत्येक x मान एक y मान से मेल खाता है। ग्राफ़ अलग-अलग हो सकते हैं - सीधी रेखा, हाइपरबोला, परवलय, साइन तरंग, इत्यादि।

शोध के बिना किसी फ़ंक्शन की रूपरेखा तैयार करना असंभव है। आज हम सीखेंगे कि शोध कैसे करें और किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं। पढ़ाई के दौरान नोट्स लेना बहुत जरूरी है। इससे कार्य का सामना करना बहुत आसान हो जाएगा। सबसे सुविधाजनक शोध योजना:

1. परिभाषा का दायरा.
2. निरंतरता.
3. सम और विषम।
4. आवधिकता.
5. स्पर्शोन्मुख।
6. शून्य.
7. संकेत स्थिरता.
8. बढ़ रहा है और घट रहा है.
9. अति.
10. उत्तलता और अवतलता.

चलिए पहले बिंदु से शुरू करते हैं। आइए परिभाषा का क्षेत्र खोजें, अर्थात, हमारा फ़ंक्शन किस अंतराल पर मौजूद है: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)। हमारे मामले में, फ़ंक्शन x के किसी भी मान के लिए मौजूद है, अर्थात, परिभाषा का डोमेन R के बराबर है। इसे xÎR के रूप में लिखा जा सकता है।

निरंतरता

अब हम असंततता फलन की जांच करेंगे। गणित में, "निरंतरता" शब्द गति के नियमों के अध्ययन के परिणामस्वरूप सामने आया। अनंत क्या है? स्थान, समय, कुछ निर्भरताएँ (एक उदाहरण गति समस्याओं में चर एस और टी की निर्भरता है), एक गर्म वस्तु का तापमान (पानी, फ्राइंग पैन, थर्मामीटर, आदि), एक सतत रेखा (अर्थात, एक जो इसे शीट पेंसिल से उठाए बिना खींचा जा सकता है)।

एक ग्राफ़ निरंतर माना जाता है यदि वह किसी बिंदु पर टूटता नहीं है। ऐसे ग्राफ़ का सबसे स्पष्ट उदाहरण एक साइनसॉइड है, जिसे आप इस अनुभाग में चित्र में देख सकते हैं। यदि कई शर्तें पूरी होती हैं तो एक फ़ंक्शन किसी बिंदु x0 पर निरंतर होता है:

• किसी फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है;
• एक बिंदु पर दाएँ और बाएँ सीमाएँ बराबर हैं;
• सीमा बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

यदि कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन को विफल माना जाता है। और जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन टूटता है उन्हें आमतौर पर ब्रेक पॉइंट कहा जाता है। फ़ंक्शन का एक उदाहरण जो ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित होने पर "टूट" जाएगा: y=(x+4)/(x-3)। इसके अलावा, y बिंदु x = 3 पर मौजूद नहीं है (क्योंकि इसे शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

जिस फ़ंक्शन का हम अध्ययन कर रहे हैं (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) में सब कुछ सरल हो गया, क्योंकि ग्राफ निरंतर होगा।

और भी अजीब

अब समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। सबसे पहले, थोड़ा सिद्धांत. एक सम फलन वह है जो चर x के किसी भी मान (मानों की सीमा से) के लिए शर्त f(-x)=f(x) को संतुष्ट करता है। उदाहरणों में शामिल हैं:

• मॉड्यूल x (ग्राफ़ एक डॉव जैसा दिखता है, ग्राफ़ की पहली और दूसरी तिमाही का समद्विभाजक);
• x वर्ग (परवलय);
• कोसाइन x (कोसाइन)।

ध्यान दें कि ये सभी ग्राफ़ y-अक्ष के सापेक्ष देखने पर सममित हैं।

तो फिर विषम फलन किसे कहते हैं? ये वे फ़ंक्शन हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं: चर x के किसी भी मान के लिए f(-x)=-f(x)। उदाहरण:

• अतिपरवलय;
• घन परवलय;
• साइनसॉइड;
• स्पर्शरेखा वगैरह.

कृपया ध्यान दें कि ये फ़ंक्शन बिंदु (0:0), यानी मूल बिंदु के बारे में सममित हैं। लेख के इस भाग में जो कहा गया है उसके आधार पर, एक सम और विषम फ़ंक्शन में गुण होना चाहिए: x परिभाषा के सेट से संबंधित है और -x भी।

आइए समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। हम देख सकते हैं कि वह किसी भी विवरण में फिट नहीं बैठती। इसलिए, हमारा कार्य न तो सम है और न ही विषम है।

स्पर्शोन्मुख

आइए एक परिभाषा से शुरू करें। एक अनंतस्पर्शी एक वक्र है जो ग्राफ़ के जितना संभव हो उतना करीब होता है, अर्थात, एक निश्चित बिंदु से दूरी शून्य हो जाती है। कुल मिलाकर, अनंतस्पर्शी तीन प्रकार के होते हैं:

• ऊर्ध्वाधर, अर्थात, y-अक्ष के समानांतर;
• क्षैतिज, अर्थात x अक्ष के समानांतर;
• झुका हुआ.

जहां तक ​​पहले प्रकार की बात है, इन पंक्तियों को कुछ बिंदुओं पर देखा जाना चाहिए:

• अंतर;
• परिभाषा के क्षेत्र के अंत.

हमारे मामले में, फ़ंक्शन निरंतर है, और परिभाषा का क्षेत्र आर के बराबर है। इसलिए, कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है यदि यह निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करता है: यदि x अनंत या माइनस अनंत की ओर जाता है, और सीमा एक निश्चित संख्या के बराबर है (उदाहरण के लिए, ए)। इस मामले में, y=a क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है। जिस फ़ंक्शन का हम अध्ययन कर रहे हैं उसमें कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

एक तिरछा अनंतस्पर्शी तभी मौजूद होता है जब दो शर्तें पूरी होती हैं:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

फिर इसे सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: y=kx+b. फिर, हमारे मामले में कोई परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

फ़ंक्शन शून्य

अगला चरण शून्य के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना है। यह ध्यान रखना भी बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने से जुड़ा कार्य न केवल किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का अध्ययन और निर्माण करते समय होता है, बल्कि एक स्वतंत्र कार्य के रूप में और असमानताओं को हल करने के तरीके के रूप में भी होता है। आपको ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने या गणितीय नोटेशन का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

इन मानों को खोजने से आपको फ़ंक्शन को अधिक सटीक रूप से ग्राफ़ करने में मदद मिलेगी। सरल शब्दों में, किसी फ़ंक्शन का शून्य वेरिएबल x का मान है जिस पर y = 0 है। यदि आप ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य की तलाश कर रहे हैं, तो आपको उन बिंदुओं पर ध्यान देना चाहिए जिन पर ग्राफ़ x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है।

फ़ंक्शन के शून्य खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. आवश्यक गणना करने के बाद, हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

संकेत स्थिरता

किसी फ़ंक्शन (ग्राफ़) के अनुसंधान और निर्माण का अगला चरण स्थिर चिह्न के अंतराल का पता लगाना है। इसका मतलब यह है कि हमें यह निर्धारित करना होगा कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर सकारात्मक मान लेता है और किस अंतराल पर यह नकारात्मक मान लेता है। अंतिम अनुभाग में पाए गए शून्य फ़ंक्शन हमें ऐसा करने में मदद करेंगे। इसलिए, हमें एक सीधी रेखा (ग्राफ़ से अलग) बनाने और उस पर फ़ंक्शन के शून्य को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक सही क्रम में वितरित करने की आवश्यकता है। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि परिणामी अंतरालों में से किसमें "+" चिह्न है और किसमें "-" है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन अंतराल पर सकारात्मक मान लेता है:

• 1 से 4 तक;
• 9 से अनंत तक.

नकारात्मक मान:

• शून्य से अनंत तक 1 तक;
• 4 से 9 तक.

यह निर्धारित करना काफी आसान है. फ़ंक्शन में अंतराल से कोई भी संख्या रखें और देखें कि उत्तर में कौन सा चिह्न (शून्य या प्लस) है।

बढ़ता और घटता कार्य

किसी फ़ंक्शन का पता लगाने और उसका निर्माण करने के लिए, हमें यह जानना होगा कि ग्राफ़ कहां बढ़ेगा (ओए अक्ष के साथ ऊपर जाएगा) और कहां गिरेगा (वाई-अक्ष के साथ नीचे की ओर क्रॉल होगा)।

कोई फ़ंक्शन तभी बढ़ता है जब चर x का बड़ा मान y के बड़े मान से मेल खाता हो। अर्थात्, x2, x1 से बड़ा है, और f(x2), f(x1) से बड़ा है। और हम घटते फलन (जितना अधिक x, उतना कम y) के साथ एक बिल्कुल विपरीत घटना देखते हैं। वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

• परिभाषा का क्षेत्र (हमारे पास पहले से ही है);
• व्युत्पन्न (हमारे मामले में: 1/3(3x^2-28x+49);
• समीकरण 1/3(3x^2-28x+49)=0 को हल करें।

गणना के बाद हमें परिणाम मिलता है:

हम पाते हैं: फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी से 7/3 और 7 से इनफिनिटी के अंतराल पर बढ़ता है, और 7/3 ​​से 7 के अंतराल पर घटता है।

चरम

अध्ययन के तहत फ़ंक्शन y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) निरंतर है और चर x के किसी भी मान के लिए मौजूद है। चरम बिंदु किसी दिए गए फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम दर्शाता है। हमारे मामले में ऐसा कोई नहीं है, जो निर्माण कार्य को बहुत सरल बनाता है। अन्यथा, उन्हें व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करके भी पाया जा सकता है। एक बार मिल जाने पर, उन्हें चार्ट पर अंकित करना न भूलें।

उत्तलता और अवतलता

हम फ़ंक्शन y(x) का और अन्वेषण करना जारी रखते हैं। अब हमें इसकी उत्तलता और अवतलता की जाँच करने की आवश्यकता है। इन अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना काफी कठिन है; उदाहरणों का उपयोग करके हर चीज़ का विश्लेषण करना बेहतर है। परीक्षण के लिए: एक फ़ंक्शन उत्तल होता है यदि यह एक गैर-घटता हुआ फ़ंक्शन है। सहमत हूँ, यह समझ से बाहर है!

हमें दूसरे क्रम के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। हमें मिलता है: y=1/3(6x-28). आइए अब दाईं ओर को शून्य के बराबर करें और समीकरण को हल करें। उत्तर: x=14/3. हमने विभक्ति बिंदु पाया, अर्थात, वह स्थान जहां ग्राफ़ उत्तलता से अवतलता में या इसके विपरीत बदलता है। माइनस इनफिनिटी से 14/3 तक के अंतराल पर फ़ंक्शन उत्तल होता है, और 14/3 से प्लस इनफिनिटी तक यह अवतल होता है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि ग्राफ़ पर विभक्ति बिंदु चिकना और नरम होना चाहिए, और कोई तेज कोने नहीं होने चाहिए।

अतिरिक्त बिंदुओं को परिभाषित करना

हमारा कार्य फ़ंक्शन की जांच करना और उसका ग्राफ़ बनाना है। हमने अध्ययन पूरा कर लिया है; फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना अब मुश्किल नहीं है। समन्वय तल पर वक्र या सीधी रेखा के अधिक सटीक और विस्तृत पुनरुत्पादन के लिए, आप कई सहायक बिंदु पा सकते हैं। इनकी गणना करना काफी आसान है. उदाहरण के लिए, हम x=3 लेते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और y=4 पाते हैं। या x=5, और y=-5 इत्यादि। आप निर्माण के लिए जितने अतिरिक्त अंक चाहें ले सकते हैं। उनमें से कम से कम 3-5 पाए जाते हैं।

एक ग्राफ़ प्लॉट करना

हमें फ़ंक्शन (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y की जांच करने की आवश्यकता है। गणना के दौरान सभी आवश्यक चिह्न समन्वय तल पर बनाए गए थे। जो कुछ करना बाकी है वह एक ग्राफ बनाना है, यानी सभी बिंदुओं को जोड़ना है। बिंदुओं को जोड़ना सहज और सटीक होना चाहिए, यह कौशल का मामला है - थोड़ा अभ्यास और आपका शेड्यूल सही हो जाएगा।

निर्देश

फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पाप (x) को -∞ से +∞ तक पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता के क्षेत्रों और असंततता के बिंदुओं की पहचान करें। आमतौर पर कोई फ़ंक्शन उसी क्षेत्र में निरंतर होता है जहां उसे परिभाषित किया गया है। असंततताओं का पता लगाने के लिए, किसी को गणना करनी चाहिए क्योंकि तर्क परिभाषा के क्षेत्र के भीतर अलग-अलग बिंदुओं तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर जाता है, और x→0- होने पर माइनस अनंत की ओर जाता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरे प्रकार की असंततता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएं परिमित हैं, लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह की असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

लंबवत अनंतस्पर्शी खोजें, यदि कोई हो। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी लगभग हमेशा दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु पर स्थित होता है। हालाँकि, कभी-कभी यह व्यक्तिगत बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा डोमेन से बाहर रखा जाता है, बल्कि बिंदुओं के संपूर्ण अंतराल, और फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी इन अंतरालों के किनारों पर स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: सम, विषम और आवधिक।
फ़ंक्शन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos(x) और x^2 सम फलन हैं।

आवधिकता एक गुण है जो कहता है कि एक निश्चित संख्या T है, जिसे आवर्त कहा जाता है, जो कि किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) आवर्त हैं।

अंक खोजें. ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और x के उन मानों को ढूंढें जहां यह शून्य हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 का व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है, जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य पर व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन को ट्रैक करें। g(x) बिंदु x = -6 पर प्लस से चिह्न बदलता है, और बिंदु x = 0 पर वापस माइनस से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन f(x) के पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपको एकरसता के क्षेत्र भी मिल गए हैं: f(x) अंतराल -∞;-6 पर एकरसता से बढ़ता है, एकरसता से -6;0 तक घटता है और फिर से 0;+∞ से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए। इसकी जड़ें बताएंगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहां उत्तल होगा और कहां अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) का दूसरा व्युत्पन्न h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर शून्य हो जाता है, और चिह्न शून्य से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, इस बिंदु से पहले f(x) का ग्राफ उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

किसी फ़ंक्शन में लंबवत अनंतस्पर्शी के अलावा अन्य अनंतस्पर्शी भी हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के क्षेत्र में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, x→∞ या x→-∞ होने पर f(x) की सीमा की गणना करें। यदि यह परिमित है, तो आपको क्षैतिज अनंतस्पर्शी मिल गया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b रूप की एक सीधी रेखा है। K ज्ञात करने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के लिए b - सीमा (f(x) – kx) ज्ञात करने के लिए।

संपूर्ण अध्ययन करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) समारोह का दायरा. चूँकि फलन एक भिन्न है, इसलिए हमें हर का शून्य ज्ञात करना होगा।

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

हम फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से एकमात्र बिंदु x=1x=1 को बाहर करते हैं और प्राप्त करते हैं:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) आइए हम असंततता बिंदु के आसपास फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करें। आइए एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें:

चूँकि सीमाएँ अनंत के बराबर हैं, बिंदु x=1x=1 दूसरे प्रकार का असंततता है, सीधी रेखा x=1x=1 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

3) आइए हम निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

आइए ऑर्डिनेट अक्ष OyOy के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसके लिए हम x=0x=0 के बराबर हैं:

इस प्रकार, OyOy अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0;8)(0;8) हैं।

आइए भुज अक्ष OxOx के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, जिसके लिए हम y=0y=0 निर्धारित करते हैं:

समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए ऑक्सऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

ध्यान दें कि किसी भी xx के लिए x2+8>0x2+8>0। इसलिए, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) के लिए, फ़ंक्शन y>0y>0 (सकारात्मक मान लेता है, ग्राफ़ x-अक्ष से ऊपर है), x∈(1;+∞) के लिए )x∈(1; +∞) फ़ंक्शन y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) फलन न तो सम है और न ही विषम है क्योंकि:

5) आइए आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। फलन आवर्ती नहीं है, क्योंकि यह एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

6) आइए एक्स्ट्रेमा और एकरसता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें (जिस पर y'=0y'=0):

हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिले: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. आइए फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र को इन बिंदुओं के साथ अंतराल में विभाजित करें और प्रत्येक अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) के लिए व्युत्पन्न y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) व्युत्पन्न y′>0y′>0 के लिए, इन अंतरालों पर फ़ंक्शन बढ़ता है।

इस मामले में, x=−2x=−2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (फ़ंक्शन घटता है और फिर बढ़ता है), x=4x=4 एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है (फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है)।

आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, न्यूनतम बिंदु (−2;4)(−2;4) है, अधिकतम बिंदु (4;−8)(4;−8) है।

7) आइए किंक और उत्तलता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

आइए हम दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

परिणामी समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, जब x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 संतुष्ट होता है, यानी, फ़ंक्शन अवतल होता है, जब x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y'' से संतुष्ट है<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) आइए अनंत पर, यानी, फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें।

चूँकि सीमाएँ अनंत हैं, कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

आइए फॉर्म y=kx+by=kx+b के तिरछे अनंतस्पर्शी को निर्धारित करने का प्रयास करें। हम ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके k,bk,b के मानों की गणना करते हैं:

हमने पाया कि फ़ंक्शन में एक तिरछी अनंतस्पर्शी y=−x−1y=−x−1 है।

9) अतिरिक्त अंक. आइए ग्राफ़ को अधिक सटीक रूप से बनाने के लिए कुछ अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम एक ग्राफ बनाएंगे, इसे अनंतस्पर्शी x=1x=1 (नीला), y=−x−1y=−x−1 (हरा) के साथ पूरक करेंगे और विशिष्ट बिंदुओं (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ बैंगनी प्रतिच्छेदन) को चिह्नित करेंगे , नारंगी एक्स्ट्रेमा, काले अतिरिक्त अंक) :

कार्य 4: ज्यामितीय, आर्थिक समस्याएं (मुझे नहीं पता कि क्या, यहां समाधान और सूत्रों के साथ समस्याओं का अनुमानित चयन है)

उदाहरण 3.23. ए

समाधान। एक्सऔर य य
y = a - 2×a/4 =a/2. चूँकि x = a/4 ही एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए जाँच करें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। xa/4 S " > 0 के लिए, और x >a/4 S " के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24.

समाधान।
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

उदाहरण 3.22.फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।चूँकि f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), तो फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 = 2 और x 2 = 3। एक्स्ट्रेमा केवल पर हो सकता है इन बिंदुओं पर, जैसे कि बिंदु x 1 = 2 से गुजरने पर व्युत्पन्न अपना चिह्न प्लस से माइनस में बदल देता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 = 3 से गुजरने पर व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से बदल देता है प्लस के लिए, इसलिए बिंदु x 2 = 3 पर फ़ंक्शन के मानों की गणना न्यूनतम है
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का चरम पाते हैं: अधिकतम f(2) = 14 और न्यूनतम f(3) = 13।

उदाहरण 3.23.पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि यह तीन तरफ से तार की जाली से घिरा हो, और चौथा पक्ष दीवार से सटा हो। इसके लिए वहाँ है एजाल के रैखिक मीटर. किस पहलू अनुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।आइए हम प्लेटफ़ॉर्म के किनारों को इससे निरूपित करें एक्सऔर य. साइट का क्षेत्रफल S = xy है. होने देना य- यह दीवार से सटे किनारे की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a कायम रहनी चाहिए। इसलिए y = a - 2x और S = x(a - 2x), जहां
0 ≤ x ≤ a/2 (पैड की लंबाई और चौड़ाई नकारात्मक नहीं हो सकती)। S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4 पर, जहाँ से
y = a - 2×a/4 =a/2. चूँकि x = a/4 ही एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए जाँच करें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। xa/4 S " > 0 के लिए, और x >a/4 S " के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 की क्षमता वाले एक बंद बेलनाकार टैंक का निर्माण करना आवश्यक है। टैंक का आयाम (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) क्या होना चाहिए ताकि इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जाए?

समाधान।सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल S = 2pR(R+H) है। हम सिलेंडर का आयतन जानते हैं V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2। इसका मतलब है S(R) = 2p(R 2 +16/R). हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस " (आर) = 2पी(2आर- 16/आर 2) = 4पी (आर- 8/आर 2)। एस " (आर) = 0 आर 3 = 8 के लिए, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

सम्बंधित जानकारी.