Odkształcenie z ukośnym przemieszczeniem 4 litery. Rodzaje deformacji ciał stałych

deformacja tkanka biologiczna mechaniczne naczynie kostne

Odkształcenie to zmiana względnego położenia punktów ciała, której towarzyszy zmiana jego kształtu i wielkości, spowodowana działaniem sił zewnętrznych na ciało.

Rodzaje deformacji:

1. Elastyczny - całkowicie zanika po ustaniu sił zewnętrznych.

2. Plastik (resztkowy) - pozostaje po ustaniu sił zewnętrznych.

3. Sprężysto-plastyczny - niecałkowity zanik odkształceń.

4. Wiskoelastyczny - połączenie lepkiego przepływu i elastyczności.

Z kolei odkształcenia sprężyste są następujących typów:

a) odkształcenie rozciągające lub ściskające następuje pod wpływem sił działających w kierunku osi nadwozia:

Główne cechy deformacji

Odkształcenie rozciągające (ściskające) następuje w ciele pod wpływem siły skierowanej wzdłuż jego osi.

gdzie l 0 jest początkowym rozmiarem liniowym ciała.

Dl - wydłużenie ciała

Odkształcenie e (wydłużenie względne) określa wzór

e jest wielkością bezwymiarową.

Miarą sił zmierzających do przywrócenia atomów lub jonów do ich pierwotnego położenia jest naprężenie mechaniczne y. Podczas odkształcenia rozciągającego naprężenie y można określić na podstawie stosunku siły zewnętrznej do pola przekroju poprzecznego ciała:

Odkształcenie sprężyste podlega prawu Hooke’a:

gdzie E jest modułem normalnej sprężystości (moduł Younga jest modułem sprężystości mechanicznej

naprężenie występujące w materiale w miarę jego wzrostu

dwukrotność pierwotnej długości ciała).

Jeżeli żywe tkanki ulegają niewielkim odkształceniom, wskazane jest określenie nie modułu Younga, ale współczynnika sztywności. Sztywność charakteryzuje zdolność środowiska fizycznego do przeciwstawiania się powstawaniu odkształceń.

Wyobraźmy sobie eksperymentalną krzywą rozciągania:

OA jest odkształceniem sprężystym zgodnym z prawem Hooke’a. Punkt B jest granicą sprężystości, tj. maksymalne naprężenie, przy którym nie następuje jeszcze odkształcenie, pozostające w korpusie po usunięciu naprężenia. VD - płynność (naprężenie, od którego zwiększa się odkształcenie bez zwiększania naprężenia).

Elastyczność charakterystyczna dla polimerów nazywana jest elastycznością.

Każda próbka poddana ściskaniu lub rozciąganiu wzdłuż swojej osi ulega również odkształceniu w kierunku prostopadłym.

Wartość bezwzględna stosunku odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego próbki nazywa się stosunkiem odkształcenia poprzecznego lub współczynnikiem Poissona i oznacza się:

(wartość bezwymiarowa)

Dla materiałów nieściśliwych (lepkie pasty, guma) m=0,5; dla większości metali m? 0,3.

Wartość współczynnika Poissona dla rozciągania i ściskania jest taka sama. Zatem wyznaczając współczynnik Poissona, można ocenić ściśliwość materiału.

Modelowanie reologiczne tkanek biologicznych

Reologia jest nauką o deformacji i płynności materii.

Właściwości sprężyste i lepkie ciał można łatwo modelować.

Przedstawmy kilka modeli reologicznych.

a) Modelem ciała sprężystego jest sprężyna sprężysta.

Napięcie powstające w sprężynie określa prawo Hooke'a:

Jeśli właściwości sprężyste materiału są takie same we wszystkich kierunkach, nazywa się to izotropowym, a jeśli te właściwości nie są takie same, nazywa się to anizotropowym.

b) Model cieczy lepkiej to ciecz znajdująca się w cylindrze z tłokiem luźno przylegającym do jego ścianek lub: - jest to tłok z otworami, który porusza się w cylindrze z cieczą.

Model ten charakteryzuje się wprost proporcjonalną zależnością pomiędzy powstałym naprężeniem y a szybkością odkształcania

gdzie z jest współczynnikiem lepkości dynamicznej.

c) Model reologiczny Maxwella przedstawia elementy sprężyste i lepkie połączone szeregowo.

Działanie poszczególnych elementów uzależnione jest od prędkości obciążenia elementu wspólnego.

W przypadku odkształcenia sprężystego spełnione jest prawo Hooke'a:

Szybkość odkształcenia sprężystego będzie wynosić:

W przypadku odkształcenia lepkiego:

wówczas szybkość odkształcenia lepkiego będzie wynosić:

Całkowita szybkość odkształcenia lepkosprężystego jest równa sumie szybkości odkształcenia sprężystego i lepkiego.

To jest równanie różniczkowe modelu Maxwella.

Wyprowadzenie równania na pełzanie tkanki biologicznej. Jeśli na model zostanie przyłożona siła, sprężyna natychmiast się wydłuża, a tłok porusza się ze stałą prędkością. Zatem w tym modelu realizowane jest zjawisko pełzania. Jeżeli F=const, to wynikowe napięcie y=const, tj. następnie z równania (3) otrzymujemy.

DEFINICJA

Odkształcenie w fizyce nazywają to zmianą wielkości, objętości i często kształtu ciała, jeśli na ciało zostanie przyłożone obciążenie zewnętrzne, na przykład podczas rozciągania, ściskania i/lub zmiany jego temperatury.

Deformacja występuje, gdy różne części ciała wykonują różne ruchy. Tak więc, jeśli na przykład gumowy sznurek będzie ciągnięty za końce, wówczas jego różne części będą się przesuwać względem siebie, a sznurek ulegnie deformacji (rozciągnięciu, wydłużeniu). Podczas odkształcania zmieniają się odległości między atomami lub cząsteczkami ciał, w związku z czym pojawiają się siły sprężyste.

Rodzaje deformacji ciała stałego

Odkształcenia można podzielić na sprężyste i niesprężyste. Sprężystość to odkształcenie, które zanika, gdy ustanie efekt odkształcenia. Przy tego typu odkształceniach cząstki powracają z nowych położeń równowagi w sieci krystalicznej do starych.

Odkształcenia niesprężyste ciała stałego nazywane są plastycznymi. Podczas odkształcenia plastycznego następuje nieodwracalna przebudowa sieci krystalicznej.

Ponadto wyróżnia się następujące rodzaje deformacji: rozciąganie (ściskanie); ścinanie, skręcanie.

Jednostronne rozciąganie polega na zwiększaniu długości ciała pod wpływem siły rozciągającej. Miarą tego typu odkształceń jest wartość wydłużenia względnego ().

Odkształcenie rozciągające (kompresyjne) dookoła objawia się zmianą (zwiększeniem lub zmniejszeniem) objętości ciała. W tym przypadku kształt ciała się nie zmienia. Siły rozciągające (ściskające) rozkładają się równomiernie na całej powierzchni ciała. Cechą charakterystyczną tego typu deformacji jest względna zmiana objętości ciała ().

Ścinanie to rodzaj odkształcenia, podczas którego płaskie warstwy bryły przemieszczają się równolegle do siebie. Przy tego typu odkształceniach warstwy nie zmieniają swojego kształtu i rozmiaru. Miarą tego odkształcenia jest kąt ścinania.

Odkształcenie skrętne polega na względnym obrocie odcinków równoległych do siebie, prostopadłych do osi próbki.

Teoria sprężystości udowodniła, że ​​wszystkie rodzaje odkształceń sprężystych można sprowadzić do odkształceń rozciągających lub ściskających, które występują w jednym momencie.

Prawo Hooke’a

Rozważmy jednorodny pręt o długości l i polu przekroju poprzecznego S. Na końce pręta działają dwie siły o wartości F, skierowane wzdłuż osi pręta, ale o przeciwnych kierunkach. W tym przypadku długość pręta zmieniła się o .

Angielski naukowiec R. Hooke ustalił empirycznie, że dla małych odkształceń wydłużenie względne () jest wprost proporcjonalne do naprężenia ():

gdzie E jest modułem Younga; - siła działająca na jednostkową powierzchnię przekroju poprzecznego przewodnika. W przeciwnym razie prawo Hooke'a można zapisać jako:

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Dla siły sprężystości powstającej w pręcie prawo Hooke’a ma postać:

Zależność liniowa pomiędzy i jest spełniona w wąskich granicach, przy małych obciążeniach. Wraz ze wzrostem obciążenia zależność staje się nieliniowa, a następnie odkształcenie sprężyste przechodzi w odkształcenie plastyczne.

Przykłady rozwiązywania problemów

PRZYKŁAD 1

ODKSZTAŁCENIE- zmiana wielkości, kształtu i konfiguracji ciała w wyniku działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych (od łac. deformatio - zniekształcenie).

Ciała stałe, w przeciwieństwie do substancji ciekłych i gazowych, potrafią przez długi czas zachować niezmieniony kształt i objętość. To dobrze znane stwierdzenie jest prawdziwe tylko „w pierwszym przybliżeniu” i wymaga wyjaśnienia. Po pierwsze, wiele ciał powszechnie uznawanych za stałe „płynie” z biegiem czasu bardzo powoli: znany jest przypadek, gdy płyta granitowa (część muru) w ciągu kilkuset lat, na skutek sedymentacji gleby, zauważalnie się wygina, po powstaniu nowego mikroreliefu, i bez pęknięć i załamań (ryc. 1). Obliczono, że charakterystyczna prędkość ruchu wynosiła 0,8 mm na rok. Drugie wyjaśnienie jest takie, że wszystkie bryły zmieniają swój kształt i rozmiar, jeśli działają na nie obciążenia zewnętrzne. Te zmiany kształtu i rozmiaru nazywane są odkształceniami ciała stałego, a odkształcenia mogą być duże (na przykład podczas rozciągania gumowego sznura lub zginania stalowej linijki) lub małe, niewidoczne dla oka (na przykład odkształcenia granitu cokół podczas instalowania pomnika).

Z punktu widzenia struktury wewnętrznej wiele ciał stałych jest polikrystalicznych, tj. składają się z małych ziaren, z których każde jest kryształem mającym określony rodzaj sieci. Materiały szkliste i wiele tworzyw sztucznych nie mają struktury krystalicznej, ale ich cząsteczki są ze sobą bardzo ściśle powiązane, co zapewnia zachowanie kształtu i wielkości ciała.

Jeżeli na ciało stałe działają siły zewnętrzne (np. pręt jest rozciągany przez dwie siły, rys. 2), wówczas odległości między atomami substancji zwiększają się, a za pomocą przyrządów można wykryć wzrost długość pręta. Po usunięciu obciążenia pręt przywraca poprzednią długość. Takie odkształcenia nazywane są sprężystymi i nie przekraczają ułamków procenta. Wraz ze wzrostem sił rozciągających mogą być dwa wyniki eksperymentu: próbki wykonane ze szkła, betonu, marmuru itp. ulegają zniszczeniu w obecności odkształceń sprężystych (ciała takie nazywane są kruchymi). W próbkach wykonanych ze stali, miedzi, aluminium wraz z odkształceniami sprężystymi pojawią się odkształcenia plastyczne, które są związane z poślizgiem (ścinaniem) niektórych cząstek materiału względem innych. Wielkość odkształcenia plastycznego wynosi zwykle kilka procent. Szczególne miejsce wśród ciał odkształcalnych zajmują elastomery - substancje gumopodobne, które pozwalają na ogromne odkształcenia: pasek gumy można rozciągnąć 10 razy bez pęknięć i uszkodzeń, a po rozładowaniu niemal natychmiast przywracany jest pierwotny rozmiar. Ten rodzaj odkształcenia nazywany jest wysoce sprężystym i wynika z faktu, że materiał składa się z bardzo długich cząsteczek polimeru, zwiniętych w formie spiral („spiralnych schodów”) lub akordeonów, z sąsiednimi cząsteczkami tworzącymi uporządkowany układ. Długie, wielokrotnie zginane cząsteczki potrafią się prostować dzięki elastyczności łańcuchów atomowych; w tym przypadku odległości między atomami nie zmieniają się, a małe siły wystarczą do wytworzenia dużych odkształceń w wyniku częściowego prostowania cząsteczek.

Ciała ulegają deformacji pod wpływem działających na nie sił, pod wpływem zmian temperatury, wilgotności, reakcji chemicznych, napromieniania neutronami. Najłatwiej zrozumieć odkształcenie pod wpływem sił - często nazywa się je obciążeniami: belka, zamocowana na końcach na podporach i obciążona w środku, zginanie - odkształcenie zginające; podczas wiercenia otworu wiertło ulega odkształceniu skrętnemu; kiedy piłka jest napompowana powietrzem, zachowuje swój kulisty kształt, ale zwiększa swój rozmiar. Kula ulega deformacji, gdy fala pływowa przemieszcza się po jej warstwie powierzchniowej. Nawet te proste przykłady pokazują, że odkształcenia ciał mogą być bardzo różne. Zazwyczaj części konstrukcyjne w normalnych warunkach ulegają niewielkim odkształceniom, podczas których ich kształt pozostaje prawie niezmieniony. Przeciwnie, podczas obróbki ciśnieniowej – podczas tłoczenia lub walcowania – powstają duże odkształcenia, w wyniku których znacząco zmienia się kształt korpusu; na przykład z cylindrycznego przedmiotu obrabianego uzyskuje się szkło lub nawet część o bardzo złożonym kształcie (w tym przypadku przedmiot obrabiany jest często podgrzewany, co ułatwia proces odkształcania).

Najłatwiej zrozumieć i przeanalizować matematycznie odkształcenie ciała przy małych odkształceniach. Jak to zwykle bywa w mechanice, rozważa się jakiś arbitralnie wybrany punkt M ciała.

Przed rozpoczęciem procesu deformacji małe otoczenie tego punktu jest mentalnie izolowane, mając prosty, wygodny do badania kształt, na przykład kulę o promieniu D R lub sześcian o boku D A, i o to chodzi M okazało się, że jest to środek tych ciał.

Pomimo tego, że ciała o różnych kształtach pod wpływem obciążeń zewnętrznych i z innych przyczyn ulegają bardzo różnorodnym odkształceniom, okazuje się, że małe otoczenie dowolnego punktu odkształca się według tej samej zasady (prawa): jeśli małe sąsiedztwo dowolnego punktu punkt M miał kształt kuli, następnie po odkształceniu stał się elipsoidą; podobnie sześcian staje się równoległościanem ukośnym (zwykle mówi się, że kula przechodzi w elipsoidę, a sześcian w równoległościan ukośny). Ta okoliczność jest taka sama we wszystkich punktach: elipsoidy w różnych punktach okazują się oczywiście różne i inaczej obrócone. To samo dotyczy równoległościanów.

Jeśli w nieodkształconej kuli wybierzemy w myślach włókno promieniowe, tj. cząstek materiału znajdujących się w określonym promieniu i podążając za tym włóknem w procesie odkształcenia, okazuje się, że włókno to pozostaje cały czas proste, zmienia jednak swoją długość - wydłuża się lub skraca. Ważne informacje można uzyskać w następujący sposób: w nieodkształconej kuli wyróżniają się dwa włókna, których kąt jest prosty. Po odkształceniu kąt, ogólnie rzecz biorąc, będzie inny niż linia prosta. Zmiana kąta prostego nazywana jest deformacją ścinającą lub ścinaniem. Istotę tego zjawiska wygodniej jest rozważyć na przykładzie sąsiedztwa sześciennego, gdy odkształcona ściana kwadratowa przekształca się w równoległobok - stąd nazwa deformacja ścinająca.

Można powiedzieć, że jest to deformacja otoczenia punktu M wiadomo całkowicie, jeśli dla dowolnego włókna promieniowego wybranego przed odkształceniem można znaleźć jego nową długość, a dla dowolnych dwóch takich wzajemnie prostopadłych włókien można znaleźć kąt między nimi po odkształceniu.

Wynika z tego, że odkształcenie sąsiedztwa jest znane, jeśli znane są wydłużenia wszystkich włókien i wszystkie możliwe przemieszczenia, tj. wymagana jest nieskończenie duża ilość danych. Tak naprawdę odkształcenie cząstki następuje w bardzo uporządkowany sposób - wszak kula zamienia się w elipsoidę (i nie rozlatuje się na kawałki i nie zamienia się w zawiązaną w węzły nitkę). Porządek ten wyraża się matematycznie za pomocą twierdzenia, którego istota polega na tym, że wydłużenia dowolnego włókna i przesunięcie dla dowolnej pary włókien można obliczyć (i to całkiem prosto), jeśli wydłużenia trzech wzajemnie prostopadłych włókien oraz przesunięcia - zmiany kąty między nimi - są znane. I oczywiście istota materii wcale nie zależy od tego, jaki kształt zostanie wybrany dla cząstki - kulisty, sześcienny czy jakiś inny.

Aby uzyskać bardziej szczegółowy i rygorystyczny opis wzoru deformacji, wprowadzono układ współrzędnych (na przykład kartezjański). OXYZ, wybierany jest określony punkt w ciele M i jego otoczenie w kształcie sześcianu z wierzchołkiem w punkcie M, którego krawędzie są równoległe do osi współrzędnych. Względne wydłużenie żebra równolegle do osi WÓŁ, –tj xx(W tym zapisie indeks X powtórzone dwukrotnie: tak zwykle oznacza się elementy macierzy).

Jeżeli krawędź danego sześcianu miała długość A, to po odkształceniu jego długość zmieni się o wielkość wydłużenia D x, podczas gdy wydłużenie względne wprowadzone powyżej zostanie wyrażone jako

mi xx= D x/ A

Wartości e mają podobne znaczenie yy i e zz.

Dla przesunięć przyjmuje się następujące oznaczenia: zmiana początkowo prostego kąta pomiędzy krawędziami sześcianu, równoległego do osi WÓŁ I OJ, oznaczony jako 2e xy= 2e yx(tutaj dla wygody wprowadzono współczynnik „2” na przyszłość, tak jakby średnicę pewnego okręgu oznaczono jako 2 R).

Wprowadza się zatem 6 wielkości, a mianowicie trzy odkształcenia wydłużające:

mi xx mi yy mi zz

i trzy odkształcenia ścinające:

mi yx= np xy mi zy= np yz mi zx= np xz

Te 6 wielkości nazywane są składowymi odkształcenia i ta definicja oznacza, że ​​wyrażane jest przez nie każde odkształcenie wydłużenia i ścinania w pobliżu danego punktu (często w skrócie określane po prostu jako „odkształcenie w punkcie”).

Składniki odkształcenia można zapisać jako macierz symetryczną

Macierz tę nazywa się tensorem małego odkształcenia, zapisanym w układzie współrzędnych OXYZ. W innym układzie współrzędnych o tym samym początku ten sam tensor zostanie wyrażony inną macierzą ze składowymi

Osie współrzędnych nowego układu i osie współrzędnych starego układu tworzą zbiór kątów, których cosinusy wygodnie oznaczono jak w poniższej tabeli:

Następnie wyrażenie składowych tensora odkształcenia w nowych osiach (tj. e ´ xx ,…, e ´ xy,...) poprzez składowe tensora odkształcenia w starych osiach, tj. przez e xx,…, e xy,…, mają postać:

Wzory te są w zasadzie definicją tensora w następującym znaczeniu: jeśli w systemie jest opisany jakiś obiekt OXYZ matryca tj ja i w innym systemie WÓŁ´ Y´ Z` – kolejna macierz e ja`, wówczas nazywa się go tensorem, jeśli obowiązują powyższe wzory, które nazywane są wzorami na przekształcenie składowych tensora drugiego rzędu do nowego układu współrzędnych. Tutaj dla zwięzłości macierz jest oznaczona przez e ja, gdzie indeksy I, J dopasowuje dowolną kombinację parami indeksów X, y, z; Znaczące jest to, że zawsze występują dwa wskaźniki. Liczba indeksów nazywana jest rzędem tensora (lub jego wartościowością). W tym sensie wektor okazuje się tensorem pierwszego stopnia (jego składowe mają ten sam indeks), a skalar można uznać za tensor rzędu zerowego, który nie ma indeksów; w dowolnym układzie współrzędnych skalar ma oczywiście to samo znaczenie.

Pierwszy tensor po prawej stronie równości nazywany jest tensorem sferycznym, drugi dewiatorem (od łac. deviatio – zniekształcenie), ponieważ wiąże się to z zniekształceniami kątów prostych – przesunięciami. Nazwa „sferyczny” wynika z faktu, że macierz tego tensora w geometrii analitycznej opisuje powierzchnię kulistą.

Władimir Kuzniecow

Nie wchodząc w teoretyczne podstawy fizyki, proces deformacji ciała stałego można nazwać zmianą jego kształtu pod wpływem obciążenia zewnętrznego. Każdy materiał stały ma strukturę krystaliczną z określonym układem atomów i cząstek, a pod wpływem obciążenia poszczególne elementy lub całe warstwy ulegają przemieszczeniu względem siebie, czyli powstają defekty materiałowe.

Rodzaje deformacji ciał stałych

Odkształcenie rozciągające to rodzaj odkształcenia, w którym obciążenie jest przykładane wzdłużnie od nadwozia, to znaczy współosiowo lub równolegle do punktów mocowania nadwozia. Rozciąganie najłatwiej przeprowadzić na linie holowniczej do samochodu. Lina posiada dwa punkty mocowania do holownika i holowanego obiektu; wraz z rozpoczęciem ruchu lina prostuje się i zaczyna ciągnąć holowany obiekt. Podczas rozciągania lina ulega odkształceniu przy rozciąganiu, jeśli obciążenie jest mniejsze niż maksymalne wartości, jakie może wytrzymać, to po usunięciu obciążenia lina przywróci swój kształt.

Przykładowy schemat rozciągania

Odkształcenie przy rozciąganiu jest jednym z głównych badań laboratoryjnych właściwości fizycznych materiałów. Podczas przykładania naprężeń rozciągających wartości, przy których materiał jest w stanie:

1. przejąć obciążenia z dalszym przywróceniem stanu pierwotnego (odkształcenie sprężyste)
2. przenosić obciążenia bez przywracania stanu pierwotnego (odkształcenie plastyczne)
3. przerwać w punkcie krytycznym

Testy te są głównymi testami dla wszystkich kabli i lin używanych do zawieszania, zabezpieczania ładunków i wspinaczki górskiej. Naprężenie ma również znaczenie przy budowie skomplikowanych układów zawieszenia ze swobodnymi elementami roboczymi.

Odkształcenie ściskające jest rodzajem odkształcenia podobnego do rozciągania, z jedną różnicą w sposobie przyłożenia obciążenia: przykładane jest współosiowo, ale w stronę ciała. Ściskanie przedmiotu z obu stron prowadzi do zmniejszenia jego długości i jednoczesnego wzmocnienia, a przyłożenie dużych obciążeń powoduje powstanie w korpusie materiału zgrubień typu „beczkowego”.

Przykładowy obwód kompresji

Jako przykład możemy zastosować to samo urządzenie co w przypadku odkształcenia rozciągającego nieco powyżej.

Odkształcenie ściskające jest szeroko stosowane w procesach metalurgicznych kucia metalu, podczas którego metal zyskuje zwiększoną wytrzymałość i spawa defekty strukturalne. Kompresja ma również znaczenie w konstrukcji budynków, wszystkie elementy konstrukcyjne fundamentów, pali i ścian podlegają obciążeniom ciśnieniowym. Prawidłowe obliczenie konstrukcji nośnych budynku pozwala zmniejszyć zużycie materiałów bez utraty wytrzymałości.

Odkształcenie ścinające to rodzaj odkształcenia, w którym obciążenie jest przykładane równolegle do podstawy ciała. Podczas odkształcenia ścinającego jedna płaszczyzna ciała ulega przemieszczeniu w przestrzeni względem drugiej. Wszystkie elementy złączne - śruby, wkręty, gwoździe - są testowane pod kątem maksymalnych obciążeń ścinających. Najprostszym przykładem odkształcenia ścinającego jest chwiejne krzesło, w którym podłogę można przyjąć jako podstawę, a siedzisko jako płaszczyznę przyłożenia obciążenia.

Przykładowy schemat zmian

Odkształcenie zginające to rodzaj odkształcenia, w którym zostaje zakłócona prostoliniowość głównej osi ciała. Wszystkie ciała zawieszone na jednej lub kilku podporach ulegają odkształceniom zginającym. Każdy materiał jest w stanie wytrzymać określony poziom obciążenia, w większości przypadków ciała stałe są w stanie wytrzymać nie tylko swój własny ciężar, ale także dane obciążenie. W zależności od sposobu przykładania obciążenia podczas zginania rozróżnia się zginanie czyste i ukośne.

Przykładowy schemat zginania

Wartość odkształcenia zginającego ma znaczenie przy projektowaniu brył sprężystych, takich jak most z podporami, drążek gimnastyczny, drążek poziomy, oś samochodu i inne.

Odkształcenie skrętne to rodzaj odkształcenia, podczas którego na ciało przykładany jest moment obrotowy, wywołany parą sił działających w płaszczyźnie prostopadłej do osi ciała. Skręcanie jest wytwarzane przez wały maszyn, ślimaki wiertnicze i sprężyny.

Przykładowy diagram skręcania

Odkształcenia plastyczne i sprężyste

W procesie deformacji istotna jest wielkość wiązań międzyatomowych, przyłożenie obciążenia wystarczającego do ich zerwania prowadzi do nieodwracalnych konsekwencji (nieodwracalnych lub odkształcenia plastyczne). Jeżeli obciążenie nie przekracza dopuszczalnych wartości, nadwozie może powrócić do stanu pierwotnego ( elastyczna deformacja). Najprostszym przykładem zachowania obiektów ulegających odkształceniom plastycznym i sprężystym jest spadająca z wysokości gumowa kulka i kawałek plasteliny. Gumowa kulka ma sprężystość, więc spadając ulegnie ściśnięciu, a po przemianie energii ruchu w energię cieplną i potencjalną ponownie przyjmie swój pierwotny kształt. Plastelina charakteryzuje się dużą plastycznością, dlatego gdy uderzy w powierzchnię, nieodwracalnie straci swój pierwotny kształt.

Ze względu na obecność odkształcalności wszystkie znane materiały mają zestaw przydatnych właściwości - plastyczność, kruchość, elastyczność, wytrzymałość i inne. Badanie tych właściwości jest dość ważnym zadaniem, pozwalającym wybrać lub wyprodukować niezbędny materiał. Ponadto samo występowanie odkształceń i ich wykrywanie jest często niezbędne w zadaniach inżynierii przyrządów, w tym celu wykorzystuje się specjalne czujniki zwane tensometrami lub inaczej tensometrami.

Może się okazać, że faktycznie obserwowane przez nas obrazy dokładnie odpowiadają obrazom algebry, co ułatwi analizę. Szereg podobnych sytuacji zostanie omówionych w Części III (patrz Załącznik).

Należy jednak zaznaczyć, że w większości przypadków możemy zaobserwować jedynie zniekształcone wersje idealnych obrazów, w efekcie stajemy przed zasadniczym problemem – jak powstają takie deformacje. Pełna synteza obrazu wymaga określenia mechanizmu deformacji. Jest to konieczne także na etapie analizy.

Oznaczmy poprzez odwzorowanie algebry obrazów na zbiór obrazów, które można zaobserwować. Elementy

nazwiemy je obrazami zdeformowanymi.

Zwykle liczba przekształceń jest duża i nie wiadomo z góry, która z nich zadziała. Symbol Ф oznacza zbiór wszystkich transformacji.

Jak dotąd nie powiedzieliśmy nic o naturze zniekształconych obrazów. Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy obrazy są tego samego typu, co idealne obrazy algebry obrazów.W tym przypadku będziemy mówić o deformacjach automorficznych, które odwzorowują algebrę obrazów na siebie.

W przeciwnym razie w przypadku deformacji heteromorficznych zbiór może obejmować wiele różnych typów, jak zobaczymy w tym rozdziale. Może się okazać, że ona również ma strukturę algebry obrazu, choć odmienną od niej. Należy podkreślić, że nawet w tym przypadku struktury te mogą się znacznie różnić i dlatego istnieje między nimi zasadnicza różnica. Dość często spotykamy się z przypadkiem, w którym obrazy idealne (niezdeformowane) są prywatne

przypadki deformacji. Zwykle niszczy strukturę i dlatego będzie mniej ustrukturyzowany niż

W przypadku, gdy dziedzina definicji będzie często rozszerzać się od do, a zakres wartości pozostanie równy . W tym przypadku sekwencję można wielokrotnie stosować i oczywiście uogólniać na półgrupę przekształceń.

W wielu przypadkach możliwe będzie również poszerzenie zakresu definicji przekształceń podobieństwa do. Wszystkie powyższe można połączyć w postaci warunku, który poniżej będzie spełniony w większości przypadków. W tej sekcji założymy, że tworzy grupę.

Definicja 4.1.1. Mechanizm deformacji nazywany jest regularnym jeśli

Odkształcenia automorficzne są bardzo szczególnym przypadkiem zbioru regularnego Ф. Obydwa typy przekształceń będą zdefiniowane na tym samym zbiorze. Ich role są jednak zupełnie inne. Transformacje podobieństwa zazwyczaj zmieniają obraz w sposób systematyczny, a zmiany te są intuicyjne. W przypadkach, gdy istnieje grupa, przekształcenia nie prowadzą do utraty informacji, ponieważ transformacja odwrotna przywraca oryginalny obraz. Wypaczenia natomiast potrafią zniekształcić obraz do tego stopnia, że ​​nie da się go dokładnie zrekonstruować. Odkształcenia prowadzą do utraty informacji.

Istotną rolę odgrywa interakcja przekształceń podobieństwa i deformacji, w związku z czym wprowadzimy dwie właściwości, których realizacja znacznie upraszcza analizę obrazów.

Definicja 4.1.2. Rozważmy regularny mechanizm deformacji w algebrze obrazu. Zadzwońmy do niego

Należy zaznaczyć, że są to rygorystyczne warunki i nie są spełniane zbyt często. Naturalnie odkształcenia są wyraźnie kowariantne, jeśli Φ jest półgrupą przemienną. Inny prosty przypadek ma miejsce, gdy przestrzeń wektorową tworzą zdefiniowane na niej operatory liniowe; w takich warunkach odkształcenia są homomorficzne.

Pozwolić będzie przestrzenią metryczną o odległości spełniającej następujące warunki:

Jeżeli jednak odległość wynika z tego, że jest ona pewna, założenie to nie zawsze zostanie wprowadzone.

Naturalnym jest wymaganie, aby metryka odpowiadała relacjom podobieństwa i będzie to zapewnione na dwa sposoby.

Definicja 4.1.3. Odległość zdefiniowaną regularnie nazwiemy

Na podstawie podanej odległości ustalamy

W tym przypadku łatwo sprawdzić, że odległość jest niezmienna, a odległość jest całkowicie niezmienna.

Czasami deformacja będzie opierać się na jakimś mechanizmie fizycznym, którego realizacja wiąże się z wydatkiem mocy, energii lub innej podobnej wielkości fizycznej niezbędnej do przekształcenia obrazu idealnego w postać faktycznie obserwowalną. Użyjemy bardziej neutralnego określenia i będziemy mówić o wymaganym wysiłku,

Definicja 4.1.4. Rozważmy nieujemną funkcję w regularnej przestrzeni odkształcenia, która ma następujące właściwości:

funkcja ta nazywana jest niezmienną funkcją wysiłku. Jeśli warunek i warunek są spełnione

Jeśli 3,5 jest kowariantem, wówczas warunek jest spełniony automatycznie. W rezultacie dochodzimy do następującego twierdzenia:

Twierdzenie 4.1.1. Niech funkcja wysiłku będzie całkowicie niezmienna i równa

W tym przypadku jest to odległość całkowicie niezmienna.

Komentarz. Cicho zasugerowaliśmy, że relacja uważana za równanie ze względu na zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie. Jeżeli tak nie jest, wówczas odpowiednią wartość należy zastąpić i ewentualnie przyjąć wartość dla odległości wynikowej. Okoliczność ta będzie miała wpływ na materiał dowodowy jedynie w niewielkim stopniu.

Dowód. Funkcja jest symetryczna w odniesieniu do swoich dwóch argumentów i aby udowodnić nierówność trójkąta, uważamy ją za ustaloną. Jeśli istnieją takie, że

następnie, co oznacza, że ​​otrzymujemy

Z tego wynika, w oparciu o własność definicji 4.1.4

co z kolei o tym świadczy

Wreszcie całkowitą niezmienność uzyskuje się z właściwości definicji 4.1.4, ponieważ implikuje to, tj. Oznacza to, że odległość jest całkowicie niezmienna.

Gdybyśmy pracowali z funkcją wysiłku, która ma tylko niezmienność, moglibyśmy jedynie stwierdzić, że wynikowa odległość jest niezmienna.

Wprowadźmy miarę prawdopodobieństwa P na pewnej -algebrze podzbiorów. Oznacza to, że o niektórych deformacjach będziemy mówić jako bardziej prawdopodobnych niż o innych. Będziemy także potrzebować -algebr i odpowiednio na T oraz takich, że dla dowolnego podzbioru E w i dla którego warunek i jest spełniony odpowiednio, prawdą jest

Dla pewnego zdeformowanego analogu będzie miara prawdopodobieństwa

Wprowadźmy teraz bardziej ogólną i ciekawszą wersję deformacji kowariantnych.

Definicja 4.1.5. Odkształcenia regularne o mierze prawdopodobieństwa P nazywane są kowariantnymi w prawdopodobieństwie, jeśli dla dowolnej transformacji podobieństwa transformacje mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa.

W przypadkach, gdy deformacja zawęża obraz korespondencji do losowego podzbioru E (ale nie jego wartości), kowariancję prawdopodobieństwa zinterpretujemy jako równość rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze z rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze losowym E.

Korzystając z tej definicji, dla dowolnej ustalonej możemy to zapisać

Natomiast jeśli dla dowolnego i E spełniona jest relacja (4.1.12), to odkształcenia są kowariantne z prawdopodobieństwem.

Ważną konsekwencję kowariancji prawdopodobieństwa ustala następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.1.2. Niech odkształcenia będą kowariantne pod względem prawdopodobieństwa i obrazu składającego się z klas równoważności modulo

W tym przypadku, jeśli E jest zbiorem niezmienniczym, wówczas prawdopodobieństwa warunkowe są dobrze określone: ​​nie zależy od if .

Dowód. Rozważ prawdopodobieństwo warunkowe

gdzie jest jakiś prototyp (patrz (3.1.14)). W tym przypadku

ze względu na fakt, że istnieje kowariancja prawdopodobieństwa. Z drugiej strony,

ponieważ E jest -niezmiennicze. Jest to zatem stała, więc prawdopodobieństwo warunkowe jest rzeczywiście dość określone, gdyż nie zależy od tego, który obraz jest początkowy przy rozpatrywaniu obrazu.

W przeciwnym razie nie można by o tym mówić, chyba że oczywiście wprowadzilibyśmy także miarę prawdopodobieństwa do algebry obrazów idealnych

Do rozważań w tej części należy dodać, że pożądane jest dobieranie struktur algebraicznych, topologicznych i probabilistycznych w taki sposób, aby umożliwiały naturalną wzajemną zgodność. Czytelnika zainteresowanego tym, jak można tego dokonać w ramach standardowego sformułowania algebraiczno-topologicznego, odsyłamy do monografii autora (1963).

Wybierając konkretny typ P, natrafiamy na większe trudności niż te związane z teoretycznymi

aspekty środka. Wyboru należy dokonywać każdorazowo odrębnie w taki sposób, aby wykorzystując dostępne informacje z danej dziedziny zapewnić osiągnięcie naturalnego kompromisu: model musi zapewniać dostatecznie dokładne przybliżenie badanego zjawiska, a jednocześnie czas pozwalają na możliwość rozwiązania analitycznego lub numerycznego. Niemniej jednak można sformułować kilka ogólnych zasad, które mogą być przydatne przy konstruowaniu modelu deformacji.

Najpierw powinniśmy spróbować rozłożyć , co może być dość złożoną przestrzenią, na proste czynniki.Iloczyn może być skończony, policzalny lub niepoliczalny, jak zobaczymy poniżej. Czasami taki podział jest określony bezpośrednio, jak np. w przypadku, gdy deformacje sprowadzają się do transformacji topologicznej przestrzeni odniesienia, po której następuje deformacja maski. Pewne korzyści można również uzyskać ze sposobu, w jaki algebry obrazów są konstruowane z obiektów elementarnych. Jeśli rozważamy obrazy, których konfiguracje zawierają generatory i wszystkie są możliwe do zidentyfikowania, to możemy spróbować zastosować reprezentację

licząc na to, że właściwości czynników będą całkiem wygodne. Ta metoda zadziała jednak tylko wtedy, gdy generatory zostaną jednoznacznie określone przez obraz. Zamiast tego można spróbować zastosować odpowiedni podział w odniesieniu do konfiguracji kanonicznych, których generatory są zdefiniowane w rozważanej algebrze obrazu.

Po podzieleniu na dość proste czynniki należy podjąć decyzję, jaką miarę prawdopodobieństwa należy wprowadzić.W tym przypadku istotny jest wybór metody faktoryzacji odkształceń, w której poszczególne czynniki okazują się od siebie niezależne. Niemożliwe jest całkowite określenie P bez informacji empirycznych, a aby uzyskać szacunki z zadowalającą dokładnością, model aksjomatyczny musi być odpowiednio ustrukturyzowany. Jest to krytyczny punkt przy określaniu P i wymaga zrozumienia mechanizmu deformacji, który zapobiegnie błędnym przedstawieniem go w późniejszych analizach. Jeżeli rzeczywiście udało nam się przeprowadzić podział w taki sposób, że czynniki są niezależne w sensie probabilistycznym, pozostaje rozwiązać problem

definicje rozkładów bezwarunkowych na nich. Jako przykład rozważmy idealne generatory generowane przez mechanizm typu, w którym można uznać za operator różnicy, a zdeformowane generatory są zdefiniowane przez wyrażenie. Pierwszą rzeczą, którą należy spróbować, jest założenie niezależności wartości różne argumenty). Jeżeli nie można tego przyjąć za adekwatne przybliżenie, warto byłoby spróbować wyeliminować zależność pracując nie z częścią jej transformacji (np. liniową), ale z nią. Innymi słowy, można tak dobrać model, aby odkształcenia przybrały prostą postać probabilistyczną. Jako kolejny przykład należy zauważyć, że pracując z obrazami korespondencyjnymi (patrz podrozdział 3.5) i dyskretną przestrzenią odniesienia X, można spróbować modelować P w oparciu o założenie, że różne punkty X niezależnie odwzorowują się na przestrzeń odniesienia i że odpowiadające im rozkłady są różne .

Aby zawęzić wybór rozkładów bezwarunkowych, rozważamy rolę przekształceń podobieństwa. Jeśli, jak powyżej, zostanie on wybrany pomyślnie, to możemy spodziewać się, że P będzie miał odpowiednią niezmienność. Jeśli więc istnieją podobne obrazy idealne, to przede wszystkim należy sprawdzić, czy mają one ten sam rozkład prawdopodobieństwa. Możemy także zastosować inne podejście: wypróbować model postulujący równość rozkładów prawdopodobieństwa; ta ścieżka prowadzi nas do kowariancji prawdopodobieństwa.

Za pomocą tych metod możemy wyznaczyć postać analityczną P i uzyskać empirycznie oszacowania parametrów swobodnych.

Mechanizmy deformacji będą klasyfikowane na podstawie dwóch kryteriów: poziomu i rodzaju.

Przez poziom mechanizmu deformacji będziemy rozumieć ten etap syntezy obrazów obrazowych, na którym wyznacza się najwyższy poziom, poziom obrazów odpowiadający przypadkowi, gdy