Co oznacza liniowo niezależny wektor? Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów

Zatem problem badania układu wektorów zależności liniowej sprowadza się do problemu znalezienia rzędu macierzy złożonej z wektorów tego układu.

Należy zauważyć, że dla p>n układ wektorów będzie liniowo zależny.

Komentarz: podczas kompilowania macierzy A wektory układu można przyjmować nie jako wiersze, ale jako kolumny.

Algorytm badania układu wektorów dla zależności liniowej.

Przyjrzyjmy się algorytmowi na przykładach.

Przykłady badania układu wektorów dla zależności liniowej.

Przykład.

Dany jest układ wektorów. Zbadaj to pod kątem zależności liniowej.

Rozwiązanie.

Ponieważ wektor c wynosi zero, pierwotny układ wektorów jest liniowo zależny ze względu na trzecią właściwość.

Odpowiedź:

Układ wektorowy jest liniowo zależny.

Przykład.

Zbadaj układ wektorów pod kątem zależności liniowej.

Rozwiązanie.

Nietrudno zauważyć, że współrzędne wektora c są równe odpowiednim współrzędnym wektora pomnożonym przez 3, czyli . Dlatego pierwotny układ wektorów jest liniowo zależny.

Definicja 1. Liniowa kombinacja wektorów jest sumą iloczynów tych wektorów i skalarów:

Definicja 2. Układ wektorów nazywa się układem liniowo zależnym, jeśli ich kombinacja liniowa (2.8) zanika:

Co więcej, wśród liczb jest co najmniej jedna różna od zera.

Definicja 3. Mówi się, że wektory są liniowo niezależne, jeśli ich kombinacja liniowa (2.8) zanika tylko w przypadku, gdy wszystkie liczby.

Z tych definicji można uzyskać następujące wnioski.

Wniosek 1. W liniowo zależnym układzie wektorów co najmniej jeden wektor można wyrazić jako liniową kombinację pozostałych.

Dowód. Niech będzie spełniony (2.9) i dla pewności niech współczynnik. Mamy wtedy: Należy pamiętać, że sytuacja odwrotna jest również prawdziwa.

Konsekwencja 2. Jeśli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to układ ten jest (z konieczności) liniowo zależny - dowód jest oczywisty.

Konsekwencja 3. Jeśli wśród N wektory dowolnego rodzaju k() wektory są liniowo zależne i to wszystko N wektory są liniowo zależne (pominiemy dowód).

2 0 . Kombinacje liniowe dwóch, trzech i czterech wektorów. Rozważmy zagadnienia liniowej zależności i niezależności wektorów na prostej, płaszczyźnie i w przestrzeni. Przedstawmy odpowiednie twierdzenia.

Twierdzenie 1. Aby dwa wektory były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby były one współliniowe.

Konieczność. Niech wektory będą liniowo zależne. Oznacza to, że ich kombinacja liniowa = 0 i (dla pewności). Oznacza to równość i (z definicji mnożenia wektora przez liczbę) wektory są współliniowe.

Adekwatność. Niech wektory będą współliniowe (║) (zakładamy, że są różne od wektora zerowego; w przeciwnym razie ich liniowa zależność jest oczywista).

Z twierdzenia (2.7) (patrz §2.1 ust. 2 0) wynika, że ​​albo – kombinacja liniowa jest równa zeru, a współczynnik jest równy 1 – wektory lub są liniowo zależne.

Z tego twierdzenia wynika następujący wniosek.

Konsekwencja. Jeśli wektory nie są współliniowe, to są liniowo niezależne.

Twierdzenie 2. Aby trzy wektory były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby były współpłaszczyznowe.

Konieczność. Niech wektory lub będą liniowo zależne. Pokażemy, że są one współpłaszczyznowe.

Z definicji liniowej zależności wektorów wynika istnienie liczb i taka kombinacja liniowa, a zarazem (aby być konkretnym). Następnie z tej równości możemy wyrazić wektor: =, to znaczy wektor jest równy przekątnej równoległoboku zbudowanego na wektorach po prawej stronie tej równości (ryc. 2.6). Oznacza to, że wektory i leżą w tej samej płaszczyźnie.

Adekwatność. Niech wektory będą współpłaszczyznowe. Pokażmy, że są one liniowo zależne.

Wykluczmy przypadek kolinearności dowolnej pary wektorów (ponieważ wtedy ta para jest liniowo zależna i zgodnie z wnioskiem 3 (patrz akapit 1 0) wszystkie trzy wektory są liniowo zależne). Należy zauważyć, że założenie to wyklucza również istnienie wektora zerowego wśród tych trzech.

Przesuńmy trzy współpłaszczyznowe wektory na jedną płaszczyznę i sprowadźmy je do wspólnego początku. Przez koniec wektora rysujemy linie równoległe do wektorów; w tym przypadku otrzymujemy wektory (ryc. 2.7) - ich istnienie zapewnia fakt, że wektory z założenia nie są wektorami współliniowymi. Wynika z tego wektora =+. Po przepisaniu tej równości do postaci (–1)++=0 dochodzimy do wniosku, że wektory lub są liniowo zależne.

Ze sprawdzonego twierdzenia wynikają dwa wnioski.

Wniosek 1. Niech wektory nie będą współliniowe, wektor jest dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie określonej przez wektory. Są też takie liczby

Konsekwencja 2. Jeśli wektory nie są współpłaszczyznowe, to są liniowo niezależne.

Twierdzenie 3. Dowolne cztery wektory są liniowo zależne.

Pominiemy dowód; z pewnymi modyfikacjami kopiuje dowód Twierdzenia 2. Podajmy wniosek z tego twierdzenia.

Konsekwencja. Dla dowolnych wektorów niewspółpłaszczyznowych i dowolnego wektora takiego, że

Komentarz. W przypadku wektorów w przestrzeni (trójwymiarowej) pojęcia liniowej zależności i niezależności mają, jak wynika z powyższych twierdzeń 1-3, proste znaczenie geometryczne.

Niech będą dwa liniowo zależne wektory i. W tym przypadku jeden z nich jest liniową kombinacją drugiego, to znaczy po prostu różni się od niego czynnikiem liczbowym (na przykład). Geometrycznie oznacza to, że oba wektory leżą na wspólnej linii; mogą mieć te same lub przeciwne kierunki (ryc. 2.8 xx).

Jeżeli dwa wektory są położone względem siebie pod kątem (ryc. 2.9 xx), to w tym przypadku nie da się uzyskać jednego z nich mnożąc drugi przez liczbę - wektory takie są liniowo niezależne. W konsekwencji liniowa niezależność dwóch wektorów oznacza, że ​​wektory te nie mogą układać się na jednej prostej.

Odkryjmy geometryczne znaczenie liniowej zależności i niezależności trzech wektorów.

Niech wektory i będą liniowo zależne i niech (dokładnie) wektor będzie liniową kombinacją wektorów i, to znaczy, znajduje się w płaszczyźnie zawierającej wektory i. Oznacza to, że wektory i leżą w tej samej płaszczyźnie. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli wektory i leżą w tej samej płaszczyźnie, to są one liniowo zależne.

Zatem wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie leżą w tej samej płaszczyźnie.

3 0 . Pojęcie podstawy. Jednym z najważniejszych pojęć algebry liniowej i wektorowej jest pojęcie bazy. Wprowadźmy kilka definicji.

Definicja 1. Para wektorów nazywana jest uporządkowaną, jeśli określono, który wektor tej pary jest uważany za pierwszy, a który za drugi.

Definicja 2. Uporządkowaną parę wektorów niewspółliniowych nazywamy bazą na płaszczyźnie określonej przez dane wektory.

Twierdzenie 1. Dowolny wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako kombinację liniową podstawowego układu wektorów:

i ta reprezentacja jest jedyna.

Dowód. Niech wektory utworzą bazę. Wtedy dowolny wektor można przedstawić w postaci.

Aby udowodnić niepowtarzalność, załóżmy, że istnieje jeszcze jeden rozkład. Mamy wtedy = 0 i co najmniej jedna z różnic jest różna od zera. To ostatnie oznacza, że ​​wektory są liniowo zależne, to znaczy współliniowe; jest to sprzeczne ze stwierdzeniem, że stanowią one podstawę.

Ale potem następuje tylko rozkład.

Definicja 3. Trójkę wektorów nazywa się uporządkowaną, jeśli wskazano, który wektor jest uważany za pierwszy, który za drugi, a który za trzeci.

Definicja 4. Uporządkowaną trójkę wektorów niewspółpłaszczyznowych nazywa się bazą w przestrzeni.

Twierdzenie o rozkładzie i jedyności również obowiązuje tutaj.

Twierdzenie 2. Dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową podstawowego układu wektorów:

i ta reprezentacja jest jednoznaczna (dowód twierdzenia pominiemy).

W rozwinięciach (2.12) i (2.13) wielkości nazywane są współrzędnymi wektorowymi w danej bazie (dokładniej współrzędnymi afinicznymi).

Można to zapisać na ustalonej podstawie.

Na przykład, jeśli podana jest podstawa i jest ona podana, oznacza to, że ma miejsce reprezentacja (rozkład).

4 0 . Operacje liniowe na wektorach w postaci współrzędnych. Wprowadzenie bazy pozwala na zastąpienie operacji liniowych na wektorach zwykłymi operacjami liniowymi na liczbach – współrzędnych tych wektorów.

Podajmy jakąś podstawę. Oczywiście podanie współrzędnych wektora w tej bazie całkowicie determinuje sam wektor. Obowiązują następujące propozycje:

a) dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współrzędne są równe:

b) przy mnożeniu wektora przez liczbę jego współrzędne mnoży się przez tę liczbę:

c) podczas dodawania wektorów dodawane są odpowiadające im współrzędne:

Dowody tych własności pominiemy; Udowodnijmy własność b) tylko jako przykład. Mamy

Komentarz. W przestrzeni (na płaszczyźnie) możesz wybierać nieskończenie wiele baz.

Podajmy przykład przejścia z jednej bazy do drugiej i ustalmy relacje między współrzędnymi wektora w różnych bazach.

Przykład 1. W systemie podstawowym określone są trzy wektory:, oraz. W podstawie wektor ma rozkład. Znajdź współrzędne wektora w bazie.

Rozwiązanie. Mamy rozszerzenia:,,; dlatego =+2+= =, czyli w podstawie.

Przykład 2. Niech w pewnym sensie zostaną określone cztery wektory poprzez ich współrzędne:,, i.

Dowiedz się, czy wektory tworzą bazę; jeśli odpowiedź jest pozytywna, znajdź rozkład wektora w tej bazie.

Rozwiązanie. 1) wektory stanowią bazę, jeśli są liniowo niezależne. Stwórzmy liniową kombinację wektorów() i dowiedzmy się, w którym momencie staje się ona zerem: = 0. Mamy:

Definiując równość wektorów w postaci współrzędnych, otrzymujemy następujący układ równań (liniowych jednorodnych algebraicznych): ;;, którego wyznacznik = 1, czyli układ ma (tylko) trywialne rozwiązanie. Oznacza to, że wektory są liniowo niezależne, dlatego stanowią bazę.

2) rozwiń wektor na tej podstawie. Mamy: = lub w formie współrzędnych.

Przechodząc do równości wektorów w postaci współrzędnych, otrzymujemy układ liniowych niejednorodnych równań algebraicznych: ;;. Rozwiązując to (na przykład korzystając z reguły Cramera) otrzymujemy:, i (). Mamy rozwinięcie wektorowe w bazie: =.

5 0 . Rzut wektora na oś. Właściwości rzutów. Niech będzie jakaś oś l, czyli linia prosta z wybranym kierunkiem i niech będzie podany jakiś wektor.Zdefiniujmy pojęcie rzutu wektora na oś l.

Definicja. Oś wektora projekcji l nazywa się iloczyn modułu tego wektora i cosinusa kąta między osiami l i wektor (ryc. 2.10):

Następstwem tej definicji jest stwierdzenie, że równe wektory mają równe rzuty (na tę samą oś).

Zwróćmy uwagę na właściwości rzutów.

1) rzut sumy wektorów na jakąś oś l równa sumie rzutów wyrazów wektorów na tę samą oś:

2) rzut iloczynu skalara na wektor jest równy iloczynowi tego skalara przez rzut wektora na tę samą oś:

Konsekwencja. Rzut kombinacji liniowej wektorów na oś jest równy liniowej kombinacji ich rzutów:

Dowody własności pominiemy.

6 0 . Prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni.Rozkład wektora na wektory jednostkowe osi. Niech jako podstawę zostaną wybrane trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe; Wprowadzamy dla nich specjalne oznaczenia. Umieszczając ich początki w jednym punkcie O, pokierujmy wzdłuż nich osie współrzędnych (zgodnie z wektorami jednostkowymi) Wół,Oj iO z(oś z dodatnim kierunkiem, początkiem i wybraną na niej jednostką długości nazywana jest osią współrzędnych).

Definicja. Uporządkowany układ trzech wzajemnie prostopadłych osi współrzędnych o wspólnym początku i wspólnej jednostce długości nazywany jest w przestrzeni prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych.

Oś Wół zwana osią odciętych, Oj– oś rzędnych uO z – aplikator osiowy.

Zajmijmy się rozwinięciem dowolnego wektora względem bazy. Z twierdzenia (patrz §2.2, akapit 3 0, (2.13)) wynika, że ​​można je w unikalny sposób rozwinąć na bazie (tutaj zamiast współrzędnej zapisu używamy):

W (2.21) istotą są (kartezjańskie prostokątne) współrzędne wektora. Znaczenie współrzędnych kartezjańskich ustala następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Kartezjańskie współrzędne prostokątne wektora są odpowiednio rzutami tego wektora na osie Wół,Oj iO z.

Dowód. Umieśćmy wektor w początku układu współrzędnych - punkt O. Wtedy jego koniec zbiegnie się z pewnym punktem.

Narysujmy trzy płaszczyzny przez punkt równoległy do ​​płaszczyzn współrzędnych Oj,Oxz I Oksy(Rys. 2.11 xx). Otrzymujemy wówczas:

W (2.22) wektory nazywane są składowymi wektora wzdłuż osi Wół,Oj iO z.

Niech u oznaczają odpowiednio kąty utworzone przez wektor o wektorach jednostkowych. Następnie dla składników otrzymujemy następujące wzory:

= =, = =, = =(2.23)

Z (2.21), (2.22) (2.23) znajdujemy:

– współrzędne wektora są rzutami tego wektora na osie współrzędnych Wół,Oj iO z odpowiednio.

Komentarz. Liczby nazywane są cosinusami kierunku wektora.

Moduł wektorowy (przekątna równoległościanu prostokątnego) oblicza się ze wzoru:

Ze wzorów (2.23) i (2.24) wynika, że ​​cosinusy kierunkowe można obliczyć korzystając ze wzorów:

Podnosząc obie strony każdej równości z (2.25) i dodając lewą i prawą stronę otrzymanych równości wyraz po wyrazie, otrzymujemy wzór:

– nie dowolne trzy kąty tworzą określony kierunek w przestrzeni, lecz tylko te, których cosinusy są powiązane relacją (2.26).

7 0 . Współrzędne wektora promienia i punktu.Wyznaczanie wektora przez jego początek i koniec. Wprowadźmy definicję.

Definicja. Wektor promienia (oznaczony) to wektor łączący początek współrzędnych O z tym punktem (ryc. 2.12 xx):

Dowolnemu punktowi w przestrzeni odpowiada pewien wektor promienia (i odwrotnie). Zatem punkty w przestrzeni są reprezentowane w algebrze wektorów za pomocą wektorów ich promieni.

Oczywiście współrzędne punktu M są rzutami wektora jego promienia na osie współrzędnych:

a zatem,

– wektor promienia punktu to wektor, którego rzuty na osie współrzędnych są równe współrzędnym tego punktu. Prowadzi to do dwóch wpisów: i.

Uzyskajmy wzory do obliczania rzutów wektora ze współrzędnych jego punktu początkowego i punktu końcowego.

Narysujmy wektory promienia i wektor (ryc. 2.13). Rozumiemy to

– rzuty wektora na wektory jednostek współrzędnych są równe różnicom pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi końca i początku wektora.

8 0 . Niektóre problemy dotyczące współrzędnych kartezjańskich.

1) warunki kolinearności wektorów . Z twierdzenia (patrz §2.1, akapit 2 0, wzór (2.7)) wynika, że ​​dla współliniowości wektorów konieczne i wystarczające jest, aby była spełniona relacja: =. Z tej równości wektorów otrzymujemy trzy równości w postaci współrzędnych:, co implikuje warunek współliniowości wektorów w postaci współrzędnych:

– dla współliniowości wektorów konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

2) odległość między punktami . Z przedstawienia (2.29) wynika, że ​​odległość między punktami określa wzór

3) podział odcinka w zadanym stosunku . Niech zostaną podane punkty i relacje. Musimy znaleźć współrzędne punktu M (ryc. 2.14).

Z warunku kolinearności wektorów mamy: , skąd

Z (2.32) otrzymujemy w postaci współrzędnych:

Ze wzorów (2.32’) możemy otrzymać wzory na obliczenie współrzędnych środka odcinka, zakładając:

Komentarz. Odcinki będziemy rozpatrywać jako dodatnie lub ujemne w zależności od tego, czy ich kierunek pokrywa się z kierunkiem od początku odcinka do końca, lub nie pasuje. Następnie korzystając ze wzorów (2,32) – (2,32”) można znaleźć współrzędne punktu dzielącego odcinek zewnętrznie, czyli tak, aby punkt podziału M znajduje się na kontynuacji segmentu, a nie w jego wnętrzu. W tym samym czasie oczywiście.

4) równanie powierzchni kulistej . Utwórzmy równanie na powierzchnię kulistą - miejsce geometryczne punktów w jednakowej odległości od jakiegoś stałego środka - punktu. Jest oczywiste, że w tym przypadku, biorąc pod uwagę wzór (2.31)

Równanie (2.33) jest równaniem pożądanej powierzchni kulistej.

Przejdźmy do opisu własności przestrzeni liniowych. Przede wszystkim obejmują one relacje pomiędzy jej elementami.

Kombinacja liniowa elementy nad ciałem liczb rzeczywistych R zwany elementem

Definicja. Zbiór elementów nazywa się liniowo niezależnym, jeśli z równości

z tego wynika, że. Oczywiste jest, że każda część elementów jest również liniowo niezależna. Jeśli co najmniej jedno z ,, to mówimy, że zbiór jest liniowo zależny.

PrzykładIII.6. Niech będzie dany zbiór wektorów. Jeśli na przykład jeden z wektorów, to taki układ wektorów jest liniowo zależny. Faktycznie, niech zbiór,,...,,,... będzie liniowo niezależny, to z równości wynika, że.

Dodając do tego zbioru wektor pomnożony przez, nadal mamy równość

W konsekwencji zbiór wektorów, jak również inne elementy zawierające element zerowy, jest zawsze liniowo zależny ▼.

Komentarz. Jeżeli zbiór wektorów jest pusty, to jest on liniowo niezależny. Faktycznie, jeśli nie ma wskaźników, to nie da się wybrać odpowiadających im liczb, które nie są równe zeru, tak aby suma postaci (III.2) była równa 0. Taką interpretację niezależności liniowej można uznać za dowód, zwłaszcza że wynik taki jest zgodny z teorią 11.

W związku z powyższym definicję liniowej niezależności można sformułować następująco: zbiór elementów jest liniowo niezależny, jeśli nie ma dla niego wskaźnika. W szczególności ten zestaw może być pusty.

PrzykładIII.7. Dowolne dwa poruszające się wektory są liniowo zależne. Przypomnijmy, że wektory przesuwające się to wektory leżące na tej samej linii. Biorąc wektor jednostkowy, możesz uzyskać dowolny inny wektor, mnożąc przez odpowiednią liczbę rzeczywistą, to znaczy lub. W konsekwencji dowolne dwa wektory w przestrzeni jednowymiarowej są liniowo zależne.

PrzykładIII.8. Rozważ przestrzeń wielomianów, gdzie ,,,. Zapiszmy to

Zakładając ,,, otrzymujemy, identycznie przez T

oznacza to, że zbiór jest liniowo zależny. Należy zauważyć, że każdy skończony zbiór postaci jest liniowo niezależny. Aby to udowodnić, rozważ przypadek, a następnie równość

w przypadku założenia jej liniowej zależności wynikałoby, że nie wszystkie liczby są równe zero  1 ,  2 ,  3, który jest identyczny dla dowolnego (III.3), ale jest to sprzeczne z głównym twierdzeniem algebry: dowolny wielomian N-ty stopień ma nie więcej niż N prawdziwe korzenie. W naszym przypadku to równanie ma tylko dwa pierwiastki, a nie nieskończoną ich liczbę. Mamy sprzeczność.

§ 2. Kombinacje liniowe. Bazy

Pozwalać . Powiedzmy, co to jest kombinacja liniowa elementy.

TwierdzenieIII.1 (główny). Zbiór niezerowych elementów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jakiś element jest liniową kombinacją poprzednich elementów.

Dowód. Konieczność. Załóżmy, że elementy ,, ..., są liniowo zależne i niech pierwsza liczba naturalna, dla której elementy,, ..., są liniowo zależne, to

przy czym nie wszystkie są równe zeru i koniecznie (w przeciwnym razie byłby to współczynnik, co byłoby sprzeczne z tym, co stwierdzono). Stąd mamy kombinację liniową

Adekwatność jest oczywiste, ponieważ każdy zbiór zawierający zbiór liniowo zależny sam jest liniowo zależny ▼.

Definicja. Podstawa (układ współrzędnych) przestrzeni liniowej L zwany zestawem A elementy liniowo niezależne, tak że każdy element L jest liniową kombinacją elementów z A, 11.

Rozważymy skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

PrzykładIII.9. Rozważmy trójwymiarową przestrzeń wektorową. Weźmy wektory jednostkowe,,. Stanowią podstawę przy.

Pokażemy, że wektory są liniowo niezależne. Faktycznie, mamy

Lub . Stąd, zgodnie z zasadami mnożenia wektora przez liczbę i dodawania wektorów (przykład III.2), otrzymujemy

Dlatego ,,▼.

Niech będzie dowolnym wektorem przestrzeni, a następnie na podstawie aksjomatów przestrzeni liniowej otrzymamy

Podobne rozumowanie obowiązuje w przypadku przestrzeni o podstawie . Z głównego twierdzenia wynika, że ​​w dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej L każdy element można przedstawić jako liniową kombinację jego podstawowych elementów, to znaczy…

Co więcej, taki rozkład jest wyjątkowy. Faktycznie, dajmy sobie

wtedy po odjęciu otrzymujemy

Stąd, ze względu na niezależność elementów,

To znaczy ▼.

TwierdzenieIII.2 (o dodatku do bazy). Niech będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową i pewnym zbiorem liniowo niezależnych elementów. Jeżeli nie stanowią one bazy, to można znaleźć takie elementy,,...,, w których zbiór elementów stanowi bazę. Oznacza to, że każdy liniowo niezależny zbiór elementów przestrzeni liniowej można uzupełnić o bazę.

Dowód. Ponieważ przestrzeń jest skończenie wymiarowa, ma podstawę składającą się na przykład z N elementy, niech będą elementami. Rozważmy wiele elementów.

Zastosujmy główne twierdzenie. Jeśli chodzi o kolejność elementów, rozważ zbiór A. Jest to oczywiście zależne liniowo, gdyż każdy z elementów jest kombinacją liniową. Ponieważ elementy,,..., są liniowo niezależne, to dodawajmy do nich elementy po kolei, aż pojawi się pierwszy element, np. taki, że będzie to liniowa kombinacja poprzednich wektorów tego zbioru, czyli. Usunięcie tego elementu z zestawu A, otrzymamy . Kontynuujemy tę procedurę, aż nie będzie już więcej N elementy liniowo niezależne, wśród których wszystkie elementy ,, ..., i N-M z elementów. Powstały zbiór będzie bazą ▼.

PrzykładIII.10. Udowodnić, że wektory , i tworzą zbiór liniowo zależny, a dowolne trzy z nich są liniowo niezależne.

Pokażmy, że nie wszystkie liczby są równe zero dla którego

Faktycznie, bo mamy

Udowodniono zależność liniową. Pokażmy, że trójka wektorów, na przykład ,,, tworzy bazę. Zróbmy równość

Wykonując operacje na wektorach, otrzymujemy

Przyrównując odpowiednie współrzędne po prawej i lewej stronie ostatniej równości, otrzymujemy układ równań ,, rozwiązując go, otrzymujemy.

Podobne rozumowanie obowiązuje dla pozostałych trójek wektorów ,,or,,.

TwierdzenieIII.3 (o wymiarze przestrzeni). Wszystkie podstawy skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej L składają się z tej samej liczby podstawowych elementów.

Dowód. Niech zostaną dane dwa zbiory, gdzie;,. Każdemu z nich przypisujemy jedną z dwóch właściwości definiujących podstawę: 1) poprzez elementy zbioru A dowolne elementy z L, 2) elementy zestawu B reprezentują zbiór liniowo niezależny, ale niekoniecznie wszystkie L. Zakładamy, że elementy A I B zamówione.

Rozważ zestaw A i stosuje się do jego elementów M raz metoda z głównego twierdzenia. Ponieważ elementy z B są liniowo niezależne, to i tak otrzymujemy zbiór liniowo zależny

W rzeczywistości, jeśli , to wynikiem będzie liniowo niezależny zbiór, a reszta N elementy zestawu B byłoby przez nie wyrażone liniowo, co jest niemożliwe, czyli . Ale i tak nie może być, gdyż zbiór (III.4) ma przez konstrukcję własność bazy zbioru A. Ponieważ przestrzeń L skończenie wymiarowy, wtedy jedyne, co pozostaje, to , to znaczy dwie różne podstawy przestrzeni L składają się z tej samej liczby elementów ▼.

Konsekwencja. W jakimkolwiek N-wymiarowa przestrzeń liniowa () można znaleźć nieskończenie wiele baz.

Dowód wynika z zasady mnożenia elementów przestrzeni liniowej (wektorowej) przez liczbę.

Definicja. Wymiar przestrzeni liniowej L to liczba elementów tworzących jego podstawę.

Z definicji wynika, że ​​pusty zbiór elementów – trywialna przestrzeń liniowa – ma wymiar 0, co – jak należy zauważyć – uzasadnia terminologię zależności liniowej i pozwala stwierdzić: N-przestrzeń wymiarowa ma wymiar N, .

Podsumowując to, co zostało powiedziane, otrzymujemy, że każdy zestaw N+1 element N-wymiarowa przestrzeń liniowa liniowo zależna; wiele N elementy przestrzeni liniowej są bazą wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo niezależne (lub każdy element przestrzeni jest liniową kombinacją elementów swojej bazy); w dowolnej przestrzeni liniowej liczba podstaw jest nieskończona.

PrzykładIII0,11 (twierdzenie Kroneckera – Capelliego).

Załóżmy, że mamy układ liniowych równań algebraicznych

Gdzie A – macierz współczynników systemowych,  rozszerzona macierz współczynników systemowych

Gdzie , (III.6)

zapis ten jest równoważny układowi równań (III.5).

TwierdzenieIII.4 (Kronecker – Capelli). Układ liniowych równań algebraicznych (III.5) jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A jest równy rządowi macierzy, tj.

Dowód.Konieczność. Niech układ (III.5) będzie spójny, to ma rozwiązanie: ,,. Rozważając (III.6), , ale w tym przypadku mamy do czynienia z liniową kombinacją wektorów,,...,. Dlatego poprzez zbiór wektorów,,, ..., dowolny wektor z. To znaczy, że.

Adekwatność. Pozwalać . Wybierzmy dowolną bazę z,,...,, wówczas wyrażamy ją liniowo poprzez bazę (mogą to być albo wszystkie wektory, albo ich część), a zatem poprzez wszystkie wektory,. Oznacza to, że układ równań jest spójny ▼.

Rozważmy N-wymiarowa przestrzeń liniowa L. Każdy wektor można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej, gdzie zbiór składa się z wektorów bazowych. Przepiszmy kombinację liniową w postaci i ustalmy zgodność jeden do jednego między elementami i ich współrzędnymi

Oznacza to, że pomiędzy N-wymiarowa liniowa przestrzeń wektorowa wektorów nad N Pole -wymiarowe liczb rzeczywistych ustanawia zgodność jeden do jednego.

Definicja. Dwie przestrzenie liniowe nad tym samym polem skalarnym izomorficzny , jeżeli między ich elementami można ustalić zgodność jeden do jednego F, aby

to znaczy izomorfizm jest rozumiany jako zgodność jeden do jednego, która zachowuje wszystkie relacje liniowe. Jest oczywiste, że przestrzenie izomorficzne mają ten sam wymiar.

Z przykładu i definicji izomorfizmu wynika, że ​​z punktu widzenia badania zagadnień liniowości przestrzenie izomorficzne są takie same, zatem formalnie zamiastN-wymiarowa przestrzeń liniowaLnad polem można badać tylko pole.

Niech będzie polem skalarnym, a F jego głównym zbiorem. Niech -wymiarowa przestrzeń arytmetyczna nad - dowolnym układem wektorów przestrzeni

DEFINICJA. Kombinacja liniowa układu wektorów jest sumą postaci gdzie . Skalary nazywane są współczynnikami kombinacji liniowej. Kombinację liniową nazywamy nietrywialną, jeśli przynajmniej jeden z jej współczynników jest różny od zera. Kombinację liniową nazywamy trywialną, jeśli wszystkie jej współczynniki wynoszą zero.

DEFINICJA. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu nazywany jest rozpiętością liniową tego układu i oznaczany jest przez . Rozpiętość liniową pustego układu uważa się za zbiór składający się z wektora zerowego.

Zatem z definicji

Łatwo zauważyć, że kadłub liniowy tego układu wektorów jest domknięty ze względu na operacje dodawania wektorów, odejmowania wektorów i mnożenia wektorów przez skalary.

DEFINICJA. Układ wektorów nazywa się liniowo niezależnym, jeżeli dla dowolnych skalarów zachodzą równości. Pusty system wektorowy

uważane za liniowo niezależne.

Innymi słowy, skończony układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy każda nietrywialna liniowa kombinacja wektorów układu nie jest równa wektorowi zerowemu.

DEFINICJA. Układ wektorów nazywa się liniowo zależnym, jeśli istnieją skalary, z których nie wszystkie są równe zero, np

Innymi słowy, mówi się, że skończony układ wektorów jest liniowo zależny, jeśli istnieje nietrywialna liniowa kombinacja wektorów układu równa wektorowi zerowemu.

System wektorowy

nazywany jest układem wektorów jednostkowych w przestrzeni wektorowej.Ten układ wektorów jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, dla każdego skalara równość następuje po równości, a zatem po równościach

Rozważmy właściwości liniowej zależności i niezależności układu wektorów.

WŁAŚCIWOŚCI 1.1. Układ wektorów zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

Dowód. Jeśli na przykład w układzie wektorów jeden z wektorów jest wektorem zerowym, to liniowa kombinacja wektorów układu, którego wszystkie współczynniki są równe zeru, z wyjątkiem współczynnika at, jest równa zeru wektor. W konsekwencji taki układ wektorów jest liniowo zależny.

NIERUCHOMOŚĆ 1.2. Układ wektorów jest liniowo zależny, jeśli którykolwiek z jego podukładów jest liniowo zależny.

Dowód. Niech będzie liniowo zależnym podsystemem układu i co najmniej jeden ze współczynników jest różny od zera. Zatem układ wektorów jest liniowo zależny.

DOCHODZENIE. Każdy podsystem układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.

NIERUCHOMOŚĆ 1.3. System wektorowy

w którym jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów jest liniową kombinacją poprzednich wektorów.

Dowód. Niech układ (1) będzie liniowo zależny, a następnie istnieją skalary, z których nie wszystkie są równe zero, takie, że

Oznaczmy przez k największą liczbę spełniającą warunek, wówczas równość (2) można zapisać w postaci

Zauważ, że w przeciwnym razie, ponieważ . Z (3) wynika równość

Załóżmy teraz, że wektor jest liniową kombinacją wektorów go poprzedzających, czyli Wtedy , czyli podukład układu (1) jest liniowo zależny. Zatem zgodnie z właściwością 1.2 pierwotny układ (1) jest również liniowo zależny.

WŁASNOŚĆ 1.4. Jeżeli układ wektorów jest liniowo niezależny, a układ wektorów

jest liniowo zależny, wówczas wektor v jest wyrażany liniowo poprzez wektory

i w jedyny sposób.

Dowód. Pod warunkiem, że układ (2) jest liniowo zależny, tj. istnieją skalary, z których nie wszystkie są równe zeru, takie że

Co więcej, ponieważ dla tego przeczy liniowa niezależność układu (1). Z (3) wynika równość

Z liniowej niezależności układu (1) wynika, że

WŁASNOŚĆ 1.5. Jeśli

Dowód. Warunek oznacza, że ​​istnieją skalary takie, że

Warunek oznacza, że ​​istnieją skalary takie, że

Na mocy (1) i (2) otrzymujemy

TWIERDZENIE 1.2. Jeśli

wówczas układ wektorów jest liniowo zależny. Dowód (przeprowadzony metodą indukcji na ).

Aby sprawdzić, czy układ wektorów jest liniowo zależny, należy ułożyć kombinację liniową tych wektorów i sprawdzić, czy może ona wynosić zero, jeśli chociaż jeden współczynnik jest równy zero.

Przypadek 1. Układ wektorów jest dany przez wektory

Tworzenie kombinacji liniowej

Otrzymaliśmy jednorodny układ równań. Jeżeli ma rozwiązanie niezerowe, to wyznacznik musi być równy zero. Skomponujmy wyznacznik i znajdźmy jego wartość.

Wyznacznikiem jest zero, zatem wektory są liniowo zależne.

Przypadek 2. Układ wektorów definiują funkcje analityczne:

a) jeśli tożsamość jest prawdziwa, to układ jest liniowo zależny.

Zróbmy kombinację liniową.

Należy sprawdzić, czy istnieje a, b, c (przynajmniej jedno z nich nie jest równe zero), dla którego to wyrażenie jest równe zero.

Napiszmy funkcje hiperboliczne

wówczas liniowa kombinacja wektorów będzie miała postać:

Weźmy na przykład kombinację liniową wynoszącą zero, a zatem system jest liniowo zależny.

Odpowiedź: układ jest liniowo zależny.

b) stwórzmy kombinację liniową

Liniowa kombinacja wektorów musi być równa zeru dla dowolnych wartości x.

Sprawdźmy przypadki szczególne.

Liniowa kombinacja wektorów jest równa zero tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zero.

Zatem układ jest liniowo niezależny.

Odpowiedź: układ jest liniowo niezależny.

5.3. Znajdź bazę i określ wymiar liniowej przestrzeni rozwiązań.

Stwórzmy rozszerzoną macierz i sprowadźmy ją do postaci trapezu metodą Gaussa.

Aby uzyskać jakąś podstawę, podstawmy dowolne wartości:

Zdobądźmy resztę współrzędnych

5.4. Znajdź współrzędne wektora X w bazie, jeśli jest ona podana w bazie.

Znalezienie współrzędnych wektora w nowej bazie sprowadza się do rozwiązania układu równań

Metoda 1. Znajdowanie za pomocą macierzy przejść

Stwórzmy macierz przejścia

Znajdźmy wektor w nowej bazie, korzystając ze wzoru

Znajdźmy macierz odwrotną i wykonajmy mnożenie

Metoda 2. Wyszukiwanie poprzez ułożenie układu równań.

Skomponujmy wektory bazowe ze współczynników bazowych

Znalezienie wektora w nowej bazie ma postać

Gdzie D to jest dany wektor X.

Powstałe równanie można rozwiązać w dowolny sposób, odpowiedź będzie podobna.

Odpowiedź: wektor w nowej bazie.

5.5. Niech x = (X 1 , X 2 , X 3 ) . Czy poniższe przekształcenia są liniowe?

Ułóżmy macierze operatorów liniowych ze współczynników danych wektorów.

Sprawdźmy właściwość operacji liniowych dla każdej macierzy operatora liniowego.

Lewą stronę znajdujemy mnożąc macierz A do wektora

Prawą stronę znajdujemy mnożąc podany wektor przez skalar.

Widzimy, że oznacza to, że transformacja nie jest liniowa.

Sprawdźmy inne wektory.

Transformacja nie jest liniowa.

Transformacja jest liniowa.

Odpowiedź: Oh– nie jest to transformacja liniowa, W– nieliniowy, Cx– liniowy.

Notatka. Możesz wykonać to zadanie znacznie łatwiej, uważnie przyglądając się podanym wektorom. W Oh widzimy, że istnieją terminy, które nie zawierają elementów X, czego nie można było uzyskać w wyniku operacji liniowej. W W jest element X do potęgi trzeciej, której również nie można uzyskać mnożąc przez wektor X.

5.6. Dany X = { X 1 , X 2 , X 3 } , Topór = { X 2 – X 3 , X 1 , X 1 + X 3 } , Bx = { X 2 , 2 X 3 , X 1 } . Wykonaj określoną operację: ( A ( B – A )) X .

Zapiszmy macierze operatorów liniowych.

Wykonajmy operację na macierzach

Mnożąc otrzymaną macierz przez X, otrzymujemy