ความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม x จะได้รับ ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

………………………………………………………

Аn - ตัวแปรสุ่ม X ได้รับค่า An

จะเห็นได้ว่าผลรวมของเหตุการณ์ A1 A2, . , An เป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เนื่องจากตัวแปรสุ่มต้องใช้ค่า x1, x2, xn อย่างน้อยหนึ่งค่า

ดังนั้น P (A1 È A2 È . È An) = 1

นอกจากนี้ เหตุการณ์ A1, A2, ., An นั้นไม่สอดคล้องกัน เนื่องจากตัวแปรสุ่มในระหว่างการทดลองเดียวสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น x1, x2, ., xn เราได้รับโดยใช้ทฤษฎีบทการบวกสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

P(A1)+P(A2)+ .+P(อัน)=1,

นั่นคือ p1+p2+ +pn = 1 หรือเรียกสั้นๆ ว่า

ดังนั้น ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในแถวที่สองของตารางที่ 1 ซึ่งให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X จะต้องเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1- ให้ตัวแปรสุ่ม X เป็นจำนวนแต้มที่ได้รับเมื่อทอยลูกเต๋า ค้นหากฎการกระจาย (ในรูปแบบตาราง)

ตัวแปรสุ่ม X รับค่า

x1=1, x2=2, … , x6=6

ด้วยความน่าจะเป็น

р1= р2 = … = р6 =

กฎหมายการกระจายได้รับจากตาราง:

ตารางที่ 2

ตัวอย่างที่ 2การแจกแจงแบบทวินาม ลองพิจารณาตัวแปรสุ่ม X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในชุดการทดลองอิสระ โดยที่ A แต่ละรายการเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p

ตัวแปรสุ่ม X สามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้ได้อย่างชัดเจน:

0, 1, 2, ., เค, ., น.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับค่าเท่ากับ k ถูกกำหนดโดยสูตรเบอร์นูลลี:

Рn(k)= โดยที่ q=1- р.

การแจกแจงของตัวแปรสุ่มนี้เรียกว่าการแจกแจงแบบทวินามหรือการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี การแจกแจงแบบแบร์นูลลีระบุอย่างสมบูรณ์ด้วยพารามิเตอร์สองตัว ได้แก่ จำนวน n ของการทดลองทั้งหมด และความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้ง

เงื่อนไขสำหรับการแจกแจงทวินามอยู่ในรูปแบบ:

เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ก็เพียงพอแล้วในอัตลักษณ์

(q+px)n=

ใส่ x=1

ตัวอย่างที่ 3การกระจายปัวซอง นี่คือชื่อของการแจกแจงความน่าจะเป็นของแบบฟอร์ม:

พี(เค)= .

ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียว (บวก) a ถ้า ξ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซอง ดังนั้น พารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง a จะเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มนี้:

a=Mξ= โดยที่ M คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวแปรสุ่มคือ:

ตัวอย่างที่ 4การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

หากเวลาเป็นตัวแปรสุ่ม ขอให้เราเขียนแทนด้วย τ เช่นนั้น

โดยที่ 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม t คือ:

ความหนาแน่นของการกระจายมีรูปแบบ:

4) การแจกแจงแบบปกติ

อนุญาต เป็นอิสระตัวแปรสุ่มกระจายเหมือนกันและอนุญาต หากเงื่อนไขมีขนาดเล็กเพียงพอและจำนวน n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ถ้าสำหรับ n à ∞ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Mξ และความแปรปรวน Dξ เท่ากับ Dξ=M(ξ–Mξ)2 จะทำให้ Mξ~a, Dξ ~σ2 แล้ว

- การแจกแจงแบบปกติหรือแบบเกาส์เซียน

.

5) การกระจายทางเรขาคณิต ให้เราแสดงด้วย ξ จำนวนการทดลองก่อนเริ่ม "ความสำเร็จ" ครั้งแรก หากเราถือว่าการทดสอบแต่ละครั้งกินเวลาหนึ่งหน่วยเวลา เราก็สามารถถือว่า ξ เป็นเวลารอจนกระทั่ง "ความสำเร็จ" ครั้งแรก การกระจายดูเหมือนว่า:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

มีวัตถุ N รายการ โดยที่ n เป็น "วัตถุพิเศษ" ในบรรดาออบเจ็กต์ทั้งหมด k-object จะถูกสุ่มเลือก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในบรรดาวัตถุที่เลือกนั้นมีค่าเท่ากับ r - "วัตถุพิเศษ" การกระจายดูเหมือนว่า:

7) การแจกแจงปาสคาล

ให้ x เป็นจำนวนรวมของ “ความล้มเหลว” ก่อนการมาถึงของ “ความสำเร็จ” ครั้งที่ r การกระจายดูเหมือนว่า:

ฟังก์ชันการกระจายมีรูปแบบ:

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันหมายความว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่าใดๆ ในช่วงเวลาที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน ความหนาแน่นของการกระจายคำนวณดังนี้

กราฟความหนาแน่นของการแจกแจงและฟังก์ชันการแจกแจงแสดงไว้ด้านล่าง

ก่อนที่จะอธิบายแนวคิดของ "เสียงสีขาว" จำเป็นต้องให้คำจำกัดความหลายประการก่อน

ฟังก์ชันสุ่มคือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่สุ่ม t ซึ่งสำหรับค่าคงที่แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ จะเป็นตัวแปรสุ่ม ตัวอย่างเช่น ถ้า U เป็นตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชัน X(t)=t2U จะเป็นแบบสุ่ม

ภาพตัดขวางของฟังก์ชันสุ่มคือตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกับค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสุ่ม ดังนั้น ฟังก์ชันสุ่มจึงถือได้ว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่ม (X(t)) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ t

ตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรที่สามารถรับค่าบางค่าได้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ และ ตัวแปรสุ่มเรียกว่าต่อเนื่อง หากสามารถรับค่าใดๆ จากช่วงเวลาที่จำกัดหรือไม่จำกัดใดๆ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นเราจึงกำหนดช่วงเวลาของค่าเหล่านี้ที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นบางอย่าง

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ได้แก่ เส้นผ่านศูนย์กลางของชิ้นส่วนที่ถูกบดตามขนาดที่กำหนด ความสูงของบุคคล ระยะการบินของกระสุนปืน เป็นต้น

เนื่องจากสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องฟังก์ชัน เอฟ(x) ไม่เหมือน ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องไม่มีการกระโดดไปไหนเลย ดังนั้นความน่าจะเป็นที่แต่ละค่าใดๆ ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่าสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นระหว่างค่าของมัน: แต่ละค่ามีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในแง่หนึ่ง ในบรรดาค่าของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นยังมี "ความเป็นไปได้มากขึ้นเรื่อยๆ" ตัวอย่างเช่น แทบไม่มีใครสงสัยว่าค่าของตัวแปรสุ่ม - ความสูงของบุคคลที่พบแบบสุ่ม - 170 ซม. - มีแนวโน้มมากกว่า 220 ซม. แม้ว่าค่าทั้งสองสามารถเกิดขึ้นได้ในทางปฏิบัติก็ตาม

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

เนื่องจากกฎการแจกแจงที่เหมาะสมกับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเท่านั้น จึงนำแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมาใช้ ลองเข้าใกล้มันโดยการเปรียบเทียบความหมายของฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องและของตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน

ดังนั้นฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม (ทั้งแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง) หรือ ฟังก์ชั่นอินทิกรัลเรียกว่าฟังก์ชันที่กำหนดความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์น้อยกว่าหรือเท่ากับค่าขีดจำกัด เอ็กซ์.

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่จุดค่าของมัน x1 , x 2 , ..., xฉัน,...ความน่าจะเป็นจำนวนมากมีความเข้มข้น พี1 , พี 2 , ..., พีฉัน,...และผลรวมของมวลทั้งหมดเท่ากับ 1 ขอให้เราโอนการตีความนี้ไปยังกรณีของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ลองจินตนาการว่ามวลเท่ากับ 1 ไม่ได้กระจุกตัวอยู่ในแต่ละจุด แต่ถูก "เปื้อน" อย่างต่อเนื่องตามแนวแกนแอบซิสซา โอ้มีความหนาแน่นไม่เท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะตกไปในพื้นที่ใดๆ Δ xจะถูกตีความว่าเป็นมวลต่อส่วน และความหนาแน่นเฉลี่ยที่ส่วนนั้นจะเป็นอัตราส่วนของมวลต่อความยาว เราเพิ่งแนะนำแนวคิดสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น: ความหนาแน่นของการแจกแจง

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจง:

.

เมื่อทราบฟังก์ชันความหนาแน่น คุณจะพบความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเป็นของช่วงปิด [ ก; ข]:

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์จะใช้ค่าใดๆ จากช่วงเวลา [ ก; ข] เท่ากับอินทิกรัลหนึ่งของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งมีตั้งแต่ กก่อน ข:

.

ในกรณีนี้คือสูตรทั่วไปของฟังก์ชัน เอฟ(x) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ซึ่งสามารถใช้ได้หากทราบฟังก์ชันความหนาแน่น ฉ(x) :

.

กราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าเส้นโค้งการกระจาย (รูปด้านล่าง)

พื้นที่ของรูป (แรเงาในรูป) ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง เส้นตรงที่ลากจากจุด กและ ขตั้งฉากกับแกน x และแกน โอ้แสดงความน่าจะเป็นแบบกราฟิกที่ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์อยู่ในช่วงของ กก่อน ข.

คุณสมบัติของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

1. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะดึงค่าใดๆ จากช่วงเวลา (และพื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) และแกน โอ้) เท่ากับหนึ่ง:

2. ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นไม่สามารถรับค่าลบได้:

และภายนอกการมีอยู่ของการแจกแจง ค่าของมันคือศูนย์

ความหนาแน่นของการกระจาย ฉ(x) เช่นเดียวกับฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x) เป็นหนึ่งในรูปแบบของกฎการแจกแจง แต่ไม่เหมือนกับฟังก์ชันการแจกแจงตรงที่ไม่เป็นสากล เนื่องจากความหนาแน่นของการแจกแจงนั้นมีอยู่เฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเท่านั้น

ให้เราพูดถึงการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่สำคัญที่สุดสองประเภทในทางปฏิบัติ

ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นของการกระจาย ฉ(x) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องในช่วงเวลาจำกัด [ ก; ข] รับค่าคงที่ คและนอกช่วงเวลาจะใช้ค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นจะเป็นเช่นนี้ การกระจายตัวเรียกว่าเครื่องแบบ .

หากกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงมีความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลาง ค่าเฉลี่ยจะกระจุกตัวอยู่ใกล้ศูนย์กลาง และเคลื่อนออกจากศูนย์กลางซึ่งรวบรวมค่าที่แตกต่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่า (กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะคล้ายกับส่วนของ ระฆัง) จากนั้นสิ่งนี้ การกระจายตัวเรียกว่าปกติ .

ตัวอย่างที่ 1ทราบฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง:

ค้นหาฟังก์ชั่น ฉ(x) ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สร้างกราฟของทั้งสองฟังก์ชัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะรับค่าใดๆ ในช่วงเวลาตั้งแต่ 4 ถึง 8:

สารละลาย. เราได้รับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นโดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น:

กราฟของฟังก์ชัน เอฟ(x) - พาราโบลา:

กราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) - ตรง:

ลองหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะรับค่าใดๆ ในช่วงตั้งแต่ 4 ถึง 8:

ตัวอย่างที่ 2ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องจะได้รับเป็น:

คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ ค- ค้นหาฟังก์ชั่น เอฟ(x) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สร้างกราฟของทั้งสองฟังก์ชัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะรับค่าใดๆ ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 5:

สารละลาย. ค่าสัมประสิทธิ์ คเราพบโดยใช้คุณสมบัติ 1 ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น:

ดังนั้น ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือ:

เมื่ออินทิเกรตเราจะพบฟังก์ชัน เอฟ(x) การแจกแจงความน่าจะเป็น ถ้า x < 0 , то เอฟ(x) = 0 ถ้า 0< x < 10 , то

.

x> 10 แล้ว เอฟ(x) = 1 .

ดังนั้น บันทึกที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นคือ:

กราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) :

กราฟของฟังก์ชัน เอฟ(x) :

มาหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจะรับค่าใดๆ ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 5:

ตัวอย่างที่ 3ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์ได้รับจากความเท่าเทียมกัน และ ค้นหาสัมประสิทธิ์ กความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์จะใช้ค่าใดๆ จากช่วง ]0, 5[ ซึ่งเป็นฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์.

สารละลาย. โดยเงื่อนไขเรามาถึงความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น จากที่ไหน . ดังนั้น,

.

ตอนนี้เราพบความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์จะใช้ค่าใดๆ จากช่วงเวลา ]0, 5[:

ตอนนี้เราได้รับฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มนี้:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์ซึ่งรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบและฟังก์ชันการแจกแจง .

แบบฝึกหัดที่ 1- ความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X มีรูปแบบดังนี้
หา:
ก) พารามิเตอร์ A;
b) ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ;
c) ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะตกอยู่ในช่วง
d) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ MX และความแปรปรวน DX
วาดกราฟของฟังก์ชัน f(x) และ F(x)

ภารกิจที่ 2- ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดโดยฟังก์ชันอินทิกรัล

ภารกิจที่ 3- ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X จากฟังก์ชันการแจกแจง

ภารกิจที่ 4- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มบางตัวจะได้รับดังนี้: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
ค้นหาสัมประสิทธิ์ A ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะได้รับค่าในช่วงเวลานั้น วาดกราฟ f(x) และ F(x)

งาน- ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องบางตัวได้รับดังนี้:

กำหนดพารามิเตอร์ a และ b ค้นหานิพจน์สำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะได้รับค่าในช่วงเวลานั้น วาดกราฟของ f(x) และ F(x)

ลองหาฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจายกัน
F′=ฉ(x)=ก
เมื่อรู้ว่าเราจะพบพารามิเตอร์ a:

หรือ 3a=1 โดยที่ a = 1/3
เราพบพารามิเตอร์ b จากคุณสมบัติต่อไปนี้:
F(4) = ก*4 + ข = 1
1/3*4 + b = 1 โดยที่ b = -1/3
ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายจึงมีรูปแบบ: F(x) = (x-1)/3

มูลค่าที่คาดหวัง.


การกระจายตัว.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
ลองหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าในช่วงเวลานั้น
ป(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

ตัวอย่างหมายเลข 1 ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะได้รับ ที่จำเป็น:

1. กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ A
2. ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) .
3. สร้างกราฟของ F(x) และ f(x) ตามแผนผัง
4. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของ X
5. ค้นหาความน่าจะเป็นที่ X จะได้รับค่าจากช่วงเวลา (2;3)

f(x) = A*ตาราง(x), 1 ≤ x ≤ 4
สารละลาย:

ตัวแปรสุ่ม X ถูกระบุโดยความหนาแน่นของการแจกแจง f(x):

มาหาพารามิเตอร์ A จากเงื่อนไข:



หรือ
14/3*A-1 = 0
ที่ไหน,
ก = 3/14

ฟังก์ชันการกระจายสามารถพบได้โดยใช้สูตร

ตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างที่ 2.1ค่าสุ่ม เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย

ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการทดสอบ เอ็กซ์จะนำค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (2.5; 3.6)

สารละลาย: เอ็กซ์ในช่วงเวลา (2.5; 3.6) สามารถกำหนดได้สองวิธี:

ตัวอย่างที่ 2.2ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กและ ในการทำงาน เอฟ(x) = ก + เป็น - xอาจเป็นฟังก์ชันการแจกแจงสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์.

สารละลาย:เนื่องจากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์อยู่ในช่วง ดังนั้นเพื่อให้ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันการแจกแจง เอ็กซ์ทรัพย์สินจะต้องเป็นไปตาม:

.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2.3ตัวแปรสุ่ม X ถูกระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ค่านี้เป็นผลจากการทดสอบอิสระสี่ครั้ง เอ็กซ์ 3 ครั้งพอดีจะได้ค่าที่อยู่ในช่วงเวลา (0.25;0.75)

สารละลาย:ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่า เอ็กซ์ในช่วงเวลา (0.25;0.75) เราพบโดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 2.4ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะโดนตะกร้าด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.3 ร่างกฎการกระจายสำหรับจำนวนการตีด้วยการขว้างสามครั้ง

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนการตีในตะกร้าด้วยการยิงสามนัด – สามารถรับค่าต่อไปนี้: 0, 1, 2, 3 ความน่าจะเป็นที่ เอ็กซ์

เอ็กซ์:

ตัวอย่างที่ 2.5นักกีฬาสองคนแต่ละคนยิงหนึ่งนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกจะยิงคือ 0.5 คนที่สอง - 0.4 ร่างกฎการกระจายสำหรับจำนวนการเข้าชมเป้าหมาย

สารละลาย:มาดูกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน เอ็กซ์– จำนวนครั้งที่โจมตีเป้าหมาย ให้เหตุการณ์เป็นผู้ยิงคนแรกที่เข้าเป้า และให้ผู้ยิงคนที่สองเข้าเป้าและเป็นฝ่ายพลาดตามลำดับ

มาเขียนกฎการกระจายความน่าจะเป็นของ SV กัน เอ็กซ์:

ตัวอย่างที่ 2.6องค์ประกอบทั้งสามได้รับการทดสอบ โดยทำงานแยกจากกัน ระยะเวลา (เป็นชั่วโมง) ของการดำเนินการโดยปราศจากความล้มเหลวขององค์ประกอบมีฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่น: สำหรับครั้งแรก: เอฟ 1 (ที) =1-อี- 0,1 ทีประการที่สอง: เอฟ 2 (ที) = 1-อี- 0,2 ทีสำหรับครั้งที่สาม: เอฟ 3 (ที) =1-อี- 0,3 ที- ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 5 ชั่วโมง: มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่จะล้มเหลว มีเพียงสององค์ประกอบเท่านั้นที่จะล้มเหลว องค์ประกอบทั้งสามจะล้มเหลว

สารละลาย:ลองใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น:

ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระ ในครั้งแรกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กเท่ากับ ในเหตุการณ์ที่สอง ฯลฯ กปรากฏเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ซึ่งเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ในการขยายฟังก์ชันการสร้างกำลังของ ให้เราค้นหาความน่าจะเป็นของความล้มเหลวและไม่ล้มเหลวตามลำดับขององค์ประกอบที่หนึ่ง สอง และสามในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 5 ชั่วโมง:

มาสร้างฟังก์ชั่นการสร้างกันเถอะ:

ค่าสัมประสิทธิ์ที่เท่ากับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กจะปรากฏสามครั้ง นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวของทั้งสามองค์ประกอบ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ เท่ากับความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบทั้งสองจะล้มเหลว ค่าสัมประสิทธิ์ที่เท่ากับความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบเดียวจะล้มเหลว

ตัวอย่างที่ 2.7เมื่อพิจารณาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x)ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์:

ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

สารละลาย:เราใช้สูตร:

.

ดังนั้นฟังก์ชันการแจกแจงจึงมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 2.8อุปกรณ์ประกอบด้วยสามองค์ประกอบการทำงานที่แยกจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.1 ร่างกฎการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่งครั้ง

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดสอบหนึ่งครั้ง – สามารถรับค่าต่อไปนี้: 0, 1, 2, 3 ความน่าจะเป็นที่ เอ็กซ์ใช้ค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

ดังนั้นเราจึงได้กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มดังต่อไปนี้ เอ็กซ์:

ตัวอย่างที่ 2.9ในชุด 6 ส่วนมี 4 ส่วนมาตรฐาน 3 ส่วนถูกเลือกโดยการสุ่ม จัดทำกฎหมายการจัดจำหน่ายสำหรับจำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานจากชิ้นส่วนที่เลือก

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานจากชิ้นส่วนที่เลือก – สามารถรับค่าต่อไปนี้: 1, 2, 3 และมีการกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์

ที่ไหน -- จำนวนชิ้นส่วนในชุด;

-- จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานในชุด

– จำนวนชิ้นส่วนที่เลือก

-- จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานจากที่เลือก

.

.

.

ตัวอย่าง 2.10.ตัวแปรสุ่มมีความหนาแน่นของการแจกแจง

และไม่มีใครรู้จัก แต่ , และ ค้นหาและ

สารละลาย:ในกรณีนี้คือตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีการแจกแจงแบบสามเหลี่ยม (Simpson distribution) ในช่วงเวลา [ ก, ข- ลักษณะเชิงตัวเลข เอ็กซ์:

เพราะฉะนั้น, - การแก้ปัญหาระบบนี้ เราได้รับค่าสองคู่: เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา ในที่สุดเราก็มี: .

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.11.โดยเฉลี่ยน้อยกว่า 10% ของสัญญา บริษัทประกันภัยจะจ่ายเงินประกันที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยเกิดขึ้น คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายของจำนวนสัญญาดังกล่าวระหว่างสัญญาที่เลือกแบบสุ่มสี่สัญญา

สารละลาย:ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

.

ค่าที่เป็นไปได้ของ SV (จำนวนสัญญา (จากสี่) กับเหตุการณ์ที่เอาประกันภัย): 0, 1, 2, 3, 4

เราใช้สูตรของเบอร์นูลลีเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของจำนวนสัญญาที่แตกต่างกัน (จากสี่สัญญา) ที่มีการจ่ายจำนวนเงินประกัน:

.

ชุดการจำหน่าย IC (จำนวนสัญญาที่เกิดเหตุการณ์ที่เอาประกันภัย) มีรูปแบบ:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

คำตอบ: , .

ตัวอย่าง 2.12.ดอกกุหลาบทั้งห้าดอก มีสีขาวสองดอก จงเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนดอกกุหลาบขาวในดอกกุหลาบสองดอกที่ถ่ายพร้อมกัน

สารละลาย:ในการเลือกดอกกุหลาบสองดอก อาจไม่มีกุหลาบขาว หรืออาจมีกุหลาบขาวหนึ่งหรือสองดอกก็ได้ ดังนั้นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถรับค่าได้: 0, 1, 2 ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

ที่ไหน -- จำนวนดอกกุหลาบ

-- จำนวนดอกกุหลาบขาว

– จำนวนดอกกุหลาบที่ถ่ายพร้อมกัน

-- จำนวนกุหลาบขาวที่ได้มา

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่าง 2.13.ในบรรดายูนิตที่ประกอบทั้งหมด 15 ชิ้น มี 6 ชิ้นที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติม จัดทำกฎการกระจายสำหรับจำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมโดยสุ่มเลือกห้ารายการจากจำนวนทั้งหมด

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมจากห้าตัวเลือกที่เลือก – สามารถรับค่าต่อไปนี้: 0, 1, 2, 3, 4, 5 และมีการกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

ที่ไหน -- จำนวนหน่วยที่ประกอบ

-- จำนวนยูนิตที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติม

– จำนวนหน่วยที่เลือก

-- จำนวนยูนิตที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมในจำนวนที่เลือก

.

.

.

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่างที่ 2.14จากนาฬิกา 10 เรือนที่ได้รับการซ่อมแซม มี 7 เรือนที่ต้องทำความสะอาดกลไกทั่วไป นาฬิกาไม่ได้แยกตามประเภทการซ่อม นายท่านต้องการหานาฬิกาที่ต้องทำความสะอาดก็ตรวจดูทีละเรือนแล้วเมื่อพบนาฬิกาดังกล่าวแล้วจึงหยุดดูต่อไป ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนชั่วโมงที่ดู

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมจากห้าตัวเลือกที่เลือก – สามารถใช้ค่าต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นที่ เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

.

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตอนนี้เรามาคำนวณลักษณะตัวเลขของปริมาณกัน:

คำตอบ: , .

ตัวอย่าง 2.15.สมาชิกลืมหมายเลขโทรศัพท์หลักสุดท้ายที่ต้องการ แต่จำได้ว่าเป็นเลขคี่ ค้นหาค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งที่เขาหมุนหมายเลขโทรศัพท์ก่อนที่จะถึงหมายเลขที่ต้องการ หากเขาสุ่มเลขหลักสุดท้ายและไม่กดเลขหลักที่โทรออกในภายหลัง

สารละลาย:ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าต่อไปนี้: เนื่องจากผู้สมัครสมาชิกไม่ได้หมุนหมายเลขที่โทรออกในอนาคต ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้จึงเท่ากัน

มารวบรวมชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่มกันดีกว่า:

	0,2

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนครั้งที่พยายามโทรออก:

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 2.16ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวในระหว่างการทดสอบความน่าเชื่อถือของอุปกรณ์แต่ละเครื่องในซีรีส์นี้เท่ากับ พี- กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลวหากได้รับการทดสอบ เอ็นอุปกรณ์

สารละลาย:ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X คือจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลว เอ็นการทดสอบอิสระซึ่งในแต่ละการทดสอบมีความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเท่ากัน พีกระจายตามกฎทวินาม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงทวินามจะเท่ากับจำนวนการทดลองคูณด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:

ตัวอย่างที่ 2.17ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์รับค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่า: ด้วยความน่าจะเป็น ; ด้วยความน่าจะเป็นและด้วยความน่าจะเป็น ค้นหา และ เมื่อรู้ว่า M( เอ็กซ์) = 8.

สารละลาย:เราใช้คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

เราพบ: .

ตัวอย่างที่ 2.18ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิคตรวจสอบผลิตภัณฑ์ให้ได้มาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่สินค้าได้มาตรฐานคือ 0.9 แต่ละชุดประกอบด้วย 5 ผลิตภัณฑ์ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนชุดงาน ซึ่งแต่ละชุดประกอบด้วยผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการพอดี หากมี 50 ชุดที่ต้องได้รับการตรวจสอบ

สารละลาย:ในกรณีนี้ การทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการมีความเป็นอิสระ และความน่าจะเป็นที่แต่ละชุดประกอบด้วยผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการเท่ากัน ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร:

,

จำนวนฝ่ายอยู่ที่ไหน

ความน่าจะเป็นที่ชุดผลิตภัณฑ์จะมีผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการพอดี

เราค้นหาความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.19.ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ กในการทดลองอิสระสองครั้ง หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากันและเป็นที่รู้กันว่า ม(เอ็กซ์) = 0,9.

สารละลาย:ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี

1) ค่าที่เป็นไปได้ของ SV เอ็กซ์: 0, 1, 2 โดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี เราพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

, , .

แล้วกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า เอ็กซ์มีรูปแบบ:

จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราพิจารณาความน่าจะเป็น:

ลองหาการกระจายตัวของ SV กัน เอ็กซ์:

.

2) คุณสามารถใช้สูตร:

.

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.20.ความคาดหวังและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติ เอ็กซ์ตามลำดับเท่ากับ 20 และ 5 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการทดสอบ เอ็กซ์จะนำค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (15; 25)

สารละลาย:ความน่าจะเป็นที่จะชนตัวแปรสุ่มปกติ เอ็กซ์ในส่วน from ถึง แสดงผ่านฟังก์ชัน Laplace:

ตัวอย่าง 2.21.ฟังก์ชันที่กำหนด:

ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด คฟังก์ชันนี้คือความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องบางตัว เอ็กซ์- ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์.

สารละลาย:เพื่อให้ฟังก์ชันเป็นความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มบางตัว ฟังก์ชันนั้นจะต้องไม่เป็นลบ และจะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติ:

.

เพราะฉะนั้น:

ลองคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตร:

.

ลองคำนวณความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ทีมีค่าเท่ากัน พี- จำเป็นต้องค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้

สารละลาย:กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ ซึ่งในแต่ละกรณีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ เรียกว่าทวินาม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบทวินามจะเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:

.

ตัวอย่าง 2.25.มีการยิงปืนอิสระสามนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะยิงแต่ละนัดคือ 0.25 กำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนการเข้าชมด้วยการยิงสามนัด

สารละลาย:เนื่องจากมีการดำเนินการทดลองอิสระสามครั้ง และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A (การโจมตี) ในการทดลองแต่ละครั้งจะเท่ากัน เราจะถือว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนการโจมตีบนเป้าหมาย - มีการกระจายตาม กฎหมายทวินาม

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง:

ตัวอย่างที่ 2.26จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่มาเยี่ยมชมบริษัทประกันภัยใน 10 นาทีคือ 3 นาที ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าอย่างน้อยหนึ่งรายจะมาถึงใน 5 นาทีข้างหน้า

จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่มาถึงใน 5 นาที: . .

ตัวอย่าง 2.29.เวลาที่รอสำหรับแอปพลิเคชันในคิวตัวประมวลผลเป็นไปตามกฎการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลซึ่งมีค่าเฉลี่ย 20 วินาที ค้นหาความน่าจะเป็นที่คำขอถัดไป (สุ่ม) จะรอบนโปรเซสเซอร์นานกว่า 35 วินาที

สารละลาย:ในตัวอย่างนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และอัตราความล้มเหลวเท่ากับ

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:

ตัวอย่าง 2.30.กลุ่มนักเรียน 15 คนจัดการประชุมในห้องโถง 20 แถวๆ ละ 10 ที่นั่ง นักเรียนแต่ละคนจะเข้ามาอยู่ในห้องโถงแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะมีคนไม่เกิน 3 คนอยู่ในอันดับที่ 7 ของแถวเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

ตัวอย่าง 2.31.

จากนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

ที่ไหน -- จำนวนชิ้นส่วนในชุด;

-- จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในชุด

– จำนวนชิ้นส่วนที่เลือก

-- จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในบรรดาชิ้นส่วนที่เลือก

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่า:

ในกรณีของชุดค่าอนันต์ จะมีชุดข้อมูลอยู่ทางด้านขวาของ (4.4) และเราจะพิจารณาเฉพาะค่าของ X ที่ชุดข้อมูลนี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

เอ็ม(เอ็กซ์)หมายถึงค่าคาดหวังเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) M(C)=C โดยที่ C=const

2) ม (CX)=ซม.(X) (4.5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y) สำหรับ X และ Y ใดๆ

4) M (XY)=M (X)M(Y) ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน

เพื่อประมาณระดับการกระเจิงของค่าของตัวแปรสุ่มรอบค่าเฉลี่ย ม(เอ็กซ์)= ก มีการแนะนำแนวคิด ความแตกต่างง(เอ็กซ์)และค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ย (มาตรฐาน) ความแปรปรวนเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลต่างกำลังสอง (X-)เหล่านั้น. -

D(X)=M(X- ) 2 = ผม ,

ที่ไหน =ม(X);ถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวน กล่าวคือ .

ในการคำนวณความแปรปรวนให้ใช้สูตร:

(4.6)

คุณสมบัติของการกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

1) D(C)=0 โดยที่ C=const

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) ง(X+Y) =ง(X)+ง(Y),

ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน

มิติของปริมาณและเกิดขึ้นพร้อมกับมิติของตัวแปรสุ่ม X เอง และมิติของ D(X) เท่ากับกำลังสองของมิติของตัวแปรสุ่ม X

4.3. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวแปรสุ่ม

ให้ตัวแปรสุ่ม X รับค่าด้วยความน่าจะเป็น และตัวแปรสุ่ม Y รับค่าด้วยความน่าจะเป็น ผลคูณ KX ของตัวแปรสุ่ม X และค่าคงที่ K เป็นตัวแปรสุ่มตัวใหม่ที่มีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับค่าสุ่ม ตัวแปร X รับค่าเท่ากับผลคูณด้วยค่า K ของตัวแปรสุ่ม X ดังนั้นกฎการกระจายจึงมีรูปแบบตารางที่ 4.2:

ตารางที่ 4.2

			...
			...

สี่เหลี่ยมตัวแปรสุ่ม X เช่น , เป็นตัวแปรสุ่มตัวใหม่ที่มีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับตัวแปรสุ่ม X ที่จะรับค่าเท่ากับกำลังสองของค่าของมัน

ผลรวมตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มตัวใหม่ที่จะรับค่าทั้งหมดของรูปแบบที่มีความน่าจะเป็นแสดงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับค่า และ Y คือค่านั่นคือ

(4.8)

หากตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น:

ความแตกต่างและผลคูณของตัวแปรสุ่ม X และ Y ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ความแตกต่างตัวแปรสุ่ม X และ Y - นี่คือตัวแปรสุ่มใหม่ที่ใช้ค่าทั้งหมดของแบบฟอร์ม และ งาน- ค่าทั้งหมดของแบบฟอร์มที่มีความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยสูตร (4.8) และหากตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกันก็จะเป็นไปตามสูตร (4.9)

4.4. การแจกแจงแบบแบร์นูลลีและปัวซง.

พิจารณาลำดับของการทดลองซ้ำที่เหมือนกัน n ครั้งซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. การทดสอบแต่ละครั้งมีสองผลลัพธ์ เรียกว่าสำเร็จและล้มเหลว

ผลลัพธ์ทั้งสองนี้เข้ากันไม่ได้และเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม

2. ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ ซึ่งแสดงด้วย p จะคงที่ตั้งแต่การทดลองครั้งหนึ่งถึงการทดลองครั้งใดครั้งหนึ่ง ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวแสดงด้วย q

3. การทดสอบทั้งหมดมีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองซ้ำ n ครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ

ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองซ้ำโดยอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ เหตุการณ์จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน m ครั้ง (ในลำดับใดๆ ก็ตาม) เท่ากับ

(4.10)

นิพจน์ (4.10) เรียกว่า สูตรของแบร์นูลลี

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น:

ก) น้อยกว่า m ครั้ง

b) มากกว่า m ครั้ง

c) อย่างน้อย m ครั้ง

d) ไม่เกิน m ครั้ง - พบได้ตามสูตร:

ทวินามคือกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ในการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละรายการความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ p ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ X = 0,1,2,..., m,...,n คำนวณโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี (ตารางที่ 4.3)

ตารางที่ 4.3

จำนวนความสำเร็จ X=m				...	ม	...	n
ความน่าจะเป็น ป				...		...

เนื่องจากทางด้านขวาของสูตร (4.10) แทนคำศัพท์ทั่วไปของการขยายตัวแบบทวินาม กฎการกระจายนี้จึงเรียกว่า ทวินาม- สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่แจกแจงตามกฎทวินาม เรามี