ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เฟลิกซ์ เคอร์ซานอฟ

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซิงห์ ไซมอน

"ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วหรือยัง"

นี่เป็นเพียงก้าวแรกในการพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ แต่กลยุทธ์ของไวล์สเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สมควรได้รับการเผยแพร่ แต่เนื่องจากไวล์สให้คำมั่นว่าจะเงียบงันด้วยตนเอง เขาจึงไม่สามารถบอกคนทั้งโลกเกี่ยวกับผลลัพธ์ของเขาได้ และไม่รู้ว่าใครจะสามารถสร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญที่เท่าเทียมกันได้

ไวล์สเล่าถึงทัศนคติเชิงปรัชญาของเขาที่มีต่อผู้ท้าชิง: “ไม่มีใครอยากใช้เวลาหลายปีในการพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างและค้นพบว่ามีคนอื่นสามารถค้นหาข้อพิสูจน์ได้เมื่อสองสามสัปดาห์ก่อน แต่น่าแปลกที่ฉันพยายามแก้ไขปัญหาที่ถือว่าไม่สามารถแก้ไขได้ ฉันจึงไม่กลัวคู่แข่งมากนัก ฉันแค่ไม่คาดคิดว่าฉันหรือใครก็ตามจะมีความคิดที่จะนำไปสู่การพิสูจน์”

เมื่อวันที่ 8 มีนาคม พ.ศ. 2531 ไวล์สต้องตกใจเมื่อเห็นพาดหัวข่าวขนาดใหญ่บนหน้าแรกของหนังสือพิมพ์ที่มีข้อความว่า "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้ว" วอชิงตันโพสต์และนิวยอร์กไทมส์รายงานว่าโยอิจิ มิยาโอกะ วัย 38 ปีจากมหาวิทยาลัยโตเกียวเมโทรโพลิแทนได้แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในโลกได้ มิยาโอกะยังไม่ได้เผยแพร่หลักฐานของเขา แต่ได้สรุปความคืบหน้าในการสัมมนาที่สถาบันคณิตศาสตร์มักซ์พลังค์ในเมืองบอนน์ ดอน ซากีร์ ซึ่งเข้าร่วมในการเสวนาของมิยาโอกะ กล่าวถึงการมองโลกในแง่ดีของชุมชนคณิตศาสตร์ด้วยคำพูดต่อไปนี้: “ข้อพิสูจน์ที่มิยาโอกะนำเสนอนั้นน่าสนใจอย่างยิ่ง และนักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่ามีความเป็นไปได้สูงที่จะถูกต้อง เรายังไม่แน่ใจทั้งหมด แต่จนถึงขณะนี้หลักฐานดูน่าสนับสนุนมาก”

ในงานสัมมนาที่บอนน์ มิยาโอกะพูดถึงแนวทางการแก้ปัญหาของเขา ซึ่งเขาพิจารณาจากมุมมองพีชคณิต-เรขาคณิตที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา เรขาคณิตมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและลึกซึ้งเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะคุณสมบัติของพื้นผิว ในยุค 70 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย S. Arakelov พยายามสร้างความคล้ายคลึงระหว่างปัญหาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกับปัญหาทฤษฎีจำนวน นี่เป็นหนึ่งในแนวทางหนึ่งของโปรแกรมของแลงแลนด์ และนักคณิตศาสตร์หวังว่าปัญหาที่ยังไม่แก้ในทฤษฎีจำนวนจะแก้ได้ด้วยการศึกษาปัญหาที่สอดคล้องกันในเรขาคณิต ซึ่งก็ยังไม่ได้รับการแก้ไขเช่นกัน โปรแกรมนี้เป็นที่รู้จักในนามปรัชญาแห่งความเท่าเทียม เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหล่านั้นที่พยายามแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวนเรียกว่า "เรขาคณิตพีชคณิตทางคณิตศาสตร์" ในปี 1983 พวกเขาประกาศชัยชนะครั้งสำคัญครั้งแรกเมื่อ Gerd Faltings จากสถาบัน Princeton Institute for Advanced Studies มีส่วนสำคัญในการทำความเข้าใจทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จำได้ว่าตามสมการของแฟร์มาต์

ที่ nมากกว่า 2 จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ฟอลติงส์ตัดสินใจว่าเขามีความก้าวหน้าในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการศึกษาพื้นผิวทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับค่าต่างๆ n- พื้นผิวที่เกี่ยวข้องกับสมการของแฟร์มาต์สำหรับค่าต่างๆ nแตกต่างจากกัน แต่มีคุณสมบัติร่วมกันอย่างหนึ่ง - พวกมันทั้งหมดมีรูทะลุหรือพูดง่ายๆก็คือรู พื้นผิวเหล่านี้เป็นสี่มิติ เช่นเดียวกับกราฟของรูปทรงโมดูลาร์ ส่วนสองมิติของพื้นผิวทั้งสองจะแสดงอยู่ในรูปที่. 23. พื้นผิวที่เกี่ยวข้องกับสมการแฟร์มาต์ดูคล้ายกัน ยิ่งมีค่ามากเท่าไร nในสมการ ยิ่งมีรูมากขึ้นบนพื้นผิวที่สอดคล้องกัน

ข้าว. 23. ได้พื้นผิวทั้งสองนี้มาโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ Mathematica แต่ละรายการแสดงถึงตำแหน่งของจุดที่เป็นไปตามสมการ เอ็กซ์เอ็น + ใช่ = z n(สำหรับพื้นผิวด้านซ้าย n=3 สำหรับพื้นผิวด้านขวา n=5) ตัวแปร xและ ยถือว่าซับซ้อนที่นี่

ฟอลติงส์สามารถพิสูจน์ได้ว่าเนื่องจากพื้นผิวดังกล่าวมักจะมีรูหลายรูเสมอ สมการแฟร์มาต์ที่เกี่ยวข้องจึงสามารถมีชุดคำตอบจำนวนเต็มจำนวนจำกัดเท่านั้น จำนวนวิธีแก้ปัญหาอาจเป็นอะไรก็ได้ ตั้งแต่ศูนย์ตามที่แฟร์มาต์สันนิษฐานไว้ จนถึงหนึ่งล้านหรือพันล้าน ดังนั้น ฟอลติงส์จึงไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่อย่างน้อยก็สามารถปฏิเสธความเป็นไปได้ที่สมการของแฟร์มาต์จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ห้าปีต่อมา มิยาโอกะรายงานว่าเขาได้ก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง ตอนนั้นเขาอายุยี่สิบต้นๆ มิยาโอกะได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันบางประการ เห็นได้ชัดว่าการพิสูจน์การคาดเดาทางเรขาคณิตของเขาหมายถึงการพิสูจน์ว่าจำนวนคำตอบของสมการของแฟร์มาต์นั้นไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านั้น แต่เท่ากับศูนย์ แนวทางของมิยาโอกะคล้ายคลึงกับของไวล์สตรงที่ทั้งคู่พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยเชื่อมโยงทฤษฎีบทนี้กับสมมติฐานพื้นฐานในคณิตศาสตร์สาขาอื่น สำหรับมิยาโอกะ มันเป็นเรขาคณิตเชิงพีชคณิต สำหรับไวล์ส เส้นทางในการพิสูจน์จะวางผ่านเส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ เขายังคงต้องดิ้นรนเพื่อพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ ซึ่งสร้างความผิดหวังให้กับไวล์สมาก เมื่อมิยาโอกะอ้างว่ามีข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของเขาเอง และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

สองสัปดาห์หลังจากสุนทรพจน์ของเขาในเมืองบอนน์ มิยาโอกะตีพิมพ์การคำนวณห้าหน้าซึ่งเป็นแก่นแท้ของการพิสูจน์ของเขา และเริ่มการตรวจสอบอย่างละเอียด นักทฤษฎีจำนวนและผู้เชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตพีชคณิตทั่วโลกได้ทำการศึกษาทีละบรรทัดและเผยแพร่การคำนวณ ไม่กี่วันต่อมา นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบความขัดแย้งอย่างหนึ่งในการพิสูจน์ที่ไม่สามารถทำให้เกิดความกังวลได้ งานส่วนหนึ่งของมิยาโอกะนำไปสู่ข้อความจากทฤษฎีจำนวน ซึ่งเมื่อแปลเป็นภาษาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแล้ว ก็ทำให้เกิดข้อความที่ขัดแย้งกับผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อหลายปีก่อน แม้ว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องทำให้การพิสูจน์ทั้งหมดของมิยาโอกะเป็นโมฆะ แต่ความขัดแย้งที่ถูกค้นพบนั้นไม่สอดคล้องกับปรัชญาของความเท่าเทียมระหว่างทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต

อีกสองสัปดาห์ต่อมา เกิร์ด ฟัลติงส์ ซึ่งปูทางไปสู่มิยาโอเกะ ประกาศว่าเขาได้ค้นพบสาเหตุที่แท้จริงของการละเมิดความเท่าเทียมที่เห็นได้ชัด นั่นคือช่องว่างในการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคนนี้เป็นนักเรขาคณิตและไม่เข้มงวดนักในการแปลแนวคิดของเขาให้กลายเป็นขอบเขตของทฤษฎีตัวเลขที่ไม่ค่อยคุ้นเคย กองทัพนักทฤษฎีจำนวนพยายามอย่างบ้าคลั่งที่จะอุดช่องโหว่ในการพิสูจน์ของมิยาโอกะ แต่ก็ไร้ผล สองเดือนหลังจากที่มิยาโอกะอ้างว่ามีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างสมบูรณ์ ชุมชนทางคณิตศาสตร์ก็ได้ข้อสรุปที่เป็นเอกฉันท์: การพิสูจน์ของมิยาโอกะถึงวาระที่จะล้มเหลว

เช่นเดียวกับการพิสูจน์ล้มเหลวครั้งก่อน มิยาโอกะสามารถได้รับผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากมาย ชิ้นส่วนของการพิสูจน์ของเขาเป็นที่น่าสังเกตว่าเป็นการประยุกต์เรขาคณิตกับทฤษฎีจำนวนได้อย่างชาญฉลาด และในปีต่อๆ มา นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก็ใช้มันเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทบางทฤษฎี แต่ก็ไม่มีใครประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในลักษณะนี้

ความเดือดดาลต่อทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็มลายหายไปในไม่ช้า และหนังสือพิมพ์ก็มีประกาศสั้นๆ ระบุว่าปริศนาอายุสามร้อยปียังคงไม่คลี่คลาย คำจารึกต่อไปนี้ปรากฏบนผนังสถานีรถไฟใต้ดิน Eighth Street ในนิวยอร์ก ไม่ต้องสงสัยเลยว่าได้รับแรงบันดาลใจจากการรายงานข่าวทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: "Eq. xn + ยิน = สังกะสีไม่มีวิธีแก้ปัญหา ฉันได้พบข้อพิสูจน์ที่น่าทึ่งจริงๆ เกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้อนี้ แต่ฉันไม่สามารถเขียนมันลงไปได้เพราะรถไฟของฉันมาถึงแล้ว”

บทที่สิบ ฟาร์มจระเข้ พวกเขาขับรถไปตามถนนที่งดงามราวกับภาพวาดในรถของจอห์นคันเก่า โดยนั่งอยู่ที่เบาะหลัง ที่พวงมาลัยมีคนขับสีดำสวมเสื้อเชิ้ตสีสดใสและมีศีรษะเกรียนแปลกประหลาด บนกระโหลกที่โกนแล้วของเขามีผมสีดำแข็งเป็นเส้นตั้งตระหง่านอยู่ ตรรกะ

การเตรียมตัวสำหรับการแข่งขัน อลาสกา ฟาร์ม Iditarod ของ Linda Pletner เป็นการแข่งขันสุนัขลากเลื่อนประจำปีในอลาสก้า ความยาวของเส้นทางคือ 1,150 ไมล์ (1,800 กม.) นี่คือการแข่งขันสุนัขลากเลื่อนที่ยาวที่สุดในโลก เริ่มต้น (พิธีการ) - 4 มีนาคม 2543 จากเมืองแองเคอเรจ เริ่ม

ฟาร์มแพะ ในหมู่บ้านจะมีงานมากมายในช่วงฤดูร้อน ตอนที่เราไปเยี่ยมชมหมู่บ้าน Khomutets หญ้าแห้งกำลังถูกเก็บเกี่ยวและคลื่นกลิ่นหอมของสมุนไพรที่เพิ่งตัดใหม่ดูเหมือนจะซึมซับทุกสิ่งรอบตัว ต้องตัดหญ้าตรงเวลาเพื่อไม่ให้สุกเกินไป จากนั้นทุกสิ่งที่มีคุณค่าและมีคุณค่าทางโภชนาการจะถูกเก็บรักษาไว้ ในพวกเขา นี้

ฟาร์มฤดูร้อน ฟางเหมือนสายฟ้าฟาดมือถือแก้วลงไปในหญ้า อีกคนหนึ่งลงนามที่รั้วแล้วจุดไฟแก้วน้ำสีเขียวในรางม้า สู่พลบค่ำสีน้ำเงิน เป็ดเก้าตัวเร่ร่อนไปตามร่องในจิตวิญญาณของเส้นคู่ขนาน ที่นี่ไก่กำลังจ้องมองไม่มีอะไรเพียงอย่างเดียว

ไร่นาที่พังทลาย ดวงอาทิตย์อันเงียบสงบราวกับดอกไม้สีแดงเข้ม จมลงสู่พื้นดิน เติบโตจนพระอาทิตย์ตกดิน แต่ม่านแห่งรัตติกาลด้วยพลังอันว่างเปล่าได้ดึงดูดโลกให้ถูกรบกวนด้วยสายตาที่จ้องมอง ความเงียบปกคลุมทั่วฟาร์มที่ไม่มีหลังคา ราวกับว่ามีใครบางคนฉีกผมของเธอออก พวกเขากำลังต่อสู้กันเพื่อแย่งต้นกระบองเพชร

ฟาร์มหรือฟาร์ม? เมื่อวันที่ 13 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2501 หนังสือพิมพ์ใจกลางกรุงมอสโกและหนังสือพิมพ์ระดับภูมิภาคทั้งหมดได้ตีพิมพ์คำตัดสินของคณะกรรมการกลางของพรรคคอมมิวนิสต์แห่งยูเครน "เกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการซื้อวัวจากเกษตรกรโดยรวมในภูมิภาค Zaporozhye" เราไม่ได้พูดถึงทั้งภูมิภาคด้วยซ้ำ แต่พูดถึงสองเขต: Primorsky

ปัญหาของแฟร์มาต์ ในปี 1963 เมื่อเขาอายุเพียง 10 ขวบ แอนดรูว์ ไวล์สหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่แล้ว “ที่โรงเรียน ฉันชอบแก้ปัญหา ฉันพาพวกเขากลับบ้านและสร้างปัญหาใหม่ๆ จากแต่ละปัญหา แต่ปัญหาที่ดีที่สุดที่ฉันเคยพบคือที่ท้องถิ่น

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสและจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสเป็นจำนวนอนันต์ ได้รับการกล่าวถึงในหนังสือโดย E.T. "ปัญหาใหญ่" ของเบลล์ - หนังสือห้องสมุดเล่มเดียวกับที่ดึงดูดความสนใจของ Andrew Wiles และถึงแม้ว่าชาวพีทาโกรัสจะประสบความสำเร็จเกือบสมบูรณ์ก็ตาม

คณิตศาสตร์หลังจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ น่าแปลกที่ไวล์สเองก็มีความรู้สึกผสมปนเปเกี่ยวกับรายงานของเขา: "โอกาสสำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ได้รับการคัดเลือกมาเป็นอย่างดี แต่ตัวการบรรยายเองทำให้ฉันรู้สึกผสมปนเปกัน กำลังทำงานในการพิสูจน์

บทที่ 63 ฟาร์มของ Old McLennon ประมาณหนึ่งเดือนครึ่งหลังจากกลับมานิวยอร์ก ในเย็นวันหนึ่งของเดือนพฤศจิกายน โทรศัพท์ดังขึ้นในอพาร์ตเมนต์ของ Lennons โยโกะรับสาย เสียงผู้ชายที่มีสำเนียงเปอร์โตริโกถามโยโกะ โอโนะ

ทฤษฎีบทของ Pontryagin ในเวลาเดียวกันกับ Conservatory พ่อของฉันเรียนที่ Moscow State University ศึกษากลศาสตร์และคณิตศาสตร์ เขาสำเร็จการศึกษาด้วยความสำเร็จและยังลังเลในการเลือกอาชีพอยู่พักหนึ่ง ดนตรีวิทยาชนะ เนื่องจากได้ประโยชน์จากความคิดทางคณิตศาสตร์ของเขา

ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสิทธิของสมาคมศาสนาในการเลือกพระสงฆ์จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ ข้อความมีข้อความดังนี้: “ชุมชนออร์โธดอกซ์ถูกสร้างขึ้น... ภายใต้การนำทางจิตวิญญาณของพระสงฆ์ที่ได้รับเลือกจากชุมชน และได้รับพรจากพระสังฆราชสังฆมณฑล”

I. ฟาร์ม (“ที่นี่ จากมูลไก่...”) ที่นี่ จากมูลไก่ ความรอดอย่างหนึ่งคือไม้กวาด ความรัก - อันไหน? - เธอพาฉันเข้าไปในเล้าไก่ การจิกเมล็ดข้าว, ไก่ร้องเจื้อยแจ้ว, ไก่ก้าวย่างที่สำคัญ และไม่มีขนาดและการเซ็นเซอร์ บทกวีก็แต่งขึ้นในใจ ประมาณช่วงบ่ายของแคว้นโพรวองซ์

ปิแอร์ แฟร์มาต์ อ่าน "เลขคณิต" ของไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียและใคร่ครวญปัญหาต่างๆ มีนิสัยชอบเขียนผลการไตร่ตรองของเขาในรูปแบบของความคิดเห็นสั้น ๆ ไว้ตรงขอบของหนังสือ กับปัญหาที่แปดของ Diophantus ตรงขอบของหนังสือ Fermat เขียนว่า: " ในทางตรงกันข้าม เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองลูกบาศก์ หรือไบควอเดรตเป็นสองไบควอเดรต และโดยทั่วไปแล้ว ไม่มีกำลังใดที่มากกว่ากำลังสองเป็นสองกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน ฉันได้ค้นพบข้อพิสูจน์ที่อัศจรรย์อย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ช่องเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับมัน» / E.T. Bell "ผู้สร้างคณิตศาสตร์" อ., 1979, หน้า 69- ฉันขอนำเสนอข้อพิสูจน์เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ซึ่งนักเรียนมัธยมปลายที่สนใจวิชาคณิตศาสตร์สามารถเข้าใจได้

ขอให้เราเปรียบเทียบความเห็นของแฟร์มาต์เกี่ยวกับปัญหาของไดโอแฟนตัสกับสูตรสมัยใหม่ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งมีรูปแบบของสมการ
« สมการ

xn + yn = zn(โดยที่ n คือจำนวนเต็มที่มากกว่าสอง)

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก»

ความคิดเห็นอยู่ในการเชื่อมโยงเชิงตรรกะกับงาน คล้ายกับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะของภาคแสดงกับหัวเรื่อง สิ่งที่ยืนยันโดยปัญหาของไดโอแฟนตัสกลับถูกยืนยันโดยคำอธิบายของแฟร์มาต์

ความคิดเห็นของแฟร์มาต์สามารถตีความได้ดังนี้: หากสมการกำลังสองที่มีไม่ทราบค่าสามตัวมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์บนเซตของแฝดสามทั้งหมดของตัวเลขพีทาโกรัส ในทางกลับกัน สมการที่มีค่าไม่ทราบสามตัวที่มีกำลังมากกว่ากำลังสอง

ไม่มีแม้แต่คำใบ้ในสมการของการเชื่อมโยงกับปัญหาของไดโอแฟนทัส ข้อความของเขาต้องการการพิสูจน์ แต่ไม่มีเงื่อนไขที่จะตามมาว่าไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก

ตัวเลือกสำหรับการพิสูจน์สมการที่ฉันรู้จักนั้นใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้

1. สมการของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ถือเป็นข้อสรุป ซึ่งมีการตรวจสอบความถูกต้องผ่านการพิสูจน์
2. สมการเดียวกันนี้เรียกว่า ต้นฉบับสมการที่ต้องดำเนินการพิสูจน์

เป็นผลให้เกิดการซ้ำซาก:“ ถ้าสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่าสมการนั้นไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก“การพิสูจน์เรื่องซ้ำซากนั้นไม่ถูกต้องอย่างเห็นได้ชัดและไม่มีความหมายใดๆ แต่ได้รับการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง

• มีการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้ามกับสมการที่ระบุซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ ไม่ควรขัดแย้งกับสมการดั้งเดิม แต่ขัดแย้งกัน มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพิสูจน์สิ่งที่ยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ และการยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ในสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
• ตามสมมติฐานที่ยอมรับ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการกระทำที่ถูกต้องอย่างยิ่งจะดำเนินการเพื่อพิสูจน์ว่าขัดแย้งกับสมการดั้งเดิมและเป็นเท็จ

ดังนั้น เป็นเวลา 370 ปีแล้วที่การพิสูจน์สมการทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยังคงเป็นความฝันที่ไม่เป็นจริงสำหรับผู้เชี่ยวชาญและผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์

ฉันเอาสมการเป็นข้อสรุปของทฤษฎีบท และปัญหาที่แปดของไดโอแฟนตัสและสมการของมันคือเงื่อนไขของทฤษฎีบท

“ถ้าสมการ. x 2 + y 2 = z 2 (1) มีคำตอบจำนวนอนันต์บนเซตของจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัสทั้งหมด ในทางกลับกัน สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 (2) ไม่มีคำตอบสำหรับเซตจำนวนเต็มบวก”

การพิสูจน์.

ก)ทุกคนรู้ดีว่าสมการ (1) มีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์บนเซตของเลขสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัสทั้งหมด ขอให้เราพิสูจน์ว่าไม่ใช่เลขสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัสที่เป็นคำตอบของสมการ (1) เท่านั้นที่จะสามารถแก้สมการ (2) ได้

ตามกฎการผันกลับได้ของความเท่าเทียมกัน เราจะสลับด้านของสมการ (1) ตัวเลขพีทาโกรัส (ซี, x, ย) สามารถตีความได้ว่าเป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและกำลังสอง (x 2 , ย 2 , z 2) สามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากและขา.

ให้เราคูณพื้นที่ของกำลังสองของสมการ (1) ด้วยความสูงใดก็ได้ ชม. :

z 2 ชม. = x 2 ชม. + y 2 ชม (3)

สมการ (3) สามารถตีความได้ว่าเป็นความเท่าเทียมกันของปริมาตรของเส้นขนานกับผลรวมของปริมาตรของเส้นขนานสองเส้น

ให้ความสูงของสามขนานกัน ชั่วโมง = ซ :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

ปริมาตรของลูกบาศก์ถูกแบ่งออกเป็นสองปริมาตรจากสองปริมาตรที่ขนานกัน เราจะปล่อยให้ปริมาตรของลูกบาศก์ไม่เปลี่ยนแปลง และลดความสูงของลูกบาศก์แรกที่ขนานกันเป็น x และลดความสูงของเส้นขนานอันที่สองลง ย - ปริมาตรของลูกบาศก์มากกว่าผลรวมของปริมาตรของลูกบาศก์สองลูกบาศก์:

ซี 3 > x 3 + y 3 (5)

บนเซตของเลขสามเท่าของพีทาโกรัส ( x, y, z ) ที่ n=3 ไม่สามารถแก้สมการ (2) ได้ ดังนั้น ในเซตของจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัสทั้งหมด จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองลูกบาศก์

อนุญาต ในสมการ (3) ความสูงของสามเส้นขนาน ชั่วโมง = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

ปริมาตรของรูปขนานนั้นถูกสลายเป็นผลรวมของปริมาตรของรูปขนานสองรูป
เราปล่อยให้ด้านซ้ายของสมการ (6) ไม่เปลี่ยนแปลง ทางด้านขวามีความสูง ซี 2 ลดเหลือ เอ็กซ์ ในระยะแรกและก่อนหน้านั้น เวลา 2 ในระยะที่สอง

สมการ (6) กลายเป็นความไม่เท่าเทียมกัน:

ปริมาตรของขนานจะแบ่งออกเป็นสองปริมาตรจากสองขนาน

เราปล่อยให้ด้านซ้ายของสมการ (8) ไม่เปลี่ยนแปลง
ทางด้านขวามีความสูง สังกะสี-2 ลดเหลือ เอ็กซ์เอ็น-2 ในระยะแรกและลดเหลือ ใช่ n-2 ในระยะที่สอง สมการ (8) กลายเป็นความไม่เท่าเทียมกัน:

zn > xn + yn

(9)

บนเซตของแฝดสามของจำนวนพีทาโกรัส จะไม่มีคำตอบเดียวในสมการ (2)

ดังนั้น บนเซตของเลขพีทาโกรัสสามเท่าสำหรับทุกคน n > 2 สมการ (2) ไม่มีคำตอบ

ได้รับ "ข้อพิสูจน์ที่อัศจรรย์อย่างแท้จริง" แล้ว แต่สำหรับแฝดสามเท่านั้น ตัวเลขพีทาโกรัส- นี่คือ ขาดหลักฐานและสาเหตุที่พี. แฟร์มาต์ปฏิเสธจากเขา

ข)ขอให้เราพิสูจน์ว่าสมการ (2) ไม่มีคำตอบสำหรับเซตของเลขสามตัวที่ไม่ใช่เลขพีทาโกรัส ซึ่งแสดงถึงตระกูลของเลขสามตัวของเลขพีทาโกรัสตามอำเภอใจ z = 13, x = 12, y = 5 และตระกูลของจำนวนเต็มบวกสามเท่าตามใจชอบ ซี = 21, x = 19, y = 16

แฝดสามของตัวเลขทั้งสองเป็นสมาชิกของครอบครัว:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

จำนวนสมาชิกในครอบครัว (10) และ (11) เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของ 13 x 12 และ 21 x 20 เช่น 78 และ 210

สมาชิกครอบครัวแต่ละคน (10) ประกอบด้วย ซี = 13 และตัวแปร เอ็กซ์ และ ที่ 13 > x > 0 , 13 > ปี > 0 1

สมาชิกแต่ละคนในครอบครัว (11) ประกอบด้วย ซี = 21 และตัวแปร เอ็กซ์ และ ที่ ซึ่งรับค่าจำนวนเต็ม 21 > x >0 , 21 > ปี > 0 - ตัวแปรลดลงตามลำดับ 1 .

จำนวนสามเท่าของลำดับ (10) และ (11) สามารถแสดงเป็นลำดับของอสมการของระดับที่สาม:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

และในรูปความไม่เท่าเทียมกันของระดับที่สี่:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

ความถูกต้องของอสมการแต่ละรายการได้รับการตรวจสอบโดยการเพิ่มตัวเลขยกกำลังสามและสี่

ลูกบาศก์ที่มีจำนวนมากกว่าไม่สามารถแยกย่อยเป็นลูกบาศก์ที่มีจำนวนน้อยกว่าสองลูกบาศก์ได้ มันจะน้อยกว่าหรือมากกว่าผลรวมของกำลังสามของตัวเลขที่น้อยกว่าสองตัวนั้น

สมการกำลังสองของจำนวนที่มากกว่านั้นไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นสองกำลังสองของจำนวนที่น้อยกว่าได้ มันมีค่าน้อยกว่าหรือมากกว่าผลรวมของกำลังสองของจำนวนที่น้อยกว่า

เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น อสมการทั้งหมด ยกเว้นอสมการซ้ายสุดจะมีความหมายเหมือนกัน:

พวกมันทั้งหมดมีความหมายเหมือนกัน: กำลังของจำนวนที่มากกว่านั้นมากกว่าผลรวมของกำลังของตัวเลขสองตัวที่เล็กกว่าซึ่งมีเลขชี้กำลังเท่ากัน:

	13 น > 12 น + 12 น ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 น > 1 น + 1 น	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; - 21 น > 1 น + 1 น	(13)

ระยะสุดขั้วซ้ายของลำดับ (12) (13) แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอที่สุด ความถูกต้องของมันจะเป็นตัวกำหนดความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันที่ตามมาทั้งหมดของลำดับ (12) สำหรับ n > 8 และลำดับ (13) ที่ n > 14 .

ไม่มีความเท่าเทียมกันในหมู่พวกเขา จำนวนเต็มบวกสามเท่าตามอำเภอใจ (21,19,16) ไม่ใช่คำตอบของสมการ (2) ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ถ้าจำนวนเต็มบวกสามเท่าตามอำเภอใจไม่ใช่คำตอบของสมการ สมการก็ไม่มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

กับ)ความเห็นของแฟร์มาต์เกี่ยวกับปัญหาของไดโอแฟนตัสระบุว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสลายตัว " โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีกำลังใดจะยิ่งใหญ่ไปกว่ากำลังสอง สองกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน».

จูบองศาที่มากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถแบ่งออกเป็นสององศาด้วยเลขชี้กำลังเดียวกันได้ ไม่มีการจูบองศาที่มากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

จำนวนเต็มบวกสามเท่าใดๆ ก็ตาม (ซ, x, ย) อาจอยู่ในครอบครัวหนึ่งซึ่งสมาชิกแต่ละคนประกอบด้วยจำนวนคงที่ z และตัวเลขที่เล็กกว่าสองตัว z - สมาชิกแต่ละคนในครอบครัวสามารถแสดงในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน และความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นทั้งหมดสามารถแสดงในรูปแบบของลำดับของความไม่เท่าเทียมกัน:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 น + 1 น

(14)

ลำดับของความไม่เท่าเทียมกัน (14) เริ่มต้นด้วยความไม่เท่าเทียมกันซึ่งด้านซ้ายจะเล็กกว่าด้านขวา และจบลงด้วยความไม่เท่าเทียมกันซึ่งด้านขวาจะเล็กกว่าด้านซ้าย ด้วยเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น n > 2 จำนวนอสมการทางด้านขวาของลำดับ (14) เพิ่มขึ้น ด้วยเลขชี้กำลัง n = เค อสมการทั้งหมดทางด้านซ้ายของลำดับจะเปลี่ยนความหมายและรับความหมายของอสมการทางด้านขวาของอสมการลำดับ (14) ผลจากการเพิ่มเลขชี้กำลังของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ด้านซ้ายจะมีขนาดใหญ่กว่าด้านขวา:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; zk > 1 k + 1 k

(15)

โดยมีเลขยกกำลังเพิ่มขึ้นอีก n>เค ไม่มีความไม่เท่าเทียมกันใดที่เปลี่ยนความหมายและกลายเป็นความเท่าเทียมกัน บนพื้นฐานนี้สามารถโต้แย้งได้ว่าจำนวนเต็มบวกสามเท่าที่เลือกโดยพลการ (ซ, x, ย) ที่ n > 2 , z > x , z > y

ในจำนวนเต็มบวกสามเท่าที่เลือกโดยพลการ z อาจเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีขนาดใหญ่ได้ตามใจชอบ สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ไม่มากกว่า z ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ง)ไม่ว่าจำนวนจะมากขนาดไหนก็ตาม z ในชุดตัวเลขธรรมชาติจะมีชุดจำนวนเต็มขนาดใหญ่แต่มีจำกัดอยู่ข้างหน้า และหลังจากนั้นจะมีชุดจำนวนเต็มอนันต์

ให้เราพิสูจน์ว่าเซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติที่มีขนาดใหญ่ z , สร้างตัวเลขสามเท่าซึ่งไม่ใช่คำตอบของสมการทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เช่น สามเท่าของจำนวนเต็มบวกตามใจชอบ (z + 1, x ,y) ในที่นั้น z + 1 > x และ z + 1 > y สำหรับทุกค่าของเลขชี้กำลัง n > 2 ไม่ใช่คำตอบของสมการทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

จำนวนเต็มบวกสามเท่าที่เลือกแบบสุ่ม (z + 1, x, ย) อาจอยู่ในตระกูลตัวเลขสามเท่า ซึ่งแต่ละตัวจะประกอบด้วยจำนวนคงที่ ซ+1 และตัวเลขสองตัว เอ็กซ์ และ ที่ โดยรับค่าที่ต่างกันน้อยลง ซ+1 - สมาชิกในครอบครัวสามารถแสดงในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน โดยที่ด้านซ้ายคงที่มีค่าน้อยกว่าหรือมากกว่าทางด้านขวา อสมการสามารถเรียงลำดับได้ในรูปแบบของลำดับอสมการ:

โดยมีเลขยกกำลังเพิ่มขึ้นอีก n>เค จนถึงระยะอนันต์ ไม่มีความไม่เท่าเทียมกันของลำดับ (17) ใดที่เปลี่ยนความหมายและกลายเป็นความเท่าเทียมกัน ในลำดับ (16) อสมการเกิดขึ้นจากจำนวนเต็มบวกสามเท่าที่เลือกโดยพลการ (z + 1, x, ย) สามารถอยู่ทางด้านขวาของแบบฟอร์มได้ (z + 1) n > xn + y n หรือจะอยู่ทางซ้ายตามแบบ (z+1)น< x n + y n .

ไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นจำนวนเต็มบวกสามเท่า (z + 1, x, ย) ที่ n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y ในลำดับ (16) แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันและไม่สามารถแสดงถึงความเท่าเทียมกันได้ กล่าวคือ ไม่สามารถเป็นตัวแทนคำตอบของสมการทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้

เป็นเรื่องง่ายและง่ายที่จะเข้าใจที่มาของลำดับของความไม่เท่าเทียมกันของกำลัง (16) ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายทางด้านซ้ายและความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกทางด้านขวาคือความไม่เท่าเทียมกันที่มีความหมายตรงกันข้าม ในทางตรงกันข้าม ไม่ใช่เรื่องง่ายและยากสำหรับเด็กนักเรียน นักเรียนมัธยมปลาย และนักเรียนมัธยมปลาย ที่จะเข้าใจว่าลำดับของความไม่เท่าเทียมกัน (16) เกิดขึ้นจากลำดับของความไม่เท่าเทียมกัน (17) ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดมีความหมายเหมือนกันอย่างไร .

ตามลำดับ (16) การเพิ่มระดับจำนวนเต็มของอสมการขึ้น 1 หน่วยจะเปลี่ยนอสมการสุดท้ายทางด้านซ้ายเป็นอสมการแรกของความรู้สึกตรงกันข้ามทางด้านขวา ดังนั้นจำนวนอสมการทางด้านซ้ายของลำดับจะลดลง และจำนวนอสมการทางด้านขวาเพิ่มขึ้น ระหว่างความไม่เท่าเทียมกันของกำลังสุดท้ายและครั้งแรกที่มีความหมายตรงกันข้าม จำเป็นต้องมีความเท่าเทียมกันของกำลังเสมอ ระดับของมันไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ เนื่องจากมีเพียงตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่านั้นที่อยู่ระหว่างตัวเลขธรรมชาติสองตัวที่ต่อเนื่องกัน ความเท่าเทียมกันของกำลังของระดับที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ไม่สามารถถือเป็นคำตอบของสมการ (1) ได้

หากในลำดับ (16) เรายังคงเพิ่มระดับต่อไปอีก 1 หน่วย อสมการสุดท้ายของด้านซ้ายจะกลายเป็นอสมการแรกของความหมายตรงกันข้ามของด้านขวา เป็นผลให้จะไม่เหลือความไม่เท่าเทียมกันทางด้านซ้ายและเหลือเพียงความไม่เท่าเทียมกันทางขวาเท่านั้น ซึ่งจะเป็นลำดับของความไม่เท่าเทียมกันทางกำลังที่เพิ่มขึ้น (17) การเพิ่มกำลังจำนวนเต็มอีก 1 หน่วยจะช่วยเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันของกำลังเท่านั้นและไม่รวมความเป็นไปได้ของความเท่าเทียมกันในกำลังจำนวนเต็มอย่างเด็ดขาด

ด้วยเหตุนี้ โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีกำลังใดที่เป็นจำนวนธรรมชาติ (z+1) ของลำดับความไม่เท่าเทียมกันของกำลัง (17) ที่สามารถแยกย่อยเป็นกำลังจำนวนเต็มสองจำนวนที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันได้ ดังนั้น สมการ (1) จึงไม่มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติที่เป็นอนันต์ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ดังนั้นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงได้รับการพิสูจน์อย่างครบถ้วน:

• ในส่วน A) สำหรับแฝดสามทุกคน (ซ, x, ย) ตัวเลขพีทาโกรัส (การค้นพบของแฟร์มาต์เป็นข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริง)
• ในส่วน B) สำหรับสมาชิกทุกคนในครอบครัวของสามคนใด ๆ (ซ, x, ย) ตัวเลขพีทาโกรัส
• ในส่วน C) สำหรับเลขสามตัวทั้งหมด (ซ, x, ย) , จำนวนไม่มาก z
• ในส่วน D) สำหรับเลขสามตัวทั้งหมด (ซ, x, ย) ชุดตัวเลขธรรมชาติ

การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 09/05/2010

ทฤษฎีบทใดสามารถและไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความขัดแย้ง?

พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ให้นิยามการพิสูจน์ที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบท ซึ่งตรงกันข้ามกับทฤษฎีบทสนทนา

“การพิสูจน์โดยความขัดแย้งเป็นวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบท (ข้อเสนอ) ซึ่งประกอบด้วยการพิสูจน์ไม่ใช่ทฤษฎีบทนั้นเอง แต่เป็นทฤษฎีบทที่เทียบเท่า (เทียบเท่า) การพิสูจน์โดยความขัดแย้งจะใช้เมื่อใดก็ตามที่ทฤษฎีบทโดยตรงพิสูจน์ได้ยาก แต่ทฤษฎีบทตรงกันข้ามนั้นพิสูจน์ได้ง่ายกว่า ในการพิสูจน์โดยขัดแย้ง ข้อสรุปของทฤษฎีบทจะถูกแทนที่ด้วยการปฏิเสธ และด้วยการให้เหตุผล เรามาถึงการปฏิเสธเงื่อนไข กล่าวคือ ไปสู่ความขัดแย้ง ไปสู่สิ่งที่ตรงกันข้าม (ตรงกันข้ามกับสิ่งที่ได้รับ การลดลงจนไร้สาระนี้พิสูจน์ทฤษฎีบทได้"

การพิสูจน์โดยความขัดแย้งมักใช้กันมากในวิชาคณิตศาสตร์ การพิสูจน์โดยความขัดแย้งนั้นขึ้นอยู่กับกฎของคำกลางที่ถูกแยกออก ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าสองประโยค (ประโยค) A และ A (การปฏิเสธของ A) หนึ่งในนั้นเป็นจริงและอีกอันเป็นเท็จ”/พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์: คู่มือสำหรับครู/อ. V. Manturov [ฯลฯ ]; เอ็ด V. A. Ditkina.- M.: การศึกษา, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.

คงไม่ดีกว่าที่จะประกาศอย่างเปิดเผยว่าวิธีการพิสูจน์โดยความขัดแย้งไม่ใช่วิธีการทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าจะใช้ในคณิตศาสตร์ก็ตาม มันเป็นวิธีการเชิงตรรกะและเป็นของตรรกะ เป็นที่ยอมรับหรือไม่ที่จะกล่าวว่าการพิสูจน์โดยความขัดแย้งนั้น “ใช้เมื่อใดก็ตามที่ทฤษฎีบทโดยตรงยากต่อการพิสูจน์” ทั้งที่ในความเป็นจริงมันถูกใช้เมื่อใดและเมื่อเท่านั้นที่ไม่มีการทดแทน

การระบุลักษณะของความสัมพันธ์ของทฤษฎีบททางตรงและทางผกผันระหว่างกันก็สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษเช่นกัน “ทฤษฎีบทสนทนาสำหรับทฤษฎีบทที่กำหนด (หรือทฤษฎีบทที่กำหนด) คือทฤษฎีบทที่มีเงื่อนไขเป็นข้อสรุป และข้อสรุปคือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่กำหนด ทฤษฎีบทนี้สัมพันธ์กับทฤษฎีบทสนทนาเรียกว่าทฤษฎีบทโดยตรง (ดั้งเดิม) ในเวลาเดียวกัน ทฤษฎีบทสนทนาของทฤษฎีบทสนทนาจะเป็นทฤษฎีบทที่กำหนด ดังนั้นทฤษฎีบททางตรงและทางกลับจึงเรียกว่าการผกผันซึ่งกันและกัน หากทฤษฎีบทโดยตรง (ที่ให้ไว้) เป็นจริง ทฤษฎีบทสนทนาก็ไม่เป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากรูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นทแยงมุมของมันจะตั้งฉากกัน (ทฤษฎีบทโดยตรง) ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน นี่เป็นเท็จ กล่าวคือ ทฤษฎีบทสนทนานั้นเป็นเท็จ”/พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์: คู่มือสำหรับครู/อ. V. Manturov [ฯลฯ ]; เอ็ด V. A. Ditkina.- M.: การศึกษา, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

คุณลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบททางตรงและทางผกผันนี้ไม่ได้คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบททางตรงได้รับการยอมรับตามที่ให้ไว้ โดยไม่มีการพิสูจน์ ดังนั้นจึงไม่รับประกันความถูกต้อง เงื่อนไขของทฤษฎีบทผกผันไม่ได้รับการยอมรับตามที่ให้ไว้ เนื่องจากเป็นข้อสรุปของทฤษฎีบทโดยตรงที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ความถูกต้องได้รับการยืนยันโดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรง ความแตกต่างเชิงตรรกะที่สำคัญในเงื่อนไขของทฤษฎีบททางตรงและทางผกผันนี้กลายเป็นสิ่งที่ชี้ขาดในคำถามที่ว่าทฤษฎีบทใดสามารถและไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีตรรกะโดยขัดแย้งกัน

สมมติว่ามีทฤษฎีบทโดยตรงอยู่ในใจ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ แต่เป็นเรื่องยาก ให้เรากำหนดมันโดยทั่วไปและโดยย่อดังนี้: จาก กควร อี - เครื่องหมาย ก มีความหมายตามเงื่อนไขที่กำหนดของทฤษฎีบท ซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ เครื่องหมาย อี สิ่งสำคัญคือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ต้องพิสูจน์

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรงด้วยการขัดแย้ง ตรรกะวิธี. วิธีตรรกะใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มี ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์สภาพและ ตรรกะเงื่อนไข. สามารถรับได้หากเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบท จาก กควร อี เสริมด้วยเงื่อนไขตรงกันข้าม จาก กอย่าทำมัน อี .

ผลลัพธ์ที่ได้คือเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันทางตรรกะของทฤษฎีบทใหม่ ซึ่งประกอบด้วยสองส่วน: จาก กควร อี และ จาก กอย่าทำมัน อี - เงื่อนไขผลลัพธ์ของทฤษฎีบทใหม่สอดคล้องกับกฎตรรกะของค่ากลางที่ถูกแยกออก และสอดคล้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยขัดแย้งกัน

ตามกฎหมาย ส่วนหนึ่งของเงื่อนไขที่ขัดแย้งนั้นเป็นเท็จ อีกส่วนหนึ่งเป็นจริง และส่วนที่สามไม่รวมอยู่ด้วย การพิสูจน์โดยความขัดแย้งมีหน้าที่และจุดประสงค์ในการพิสูจน์ให้แน่ชัดว่าส่วนใดของเงื่อนไขทั้งสองส่วนของทฤษฎีบทนั้นเป็นเท็จ เมื่อส่วนที่เป็นเท็จของเงื่อนไขถูกกำหนดแล้ว ส่วนอื่น ๆ จะถูกพิจารณาว่าเป็นส่วนที่แท้จริง และส่วนที่สามจะถูกแยกออก

ตามพจนานุกรมอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ “การพิสูจน์คือการให้เหตุผลในระหว่างที่ความจริงหรือความเท็จของข้อความใดๆ (การตัดสิน ข้อความ ทฤษฎีบท) ถูกสร้างขึ้น”- การพิสูจน์ โดยความขัดแย้งมีเหตุผลที่กำหนดไว้ในระหว่างนั้น ความเท็จ(ความไร้สาระ) ของข้อสรุปที่เกิดขึ้นจาก เท็จเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่จะพิสูจน์

ที่ให้ไว้: จาก กควร อีและจาก กอย่าทำมัน อี .

พิสูจน์: จาก กควร อี .

การพิสูจน์: เงื่อนไขตรรกะของทฤษฎีบทมีความขัดแย้งซึ่งต้องมีการแก้ไข ความขัดแย้งของเงื่อนไขต้องหาข้อยุติในการพิสูจน์และผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้กลับกลายเป็นเท็จโดยให้เหตุผลที่ไม่มีข้อบกพร่องและปราศจากข้อผิดพลาด เหตุผลในการสรุปที่ผิดในการให้เหตุผลที่ถูกต้องตามหลักตรรกะอาจเป็นเพียงเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันเท่านั้น: จาก กควร อี และ จาก กอย่าทำมัน อี .

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าเงื่อนไขส่วนหนึ่งเป็นเท็จ และอีกส่วนหนึ่งในกรณีนี้เป็นความจริง เงื่อนไขทั้งสองส่วนมีต้นกำเนิดเดียวกัน ยอมรับเป็นข้อมูล สันนิษฐาน เป็นไปได้เท่าเทียมกัน ยอมรับได้เท่าเทียมกัน ฯลฯ ในระหว่างการให้เหตุผลเชิงตรรกะ ไม่มีการค้นพบคุณลักษณะเชิงตรรกะเพียงรายการเดียวที่จะแยกแยะความแตกต่างของเงื่อนไขจากอีกส่วนหนึ่งได้ . ดังนั้นก็อาจเป็นไปได้ในระดับเดียวกัน จาก กควร อี และอาจจะ จาก กอย่าทำมัน อี - คำแถลง จาก กควร อี อาจจะ เท็จแล้วคำสั่ง จาก กอย่าทำมัน อี จะเป็นความจริง คำแถลง จาก กอย่าทำมัน อี อาจเป็นเท็จแล้วข้อความนั้น จาก กควร อี จะเป็นความจริง

ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรงด้วยการขัดแย้งกัน

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรงเดียวกันนี้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ตามปกติ

ที่ให้ไว้: ก .

พิสูจน์: จาก กควร อี .

การพิสูจน์.

1. จาก กควร บี

2. จาก บีควร ใน (ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้))

3. จาก ในควร ช (ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้)

4. จาก ชควร ดี (ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้)

5. จาก ดีควร อี (ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้)

ตามกฎแห่งการเคลื่อนผ่าน จาก กควร อี - ทฤษฎีบทโดยตรงได้รับการพิสูจน์โดยวิธีปกติ

ให้ทฤษฎีบทโดยตรงที่พิสูจน์แล้วมีทฤษฎีบทผกผันที่ถูกต้อง: จาก อีควร ก .

มาพิสูจน์กันแบบเดิมๆ ทางคณิตศาสตร์วิธี. การพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนาสามารถแสดงในรูปแบบสัญลักษณ์เป็นอัลกอริทึมของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ที่ให้ไว้: อี

พิสูจน์: จาก อีควร ก .

การพิสูจน์.

1. จาก อีควร ดี

2. จาก ดีควร ช (ตามทฤษฎีบทสนทนาที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้)

3. จาก ชควร ใน (ตามทฤษฎีบทสนทนาที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้)

4. จาก ในอย่าทำมัน บี (ทฤษฎีบทสนทนาไม่เป็นความจริง) นั่นเป็นเหตุผล จาก บีอย่าทำมัน ก .

ในสถานการณ์เช่นนี้ ไม่มีเหตุผลที่จะพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทสนทนาต่อไป เหตุผลของสถานการณ์นั้นสมเหตุสมผล ทฤษฎีบทสนทนาที่ไม่ถูกต้องไม่สามารถแทนที่ด้วยสิ่งใดๆ ได้ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนานี้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ตามปกติ ความหวังทั้งหมดคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทผกผันนี้โดยขัดแย้งกัน

เพื่อที่จะพิสูจน์โดยขัดแย้ง จำเป็นต้องแทนที่เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ด้วยเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันเชิงตรรกะ ซึ่งในความหมายประกอบด้วยสองส่วน - เท็จและจริง

ทฤษฎีบทสนทนารัฐ: จาก อีอย่าทำมัน ก - สภาพของเธอ อี ซึ่งจะมีข้อสรุปดังนี้ ก เป็นผลจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรงโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ปกติ เงื่อนไขนี้ต้องได้รับการเก็บรักษาและเสริมด้วยข้อความ จาก อีควร ก - จากผลลัพธ์ของการบวก เราได้เงื่อนไขที่ขัดแย้งกันของทฤษฎีบทผกผันใหม่: จาก อีควร ก และ จาก อีอย่าทำมัน ก - ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ มีเหตุผลเงื่อนไขที่ขัดแย้งกัน ทฤษฎีบทสนทนาสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีที่ถูกต้อง ตรรกะการใช้เหตุผลเท่านั้น และเท่านั้น ตรรกะวิธีการขัดแย้งกัน ในการพิสูจน์ที่ขัดแย้งกัน การกระทำและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะอยู่ภายใต้บังคับของตรรกะ ดังนั้นจึงไม่นับรวม

ในส่วนแรกของข้อความที่ขัดแย้งกัน จาก อีควร ก เงื่อนไข อี ได้รับการพิสูจน์โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรง ในส่วนที่สอง จาก อีอย่าทำมัน ก เงื่อนไข อี ถูกสันนิษฐานและยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ หนึ่งในนั้นเป็นเท็จ และอีกอันเป็นเรื่องจริง คุณต้องพิสูจน์ว่าอันไหนเป็นเท็จ

เราพิสูจน์มันผ่านความถูกต้อง ตรรกะให้เหตุผลและพบว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นเป็นข้อสรุปที่ผิดและไร้สาระ สาเหตุของการสรุปเชิงตรรกะที่ผิดพลาดคือเงื่อนไขเชิงตรรกะที่ขัดแย้งกันของทฤษฎีบท ซึ่งประกอบไปด้วยสองส่วน - เท็จและจริง ส่วนที่เท็จสามารถเป็นเพียงคำสั่งเท่านั้น จาก อีอย่าทำมัน ก , ซึ่งใน อี ได้รับการยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ นี่คือสิ่งที่ทำให้มันแตกต่างไปจาก อี งบ จาก อีควร ก ซึ่งพิสูจน์โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรง

ดังนั้น ข้อความนี้จึงเป็นจริง: จาก อีควร ก ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

บทสรุป: โดยวิธีตรรกศาสตร์ เฉพาะทฤษฎีบทผกผันเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง ซึ่งมีทฤษฎีบทโดยตรงที่พิสูจน์โดยวิธีทางคณิตศาสตร์ และไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์

ข้อสรุปที่ได้รับมีความสำคัญเป็นพิเศษเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ ความพยายามอย่างล้นหลามในการพิสูจน์มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ แต่ใช้วิธีการพิสูจน์เชิงตรรกะโดยขัดแย้งกัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สก็ไม่มีข้อยกเว้น

Dmitry Abrarov ในบทความ "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: ปรากฏการณ์ของการพิสูจน์ของไวลส์" ตีพิมพ์บทวิจารณ์เกี่ยวกับการพิสูจน์ของไวล์สเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ตามคำกล่าวของอับรารอฟ ไวล์สพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยความช่วยเหลือของการค้นพบที่น่าทึ่งโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เกร์ฮาร์ด เฟรย์ (เกิดปี 1944) ซึ่งเกี่ยวข้องกับคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการของแฟร์มาต์ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 กับสมการอื่นที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง สมการใหม่นี้กำหนดโดยเส้นโค้งพิเศษ (เรียกว่าเส้นโค้งรูปไข่ของเฟรย์) เส้นโค้งเฟรย์ได้มาจากสมการง่ายๆ:
.

“เฟรย์คือผู้ที่เปรียบเทียบกับทุกการตัดสินใจ (ก ข ค)สมการของแฟร์มาต์ ซึ่งก็คือ ตัวเลขที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ n + b n = c n, เส้นโค้งด้านบน ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะตามมา”(อ้างจาก: Abrarov D. “ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: ปรากฏการณ์ของการพิสูจน์ของไวลส์”)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แกร์ฮาร์ด เฟรย์เสนอว่าสมการของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก คำตอบเดียวกันนี้เป็นไปตามสมมติฐานของเฟรย์ นั่นคือคำตอบของสมการของเขา
y 2 + x (x - a n) (y + bn) = 0 ซึ่งกำหนดโดยเส้นโค้งรูปวงรี

Andrew Wiles ยอมรับการค้นพบที่น่าทึ่งนี้โดย Frey และด้วยความช่วยเหลือ ทางคณิตศาสตร์วิธีการพิสูจน์ว่าการค้นพบนี้ ซึ่งก็คือเส้นโค้งรูปไข่เฟรย์ไม่มีอยู่จริง ดังนั้นจึงไม่มีสมการและการแก้โจทย์ที่ได้มาจากเส้นโค้งวงรีที่ไม่มีอยู่จริง ดังนั้น ไวล์สจึงควรยอมรับข้อสรุปว่าไม่มีสมการของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เอง อย่างไรก็ตาม เขายอมรับข้อสรุปที่เรียบง่ายกว่านี้ว่าสมการของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

ข้อเท็จจริงที่หักล้างไม่ได้อาจเป็นได้ว่า ไวล์สยอมรับสมมติฐานที่ตรงกันข้ามกับความหมายที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ กำหนดให้ไวล์สต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยความขัดแย้ง ให้เราทำตามตัวอย่างของเขาและดูว่าเกิดอะไรขึ้นจากตัวอย่างนี้

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ระบุว่าสมการนี้ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 , ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

ตามวิธีการพิสูจน์เชิงตรรกศาสตร์โดยขัดแย้ง ข้อความนี้จะคงอยู่ ยอมรับว่าให้โดยไม่มีข้อพิสูจน์ แล้วเสริมด้วยข้อความที่ตรงกันข้าม: สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

ข้อความสันนิษฐานยังเป็นที่ยอมรับตามที่ให้ไว้โดยไม่มีหลักฐาน ข้อความทั้งสองที่พิจารณาจากมุมมองของกฎพื้นฐานของตรรกะนั้นถูกต้องเท่าเทียมกัน ถูกต้องเท่าเทียมกัน และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน โดยการให้เหตุผลที่ถูกต้อง จำเป็นต้องพิจารณาว่าข้อความใดเป็นเท็จ เพื่อตัดสินว่าข้อความอื่นเป็นจริง

การใช้เหตุผลที่ถูกต้องจะจบลงด้วยข้อสรุปที่ผิดและไร้สาระ เหตุผลเชิงตรรกะที่สามารถเป็นเพียงเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันของทฤษฎีบทที่กำลังพิสูจน์อยู่ ซึ่งประกอบด้วยสองส่วนที่มีความหมายตรงกันข้ามโดยตรง สิ่งเหล่านี้เป็นเหตุผลเชิงตรรกะสำหรับข้อสรุปที่ไร้สาระ ซึ่งเป็นผลจากการพิสูจน์ที่ขัดแย้งกัน

อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการให้เหตุผลที่ถูกต้องตามหลักตรรกะ ไม่มีการค้นพบสัญญาณใดที่สามารถระบุได้ว่าข้อความใดเป็นเท็จ อาจเป็นข้อความสั่ง: สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก บนพื้นฐานเดียวกัน อาจเป็นข้อความต่อไปนี้: สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 , ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

จากการให้เหตุผลจึงมีข้อสรุปได้เพียงข้อเดียว: ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความขัดแย้ง.

มันจะแตกต่างออกไปมากถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นทฤษฎีบทผกผัน ซึ่งมีทฤษฎีบทโดยตรงที่พิสูจน์โดยวิธีทางคณิตศาสตร์ตามปกติ ในกรณีนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยความขัดแย้ง และเนื่องจากมันเป็นทฤษฎีบทโดยตรง การพิสูจน์จึงไม่ควรขึ้นอยู่กับวิธีการพิสูจน์เชิงตรรกะที่ขัดแย้งกัน แต่ใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ธรรมดา

ตามคำกล่าวของ D. Abrarov นักคณิตศาสตร์รัสเซียสมัยใหม่ที่มีชื่อเสียงที่สุด นักวิชาการ V. I. Arnold โต้ตอบ "อย่างไม่มั่นใจ" ต่อข้อพิสูจน์ของ Wiles นักวิชาการกล่าวว่า: "นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ที่แท้จริง คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคือเรขาคณิตและมีความเชื่อมโยงอย่างมากกับฟิสิกส์" (คำพูดจาก: Abrarov D. "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: ปรากฏการณ์ของการพิสูจน์ของไวล์ส" ข้อความของนักวิชาการแสดงให้เห็นสาระสำคัญของ การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์ของไวล์ส

ในทางที่ขัดแย้งกัน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่าสมการของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบ ความผิดพลาดของไวล์สไม่ใช่เรื่องทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นเชิงตรรกะ - การใช้การพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน โดยที่การใช้มันไม่สมเหตุสมผล และทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ก็พิสูจน์ไม่ได้

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถพิสูจน์ได้แม้จะใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ตามปกติก็ตาม ถ้ามันให้: สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 , ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก และถ้าคุณต้องการพิสูจน์ในนั้น ให้ใช้สมการ xn + yn = zn , ที่ไหน n > 2 , ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก ในรูปแบบนี้ไม่มีทฤษฎีบท แต่เป็นแบบซ้ำซากไร้ความหมาย

บันทึก.มีการพูดคุยเรื่องหลักฐาน BTF ของฉันในฟอรัมใดฟอรัมหนึ่ง หนึ่งในผู้เข้าร่วม Trotil ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนได้กล่าวถ้อยคำที่น่าเชื่อถือดังต่อไปนี้ โดยมีชื่อว่า "การเล่าสั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งที่ Mirgorodsky ทำ" ฉันพูดคำต่อคำ:

« ก. เขาพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้า ซี 2 = x 2 + y , ที่ zn > xn + yn - นี่เป็นข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีและค่อนข้างชัดเจน

ใน. เขาหยิบสองทริปเปิ้ล - พีทาโกรัสและไม่ใช่พีทาโกรัสและแสดงโดยการค้นหาง่ายๆ ว่าสำหรับทริปเปิ้ลที่เฉพาะเจาะจงและเฉพาะเจาะจง (78 และ 210 ชิ้น) BTF พอใจ (และสำหรับมันเท่านั้น)

กับ. แล้วผู้เขียนก็ละเลยความจริงที่ว่าจาก < ในภายหลังก็อาจกลายเป็นได้ = , ไม่เพียงแค่ > - ตัวอย่างโต้แย้งง่ายๆ - การเปลี่ยนแปลง n=1 วี n=2 ในไตรลักษณ์พีทาโกรัส

ดี. ประเด็นนี้ไม่ได้มีส่วนสำคัญในการพิสูจน์ BTF สรุป: BTF ยังไม่ได้รับการพิสูจน์”

ฉันจะพิจารณาข้อสรุปของเขาทีละจุด

ก.มันพิสูจน์ BTF สำหรับเซตอนันต์ของเลขสามเท่าของพีทาโกรัส พิสูจน์โดยวิธีทางเรขาคณิต ซึ่งตามที่ฉันเชื่อว่าฉันไม่ได้ค้นพบ แต่ถูกค้นพบอีกครั้ง และตามที่ผมเชื่อ มันถูกค้นพบโดยพี. แฟร์มาต์เอง แฟร์มาต์อาจมีสิ่งนี้อยู่ในใจเมื่อเขาเขียนว่า:

“ฉันได้ค้นพบข้อพิสูจน์ที่อัศจรรย์อย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่สาขาเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับมัน” สมมติฐานของฉันนี้มีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในปัญหาไดโอแฟนไทน์ ซึ่งแฟร์มาต์เขียนไว้ตรงขอบของหนังสือ เรากำลังพูดถึงคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งเป็นแฝดสามของเลขพีทาโกรัส

เซตอนันต์ของเลขพีทาโกรัสจำนวนสามชุดเป็นคำตอบของสมการไดโอฟาทีน และในทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ในทางกลับกัน ไม่มีคำตอบใดที่สามารถเป็นคำตอบของสมการทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ และข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงของแฟร์มาต์ก็เกี่ยวข้องโดยตรงกับข้อเท็จจริงนี้ ในเวลาต่อมาแฟร์มาต์สามารถขยายทฤษฎีบทของเขาเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดได้ บนเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด BTF ไม่ได้อยู่ใน “เซตของทฤษฎีบทที่สวยงามเป็นพิเศษ” นี่คือสมมติฐานของฉัน ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ มันสามารถยอมรับหรือปฏิเสธได้

ใน.ณ จุดนี้ ฉันพิสูจน์ได้ว่าทั้งตระกูลของตัวเลขสามเท่าของพีทาโกรัสที่ได้มาโดยพลการและครอบครัวของตัวเลข BTF ทริปเปิลที่ไม่ใช่พีทาโกรัสที่ได้มาโดยพลการนั้นพอใจ นี่เป็นลิงก์ที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอและเป็นสื่อกลางในการพิสูจน์ BTF ของฉัน . ตัวอย่างที่ฉันยกมาจากตระกูลของเลขสามตัวของจำนวนพีทาโกรัส และตระกูลของเลขสามตัวที่ไม่ใช่ของพีทาโกรัส มีความหมายตามตัวอย่างเฉพาะที่สันนิษฐานและไม่รวมตัวอย่างอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน

คำกล่าวของ Trotil ที่ฉัน "แสดงโดยการค้นหาง่ายๆ ว่าสำหรับแฝดสามตระกูลที่เฉพาะเจาะจง (78 และ 210 ชิ้น) BTF พึงพอใจ (และสำหรับมันเท่านั้น) นั้นไม่มีมูลความจริง เขาไม่สามารถหักล้างความจริงที่ว่าฉันสามารถยกตัวอย่างอื่นของสามเท่าของพีทาโกรัสและไม่ใช่พีทาโกรัสเพื่อให้ได้ตระกูลที่แน่นอนเฉพาะของหนึ่งและสามอีกสาม

ไม่ว่าฉันจะเลือกแฝดสามคู่ใดก็ตาม ในความคิดของฉัน การตรวจสอบความเหมาะสมในการแก้ปัญหาสามารถทำได้โดยใช้วิธี "การแจงนับแบบง่าย" เท่านั้น ฉันไม่รู้วิธีอื่นและไม่ต้องการมัน ถ้าทรอติลไม่ชอบ เขาก็ควรจะแนะนำวิธีอื่นซึ่งเขาไม่ทำ หากไม่มีการเสนอสิ่งใดเป็นการตอบแทน เป็นการไม่ถูกต้องที่จะประณาม "การฆ่ามากเกินไป" ซึ่งในกรณีนี้ไม่สามารถทดแทนได้

กับ.ฉันละเว้น = ระหว่าง< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение ซี 2 = x 2 + y (1) ซึ่งในระดับปริญญา n > 2 — ทั้งหมดจำนวนบวก จากความเท่าเทียมกันระหว่างความไม่เท่าเทียมกันตามมา บังคับการพิจารณาสมการ (1) สำหรับค่าดีกรีที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม n > 2 - Trotil นับ ภาคบังคับการพิจารณาความเท่าเทียมกันระหว่างความไม่เท่าเทียมกันจริง ๆ แล้วพิจารณา จำเป็นในการพิสูจน์ BTF การพิจารณาสมการ (1) ด้วย ไม่ทั้งหมดค่าระดับ n > 2 - ฉันทำสิ่งนี้เพื่อตัวเองและพบสมการนั้น (1) ด้วย ไม่ทั้งหมดค่าระดับ n > 2 มีคำตอบของตัวเลขสามตัว: ซี, (z-1), (z-1) สำหรับเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 2 สมการ xn + yn = zn จะไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ

คุณคงจำได้ตั้งแต่สมัยเรียน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา คุณอาจจำสามเหลี่ยมมุมฉากแบบคลาสสิกที่มีด้านที่มีความยาวในอัตราส่วน 3: 4: 5 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีลักษณะดังนี้:

นี่คือตัวอย่างการแก้สมการพีทาโกรัสทั่วไปในจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วย n= 2. ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (เรียกอีกอย่างว่า "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" และ "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์") เป็นข้อความที่ว่าสำหรับค่าต่างๆ n> 2 สมการของแบบฟอร์ม เอ็กซ์เอ็น + ใช่ = z nไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นน่าสนใจและให้ความรู้อย่างมาก ไม่ใช่เฉพาะสำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์มีส่วนในการพัฒนาคณิตศาสตร์สาขาต่างๆ แต่ส่วนหลักของมรดกทางวิทยาศาสตร์ของเขาได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมเท่านั้น ความจริงก็คือคณิตศาสตร์สำหรับแฟร์มาต์นั้นเป็นงานอดิเรก ไม่ใช่อาชีพ เขาติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคนั้น แต่ไม่ได้พยายามเผยแพร่ผลงานของเขา งานเขียนทางวิทยาศาสตร์ของแฟร์มาต์ส่วนใหญ่พบในรูปแบบของจดหมายโต้ตอบส่วนตัวและบันทึกที่ไม่เป็นชิ้นเป็นอัน ซึ่งมักเขียนไว้ริมหนังสือหลายเล่ม มันอยู่ในระยะขอบ (ของเล่มที่สองของ "เลขคณิต" ของกรีกโบราณของ Diophantus - บันทึก นักแปล) ไม่นานหลังจากการตายของนักคณิตศาสตร์ผู้สืบเชื้อสายได้ค้นพบสูตรของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงและคำลงท้าย:

« ฉันพบข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมจริงๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ช่องเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับมัน».

อนิจจาเห็นได้ชัดว่าแฟร์มาต์ไม่เคยใส่ใจที่จะจด "ข้อพิสูจน์อัศจรรย์" ที่เขาพบและลูกหลานก็ค้นหามันมานานกว่าสามศตวรรษโดยไม่ประสบความสำเร็จ ในบรรดามรดกทางวิทยาศาสตร์ที่กระจัดกระจายของแฟร์มาต์ทั้งหมด ซึ่งมีข้อความที่น่าประหลาดใจมากมาย ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นั้นปฏิเสธที่จะแก้ไขอย่างดื้อรั้น

ใครก็ตามที่พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นไร้ผล! นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่อีกคน René Descartes (1596–1650) เรียกแฟร์มาต์ว่าเป็น "คนอวดดี" และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ John Wallis (1616–1703) เรียกเขาว่า "ไอ้ชาวฝรั่งเศส" อย่างไรก็ตาม แฟร์มาต์เองยังคงทิ้งหลักฐานทฤษฎีบทของเขาไว้สำหรับคดีนี้ n= 4. พร้อมหลักฐานสำหรับ n= 3 ได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส-รัสเซียผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–83) หลังจากนั้นไม่สามารถหาหลักฐานได้ n> 4 พูดติดตลกว่าให้ตรวจค้นบ้านของแฟร์มาต์เพื่อหากุญแจไขหลักฐานที่สูญหาย ในศตวรรษที่ 19 วิธีการใหม่ในทฤษฎีจำนวนทำให้สามารถพิสูจน์ข้อความของจำนวนเต็มจำนวนมากภายใน 200 ได้ แต่ก็ไม่ใช่ทั้งหมดเช่นกัน

ในปี 1908 มีการจัดตั้งรางวัล 100,000 เครื่องหมายเยอรมันสำหรับการแก้ปัญหานี้ กองทุนรางวัลได้รับการพินัยกรรมโดยนักอุตสาหกรรมชาวเยอรมัน Paul Wolfskehl ซึ่งตามตำนานกล่าวว่ากำลังจะฆ่าตัวตาย แต่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ถูกพาไปจนทำให้เขาเปลี่ยนใจที่จะตาย ด้วยการถือกำเนิดของการเพิ่มเครื่องจักรและคอมพิวเตอร์แถบค่า nเริ่มสูงขึ้นเรื่อย ๆ - เป็น 617 ในช่วงเริ่มต้นของสงครามโลกครั้งที่สองเป็น 4,001 ในปี 1954 เป็น 125,000 ในปี 1976 ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 20 คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดในห้องปฏิบัติการทางทหารในลอสอาลามอส (นิวเม็กซิโก สหรัฐอเมริกา) ได้รับการตั้งโปรแกรมให้แก้ปัญหาของแฟร์มาต์ในเบื้องหลัง (คล้ายกับโหมดรักษาหน้าจอของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับค่าที่มากอย่างไม่น่าเชื่อ x, y, zและ nแต่สิ่งนี้ไม่สามารถใช้เป็นข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดได้ เนื่องจากค่าใดๆ ต่อไปนี้ nหรือจำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติสามารถพิสูจน์หักล้างทฤษฎีบทโดยรวมได้

ในที่สุด ในปี 1994 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew John Wiles (เกิดปี 1953) ซึ่งทำงานที่ Princeton ได้ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ซึ่งหลังจากปรับเปลี่ยนบางอย่างก็ถือว่าครอบคลุม การพิสูจน์ใช้เวลามากกว่าหนึ่งร้อยหน้าในบันทึกประจำวันและอาศัยการใช้เครื่องมือสมัยใหม่ด้านคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งไม่ได้รับการพัฒนาในยุคของแฟร์มาต์ แล้วแฟร์มาต์หมายความว่าอย่างไรโดยทิ้งข้อความไว้ตรงขอบหนังสือว่าเขาพบหลักฐานแล้ว? นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ฉันพูดคุยด้วยในหัวข้อนี้ชี้ให้เห็นว่าตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ไม่ถูกต้องมากกว่าเพียงพอ และเป็นไปได้มากว่าแฟร์มาต์เองก็พบข้อพิสูจน์ที่คล้ายกันแล้ว แต่ล้มเหลวในการจดจำข้อผิดพลาด ในนั้น. อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปได้ว่ายังมีข้อพิสูจน์สั้นๆ และสง่างามเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ยังไม่มีใครค้นพบ มีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้นที่สามารถพูดได้อย่างมั่นใจ: วันนี้เรารู้แน่ว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นความจริง ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเห็นด้วยกับแอนดรูว์ ไวล์สอย่างไม่มีเงื่อนไข ซึ่งกล่าวถึงข้อพิสูจน์ของเขาว่า "ในที่สุด จิตใจของฉันก็สงบลงแล้ว"

เมื่อหลายปีก่อนฉันได้รับจดหมายจากทาชเคนต์จาก Valery Muratov โดยตัดสินจากลายมือซึ่งเป็นชายวัยรุ่นซึ่งอาศัยอยู่บนถนน Kommunisticheskaya ที่บ้านเลขที่ 31 ผู้ชายคนนั้นตั้งใจแน่วแน่:“ คุณจะจ่ายให้ตรงประเด็นแค่ไหน ฉันพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ไหม อย่างน้อยก็ 500 รูเบิล ฉันจะพิสูจน์ให้คุณดูฟรี ๆ แต่ตอนนี้ฉันต้องการเงิน ... "

ความขัดแย้งที่น่าทึ่ง: มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าแฟร์มัตคือใคร อาศัยอยู่เมื่อใด และเขาทำอะไร มีเพียงไม่กี่คนที่สามารถอธิบายทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของเขาได้แม้ในแง่ทั่วไปที่สุด แต่ทุกคนรู้ดีว่ามีทฤษฎีบทของแฟร์มาต์บางประเภทซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ว่านักคณิตศาสตร์ทั่วโลกดิ้นรนมานานกว่า 300 ปี แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้!

มีคนที่มีความทะเยอทะยานมากมาย และการตระหนักรู้ว่ามีบางสิ่งที่คนอื่นทำไม่ได้ยิ่งกระตุ้นให้พวกเขามีความทะเยอทะยานมากยิ่งขึ้น ดังนั้น มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นับพัน (!) และกำลังมาถึงในสถาบันการศึกษา สถาบันวิทยาศาสตร์ และแม้กระทั่งกองบรรณาธิการหนังสือพิมพ์ทั่วโลก ซึ่งเป็นบันทึกกิจกรรมสมัครเล่นเชิงวิทยาศาสตร์เทียมที่ไม่เคยมีมาก่อนและไม่เคยทำลาย มีแม้กระทั่งคำว่า: "นักเกษตรกรรม" นั่นคือคนที่หมกมุ่นอยู่กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ซึ่งทรมานนักคณิตศาสตร์มืออาชีพอย่างสมบูรณ์โดยต้องการประเมินงานของพวกเขา นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน Edmund Landau ถึงกับเตรียมมาตรฐานซึ่งเขาตอบว่า: "มีข้อผิดพลาดในหน้านี้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ของคุณ ... " และนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของเขาก็จดหมายเลขหน้าไว้ และในฤดูร้อนปี 1994 หนังสือพิมพ์ทั่วโลกรายงานบางสิ่งที่น่าตื่นตาตื่นใจอย่างยิ่ง: ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ได้รับการพิสูจน์แล้ว!

แล้วแฟร์มาต์คือใคร ปัญหาคืออะไร และจะแก้ไขได้จริงหรือไม่? ปิแอร์ แฟร์มาต์เกิดในปี 1601 ในครอบครัวของช่างฟอกหนัง ชายผู้มั่งคั่งและเป็นที่เคารพนับถือ เขาทำหน้าที่เป็นกงสุลที่สองในเมืองโบมอนต์ ซึ่งเป็นบ้านเกิดของเขา ซึ่งคล้ายกับผู้ช่วยนายกเทศมนตรี ปิแอร์ศึกษากับพระภิกษุฟรานซิสกันก่อน จากนั้นจึงเรียนที่คณะนิติศาสตร์ในเมืองตูลูส ซึ่งต่อมาเขาได้ศึกษาด้านกฎหมาย อย่างไรก็ตาม ความสนใจที่หลากหลายของ Fermat มีมากกว่าแค่หลักนิติศาสตร์ เขาสนใจวิชาอักษรศาสตร์คลาสสิกเป็นพิเศษและเป็นที่รู้กันดีถึงข้อคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับตำราของนักเขียนโบราณ และความหลงใหลประการที่สองของฉันคือคณิตศาสตร์

ในศตวรรษที่ 17 เช่นเดียวกับหลายปีต่อมาไม่มีอาชีพเช่นนี้: นักคณิตศาสตร์ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในยุคนั้นทั้งหมดจึงเป็นนักคณิตศาสตร์ "นอกเวลา": Rene Descartes รับใช้ในกองทัพ, François Viète เป็นทนายความ, Francesco Cavalieri เป็นพระ ตอนนั้นไม่มีวารสารทางวิทยาศาสตร์และปิแอร์ แฟร์มาต์ นักวิทยาศาสตร์คลาสสิกไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานทางวิทยาศาสตร์แม้แต่ชิ้นเดียวในช่วงชีวิตของเขา มี "มือสมัครเล่น" ที่ค่อนข้างแคบซึ่งแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ที่น่าสนใจสำหรับพวกเขาและเขียนจดหมายถึงกันเกี่ยวกับเรื่องนี้ซึ่งบางครั้งก็ถกเถียงกัน (เช่นแฟร์มาต์และเดการ์ต) แต่ส่วนใหญ่ยังคงมีใจเดียวกัน พวกเขากลายเป็นผู้ก่อตั้งคณิตศาสตร์ใหม่ ผู้หว่านเมล็ดพันธุ์ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งต้นไม้อันยิ่งใหญ่แห่งความรู้ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่เริ่มเติบโต ได้รับความแข็งแกร่งและแตกแขนง

แฟร์มาต์ก็เป็น "มือสมัครเล่น" คนเดียวกัน ในตูลูสซึ่งเขาอาศัยอยู่เป็นเวลา 34 ปี ประการแรกทุกคนรู้จักเขาในฐานะที่ปรึกษาห้องสืบสวนและทนายความที่มีประสบการณ์ เมื่ออายุ 30 ปี เขาแต่งงานแล้ว มีลูกชายสามคนและลูกสาวสองคน บางครั้งออกไปทำธุรกิจ และในระหว่างหนึ่งในนั้นเขาก็เสียชีวิตอย่างกะทันหันเมื่ออายุ 63 ปี ทั้งหมด! ชีวิตของชายผู้นี้ซึ่งอยู่ร่วมสมัยกับ The Three Musketeers ไม่มีอะไรน่าประหลาดใจและไร้การผจญภัย การผจญภัยมาพร้อมกับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของเขา อย่าพูดถึงมรดกทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของแฟร์มาต์เลย และเป็นการยากที่จะพูดถึงเรื่องนี้อย่างแพร่หลาย เชื่อคำพูดของฉัน: มรดกนี้ยิ่งใหญ่และหลากหลาย การกล่าวอ้างที่ว่าทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่คือจุดสุดยอดในงานของเขาเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันอย่างมาก เพียงแต่ชะตากรรมของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นั้นน่าสนใจอย่างน่าประหลาดใจ และโลกอันกว้างใหญ่ของผู้คนที่ไม่ได้ฝึกหัดในความลึกลับของคณิตศาสตร์นั้นไม่ได้สนใจในตัวทฤษฎีบทมาโดยตลอด แต่สนใจในทุกสิ่งที่อยู่รอบตัวมัน...

รากเหง้าของเรื่องราวทั้งหมดนี้ต้องค้นหาในสมัยโบราณ ซึ่งเป็นที่ชื่นชอบของแฟร์มาต์ ประมาณศตวรรษที่ 3 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ไดโอแฟนทัสอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรีย ซึ่งเป็นนักวิทยาศาสตร์ดั้งเดิมที่คิดนอกกรอบและแสดงความคิดนอกกรอบ จากหนังสือเลขคณิต 13 เล่มของเขา มีเพียง 6 เล่มเท่านั้นที่มาถึงเรา เมื่อแฟร์มาต์อายุ 20 ปี งานแปลใหม่ของเขาก็ได้รับการตีพิมพ์ แฟร์มาต์สนใจไดโอแฟนทัสเป็นอย่างมาก และงานเหล่านี้เป็นหนังสืออ้างอิงของเขา ในระยะขอบ แฟร์มาต์เขียนทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของเขาไว้ ซึ่งในรูปแบบสมัยใหม่ที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้: สมการ Xn + Yn = Zn ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มสำหรับ n - มากกว่า 2 (สำหรับ n = 2 วิธีแก้ชัดเจน : 32 + 42 = 52 ) ตรงขอบของเล่มไดโอแฟนไทน์ แฟร์มาต์กล่าวเสริมว่า “ฉันได้ค้นพบข้อพิสูจน์ที่อัศจรรย์จริงๆ นี้แล้ว แต่ขอบเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับมัน”

เมื่อมองแวบแรก นี่เป็นเรื่องง่าย แต่เมื่อนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เริ่มพิสูจน์ทฤษฎีบท "เรียบง่าย" นี้ ไม่มีใครประสบความสำเร็จเป็นเวลาร้อยปี ในที่สุด Leonhard Euler ผู้ยิ่งใหญ่ก็พิสูจน์มันด้วย n = 4 จากนั้น 20 (!) ปีต่อมา - ด้วย n = 3 และอีกครั้งที่งานหยุดชะงักเป็นเวลาหลายปี ชัยชนะครั้งต่อไปเป็นของ Peter Dirichlet ชาวเยอรมัน (1805-1859) และ Andrien Legendre ชาวฝรั่งเศส (1752-1833) - พวกเขายอมรับว่า Fermat นั้นถูกต้องสำหรับ n = 5 จากนั้นชาวฝรั่งเศส Gabriel Lamé (1795-1870) ก็ทำเช่นเดียวกันสำหรับ n = 7 ในที่สุด ในช่วงกลางศตวรรษที่ผ่านมา Ernst Kummer ชาวเยอรมัน (พ.ศ. 2353-2436) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่สำหรับค่าทั้งหมด n น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ยิ่งไปกว่านั้นเขายังพิสูจน์โดยใช้วิธีการที่แฟร์มาต์ ไม่สามารถรู้ได้ ซึ่งเพิ่มไหวพริบแห่งความลึกลับรอบทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่มากขึ้น

ดังนั้น ปรากฎว่าพวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ "ทีละชิ้น" แต่ไม่มีใครประสบความสำเร็จ "อย่างครบถ้วน" ความพยายามใหม่ในการพิสูจน์ทำให้ค่า n เพิ่มขึ้นในเชิงปริมาณเท่านั้น ทุกคนเข้าใจว่าด้วยการทำงานหนักมากจึงเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่สำหรับ n จำนวนมากโดยพลการ แต่แฟร์มาต์กำลังพูดถึงเรื่องใด ๆ มูลค่ามากกว่า 2! ในความแตกต่างระหว่าง "มากเท่าที่คุณต้องการ" และ "ใด ๆ" ที่ทำให้ความหมายทั้งหมดของปัญหามีความเข้มข้น

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าความพยายามที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของเฟิร์มกไม่ได้เป็นเพียงเกมคณิตศาสตร์บางประเภทเท่านั้น ซึ่งเป็นการแก้โจทย์ที่ซับซ้อน ในกระบวนการของการพิสูจน์เหล่านี้ โลกทัศน์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ได้ถูกเปิดออก ปัญหาเกิดขึ้นและได้รับการแก้ไข กลายเป็นสาขาใหม่ของแผนภูมิต้นไม้ทางคณิตศาสตร์ เดวิด ฮิลแบร์ต นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวเยอรมัน (ค.ศ. 1862-1943) อ้างถึงทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ว่าเป็นตัวอย่างของ "อิทธิพลที่กระตุ้นต่อวิทยาศาสตร์ซึ่งปัญหาพิเศษที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญสามารถมีได้" คุมเมอร์คนเดียวกันซึ่งทำงานในทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาเองซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และทฤษฎีฟังก์ชัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ไม่ใช่กีฬา แต่เป็นวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

เวลาผ่านไป และอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ก็เข้ามาช่วยเหลือ "fsrmatntsts" ระดับมืออาชีพ สมองอิเล็กทรอนิกส์ไม่สามารถคิดค้นวิธีการใหม่ๆ ได้ แต่ทำได้รวดเร็ว ในช่วงต้นทศวรรษที่ 80 ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ในราคา n น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5,500 ตัวเลขนี้ค่อยๆ เพิ่มขึ้นเป็น 100,000 แต่ทุกคนเข้าใจว่า "การสะสม" ดังกล่าวเป็นเรื่องของเทคโนโลยีบริสุทธิ์ที่ให้ ไม่มีอะไรอยู่ในจิตใจหรือหัวใจ พวกเขาไม่สามารถยึดป้อมปราการของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ได้ และเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหา

ในช่วงกลางทศวรรษที่ 80 G. Filytings ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์อายุน้อยได้พิสูจน์สิ่งที่เรียกว่า "การคาดเดาของมอร์เดลล์" ซึ่งในทางกลับกัน "ไม่ได้ตกอยู่ในมือ" ของนักคณิตศาสตร์คนใดเลยเป็นเวลา 61 ปี ความหวังเกิดขึ้นว่าตอนนี้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สามารถแก้ไขได้ด้วยการ "โจมตีจากปีก" อย่างไรก็ตามไม่มีอะไรเกิดขึ้น ในปี 1986 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน แกร์ฮาร์ด เฟรย์ ได้เสนอวิธีการพิสูจน์ใหม่ใน Essence ฉันไม่รับหน้าที่อธิบายอย่างเคร่งครัด แต่ไม่ใช่ในทางคณิตศาสตร์ แต่ในภาษามนุษย์สากล เสียงจะประมาณนี้ ถ้าเราเชื่อว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นเป็นการพิสูจน์ทางอ้อม ในทางใดทางหนึ่งก็มีการเปลี่ยนการพิสูจน์ของ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ดังนั้น เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ หนึ่งปีต่อมา Kenneth Ribet ชาวอเมริกันจาก Berkeley แสดงให้เห็นว่า Frey พูดถูก และแท้จริงแล้ว ข้อพิสูจน์หนึ่งสามารถลดลงเหลืออีกข้อพิสูจน์หนึ่งได้ นักคณิตศาสตร์จำนวนมากในประเทศต่างๆ ของโลกเดินตามเส้นทางนี้ Viktor Aleksandrovich Kolyvanov ทำหลายอย่างเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ กำแพงอายุสามร้อยปีของป้อมปราการที่เข้มแข็งเริ่มสั่นไหว นักคณิตศาสตร์ตระหนักว่ามันคงอยู่ได้ไม่นาน

ในฤดูร้อนปี 1993 ในเมืองเคมบริดจ์โบราณ ที่สถาบันวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ไอแซก นิวตัน นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก 75 คนมารวมตัวกันเพื่อหารือเกี่ยวกับปัญหาของพวกเขา หนึ่งในนั้นคือศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน แอนดรูว์ ไวล์ส จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญหลักด้านทฤษฎีจำนวน ทุกคนรู้ว่าเขาศึกษาทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่มาหลายปีแล้ว ไวล์สรายงานสามฉบับ และรายงานครั้งสุดท้ายคือวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในตอนท้ายสุด เขาหันหลังออกจากกระดาน และพูดด้วยรอยยิ้ม:

- ฉันเดาว่าฉันจะไม่ไปต่อ...

ตอนแรกก็เงียบกริบ จากนั้นก็มีเสียงปรบมือมากมาย ผู้ที่นั่งอยู่ในห้องโถงมีคุณสมบัติเพียงพอที่จะเข้าใจ: ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้ว! อย่างไรก็ตาม ไม่มีผู้ใดพบข้อผิดพลาดในหลักฐานที่นำเสนอ รองผู้อำนวยการสถาบันนิวตัน ปีเตอร์ ก็อดดาร์ดกล่าวกับผู้สื่อข่าวว่า:

“ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ไม่คิดว่าพวกเขาจะรู้คำตอบไปตลอดชีวิต” นี่คือหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดทางคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษของเรา...

หลายเดือนผ่านไป ไม่มีความคิดเห็นหรือข้อโต้แย้งใด ๆ จริงอยู่ที่ Wiles ไม่ได้เผยแพร่หลักฐานของเขา แต่เพียงส่งสิ่งที่เรียกว่าภาพพิมพ์ของงานของเขาไปยังกลุ่มเพื่อนร่วมงานที่แคบมาก ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วจะป้องกันไม่ให้นักคณิตศาสตร์แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความรู้สึกทางวิทยาศาสตร์นี้ และฉันเข้าใจนักวิชาการ Ludwig Dmitrievich Faddeev ใครพูด:

“ฉันบอกได้เลยว่าความรู้สึกเกิดขึ้นเมื่อฉันเห็นหลักฐานด้วยตาของตัวเอง”

Faddeev เชื่อว่าโอกาสที่ Wiles จะชนะนั้นสูงมาก

“พ่อของผม ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนที่มีชื่อเสียง มั่นใจว่าทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์ แต่ไม่ใช่ด้วยวิธีเบื้องต้น” เขากล่าวเสริม

Viktor Pavlovich Maslov นักวิชาการอีกคนของเราไม่เชื่อเกี่ยวกับข่าวนี้ และเชื่อว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ไม่ใช่ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เร่งด่วนเลย ในแง่ของความสนใจทางวิทยาศาสตร์ของเขา Maslov ประธานสภาคณิตศาสตร์ประยุกต์อยู่ห่างไกลจาก "นักปุ๋ย" และเมื่อเขากล่าวว่าการแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นั้นเป็นเพียงความสนใจด้านกีฬาเท่านั้นใคร ๆ ก็สามารถเข้าใจเขาได้ อย่างไรก็ตาม ฉันกล้าที่จะสังเกตว่าแนวคิดเรื่องความเกี่ยวข้องในวิทยาศาสตร์ใดๆ นั้นเป็นปริมาณที่แปรผันได้ เมื่อ 90 ปีที่แล้ว รัทเทอร์ฟอร์ดอาจได้รับคำบอกเล่าว่า "เอาล่ะ ทฤษฎีการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี... แล้วมันจะมีประโยชน์อะไรล่ะ?.."

งานพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ได้ให้ประโยชน์แก่คณิตศาสตร์ไปมากแล้ว และเราหวังว่ามันจะมีประโยชน์มากกว่านี้

“สิ่งที่ไวล์สทำจะพัฒนานักคณิตศาสตร์ไปสู่สาขาอื่นๆ” ปีเตอร์ ก็อดดาร์ดกล่าว — แต่มันไม่ได้ปิดทิศทางความคิดใดทิศทางหนึ่ง แต่ทำให้เกิดคำถามใหม่ที่ต้องการคำตอบ...

ศาสตราจารย์ Mikhail Ilyich Zelikin จากมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกอธิบายสถานการณ์วันนี้ให้ฉันฟังดังนี้:

ไม่มีใครเห็นข้อผิดพลาดในงานของไวล์ส แต่เพื่อให้งานนี้กลายเป็นข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนจำเป็นต้องทำซ้ำข้อพิสูจน์นี้อย่างอิสระและยืนยันความถูกต้อง นี่เป็นเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้สำหรับนักคณิตศาสตร์ทั่วไปในการทำความเข้าใจงานของไวล์ส...

มันจะใช้เวลานานเท่าไหร่?

ฉันถามคำถามนี้กับหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญชั้นนำของเราในสาขาทฤษฎีจำนวน Doctor of Physical and Mathematical Sciences Alexey Nikolaevich Parshin

— Andrew Wiles ยังมีเวลารออีกมาก...

ความจริงก็คือเมื่อวันที่ 13 กันยายน พ.ศ. 2450 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน P. Wolfskel ผู้ซึ่งแตกต่างจากนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คือเป็นคนรวยโดยมอบคะแนน 100,000 คะแนนให้กับผู้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ในอีก 100 ปีข้างหน้า ในตอนต้นของศตวรรษ ดอกเบี้ยจากจำนวนที่ยกมรดกตกเป็นของคลังของมหาวิทยาลัย Goethanghent ที่มีชื่อเสียง ด้วยเงินจำนวนนี้ นักคณิตศาสตร์ชั้นนำได้รับเชิญให้บรรยายและดำเนินงานด้านวิทยาศาสตร์ ในขณะนั้นประธานคณะกรรมการตัดสินรางวัลคือ เดวิด กิลเบิร์ต ที่ถูกกล่าวถึงแล้ว เขาไม่ต้องการจ่ายโบนัสจริงๆ

“โชคดี” นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่กล่าว “ดูเหมือนว่าเราไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเลย ยกเว้นฉันที่สามารถทำงานนี้ได้ แต่ฉันจะไม่กล้าฆ่าห่านที่ออกไข่ทองคำให้เราเลย”

เหลือเวลาอีกไม่กี่ปีจะถึงเส้นตายของปี 2550 ซึ่งกำหนดโดย Wolfskehl และสำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าอันตรายร้ายแรงจะเกิดขึ้นกับ "ไก่ของฮิลเบิร์ต" แต่มันไม่เกี่ยวกับโบนัสจริงๆ มันเป็นเรื่องของความอยากรู้อยากเห็นของความคิดและความเพียรของมนุษย์ พวกเขาต่อสู้มานานกว่าสามร้อยปี แต่พวกเขายังคงพิสูจน์ได้!

และต่อไป. สำหรับฉัน สิ่งที่น่าสนใจที่สุดในเรื่องราวทั้งหมดนี้ก็คือ แฟร์มาต์พิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของเขาเองได้อย่างไร ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่รู้จักเคล็ดลับทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดในปัจจุบัน และเขาได้พิสูจน์มันแล้วหรือยัง? ท้ายที่สุด มีเวอร์ชันหนึ่งที่ดูเหมือนเขาจะพิสูจน์แล้ว แต่ตัวเขาเองพบข้อผิดพลาด จึงไม่ได้ส่งหลักฐานไปให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ และลืมขีดฆ่าข้อความที่ขอบของปริมาตรของ Diophantus ดังนั้น สำหรับฉันดูเหมือนว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ได้เกิดขึ้นอย่างชัดเจน แต่ความลับของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังคงอยู่ และไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะเปิดเผยมันได้เลย...

แฟร์มาต์อาจเข้าใจผิดในตอนนั้น แต่เขาก็ไม่เข้าใจผิดเมื่อเขาเขียนว่า “บางทีลูกหลานอาจจะรู้สึกขอบคุณข้าพเจ้าที่ได้แสดงให้พวกเขาเห็นว่าคนโบราณไม่ได้รู้ทุกสิ่ง และสิ่งนี้อาจแทรกซึมเข้าไปในจิตสำนึกของผู้ที่มาภายหลังข้าพเจ้าเพื่อล่วงลับ จุดไฟให้กับลูกชายของเขา ... "

มีคนไม่มากในโลกที่ไม่เคยได้ยินทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ บางทีนี่อาจเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เดียวที่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและกลายเป็นตำนานที่แท้จริง มีการกล่าวถึงในหนังสือและภาพยนตร์หลายเรื่อง และบริบทหลักของการกล่าวถึงเกือบทั้งหมดคือความเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท

ใช่ ทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักกันดี และในแง่หนึ่ง ได้กลายเป็น "ไอดอล" ที่นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นและมืออาชีพนับถือ แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าพบข้อพิสูจน์ และสิ่งนี้เกิดขึ้นในปี 1995 แต่สิ่งแรกก่อน

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (มักเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1637 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้เก่งกาจ ปิแอร์ แฟร์มาต์ จึงมีเนื้อหาที่ง่ายมากและเข้าใจได้ง่ายสำหรับทุกคนที่มีการศึกษาระดับมัธยมศึกษา มันบอกว่าสูตร a ยกกำลัง n + b ยกกำลัง n = c ยกกำลัง n ไม่มีคำตอบตามธรรมชาติ (ซึ่งไม่ใช่เศษส่วน) สำหรับ n > 2 ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจน แต่ นักคณิตศาสตร์และมือสมัครเล่นที่เก่งที่สุดต้องดิ้นรนกับการค้นหาวิธีแก้ปัญหามานานกว่าสามศตวรรษครึ่ง

ทำไมเธอถึงมีชื่อเสียงมาก? ตอนนี้เราจะพบว่า...

มีทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ยังไม่พิสูจน์ และยังไม่ได้รับการพิสูจน์มากมายหรือไม่? ประเด็นก็คือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แสดงถึงความแตกต่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างความเรียบง่ายของสูตรกับความซับซ้อนของการพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นปัญหาที่ยากอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ใครก็ตามที่มีเกรด 5 ของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายก็สามารถเข้าใจสูตรของมันได้ แต่ไม่ใช่แม้แต่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพทุกคนก็สามารถเข้าใจข้อพิสูจน์ได้ ไม่ว่าในฟิสิกส์ เคมี หรือชีววิทยา หรือคณิตศาสตร์ ไม่มีปัญหาเดียวที่สามารถกำหนดสูตรง่ายๆ ได้ แต่ยังคงแก้ไขไม่ได้เป็นเวลานาน 2.ประกอบด้วยอะไรบ้าง?

เริ่มจากกางเกงพีทาโกรัสกันก่อน ถ้อยคำนั้นง่ายมาก - เมื่อมองแวบแรก อย่างที่เรารู้ตั้งแต่สมัยเด็กๆ “กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันทุกด้าน” ปัญหาดูง่ายมากเพราะมันขึ้นอยู่กับข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช พีทาโกรัสก่อตั้งกลุ่มภราดรภาพพีทาโกรัส เหนือสิ่งอื่นใด ชาวพีทาโกรัสได้ศึกษาแฝดจำนวนเต็มที่มีค่าเท่ากัน x²+y²=z² พวกเขาพิสูจน์ว่ามีพีทาโกรัสสามเท่ามากมายนับไม่ถ้วนและได้รับสูตรทั่วไปในการค้นหาพวกมัน พวกเขาอาจพยายามมองหา C และองศาที่สูงกว่า ด้วยความมั่นใจว่าวิธีนี้ไม่ได้ผล ชาวพีทาโกรัสจึงละทิ้งความพยายามที่ไร้ประโยชน์ สมาชิกของภราดรภาพเป็นนักปรัชญาและสุนทรียศาสตร์มากกว่านักคณิตศาสตร์

กล่าวคือ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเลือกชุดตัวเลขที่ตรงกับความเท่าเทียมกัน x²+y²=z² อย่างสมบูรณ์แบบ

เริ่มจาก 3, 4, 5 - แน่นอนว่านักเรียนรุ่นน้องเข้าใจว่า 9 + 16 = 25

หรือ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 เยี่ยมเลย

ปรากฎว่าพวกเขาไม่ใช่ นี่คือจุดเริ่มต้นของเคล็ดลับ ความเรียบง่ายนั้นชัดเจน เพราะเป็นการยากที่จะพิสูจน์ว่าไม่ใช่การมีอยู่ของบางสิ่ง แต่ในทางกลับกัน มันไม่มีเลย เมื่อคุณต้องการพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหา คุณสามารถและควรนำเสนอวิธีแก้ปัญหานี้

การพิสูจน์ว่าไม่มีตัวตนนั้นยากกว่า เช่น บางคนพูดว่า สมการดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา เอาเขาลงบ่อเหรอ? ง่าย: แบม - และนี่คือวิธีแก้ปัญหา! (ให้วิธีแก้ปัญหา) เพียงเท่านี้คู่ต่อสู้ก็พ่ายแพ้ จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าไม่มี?

พูดว่า: “ฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว”? หรือบางทีคุณอาจดูไม่ดี? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันมีอยู่ มีเพียงขนาดใหญ่มาก ใหญ่มาก แม้แต่คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังสุดๆ ก็ยังไม่มีความแข็งแกร่งเพียงพอล่ะ? นี่คือสิ่งที่ยาก

สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นภาพได้ดังนี้: หากคุณใช้ขนาดที่เหมาะสมสองช่องสี่เหลี่ยมแล้วแยกชิ้นส่วนออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมจากนั้นคุณจะได้ช่องสี่เหลี่ยมที่สามจากกลุ่มช่องสี่เหลี่ยมนี้ (รูปที่ 2):


แต่มาทำเช่นเดียวกันกับมิติที่สาม (รูปที่ 3) - มันใช้งานไม่ได้ มีลูกบาศก์ไม่เพียงพอหรือยังมีเหลืออยู่:

แต่ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 ศึกษาสมการทั่วไป xn + yn = zn อย่างกระตือรือร้น และในที่สุดฉันก็สรุปได้ว่า: สำหรับ n>2 ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม ข้อพิสูจน์ของแฟร์มาต์สูญหายไปอย่างไม่อาจแก้ไขได้ ต้นฉบับกำลังลุกไหม้! สิ่งที่เหลืออยู่คือคำพูดของเขาในวิชาเลขคณิตของไดโอแฟนตัส: “ฉันได้พบข้อพิสูจน์ที่น่าทึ่งจริงๆ เกี่ยวกับข้อเสนอนี้ แต่ระยะขอบที่นี่แคบเกินกว่าจะเก็บไว้ได้”

จริงๆ แล้ว ทฤษฎีบทที่ไม่มีการพิสูจน์เรียกว่าสมมติฐาน แต่แฟร์มาต์มีชื่อเสียงในด้านที่ไม่เคยทำผิดพลาด แม้ว่าเขาจะไม่ได้ทิ้งหลักฐานคำให้การไว้ แต่ก็ได้รับการยืนยันในเวลาต่อมา นอกจากนี้ แฟร์มาต์ยังพิสูจน์วิทยานิพนธ์ของเขาด้วยค่า n=4 ดังนั้นสมมติฐานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจึงลงไปในประวัติศาสตร์ในฐานะทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

หลังจากเฟอร์มาต์ ผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่เช่นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ทำงานเพื่อค้นหาข้อพิสูจน์ (ในปี 1770 เขาเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับ n = 3)

Adrien Legendre และ Johann Dirichlet (นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ร่วมกันค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 5 ในปี 1825), Gabriel Lamé (ผู้ค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 7) และอื่นๆ อีกมากมาย ในช่วงกลางทศวรรษที่ 80 ของศตวรรษที่ผ่านมา เป็นที่ชัดเจนว่าโลกวิทยาศาสตร์กำลังมุ่งไปสู่การแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่ในปี 1993 มีเพียงนักคณิตศาสตร์เท่านั้นที่เห็นและเชื่อว่ามหากาพย์แห่งสามศตวรรษแห่งการค้นหาข้อพิสูจน์ของ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จบลงแล้ว

แสดงได้ง่ายว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สำหรับ n แบบง่าย ๆ เท่านั้นก็เพียงพอแล้ว: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... สำหรับการประกอบ n การพิสูจน์ยังคงใช้ได้ แต่มีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน...

ในปี 1825 โดยใช้วิธีการของ Sophie Germain นักคณิตศาสตร์หญิง Dirichlet และ Legendre ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับ n=5 อย่างเป็นอิสระ ในปี ค.ศ. 1839 ชาวฝรั่งเศส กาเบรียล ลาเม ใช้วิธีเดียวกันได้แสดงให้เห็นความจริงของทฤษฎีบทสำหรับ n=7 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเกือบทั้งหมดและน้อยกว่าหนึ่งร้อยข้อ

ในที่สุด Ernst Kummer นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้ค้นพบว่าทฤษฎีบทโดยทั่วไปไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 19 รางวัลจาก French Academy of Sciences ซึ่งก่อตั้งขึ้นเมื่อปี พ.ศ. 2390 เพื่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังคงไม่มีใครได้รับรางวัล

ในปี 1907 Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมผู้มั่งคั่งชาวเยอรมันตัดสินใจปลิดชีพตัวเองเพราะความรักที่ไม่สมหวัง เช่นเดียวกับชาวเยอรมันอย่างแท้จริง เขากำหนดวันที่และเวลาของการฆ่าตัวตาย: เวลาเที่ยงคืนพอดี ในวันสุดท้ายได้ทำพินัยกรรมและเขียนจดหมายถึงเพื่อนและญาติ เรื่องจบลงก่อนเที่ยงคืน ต้องบอกว่าพอลสนใจวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อไม่มีอะไรทำแล้ว เขาจึงไปห้องสมุดและเริ่มอ่านบทความชื่อดังของคุมเมอร์ ทันใดนั้นดูเหมือนว่า Kummer จะทำผิดพลาดในการให้เหตุผลสำหรับเขา Wolfskel เริ่มวิเคราะห์ส่วนนี้ของบทความด้วยดินสอในมือ เที่ยงคืนผ่านไป เช้ามาถึงแล้ว ช่องว่างในการพิสูจน์ถูกเติมเต็มแล้ว และเหตุผลของการฆ่าตัวตายตอนนี้ดูไร้สาระมาก พอลฉีกจดหมายอำลาและเขียนพินัยกรรมของเขาใหม่

ในไม่ช้าเขาก็เสียชีวิตด้วยสาเหตุตามธรรมชาติ ทายาทค่อนข้างประหลาดใจ: 100,000 เครื่องหมาย (มากกว่า 1,000,000 ปอนด์สเตอร์ลิงในปัจจุบัน) ถูกโอนไปยังบัญชีของ Royal Scientific Society of Göttingen ซึ่งในปีเดียวกันนั้นได้ประกาศการแข่งขันเพื่อชิงรางวัล Wolfskehl Prize ผู้ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้รับคะแนน 100,000 คะแนน ไม่ใช่ pfennig ที่ได้รับรางวัลสำหรับการหักล้างทฤษฎีบท...

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพส่วนใหญ่ถือว่าการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นความพยายามที่สิ้นหวัง และปฏิเสธที่จะเสียเวลากับแบบฝึกหัดที่ไร้ประโยชน์ดังกล่าวอย่างเด็ดเดี่ยว แต่มือสมัครเล่นก็ระเบิด ไม่กี่สัปดาห์หลังจากการประกาศ “หลักฐาน” ก็ถล่มมหาวิทยาลัย Göttingen ศาสตราจารย์ E.M. Landau ซึ่งมีหน้าที่รับผิดชอบในการวิเคราะห์หลักฐานที่ส่งมาได้แจกการ์ดให้กับนักเรียนของเขา:

ที่รัก. - - - - - - -

ขอขอบคุณที่ส่งต้นฉบับพร้อมหลักฐานทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาให้ฉัน ข้อผิดพลาดแรกอยู่ที่หน้า ... ในบรรทัด... . ด้วยเหตุนี้ หลักฐานทั้งหมดจึงสูญเสียความถูกต้อง
ศาสตราจารย์ อี. เอ็ม. แลนเดา

ในปี 1963 พอล โคเฮนอาศัยการค้นพบของเกอเดล ได้พิสูจน์ความไม่สามารถแก้ได้ของปัญหาหนึ่งในยี่สิบสามของฮิลแบร์ต นั่นก็คือ สมมติฐานต่อเนื่อง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยังตัดสินใจไม่ได้?! แต่ผู้คลั่งไคล้ทฤษฎีบท Great Theorem ตัวจริงก็ไม่ผิดหวังเลย การถือกำเนิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ทำให้นักคณิตศาสตร์มีวิธีการใหม่ในการพิสูจน์อย่างกะทันหัน หลังสงครามโลกครั้งที่ 2 ทีมโปรแกรมเมอร์และนักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับค่าทั้งหมดตั้งแต่ n จนถึง 500 จากนั้นจึงสูงถึง 1,000 และต่อมาเป็น 10,000

ในคริสต์ทศวรรษ 1980 ซามูเอล แวกสตาฟเพิ่มขีดจำกัดเป็น 25,000 และในคริสต์ทศวรรษ 1990 นักคณิตศาสตร์ได้ประกาศว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นจริงสำหรับค่าทุกค่าตั้งแต่ n จนถึง 4 ล้าน แต่ถ้าคุณลบแม้แต่ล้านล้านล้านล้านจากอนันต์ มันก็จะไม่เล็กลง นักคณิตศาสตร์ไม่มั่นใจในสถิติ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่หมายถึงการพิสูจน์มันเพื่อทุกสิ่งที่จะไปสู่อนันต์

ในปี 1954 เพื่อนนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นสองคนเริ่มค้นคว้ารูปแบบโมดูลาร์ แบบฟอร์มเหล่านี้จะสร้างชุดตัวเลข โดยแต่ละชุดจะมีชุดของตัวเอง โดยบังเอิญ ทานิยามะเปรียบเทียบอนุกรมเหล่านี้กับอนุกรมที่สร้างโดยสมการวงรี พวกเขาเข้ากัน! แต่รูปแบบโมดูลาร์นั้นเป็นวัตถุทางเรขาคณิต และสมการวงรีนั้นเป็นพีชคณิต ไม่เคยพบการเชื่อมต่อระหว่างวัตถุที่แตกต่างกันเช่นนี้

อย่างไรก็ตาม หลังจากการทดสอบอย่างรอบคอบ เพื่อน ๆ ได้ตั้งสมมติฐาน: สมการวงรีทุกสมการจะมีรูปแบบแฝด - รูปแบบโมดูลาร์ และในทางกลับกัน สมมติฐานนี้เองที่กลายเป็นรากฐานของทิศทางทั้งหมดในคณิตศาสตร์ แต่จนกว่าจะพิสูจน์สมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระ อาคารทั้งหลังอาจพังทลายลงได้ทุกเมื่อ

ในปี 1984 แกร์ฮาร์ด เฟรย์แสดงให้เห็นว่าคำตอบของสมการแฟร์มาต์ (ถ้ามี) สามารถรวมไว้ในสมการวงรีบางสมการได้ สองปีต่อมา ศาสตราจารย์เคน ริเบต์ พิสูจน์ว่าสมการสมมุตินี้ไม่มีคู่กันในโลกโมดูลาร์ จากนี้ไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มีความเชื่อมโยงกับการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระอย่างแยกไม่ออก หลังจากที่พิสูจน์แล้วว่าเส้นโค้งวงรีใดๆ เป็นแบบโมดูลาร์ เราสรุปได้ว่าไม่มีสมการวงรีที่จะแก้สมการของแฟร์มาต์ได้ และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะได้รับการพิสูจน์ทันที แต่เป็นเวลาสามสิบปีที่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์สมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระ และความหวังที่จะประสบความสำเร็จก็น้อยลงเรื่อยๆ

ในปี 1963 ขณะที่เขาอายุเพียง 10 ขวบ Andrew Wiles มีความหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เมื่อเขาเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ เขาก็ตระหนักว่าเขาไม่สามารถยอมแพ้กับทฤษฎีบทนั้นได้ ในฐานะเด็กนักเรียน นักศึกษา และนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา เขาได้เตรียมตัวสำหรับงานนี้

เมื่อทราบเกี่ยวกับการค้นพบของ Ken Ribet แล้ว Wiles ก็กระโจนเข้าสู่การพิสูจน์สมมติฐานของ Taniyama-Shimura เขาตัดสินใจทำงานอย่างโดดเดี่ยวและเป็นความลับ “ฉันตระหนักว่าทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กระตุ้นความสนใจมากเกินไป... มีผู้ชมจำนวนมากเกินไปที่ขัดขวางการบรรลุเป้าหมายอย่างชัดเจน” การทำงานหนักเจ็ดปีได้รับผลตอบแทน ในที่สุด Wiles ก็พิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama-Shimura ได้สำเร็จ

ในปี 1993 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew Wiles ได้นำเสนอข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แก่โลก (Wiles อ่านบทความที่น่าตื่นเต้นของเขาในการประชุมที่สถาบัน Sir Isaac Newton ในเคมบริดจ์) ซึ่งงานดังกล่าวกินเวลานานกว่าเจ็ดปี

ในขณะที่การโฆษณายังคงดำเนินต่อไปในสื่อ งานจริงจังก็เริ่มตรวจสอบหลักฐาน หลักฐานทุกชิ้นจะต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบก่อนที่จะถือว่าหลักฐานนั้นเข้มงวดและถูกต้อง Wiles ใช้เวลาช่วงฤดูร้อนอย่างไม่สงบเพื่อรอคำติชมจากผู้วิจารณ์ โดยหวังว่าเขาจะได้รับการอนุมัติจากพวกเขา เมื่อปลายเดือนสิงหาคม ผู้เชี่ยวชาญพบว่าคำตัดสินดังกล่าวไม่มีหลักฐานยืนยันเพียงพอ

ปรากฎว่าการตัดสินใจครั้งนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรง แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะถูกต้องก็ตาม ไวล์สไม่ยอมแพ้ขอความช่วยเหลือจากผู้เชี่ยวชาญที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีจำนวน Richard Taylor และในปี 1994 พวกเขาก็ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่แก้ไขและขยายแล้ว สิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคืองานนี้กินเวลามากถึง 130 (!) หน้าในวารสารทางคณิตศาสตร์ "Annals of Mathematics" แต่เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น - มาถึงจุดสุดท้ายในปีหน้าเท่านั้น 1995 เมื่อเวอร์ชันของการพิสูจน์ได้รับการเผยแพร่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายและ "อุดมคติ"

“...ครึ่งนาทีหลังจากเริ่มงานเลี้ยงอาหารค่ำเนื่องในโอกาสวันเกิดของเธอ ฉันได้มอบต้นฉบับหลักฐานที่สมบูรณ์ให้กับ Nadya” (แอนดรูว์ เวลส์) ฉันยังไม่ได้บอกว่านักคณิตศาสตร์เป็นคนแปลกหน้าเหรอ?

คราวนี้ไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับหลักฐานเลย บทความสองบทความได้รับการวิเคราะห์อย่างรอบคอบที่สุด และตีพิมพ์ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 ในวารสาร Annals of Mathematics

เวลาผ่านไปนานมากแล้ว แต่ยังคงมีความเห็นในสังคมว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถแก้ไขได้ แต่แม้แต่ผู้ที่รู้เกี่ยวกับข้อพิสูจน์ที่พบก็ยังคงทำงานไปในทิศทางนี้ - มีน้อยคนที่พอใจที่ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ต้องการคำตอบความยาว 130 หน้า!

ดังนั้นตอนนี้ความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายคน (ส่วนใหญ่เป็นมือสมัครเล่นไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์มืออาชีพ) จึงถูกโยนลงไปในการค้นหาข้อพิสูจน์ที่เรียบง่ายและรัดกุม แต่เส้นทางนี้มีแนวโน้มว่าจะไม่นำไปสู่ที่ใด...

แหล่งที่มา